VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV STAVEBNÍ MECHANIKY FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF STRUCTURAL MECHANICS
VÝPOČET ÚNOSNOSTI STROPNÍ KONSTRUKCE POMOCÍ PROGRAMU ANSYS CALCULATION OF CIELING CONSTRUCT LOADING CAPACITY OF BY ANSYS PROGRAM.
BAKALÁŘSKÁ PRÁCE BACHELOR'S THESIS
AUTOR PRÁCE
Petr Obršlík
AUTHOR
VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR
BRNO 2012
Ing. JARMILA KŘIVÁKOVÁ, CSc.
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ Studijní program Typ studijního programu Studijní obor Pracoviště
B3607 Stavební inženýrství Bakalářský studijní program s prezenční formou studia 3647R013 Konstrukce a dopravní stavby Ústav stavební mechaniky
ZADÁNÍ BAKALÁŘSKÉ PRÁCE Student
Petr Obršlík
Název
Výpočet únosnosti stropní konstrukce pomocí programu ANSYS
Vedoucí bakalářské práce
Ing. Jarmila Křiváková, CSc.
Datum zadání bakalářské práce Datum odevzdání bakalářské práce V Brně dne 30. 11. 2011
30. 11. 2011 25. 5. 2012
............................................. prof. Ing. Drahomír Novák, DrSc. Vedoucí ústavu
............................................. prof. Ing. Rostislav Drochytka, CSc. Děkan Fakulty stavební VUT
Podklady a literatura - Kolář,V., Němec, I., Kanický,V., FEM - Principy a praxe metody konečných prvků. Vydavatelství Computer Press, 1997 - Teory Reference - Ansys rarase 11.0 - ČSN EN 1992-1-1 Navrhování betonových konstrukcí - ČSN EN 1993-1-1 Navrhování ocelových konstrukcí Zásady pro vypracování Vytvořit model stropní konstrukce pro výpočet metodou konečných prvků pomocí programu ANSYS. Provést výpočet této konstrukce, provést kontrolu správnosti a vhodnosti vytvořeného modelu, vybrat nejvíce namáhané oblasti a navrhnout vhodné úpravy konstrukce tak, aby vyhověla požadavkům na ni kladeným. Předepsané přílohy Licenční smlouva o zveřejňování vysokoškolských kvalifikačních prací
............................................. Ing. Jarmila Křiváková, CSc. Vedoucí bakalářské práce
ABSTRAKT
Stěžejní částí je vytvoření konečně prvkového modelu zadané stropní konstrukce pomocí výpočtového programu ANSYS a posouzení napětí a průhybů dle mezních normových hodnot. K ověření správnosti výsledků se použije ruční statický výpočet napětí a průhybů nosných prvků konstrukce za použití metody třímomentových rovnic a Mohrovy analogie pro výpočet průhybu.
KLÍČOVÁ SLOVA
ANSYS,
metoda
konečných
prvků,
napětí,
průhyb,
stropní
konstrukce,
metoda
třímomentových rovnic, Mohrova analogie, zatížení, ocelový válcovaný profil
ABSTRACT
The central part is the creation of a finite element model of the specified ceiling construct by using calculating program ANSYS and assessment of stress and displacement in the limit normative values. To verify the accuracy of the results is applied manual static calculation of stress and deflection carrying structure elements using the Clapeyron’s method and Mohr’s analogy for the calculation of deflection.
KEYWORDS
ANSYS, finite element method, stress, deflection, ceiling construct, Clapeyron’s method, Mohr’s analogy, load, steel rolled profile
Bibliografická citace VŠKP OBRŠLÍK, Petr. Výpočet únosnosti stropní konstrukce pomocí programu ANSYS. Brno, 2012. 61 s., 10 s. příl. Bakalářská práce. Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky. Vedoucí práce Ing. Jarmila Křiváková, CSc..
Prohlášení: Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracoval samostatně, a že jsem uvedl všechny použité informační zdroje.
V Brně dne 19.5.2012
……………………………………………………… podpis autora
Poděkování:
Děkuji vedoucí práce Ing. Jarmile Křivákové, CSc. za svůj čas a odborné rady, které mi poskytla a které mi pomohly při zpracování bakalářské práce. Dále bych chtěl poděkovat Ing. Aleši Nevařilovi, Ph.D. za vedení praktických přednášek o programu ANSYS.
OBSAH SEZNAM OBRÁZKŮ A TABULEK ..................................................................................... 3 1
2
ÚVOD A CÍL PRÁCE ..................................................................................................... 5 1.1
Úvod ............................................................................................................................ 5
1.2
Cíl práce ....................................................................................................................... 6
POPIS KONSTRUKCE A POUŽITÝCH MATERIÁLŮ ............................................ 7 2.1
3
Skladby a vlastnosti materiálů ..................................................................................... 8
VÝPOČET ZATÍŽENÍ NA NOSNÍKY I 180 .............................................................. 10 3.1
Zatížení stálé .............................................................................................................. 10
3.1.1
Zatížení stálé od stropní konstrukce ................................................................... 10
3.1.2
Zatížení ostatní stálé - od podlahy...................................................................... 10
3.2
Zatížení proměnné (nahodilé) .................................................................................... 11
3.3
Kombinace zatížení .................................................................................................. 12
3.3.1
Mezní stav únosnosti (MSÚ).............................................................................. 12
3.3.2
Mezní stav použitelnosti (MSP) ......................................................................... 12
4 VÝPOČET A POSOUZENÍ MAXIMÁLNÍHO OHYBOVÉHO MOMENTU NA NOSNÍKU I 180 ...................................................................................................................... 13 4.1 Zjištění nadpodporového momentu na spojitém nosníku pomocí metody třímomentových rovnic ........................................................................................................ 13 5
VÝPOČET ZATÍŽENÍ NA PRŮVLAK ...................................................................... 17 5.1
Geometrické a průřezové charakteristiky průvlaku .................................................. 17
5.2
Zatížení na průvlak 2xU 220 ..................................................................................... 19
6 VÝPOČET MAXIMÁLNÍHO OHYBOVÉHO MOMENTU A POSOUZENÍ NAPĚTÍ NA PRŮVLAKU .................................................................................................... 22 7
VÝPOČET PRŮHYBU.................................................................................................. 26 7.1
8
9
Výpočet průhybu pomocí Mohrovy metody ............................................................ 26
VÝPOČET POMOCÍ PROGRAMU ANSYS ............................................................. 30 8.1
Stručná historie ANSYSU ........................................................................................ 30
8.2
Základní myšlenka .................................................................................................... 30
TVORBA MKP MODELU ........................................................................................... 31 9.1
Popis konstrukce a modelu ....................................................................................... 31
9.2
Element typu SOLID 185 ......................................................................................... 31
9.3
Postup modelování ve výpočtovém programu ANSYS ............................................ 32
9.3.1
Zadání bodů (keypoints) do globálního kartézského souřadnicového systému . 33
9.3.2
Spojení bodů (keypoints) v úsečky (lines) ......................................................... 34
9.3.3
Nastavení dělení (meshing) úseček .................................................................... 34 1
9.3.4
Vytvoření ploch (areas) ...................................................................................... 35
9.3.5
Protažení ploch podél úseček do prostoru - vznik objemů (volumes) ............... 37
9.3.6
Rozdělení objemů na elementy podle úseček se zadaným dělením ................... 37
9.3.7
Zkopírování prvků - vytvoření stropní konstrukce ............................................ 38
9.4
10
Zadání uložení a zatížení ........................................................................................... 40
9.4.1
Zadání okrajových podmínek ............................................................................. 40
9.4.2
Zadání zatížení na mezní stav použitelnosti ....................................................... 42
9.4.3
Zadání zatížení na mezní stav únosnosti ............................................................ 44
9.4.4
Výpočet .............................................................................................................. 45
VÝSLEDKY - (POSTPROCESSING) ......................................................................... 46 10.1 10.1.1
Nosník I180 ........................................................................................................ 47
10.1.2
Průvlak 2xU 220................................................................................................. 48
10.2 10.2.1 10.3
11
Normálové napětí na mezní stav použitelnosti ..................................................... 50 Průvlak 2xU 220................................................................................................. 50 Deformace (průhyb) na mezní stav použitelnosti ................................................. 51
10.3.1
Průhyb na nejvíce namáhaném nosníku I 180 .................................................... 52
10.3.2
Maximální průhyb na průvlaku 2xU 220 ........................................................... 53
KONTROLA VÝSLEDKŮ ........................................................................................... 54 11.1
12
Normálové napětí na mezní stav únosnosti .......................................................... 47
Průvlak 2xU220 .................................................................................................... 54
11.1.1
Srovnání napětí - Mezní stav únosnosti ............................................................. 54
11.1.2
Srovnání napětí - Mezní stav použitelnosti ........................................................ 54
11.1.3
Srovnání průhybu - Mezní stav použitelnosti .................................................... 54
ZÁVĚR ........................................................................................................................... 55 12.1
Nosník I 180 .......................................................................................................... 55
12.1.1
Napětí - mezní stav únosnosti ............................................................................ 55
12.1.2
Průhyb - mezní stav použitelnosti ...................................................................... 55
12.2
Průvlak 2xU 220 ................................................................................................... 56
12.2.1
Napětí - mezní stav únosnosti ............................................................................ 56
12.2.2
Průhyb - mezní stav použitelnosti ...................................................................... 56
SEZNAM ZKRATEK ............................................................................................................ 57 POUŽITÁ LITERATURA .................................................................................................... 59 PŘÍLOHY ............................................................................................................................... 61
2
SEZNAM OBRÁZKŮ A TABULEK Seznam obrázků: Obrázek č. 1 - Půdorys stropní konstrukce Obrázek č. 2 - Detail stropní konstrukce Obrázek č. 3 - Skladba podlahy Obrázek č. 4 - Geometrie I180 Obrázek č. 5 - Statické schéma spojitého nosníku Obrázek č. 6 - Vykreslení vnitřních sil spojitého nosníku Obrázek č. 7 - Geometrie U 220 Obrázek č. 8 - Geometrie 2xU 220 Obrázek č. 9 - Statické schéma průvlaku a vykreslení vnitřních sil Obrázek č. 10 - Zatěžovací schéma duálního nosníku a vykreslení ohybových momentů Obrázek č. 11 - Nahrazení složitého pole polem jednoduchým, za použití prvků [9] Obrázek č. 12 - Prostorový prvek SOLID 185 Obrázek č. 13 - Body (Keypoints) I180 Obrázek č. 14 - Úsečky (Lines) I 180 Obrázek č. 15 - Rozdělení úseček (Meshed lines) I180 Obrázek č. 16 - Plochy (Areas) I 180 Obrázek č. 17 - Průsečík dvou hran průřezů - I 180 a 2xU 220 Obrázek č. 18 - Prvky SOLID 185 - Střet „I“ nosníku s průvlakem Obrázek č. 19 - Prvky SOLID 185 - Celý nosník „I“ profilu s částí průvlaku Obrázek č. 20 - MKP model celé stropní konstrukce Obrázek č. 21 - Detail MKP modelu stropní konstrukce Obrázek č. 22 - Okrajové podmínky celé stropní konstrukce Obrázek č. 23 - Detail umístění okrajových podmínek - prosté uložení Obrázek č. 24 - Zatížení na celou stropní konstrukci Obrázek č. 25 - Detail: okrajové podmínky + zatížení na uzly Obrázek č. 26 - Detail: okrajové podmínky + zatížení na uzly + gravitace Obrázek č. 27 - Normálové napětí na nejvíce namáhaném nosníku od ZS 1 Obrázek č. 28 - Normálové napětí na nejvíce namáhaném nosníku od ZS 2 Obrázek č. 29 - Normálové napětí od ZS1 na průvlak - detail Obrázek č. 30 - Normálové napětí od ZS2 na průvlak - detail 3
Obrázek č. 31 - Normálové napětí na průvlaku 2xU 220 Obrázek č. 32 - Normálové napětí na průvlaku 2xU 220 - detail střední části průvlaku Obrázek č. 33 - Průhyb ve směru globální osy Y na celé konstrukci Obrázek č. 34 - Maximální průhyb ve směru globální osy Y na nosníku I180 Obrázek č. 35 - Maximální průhyb ve směru globální osy Y na průvlaku 2xU 220
Seznam tabulek: Tabulka č. 1 - Objemová hmotnost použitých materiálů [4] Tabulka č. 2 - Výpočet zatížení od stropní konstrukce Tabulka č. 3
- Výpočet zatížení od podlahy
Tabulka č. 4 - Geometrie I 180 Tabulka č. 5 - Průřezové veličiny I 180 Tabulka č. 6 - Geometrie U 220 Tabulka č. 7 - Průřezové veličiny U 220 Tabulka č. 8 - Geometrie 2xU 220 Tabulka č. 9 - Průřezové veličiny 2xU 220
4
1
ÚVOD A CÍL PRÁCE
1.1
Úvod Posudek je prováděn na stropním systému HURDIS za použití ocelových válcovaných
„I“ nosníků v osových vzdálenostech 1200 mm a šikmých stropních desek CSD HURDIS II. Tento systém byl pro svoji jednoduchost a rychlost montáže velmi oblíbený. Byl používán především na stropy menších rozpětí, zvláště na výstavbu rodinných domů a bytových jednotek. Mezi hlavní výhody patří nízká hmotnost desek. Není tedy nutno použití těžké strojní techniky. Tím se prokazatelně sníží celková cena konstrukce. Mezi další výhody patří poměrně dobré tepelně i zvukově izolační vlastnosti. I přes značný úbytek použití desek HURDIS, způsobený zhroucením několika stropů před rokem 1998, jsou stále používány. Ve větší míře jsou však nahrazovány nosníky POT a stropními vložkami CSV MIAKO. Bylo zjištěno, že hlavní příčinou poruch byla nevhodně zvolená horní vrstva betonové mazaniny (teplotní roztažnost jiná než u keramické desky), špatné provedení konstrukce (absence malty u patek či na nosnících). [1] Všechny použité prvky a skladba stropního systému byly navrženy a převzaty od výrobce HURDIS v souladu s Technickou příručkou pro projektanty a stavitele. Pro větší únosnost a stabilitu stropu byla konstrukce podepřena průvlakem ze dvou k sobě přivařených ocelových nosníků profilu „U“. Umístění průvlaku je dáno dispozičními požadavky. Tato konstrukce bude posuzovaná dle vymezení účelu stavby na užitné zatížení pro obytné budovy. Konstrukce je posuzována na napětí a průhyb. Největší průhyb je v místě maximálního namáhání – střed stropní konstrukce. Pro statickou analýzu posuzovaného stropu byl použit program ANSYS, který řeší konstrukce metodou konečných prvků. V programu byl vytvořený konečně prvkový model, jenž byl zatížen vlastní tíhou konstrukce a podlahy a nahodilým zatížením pro obytné budovy. Stropní konstrukce je uvažována jako nosníkový rošt, který je prostě uložen.
5
1.2
Cíl práce Cílem této práce je vytvořit v prostředí ANSYSu konečně prvkový model řešené
stropní konstrukce a jeho verifikaci jednoduchým ručním výpočtem. Pro toto ověření jsou ručním statickým výpočtem získány hodnoty extrémů napětí a průhybu jednotlivých nejnamáhanějších prvků konstrukce. Jejich hodnoty jsou následně porovnány s výsledky dosaženými programem ANSYS. Extrémní hodnoty napětí a průhybu jsou v závěru práce vyhodnoceny a posouzeny v souladu s platnými normami.
6
2 POPIS KONSTRUKCE A POUŽITÝCH MATERIÁLŮ Stropní vodorovná konstrukce, o ploše 6,000 x 4,882 m, dělí po výšce objekt na jednotlivá podlaží. Mimo funkce statické musí splňovat i další požadavky - protipožární, tepelné a akustické. Skládá se z nosné konstrukce stropu a z podlahové konstrukce. Nosná konstrukce je složena z pěti rovnoběžných nosníků přůřezu I 180, s osovou vzdáleností 1200mm, na které jsou příčně naskládány keramické desky CSD HURDIS - II se šikmými čely o rozměrech 80 x 250 x 1080 mm (v; š; d). Keramické desky se ukládají přes maltové lože na patky, které jsou osazeny opět do maltového lože na spodní pásnice ocelových „I“ nosníků, viz. detail stropní konstrukce (obr. č. 2). Ocelové nosníky jsou uloženy na stěnách do železobetonového pozednicového věnce. Minimální délka uložení ocelových nosníků je 150 mm - zvoleno 200 mm na stranu bezpečnou.
Obrázek č. 1 - Půdorys stropní konstrukce 7
Legenda k obrázku č. 1:
T
- nosníky I 180
2U
- průvlak profilu 2xU 220
H
- keramické desky CSD HURDIS - II (šikmá čela) 80 x 250 x 1080 mm (v; š; d)
HP
- keramická patka 240 x 84 x 80 mm
2.1
Skladby a vlastnosti materiálů Skladby podlah a stropní konstrukce jsou převzaty z Technické příručky pro
projektanty a stavitele, kde jsou výrobcem doporučeny dimenze prvků a rozměry vrstev, dle délky světlých rozpětí. [3]
Obrázek č. 2 - Detail stropní konstrukce
Obrázek č. 3 - Skladba podlahy 8
Níže uvedená tabulka zobrazuje objemovou hmotnost materiálů, která je použita u výpočtu stálého zatížení.
TYP MATERIÁLU
OBJEMOVÁ HMOTNOST [kg/m ]
Ocel „I180“
7850,00
Betonová mazanina 2400,00 Polystyrén
25,00
Cementový potěr
2100,00
Maltové lože
1600,00
Deska HURDIS II
14kg/ks
Patka
1,3kg/ks
PVC
1300,00
Lepenka A - 400H
900,00
Tabulka č. 1 - Objemová hmotnost použitých materiálů [4]
9
3 VÝPOČET ZATÍŽENÍ NA NOSNÍKY I 180 Výpočet zatížení je proveden dle platné normy ČSN EN 1991-1-1 Eurokód 1: Zatížení konstrukcí. Veškeré průřezové charakteristiky válcovaných profilů jsou přebrány z platných tabulek. Stanovení intenzity zatížení je zahrnuto v následujících tabulkách.
3.1 Zatížení stálé Zatížení stálé je prezentováno vlastní tíhou stavebních prvků, která je vyjádřena na základě jejich rozměrů a objemových tíh uváděných v normě.
3.1.1
Zatížení stálé od stropní konstrukce
TYP
OBJEMOVÁ TÍHA TLOUŠŤKA [m] [ kN/m ]
I 180
78,5000
ROZPĚTÍ g₀₀ [m] [kN/m]
plocha = 2,79018x10-3 m
0,2190
Betonová mazanina 24,0000
0,0400
1,2000
1,1520
24,0000
0,0950
0,2750
0,6270
Polystyrén
0,2500
0,0950
(1,2-0,275) 0,0220
Cementový potěr
21,0000
0,0100
1,2000
0,2520
Maltové lože
16,0000
4*0,0090
0,0810
0,0467
Deska HURDIS II
14kg/ks
do 1m => 4ks => 56kg/m 0,5600
Patka
1,3kg/ks
5,7ks/1m2
1,2000
0,0889 ∑g₀=2,9676 kN/m
Tabulka č. 2 - Výpočet zatížení od stropní konstrukce 3.1.2
Zatížení ostatní stálé - od podlahy
TYP
OBJEMOVÁ TÍHA [kN/m ] 13,0000 PVC Betonová mazanina 24,0000
TLOUŠŤKA [m] 0,0020 0,0400
ROZPĚTÍ [m] 1,2000 1,2000
g₀₀ [kN/m] 0,0312 1,1520
Lepenka A - 400H
9,0000
0,0007
1,2000
0,0076
Polystyrén
0,2500
0,0100
1,2000
0,0030 ∑g₁=1,1938 kN/m
Tabulka č. 3 - Výpočet zatížení od podlahy 10
Geometrické a průřezové charakteristiky I180: Geometrie: Hmotnost
Rozměry
G kg/m
h b tw mm mm mm
tf mm
r1/r2 mm
d mm
21,9
180
10,4
6,9/4,1
142,4
násobek I 180
82
6,9
Tabulka č. 4 - Geometrie I 180
Průřezové charakteristiky: Průřezové charakteristiky
násobek I 180
A mm2 103 2,790
Iy mm4 106 14,40
Wy mm3 103 160
Iz mm4 106 0,812
Wz mm3 103 19,8
Tabulka č. 5 - Průřezové charakteristiky I 180
Obrázek č. 4 - Geometrie I 180
Legenda k Tabulkám č. 4; č. 5 [mm2]
A
- průřezový obsah
Iy; Iz
- kvadratický moment (moment setrvačnosti průřezu rovnoběžný s globální osou y; z) [mm4]
Wy; Wz
-
průřezový modul rovnoběžný s globální osou y; z [mm3]
3.2 Zatížení proměnné (nahodilé) Za proměnné zatížení je považováno zatížení užitné, které se určí dle stanovených použití a kategorie ploch pozemních staveb. Pro obytné budovy platí: qk = 1,5 kN/ m
kategorie A
qk = 1,5 kN/ m * 1,2 m = 1,8 kN/m 11
3.3
Kombinace zatížení
3.3.1
Mezní stav únosnosti (MSÚ)
Pro posouzení MSÚ lze použít vztahu (6.10) z normy. ∑ , * Gk,j + ∑ , * Gk,i + ∑ , * Qk
(3.1)
Dosazeno do vztahu (3.1): 1,35 * 2,9676 + 1,35 * 1,1938 + 1,5 * 1,8 = 8,3179 kN/m
Rovnoměrně spojité zatížení je dále použito pro posouzení únosnosti ocelového g = 8,3179 kN/m
nosníku „I“ profilu. Ve vztahu značí: γ, = 1,35
… součinitel stálého zatížení
γ, = 1,5
… součinitel proměnného zatížení
Gk,j = ∑g0 = 2,9676 kN/m
… zatížení stálé - od stropní konstrukce
Gk,i = ∑g₁ = 1,1938 kN/m
… zatížení stálé - od podlahy
Qk = qk = 1,8 kN/m
… zatížení proměnné - užitné
3.3.2
Mezní stav použitelnosti (MSP)
Zatížení pro MSP se chápe jako součet všech zatížení stálých a proměnných. = ∑G₀ + ∑G₁ + ∑Q
(3.2)
Dosazeno do (3.2): g = 2,9676 + 1,1938 + 1,8 = 5,9614 kN/m Rovnoměrně spojité zatížení je dále použito pro posouzení použitelnosti (průhybu) g = 5,9614 kN/m
ocelového nosníku „I“ profilu.
12
4
VÝPOČET A POSOUZENÍ MAXIMÁLNÍHO OHYBOVÉHO MOMENTU NA NOSNÍKU I 180
4.1
Zjištění nadpodporového momentu na spojitém nosníku pomocí metody třímomentových rovnic
Ocelový nosník profilu „I“ je uložený do pozednicového věnce a podepřený průvlakem tvořeným dvěma k sobě přivařenými „U“ profily. Jako statickým modelem je spojitý nosník vykreslený na obrázku č. 5. K výpočtu nadpodporového momentu byla použita metoda třímomentových rovnic (Clapeyronova metoda)
Obrázek č. 5 - Statické schéma spojitého nosníku
13
U prutů s konstantním průřezem jsou dány úhly natočení od jednotkových momentů:
!
=
(! =
"#
$% "#
&
=
(& =
)
%$"'
(4.1)
"'
(4.2)
$% )
%$Dosazeno do vztahů (4.1) a (4.2)
!
*
=
(! =
$% *
&
=
(& =
)$%
$%
)
%$Výpočet skutečných pootočení dle Statických tabulek +
! =
,
*
*
-∗/10
(4.3)
2∗3
Dosazeno do vztahu (4.3) + != +
,
*
& =
,
*
* *
4,,56 ∗ *1 2∗3
4,,56 ∗ 1 2∗3
= =
,,4,, 2∗3
,55 ) 2∗3
Deformační podmínka: Φba = - Φbc
(4.4)
Obecný tvar třímomentové rovnice (Clapeyronova rovnice): (! * 7! + (
!
+
&
) * 7 + (& * 7& + +
!
++
&
=0
(4.5)
Dosazením do vztahu (4.5): *
)
%$*0+(
*
%$+
%$)*7 +
)
%$* 7& +
,,4,, 2∗3
(
+ )
,55 )
23
2∗3
=0
) * M9 = -
*,6:5 2∗3
Mb = - 12,4769 kNm = M2;
Odtud: Ve vztahu (4.5) značí: 7! , 7 , 7&
… nadpodporové momenty
E = 2,1E11 Pa
… modul pružnosti oceli
I = 1,44E-05 m4
… kvadratický moment
EI
… ohybová tuhost 14
Výpočet podporových reakcí z momentových podmínek rovnováhy: Mb = Ryc * 2 - g *
'
(4.6)
- Mb = - Rya * 4 + g *
*'
(4.7)
Dosazeno do vztahu (4.6): - 12,4769 = Ryc * 2 - 8,3179 * 2
=> Ryc = 2,0795 kN
Dosazeno do vztahu (4.7): 12,4769 = - Rya * 4 + 8,3179 * 4
=> Rya = 13,5166 kN
Výpočet podporové reakce ze součtové silové podmínky rovnováhy: Rya + Ryb + Ryc = g * L
(4.8)
Dosazeno do vztahu (4.8): 13,5166 + Ryb + 2,0795 = 8,3179 * (4 + 2) Ve vztazích (4.6) - (4.8) značí: Rya
… svislá reakce v podpoře „a“
Ryb
… svislá reakce v podpoře „b“
Ryc
… svislá reakce v podpoře „c“
Obrázek č. 6 - Vykreslení vnitřních sil spojitého nosníku 15
=> Ryb = 34,3113 kN
Výpočet mezního ohybového momentu únosnosti: 7<= = (?@ * A@= ) / C
(4.9)
Dosazeno do vztahu (4.9): MD; = (1,60 ∗ 10 * * 235 ∗ 10) ) / 1,0 = 37600Nm = 37,6000 kNm Ve vztahu (4.9) značí: γC = 1,0
… dílčí součinitel spolehlivosti materiálu
WM = 1,60 ∗ 10 * m3 … průřezový modul fM; = 235 ∗ 10) Pa
… mez kluzu oceli
Maximální ohybový moment: M2; = 12,4769 kNm Posouzení momentové únosnosti dle platné normy ČSN
EN
1993-1-1
(731401)
Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí. [5]
Podmínka pro prvky namáhané ohybem: 7<= ≥ 7$= 37,6000 kNm ≥ 12,4769 kNm
Odtud:
(4.10) VYHOVUJE
Výpočet napětí:
P =
(4.11)
R
Dosazením do vztahu (4.11): σ =
12,4769 ∗ 10 = 77980625 Pa = 77,9806 MPa 1,60 ∗ 10 *
Posouzení napětí: P ≤ fM; Odtud:
77,981 MPa ≤ 235,000 MPa
P
… maximální napětí
fM; = 235 ∗ 10) Pa
… mez kluzu oceli 16
(4.12) VYHOVUJE
5
VÝPOČET ZATÍŽENÍ NA PRŮVLAK
5.1
Geometrické a průřezové charakteristiky průvlaku
Geometrie U 220: Hmotnost
násobek U 220
Rozměry
G kg/m
h b tw mm mm mm
29,40
220
80
9,0
tf mm
r1/r2 mm
12,5 13,0/6,5
Tabulka č. 6 - Geometrie U 220
Průřezové charakteristiky U 220: Průřezové charakteristiky
násobek U 220
A mm2 103 3,742
Iy mm4 106 26,90
Wy mm3 103 245
Iz mm4 106 1,97
Tabulka č. 7 - Průřezové charakteristiky U 220
Obrázek č. 7 - Geometrie U 220 17
Wz mm3 103 33,6
d mm
ys/ym mm
167,0 21,4/42,0
Geometrie 2xU 220: Hmotnost
Rozměry
G kg/m
h b tw mm mm mm
tf mm
r1/r2 mm
58,74
220 160
12,5 13,0/6,5
d mm
násobek 2xU 220
9,0
167,0
Tabulka č. 8 - Geometrie 2xU 220
Průřezové charakteristiky 2xU 220: Průřezové charakteristiky
násobek
A mm2 103
Iy mm4 106
Wy mm3 103
Iz mm4 106
Wz mm3 103
2xU 220
7,483
53,8
490
3,94
67,2
Tabulka č. 9 - Průřezové charakteristiky 2xU 220
Obrázek č. 8 - Geometrie 2xU 220
Průřezové charakteristiky U 220
Průřezové charakteristiky 2xU 220
[ = 3,742 ∗ 10 \
[ = 7,483 ∗ 10 \
]@ = 2,690 ∗ 10 : \*
]@ = 5,380 ∗ 10 : \*
?@ = 2,450 ∗ 10 * \
?@ = 4,900 ∗ 10 * \ 18
5.2 Zatížení na průvlak 2xU 220 Zatížení na průvlak je přepočítáno ze spojitého rovnoměrného zatížení stálého a proměnného na zatížení bodové - osamělým břemenem, umístěné v osách „I“ nosníků. Bodové zatížení je závislé na spolupůsobící šířce, která je určena jako polovina rozpětí přilehlého pole k podpoře „b“.
Vlastní tíha průvlaku: g0 = A * γc
(5.1)
Dosazeno do (5.1): g0 = 7,483 * 10-3 * 78,500 = 0,5874 kN/m
a
b
c
Zatížení na podporu „b“: LEVÁ STRANA
PRAVÁ STRANA
Zatížení od podlahy G_`;a = 1,1938 * 2 = 2,3876 kN
G_`; = 1,1938 * 1 = 1,1938 kN
Zatížení od stropní konstrukce Gbcd`_a = 2,9676 * 2 = 5,9352 kN
Gbcd`_ = 2,9676 * 1 = 2,9676 kN
Proměnné Qfa = 1,8000 * 2 = 3,6000 kN
Qf = 1,8000 * 1 = 1,800 kN
∑Qa = 11,9228 kN
∑Q = 5,9614 kN
19
Hodnoty na mezní stav použitelnosti Součet zatížení od spolupůsobící šířky z levé strany a z pravé strany. Q = ∑Qa + ∑Q
(5.2)
Dosazeno do (5.2): Q = ∑Qa + ∑Q = 11,9228 + 5,9614 = 17,8842 kN Hodnoty na mezní stav únosnosti [4] Pro posouzení mezního stavu únosnosti lze použít vztahu (6.10) z normy. ∑G₀ * γ- + ∑G₁ * γ- + ∑Q * γ
(5.3)
LEVÁ STRANA Dosazeno do (5.3): ∑Qag = 2,3876 * 1,35 + 5,9352 * 1,35 + 3,6000 * 1,5 = 16,6358 kN PRAVÁ STRANA Dosazeno do (5.3): ∑Q g = 1,1938 * 1,35 + 2,9676 * 1,35 + 1,8000 * 1,5 = 8,3179 kN Součet návrhových zatížení od spolupůsobící šířky z levé a pravé strany: Q = ∑Qag + ∑Q g
(5.4)
Dosazeno do (5.4): Q = ∑Qa + ∑Q = 16,6358 + 8,3179 = 24,9537 kN Výpočet návrhové hodnoty vlastní tíhy průvlaku pomocí součinitele zatížení: god = G₀ * γDosazeno do (5.4): god = 0,5874 * 1,35 = 0,7930 kN/m
20
(5.5)
Ve vztahu (5.1) - (5.5) značí: γc
… objemová tíha oceli
γ- ; γ
… součinitelé zatížení stálého; proměnného
A
… plocha průřezu celého průvlaku
g0
… charakteristická hodnota vlastní tíhy průvlaku
god
… návrhová hodnota vlastní tíhy průvlaku
∑Qa ; ∑Q
… součet spolupůsobícího zatížení zleva; zprava
∑Qag ; ∑Q g … součet spolupůsobícího návrhového zatížení zleva; zprava Q
… osamělá síla působící na průvlak v ose nosníku „I“ pro MSP
Q
… osamělá síla působící na průvlak v ose nosníku „I“ pro MSÚ
21
6
VÝPOČET MAXIMÁLNÍHO OHYBOVÉHO MOMENTU A
POSOUZENÍ NAPĚTÍ NA PRŮVLAKU
Maximální ohybový moment na průvlaku je vypočítán a porovnán s normou za působení návrhového zatížení spočteného v předešlé kapitole 5.2. Zatížení působí osamělými silami v osách „I“ nosníků symetricky na průvlak. Jako statické schéma průvlaku je uvažován prostý nosník. Hodnoty zatížení na průvlak: Q = Q = 24,9537 kN
viz (5.4)
Q/2 = 24,9537 / 2 = 12,4769 kN
… krajní osamělá síla na průvlak v ose nosníku „I“
god = 0,7930 kN/m
… návrhová hodnota vlastní tíhy průvlaku
G = god * L = 0,7930 * 4,882 = 3,8714 kN
-
… náhradní břemeno
zatěžovací
schéma
- posouvající síly V
-
ohybové
momenty M
Obrázek č. 9 - Statické schéma průvlaku a vykreslení vnitřních sil 22
Výpočet podporových reakcí z momentové podmínky rovnováhy: Ma = 0
(6.1)
Rozepsán vztah (6.1): Ryb * 4,882 - Q/2 * 4,841 - Q * 3,641 - Q * 2,441 - Q * 1,241 - Q/2 * 0,041 - G * 2,441 = 0 Vyjádření podporové reakce Ryb z rovnice (6.1) Ryb = =
12,4769 ∗ 4,841 + 24,9537 ∗ 3,641 + 24,9537 ∗ 2,441 + 24,9537 ∗ 1,241 + 12,4769 ∗ 0,041 + 3,8714 ∗ 2,441 4,882
Odtud =>
Ryb = Rya = 51,8431 kN
Kontrola pomocí součtové silové podmínky rovnováhy Y = 0: Rya + Ryb = Q + Q + Q + Q/2 + Q/2 + G
(6.2)
Dosazení do (6.2) 51,8431 * 2 = 4 * 24,9537 + 3,8714 103,6862 = 103,6862 kN
Výpočet maximálního ohybového momentu v polovině délky rozpětí: MMAX = Rya * 2,441 - Q/2 * 2,400 - Q * 1,2 - god *
,**,'
=
= 51,8431 * 2,441 - 12,4769 * 2,400 - 24,9537 * 1,2 -
,**,'
= 64,2975 kNm = MED
Výpočet mezního ohybového momentu únosnosti:
Dosazeno do vztahu (4.9): MD; = (4,90 ∗ 10 * * 235 ∗ 10) ) / 1,0 = 115150Nm = 115,1500 kNm
Posouzení momentové únosnosti dle platné normy ČSN EN 1993-1-1 (731401) Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí. [5] Podmínka pro prvky namáhané prostým ohybem: 7<= ≥ 7$= Odtud:
115,1500 kNm ≥ 64,2975 kNm 23
(6.3) VYHOVUJE
Výpočet napětí uprostřed průvlaku - dolní vlákna: Dosazeno do vztahu (4.11) M 64,2975 ∗ 10 σ = = = 131219,387 Pa = 131,219 MPa W 4,90 ∗ 10 * Posouzení napětí dle vztahu (4.12) σ ≤ fM; 131,219 MPa ≤ 235,000 MPa
VYHOVUJE
Posouzení napětí na mezní stav použitelnosti Tento posudek je zaměřen na výpočet napětí stejným způsobem jako v kapitole 6 s tím rozdílem, že hodnoty zatížení nejsou násobeny příslušnými součiniteli. Vypočtené napětí nám bude sloužit dále ve vyhodnocení výsledků a k ověření správnosti hodnot z výpočtového programu.
Zatížení Osamělá síla:
Q = 17,8842 kN
viz (5.2)
Osamělá síla/2:
Q/2 = 17,8842 / 2 = 8,9421 kN
Vlastní tíha průvlaku:
god = G₀ * γ- = 0,5874 kN/m
Výpočet podporových reakcí z momentové podmínky rovnováhy, viz (6.1) Ma = 0 Ryb * 4,882 - Q/2 * 4,841 - Q * 3,641 - Q * 2,441 - Q * 1,241 - Q/2 * 0,041 - G * 2,441 = 0 Odtud reakce:
Ryb = Rya = 37,2023 kN
Výpočet maximálního ohybového momentu: MMAX = Rya * 2,441 - Q/2 * 2,400 - Q * 1,2 - god * Moment:
,**,'
MMAX = 46,1401 kN/m
24
Výpočet napětí uprostřed prostého nosníku - dolní vlákna, viz (4.11):
σ =
i
=
*),,*C, ∗ ,C1 *,6C ∗ ,Cjk
= 94,163 MPa
Posouzení napětí dle (4.12) P ≤ fM; 94,163 MPa ≤ 235,000 MPa
25
VYHOVUJE
7
VÝPOČET PRŮHYBU
Výpočet průhybu na prostém nosníku je rozdělen do dvou částí. Je nutné zjistit maximální průhyb od zatížení. U nosníku zatíženého symetricky se předpokládá maximální průhyb v polovině rozpětí. V první části je spočítán průhyb od působícího zatížení osamělými silami na průvlak Mohrovou metodou. V druhé části je spočítán průhyb od vlastní tíhy průvlaku pomocí vzorce ze statických tabulek.
7.1
Výpočet průhybu pomocí Mohrovy metody
Obrázek č. 10 - Zatěžovací schéma duálního nosníku a vykreslení ohybových momentů 26
Hodnoty sil na mezním stavu použitelnosti: Q = Q = 17,8842 kN
viz (5.2)
Q/2 = 17,8842 / 2 = 8,9421 kN Vzhledem k symetrickému rozložení sil, za předpokladu Rya = Ryb, je možné zjednodušit výpočet reakcí podle součtové silové podmínky rovnováhy: Rya + Ryb = Q + Q + Q + Q/2 + Q/2 Odtud:
(7.1)
2 * Rya = 4 * 17,8842 = 71,5368 kN Rya = Ryb = 71,5368 / 2 = 35,7684 kN
Výpočet ohybových momentů od zatížení: 1.
Rya * 0,041 Dosazeno do (7.2)
(7.2)
1. = 35,7684 * 0,041 = 1,4665 kNm
2.
Rya * 1,241 - Q/2 * 1,2 Dosazeno do (7.3)
(7.3)
2. = 35,7684 * 1,241 - 8,9421 * 1,2 = 33,6581 kNm
Rya * 2,441 - Q/2 * 2,4 - Q * 1,2
3. Dosazeno do (7.4)
(7.4)
3. = 35,7684 * 2,441 - 8,9421 * 2,4 - 17,8842 * 1,2 = = 44,3886 kNm
Kontrola součtovou podmínkou rovnováhy ve směru y: 4.
2. = 4.
Rya * 3,641 - Q/2 * 3,6 - Q * 2,4 - Q * 1,2 Dosazeno do (7.5)
(7.5)
4. = 35,7684 * 3,641 - 8,9421 * 3,6 - 17,8842 * 2,4 - 17,8842 * * 1,2 = 33,6581 kNm
Zatížení duálního nosníku je koncipováno tak, že hodnoty kladných ohybových momentů na prostém působí směrem dolů na duálním nosníku. Hodnoty zatížení duálního nosníku dle Obrázku č. 10: 1´
1,4665
3´
44,3886
2´
33,6581
4´
33,6581
5´ 27
1,4665
Lichoběžníkové zatížení duálního nosníku je potřebné nahradit náhradními břemeny:
Q∆´ , =
,
* 0,041 * 1,4665 = 0,0301
Q□´ , = 1,2 * 1,4665 = 1,7598 Q∆´
=
,
* 1,2 * 32,1916 = 19,3150
2´ - 1´ = 33,6581 - 1,4665 = 32,1916
Q□´
= 1,2 * 33,6581 = 40,3897 ,
Q∆´ = * 1,2 * 10,7305 = 6,4383
3´ - 2´= 44,3886 - 33,6581 = 10,7305
Výpočet podporových reakcí duálního nosníku ze součtové podmínky rovnováhy ve směru y. Vzhledem k symetrii zatížení vzato pouze na polovinu nosníku: Rya = m,∆´ + m,□´ + m ∆´ + m □´ + m∆´
(7.6)
Dosazeno do (7.6) Rya = 0,0301 + 1,7598 + 19,3150 + 40,3897 + 6,4383 = 67,9329 Ze symetričnosti zatížení vyplývá: Rya = Ryb = 67,9329 Výpočet maximálního ohybového momentu na duálním nosníku: M’MAX = Rya * 2,441 - Q∆´ , *n ,
C,C*,∗,
,
∆´ + 2,4o - Q□´ , * n ∗ 1,2 + 1,2o - Q * n
,, ∗,
+ 1,2o -
,
∆´ - Q□´
* n ∗ 1,2o - Q * n ∗ 1,2o =
Dosazeno: M‘MAX = 67,9329 * 2,441 - 0,0301 * (2,4137) - 1,7598 * (1,800) - 19,3150 * (1,600) - 40,3897 * (0,600) - 6,4383 * (0,400) Odtud: M‘MAX = 165,5242 - 0,0727 - 3,1676 - 30,9024 - 24,2338 - 2,573 M‘MAX = 104,8724
Princip duality Průhyb w se určí jako M´ na fiktivním nosníku, zatíženém q´ =
28
@
%$ Průhyb, od nosníků I180 + stálé zatížení + proměnné zatížení, se spočítá tak, že se vydělí maximální ohybový moment duálního nosníku jeho tuhostí EI: pqrs =
t
(7.7)
%$Dosazeno do (7.7) pqrs =
,C*45 ,*
%$=
,C*45 ,*
( ,,∗,C## ) ∗ (:,4∗,Cju )
= 9,2824 * 10 m
pqrs = 9,2824 mm Průhyb od vlastní tíhy průvlaku je spočítán dle statických tabulek [6]: wq =
:
4*
∗
∗" k
(7.8)
%$Dosazeno do (7.8) wq =
:
4*
:45,* ∗ *,44 k
∗ ( ,,∗,C##) ∗ (:,4∗,Cju) = 0,38456 * 10 m
wq = 0,3846 mm
Celkový průhyb v polovině rozpětí: wcelkové = pqrs + wq
(7.9)
Dosazeno do (7.9) wcelkové = 9,2824 * 10 + 0,3846 * 10 = 9,6670 * 10 m = 9,6670 mm Posouzení průhybu podle platné normy ČSN EN 1993-1-1 (731401) Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí, dle doporučených mezních hodnot svislých průhybů:
Maximální mezní normová hodnota přípustná pro průvlak: w =
a
*CC
=
*44
*CC
= 12,2050 mm
wcelkové ≤ wnormové
(7.10)
Posouzení průhybu dle (7.10) 9,6670 mm ≤ 12,2050 mm
29
VYHOVUJE
8
VÝPOČET POMOCÍ PROGRAMU ANSYS
8.1
Stručná historie ANSYSU V roce 1970 Dr. John A. Swanson založil společnost s názvem Swanson Analysis
Systems, Inc. - zkratka SASI. Jeho hlavním cílem bylo rozvinout a dostat na trh software konečných prvků pro stavební fyziku, který by simuloval statické, dynamické a tepelné problémy převedené na konstrukční systémy. Společnost SASI pracovala na svém projektu zároveň s rozvojem výpočtové techniky. V roce 1994 společnost SASI koupila nová firma. Ta pojmenovala software tak, jak ho známe dnes - ANSYS. [7]
8.2
Základní myšlenka ANSYS je moderní výpočtový program založen na metodě konečných prvků - MKP
(Finite Element Method - FEM ). MKP je metoda pro diskretizaci kontinua (rozdělení tělesa na malé části - prvky), které jsou matematicky snadno popsatelné. Vychází z klasických modelů z nauky o pružnosti: nosníky (beams), skořepiny (shells), rovinná úloha (2D - two dimensional), prostorová úloha (3D - three - dimensional). Pro tuto diskretizaci platí, že je těleso pokryto konečnými elementy, které jsou protnuty ve vybraných uzlech. [8] Kontinuum (těleso) lze rozdělit na konečný počet prvků, z kterých se vytvoří síť prvků. Platí tedy, čím pravidelnější a hustší síť prvků, tím přesnější je výpočet, ovšem za předpokladu vyšších nároků na výkon a paměť počítačové výpočetní techniky.
Obrázek č. 11 - Nahrazení složitého pole polem jednoduchým, za použití prvků [9]
Snažíme se tedy určit ideální rozumnou hranici mezi odchylkou v globálním výpočtu a nároky na konfiguraci počítače.
30
9
TVORBA MKP MODELU
9.1
Popis konstrukce a modelu
Stropní konstrukce je složena z pěti ocelových nosníků profilů I 180 dlouhých 6,000 m, jimiž je podepřený ocelový průvlak délky 4,882 m složen ze dvou k sobě svařených profilů U 220. Stropní konstrukce byla modelovaná v programu ANSYS 13.0. Vzhledem k tomu, že model je složen pouze z ocelových nosníků ze stejného materiálu, stačí zadat na celou konstrukci prvky jednoho typu o stejných materiálových a geometrických vlastnostech. Model bude vytvořen pomocí prvků SOLID 185, kterým se nadefinují vlastnosti skutečného materiálu hustota, Poissonův součinitel, Yangův modul (Modul pružnosti). Pomocí zadání zemské gravitace (tíhové zrychlení) je docíleno zatížení vlastní tíhou nosné konstrukce. Všechno ostatní stálé a nahodilé zatížení bude přepočítáno na zatížení do uzlů a zadáno jako uzlové síly rovnoběžně se směrem globální osy y. Vypočtené hodnoty napětí a průhybu v posuzovaných uzlech konstrukce budou v závěru práce posouzeny na mezní stav únosnosti a použitelnosti.
9.2
Element typu SOLID 185 Prostorové konstrukce se modelují pomocí prvků typu „solid“. Jako vhodný prvek pro
modelování tuhé trojrozměrné struktury byl zvolen element typu SOLID 185. Postup zadání: Preprocessor => Element Type => Add / Edit / Delete => Add Je definován jako osmi uzlový prvek - šestistěn, mající v každém uzlu tři stupně volnosti převedeny do globálních x, y, z souřadnic. Jedná se o základní trojrozměrný objemový prvek, tzv. „brick“ s 24mi stupni volnosti, vhodný pro statickou analýzu. Geometrie a rozmístění uzlů jsou znázorněny na obrázku: [10]
Obrázek č. 12 - Prostorový prvek SOLID 185 31
V praxi se dává přednost použití sítě prvků typu „brick“ (cihla) před použitím prvků typu „tet“ (čtyřstěn). V současnosti neexistují generátory sítě prvků ve tvaru šestistěnu pro obecně tvarované objemy. Objemy je nejprve nutné rozdělit na pravidelné topologicky přípustné podobjemy, a ty potom lze již vykrýt prvky ve tvaru šestistěnu. Abychom zajistili monotónní konvergenci ke správnému řešení, je nutné v deformační variantě konečných prvků dosáhnout toho, aby prvky byly úplné a kompatibilní. Jsou-li tyto podmínky splněny, potom při zjemňování sítě prvků přesnost řešení spojitě roste. [11]. Tomuto elementu byly přiděleny materiálové vlastnosti oceli.
Postup zadání: a) Preprocessor => Material Props => Material Models => Structural => Linear => => Elastic => Isotropic
Zadáno: Yangův modul (modul pružnosti materiálu)
EX = 2,1E11 Pa
Poissonův součinitel
υ = PRXY = 0,3
b) Preprocessor => Material Props => Material Models => Structural => Density
Zadáno: ρ = 7850 kg/m3
Hustota
9.3 Postup modelování ve výpočtovém programu ANSYS PREPROCESSING
1.
Zadání bodů (keypoints) do globálního kartézského souřadnicového systému
2.
Spojení bodů (keypoints) v úsečky (lines)
3.
Nastavení dělení (meshing) úseček
4.
Vytvoření ploch (areas)
5.
Protlačení ploch do prostoru - vznik objemů (volumes)
6.
„Nameshování“ objemů na elementy podle rozdělených úseček (lines)
7.
Zkopírování prvků - vytvoření stropní konstrukce
32
Následující postup tvorby platí s tím rozdílem, že byla pro urychlení tvorby modelu zadána pouze celá čtvrtina profilu, která se následně otočila kolem nově definovaného souřadnicového systému válcového (cylindrického). Tím vznikla polovina profilu, která byla poté opět otočena o 180° kolem dalšího nově definovaného válcového systému. Postup zadání vložení nově definovaného lokálního systému válcového: Utility Menu => WorkPlane => Local Coordinate Systems => Create Local CS => By 3 Keypoints + Vhodné zvolení tří bodů, které určují vlastní lokální souřadnicový systém. V následující tabulce je zvolen souřadnicový systém cylindrický
9.3.1
Zadání bodů (keypoints) do globálního kartézského souřadnicového systému Jako první byly zadány souřadnice (x, y) bodů profilu I 180 dle tabulek ocelových
válcovaných profilů. Postup zadání: Preprocessor => Modeling => Create => Keypoints => In Active CS
Obrázek č. 13 - Body (Keypoints) I 180
33
Postup pro získání informací o bodech (keypointech): Utility Menu => List => Keypoint => Coordinates Only Souřadnice bodů profilu „I“ jsou obsaženy v příloze č. I.
9.3.2
Spojení bodů (keypoints) v úsečky (lines) Spojením dvou bodů vznikne úsečka. Úsečky po obvodu ohraničí daný profil.
Postup zadání: Preprocessor => Modeling => Create => Lines => Lines => In Active Coord
Obrázek č. 14 - Úsečky (Lines) I 180
9.3.3
Nastavení dělení (meshing) úseček V tomto kroku se úsečky rozdělí na části, podle kterých při dělení vzniknou prvky.
Postup zadání: Preprocessor => Meshing => Size controls => Manual size => Lines => Picked lines Zde se zadá buď velikost jednotlivých částí, anebo počet částí, na který má být úsečka rozdělena. Daný profil je rozdělen po výšce na osm částí. 34
Obrázek č. 15 - Rozdělení úseček (Meshed lines) I180
9.3.4
Vytvoření ploch (areas) Po rozdělení profilu na části lze vytvořit plochy z úseček pomocí zadaného příkazu.
Preprocessor => Modeling => Create => Areas => Arbitrary => By Lines
Obrázek č. 16 - Plochy (Areas) I 180
35
Pro postup při tvorbě průvlaku je použit stejný postup, který byl aplikován na model profilu „I“, a to: 1. Zadání bodů (keypoints) do globálního kartézského souřadnicového systému (y, z) 2. Spojení bodů (keypoints) v úsečky (lines) 3. Nastavení dělení (meshing) úseček 4. Vytvoření ploch (areas) viz Příloha č. II, III
Správné dělení úseček zajistí návaznost uzlů mezi profily „I“ a „U“. Po těchto krocích vznikne průsečík dvou hran průřezů, kde se nachází globální souřadnicový systém.
Obrázek č. 17 - Průsečík dvou hran průřezů - I 180 a 2xU 220
Dále popsanými kroky vznikne prostorový model.
36
9.3.5
Protažení ploch podél úseček do prostoru - vznik objemů (volumes) Všechny plochy „I“ profilu jsou taženy po horních úsečkách průvlaku, tím vznikne
část nosníku. Všechny plochy průvlaku 2xU 220 jsou taženy po spodních úsečkách „I“ profilu. Tímto je dosaženo sestrojení části stropní konstrukce - střet „I“ nosníku s průvlakem. Postup zadání: Preprocessor => Modeling => Operate => Extrude => Areas => Along lines
9.3.6 Rozdělení objemů na elementy podle úseček se zadaným dělením Nyní je třeba objemy rozdělit, čímž se získá model z elementů SOLID 185. Postup zadání: Preprocessor => Meshing => Mesh => Volumes => Mapped 4 or 6 sided
Obrázek č. 18 - Prvky SOLID 185 - Střet „I“ nosníku s průvlakem 37
Všechny nižší části (objemy, plochy, úsečky, body) lze smazat. Dále se pracuje pouze s elementy.
9.3.7
Zkopírování prvků - vytvoření stropní konstrukce Dále je nutné zvolit body, které představují začátek a konec celého nosníku. Body se
spojí v úsečky, které se rozdělí na části. „I“ nosník je tažen po vzniklých úsečkách.
Obrázek č. 19 - Prvky SOLID 185 - Celý nosník „I“ profilu s částí průvlaku
Tato část je zkopírována o osovou vzdálenost nosníků 1,200 m v kartézském globálním souřadnicovém systému ve směru globální osy X 5x včetně již vymodelované části. Postup zadání: Preprocessor => Modeling => Copy => Volumes Vzniklé mezery mezi nosníky jsou vyplněny průvlakem - stejný způsob (KPs, lines, size controls picked lines, extrude along lines).
Tímto je dokončeno modelování prostorové stropní konstrukce. 38
Obrázek č. 20 - MKP model celé stropní konstrukce
Obrázek č. 21 - Detail MKP modelu stropní konstrukce 39
Před zadáním zatížení a uložení je nutné konstrukci tzv. „vyčistit“, tj. smazat postupně všechny přebývající, či zdvojené části (objemy, plochy, úsečky, body) konstrukce. Preprocessor => Modeling => Delete => Volumes (areas, keypoints) Pro zajištění jednotného stropu bez jakýchkoliv odchylek, či mezer je třeba model sloučit a zkomprimovat číslování elementů. Příklad: Dva oddělené, ale shodné uzly jsou nahrazeny jedním shodným uzlem. Uzel s vyšším číslem je smazán a je nahrazen uzlem s nižším číslem. Děje se tak dvěma příkazy: Preprocessor => Numbering Ctrls => Merge Items Preprocessor => Numbering Ctrls => Compress numbers Po těchto krocích je model celého stropu složen pouze z elementů SOLID 185. Celkový počet elementů celé stropní konstrukce - 19560 SOLID 185
9.4 Zadání uložení a zatížení Postup k výpočtu 1. Zadání okrajových podmínek 2. Zadání zatížení 3. Výpočet 9.4.1
Zadání okrajových podmínek Pro zadání okrajových podmínek do modelu je nutné dodržet podmínky skutečného
uložení konstrukce nebo alespoň přiblížit v nejbližší možné míře. Vzhledem k dané konstrukci a způsobu technologie bude uvažováno prosté uložení celé konstrukce. Z jedné strany nosníků je zabráněno posuvům ve směru globálních souřadnic „y“ a „z“. Z druhé strany nosníku je zabráněno posuvu pouze v globálním směru souřadnic „y“. U průvlaku bude taktéž uvažováno prosté uložení. Avšak z jedné strany průvlaku je zabráněno posuvům ve směru globálních souřadnic „x“, „y“ a na druhé straně pouze v globálním směru souřadnic „y“. Okrajové podmínky byly vloženy do uzlů (nodes) tak, aby demonstrovaly skutečnost uložení. Zabránění posuvům bylo pouze uzlům na spodním líci nosníků. Postup zadání: Solution => Define Loads => Apply => Structural => Displacement => On Nodes 40
Obrázek č. 22 - Okrajové podmínky celé stropní konstrukce Názorný příklad, kam a jakým způsobem se umístily okrajové podmínky - do uzlů u spodního okraje profilů.
Obrázek č. 23 - Detail umístění okrajových podmínek - prosté uložení 41
9.4.2
Zadání zatížení na mezní stav použitelnosti Veškeré zatížení, které působí na konstrukci, bylo na začátku spočítané jako liniové
zatížení na jeden běžný metr délky. Zadání zatížení do modelu je provedeno ve dvou krocích.
V prvním kroku bylo použito tíhové zrychlení pro zadání vlastní tíhy ocelových nosníků. Ve směru globální osy Y bylo zadáno tíhové zrychlení o velikosti 9,81 m/s-2. Pozitivní zrychlení ve směru y stimuluje gravitaci v negativním, záporném směru globální osy Y. Tudíž je zadaná kladná hodnota tíhového zrychlení. V modelu se objeví červená svislá šipka v počátku globálního souřadnicového systému.
Postup zadání: Solution => Define Loads => Apply => Structural => Inertia => Gravity => Global
Ve druhém kroku je zadáno ostatní stálé a proměnné zatížení, které je přepočítané z liniového zatížení na zatížení do uzlů. Rovnoměrné spojité zatížení: g = g0 + g1 + qk - g 3,4C
(9.1)
Dosazeno do vztahu (9.1) g = 2,9676 + 1,1938 + 1,8 - 0,219 = 5,7424 kN/m = 5742,4 N/m
Toto zatížení je rozpočítané do uzlových sil, dle vzdálenosti uzlů, čili velikosti elementu, tj. roznášecí délka ke každému uzlu (viz Příloha č. IV). Jiné (hustší) dělení elementů je zapříčiněno návazností uzlů mezi profily „I“ a „U“.
Postup zadání: Solution => Define Loads => Apply => Structural => Force/ Moment => On Nodes
Vzhledem k tomu, že je délka jednotlivých prvků různá, je důležité správnému uzlu přidat správnou uzlovou sílu (náhradní břemeno).
42
Obrázek č. 24 - Zatížení na celou stropní konstrukci
Obrázek č. 25 - Detail: okrajové podmínky + zatížení na uzly 43
Obrázek č. 26 - Detail: okrajové podmínky + zatížení na uzly + gravitace
9.4.3
Zadání zatížení na mezní stav únosnosti Zadání zatížení na mezní stav únosnosti je složitější. Je nutné zadat návrhové hodnoty
zatížení jak stálého a proměnného, tak i návrhové hodnoty zatížení vlastní tíhou. Děje se tak ve dvou etapách:
I.
Pro stálé a proměnné zatížení jsou hodnoty vynásobeny dílčími součiniteli zatížení a
přepočítány na zatížení do uzlů, viz Příloha č. IV. 2, stejně jako v předešlé podkapitole (9.4.2)
II.
Pro zatížení vlastní tíhou nosníků a průvlaku je třeba zadat zatěžovací stav ZS 1 tím,
že je použito gravitace - zadání tíhového zrychlení 9,81 m/s2 (viz. 9.4.2). Tento zatěžovací stav je nutné zapsat a vynásobit jej dílčím součinitelem zatížení 1,35. Pro takto zvolený způsob cesty zadání návrhové vlastní tíhy je zvolen postup za pomoci použití zkratek:
44
1.
Solution => Define Loads => Apply => Structural => Inertia => Gravity => Global
9,81 m/s-2
2.
lswrite,1
- zapsání zatěžovacího stavu vlastní tíhy
3.
lssolve,1
- výpočet zatěžovacího stavu
4.
lcfact,1,1.35 - na zatěžovací stav použit dílčí součinitel zatížení 1,35
5.
lcase,1
9.4.4
Výpočet
- ukončení procesu
Jako poslední krok před zobrazením výsledků je třeba zadat výpočet stropní konstrukce. Výpočet bude proveden lineární statickou analýzou.
Postup zadání: Solution => Solve => Current LS
45
10
VÝSLEDKY - (POSTPROCESSING)
Po práci ve výpočtové části (Preprocessoru) se otevře a rozvětví další úsek programu, a to část výsledková (tzv. General Postprocessor). Zde se nachází všechny potřebné výsledky, ať již grafického nebo textového výstupu. Výpočet je zaměřen na posouzení únosnosti a použitelnosti stropní konstrukce. V následujících krocích budou vygenerovány grafické výstupy s hodnotami maximálních deformací a normálových napětí nejvíce namáhaných ocelových nosníků - prostřední nosník profilu I 180 stropní konstrukce a ocelový průvlak profilu 2xU 220. Možné odchylky od ručního výpočtu, které jsou způsobené zejména na nosnících profilu „I“, jsou zapříčiněny především bodovým podepřením průvlaku uvažované v ručním statickém výpočtu. Napětí se nekoncentruje do jednoho místa (bodu), nýbrž se rozprostře na plochu šířky průvlaku. Tak vznikají ve stejném posuzovaném místě konstrukce rozdílné hodnoty napětí. Mezní hodnoty jsou ve skutečnosti jinde, jak dále ukazuje ANSYS.
Grafický výstup normálových napětí pro nosník I 180 Postup zadání: General Postprocessor => Plot Results => Contour Plot => Nodal Solution V následující tabulce: „Contour Nodal Solution Data“ se zvolí Stress => Z - Component of Stress
Grafický výstup normálových napětí pro průvlak 2x U220 Postup zadání: General Postprocessor => Plot Results => Contour Plot => Nodal Solution V následující tabulce: „Contour Nodal Solution Data“ se zvolí Stress => X - Component of Stress
Grafický výstup deformací - průhybu Postup zadání: General Postprocessor => Plot Results => Contour Plot => Nodal Solution V následující tabulce: „Contour Nodal Solution Data“ se zvolí DOF Solution => Y Component of Displacement
46
10.1 Normálové napětí na mezní stav únosnosti 10.1.1 Nosník I180
Pro posouzení napětí na MSÚ je třeba sečíst hodnoty maximálních napětí z obou zatěžovacích stavů: ZS1: vlastní tíha nosné konstrukce + ZS2: ostatní stálé zatížení a proměnné zatížení.
Obrázek č. 27 - Normálové napětí na nejvíce namáhaném nosníku od ZS 1
Pro normálové napětí pouze od vlastní tíhy nosné konstrukce, ZS 1, je největší hodnota v dolních vláknech 0,494E07 Pa = 4,94 MPa.
Pro normálové napětí od ostatního stálého a proměnného zatížení,ZS 2, je největší hodnota v dolních vláknech 0,100E09 Pa = 100 MPa.
47
Obrázek č. 28 - Normálové napětí na nejvíce namáhaném nosníku od ZS 2
Celkové největší napětí v dolních vláknech nosníku I 180 je součet dvou zatěžovacích stavů: 4,94 MPa + 100,00 MPa = 104,94 MPa. Toto napětí je v závěru posuzováno dle platné normy [5].
10.1.2 Průvlak 2xU 220
Hodnoty napětí na průvlaku jsou opět sečteny od ZS 1 (vlastní tíha nosné konstrukce) s hodnotami napětí od ZS 2 (zatížení ostatní stálé a proměnné). Pro posouzení jsou brány napětí na dolních vláknech ve středu délky průvlaku. Celkové největší napětí v dolních vláknech průvlaku 2xU 220 je součet dvou zatěžovacích stavů: 7,64 MPa + 117,00 MPa = 124,64 MPa. Toto napětí je v závěru posuzováno dle platné normy [5].
48
Obrázek č. 29 - Normálové napětí od ZS1 na průvlak - detail: Hodnota napětí 0,764E07 Pa
Obrázek č. 30 - Normálové napětí od ZS2 na průvlak - detail: Hodnota napětí 0,117E09 Pa 49
10.2 Normálové napětí na mezní stav použitelnosti 10.2.1 Průvlak 2xU 220
Hodnoty zatížení sil do uzlů na mezní stav použitelnosti jsou přepočítány v Příloze č. IV.
Postup zadání: General Postprocessor => Plot Results => Contour Plot => Nodal Solution V následující tabulce: „Contour Nodal Solution Data“ se zvolí Stress => X - Component of Stress
Obrázek č. 31 - Normálové napětí na průvlaku 2xU 220
50
Obrázek č. 32 - Normálové napětí na průvlaku 2xU 220 - detail střední části průvlaku
Hodnota napětí dolních vláken ve zjišťovaném průřezu dle ANSYSU činí 0,896E+08 Pa = 89,600 MPa
10.3 Deformace (průhyb) na mezní stav použitelnosti Postup zadání: General Postprocessor => Plot Results => Contour Plot => Nodal Solution V následující tabulce: „Contour Nodal Solution Data“ se zvolí DOF Solution => Y Component of Displacement
51
Obrázek č. 33 - Průhyb ve směru globální osy Y na celé konstrukci
10.3.1 Průhyb na nejvíce namáhaném nosníku I 180
Obrázek č. 34 - Maximální průhyb ve směru globální osy Y na nosníku I180 Hodnota maximálního průhybu vypočtena pomocí ANSYSu činí -0,012414 m = -12,414 mm 52
10.3.2 Maximální průhyb na průvlaku 2xU 220
Obrázek č. 35 - Maximální průhyb ve směru globální osy Y na průvlaku 2xU 220
Hodnota maximálního průhybu vypočtena pomocí ANSYSu činí -0,009799 m = -9,7990 mm
53
11
KONTROLA VÝSLEDKŮ
Ověření správnosti výsledků z programu ANSYS
K ověření správnosti výsledků, které jsou získány z programu ANSYS, je použit ruční statický výpočet v kapitole 7. Pro porovnání byl vybrán největší průhyb průvlaku 2xU 220. K maximálním průhybům dochází v polovině světlé délky rozpětí nosníků. Další výsledky, a to napětí, jsou vztaženy k odpovídajícím průřezům maximálních deformací. Odlišnost hodnot z ANSYSu od hodnot ručního statického výpočtu je dána skutečností, že výpočtový program posuzuje stropní konstrukci jako nosníkový rošt, tudíž konstrukci několikrát staticky neurčitou, kde deformace a napětí spolupůsobí po celé konstrukci. Pro ověření výpočtu programem ANSYS s ručním výpočtem byl porovnán průvlak.
11.1 Průvlak 2xU220 11.1.1 Srovnání napětí - Mezní stav únosnosti
Hodnoty na dolních vláknech vypočítané ručním statickým výpočtem 131,219 MPa Hodnoty na dolních vláknech získané pomocí programu ANSYS 124,640 MPa Odchylka 5,27 %.
11.1.2 Srovnání napětí - Mezní stav použitelnosti
Hodnoty na dolních vláknech vypočítané ručním statickým výpočtem 94,163 MPa Hodnoty na dolních vláknech získané pomocí programu ANSYS 89,600 MPa Odchylka 5,09 %.
11.1.3 Srovnání průhybu - Mezní stav použitelnosti
Hodnoty vypočítané ručním statickým výpočtem 9,6670 mm Hodnoty získané pomocí programu ANSYS 9,7990 mm Odchylka 1,37 %.
Vzhledem k malým odchylkám mezi ručním statickým výpočtem a programem ANSYS lze očekávat správnost modelu a dostatečně husté dělení modelu na konečné prvky. 54
12
ZÁVĚR
Vytvoření konečně prvkového modelu ocelové stropní konstrukce v programu ANSYS 13.0 bylo nutné přepočítat spojité rovnoměrné zatížení na zatížení do uzlů na osu nosníků a vlastní tíhu nosné konstrukce zatížit tíhovým zrychlením. Výsledky ručního statického výpočtu odpovídají výsledkům z ANSYSu, a tak vytvořený MKP model lze považovat za ekvivalentní. Dostatečně husté dělení modelu na konečné prvky je vyhovující.
Vyhodnocení výsledků Hodnoty maximálních deformací a napětí získané programem ANSYS jsou porovnány a vyhodnoceny s maximálně přípustnými hodnotami uvedené v normě ČSN EN 1993-1-1 (731401) Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí. Účinky mezních hodnot použitelnosti závisí na vztahu účinků předpokládaných zatížení a provozních požadavků z hlediska řádného plnění požadované funkce konstrukce. Při mezním stavu použitelnosti se posuzuje, zda účinky od provozního výpočtového zatížení nejsou větší než mezní hodnoty pružných průhybů a dynamických účinků. [5]
12.1 Nosník I 180 12.1.1 Napětí - mezní stav únosnosti
Hodnoty získané pomocí programu ANSYS
P = 104,940 MPa
Normové hodnoty:
fM; = 235,000 MPa
viz (4.12)
P ≤ fM; 104,940 MPa ≤ 235,000 MPa
VYHOVUJE
12.1.2 Průhyb - mezní stav použitelnosti Hodnoty získané pomocí programu ANSYS:
wA = 12,4140 mm
Normové hodnoty pro nosníky:
wnormové =
viz (7.10)
a
:C
=
*CCC
:C
wA ≤ wnormové 12,4140 mm ≤ 16,0000 mm
55
VYHOVUJE
= 16,0000 mm
12.2 Průvlak 2xU 220 12.2.1 Napětí - mezní stav únosnosti
Hodnoty získané pomocí programu ANSYS:
P = 124,640 MPa
Normové hodnoty:
fM; = 235,000 MPa
viz (4.12)
P ≤ fM; 124,640 MPa ≤ 235,000 MPa
VYHOVUJE
12.2.2 Průhyb - mezní stav použitelnosti Hodnoty získané pomocí programu ANSYS:
wA = 9,7990 mm
Normové hodnoty pro průvlak:
wnormové =
viz (7.10)
a
*CC
=
*44
*CC
= 12,2050 mm
wA ≤ wnormové 9,7990 mm ≤ 12,2050 mm
VYHOVUJE
Závěr Vypočtené maximální hodnoty pomocí programu ANSYS jsou menší než normové mezní průhyby a napětí. Zadaná stropní konstrukce vyhovuje z hlediska únosnosti i použitelnosti pro obytné budovy. Výsledky prokázaly, že navržená stropní konstrukce vyhoví jak z hlediska maximálního napětí, tak pro maximální průhyb. Vytvořený MKP model stropní konstrukce je oprávněný a jeho výsledky lze považovat za správné. Pomocí výše popsaného modelu lze zjistit hodnoty potřebných napětí a deformací v kterémkoli průřezu nebo uzlu konstrukce. Současně umožňuje zobrazení napětí a deformace na celém modelu. Toho lze využít při dimenzování jednotlivých nosných prvků konstrukce.
56
SEZNAM ZKRATEK A
… obsah plochy celého průřezu [mm2]
Iy; Iz
… moment setrvačnosti průřezu k ose y; z [mm4]
Wy; Wz
… průřezový modul k ose y; z [mm3]
γ,
… součinitel stálého zatížení
γ,
… součinitel proměnného zatížení
Gk,j = ∑g0
… zatížení stálé - od stropní konstrukce
Gk,i = ∑g₁
… zatížení stálé - od podlahy
Qk = qk
… zatížení proměnné - užitné
g
… zatížení pro mezní stav únosnosti
g
… zatížení pro mezní stav použitelnosti
αw ; βw
… deformační úhly
φw
… skutečná pootočení
Mz , M9 , M{
… nepodporové momenty
E
… modul pružnosti oceli
I
… moment setrvačnosti průřezu
EI
… ohybová tuhost
Rya
… svislá reakce v podpoře „a“
Ryb
… svislá reakce v podpoře „b“
Ryc
… svislá reakce v podpoře „c“
γC
… dílčí součinitel spolehlivosti materiálu
fM;
… mez kluzu oceli
σ
… napětí v dolních vláknech nosníku
g _`;a;
… zatížení od podlahy na průvlak z levé; z pravé strany průvlaku
g bcd`_a
… zatížení od stropní konstrukce na průvlak z levé; z pravé strany průvlaku
q fa;
… proměnné zatížení na průvlak z levé; z pravé strany průvlaku
γc
… objemová tíha oceli
γ- ; γ
… součinitelé zatížení stálého; proměnného
g0
… charakteristická hodnota vlastní tíhy průvlaku
god
… návrhová hodnota vlastní tíhy průvlaku
∑q a ; ∑q
… součet rovnoměrného spojitého zatížení zleva; zprava
Q
… osamělá síla působící na průvlak v ose nosníku „I“ 57
Q/2
… krajní osamělá síla na průvlak v ose nosníku „I“
MMAX
… maximální ohybový moment
MD;
… mezní normový ohybový moment
w
… průhyb od nosníků I180 + stálé zatížení + proměnné zatížení
wq
… průhyb od vlastní tíhy průvlaku
wcelkové
… celkový průhyb v polovině rozpětí
wnormové
… mezní normová hodnota průhybu
υ = PRXY
… Poissonův součinitel
ρ
… hustota
58
POUŽITÁ LITERATURA [1]
KUČERA, Václav. „Hurdisky“: Do roka a do dne. [online]. 12/2001, roč. 200. Dostupné z: http://www.stavlisty.cz/2001/12/hurdis.html
[2]
Poruchy stropních konstrukcí. Koumak.cz [online]. [cit. 2012-05-20]. Dostupné z: http://www.koumak.cz/stavba-krok-za-krokem/poruchy-stropni-konstrukce/
[3]
FLACHS, Alois. HURDIS A HURDIS PRAHA, s.r.o. Technická příručka pro projektanty a stavitele. Praha, 2001
[4]
ČSN EN 1991-1-1 Eurokód 1: Zatížení konstrukcí: Část 1-1: Obecná zatížení – Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb. Praha: Český normalizační institut, 2003
[5]
ČSN EN 1993-1-1 (731401) Eurokód 3: Navrhování ocelových konstrukcí: Část 1-1: Obecná pravidla a pravidla pro pozemní stavby. Praha: Český normalizační institut, 2005
[6]
HOŘEJŠÍ, Jiří a Jan ŠAFKA. Statické tabulky: Technický průvodce 51. 1. vyd. Praha: SNTL - Nakladatelství technické literatury, 1987
[7]
Ansys: History. In: Wikipedia: the free encyclopedia [online]. San Francisco (CA): Wikimedia Foundation, 2001-. Dostupné z: http://en.wikipedia.org/wiki/Ansys#ANSYS_History
[8]
METODA KONEČNÝCH PRVKŮ V MECHANICE KONSTRUKCÍ. ŠPANIEL, Miroslav. Http://mechanika2.fs.cvut.cz. Praha, 2001 [cit. 2012-05-20]. Dostupné z: http://mechanika2.fs.cvut.cz/old/pme/examples/TEXTY/intro/teor_mkp.html
[9]
HRUBÝ, Jiří. METODA KONEČNÝCH PRVKŮ: 1. panel. 345.vsb.cz [online]. VSB - Technical University Ostrava: Faculty of Mechanical Engineering [cit. 2012-05-20]. Dostupné z: http://www.345.vsb.cz/jirihruby/Vmt/MKP_panel1.pdf 59
[10]
Release 13.0 Documentation for ANSYS
[11]
SALAJKA, Vlastislav. PRUŽNOST A PLASTICITA: Přednášky CD03 doc. Ing. Vlastislav Salajka, CSc. © 2010.
60
PŘÍLOHY Seznam příloh: Příloha č. 1 - Výkres stropu Příloha č. I - Seznam souřadnic všech bodů I 180 Příloha č. II - Seznam souřadnic všech bodů U 220 Příloha č. III - Průřez 2x U 220 Příloha č. III. 1 - Souřadnice bodů průřezu 2xU 220 Příloha č. III. 2 - Úsečky (lines) průřezu 2xU 220 Příloha č. III. 3 - Rozdělené úseček (Meshed lines) průřezu 2xU 220 Příloha č. III. 4 - Plochy (Areas) průřezu 2xU 220 Příloha č. IV - Výpočet zatížení do uzlů na nosník I 180 Příloha č. IV. 1 - Hodnoty zatížení bez vlastní tíhy nosníku pro výpočet průhybu - MSP Příloha č. IV. 2 - Hodnoty zatížení bez vlastní tíhy nosníku pro výpočet napětí - MSÚ
61
