Úvod do analýzy časových řad

VŠB – TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA

APLIKOVANÉ

MATEMATIKY

Úvod do analýzy časových řad [Zadejte podtitul dokumentu.] Martina Litschmannová

2010

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD

Popis časových řad Časová řada je numerická proměnná, jejíž hodnoty podstatně závisí na čase, v němž byly získány (posloupnost chronologicky uspořádaných pozorování). Časové okamžiky, kdy byla data získána, jsou od sebe většinou stejně vzdáleny. Jde například o   

počty vyrobených předmětů v jednotlivých měsících, počty automobilových nehod na Barandovském mostě v jednotlivých měsících, denní produkce mléka Veselé krávy.

Popis pomocí popisných statistik (krabicové grafy, stem & leaf) – poskytuje dobrou představu o vlastnostech časové řady jako jednoho celku dat, ale neposkytuje informace o jejím časovém vývoji (dojivost krávy Milky). Základní pojmy

Časové řady lze klasifikovat podle různých hledisek, např.: podle charakteru dat, jejichž hodnoty tvoří časovou řadu 

časové řady intervalové - data závisí na délce intervalu, který je sledován (např. měsíční výroba cementu v ČR)



časové řady okamžikové - data se vztahují k určitému okamžiku (počet zaměst.v podniku v r. 1990 – 1995 (viz. Př. 1.3))

podle periodicity, s jakou jsou data sledována 

časové řady údajů ročních



časové řady krátkodobé

podle druhu sledovaných dat 

časové řady absolutních ukazatelů – měsíční výroba cementu



časové řady odvozených charakteristik – např. časová řada kumulativní (aktuální stav výroby cementu)

Martina Litschmannová

Strana 2

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Očištění časové řady o důsledky kalendářních variací

Chceme-li porovnávat jednotlivé hodnoty u intervalových krátkodobých časových řad, musí se tyto hodnoty vztahovat ke stejně dlouhým časovým intervalům. Očištění na měsíce 

standardní měsíc o délce 30 dnů – údaj za každý měsíc se vydělí počtem dnů v měsíci a vynásobí se 30, součet měsíčních údajů za rok potom odpovídá „roku“ o délce 360 dní



standardní měsíc o délce 365/12 dnů – součet měsíčních údajů za rok odpovídá délce roku 365 dní

očištění na pracovní dny – provádí se obdobně jako očištění na měsíce

Shrnování údajů časových řad



intervalové řady – shrnování se provádí pomocí prostých součtů nebo aritmet. prům.



okamžikové řady – shrnování se provádí v případě stejných vzdálenosti mezi jednotlivými okamžiky pomocí prostého chronologického průměru, v případě nestejných vzdálenosti pomocí váženého chronologického průměru Nechť časovým okamžikům t1, t2, …, tn odpovídají hodnoty časové řady y1, y2 …, yn:

Prostý chronologický průměr:

y y1  y 2  ...  y n 1  n 2 2 n 1

Vážený chronologický průměr:

𝑦1 + 𝑦2 𝑦 +𝑦 𝑦 +𝑦 𝑡2 − 𝑡1 + 2 2 3 𝑡3 − 𝑡2 + ⋯ + 𝑛 −12 𝑛 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1 2 𝑡𝑛 − 𝑡𝑛−1


Strana 3

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Základní charakteristiky časových řad

Charakteristiky, které si dále uvedeme vyžadují stejnou délku časových intervalů v intervalových časových řadách nebo stejné vzdálenosti mezi okamžiky zjišťování v okamžikových časových řadách. 

Absolutní přírůstky ∆ 1 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡 − 𝑦𝑡−1 ,

𝑡 = 2,3, … , 𝑛

∆ 2 𝑦𝑡 = ∆ 1 𝑦𝑡 − ∆ 1 𝑦𝑡−1 ,

𝑡 = 3,4, , … , 𝑛

atd. 

Průměrný absolutní přírůstek 1

∆= 𝑛−1 

𝑦 𝑛 −𝑦1 𝑛−1

∆ 1 𝑦𝑡 𝑦 𝑡−1

=

𝑦 𝑡 −𝑦 𝑡−1 𝑦 𝑡−1

, 𝑡 = 2,3, … , 𝑛

Koeficienty růstu kt 



𝑦𝑡 =

Relativní přírůstky 𝛿𝑡 =



𝑛 1 𝑡=2 ∆

yt yt 1

t  2,3,..., n

Průměrný koeficient růstu

k  n1 k 2 k 3 ...k n  n 1

yn y1

Př. 1: Měsíční výroba cementu v ČR během roku 1991 tvoří časovou řadu 536, 384, 727, 789, 817, 798, 817, 816, 817, 765, 675, 358 (v tis. tun). Pro účely srovnání měsíční produkce cementu sestavte časovou řadu produkcí pro standardní měsíc o délce 30 dnů a 365/12 dnů. Řešení: Pro očištěnou výrobu v lednu platí (výchozí i očištěné údaje jsou uvedeny v následující tabulce): a) standardní měsíc o délce 30 dnů 536 .30  518,71 31


Strana 4

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD b) standardní měsíc o délce 365/12 dnů 536 365 .  525,21 31 12

Pro další měsíce provedeme očištění podobně.

Měsíc Výroba Počet dní v měsíci Výroba za 30 dnů Výroba za 365/12 dnů Leden 536 31 519 526 Únor 384 28 411 417 Březen 727 31 704 713 Duben 789 30 789 800 Květen 817 31 791 802 Červen 798 30 798 809 Červenec 817 31 791 802 Srpen 816 31 790 801 Září 817 30 817 828 Říjen 765 31 740 751 Listopad 675 30 675 684 Prosinec 358 31 346 351

Př. 2: Na základě údajů následující tabulky určete průměrnou roční výrobu masa v ČR v letech 1986 – 1990: Rok Výroba masa (tis. tun)

1986

1987

1988

1989

1990

1217

1236

1273

1289

1255

Řešení: Jedná se o intervalovou časovou řadu. Pro výpočet průměrné výroby masa použijeme prostý aritmetický průměr: 1217  1236  1273  1289  1255  1254 tis.tun živé hmotnosti 5

V letech 1986 – 1990 se v ČR vyrobilo průměrně 1254 tis. tun masa ročně.


Strana 5

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Př. 3: V následující tabulce jsou uvedeny údaje o počtu zaměstnanců určitého podniku. Určete průměrný počet zaměstnanců v podniku v roce 1992. Datum Počet zaměstnanců 1.1.1992 280 1.4.1992 260 1.7.1992 250 1.10.1992 220 1.1.1993 200

Řešení: Jedná se o časovou řadu okamžikovou. Protože mezi jednotlivými okamžiky jsou stejně dlouhé čas. intervaly, použijeme pro výpočet prostý chronologický průměr.

280 200  260  250  220  2 2  242,5 5 1 Průměrný počet zaměstnanců v r. 1992 byl 242,5. Př. 4: Určete průměrný počet obyvatel ČR v letech 1981 – 1990, máte-li k dispozici následující údaje: Rok 1981 1985 1987 1989 1990 Počet obyv. (tis.) 10 303 10 337 10 349 10 362 10 363

Řešení: Jedná se o časovou řadu okamžikovou. Protože mezi okamžiky zjišťování jsou intervaly nestejné délky, použijeme pro výpočet průměrného počtu obyvatel vážený chronologický průměr.

10303 + 10337 10362 + 10363 1985 − 1981 + ⋯ + 1990 − 1989 2 2 = 10337,7 1990 − 1981

Průměrný počet obyvatel ČR v letech 1981 – 1990 byl cca. 10,3 miliónů.

Př. 5: Pro časovou řadu hodnot průměrné měsíční mzdy pracovníků státního a družstevního sektoru národního hospodářství v ČR v letech 1981 – 1990 (2692, 2757, 2808, 2858, 2901, 2944, 3005, 3138, 3247) vypočtěte: Martina Litschmannová

Strana 6

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD absolutní přírůstky a průměrný absolutní přírůstek, b) koeficienty růstu a průměrný koeficient růstu, c) druhé diference. a)

Řešení: t

yt

1 yt

kt

1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990

2692 2757 2808 2858 2901 2944 3005 3070 3138 3247

65 51 50 43 43 61 65 68 109

1,024 1,018 1,018 1,015 1,015 1,021 1,022 1,022 1,035

2  yt

-14 -1 -7 0 18 4 3 41

ada) Absolutní přírůstky jsou uvedeny ve třetím sloupci tabulky (např. 1 y1982  2757  2692  65 ) Průměrný absolutní přírůstek:  

y n  y1 3247  2692   61,67 n 1 10  1

Průměrná měsíční mzda stoupala v letech 1981 – 1990 prům. o 62,-Kč za rok. adb) Koeficienty růstu jsou vypočteny ve čtvrtém sloupci tabulky (např. k1982 

2757  1,024 ) 2692

Průměrný koeficient růstu: k  n 1

y n 9 3247   1,021 y1 2692

Průměrná měsíční mzda stoupala v letech 1981 – 1990 v průměru o 2,1%. adc) Druhé diference (absolutní přírůstky 2. řádu) jsou vypočteny v pátém sloupci (např. ∆2 𝑦1983 = 51 − 65 = −14)


Strana 7


Rozklad časových řad V této části bude naší snahou rozložit časovou řadu na součet (nebo součin) několika složek, z nichž každá bude podstatně jednodušší a bude mít jasnou interpretaci. Těmito složkami budou:    

Trend Dt Sezónní složka St Cyklická složka Ct Náhodná složka Et

Budeme-li se snažit rozložit časovou řadu {Xt} na součet složek, budeme předpokládat, že ho lze zapsat ve tvaru: Xt = Dt + St + Ct + Et Tomuto způsobu rozkladu časové řady říkáme aditivní rozklad. Trend 

Odráží dlouhodobý vývoj (obvykle růst nebo pokles, ale obecně nemusí být tato složka monotónní) daného procesu.



Co je dlouhodobé? (růst teploty během dne z pohledu lyžaře, zemědělce, meteorologa).

Sezónní složka 

Odráží periodické změny, které se mohou v dané řadě projevovat, a jejich perioda je svázána s kalendářem (mají periodu jednu hodinu, jeden den, týden, měsíc, rok, století…).



Velký význam v ekonomii, meteorologii…

Cyklická složka 

Odráží periodické změny, které se mohou v dané řadě projevovat, a jejichž perioda neodpovídá délce nějaké kalendářní jednotky.



V technických vědách se sezónní složka obvykle neuvažuje a všechny periodické jevy se zahrnují do cyklické složky.

Náhodná (reziduální) složka 

Zbývá v časové řadě po odstranění trendu, sezónních a cyklických složek.


Strana 8

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 

Je tvořena náhodnými fluktuacemi, které nemají žádný systematický charakter.

Nadále budeme pracovat vždy s náhodným procesem a s některou jeho realizací. Pro odlišení budeme časové řady označovat velkými písmeny (např. Xt) a jejich konkrétní realizace malými písmeny (např. xt). Znalost každé jednotlivé složky nám umožní například lepší odhad vývoje daného procesu do budoucna (predikci).

Hledání trendu

Všechny metody hledání trendu vycházejí z podobné představy. Uvažujme časovou řadu Xt jako součet nějakého trendu a zbytkového (reziduálního) procesu. Tedy Xt = Dt + Et. Trendovou složku se budeme snažit vyjádřit pomocí nějaké křivky závislé na několika málo parametrech. Chceme-li odhadnout hodnotu trendu v nějakém časovém okamžiku t, musíme eliminovat vliv šumu.

Přehled nejběžnějších trendových křivek

Lineární trend Dt   0  1t

t  1,2,..., n

Odhady parametrů  0 ,1 získáme metodou nejmenších čtverců (viz. lineární regrese).

Kvadratický trend

Dt   0  1t   2 t 2

t  1,2,..., n

Odhady parametrů  0 ,1 , 2 získáme metodou nejmenších čtverců aplikovanou na rovnici transformovanou prostřednictvím substituce ti=ti.


Strana 9

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Exponenciální trend

Dt   0 .1

t  1,2,..., n 1  0

t

Odhad parametrů  0 ,1 získáme metodou nejmenších čtverců aplikovanou na rovnici linearizovanou prostřednictvím logaritmu.

Modifikovaný exponenciální trend

Dt     01

t

t  1,2,.., n

Odhad parametrů provádíme metodou částečných součtů. Soubor n pozorování rozdělíme na 3 stejné velké části o délce m (neplatí-li n = 3m, vynecháme 1 nebo 2 pozorování na začátku) a sečteme pozorování v jednotlivých částech. Odhady k, ai a b parametrů (Dt = k +a0a1t) modifikovaného exponenciálního trendu dostaneme řešením tří nelineárních rovnic: Každá realizace musí vyhovovat rovnici: yt = k + a0a1t m

m

t 1

t 1

 yt  mk  a0  a1 2m



t  m 1

yt  mk  a0

3m



t  2 m 1

t

2m

a

t  m 1

yt  mk  a0

t

1

3m

a

t  2 m 1

t

1

Tyto rovnice upravíme na tvar: m

 yt  mk  a0 a1 t 1

2m



t  m 1

yt  mk  a0 a1

3m



a1  1 a1  1

t  2 m 1

m

m 1

yt  mk  a0 a1

a1  1 a1  1

2 m 1

m

a1  1 a1  1 m

a odtud:


Strana 10

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD n

a1 





yt   yt

t  2 m 1 m 2m t  m 1

𝑎0 = 𝑎

2m

yt 

1

y

t  m 1 m

t

t 1

𝑎 1 −1 𝑎 1 𝑚 −1 2

2𝑚 𝑡=𝑚 +1 𝑦𝑡

−

𝑚 𝑡=1 𝑦𝑡

a 1 yt  a0 a1 1  a1  1 k  t 1 m m

m

Logistický trend Dt 

 t 1   01

Protože

t  1,2,..., n

transformací

  0,1  0

logistického

trendu

modifikovaný exponenciální trend s parametry

na

tvar:

1 1  t   0 1 Dt  

získáme

1 0 , a  1 , lze při odhadu parametru

  aplikovat výše popsanou metodu částečných součtů.

Volba vhodného modelu trendu Při hledání nejvhodnějšího typu trendu vycházíme především z předpokládaných vlastností trendové funkce, vyplývajících z teoretického rozboru. Výběr usnadní grafické znázornění časové řady. Kromě toho lze využít testů založených na jednoduchých charakteristikách čas. řady (viz. níže uvedená tabulka). Trend Lineární Kvadratický Exponenciální Logistický

Test První diference přibližně konstantní Druhé diference přibližně konstantní Koeficienty růstu přibližně konstantní Křivka prvních diferencí se podobá křivce hustoty normálního rozdělení

Při rozhodování mezi několika typy trendových funkcí je vhodné porovnat hodnoty některých následujících charakteristik.


Strana 11

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 

Střední chyba odhadu neboli průměr hodnot reziduí 𝑀. 𝐸. =



𝑛 𝑡=1

𝑛

Střední kvadratická chyba odhadu neboli průměr čtverců reziduí 𝑛 𝑡=1

𝑀. 𝑆. 𝐸. = 

𝑛 𝑡=1

2

𝑦 𝑡 −𝑌𝑡 𝑛

Střední chyba procentuální neboli průměr hodnot reziduí dělených odpovídající hodnotou časové řady (v procentech) 1

𝑀. 𝑃. 𝐸. = 𝑛 

𝑦𝑡 − 𝑌𝑡 𝑛

Střední absolutní chyba odhadu neboli průměr absolutních hodnot reziduí 𝑀. 𝐴. 𝐸. =



𝑦 𝑡 −𝑌𝑡

𝑦 𝑡 −𝑌𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑦 𝑡

∙ 100

Střední absolutní chyba procentuální neboli průměr absolutních hodnot reziduí dělených odpovídající hodnotou časové řady (v procentech) 1

𝑀. 𝑃. 𝐸. = 𝑛

𝑦 𝑡 −𝑌𝑡 𝑛 𝑡=1 𝑦 𝑡

∙ 100

Z uvedených kritérií se nejčastěji používá průměr čtverců reziduí M.S.E. Obecně dáváme přednost modelu, u něhož je hodnota M.S.E. nejnižší.

Př. 6: Pro časovou řadu hodnot spotřeby masa (v kg) na 1 obyvatele v ČR v letech 1982 až 1989 (viz. tab.) vypočtěte průměrný roční přírůstek spotřeby masa pomocí krajních hodnot časové řady, b) pomocí vyrovnání regresní přímkou. c) Odhadněte velikost spotřeby masa v r. 1990 za předpokladu, že se dosavadní charakter časové řady nezměnil. a)


Strana 12

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Řešení: Rok 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 součet

a)  

t 1 2 3 4 5 6 7 8 36

yt 83,9 87,8 88,7 89,3 91,6 93,5 96,1 97,4 728,3

t2 1 4 9 16 25 36 49 64 204

tyt 83,9 175,6 266,1 357,2 458,0 561,0 672,7 779,2 3353,7

 yt

3,9 0,9 0,6 2,3 1,9 2,6 1,3 x

97,4  83,9  1,93 7

Velikost spotřeby masa v r. 1990 lze odhadnout na 99,33 (97,40+1,93) kg/obyvatel. b) Vzhledem k tomu, že hodnoty prvních diferencí lze považovat za stálé (nevykazují ani rostoucí, ani klesající tendenci), můžeme použití lineárního modelu považovat za opodstatněné. Aplikujeme metodu nejmenších čtverců: 𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡 2 …. Součet čtverců reziduí

𝑡

Součet čtverců reziduí minimalizujeme: −2

𝑡

𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡 = 0

−2

𝑡

𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡 𝑡 = 0

Danou soustavu upravíme na tvar: 𝑡

𝑦𝑡 − 𝑛𝑎0 − 𝑎1

𝑡

𝑡𝑦𝑡 − 𝑎0

𝑡

𝑡

𝑡=0

𝑡 − 𝑎1

𝑡

𝑡2 = 0

Řešení nalezneme ve tvaru: 𝑡

𝑎0 = 𝑎1 =

𝑦𝑡

𝑛 𝑛

𝑡

𝑛

− 𝑎1

𝑡𝑦 𝑡 − 𝑡

𝑡2−

𝑡

𝑡

𝑡

𝑛 𝑡 𝑡


𝑦𝑡

𝑡

𝑡

2

Strana 13

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Po dosazení:

a1 

8.3353,7  36.728,3  1,82 8.204  36 2

a0 

728,3 36  1,82  82,86 8 8

Dt  82,86  1,82t

Spotřeba masa [kg]

100 95 90 85 80 1980

1982

1984

1986

1988

1990

Yˆ9  D9  82,86  1,82.9  99,22

Velikost spotřeby masa v roce 1990 lze odhadnout na 99,22 kg/obyvatele.


Strana 14

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Př. 7: Uvažujte časovou řadu (viz. tab.) udávající spotřebu másla (v kg) na 1 obyvatele ČSFR v letech 1980 – 1990. Vyrovnejte danou řadu prostřednictvím kvadratického trendu. Odhadněte spotřebu másla v roce 1991. Řešení: Použijeme metodu nejmenších čtverců aplikovanou na transformovaný model vícenásobné regrese. Rok

t = t1

yt

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 součet

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 66

8,3 8,4 8,9 8,6 8,8 8,8 8,7 8,7 8,6 8,5 8,7 94,2

t2 = t12 = t2 t1t2 = t3 1 1 4 8 9 27 16 48 25 125 36 216 49 343 64 512 81 729 100 1000 121 1331 506 4340

t22 = t4 t1yt = tyt t2yt = t2yt 1 16 81 256 625 1296 2401 4096 6561 10000 14641 39974

8,3 16,8 26,7 34,4 44,0 52,8 60,9 69,6 77,4 85,0 95,7 598,6

8,3 33,6 79,2 137,6 220,0 316,8 426,3 556,8 696,6 850,0 1052,7 4377,9

Původní rovnice:

yt  a0  a1t  a2 t 2 Substituce: t1=t, t2=t2 yt  a0  a1t1  a2 t 2

Součet čtverců reziduí: 𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡1 − 𝑎2 𝑡2

𝑡

2

Minimalizace: −2

𝑡

𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡1 − 𝑎2 𝑡2 = 0

−2

𝑡

𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡1 − 𝑎2 𝑡2 𝑡1 = 0

−2

𝑡

𝑦𝑡 − 𝑎0 − 𝑎1 𝑡1 − 𝑎2 𝑡2 𝑡2 = 0

Po úpravě: 𝑡

𝑦𝑡 − 𝑛𝑎0 − 𝑎1


𝑡

𝑡1 − 𝑎2

𝑡

𝑡2 = 0

Strana 15

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 𝑡

𝑡1 𝑦𝑡 −

𝑡

𝑡1 𝑎0 − 𝑎1

𝑡

𝑡1 2 − 𝑎2

𝑡

𝑡2 𝑦𝑡 −

𝑡

𝑡2 𝑎0 − 𝑎1

𝑡

𝑡1 𝑡2 − 𝑎2

𝑡1 𝑡2 = 0

𝑡 𝑡

𝑡2 2 = 0

V řešení této soustavy (tři rovnice o třech neznámých) spočívá práce statistických programů určených k zpracování časových řad (přesněji, k hledání kvadratických trendů).

Spotřeba másla [kg]

9 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8,2 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992

Dt  8,23  0,16t  0,012t 2 Spotřebu másla v roce 1991 odhadneme prostřednictvím trendu jako D12. D12 = 8,23 + 0,16.12 --0,012.122 = 8,42 kg / obyvatele. V roce 1991 odhadujeme spotřebu másla 8,42kg/obyvatele.

Př. 8: Pro časovou řadu růstu zisku (v tis. dol.) důlní společnosti (viz. tab.) v prvních šesti letech, určete průměrný koeficient růstu: pomocí krajních hodnot časové řady, b) pomocí vyrovnání exponenciálním trendem. c) Odhadněte zisk společnosti v následujících dvou letech. a)


Strana 16


t 1 2 3 4 5 6 součet 21

yt 112 149 238 354 580 867 2300

kt 1,330 1,597 1,487 1,638 1,495 x

t2 1 4 9 16 25 36 91

ln(yt) 4,72 5,00 5,47 5,87 6,36 6,77 34,19

t.ln(yt) 4,72 10,00 16,41 23,48 31,8 40,62 127,03

Řešení: 867  1,506 , to znamená že zisk společnosti se 112 každý rok zvýšil průměrně o 50,6%.

a) Průměrný koeficient růstu: k  5

Předpověď pro 7.rok: Y7 = 867 . 1,506 = 1305,702 Předpověď pro 8.rok: Y8 = 867 . (1,506)2 = 1966,387

b) Vyrovnání časové řady exponenciální funkcí: Koeficienty růstu nevykazují ani rostoucí ani klesající tendenci, můžeme je tedy považovat za konstantní, tj. můžeme použít exponenciální model trendu.

Dt  a0 a1

t

Pro nalezení koeficientů a0 a a1 transformujeme daný model prostřednictvím logaritmu a použijeme metodu nejmenších čtverců. 𝑙𝑛 𝑦𝑡 = 𝑙𝑛 𝑎0 + 𝑡 ∙ 𝑙𝑛 𝑎1 𝑏0 = 𝑙𝑛 𝑎0

𝑏1 = 𝑙𝑛 𝑎1

Součet čtverců reziduí: 𝑡

ln 𝑦𝑡 − 𝑏0 − 𝑏1 𝑡

2

Minimalizace: −2

𝑡

ln 𝑦𝑡 − 𝑏0 − 𝑏1 𝑡 = 0

−2

𝑡

ln 𝑦𝑡 − 𝑏0 − 𝑏1 𝑡 𝑡 = 0


Strana 17

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Po úpravě: 𝑡

ln 𝑦𝑡 − 𝑛𝑏0 − 𝑏1

𝑡

t ∙ ln 𝑦𝑡 − 𝑏0

𝑡

𝑡=0

𝑡 − 𝑏1

𝑡

𝑡

𝑡2 = 0

Řešení soustavy:

𝑏1 =

ln 𝑦 𝑡 −𝑏1

𝑡

𝑏0 =

𝑡

𝑡

𝑡

𝑡

𝑛 𝑛

𝑡

𝑡∙ln 𝑦 𝑡 − 𝑛

𝑎0 = 𝑒 𝑏 0

𝑡

𝑡2−

𝑡

𝑡

𝑡 2

ln 𝑦 𝑡

𝑎1 = 𝑒 𝑏1

Řešení pro konkrétní případ: b1 

6.127,03  21.34,19  0,42 6.91  212

b0 

34,19  0,42.21  4,23 6

a0  e 4, 23  68,72 a1  e 0, 42  1,52

Dt  68,72.1,52 t

Zisk důlní společnosti [tis. $]

1000 800 600 400 200 0 0

2

4

6

8

Rok

Odhad zisku společnosti v 7. a 8. roce: D7  68,72.1,52 7  1288,21

D8  68,72.1,528  1958,09


Strana 18

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Př. 9: Objem dovozu ze zemí bývalého Sovětského svazu je dán časovou řadou (viz. tab.) udanou v miliardách Kč. Předpokládejte, že se jedná o modifikovaný exponenciální trend. Odhadněte jeho parametry a velikost dovozu v roce 1999.

Rok t 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

1 2 3 4 5 6 7 8 9

yt 57,2 62,8 72,2 81,5 91,6 97,1 99,9 100,4 100,6

Řešení: Odhad parametrů metodou částečných součtů (odvození viz. Modifikovaný exponenciální trend):

Dt  k  a0 a1

n

a1 





yt   yt

t  m 1

1

2m

yt 

t  2 m 1 m 2m

𝑎0 = 𝑎

t

y

t  m 1 m

t

t 1

𝑎 1 −1 𝑎 1 𝑚 −1 2

2𝑚 𝑡=𝑚 +1 𝑦𝑡

−

𝑚 𝑡=1 𝑦𝑡

a 1 yt  a0 a1 1  a1  1 k  t 1 m m

m

n9m3 3

y t 1

t

 57,2  62,8  72,2  192,2


Strana 19

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 6

y t 4

t

 81,5  91,6  97,1  270,2

t

 99,9  100,4  100,6  300,9

9

y t 7

a1  3

300,9  270,2  0,733 270,2  192,2 0,733−1

𝑎0 = 0,733

0,733 3 −1 2

270,2 − 192,2 = −77,322

192,2  77,322.0,733 k

0,7333  1 0,733  1

3

 106,942

Objem dovozu [miliardy Kč]

120 100 80 60 40 20 0 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 Rok

Dt  106,942  77,322.0,733t D10  106,942  77,322.0,73310  103,5

Odhad dovozu ze zemí bývalého Sovětského svazu v roce 1999 je 103,5 miliard Kč.


Strana 20

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Klouzavé průměry

Jinou metodou hledání trendu je vyhlazení původní časové řady, tj. odstranění šumu. Jednou z těchto metod je metoda klouzavých průměrů, kdy se řada původních pozorování nahradí řadou vypočtených klouzavých průměrů. Tato metoda je adaptivní, tzn. dokáže pracovat s trendem, který v čase mění svůj charakter a který tedy nelze popsat jedinou křivkou. Klouzavý průměr je určitou lineární kombinací 2p+1 členů původní řady. Čím větší je délka klouzavého průměru, tím větší je „vyhlazení“ časové řady. V případě, že zvolená délka klouzavého průměru je „lichá“, získáme jejich hodnoty jako obyčejné aritmetické průměry dané délky (prosté klouzavé průměry). Prosté klouzavé průměry Úseky časové řady o délce 2p+1 vyrovnáme tak, že je nahradíme prostým aritmetickým průměrem. yt 

p yt  p  yt  p 1  ...  yt  p 1  yt  p 1 y t i   2 p  1 i  p 2 p 1

t  p  1, p  2,..., n  p

p hodnot na začátku a p hodnot na konci časové řady zůstává nevyrovnáno. Sudá délka klouzavých průměrů se volí jen velmi zřídka. V případě, že délku klouzavých průměrů zvolíme rovnu 2p, používáme tzv. centrovaných klouzavých průměrů. Centrované klouzavé průměry 𝑦𝑡 =

1 𝑦 + 2𝑦𝑡−𝑝+1 + ⋯ + 2𝑦𝑡+𝑝−1 + 𝑦𝑡+𝑝 4𝑝 𝑡−𝑝

𝑡 = 𝑝 + 1, … , 𝑛 − 𝑝

Myšlenka tohoto vyrovnání je prostá. K tomu, aby vyrovnaná hodnota odpovídala danému období, potřebujeme lichý počet členů v klouzavém průměru. Ten získáme nejlépe tak, že místo prvního členu v klouzavém průměru vezmeme průměr první a poslední hodnoty dané periody.Tedy klouzavé průměry mají tvar 𝑦𝑡−𝑝 + 𝑦𝑡+𝑝 + 𝑦𝑡−𝑝+1 + ⋯ + 𝑦𝑡+𝑝+1 1 2 𝑦𝑡 = = 𝑦 + 2𝑦𝑡−𝑝+1 + ⋯ + 2𝑦𝑡+𝑝−1 + 𝑦𝑡+𝑝 2𝑝 4𝑝 𝑡−𝑝


Strana 21

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Př. 10: Časová řada (viz. tab.) udává roční objemy vývozu piv (v mil. l.) z ČSFR v letech 1980 až 1991. Vyrovnejte časovou řadu 3-člennými a 5-člennými klouzavými průměry. Řešení:

Rok

yt

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

215 219 222 235 202 207 187 204 174 172 201 272

3-členné 5-členné klouzavé průměry klouzavé průměry 218,667 225,333 219,667 214,667 198,667 199,333 188,333 183,333 182,333 215

218,6 217 210,6 207 194,8 188,8 187,6 204,6

3-členný klouzavý průměr v roce 1981 =

215  219  222  218,667 3


219  222  235  225,333 3


215  219  222  235  202  218,6 5

atd.

Volba délky klouzavých průměrů

U neperiodických časových řad se nejčastěji používají průměry délky 3, 5, 7. Pokud chceme z naší časové řady odstranit sezónní vliv (např. kolísání hodnot během týdne, měsíce…), využíváme klouzavých průměrů s délkou rovnou délce sezónního období.


Strana 22

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD 550 500 450 400 350 300 0

5

10

15

20

25

Časová řada vyrovnána 3-člennými klouzavými průměry Př. 11: Časová řada 485, 477, 455, 471, 453, 450, 426, 436, 454, 485, 493, 454, 443, 428, 424, 449, 415, 393, 377, 369, 388, 362 představuje týdenní údaje poptávky po určitém výrobku. Znázorněte graficky vyrovnání 3-člennými a 5-člennými klouzavými průměry. Řešení: 500 480 460 440

Data

420

Kl. průměry délky3 Kl. průměry délky 5

400 380 360 0

5

10

15

20

25

Př. 12: V následující tabulce jsou měsíční údaje nákupu mléka v ČR (v mil. l) v letech 1987 – 1990. Vyrovnejte časovou řadu klouzavými průměry.


Strana 23


1987 1988 1989 1990

I

II

III

IV

V

VI

335 333 354 352

312 315 327 327

352 340 367 366

354 339 368 367

398 383 408 408

400 396 405 406

VII VIII 404 404 412 414

405 399 402 392

IX

X

XI

XII

373 377 378 354

365 370 371 351

324 334 338 323

329 345 343 321

Řešení:

420 400 380 360

Data Kl. průměry délky 12

340 320 300 0

10

20

30

40

50

60

12-ti členné klouzavé průměry Jelikož se zřejmě jedná o časovou řadu se sezónní složkou s periodou 12, zvolíme k vyrovnání 12-ti členné klouzavé průměry. (p = 6)

Např. hodnotu y7 určíme jako

335+2 312+352+⋯+324+329 +333 24

= 362,5 atd.

Prvních 6 a posledních 6 hodnot zůstane nevyrovnaných.


Strana 24

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Metoda Končák (vyrovnávání konců čas. řad)

Jak jsme se již dříve dozvěděli, vyrovnáme-li časovou řadu klouzavými průměry (mediány) o délce 2p+1, prvních a posledních p hodnot zůstává nevyrovnaných. Jednou z možností jak konce časových řad vyrovnat je zkopírování posledních vyrovnaných hodnot.

1990

1988

1986

1984

1982

1980

1978

1976

1974

1972

1970

1968

1966

1964

1962

1960

1958

1956

1954

1952

1950

1948

1946

1944

1942

1940

1938

1936

1934

1932

1930

Počet absolventů oboru zemědělství

0 20

Klouzavé mediány délky 5 Data

40 60 80 100 120 140 160

Počet absolventů oboru zemědělství

160 140 120 100 80 60 40

Data

20

Klouzavé mediány délky 5 1930 1932 1934 1936 1938 1940 1942 1944 1946 1948 1950 1952 1954 1956 1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990

0

Z uvedeného grafu je zřejmé, že tento způsob vyrovnávání konců není nejvhodnější. „Rozumnějším“ způsobem se ukazuje postup „KONČÁK“. Vyrovnaná hodnota v posledním časovém okamžiku (ta) by měla odrážet chování časové řady v minulosti i přítomnosti a předvídat její chování v budoucnosti. Reprezentantem přítomnosti je hodnota naměřená v čase ta (ya), reprezentantem minulosti je poslední vyrovnaná hodnota (v čase ta-1). Jako reprezentant budoucnosti se bere hodnota odhadující chování v čase n+1. To je například hodnota protažené úsečky spojující vyrovnané hodnoty v časech n-2 a n-1. Hodnota této úsečky se bere v čase n+1. Jako vyrovnanou hodnotu v čase n pak bereme průměr (median) z reprezentantů minulosti, přítomnosti a budoucnosti. Vyrovnávání počátku časových řad se provádí obdobně. (Ukažte!) Př. 13: Vyrovnejte konce časové řady z příkladu 1.10 metodou Končák. Použijte klouzavé mediány délky 5.


Strana 25

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Řešení:

Rok

yt

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991

215 214 222 235 202 207 187 204 174 172 235 272

5-členné klouzavé mediany 218 218 218 216 211 207 195 189 194 211 235 272

a) Vyrovnání konce:

Reprezentant y1990=235

přítomnosti:

Reprezentant y,1989=211

minulosti:

211+2*17=245

211

211-194=17

194

Reprezentant budoucnosti: 245 1988


přítomnosti:

235+2*24=283


minulosti:

235

1989

1990

1991

235-211=24

211



1990

1991

1992

Strana 26

ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD b) Vyrovnání počátku:


přítomnosti:


minulosti:

218+2*2=222

218 218-216=2 216


Reprezentant přítomnosti:

y1982=215

Reprezentant minulosti:

y,1981=218

1981

1982

1983

1981

1982

218

Reprezentant budoucnosti: 218

1979

1980

*

Vyrovnání konců časových řad 290 Data Kopírování konců Postup Končák

270 250 230 210 190 170 150

1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991


Strana 27


*

Literatura:

1. J. Anděl: Statistická analýza časových řad, SNTL, Praha, 1976 2. Výukové materiály SPSS: Analýza a predikce časových řad, 2010 3. V. Rogalewicz: Stochastické procesy, ČVUT, Praha, 1993 4. E. Jarošová: Statistika B, VŠE, Praha, 1995 5. J. Hanousek, P. Charamza: Moderní metody zpracování dat,GRADA, Praha, 1992


Strana 28

Úvod do analýzy časových řad

Recommend Documents