Univerzita Karlova v Praze – Pedagogická fakulta Katedra pedagogické a školní psychologie
Osvojování pojmů geometrických tvarů v mladším školním věku
Helena Müllerová Psychologie – speciální pedagogika 3. ročník (2003/2004)
OBSAH: 1. ÚVOD ………………………………………………………………………………… 3 2. HISTORIE VÝZKUMU…………………………………………………………...…...3 2.1 Pasportizace školy, třídy………………………………………………………3 2.2 Sběr dat……………………………………………………………...…………4 3. HLAVNÍ MATERIÁLOVÁ ČÁST…………………………………………….…..….4 3.1 Pozorování ve třídě…………………………………………………….……...4 3.1.1 Analýza a interpretace………………………………………....…….7 3.2 Geometrický test…………………………………………………………......12 3.2.1 Analýza a interpretace………………………………………..….....15 3.3 Samostatně zadaný obrazec……………………………………………….…17 3.3.1 Analýza a interpretace…………………………………………..….19 3.4 Hledání geometrických tvarů v okolí – 2.B versus MŠ………………….......23 3.4.1 Analýza a interpretace…………………………………………...…23 4. ZÁVĚR…………………………………………………………………………….….26 5. LITERATURA…………………………………………………………………….….27
2
1. ÚVOD Pro svou práci jsem si vybrala žáky druhé třídy základní školy a zaměřila jsem se na předmět geometrie. Ve druhé třídě mají žáci geometrii ne zatím jako samostatný předmět, ale je jí věnován určitý počet hodin matematiky. Tuto práci jsem se rozhodla věnovat problematice geometrických tvarů a těles. Při pozorování ve třídě jsem si všimla, že některým dětem činí potíže rozpoznávání geometrických tvarů. Zvláště je tomu tak, pokud neleží samostatně, ale jsou součástí nějakého obrazce. Jistě, situace je komplexnější, komplikovanější. Kladla jsem si však otázku, v čem spočívá ona pracnost úkolu pro děti. Jsou-li děti nuceny určitým způsobem „vytáhnout“ jednotlivý tvar z obrázku do popředí a identifikovat ho, tak o jaký druh intelektuální práce jde? Jde především o abstrahování, o odmýšlení nepodstatných odlišností, zvláštností, vztahů, aby se zjistily vlastnosti a vztahy podstatné, obecné? A lze tímto druhem intelektuální práce pracnost daného úkolu vyčerpat? Od samého začátku školní docházky je dětem předkládán, někdy více jindy méně záměrně či cíleně, geometrický náhled na předměty a jejich okolí. Zajímalo mne tedy, jaký má školní výuka, potažmo výuka geometrie v prvních dvou ročnících základní školy vliv na vnímání světa, na to, jak jsou děti schopny vidět geometrické tvary ve svém okolí. V odborné literatuře lze totiž nalézt názor, dle kterého by se dalo geometrické vidění světa považovat za důležitou schopnost, kterou si má dítě ve škole osvojit, aby bylo adaptované naší novověké civilizaci: Již po několik století se lidé dívají na svět geometrickýma očima. Novověká věda si vzala za základ klasický geometrický svět a ocitla se cele v geometrickém prostoru. Geometrické tvary stále více pronikaly do přirozeného reálného světa. Staré pojmy nabývaly nových významů a přirozený svět se začal vlivem geometrie měnit. Cesty byly narovnávány, stejně tak i potoky či řeky, aby se napravila „nedbalost“ přírody. Pole dostávala tvary klasických geometrických obrazců, ulice měst jsou často budovány jako rovnoběžky a kolmice vroubené řadami domů. (Vopěnka, 2001, str. 781-782) 2. HISTORIE VÝZKUMU 2.1 Pasportizace školy, třídy Pro tento výzkum jsem si zvolila základní školu, kterou jsem sama jako dítě navštěvovala. Jedná se o školu situovanou ve vilové čtvrti obklopené lesy na okraji Prahy, na kterou dochází přibližně 550 dětí. Škola má dvě nově zrekonstruované budovy, z nichž větší slouží pro žáky druhého stupně a menší pro žáky prvního stupně. Každou budovu obklopuje hřiště, které se skládá z několika ploch určených na fotbal, volejbal apod. Při budově druhého stupně se také nachází velká nově postavená budova s tělocvičnami. Škola je dle mého názoru docela slušně materiálně vybavena co do zařízení i pomůcek. Jak už jsem výše zmínila, docházela jsem do třídy druhého ročníku. Jednalo se o jednu z alternativních tříd, která se řadí k programu „Začít spolu“. Od této skutečnosti se samozřejmě odvíjelo i samotné vybavení učebny. Každý žák tu pracoval samostatně u jedné lavice, které byly umístěny do půlkruhu. Vzadu ve třídě byla na podlaze umístěna měkká podložka, na kterou si děti při některých hodinách sesedly do kroužku a pracovaly s paní učitelkou. Celá učebna byla vybavena mnoha pomůckami, knihami a výtvory dětí. Rovněž režim vyučování byl přizpůsoben alternativnímu směru. Vyučovací hodiny neohlašovalo zvonění a jejich délka se řídila dle uvážení paní učitelky. Žáci neměli ani žádný pevný rozvrh hodin. Ten učitelka vytvářela pro děti vždy týden dopředu a neobsahoval pevný sled 3
předmětů. Žáci pouze vždy věděli, které předměty budou daný den na programu. Jejich pořadí se opět řídilo podle aktuálních potřeb. 2.2 Sběr dat Jak už jsem uvedla v úvodu, začala jsem za účelem této práce navštěvovat žáky druhého ročníku základní školy, a to ve druhém pololetí. Měla jsem příležitost náslechů v různých předmětech. Po několika návštěvách ve třídě jsem si povšimla potíží žáků s určováním geometrických tvarů, s jejich identifikací a někdy i s jejich vyhledáváním. Po konzultaci s učitelkou jsem vytvořila pro děti test, ve kterém zjišťuji, jak děti umí charakterizovat geometrické tvary, zda je poznají samostatně ležící a především, zda je umí rozpoznat a pojmenovat, jsou-li součástí komplexní figury. Test jsem dětem rozdala a nechala jsem jim dostatek času, aby se s ním seznámily a samostatně ho vypracovaly. Pozorovala jsem je při práci. Do některých úkolů jsem zařadila použití pastelek, spíše pro jejich snazší orientaci (myslím, že děti snáze vidí tvar, který si obtáhnou) a i proto, aby děti úkol více zaujal. Poté jsem si brala každé dítě zvlášť a hovořila jsem s ním o jednotlivých úkolech. Děti mi ukazovaly, co v testu vypracovaly, a já jsem si dělala poznámky. V dalším semestru jsem tuto třídu navštívila znovu. Po analýze předcházejícího testu se totiž objevila nutnost přesnějšího sledování a záznamu práce dětí, aby bylo možné výsledky více konkretizovat. Rovněž pracnost některých úkolů zůstala po prvním testu ne zcela dořešena, proto bylo třeba se na ně znovu a přesněji zaměřit. Děti si mne pamatovaly z předchozích návštěv, kdy jsem se dokonce několikrát na žádost paní učitelky zapojila do vyučování, takže práce s nimi byla velice příjemná. Na základě výsledků výše zmíněného geometrického testu, který jsem dětem zadala, jsem při těchto dalších návštěvách školy dětem (již žákům třetího ročníku) předložila opět obrázek obdobný obrazci z uvedeného testu. Obrázek obsahoval nepatrnou úpravu. Tentokrát jsem si brala postupně jednotlivé žáky. Vždy jsem žákovi půjčila čtvrtku s narýsovaným obrazcem s žádostí, aby mi postupně říkal, jaké trojúhelníky na obrázku vidí. Sama jsem přitom měla stejný obrazec, ovšem s jednotlivými vrcholy označenými písmeny. Zaznamenávala jsem tak přesně dané trojúhelníky, které děti na obrazci objevovaly, i jejich pořadí. Protože jsem chtěla získat představu, v jakém směru ovlivňuje geometrie pohled dětí na předměty v okolí, rozhodla jsem se pro srovnání s dětmi z posledního ročníku mateřské školy. Jak v 2.B tak v mateřské škole probíhalo vše úplně stejně. Sedla jsem si s dětmi do kroužku na zem a doprostřed jsem vždy položila čtvrtku s narýsovaným geometrickým tvarem (trojúhelník, čtverec, obdélník, kruh). Položila jsem dětem otázku: „Co vám tento tvar připomíná, kde jste ho viděly ve svém okolí? Které předměty mají tento tvar?“ Děti si ho prohlédly a říkaly, které věci danému tvaru odpovídají. Jejich odpovědi jsem zapisovala. 3. HLAVNÍ MATERIÁLOVÁ ČÁST 3.1 Pozorování ve třídě První pozorovaná hodina geometrie, 2. B Děti sedí u stolečků a paní učitelka každému rozdává jeden papír, na kterém je obrázek (obr. 1). Učitelka se ptá dětí, co na obrázku vidí. Několik dětí pokřikuje, že je tam jeden čtverec. Dál se ptá učitelka, kolik je na obrázku trojúhelníků. Děti udávají různé počty, učitelka je tedy vyzve, aby se poradily ve skupinkách. Mezitím učitelka překresluje obrázek na tabuli. Pak se ptá znovu.
4
Jako první jde na tabuli ukázat trojúhelníky Lucka a ukazuje jich šest. Učitelka se ptá dětí, jak poznají trojúhelník. Odpovídají, že má tři strany, tři vrcholy. Anika jde na tabuli ukázat sedm trojúhelníků. Učitelka přisvědčuje, že je to správně. Dále vyzve děti, aby si na obrázku našly čtyřúhelníky a vybarvily si je. Opravuje se, že je lépe si je obtáhnout pastelkami. Děti pracují a pak jde první čtyřúhelník obtáhnout na tabuli Klárka a celá třída s ní počítá strany. Další jde obtáhnout Daniel. Učitelka se ptá a třída odpovídá, že jde o čtverec. Učitelka se opět táže, jak poznáme čtverec, a vyzve Denise, který se hlásí a říká, že podle toho, že má čtyři vrcholy a všechny strany stejné. Daniel obtahuje další a učitelka se opět ptá, zda je to také čtverec. Děti odpovídají, že není. Další obtahuje Denis, ale špatně, protože jde o pětiúhelník. Přichází další děvče, které si domyslelo čáru a vytvořilo tak čtyřúhelník. Učitelka ji napomíná, že tak to nejde. Dále si děti mají najít všechny pětiúhelníky. Pak se učitelka ptá: „Jak nakreslíme bod K, který náleží obdélníku?“ Denis se ptá, co je to obdélník, a Honza kreslí na tabuli bod K na stranu obdélníku. Uč.: „Může být bod K ještě jinde než na straně obdélníku?“ Děti neví a tak to učitelka znázorňuje pomocí dřevěného obdélníku a jablka. Denis jde pak nakreslit bod K dovnitř obdélníku. Uč. vyzývá děti, aby nakreslily bod L, který nenáleží obdélníku, a pak aby řekly jednu jeho vlastnost. Terka odpovídá, že náleží pětiúhelníku. Uč.: „Náleží čtverci bod L?“ Děti odpovídají, že ano. Uč.: „Náleží trojúhelníku bod L?“ Děti odpovídají, že nenáleží, pak se opraví, že ano. Pak učitelka rozdává další pracovní papír a říká dětem, že si zahrají na pilota, strojvedoucího a matematika. Navrhnou cesty z Prahy do Písku. Děti nadepisují list a připravují si pravítko a tužku. Na papíře jsou body s městy (viz obr. 2). Instrukce zní: Jedeme z Prahy do Písku a) vlakem přes Čerčany, Benešov a Tábor. Děti rýsují úsečky a spojují body. Uč. se ptá, zda myslí, že je to výhodná trasa. b) vlakem přes Třebáň, Beroun, Zdice a Březnici Uč.: „Kdo má hotovo, zjistí, kolika úhelník mu vznikl.“ Daniel říká že devíti, Anička říká, že sedmiúhelník. Uč. přitakává Aničce a vysvětluje, že Benešov a Březnice jsou body náležející úsečkám. Uč.: „A nyní letíme letadlem přímo z Prahy do Písku.“ Děti rýsují úsečku. Pod obrázkem mají děti tabulku, do které mají zapsat svůj odhad vzdálenosti mezi městy v cm a pak skutečnou vzdálenost, kterou si přeměří. Odhadují a pak měří vzdálenost mezi Pískem a Táborem, Benešovem a Březnicí, Zdicemi a Berounem. Učitelka se ptá, o kolik se děti zmýlily. Kdo o několik milimetrů, kdo o 1 cm, o 2 cm a kdo o více. O více než 2 cm se nezmýlil nikdo. Papír děti mají založit, zítra v něm budou ještě pokračovat.
5
Obrázek č.1
Obrázek č. 2
(Od levého spodního bodu nahoru a pak po směru hodinových ručiček: Písek, Březnice, Zdice, Beroun, Třebáň, Praha, Čerčany, Benešov, Tábor) Druhá pozorovaná hodina geometrie, 2. B Uč.: „Dnes budeme mluvit o nových geometrických tvarech a tělesech. Jaké geometrické útvary znáte?“ Děti: kruh, obdélník, čtverec, trojúhelník, kvádr,….. Uč.: „Stop! Kvádr není geometrický tvar, ale těleso. Jaký je rozdíl mezi trojúhelníkem a čtvercem?“ Děti: „Trojúhelník má tři strany a čtverec má čtyři strany.“
6
Uč.: „Mají něco společného?“ Děti: „Mají vrcholy, úhly, strany.“ Uč.: „Jaký je rozdíl mezi čtvercem a obdélníkem?“ Děti: „Obdélník má jen dvě strany stejné a ne všechny čtyři strany.“ Uč.: „Mají něco společného?“ Děti: „Mají oba čtyři vrcholy, mají čtyři strany a čtyři úhly.“ Uč.: „Jak se nazývá geometrické těleso složené ze samých čtverců?“ Děti: „Kvádr.“ Uč.: „Ne, to není kvádr. Jedná se o krychli. Co všechno víme o krychli?“ Děti: „Krychle je ze samých čtverců, má osm vrcholů, šest stran a dvanáct hran.“ Uč.: „A jak říkáme tomu, z čeho se krychle složí?“ Děti neví… Uč.: „Je to síť krychle.“ Denis ukazuje na krychli, co je to strana, Dan přichází ukázat, kde je vrchol a všichni dohromady je počítají. Uč. se ptá, co je to hrana. Klára ji ukazuje a děti sborově počítají hrany krychle. Uč.: „Ještě známe jedno geometrické těleso. (Děti mlčí.) Je to kvádr.“ Bětka bere dřevěný kvádr a ukazuje, že kvádr má šest stran. Dál neví. Anička ukazuje osm vrcholů. Vrcholy označují písmeny. Hynek po nápovědě ukazuje dvanáct hran kvádru. Uč.: „Jaký je rozdíl mezi krychlí a kvádrem?“ Šárka: „Krychle má všechny strany stejné z čtverců, kvádr má strany z obdélníků.“ Uč.: „Dnes si ukážeme nové geometrické těleso. Jedná se o jehlan.“ Učitelka ukazuje dětem jehlan nakreslený na tabuli. Děti si ho prohlíží a učitelka říká: „Zkuste říct, jaké vlastnosti má jehlan.“ Děti odpovídají, že je tvořený z trojúhelníků. Postupně spolu s učitelkou dospívají k tomu, že jehlan má pět stran a z toho čtyři trojúhelníky a jedna strana je čtverec či obdélník. 3.1.1 Analýza a interpretace Co se dělo v hodinách z hlediska osvojování pojmu geometrických tvarů? Dvě výše popsané pozorované hodiny geometrie ve 2. ročníku ZŠ byly věnovány poznávání geometrických objektů. Mezi geometrické objekty řadíme geometrické tvary a geometrická tělesa, což jsou rodové pojmy zahrnující další pojmy druhové. Podíváme-li se více na tuto hierarchii, pod pojem geometrické tvary řadíme n-úhelníky (opět rodový pojem) a kruh. Dále pod pojem n-úhelník (neboli mnohoúhelník) lze řadit pojmy druhové jako je trojúhelník, čtyřúhelník (čtverec, obdélník, apod.), pětiúhelník atd. Stejně tak rodový pojem geometrická tělesa zahrnuje pojmy druhové jako je např. krychle, kvádr, jehlan. Dále se zaměřím především na pojem geometrický tvar. Problematika geometrických těles je tu považována spíše za doplňující vzhledem k tomu, že učivo týkající se osvojování pojmů geometrických těles vychází a navazuje na pojmy geometrických tvarů. Na první pohled, pojmy, které si děti mají osvojit, nejsou zařazeny do hierarchie ostatních pojmů (nadřazených a podřazených) tak, jak jsem ji popsala. Chybí zde tedy začlenění do všech nutných souvislostí. Jednotlivé n-úhelníky se děti učí poznávat jen na základě několika vyřčených kvalit. Chybí kompletní definice jednotlivých pojmů, která by mimo jiné naznačila, podle čeho rozlišovat kvality podstatné od vedlejších. Pojem n-úhelník, který do uvedené hierarchie neodmyslitelně patří, není v hodině vůbec pojmenován. Nehovoří se o něm, ačkoliv je v celém vyučování stále implicitně přítomen. To vše se odráží i v práci s komplexní figurou, která navíc představuje situaci o něco složitější. Děti nemají v dostatečné míře osvojeny základní geometrické pojmy, z nichž se posléze budují další, což se odráží i v chybném ztotožňování n-úhelníku a jeho hranic. Totéž vede současně i ke ztotožňování pojmu bod a vrchol. Bod také není vysvětlen jako součást celku. Nyní se budu podrobněji věnovat první pozorované hodině geometrie, která je z hlediska osvojování si pojmů geometrických tvarů důležitější. Druhá pozorovaná hodina spíše ilustruje návaznost dalšího učiva a důležitost zvládnutí pojmů geometrických tvarů pro výstavbu dalších pojmů geometrických těles, které z geometrických tvarů vycházejí. 7
Cílem první hodiny je osvojení si pojmů trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník atd. a jejich rozpoznávání. O jakých pojmech vlastně hovořím? Jde o druhové pojmy označující určité objekty s určitými charakteristikami. Jako všechny pojmy jsou i tyto zařazeny do určité hierarchie. Spadají pod jim nadřazený rodový pojem n-úhelník (možno říci i mnohoúhelník), jehož nadřazeným rodovým pojmem je geometrický tvar (existují přirozeně i další geometrické tvary, jako je např. kruh, kterým se zde ovšem zabývat nebudu). Jak již bylo řečeno, hodina byla zaměřena na osvojení si určitých pojmů (trojúhelník, čtyřúhelník atd.). Co se tedy vlastně rozumí pojmem pojem a jak se utváří? Pojmy jsou obsahem inteligence. Pocházejí z vjemů a jejich formu tvoří systém abstrakcí a zobecnění. Stále však také probíhá strukturace, jejíž zdrojem je činnost či operace. Strukturace pak pojmy obohacuje o mimovjemové obsahy. Jinak řečeno, je zdrojem vazeb neobsažených ve vnímaných či jim nadřazených vztazích. Při výkladu pojmů je třeba brát v úvahu čtyři možné situace. První je případ, kdy se vjem a pojem objevují naráz a pojem tedy záleží v senzomotorickém schématu (nikoli představovém). V dalších třech případech vznikají vjemy mnohem dříve než pojmy, které jsou zde představové. Druhým případem jsou projektivní pojmy, kdy se pojem a vjem vyvíjejí zcela odlišně (např. perspektiva), pojem tedy není odvozen přímo z vjemu. Třetí možností je částečný izomorfismus mezi výstavbou vjemů a pojmů, kdy vjem je jakýmsi předobrazem pojmu. A konečně čtvrtý případ vzniku pojmu je obdobný třetímu; vjem je rovněž předobrazem pojmu, ovšem inteligence zpětně ovlivní vnímání jedince. Pojmy inteligence tedy nelze pouze vyabstrahovat z vjemů jednoduchými procesy abstrakce či zobecnění. Krom vjemových informací vždy totiž obsahují i složité specifické konstrukce. (Piaget, 2001, str. 45-48) V našem případě, kdy se jedná o utváření pojmů geometrických tvarů, jde o možnost poslední. Předobrazem pojmu geometrického tvaru je tedy vjem. Inteligence zde však poskytuje zpětnou vazbu a to proto, že tyto pojmy se zakládají na operacích abstrahovaných z činností s předměty. Tyto pojmy si tedy dítě nemůže vytvořit bez logicko-matematické strukturace, která vjem přesahuje. (Piaget, 2001, str. 49) Z výše uvedeného vyplývá, že jestliže si má dítě utvořit pojem příslušného geometrického tvaru (trojúhelník, čtyřúhelník atd.), nestačí k tomu pouhý vjem, nýbrž je nutná i určitá strukturace na základě logických operací. Logicko-matematické operace se vytvářejí průměrně kolem osmého roku věku dítěte, kdy dochází k operačnímu grupování vedoucímu k logickým operacím spoluzahrnování tříd a kvalitativního řazení. Jde o operace, které sjednocují předměty, třídí je, řadí a počítají s nimi. Teprve pokud dítě chápe jednotlivé elementy v jejich kvalitativní různosti, může je sjednocovat podle jejich ekvivalentních kvalit (čili sestrojuje třídy), nebo je může určovat dle odlišností (sestrojuje asymetrické relace). (Piaget, 1999, str. 134-136) Jak jsem zmínila již výše, každý pojem existuje především v hierarchii dalších pojmů, které jsou nutné pro jeho definování a osvojení. Každý pojem má určitý obsah a rozsah. Obsahem rozumíme znaky, které jsou společné objektům, které patří pod určitý pojem. Rozsah udává, které objekty pod daný pojem spadají, a které už ne. Je tedy zřejmé, že základem je schopnost třídění. Osvojení a pochopení pojmu se tedy odehrává na základě logických operací, z nichž zásadní je třídění coby základní druh grupování. Až po osmém roku věku dovedou děti zahrnovat současně dvě třídy do nadřazené třídy podle rozsahu. Toto zahrnování je charakteristické pro operační třídění. (Piaget, 2001, str. 91-94) Co vlastně myslím, hovořím-li o třídění, vytváření tříd? Pojem třídy je v podstatě výrazem identity reakce subjektu na předměty, které sjednocuje do třídy. Logicky tato aktivní asimilace představuje kvalitativní ekvivalenci všech elementů třídy. Elementem myšlení je tu pojem. Třída nikdy nemůže existovat samostatně, její definice odkazuje na další pojmy. Coby nástroj myšlení je elementem „strukturovaným“ nikoli „strukturujícím“. Existuje reálně jen v souvislosti se všemi elementy, proti nimž stojí, nebo do nichž je zahrnuta (příp. které sama zahrnuje). Třída předpokládá třídění, klasifikační operace. Stojí-li nezávisle na klasifikaci celku, neoznačuje rodový pojem třídu, ale pouze názorný soubor. Myšlení je po dobu svého 8
formování v nerovnováze. Až počínajíc operační úrovní - klasifikační, pořádací a další rámce jsou s to do sebe plynule včlenit nové elementy. Hledání a doplňování jednotlivých přihrádek tedy neotřásá celkem, ale harmonicky se vše začleňuje. Vytváří se rovnováha pojmů. (Piaget, 1999, str. 44-47) Tedy, pokud zopakuji to nejdůležitější, dozvěděli jsme se, že pojem geometrického tvaru si nelze osvojit pouhým vjemem, ale jsou nutné logické operace, především třídění. Žádný pojem coby třída přitom nemůže existovat izolovaně. Lze jej pochopit pouze v rámci ostatních pojmů – tříd, čili v celé hierarchii pojmů různé obecnosti. V této analyzované hodině geometrie však žádný z pojmů nebyl zařazen do hierarchie čili do soustavy příslušných nadřazených a podřazených (rodových a druhových) pojmů. Děti si jen stěží mohou osvojit pojem, který je jim předkládán izolovaně, bez jakýchkoli souvislostí. Není vysvětlen pojem geometrický tvar a jeho postavení ve vztahu k ostatním pojmům. Pracuje se s n-úhelníky, ovšem tento pojem není ani zmíněn, ačkoliv je stále implicitně přítomen. Jednotlivé druhové pojmy si děti osvojují pouze na základě několika charakteristik. Z hodiny je zřejmé, že děti každý n-úhelník rozpoznávají podle počtu stran a vrcholů (uč. – jak poznáte trojúhelník, děti – má tři strany a tři vrcholy) a podle vlastností těchto stran (uč. jak poznáte čtverec, děti – čtyři vrcholy a stejné strany). Nacvičují poznávání geometrických tvarů (n-úhelníků) v závislosti na vyřčených parametrech (charakteristiky stran a vrcholů), které byly zdůrazněny jako podstatné. Dále existují také prvky vedlejší či parazitní, na kterých ale nezáleží a je třeba od nich abstrahovat (aby došlo k rozpoznání n-úhelníku). Rozhodující tedy je schopnost dítěte rozlišit mezi jednotlivými prvky, které jsou ve vztahu. Tato diskriminace je výrazně ulehčena, jsou-li dítěti při výkladu předloženy výrazněji odlišné podněty. Vytváření pojmu (zde n-úhelníku) je také jednodušší, pokud všechny podněty odpovídající danému pojmu předkládáme dítěti najednou a nikoliv postupně (což je však typické po učení). Rovněž platí, že čím větší je počet vedlejších prvků, tím je obtížnější i abstrakce podstatného. (Piaget, 1968, str. 25-26) V hodině tedy dochází k pouhému vyčlenění určitých kvalit jako podstatných prvků, dle kterých rozlišujeme n-úhelníky, ale není vůbec vyřčena celá definice, která by dětem ukázala, proč jsou dané prvky podstatné. Neprobíhá žádné začlenění druhových pojmů k pojmům obecným, což značně ztěžuje plnohodnotné osvojení si pojmů jako součásti celostní struktury. To vše se samozřejmě odráží i v řešení úkolů týkajících se komplexního obrazce, se kterým se značnou část hodiny pracuje. Děti mají aplikovat poznatky o n-úhelníkách na komplexní figuru. Zde rozpoznávají a třídí jednotlivé n-úhelníky. Při těchto úkolech však řada dětí selhává. Různí se v názorech na množství trojúhelníků obsažených v komplexním obrazci. Velkou roli hraje nedostatečné osvojení pojmu trojúhelník, což děti handicapuje při třídění n-úhelníků v komplexní figuře. Situace je o to komplikovanější, že děti netřídí „hromadu“ určitého množství jednotlivých tvarů, kdy by bylo jasné, co už vytřídily a co zatím ne, co kam patří a proč. Zde jsou naopak všechny n-úhelníky začleněny do jednoho celku – komplexního obrazce, což je náročnější. S tím souvisí i skutečnost, že i děti, které dospívají k logickým operacím, jich nedovedou užít, jakmile přestanou manipulovat s předměty. Zvládají jen konkrétní operace, které jsou vždy vázané na činnost, nemohou konstruovat logickou úvahu nezávisle na činnosti. Zvládají tedy jen konkrétní pojmy (interiorizované činnosti). (Piaget, 1999, str. 137) Potíží může být mimo jiné i to, aby děti udržely v paměti všechny n-úhelníky, které již vytřídily, a které ještě ne. Může se tedy stát, že dítě některý n-úhelník započítá vícekrát nebo některý nezapočítá v domnění, že už ho započítalo. Roli tedy může hrát i otázka kvantity. Krom uvedeného může výsledek (aplikaci poznatků) ovlivnit i fakt, že se děti naučí odpovídat na určitý trojúhelník (n-úhelník). Rozsah a šířka generalizace jsou totiž většinou 9
omezené. Dítě pak není ochotné odpovídat, jakmile se nové podněty kvalitativně (začlenění do komplexního obrazce) či kvantitativně (viz výše) příliš liší od počátečních podnětů (při výkladu). Studium neúspěchu v oblasti některých matematických pojmů totiž ukázalo, že vyplývají z toho, že se dítě příliš drží jednotlivého příkladu použitého při vysvětlování učiva. (Piaget, 1968, str. 24) V hodině dochází také k situaci, kdy chlapec obtahuje pětiúhelník místo čtyřúhelníku a děvče si domýšlí čáru, která na obrazci není, a tím vytváří čtyřúhelník. Může to opět souviset s povrchně utvořeným pojmem n-úhelníku. Dochází k tomu, že oba abstrahují (právě na základě neosvojeného pojmu) od nedokonalosti příslušného n-úhelníku a dotváří ho tak do dokonalého tvaru. Piaget říká, že indukce vždy obsahuje i určitou abstrakci. Jedinec se vždy střetává s komplexním jevem a na zákonitosti obsažené v něm se může naučit odpovídat jen tak, že vyloučí vedlejší nebo proměnlivé aspekty, čili na základě abstrahování. (Piaget, 1968, str. 23) Stejně tak může dítě vyloučit jako vedlejší nedokonalost tvaru příslušného n-úhelníku a to právě proto, že nebyl utvořen řádně pojem začleněný do celé hierarchie. Nebyla vyřčena celá definice, která by ukázala, proč jsou které znaky podstatné či vedlejší, a dítě to tedy není s to posoudit. Část první pozorované hodiny byla věnována také problematice bodu náležejícího núhelníku. V úkolech, kdy měly děti nakreslit body náležející určitým geometrickým tvarům, se projevují opět problémy s nedostatečným osvojením příslušných pojmů. Mají-li děti umístit bod K náležející obdélníku, zakreslují ho na jeho stranu. Při otázce učitelky, zda může bod K ležet i jinde, děti neví. Z tohoto i z dalších úkolů vyplývá, že děti považují za totožný núhelník a hranice n-úhelníku. Děti nemají dostatečně osvojen poznatek, že všechny body tvořící nejen hranice, ale i obsah n-úhelníku, náleží n-úhelníku. Žáci mají být vedeni k tomu, aby nezaměňovali pojem trojúhelník (n-úhelník) a hranice trojúhelníku (n-úhelníku). Základem je již to, že děti musí mít řádně osvojeny pojmy bod a úsečka, aby bylo možno dále deduktivně z těchto obecných pojmů vyvozovat pojmy konkrétní (jako jsou n-úhelníky apod.) a definovat je. U nás totiž platí, že jsou zvoleny základní pojmy a z nich se pak dále buduje celá školní geometrie. (Malinová, 1983, str. 114-167) Pokud si žák dostatečně osvojí tyto základní pojmy (bod a úsečka) a z nich vyplývající definice dalších pojmů (v tomto případě n-úhelníků), nemělo by docházet k takovému zaměňování. Např. trojúhelník je dle Malinové definován právě pomocí pojmů bod a úsečka. Definice zní takto: trojúhelník je množina všech bodů X, úseček AY, kdy Y náleží úsečce BC za podmínky, že ABC neleží v přímce. Tato definice by měla být adekvátní formou předána i dětem, protože na správné pochopení pojmu trojúhelník se navazuje dále a s tímto pojmem se dále pracuje. (Malinová, 1983, str. 114-167) Problém je zřejmě právě zmíněné „předat adekvátní formou“. Z hlediska teorie a praxe didaktiky. Z hlediska teorie myšlení dítěte jde o problém odlišení jiného druhu myšlenkových činností, jiného druhu operací. Operace vedoucí k pochopení bodu coby součásti n-úhelníku, kdy je prováděno zahrnování částí do celku (celek je pročleňován) a nikoli třídění objektů, se nazývají infralogické. Infralogické operace se konstruují souběžně s logicko-aritmetickými operacemi. (Piaget, 2001, str. 96) Jedná se o operace, z nichž se skládají komplexní a jedinečné objekty jako je prostor, čas a hmotné soustavy. Prostorově-časové operace tedy nazýváme infralogické a grupují se ve vzájemné souvislosti s operacemi logickomatematickými (jde o stejné operace jen na jiném stupni). Spoluzahrnování předmětů do tříd a tříd do sebe navzájem se tu stává spoluzahrnováním částí nebo kusů do jednoho celku. Kolem osmi let věku se vytváří zejména kvalitativní operace strukturující prostor. (Piaget, 1999, str. 136) Při vzniku těchto operací dochází k rychlému a náhlému obratu, který postihuje všechny obrysové pojmy příslušné soustavy. Např. prostorové relace jsou spojeny v představě jediného prostoru (stejně čas), jakmile jsou elementy souboru pochopeny jako složky neměnného celku. Po tápavém představování nastupuje pocit souvislosti a nutnosti. Je 10
dosaženo soustavy, která je do sebe uzavřená a součastně se dá neomezeně rozšiřovat. Názorné vztahy určité soustavy jsou v určitém okamžiku náhle grupovány, přičemž dochází k zachování celku. (Piaget, 1999, str. 131-132) Závěrečná část hodiny byla věnována rýsování n-úhelníku spojením bodů. Úkolem je narýsovat dle pokynů n-úhelník, který vznikne spojením devíti bodů. Sedm z těchto bodů je zároveň vrcholem n-úhelníku, dva z nich jsou body náležející úsečkám. Děti mají poznat o kolika úhelník jde. Většina dětí ho považuje za devítiúhelník, čili dva body náležející úsečkám označuje jako vrcholy. Děti nerozlišují bod a vrchol. Myslím, že jde opět o nedostatečné porozumění pojmu bod a vrchol. Zde však jakoby do popředí zas vystupovalo třídění – jsou body a body, tj. ne všechny body jsou zároveň vrcholy. Dále se zde možná setkávám také s tím, co jsem v úvodu označila jako vedení dětí ke geometrickému náhledu na předměty a jejich okolí. Města mají být viděna jako body. Jako takové pak vymezují úsečky, které města spojují. V těchto pak mají děti vidět cestu; a to výhodnou či nevýhodnou, což znamená kratší či delší. V celkové konfiguraci měst a cest mají děti nakonec vidět n-úhelník, geometrický tvar. Co se týče druhé pozorované hodiny geometrie, jak už jsem ze začátku poznamenala, má pro mě spíše funkci doplňující. Byla věnována opakování charakteristik jednotlivých núhelníků a výkladu problematiky geometrických těles. Z hodiny je zřejmé, že si děti geometrické tvary a tělesa zatím pletou. Nemají ještě dostatečně osvojený rozdíl mezi nimi, třídění na geometrické tvary, které jsou dvojrozměrné, a tělesa, která jsou trojrozměrná. Piaget říká, že až v 9-10 letech života se utvářejí podobnosti a poměry a dovršuje se měření dvojrozměrných a trojrozměrných útvarů, protože si dítě vytváří soustavu přirozených souřadnic. (Piaget, 2001, str. 63-64) Dětem ve 2. ročníku ZŠ je teprve osm let. Fakt, že si děti pletou geometrické tvary a tělesa, ukazuje také na platnost výroku Malinové. Říká, že již základní pojmy je třeba dětem předkládat ve spojení s realitou. Jedině tak mohou být stále konkrétnější geometrické pojmy pro děti odrazem reality (abstrakcí reálné skutečnosti), což povede ke snazšímu porozumění (k vytvoření názoru), a nebudou pro ně pouhými abstraktními geometrickými pojmy. Pro děti je mnohem obtížnější hledat modely v realitě až dodatečně. (Malinová, 1983, str. 160) Tato spíše výkladová hodina ukazuje především potřebnost správného názoru dětí, co se týče n-úhelníků, jejich obsahu a hranic, bodů a vrcholů. Z toho všeho se pak totiž konstruují další poznatky v geometrii a navazuje se na ně v dalších ročnících. Nepochopení základních pojmů pak může vést k problémům ve zvládání dalšího učiva. Pozoruhodná je ovšem také skutečnost, že učitelka vykládá žákům o geometrických tělesech již ve druhém ročníku. Dle didaktiky se žáci seznamují zcela obecně s geometrickými tělesy na konci třetího ročníku a blíže je poznávají až ve čtvrtém ročníku. Důvodem je, že žáci v nižších ročnících nemají ještě vycvičenou schopnost vnímání náčrtků těles. (Malinová, 1983, str. 114-167) Paní učitelka s náčrtky těles ovšem pracovala, a to nejen s náčrtky těles jako takových, ale i s náčrtky podoby rozložených těles (např. síť krychle). V potížích některých dětí s pochopením problematiky geometrických těles tedy může hrát roli kromě nedostatečně osvojených předchozích pojmů rovněž nezralost. O tom hovoří i Piaget (viz výše). Dle didaktiky by si měly žáci ve druhém ročníku osvojit zatím pouze základní pojmy a učit se pojmenovávat základní geometrické tvary (kruh, trojúhelník, obdélník, čtverec). (Malinová, 1983, str. 114-167) Co jsem se dozvěděla o osvojování pojmu geometrické tvary? Dozvěděla jsem se, že naše inteligence pracuje především s pojmy. Pojmy, o kterých hovořím v tomto případě, se vytváří na základě logicko-matematické strukturace, které je dítě schopno od osmi let věku. 11
Hlavní roli hrají klasifikační operace – třídění. Pro utvoření pojmu je tedy nezbytné vytváření tříd a zařazování do souvislostí s dalšími třídami – pojmy. Pojem nemůže existovat izolovaný, jedině v souvislostech celé hierarchie. Definování určitého pojmu totiž odkazuje na další pojmy. Aby bylo možno správně provádět třídění, je třeba znát prvky podstatné a vedlejší, dle kterých rozlišujeme. To tedy znamená, že musíme znát celou definici příslušného pojmu se všemi souvislostmi, jinak nejsme schopni přesně mezi těmito prvky diskriminovat. Třídění může komplikovat, pokud netřídíme určité množství samostatných tvarů, ale tvary zařazené do komplexního obrazce. Třídění může ztěžovat i otázka kvantity. Pro utváření pojmu geometrického tvaru je však důležitá nejen logicko-matematická strukturace. Vědět, např. který bod náleží obdélníku a který nikoli, je nejen věcí třídění. Hlavní roli v tomto případě mají operace pročleňování celku na části. V této situaci pak jde o strukturaci infralogickou. 3.2 Geometrický test Další částí této práce je geometrický test zadávaný žákům druhého ročníku ZŠ. Cílem testu je zjistit za pomoci deseti úkolů, zda děti mají skutečně potíže, které jsme vypozorovali v hodinách geometrie (či se jedná o náhodu), jaká je jejich povaha a zda je možné kalkulovat se závěry, které vyplynuly z analýzy pozorování. (test vypracovalo jedenadvacet dětí, z toho třináct děvčat a osm chlapců) První úkol: Děti měly rozpoznat čtyři samostatně ležící geometrické tvary (trojúhelník, čtyřúhelník, čtverec, obdélník). Dvacet dětí určilo všechny tvary správně, jeden chlapec nedokázal pojmenovat čtyřúhelník. Druhý úkol: Úkolem bylo určit, kolika úhelníky vznikly spojením bodů. Jednalo se o dva šestiúhelníky, přičemž šestiúhelník v bodě a) měl zakreslené dva body náležející úsečkám. Pouze šest dětí určilo v bodě a) správně šestiúhelník. Patnáct dětí napsalo, že se jedná o osmiúhelník. V bodě b) poznaly všechny děti správně šestiúhelník. Třetí úkol: V testu byl dán obrázek, ve kterém měly děti za úkol poznávat geometrické tvary (viz obr. 3). V této úloze měly děti spočítat trojúhelníky, kterých je v obrázku celkem třináct. Pro lepší orientaci a uvědomění si tvarů (v neposlední řadě i pro větší zajímavost pro děti) mohly děti libovolně trojúhelníky obtahovat a kreslit si do obrázku. Trojúhelníky, které v obrazci viděli a spočítaly, mi posléze děti ukazovaly.
12
Obrázek č. 3
V následující tabulce je zaznamenáno, kolik dětí našlo jaký počet trojúhelníků: Tabulka č. 1 počet trojúhelníků chlapci děvčata celkem
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2 1 3
2 1 3
2 2
6 6
3 1 4
1 1
1 1
-
1 1
Z tabulky je zřejmé, že žádné dítě nenašlo správný počet trojúhelníků, tedy třináct. Nejblíže správnému počtu (12 a 14 trojúhelníků) byly dvě děti. O dva trojúhelníky se spletl jeden chlapec, o tři se spletly čtyři děti, o více než tři trojúhelníky se spletlo čtrnáct žáků. Z pozorování dětí a následného rozhovoru s nimi jsem zjistila, že osm dětí nezapočítalo alespoň jeden z největších trojúhelníků vzniklých rozpůlením čtverce na dvě poloviny. Tedy trojúhelníky nejvíce „narušené“ dalšími tvary a úsečkami. Devět dětí také zaměnilo trojúhelník na čtyřúhelník a mezi trojúhelníky započítalo i čtyřúhelník v pravém rohu obrazce. Čtvrtý úkol: V tomto úkolu děti měly napsat, jak poznají trojúhelník, jeho definici (charakteristika, kterou při hodinách s paní učitelkou mnohokrát opakovaly, zní: trojúhelník má tři strany a tři vrcholy). Celou definici napsalo správně šest dětí, jen polovinu definice znalo jedenáct dětí a vůbec si na ni nevzpomněly či napsaly špatně čtyři děti.
13
Pátý úkol: Tento úkol byl obdobný, jen měly děti popsat, jak poznají čtverec (čtverec má čtyři stejně dlouhé strany a čtyři vrcholy). Celou definici napsaly správně dvě děti, alespoň polovinu mělo dobře patnáct dětí a celou špatně ji napsaly čtyři děti. Šestý úkol: V šesté úloze se měly děti opět ve stejném obrázku (obr. 3) pokusit najít co nejvíce čtyřúhelníků (čtverce, obdélníky i ostatní čtyřúhelníky). Je jich tam možné najít celou řadu (při letmém spočítání jsem jich našla více než dvacet). Děti opět mohly nejprve pracovat s použitím pastelek a poté mi ukazovaly, které čtyřúhelníky našly (dělala jsem si poznámky o počtu do odevzdaných testů). Tabulka č. 2 Počet čtyřúhelníků Chlapci Děvčata celkem
2
3
4
5
6
7
8
1 1
1 1
5 5 10
2 2 4
1 2 3
1 1
1 1
Jak vidíme v tabulce, dvanáct dětí našlo v obrazci méně než pět čtyřúhelníků. Pět a více čtyřúhelníků našlo devět dětí. Sedmý úkol: Zde měly děti za úkol najít v obrázku (obr. 3) alespoň dva pětiúhelníky a vybarvit je. Zadané dva pětiúhelníky však našlo jen osm dětí (dvě z nich našly a vybarvily dokonce čtyři pětiúhelníky). Pět dětí našlo pouze jeden pětiúhelník a osm dětí nevidělo v obrázku vůbec žádný. Často docházelo k tomu, že děti zaměňovaly pětiúhelník za čtyřúhelník a to proto, že coby vrchol počítaly i místo, kde stranu čtyřúhelníku protínala jiná úsečka. Čili se jedná o obdobnou chybu jako v úkolu číslo 2. Osmý úkol: V tomto případě děti měly do obrázku (obr. 3) zakreslit dva body (bod K a bod M) tak, aby náležely čtverci. Všechny děti zanesly body do obrazce správně, pouze jeden chlapec body nakreslil mimo čtverec. Devátý úkol: Zde měly děti umístit do obrazce bod X a to tak, aby náležel dvěma trojúhelníkům zároveň. Dvě děti tento úkol nevyřešily. Patnáct dětí nakreslilo bod X správně, tak že náležel dvěma trojúhelníkům a čtyři děti opět považovaly za jeden z trojúhelníků již zmíněný čtyřúhelník v pravém dolní rohu obrázku č. 3. Desátý úkol: Zde měly děti za úkol napsat všechny možné tvary, kterým náleží bod L nakreslený v obrazci (obr. 3). Alespoň tři tvary, kterým bod L náleží, našly tři děti. Dva tvary našlo dvanáct dětí, přičemž nejčastější tvar, který děti viděly, byl čtverec ohraničující celý obrazec a malý rohový trojúhelník, v němž se bod L nachází. Čtyři děti odpověděly, že bod L náleží pouze malému rohovému trojúhelníku. Jeden chlapec řekl, že náleží pouze pětiúhelníku (který si vybarvil) a jedno děvče odpovědělo, že bod l náleží všemu. 14
Z výše uvedených výsledků vyplývá, že nejúspěšnější byli žáci v otázce číslo 1, kde šlo o rozpoznání a pojmenování samostatně ležících geometrických tvarů. Dále také v otázkách číslo 8 a 9, kde zakreslovali body do obrázku (zde si však myslím, že úspěšnost mohla být z velké části také dílem náhody). Největší problémy činily žákům úlohy 2, 3, 5 a 10. 3.2.1 Analýza a interpretace V analýze pozorování jsem se zabývala především tím, co je to pojem, jak vzniká a jak probíhá u dětí osvojování si pojmů (v tomto případě hlavně pojmů geometrických tvarů a základních geometrických pojmů – bod a úsečka). Zjistila jsem úzkou souvislost mezi pojmy a problematikou třídění, tedy vytvářením tříd. Rovněž jsem se zabývala otázkou, co jsou to a jak fungují logicko-matematické a infralogické operace. Na závěr jsem ilustrovala důležitost osvojení základních pojmů pro zvládání dalšího navazujícího učiva. Úkolem tohoto testu je tedy hlavně ověřit platnost stanovených závěrů a formulování oblastí, ve kterých spočívá pracnost jednotlivých úkolů v testu pro děti a ve kterých tkví příčiny neúspěchu v jednotlivých úkolech (úkoly v podstatě shrnují velkou část učiva geometrie, které si žáci druhého ročníku osvojují). Dále se budu zabývat jednotlivými úkoly obsaženými v testu. Prvním úkolem bylo určit čtyři samostatně ležící geometrické tvary. K úspěšnému splnění tohoto úkolu je třeba, aby dítě mělo osvojený pojem příslušného geometrického tvaru. Svou roli tu samozřejmě hrají klasifikační operace, kdy dítě musí daný geometrický tvar zařadit do příslušné třídy. Jak už jsem zmínila v analýze pozorování, žáci nemají osvojen řádně pojem ve všech souvislostech, pouze znají několik vyřčených charakteristik (otázka stran a vrcholů), dle kterých rozpoznávají jednotlivé tvary. Vzhledem k tomu, že v tomto úkolu není třídění komplikováno dalšími faktory (jako je tomu u dalších úkolu v případě komplexní figury), jsou děti vcelku úspěšné. Identifikování tvaru dle charakteristiky stran a vrcholu zde postačuje. Druhým úkolem bylo určit kolika úhelníky vznikly spojením bodů (dva šestiúhelníky, z nichž jeden obsahoval dva body náležející úsečkám). Základem k tomu, aby byl žák schopen určit geometrický tvar, je opět správné osvojení příslušného pojmu (viz výše). V případě jednoho z šestiúhelníků se vyskytuje komplikace v podobě dvou bodů náležejících úsečkám. Aby mohl žák správně zařadit geometrický tvar, je nutné, aby rozlišoval mezi bodem a vrcholem a neurčil tak chybně bod náležející úsečce coby vrchol n-úhelníku. Zde je třeba operovat s infralogickou strukturací a chápat bod jako součást vyššího celku n-úhelníku. Pracnost tohoto úkolu tedy spočívá především v infralogických operacích. Většina žáků byla v této úloze neúspěšná. Příčina tkví v infralogickém strukturování a v nedostatečném osvojení základních geometrických pojmů (bod, úsečka). Třetím úkolem bylo spočítat trojúhelníky obsažené v komplexním obrazci. Ke splnění této úlohy je opět nutné mít osvojeny pojmy geometrických tvarů (zde trojúhelníku), což umožňuje provést správně třídění geometrických tvarů obsažených v obrazci. Úspěšné třídění je rovněž podmíněno infralogickou strukturací, čili správným chápáním pojmu bod a úsečka. To je nezbytné, aby nedocházelo k zaměňování bodu a vrcholu, což může vést k chybnému zařazení geometrického tvaru. Celá situace je komplikována komplexností figury. Jednotlivé geometrické tvary jsou protínány dalšími úsečkami, určitý n-úhelník může být součástí jiného n-úhelníku. Tato skutečnost žákům znesnadňuje třídění, jelikož nechápou celek jako složený z částí. To vše vede k tomu, že jsou žáci v tomto úkolu dost neúspěšní. Na neúspěšnosti se ovšem může rovněž podílet otázka kvantity, tedy udržení v paměti trojúhelníků, které již žák vytřídil a které ne. Problematikou toho, které trojúhelníky jsou pro děti snazší k třídění a u kterých je situace obtížnější, se budu zabývat v další kapitole. 15
Čtvrtým úkolem bylo napsat, jak poznáme trojúhelník. Žáci ve většině případů psali charakteristiku stran a vrcholů, kterou si osvojili v hodinách s paní učitelkou. Vzhledem k povrchní znalosti pojmu trojúhelník a nezařazení do hierarchie ostatních pojmů, žáci zapomínají i tuto charakteristiku. Většina žáků si tedy nepamatuje ani ty charakteristiky, které jim byly v hodinách zdůrazňovány coby podstatné a píše buď jen část anebo nic. Pátý úkol je obdobný. Žáci mají napsat, jak poznají čtverec. Z výše uvedených důvodů jsou i v této úloze děti neúspěšné. Většina žáků si opět charakteristiku nepamatuje, nebo píše jen její část. Šestým úkolem bylo najít v uvedeném obrazci co nejvíce čtyřúhelníků. Problematika je obdobná úkolu číslo tři. Základem je opět třídění geometrických tvarů na základě osvojení pojmu čtyřúhelník (a dále samozřejmě bod a úsečka). Žák musí provádět diskriminaci podstatných a vedlejších kvalit daného n-úhelníku, aby ho mohl zařadit do příslušné třídy (to je však opět do velké míry znesnadněno neschopností rozlišovat podstatné a vedlejší prvky kvůli nedostatečnému osvojení pojmu a absenci definice). Roli tu rovněž hrají infralogické operace, jak jsem již popsala u úkolu číslo tři. Neúspěšnost žáků může být opět podpořena problematikou komplexnosti a kvantity. Sedmý úkol spočíval v nalezení alespoň dvou pětiúhelníků v zadaném obrazci. Podmínkou k zvládnutí tohoto zadání je osvojení pojmu n-úhelník a základních geometrických pojmů (bod, úsečka). Jelikož měly děti objevit pětiúhelníky v obrazci, je opět situace komplikována komplexností figury. To opět ukazuje na nezbytnost infralogické strukturace. Skutečnost, že žáci často zaměňovali čtyřúhelník za pětiúhelník (za vrchol považovali místo, kde stranu čtyřúhelníku protíná jiná úsečka – strana jiného n-úhelníku), směřuje znovu k problematice neznalosti bodu coby součásti n-úhelníku. Osmým úkolem bylo zakreslit do obrazce dva body (K, M) náležející čtverci. Všechny děti (krom jednoho) zakreslily body správně tak, že náležely čtverci. Pro mě je ovšem v tomto úkolu zajímavé spíše umístění těchto bodů, tedy zda děti zakreslily body na některou ze stran čtverce či do jeho vnitřku. Naskýtá se zde souvislost s tím, zda chápou čtverec jako celek (se všemi jeho částmi), nebo zda spíše ztotožňují geometrický tvar s jeho hranicemi. Jedenáct žáků zakreslilo body K a M na stranu čtverce, devět žáků do prostoru uvnitř čtverce a jeden žák mimo čtverec. Podkladem jsou tedy opět infralogické operace, pročleňování celku na části (chápání hranic n-úhelníku coby jeho části, nikoli n-úhelník samotný). Devátým úkolem bylo zakreslit bod X tak, aby náležel dvěma trojúhelníkům. Je to tedy obdoba úkolu číslo osm. Aby žák mohl úkol správně vyřešit, je zapotřebí několika kroků. Jednak musí v komplexní figuře nalézt dva trojúhelníky, a jednak je třeba umístit bod X. Podmínkou k nalezení dvou trojúhelníků je znalost pojmu trojúhelník a úspěšné vypořádání se s komplexností figury. Dále musí žák umístit bod X. V tento okamžik se mu naskýtají dvě možnosti řešení (obě samozřejmě správné, protože v zadání bylo pouze umístit bod tak, aby náležel trojúhelníkům). Zde je ovšem zajímavé, kterou z možností žáci zvolí. Šestnáct žáků umístilo bod X na stranu trojúhelníků, tři žáci do vnitřního prostoru trojúhelníků a dva žáci úlohu nevyřešili. Je tedy zřejmé, že většina žáků volí jako jistější (či přímo jedině možnou) variantu umístění bodu X na stranu trojúhelníků. Zde je možné spekulovat o tom, zda se jedná o projev ztotožňování trojúhelníku a jeho hranic. Desátým a posledním úkolem bylo určit, kterým tvarům náleží bod L zakreslený v obrazci (umístěný v trojúhelníku v pravém horním rohu obrazce). V prvé řadě je nutné, aby si žáci uvědomili, zda prostor, v němž je místěn bod L (není na straně n-úhelníků), je součástí příslušných geometrických tvarů či nikoli. Podkladem k tomu je infralogická strukturace (zahrnutí všech částí do příslušného celku). Žáci evidentně dospěli k názoru, že ano (vnitřní prostor je součástí n-úhelníků), jelikož všichni uvedli alespoň jeden geometrický tvar, kterému bod L náleží. V dalším kroku ke splnění úkolu žáci musí nalézt v komplexní figuře geometrické tvary, kterým bod L náleží (jejichž je součástí). To předpokládá správné osvojení si pojmů příslušných geometrických tvarů, základních geometrických pojmů a vypořádání se 16
s komplexností obrazce. Pouze tři děti nalezly více než dva geometrické tvary, kterým bod L náleží. Alespoň dva tvary uvedlo dvanáct žáků. Z výše uvedeného vyplývá, že uvedení žáci druhého ročníku skutečně mají problémy s učivem geometrie. Předpoklady, které vyplynuly z analýzy pozorování se potvrdily. Potíže žáků plynou především z nedostatečného osvojení základních geometrických pojmů (bod a úsečka), což vede dále k nedostatečnému chápání pojmů geometrických tvarů a neuplatňování a neporozumění infralogické strukturaci. Toto nedostatečné pochopení geometrických pojmů a absence zařazení do veškerých nutných souvislostí s dalšími pojmy se odráží ve většině úkolů, které žáci v hodinách geometrie plní. To má za následek často chybné řešení geometrických úloh. 3.3 Samostatně zadaný obrazec V předchozí kapitole jsem se zabývala testem zadávaným žákům 2.B. Ověřila jsem závěry, ke kterým jsem dospěla v analýze pozorování. Zjistila jsem, v čem spočívá podstata jednotlivých úkolů testu a co musí žáci udělat, aby každý úkol správně vyřešili. Dále se v této práci budu zabývat samostatně zadaným obrazcem s cílem spolehlivěji stanovit, jak se žáci vyrovnávají s komplexností figury, které trojúhelníky jsou pro ně více či méně náročné a proč. Po analýze prvního testu se totiž objevily určité nedostatky. Vzhledem k hromadnému zadávání testu nebylo možné zaznamenávat práci dětí tak přesně, jak se později ukázalo, že by bylo potřeba. To se týká především úkolů, ve kterých děti pracovaly s komplexní figurou. Problematika komplexnosti obrazce přitom hraje v celé práci důležitou roli. Ukázala se tedy jako nezbytná individuální práce s každým žákem, která umožnila přesný záznam jednotlivých kroků při řešení zadaného úkolu a tím poskytla konkrétnější informace o pracnosti úkolů vyžadujících orientaci v komplexní figuře. Kromě toho došlo také k malé úpravě zadávaného obrazce oproti předešlému geometrickému testu. Odsazením čtyřúhelníku v obrázku nahoře uprostřed od horní strany čtverce a stejně tak u jeho dolní strany se zmenšil počet trojúhelníku v obrázku na deset. Tím se částečně snížila možnost, že do hry vstoupí otázka kvantity, která může ovlivnit výsledky žáků v úkolech. Díky přesnému záznamu při zadávání samostatného obrazce už v podstatě lze říci, že kvantita hraje pouze malou roli (zatímco u předešlého testu bylo možné o jejím vlivu pouze spekulovat). Úpravou také vzniklo více čtyřúhelníků, které je možné zaměnit za trojúhelník. To se již dříve ukázalo jako problém, proto jsem doufala, že se díky přesnějšímu sledování o této problematice dozvím více. Podstatnou pohnutkou opakovaného zkoumání bylo také dozvědět se něco konkrétnějšího o uplatňování infralogické strukturace při práci s geometrickým obrazcem. (Nový obrazec byl zadán celkem 22 dětem, z toho 14 dívkám a 8 chlapcům.) Jak jsem již uvedla, tento trochu upravený obrazec (obr. 4) jsem zadávala každému dítěti samostatně. Každý žák mi postupně ukazoval trojúhelníky, které na obrazci viděl a já jsem si je pomocí písmen zaznamenávala. Jak bylo uvedeno výše, úpravou se počet trojúhelníků v obrazci zmenšil na deset.
17
Obrázek č. 4
V následující tabulce (tab. 3) jsou přehledně zaznamenáni všichni žáci, kterým jsem tento úkol zadávala. Jsou zde také v přesném pořadí, pomocí písmen označujících jednotlivé vrcholy na obrázku, zaznamenány trojúhelníky, které mi jednotlivé děti postupně na obrazci ukazovaly. V posledním sloupci tabulky jsou uvedeny počty chybných odpovědí jednotlivých dětí, tedy případů, kdy mylně považovaly čtyřúhelník za trojúhelník. Tabulka č. 3
Daniela Katka Míša Tereza Denisa Šárka Nicolka Klára Karla Anika Anna Terka Terka Jirka Daniel Adam Denis
1
2
3
4
5
6
ALG IJG AEL ACD MKJ ABC IML ALG MKJ IML ALG IML EBH MKJ ALG IML ALG
EBH IHJ IML ABC HCK HCK ALG IML HCK ALG AEL ALG HCK IML IML MKJ IML
IML MCF ALG EBH IML KCF MKJ AEL KCF AEM IML MKJ KCF ALG AEL HCK AEL
KCF MKJ EBH AEL ALG MKJ KCJ EBH GFD MKJ EBH HCK MKJ AEG AEM ALG AEG
HCK KCF HCK ALG AEM HCF HCK HCK IML HCK HCK ABC IML EBH EBH MCF MKJ
MKJ HCK MKJ IML MCF IML MKJ ALG IHJ MKJ ACD ALG HCK HCK ACD HCK
7 IML MKJ IHJ ALG KCF IJG IHJ IJG MCF MKJ ABC
8
9
10
Záměna 2 ALG 1 2 HCK KCF GFD 3 0 EBH 3 1 GFD 4 2 0 ABC AEM 2 IHJ 0 2 2 KCF 3 IHJ IJG 0 2
18
Hynek Dan Šimon David Bětka
HCK ALG AEL ALG IML
MKJ HCF IML ALG IML MKJ HCK MCF ALG IML GFD HCK MKJ HCK HCF IML ALG HCK MKJ IHJ
GDF IHJ
IJG
EBH IJG
ABC
2 1 2 2 0
Z tabulky je zřejmé, že žádný z žáků v obrazci nenašel plný počet správných trojúhelníků. Devět dětí našlo pouhých šest trojúhelníků a méně, z čehož však některé odpovědi byly ještě chybné. Pouze pět žáků uvádělo samé trojúhelníky a vyvarovalo se záměny za čtyřúhelník. Zbývajících 17 žáků označilo alespoň jeden čtyřúhelník za trojúhelník. Tři z nich uvedli ve svých odpovědích až tři čtyřúhelníky a jeden žák dokonce označil čtyři. 3.3.1 Analýza a interpretace V geometrickém testu, který byl zadán žákům 2.B jsem zjistila, že některé potíže při řešení jednotlivých úkolů jsou dány mimo jiné také komplexností obrazce, který obsahuje celou řadu nejrůznějších n-úhelníků. Spousta žáků selhávala v úlohách, kde měli v komplexním obrazci nalézt a určit určitý n-úhelník a případně jeho počet. Při hledání geometrických tvarů žáci některé nacházeli častěji a jiné méně často. Tato skutečnost zakládá na hypotézu, že některé n-úhelníky v obrazci jsou pro žáky snáze či obtížněji nalezitelné. Proto byl opětovně žákům zadán upravený obrazec (pozornost byla soustředěna pouze na trojúhelníky), kdy jsem přesně zaznamenávala u každého žáka pomocí písmen označujících vrcholy, které trojúhelníky konkrétně v obrazci vidí. Cílem je tedy ověřit, zda jsou některé núhelníky v obrazci skutečně pro žáky snadněji či obtížněji identifikovatelné, které a proč. Jak v pozorovaných hodinách, tak v geometrickém testu se objevoval problém záměny čtyřúhelníku za trojúhelník. Z tohoto důvodu byl rovněž původní obrazec nepatrně pozměněný. Touto malou změnou došlo ke snížení počtu trojúhelníků v obrazci z třinácti na deset a zároveň přibylo několik dalších čtyřúhelníků, které je možno zaměnit za trojúhelník. Níže (viz tab. 4) uvádím jednotlivé čtyřúhelníky z obrazce, chybně označované žáky jako trojúhelníky. V horním řádku jsou zaznamenaná označení daných čtyřúhelníků, v dolním řádku jsou zapsány počty žáků, kteří tento čtyřúhelník zaměnili za trojúhelník. Tabulka č. 4 čtyřúhelník počet žáků
AEL 7
AEG 2
EBH 10
KCF 9
HCF 3
GFD 5
Co je vlastně příčinou této záměny a proč k ní dochází? Pokusím-li se odpovědět na tuto otázku, můžu opět vyjít ze základu, kterým je řádné osvojení základních geometrických pojmů, na kterých se dále staví při osvojování si pojmů geometrických tvarů, tedy v tomto případě trojúhelníku a čtyřúhelníku. Pokud bude mít žák v dostatečné míře osvojen pojem trojúhelník a čtyřúhelník, bude pro něj snadné i třídění těchto tvarů a nedojde k záměně jednoho za druhý. Osvojení si definice v celé její šíři umožní i kvalitní rozlišování mezi prvky podstatnými a vedlejšími, jelikož dítě získá nástroj, podle kterého diskriminovat. Jelikož však žáci nevědí, které prvky jsou podstatné či vedlejší a proč, může dojít na základě povrchně vytvořeného pojmu n-úhelníku k tomu, že vyloučí podstatný prvek coby nepodstatný. Čtyřúhelník, který svým tvarem blízce připomíná trojúhelník (až na jeden „useknutý růžek“) pak žák považuje za trojúhelník, jelikož abstrahuje od jeho nedokonalosti a dotváří ho do dokonalého tvaru.
19
Jak je vidět z tabulky (tab. 4), nejvíce se žákům pletl čtyřúhelník označený písmeny EBH (v pravém horním rohu obrazce), dále KCF (při dolní straně obrazce v jeho pravé polovině) a AEL (při horní straně obrazce v jeho levé polovině). Na následujícím obrázku (obr. 5) je znázorněno, o které čtyřúhelníky se jedná. Obrázek č. 5
Jak vidíme, všechny tři čtyřúhelníky, které žáci nejčastěji zaměňují za trojúhelníky jsou celistvé. Ve všech případech se jedná o kompaktní čtyřúhelníky nijak nenarušené a neprotínané žádnými dalšími úsečkami. Žák zde nemusí zapojovat infralogickou strukturaci, čili řešit pročlenění celku na další části. Nemusí se vyrovnávat se zapojováním určitých částí do jednoho celku, jako je tomu u ostatních čtyřúhelníků zaměňovaných za trojúhelníky. V následující tabulce (tab. 5) jsou uvedeny skutečné trojúhelníky, které se vyskytují v obrazci (obr. 4) předloženém žákům. Ve sloupci vpravo vedle je vždy zaznamenáno množství žáků, kteří daný trojúhelník na obrázku našli a správně ukázali. Tabulka č. 5 trojúhelník ALG HCK IML MKJ IHJ
počet žáků 22 22 22 21 8
trojúhelník IJG ABC ACD AEM MCF
počet žáků 6 6 3 4 5
V následujících řádcích se budeme věnovat jednotlivým trojúhelníkům. Trojúhelník ALG (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník ALG je umístěn při levé straně čtverce nahoře. Z výše uvedené tabulky vyplývá, že trojúhelník ALG našli všichni dotázaní žáci. Co je předpokladem k tomu, aby žák našel trojúhelník? Touto otázkou jsem se zbývala již v analýze geometrického testu v úloze číslo tři. Stručně zopakuji, že předpokladem je znát definici trojúhelníku, mít osvojený pojem se všemi souvislostmi. Trojúhelník ALG patří mezi kompaktní trojúhelníky (stejně jako jsem uváděla u čtyřúhelníků v pojednání o záměně), které nejsou rozděleny na další části jinými n-úhelníky či úsečkami. To znamená, že u tohoto trojúhelníku je např. vyloučeno riziko záměny bodu za vrchol a rovněž odpadá nutnost „složit“ celek trojúhelníku z několika jeho částí. Jelikož trojúhelník není vnitřně pročleněný, nemusí žák k tomu, aby mohl daný tvar identifikovat, provést syntézu několika geometrických tvarů (n-úhelníků coby částí trojúhelníku ALG). Žák se tedy v případě tohoto trojúhelníku nemusí tolik vyrovnávat s komplexností obrazce jako je tomu u některých jiných trojúhelníků,
20
což výrazně usnadňuje třídění. Infralogická strukturace v tomto případě nepřichází téměř vůbec ke slovu. Trojúhelník HCK (viz obr. 6 v příloze) – Tento trojúhelník, jak je možné vidět výše, našel rovněž plný počet žáků. Při pohledu na obrázek č. 6 v příloze je vidět, že se jedná o v podstatě totožný trojúhelník s trojúhelníkem ALG, který se nachází v protějším rohu komplexního obrazce. Z toho vyplývá, že se zde opakuje situace blíže popsaná u předcházejícího trojúhelníku ALG. Trojúhelník IML (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník IML našli opět všichni žáci druhého ročníku. Na obrázku je znázorněno umístění tohoto trojúhelníku. Jedná se o trojúhelník přiléhající z levé strany k horní části středové úsečky (jedním ze svých vrcholů se dotýká trojúhelníku ALG). Stejně jako v předchozích dvou případech je tento trojúhelník celistvý, bez „narušení“ jakýmikoli jinými tvary či úsečkami, a tudíž bez možnosti zaměnit kterýkoli bod za vrchol n-úhelníku a bez nutnosti zapojení infralogické strukturace. K identifikování tohoto trojúhelníku úplně postačuje znalost základních charakteristik (stran a vrcholů), tak jak se jim žáci v hodinách geometrie učí (obdobně jako v úkolu číslo jedna geometrického testu). Trojúhelník MKJ (viz obr. 6 v příloze) – Tento trojúhelník leží při středové úsečce z pravé strany dole a svým horním vrcholem se dotýká trojúhelníku IML. Jde o totožný trojúhelník zrcadlově převrácený. Tento trojúhelník našli všichni žáci kromě jednoho. Lze tedy vyvozovat stejné závěry jako u předcházejících trojúhelníků ALG, HCK a IML. Trojúhelník IHJ (viz obr. 6 v příloze) – Tento trojúhelník leží v pravé polovině čtverce a jednu z jeho stran tvoří téměř celá délka středové úsečky (protějším vrcholem se dotýká pravé strany čtverce). V tomto případě jsou již výsledky horší. Trojúhelník IHJ, jak je patrno z tabulky, našlo osm žáků, čili přibližně jedna třetina dotázaných. Zdá se tedy, že identifikovat tento trojúhelník není pro žáky úplně snadné. Jaké mohou být důvody? Mám-li nalézt v komplexním obrazci tento trojúhelník, je třeba abych přirozeně znala definici trojúhelníku, která mi poskytne návod, jak rozlišovat podstatné a vedlejší kvality nutné pro třídění (zahrnutí určitého n-úhelníku do příslušné třídy obecného pojmu). Nejprve se podívejme na to, jak vlastně tento trojúhelník vypadá. Trojúhelník IHJ protíná úsečka vedoucí z levého horního rohu čtverce do jeho pravého dolního rohu. Tím na trojúhelníku IHJ vznikají dva body, ve kterých úsečka proniká stranami trojúhelníku. Jak jsem zjistila již v předcházejících kapitolách (jak v pozorování, tak v některých úkolech geometrického testu), stává se, že žáci takovéto body náležející stranám n-úhelníku považují za vrcholy. To může být jeden z důvodů, proč řada žáků tento trojúhelník ve své odpovědi neoznačila. Kromě zmíněných bodů způsobuje protínající úsečka také rozdělení trojúhelníku IHJ na dvě různě velké části (dva různé n-úhelníky). Aby bylo možné identifikovat daný trojúhelník, je tedy třeba provést syntézu těchto dvou n-úhelníků. Žáci musí použít infralogické operace a pochopit tak tyto dvě části trojúhelníku IHJ jako jeden celek. Trojúhelník IJG (viz obr. 6 v příloze) – Další z trojúhelníků, trojúhelník IJG je opět totožný s trojúhelníkem IHJ, pouze zrcadlově obrácený. Leží v levé polovině čtverce, kde nejdelší stranu trojúhelníku tvoří středová úsečka a protějším bodem se dotýká prostředku levé strany čtverce. Tento trojúhelník našlo šest žáků, což znamená přibližně jednu čtvrtinu. K problematice pracnosti jeho identifikování v obrazci tedy můžeme zopakovat vše uvedené v případě trojúhelníku IHJ. Trojúhelník ABC (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník ABC byl objeven šesti žáky (cca jedna čtvrtina). Tvoří celou polovinu čtverce (obrazce), kdy jeho nejdelší stranou je úsečka směřující napříč čtvercem z levého horního do pravého dolního rohu. Trojúhelník se rozkládá směrem doprava nahoru od této úsečky. Mám-li charakterizovat uvedený trojúhelník, je nutné říci, že jde o jeden z nejčlenitějších trojúhelníků v obrazci. Celkem čtyři úsečky ho rozdělují na pět různých n-úhelníků. To znamená, že v případě, že ho žák chce nalézt, musí pospojovat pět n-úhelníků do jednoho jediného celku. Díky úsečkám také vzniká na trojúhelníku pět bodů 21
náležejících jeho stranám. Trojúhelník ABC patří tedy z hlediska infralogické strukturace mezi nejnáročnější v zadávaném obrazci. Trojúhelník ACD (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník ACD je protějškem trojúhelníku ABC. Sdílí s ním jednu svou stranu (úsečka vedoucí z levého horního rohu do pravého dolního rohu čtverce) a tvoří tak druhou polovinu obrazce. Jde o druhý z nejpročleněnějších trojúhelníků v obrazci. Je rovněž rozdělen čtyřmi úsečkami na pět rozdílných n-úhelníků. Platí pro něj tedy to samé, co je uvedeno v případě trojúhelníku ABC. Trojúhelník ACD nalezlo nejmenší množství žáků, pouze tři (cca sedmina žáků). Pracnost rozpoznání tohoto trojúhelníku tedy také spočívá především v zapojení infralogických operací. Trojúhelník AEM (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník AEM nalezli čtyři žáci. Nachází se v levé polovině čtverce nahoře při horní straně a středové úsečce. Je částí trojúhelníku ABC. Trojúhelník AEM je ve svém středu rozdělen na dvě části úsečkou, která ho protíná, čímž rovněž vznikají dva body náležející jeho stranám. Z hlediska pracnosti ho lze srovnat s trojúhelníky IHJ a IJG. Trojúhelník MCF (viz obr. 6 v příloze) – Trojúhelník MCF leží opět zrcadlově obrácený k předcházejícímu trojúhelníku AEM, se kterým se stýká jedním vrcholem na středové úsečce. Jedná se rovněž o trojúhelník rozčleněný na dva n-úhelníky s dvěma body náležejícími jeho stranám. Je to tedy tentýž případ. Tento trojúhelník našlo pět žáků. Z uvedené analýzy vyplývá, že jednotlivé trojúhelníky jsou různě náročné co do počtu kroků a schopností nutných k jejich rozpoznání v komplexní figuře. Dá se říci, že v obrazci se vyskytuje několik typů trojúhelníků. Rozdělím-li je dle typu do skupin, pak do první skupiny můžu zařadit trojúhelníky ALG, HCK, IML a MKJ, jejichž společnou vlastností je kompaktnost (nerozčleněnost). Do druhé skupiny patří trojúhelníky IHJ, IJG, AEM a MCF, pro které je charakteristické rozdělení do dvou částí (dvou různých n-úhelníků) a také skutečnost, že všechny obsahují dva body náležející jejich stranám. V rámci této skupiny je možné vytvořit ještě podskupinu trojúhelníků IHJ a IJG a podskupinu AEM a MCF, jelikož tyto dvojice trojúhelníků jsou si podobné (téměř stejné). Třetí skupinu tvoří trojúhelníky ABC a ACD, jejichž pojítkem je největší členitost (rozdělení na pět různých n-úhelníků, pět bodů náležejících jejich stranám). Z tabulky (tab. 5) i následujících řádků je zřejmé, že pro děti je nejsnazší nalézt trojúhelníky patřící do první skupiny (nalezli je všichni žáci). Naopak nejobtížnější bylo pro žáky rozpoznat trojúhelníky ACD, AEM a MCF, tedy patřící do druhé a třetí skupiny. Na základě analýzy lze vyvodit, že pracnost rozpoznání jednotlivých trojúhelníků v komplexním obrazci se tedy odvíjí především z faktu, zda jsou a do jaké míry jsou rozčleněny na dílčí núhelníky. Tato skutečnost odkazuje k problematice infralogických operací. Ukazuje se zde nutnost chápání celku v jeho celistvosti, ačkoliv je rozčleněný do nejrůznějších částí. Každá část je vždy součástí nějakého vyššího celku. V neposlední řadě je však také nezbytné zmínit, že svou roli při opomenutí některého trojúhelníku může rovněž sehrát otázka kvantity, ovšem jak už jsem uváděla, hraje roli pouze malou. Klíčový je princip. Žák musí zapojit více druhů intelektuální práce, má-li „vytáhnout“ do popředí a identifikovat složitější, členitější geometrický tvar, než v případě kompaktního trojúhelníku. Musí spojit jednotlivé části trojúhelníku v celek (z několika tvarů vytvořit jeden trojúhelník), abstrahovat od nepodstatných prvků a určit vztahy a vlastnosti podstatné. Nejprve tedy používá infralogické operace – pročleňování a posléze abstrahování od všech ostatních prvků, které je zprostředkované konkretizací tvaru. Jde o zcela jinou abstrakci než v případě abstrahování od nedokonalosti tvaru, kterou žáci uplatňují při záměně čtyřúhelníku za trojúhleník.
22
3.4 Hledání geometrických tvarů v okolí – 2.B versus MŠ Jak jsem již popsala v historii výzkumu, jednou z částí mé práce byl rozhovor s dětmi druhé třídy ZŠ a s dětmi z MŠ o předmětech z jejich okolí, které mají určitý geometrický tvar. To proto, že v závěru práce mne zajímalo, jak ovlivňuje školní geometrie u dětí vidění světa. Na své okolí se díváme přes geometrické brýle, které jsou nám nasazeny při školní výuce. Zajímalo mne, jak vnímají geometrické tvary ve svém okolí děti ještě nepoznamenané učivem geometrie, a jak děti, které již v prvních dvou ročnících určité geometrické poznatky získaly. Děti se ve škole učí vnímat svět podle geometrických měřítek, což je možné ilustrovat např. na úkolu, kdy děti měly chápat města jako body a cesty mezi nimi jako úsečky, z nichž ve výsledku vzniká n-úhleník. Předložila jsem dětem obrázek daného geometrického tvaru a ony uváděly předměty, které tomuto tvaru podle jejich názoru odpovídají. Poté, co jsem položila obrázek s narýsovaným geometrickým tvarem doprostřed kroužku dětí a zadala otázku, mi děti říkaly své nápady. Tyto odpovědi jsou uvedené v tabulce č. 6. Mám-li získané informace porovnat, myslím si, že odpovědi dětí z mateřské školy vykazují větší dávku fantazie a jsou nápaditější. Geometrické tvary spíše naznačují a dají se v nich spíše tušit, což je nejznatelnější u předmětů uváděných ke tvaru trojúhelníku. Žáci druhé třídy základní školy se už spíše striktně drží daného geometrického tvaru a uvádí předměty, které tento tvar přesně kopírují. V následující tabulce (tab. 6) jsou uvedené odpovědi dětí z mateřské školky a ze druhé třídy základní školy, které je napadaly k předloženým geometrickým tvarům. Tabulka č. 6 trojúhelník obdélník čtverec kruh
žáci z mateřské školy střecha, špička boty, roh, psí ucho, trychtýř, pyramida, sýr, triangl, deštník, svícen, lampička, stan, lustr kamión, lavička, stůl, sušenka, plot, silnice, krabička na pastelky, kufr, okno, obrázek, čokoláda skříňka, stolek, židle, okno, dům, televize korálek, míč, bazén, kolo, pneumatika, dno hrnečku, talíř, náš kroužek, stolek v obýváku, sluníčko, měsíček úplňku, bonbón, knoflík, kolotoč
žáci 2.B pravítko, sýr, značka, sponka, odrazka, rámeček knížka, sešit, lavice, penál, dveře, papír, obraz, klávesnice počítače, fotka obrázek, půlka tabule, aktovka, fotka, zrcadlo tácek, kolo, značka, gymnastický kruh, náušnice, pogi, talíř, prášek
3.4.1 Analýza a interpretace Ze závěrů učiněných v předcházejících kapitolách vyplývá, že pro děti není úplně snadné osvojení si geometrických pojmů a aplikování potřebných logicko-matematických a infralogických operací. V této části práce mne zajímalo, jak se liší geometrický pohled na svět u dětí předškolních, ještě nedotčených školní geometrií, a u žáků druhého ročníku, kteří již získávají určité základní poznatky z geometrie. Nemůže jistá část potíží, které se objevují u žáků 2.B plynout z pouhého přetrvávání dětského předškolního názoru na okolní svět a geometrické tvary v něm obsažené, které nás obklopují? Cílem této kapitoly je tedy pokusit se 23
zjistit, jaké rozdíly jsou v geometrickém pohledu na okolní předměty u dětí předškolních a žáků druhého ročníku ZŠ. Co se týče vývoje dětského myšlení, do 7.-8. roku je stále inteligence dítěte prelogická. Myšlení je polosymbolické (názorné usuzování). Názorné myšlení je charakteristické prelogickým schematismem, který ještě zblízka napodobuje vjemová data. Vyskytují se zde názorné centrace a decentrace. V názorném myšlení ještě nedochází k dedukci ani ke skutečné operaci (pouze jakási názorná regulace). Jde v prvé řadě o činnost prováděnou v představě. Názorné myšlení je také obrazným myšlením, které se zabývá celostními konfiguracemi. Mezi 8. a 11. rokem dochází k přechodu z fáze postupného vytváření rovnováhy (názorné myšlení) k pohyblivé rovnováze (konkrétní operace). (Piaget, 1999, str. 123-130) Stejně tak geometrie prochází z hlediska vývoje dítěte určitými vývojovými fázemi. Vývoj spontánní geometrie se shoduje se stádii vývoje dětské kresby. První prostorový názor dítěte je topologický, teprve pak se stává projektivním nebo se utváří dle eukleidovské geometrie. Z topologických názorů se od 7 – 8 let vyvíjejí projektivní představy a současně se vypracovává eukleidovská geometrie. (Piaget, 2001, str. 63-64) Děti, které figurují v této práci, patří do obou výše zmíněných stádií. Předškolní děti setrvávají prozatím ve stádiu názorného myšlení a z hlediska geometrie je jejich názor topologický, zatímco žáci druhého ročníku již přecházejí do stádia konkrétních operací a jejich geometrický názor jde ve směru projektivních představ a eukleidovské geometrie. Nyní se vraťme k datům získaným při rozhovoru s dětmi v MŠ a ZŠ. V následujících tabulkách (tab. 10, 11, 12, 13) jsem se pokusila získané odpovědi dětí roztřídit do několika skupin. Jako první skupinu jsem zvolila ty předměty uváděné dětmi, které jsou pro daný geometrický tvar běžné, kde tento tvar na první pohled všichni vidíme. Další dvě skupiny jsou spíše neobvyklé odpovědi. Tyto ne zcela běžné odpovědi jsem rozdělila do dvou skupin, z nichž první jsem v tabulkách označila jako „přidává“, čímž míním, že dítě si zde musí jakoby přimyslet jednu stranu daného geometrického tvaru, aby ho v tom kterém předmětu mohlo rozpoznat. Druhou skupinu, kterou jsem označila jako „odhlíží“, chápu tak, že dítě zde odhlíží od trojrozměrné existence konkrétního předmětu a jakoby ho „zplošťuje“, aby v něm mohlo geometrický tvar identifikovat. Předměty v první skupině tedy nejlépe odpovídají požadavkům školní eukleidovské geometrie. Tabulka č. 10 (trojúhelník) běžné „přidává“ „odhlíží“
Mateřská škola sýr, triangl
Základní škola pravítko, sýr, značka, sponka, odrazka, rámeček
střecha, špička boty, roh, svícen psí ucho, trychtýř, pyramida, deštník, lampička, stan, lustr
Tabulka č. 11 (obdélník) běžné „přidává“ „odhlíží“
Mateřská škola sušenka, krabička na pastelky, okno, obrázek, čokoláda plot, silnice kamión, lavička, stůl, kufr
Základní škola knížka, sešit, dveře, papír, obraz, fotka, klávesnice, penál lavice
24
Tabulka č. 12 (čtverec) běžné „přidává“ „odhlíží“
Mateřská škola okno
Základní škola obrázek, půlka tabule, fotka, zrcadlo
skříňka, stolek, židle, dům, televize
aktovka
Mateřská škola kolo, pneumatika, talíř, sluníčko, úplněk, knoflík
Základní škola tácek, kolo, značka, gymnastický kruh, náušnice, pogi, prášek
Tabulka č. 13 (kruh) běžné „přidává“ „odhlíží“
náš kroužek korálek, míč, bazén, dno hrnečku, stolek v obýváku, bonbón, kolotoč
V těchto čtyřech tabulkách je vidět, že děti z mateřské školy uvádí předměty zařazené nejvíce do druhé či třetí kategorie, zatímco žáci 2.B uvádí převážně předměty ve skupině první. Pokud data roztřídím dle jednotlivých geometrických tvarů jako v tabulkách, zjišťuji, že u trojúhelníku děti z MŠ převážně uvádí předměty ve druhé a třetí skupině, zatímco žáci 2.B pouze ve skupině první. U obdélníku děti z MŠ uvádí nejvíce předmětů v první skupině (5 předmětů), ovšem celkově převládají odpovědi „neobvyklé“ (6 předmětů); žáci 2. třídy se opět drží převážně běžných předmětů. V případě čtverce u dětí z MŠ silně převažuje třetí skupina, u žáků ZŠ opět skupina první. Konečně co se týče kruhu, děti z MŠ opět uvádí více odpovědí patřících mezi předměty „neobvyklé“ (nejvíce třetí skupina), zatímco žáci druhé třídy kladou odpovědi náležející pouze první skupině. Lze tedy říci, že děti z mateřské školy napadají ke všem uvedeným geometrickým tvarům převážně předměty patřící mezi neobvyklé, přičemž nejčasteji „odhlíží“. Žáci základní školy se ve všech případech celkem pevně drží předmětů běžných. Co je charakteristické pro uvedené tři skupiny odpovědí? Co se týče první skupiny („běžné“), jedná se převážně o předměty, které spadají dle parametrů eukleidovské geometrie k jednotlivým geometrickým tvarům. Předměty zařazené do druhé skupiny, kterou jsem nazvala „přidává“, jsou charakteristické tím, že jedna ze stran geometrického tvaru, který dítě v předmětu vidí, existuje pouze v představě dítěte. Jednu část geometrického tvaru si tedy dítě musí přimyslet, aby ho mohlo identifikovat (názorné myšlení coby činnost prováděná v představě). Ve své představě dítě připodobňuje vjemová data tvaru, který mu byl předložen na obrázku. Tuto skutečnost je možné dle mého názoru připodobnit k abstrakci od nedokonalosti tvaru, jak již jsme o ní hovořili několikrát výše. Dítě tvar viděný v předmětu dotvoří do dokonalého tvaru tím, že přidá jeho část. Jeho uvažování ještě není poznamenáno žádnou definicí, nerozlišuje kvality vedlejší a podstatné, které dělají geometrický tvar tvarem. Do jisté míry toto přetrvává u některých žáků 2.B ve formě záměny n-úhelníků v geometrických úkolech (viz geometrický test a samostatně zadávaný obrazec). Jak je patrné z uvedených tabulek, tito žáci však předměty řazené do druhé skupiny v rozhovoru neuvádí. Dle mého názoru se to dá vysvětlit tím, že zadané úkoly v geometrických testech a zde jsou trochu jiné povahy.
25
Třetí skupinu předmětů jsem charakterizovala názvem „odhlíží“, což vyjadřuje činnost, kterou musí dítě provést, aby daný tvar v předmětu vidělo. Jak již jsem vysvětlila, rozumím tím skutečnost, že dítě odhlédne od trojrozměrné existence předmětu a zploští ho.U předškolních dětí si tento fakt vysvětluji jejich nezralostí pro chápání trojrozměrných objektů, jejichž měření a porozumění se u dítěte završuje až kolem 9-10 let věku. Z tohoto důvodu děti předměty řazené do třetí skupiny hojně udávají. Oproti tomu žáci druhého ročníku jsou již zralejší a navíc poučenější školskou geometrií, proto třetí skupinu uvádějí zřídka kdy. Tyto odpovědi se vyskytují pouze u čtverce a obdélníku. Ačkoli děti již částečně probírali problematiku krychle a kvádru, učivo není upevněné a nenavazuje na zcela zvládnutý základ geometrických tvarů. Navíc chápání trojrozměrné existence předmětů není v jejich věku (nejčastěji 8 let) zcela dovršeno, proto se odpovědi třetí skupiny mohou případně vyskytnout. 4. ZÁVĚR Podnětem této práce byl neúspěch žáků druhého ročníku v hodinách geometrie. Tento neúspěch spočíval v problémech s rozpoznáváním geometrických tvarů, především jsou-li součástí komplexního obrazce. Proto bylo provedeno pozorování ve třídě při hodině geometrie, poté byl žákům zadán geometrický test a posléze zvlášť samostatný obrazec, kde měli žáci za úkol rozpoznat geometrické tvary. Zjistila jsem, že naše myšlení je založeno na pojmech. Podkladem pojmů, se kterými pracují žáci v hodinách geometrie, jsou logicko-matematické operace, z nichž nejdůležitější pro zvládání úkolů učiva druhého ročníku jsou klasifikační operace (třídění). Jde o vytváření tříd – pojmů, kdy klíčovou roli pro správné pochopení učiva hraje zařazení pojmu do všech nutných souvislostí s dalšími třídami – pojmy. Jak z výše uvedených kapitol vyplývá, hlavní příčinou neúspěchu žáků v geometrický úlohách je tedy nedostatečné osvojení základních geometrických pojmů (bod a úsečka), na kterých se staví při vyvozování další učební látky. Žáci nemají vžitou definici geometrických pojmů, což jim posléze komplikuje potřebné třídění. Nedokáží správně rozlišit prvky podstatné a vedlejší. Na tomto základě pak dochází k abstrakci od podstatného prvku, který je mylně dítětem považovaný za vedlejší. Dítě abstrahuje od nedokonalosti příslušného tvaru. Objevují se zde tedy dva různé druhy abstrakce. O zcela jinou situaci jde v případě, kdy dítě abstrahuje od ostatních prvků, aby „vytáhlo“ daný geometrický tvar z komplexního obrazce do popředí a správně ho identifikovalo. Pro třídění geometrických tvarů je rovněž nutná infralogická strukturace. Ta podmiňuje úspěšné zvládnutí mnoha geometrických úloh, především orientaci v komplexní figuře, jak jsem zjistila ze samostatně zadávaného obrazce. Zde se ukázala nutnost chápání celku a jeho pročleňování na jednotlivé části. K plnému pochopení tvaru (trojúhelníku) nestačí pouhé třídění jednotlivých trojúhelníkových tvarů, nýbrž je nutné i pročleňování trojúhelníku na body a úsečky, které mu náleží (na všechny části, ze kterých sestává). Co se týče geometrického pohledu na svět u předškolních dětí a dětí školních, ukázal se neoddiskutovatelný vliv školní geometrie a přirozeně rovněž velký vliv vývojovosti. U žáků 2.B pomalu nastupuje eukleidovská geometrie a svět se zařazuje do geometrických škatulek. Piaget hovoří o geometrické intuici, která je lidem vlastní. Jako geometrickou intuici označuje jakési prostorové představy, kategorii představ, jejichž adekvátnost je pozoruhodná. Jsou to jediné představy, jejichž symbolizující forma směřuje k úplnému izomorfizmu se symbolizovaným obsahem. Tak např. představa čísla není číslo, ale představa spočítaných předmětů, naproti tomu představa čtverce či trojúhelníka je přibližně čtvercová či trojúhelníková. Dostatečně vycvičená geometrická intuice dává možnost vidět v prostoru transformace, někdy velmi složité a vzdálené od běžných konkrétních zkušeností, 26
protože představa tu spočívá v zprostorněném napodobení operací,které jsou prostorové. (Piaget, 1968, str. 115-116) Z výsledků pozorování, které jsem získala při rozhovoru s dětmi z mateřské školy a s žáky 2.B, jakoby vyplývalo, že učivo geometrie, které si děti osvojují v prvních dvou ročnících základní školy, geometrická teorie, pravidla třídění a pročleňování geometrických tvarů, by mohlo snad dočasně omezovat tzv. geometrickou intuici, o které hovoří Piaget, a která se projevuje u předškolních dětí. Je totiž paradoxní, že žáci 2.B, kteří jsou vedeni ke geometrickému pohledu na okolní svět, vidí naopak méně geometrických tvarů ve svém okolí než děti předškolní. Žáci základní školy jsou s přibývajícími poznatky z oboru geometrie vedeni ke stále větší přesnosti při vnímání geometrických tvarů. Abstrakce od nedokonalosti tvaru, o které jsem hovořila, je v prostředí školní výuky chybou. Zatímco „vytáhnout“ trojúhelník z komplexního obrazce vyžaduje přesnost v určování vedlejších a podstatných prvků, infralogickou strukturaci a abstrakci od všech ostatních prvků, „vytáhnout“ trojúhelník z předmětu jako je střecha či lustr vyžaduje pouze mít představu čtverce či trojúhelníku jako přibližně čtvercového či trojúhelníkového předmětu. Paradoxním efektem tedy může být, že žáci 2.B nakonec vidí svět méně geometrický než předškoláci. 5. LITERATURA Vopěnka P.: Úhelný kámen evropské vzdělanost a moci. Souborné vydání Rozprav s geometrií. PRÁH, Praha 2001. Malinová E.: Didaktika matematiky na prvním stupni základních škol. Univerzita Karlova, Praha 1983. Piaget J.: Inteligencia, osobnost. Slovenske pedagogicke nakladatelstvo, Bratislava 1968. Piaget J.: Psychologie inteligence. Portál, Praha 1999. Piaget J.: Psychologie dítěte. Portál, Praha 2001.
27
