SIDANG TERTUTUP
TRANSFORMASI HOPF-COLE PADA APPROKSIMASI DIFUSI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TRANSFER RADIASI PADA INVERSE PROBLEM PENCITRAAN KANKER OTAK Jumini Nrp. 1209 201 702 Pembimbing: Dr. Erna Apriliani, M.Si Dr. Mahmud Yunus, M.Si Sidang Tertutup, Juli 2011
1
Abstrak
Persamaan transfer radiasi atau Radiative Transfer Equation (RTE) adalah persamaan differensial integral yang mendeskripsikan transfer energi photon yang bergerak menyinari jaringan otot halus yang tembus cahaya, seperti otak. Penyinaran digunakan untuk pencitraan jaringan dan mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker otak. Pencitraan kanker otak adalah salah satu contoh inverse problem. Pada tesis ini dikaji persamaan transfer radiasi dan menyelesaikannya dengan menerapkan metode approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole. Kedua metode tersebut digunakan untuk menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada otak. Dari hasil simulasi diketahui bahwa penyelesaian inverse problem pencitraan kanker otak dengan metode transformasi Hopf-Cole lebih stabil jika dibandingkan penyelesaian dengan metode approksimasi difusi. Kata kunci: Approksimasi Difusi, Inverse Problem, Transformasi Hopf-Cole.
Sidang Tertutup, Juli 2011
2
PENDAHULUAN
• Gambar jaringan biologi (otak) dalam bidang
•
kedokteran dapat dihasilkan menggunakan salah satu cara yang sudah ada seperti CAT, EROS, MRI, FMRI, EEG, MEG, PET, SPECT. Semua cara tersebut mempunyai kelebihan tetapi juga mempunyai kelemahan diantaranya membutuhkan biaya yang besar Optical tomography telah diakui sebagai suatu tehnik diagnostik yang ideal karena biayanya rendah dan sangat sedikit efek sampingnya (Tahir, 2007). Selanjutnya tehnik pencitraan ini dikenal dengan Diffuse optical imaging (DOI) atau Diffuse optical tomography (DOT).
Sidang Tertutup, Juli 2011
3
PENDAHULUAN DOT, adalah salah satu contoh invers problem, yang merupakan suatu alat diagnostik yang potensial untuk mendeteksi pertumbuhan jaringan otot halus yang tembus cahaya. Pencitraan optical tomography dilakukan untuk mendapatkan informasi tentang kelainan jaringan otot seperti kanker payudara dan tumor otak (Tahir, 2007). Telah diketahui secara umum bahwa approksimasi difusi berdasarkan invers problem pada optical tomography secara eksponensial tidak stabil (Natterer, 2001).
Sidang Tertutup, Juli 2011
4
RUMUSAN MASALAH Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi menggunakan approksimasi difusi untuk menghitung batas pengukuran photon, koefisien absorpsi dan difusi pada pencitraan kanker otak. Bagaimana penyelesaian persamaan transfer radiasi yeng lebih stabil menggunakan transformasi Hopf-Cole pada approksimasi difusi.
BATASAN MASALAH Penerapan approksimasi difusi dan transformasi Hopf-Cole pada persamaan transfer radiasi dibatasi untuk medium background konstan yang homogen berdimensi satu.
Sidang Tertutup, Juli 2011
5
TUJUAN PENELITIAN Menghitung batas pengukuran kepadatan photon, koefisien absorpsi dan difusi pada kanker otak dengan menerapkan approksimasi diffusi pada persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pencitraan kanker otak. Memperbaiki kestabilan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan transformasi Hopfcole
MANFAAT PENELITIAN Didapatkan penyelesaian persamaan transfer radiasi yang merupakan invers problem pada pencitraan kanker otak dengan menerapkan metode approksimasi difusi. Didapatkan penyelesaian invers problem pada pencitraan kanker otak yang lebih stabil dengan menerapkan transformasi Hopf-Cole
Sidang Tertutup, Juli 2011
6
TINJAUAN PUSTAKA A. Inverse Problem Pencitraan Otak Pencitraan otak ada 9 cara yaitu: 1. Computed Axial Tomography (CAT) 2. Even Related Optical Signal (EROS) 3. Magnetic Resonance Imaging (MRI) 4. Functional Magnetic Resonance Imaging (FMRI) 5. Electroencephalography (EEG) 6. Magnetoencephalography (MEG) 7. Positron Emmission Tomography (PET) 8. Single Photon Emission Computed Tomography (SPECT) 9. Diffuse Optical Imaging (DOI) atau Diffuse Optical Tomography (DOT) Sidang Tertutup, Juli 2011
7
Model Perpindahan Photon Perpindahan photon dalam jaringan biologi seperti otak dapat dimodelkan secara analitik dengan persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation). Sinar didefinisikan sebagai aliran energi per satuan daerah normal per sudut padat per satuan waktu.
Skema aliran energi melalui turunan elemen daerah dA pada posisi dalam sebuah turunan elemen sudut padat d Sidang Tertutup, Juli 2011
r 8
Penurunan Persamaan Transfer Radiasi Ada 4 hal pada persamaan transfer radiasi (Ambrocio, 2008), yaitu: 1. Divergence (penyimpangan)
ˆ dPdiv sLr , sˆ, t ddV 2. Extinction (pemunahan)
dPext t ds Lr , sˆ, t dAd 3. Scattering (penyebaran)
dPsca s dV Lr , sˆ, t Psˆ.sˆ d d s 4 4. Source (Sumber cahaya)
dPsrc Qr , sˆ, t dVd
Sidang Tertutup, Juli 2011
9
Penurunan Persamaan Transfer Radiasi Perubahan energi dalam elemen volume dV dalam elemen sudut solid d per satuan waktu diberikan sebagai berikut: 1 Lr , sˆ, t dP dVd c t
L Dengan c adalah perambatan energi per satuan volume per satuan sudut padat. Dengan hukum kekekalan energi, diperoleh persamaan sebagai berikut:
dP dPdiv dPext dPsca dPsrc
1 Lr , sˆ, t sˆ.L r , sˆ, t t L r , sˆ, t s L r , sˆ, t Psˆ, sˆd Q r , sˆ, t c t 4
RTE Sidang Tertutup, Juli 2011
10
Spherical Harmonic Secara umum Spherical harmonic didefinisikan sebagai berikut: Yn,m sˆ Yn,m , 1
m
Dengan Pn,m
x 1 x
m 2 2
2 n! n
2n 1n m!P cos e im n ,m 4 n m!
n d m n 2 1 x dx m n
Spherical harmonic mempunyai dua sifat, yaitu: Yn , m , 1 Yn*,m , m
* ˆ ˆ d nn,mm Y s Y , m s n , m n
4
Delta kroneker didefinisikan sebagai nn,mm 1 pada saat n n dan m m dan nn,mm 0 untuk yang lain. Sidang Tertutup, Juli 2011
11
METODE PENELITIAN Diagram Alur
Mengkaji Persamaan Tranfer Radiasi
Menerapkan Approksimasi Difusi Pada Persamaan Transfer Radiasi
Menerapkan Transformasi Hopf-Cole Pada Persamaan Difusi
Mensimulasikan Hasil Estimasi (Koeffisien Absorpsi dan Difusi)
Menganalisa Hasil Simulasi Sidang Tertutup, Juli 2011
12
PEMBAHASAN Persamaan transfer radiasi (Radiative Transfer Equation (RTE)) adalah sebuah persamaan differensial yang mendiskripsikan radiasi . Persamaan ini dapat diturunkan melalui hukum kekekalan energi. Singkatnya, RTE menunjukkan sinar dari energi cahaya yang hilang melalui penyerapan dan penyebaran dari sinar dan tambahan sumber cahaya dalam jaringan yang akan dibuat gambarnya. RTE (persamaan Boltzman) ditulis sebagai berikut ( Wang dan Wu, 2007) :
1 Lr , sˆ, t sˆ.L r , sˆ, t t L r , sˆ, t s L r , sˆ, t Psˆ, sˆd Q r , sˆ, t c t 4
Sidang Tertutup, Juli 2011
(1)
13
Keterangan RTE cadalah kecepatan cahaya yang masuk dalam jaringan, ditentukan dengan indeks refraksi relatif t s , koeffisien punahan ˆ, s ˆ adalah fungsi keadaan yang Ps merepresentasikan probabilitas dari cahaya dengan arah propagasi s ˆ ' yang disebarkan pada sudut solid d mengelilingi s ˆ. Dalam sebagian besar kasus , fungsi keadaan hanya bergantung pada sudut antara ˆ dan penyerapan cahaya dengan arah sˆ penyebaran s . Dengan kata lain Psˆ, sˆ Psˆ.sˆ . Penyebaran yang tidak isotropi dapat diekspresikan sebagai berikut: g
sˆ.sˆPsˆ.sˆd
s 4
Q r , sˆ, t
mendiskripsikan sumber cahaya. Sidang Tertutup, Juli 2011
14
Besaran-besaran pada definisi radiasi Spektrum radiasi ( Lv ) Radiasi ( L)
L(r , sˆ, t ) Lv (r , sˆ, t )v
Intensitas cahaya
( r , t )
L(r , sˆ, t )d
(2)
(3)
s 4
Kepadatan aliran cahaya
J (r , t )
sˆL(r , sˆ, t )d
(4)
s 4
Sidang Tertutup, Juli 2011
15
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE Pada approksimasi difusi diasumsikan bahwa penyinaran cahaya near-infra merah pada otak adalah isotropik yaitu penyebarannya merata disetiap komponen jaringan otak. Untuk mempelajari radiasi dalam batas difusi, radiasi direpresentasikan sebagai sebuah ekspansi spherical harmonic sebagai berikut: 1 Lr , sˆ, t
Ln,m r , t Yn,m sˆ n
n 0 m n
(5)
Dengan Yn ,m menunjukkan spherical harmonic dan Ln ,m menunjukkan koeffisien ekspansi. Komponen isotropik dari L sesuai dengan n 0 dan m 0 . Pada saat n 1 dan m 1,0,1 ada komponen yang tidak isotropik Sidang Tertutup, Juli 2011
16
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE Dengan subtitusi persamaan (5) ke persamaan (3) dan (4) akan menghasilkan: (r , t ) L0,0 (r , t )Y0,0 ( sˆ) 4 3 L1,m (r , t )Y1,m ( sˆ) J (r , t ).sˆ 4 m 1 1
Sehingga persamaan (5) menjadi:
1 3 L(r , sˆ, t ) (r , t ) J (r , t ) 4 4
Sidang Tertutup, Juli 2011
(6)
17
APPROKSIMASI DIFUSI PADA RTE Subtisusi persamaan (6) ke persamaan transfer radiasi (1) akan didapatkan persamaan difusi yang bergantung pada waktu:
r , t r , t Dr , t Qr , t ct Selanjutnya, approksimasi difusi pada persamaan transfer radiasi dapat ditulis pada kasus yang tidak bergantung pada waktu sebagai berikut:
Dr (r ) (r )(r ) Q(r )
Sidang Tertutup, Juli 2011
18
INVERS PROBLEM Dalam penelitian ini jika diasumsikan adalah otak yang menjadi domain dalam pembahasan pada permukaan , maka dapat didefinisikan invers problemnya adalah sebagai berikut: diberikan data yaitu intensitas cahaya, maka akan ditemukan koefisien difusi D dan koefisien penyerapan . Koefisien difusi D dan koefisien penyerapan selanjutnya disebut q . Objek dari invers atau parameter estimasi dalam masalah ini dipilih sebuah * parameter q dengan meminimumkan kriteria eror atau fungsional biaya. N
J q i , q z i q q0 2
2
i 1
Sidang Tertutup, Juli 2011
19
APPROKSIMASI DIFUSI DENGAN BACKGROUND TETAP YANG HOMOGEN Persamaan Strum-Louiville:
2 q 2 0 2
Dengan q
D
(7)
konstan, dengan kondisi batas rubin:
(0) (0) 0
(l ) (l ) 0 (8) Dalam masalah ini invers problemnya adalah mengestimasi skalar q dari pengukuran kepadatan photon z yang diukur pada x 0 atau x l
Sidang Tertutup, Juli 2011
20
TRANSFORMASI HOPF-COLE Transformasi Hopf-Cole dimulai dengan transformasi sebagai berikut (Evan, 1998):
Dln Persamaan (7) dan (8) berubah menjadi : 2 2
q
D
D
2
q2D 0
(9)
konstan, dengan kondisi batas rubin:
(0) D (l ) D Sidang Tertutup, Juli 2011
(10) 21
SOLUSI ANALITIK Solusi analitik approksimasi difusi, solusi analitik persamaan (7) dan (8):
e ( x, ; q)
q
e q e q e q 2qD
(9)
Dengan keterangan: e 2lq
1 q 1 q
Solusi analitik dengan transformasi Hopf-Cole, x; q D ln e 2qx qDx Sidang Tertutup, Juli 2011
(10) 22
.
SIMULASI Pada simulasi ini diberikan kondisi batas Rubin 1 dengan 0,01mm dan D 0,3mm . .Estimasi 2 q awal untuk 0 dihitung dengan rumus q . D Untuk metode approksimasi difusi, besarnya fungsional biaya dapat dihitung dengan rumus: 2
J q (0; q) (0; q0 ) q q0
2
Sedangkan untuk metode transformasi Hopf-Cole, besarnya fungsional biaya dapat dihitung dengan rumus: 2
J q (0; q) (0; q0 ) q q0
Sidang Tertutup, Juli 2011
2
23
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
0.06
0.8 Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.01)
Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.01)
0.7
0.05 0.6 Fungsional biaya
Fungsional biaya
0.04
0.03
0.5 0.4 0.3
0.02 0.2 0.01 0.1 0
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan approksimasi difusi untuk 0 dan 0.01
0
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan Transformasi Hopf-Cole untuk 0 dan 0.01
Sidang Tertutup, Juli 2011
24
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
0.8
0.09 Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.05)
0.08
0.7
0.07
0.6 Fungsional biaya
0.06 Fungsional biaya
Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.05)
0.05 0.04
0.5 0.4 0.3
0.03
0.2
0.02
0.1
0.01 0
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan approksimasi difusi untuk 0 dan 0.05
0
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan Transformasi Hopf-Cole untuk 0 dan 0.05
Sidang Tertutup, Juli 2011
25
Parameter Estimasi dengan Transformasi Hopf-Cole
Parameter Estimasi dengan Approksimasi Difusi
0.8
0.4 Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.5)
0.35
0.7 0.6
0.25
Fungsional biaya
Fungsional biaya
0.3
0.2 0.15
0.5 0.4 0.3
0.1
0.2
0.05
0.1
0
Tanpa Regularisasi (lamda=0) Dengan regularisasi (lamda=0.5)
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan approksimasi difusi untuk 0 dan 0.5
0
0
0.2
0.4
0.6 0.8 Parameter Estimasi q
1
1.2
1.4
Gambar 4.1 Parameter estimasi qdengan Transformasi Hopf-Cole untuk 0 dan 0.5
Sidang Tertutup, Juli 2011
26
ANALISIS HASIL SIMULASI Pada keenam gambar tersebut terlihat bahwa parameter regularisasi sangat berpengaruh terhadap besarnya fungsional biaya. Semakin besar parameter regularisasi, swmakin besar pula selisih fungsional biaya. Meskipun demikian pada ketiga gambar tersebut fungsional biaya bernilai minimum terletak pada daerah yang sama, yaitu terletak pada parameter estimasi disekitar q 0,2 dan parameter estimasi inilah yang dipilih sebagai parameter koeffisien absorpsi dan koeffisien difusi (q) yang mendekati parameter sebenarnya, karena tujuan dari simulasi ini adalah mencari parameter estimasi q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum.
Sidang Tertutup, Juli 2011
27
Tabel 4.1 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.01 dengan metode Approksimasi Difusi E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
3.04E-06
0.4
0.000473
0.6
0.001742
0.8
0.003812
0.01
0.000298
0.21
7.52E-06
0.41
0.000517
0.61
0.001827
0.81
0.003937
0.02
0.000264
0.22
1.4E-05
0.42
0.000564
0.62
0.001913
0.82
0.004063
0.03
0.000233
0.23
2.25E-05
0.43
0.000612
0.63
0.002002
0.83
0.004192
0.04
0.000203
0.24
3.3E-05
0.44
0.000663
0.64
0.002092
0.84
0.004322
0.05
0.000176
0.25
4.55E-05
0.45
0.000715
0.65
0.002185
0.85
0.004455
0.06
0.00015
0.26
5.99E-05
0.46
0.00077
0.66
0.002279
0.86
0.004589
0.07
0.000127
0.27
7.64E-05
0.47
0.000826
0.67
0.002376
0.87
0.004726
0.08
0.000105
0.28
9.49E-05
0.48
0.000885
0.68
0.002474
0.88
0.004864
0.09
8.57E-05
0.29
0.000115
0.49
0.000945
0.69
0.002575
0.89
0.005005
0.1
6.82E-05
0.3
0.000138
0.5
0.001008
0.7
0.002677
0.9
0.005147
0.11
5.27E-05
0.31
0.000162
0.51
0.001072
0.71
0.002782
0.91
0.005291
0.12
3.92E-05
0.32
0.000189
0.52
0.001139
0.72
0.002888
0.92
0.005438
0.13
2.76E-05
0.33
0.000217
0.53
0.001207
0.73
0.002997
0.93
0.005586
0.14
1.81E-05
0.34
0.000248
0.54
0.001278
0.74
0.003107
0.94
0.005737
0.15
1.06E-05
0.35
0.00028
0.55
0.00135
0.75
0.00322
0.95
0.005889
0.16
5.1E-06
0.36
0.000315
0.56
0.001425
0.76
0.003334
0.96
0.006044
0.17
1.58E-06
0.37
0.000351
0.57
0.001501
0.77
0.003451
0.97
0.0062
0.18
6.63E-08
0.38
0.00039
0.58
0.001579
0.78
0.003569
0.98
0.006359
0.19
5.51E-07
0.39
0.00043
0.59
0.00166
0.79
0.00369
0.99
0.006519
Sidang Tertutup, Juli 2011
28
Tabel 4.2 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.05 dengan metode Approksimasi Difusi E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
1.52E-05
0.4
0.002364
0.6
0.008712
0.8
0.019061
0.01
0.001489
0.21
3.76E-05
0.41
0.002586
0.61
0.009135
0.81
0.019683
0.02
0.001322
0.22
7E-05
0.42
0.002819
0.62
0.009567
0.82
0.020316
0.03
0.001164
0.23
0.000112
0.43
0.003061
0.63
0.010009
0.83
0.020958
0.04
0.001016
0.24
0.000165
0.44
0.003313
0.64
0.010462
0.84
0.02161
0.05
0.000879
0.25
0.000227
0.45
0.003576
0.65
0.010924
0.85
0.022273
0.06
0.000751
0.26
0.0003
0.46
0.003848
0.66
0.011397
0.86
0.022945
0.07
0.000634
0.27
0.000382
0.47
0.004131
0.67
0.011879
0.87
0.023628
0.08
0.000526
0.28
0.000475
0.48
0.004423
0.68
0.012372
0.88
0.02432
0.09
0.000428
0.29
0.000577
0.49
0.004726
0.69
0.012874
0.89
0.025023
0.1
0.000341
0.3
0.000689
0.5
0.005038
0.7
0.013386
0.9
0.025735
0.11
0.000263
0.31
0.000812
0.51
0.00536
0.71
0.013909
0.91
0.026457
0.12
0.000196
0.32
0.000944
0.52
0.005693
0.72
0.014441
0.92
0.02719
0.13
0.000138
0.33
0.001087
0.53
0.006035
0.73
0.014984
0.93
0.027932
0.14
9.06E-05
0.34
0.001239
0.54
0.006388
0.74
0.015536
0.94
0.028685
0.15
5.31E-05
0.35
0.001402
0.55
0.00675
0.75
0.016099
0.95
0.029447
0.16
2.55E-05
0.36
0.001574
0.56
0.007123
0.76
0.016671
0.96
0.03022
0.17
7.91E-06
0.37
0.001756
0.57
0.007505
0.77
0.017253
0.97
0.031002
0.18
3.31E-07
0.38
0.001949
0.58
0.007897
0.78
0.017846
0.98
0.031794
0.19
2.76E-06
0.39
0.002151
0.59
0.0083
0.79
0.018448
0.99
0.032597
Sidang Tertutup, Juli 2011
29
Tabel 4.3 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.5 dengan metode Approksimasi Difusi dan Transformasi Hopf-Cole E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
0.000152
0.4
0.023637
0.6
0.087122
0.8
0.190607
0.01
0.014891
0.21
0.000376
0.41
0.025861
0.61
0.091346
0.81
0.196832
0.02
0.013215
0.22
0.0007
0.42
0.028186
0.62
0.095671
0.82
0.203156
0.03
0.011639
0.23
0.001125
0.43
0.03061
0.63
0.100095
0.83
0.20958
0.04
0.010164
0.24
0.001649
0.44
0.033134
0.64
0.104619
0.84
0.216104
0.05
0.008788
0.25
0.002273
0.45
0.035758
0.65
0.109243
0.85
0.222729
0.06
0.007512
0.26
0.002997
0.46
0.038483
0.66
0.113968
0.86
0.229453
0.07
0.006336
0.27
0.003822
0.47
0.041307
0.67
0.118792
0.87
0.236277
0.08
0.005261
0.28
0.004746
0.48
0.044231
0.68
0.123716
0.88
0.243201
0.09
0.004285
0.29
0.00577
0.49
0.047255
0.69
0.12874
0.89
0.250226
0.1
0.003409
0.3
0.006894
0.5
0.05038
0.7
0.133865
0.9
0.25735
0.11
0.002634
0.31
0.008119
0.51
0.053604
0.71
0.139089
0.91
0.264574
0.12
0.001958
0.32
0.009443
0.52
0.056928
0.72
0.144413
0.92
0.271898
0.13
0.001382
0.33
0.010867
0.53
0.060352
0.73
0.149838
0.93
0.279323
0.14
0.000906
0.34
0.012391
0.54
0.063877
0.74
0.155362
0.94
0.286847
0.15
0.000531
0.35
0.014016
0.55
0.067501
0.75
0.160986
0.95
0.294471
0.16
0.000255
0.36
0.01574
0.56
0.071225
0.76
0.16671
0.96
0.302195
0.17
7.91E-05
0.37
0.017564
0.57
0.075049
0.77
0.172535
0.97
0.31002
0.18
3.31E-06
0.38
0.019488
0.58
0.078974
0.78
0.178459
0.98
0.317944
0.19
2.76E-05
0.39
0.021513
0.59
0.082998
0.79
0.184483
0.99
0.325968
Sidang Tertutup, Juli 2011
30
Tabel 4.4 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.01 dengan metode Transformasi Hopf-Cole E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
3.04E-06
0.4
0.000473
0.6
0.001742
0.8
0.003812
0.01
0.000298
0.21
7.52E-06
0.41
0.000517
0.61
0.001827
0.81
0.003937
0.02
0.000264
0.22
1.4E-05
0.42
0.000564
0.62
0.001913
0.82
0.004063
0.03
0.000233
0.23
2.25E-05
0.43
0.000612
0.63
0.002002
0.83
0.004192
0.04
0.000203
0.24
3.3E-05
0.44
0.000663
0.64
0.002092
0.84
0.004322
0.05
0.000176
0.25
4.55E-05
0.45
0.000715
0.65
0.002185
0.85
0.004455
0.06
0.00015
0.26
5.99E-05
0.46
0.00077
0.66
0.002279
0.86
0.004589
0.07
0.000127
0.27
7.64E-05
0.47
0.000826
0.67
0.002376
0.87
0.004726
0.08
0.000105
0.28
9.49E-05
0.48
0.000885
0.68
0.002474
0.88
0.004864
0.09
8.57E-05
0.29
0.000115
0.49
0.000945
0.69
0.002575
0.89
0.005005
0.1
6.82E-05
0.3
0.000138
0.5
0.001008
0.7
0.002677
0.9
0.005147
0.11
5.27E-05
0.31
0.000162
0.51
0.001072
0.71
0.002782
0.91
0.005291
0.12
3.92E-05
0.32
0.000189
0.52
0.001139
0.72
0.002888
0.92
0.005438
0.13
2.76E-05
0.33
0.000217
0.53
0.001207
0.73
0.002997
0.93
0.005586
0.14
1.81E-05
0.34
0.000248
0.54
0.001278
0.74
0.003107
0.94
0.005737
0.15
1.06E-05
0.35
0.00028
0.55
0.00135
0.75
0.00322
0.95
0.005889
0.16
5.1E-06
0.36
0.000315
0.56
0.001425
0.76
0.003334
0.96
0.006044
0.17
1.58E-06
0.37
0.000351
0.57
0.001501
0.77
0.003451
0.97
0.0062
0.18
6.63E-08
0.38
0.00039
0.58
0.001579
0.78
0.003569
0.98
0.006359
0.19
5.51E-07
0.39
0.00043
0.59
0.00166
0.79
0.00369
0.99
0.006519
Sidang Tertutup, Juli 2011
31
Tabel 4.5 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.05 dengan metode Transformasi Hopf-Cole E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
1.52E-05
0.4
0.002364
0.6
0.008712
0.8
0.019061
0.01
0.001489
0.21
3.76E-05
0.41
0.002586
0.61
0.009135
0.81
0.019683
0.02
0.001322
0.22
7E-05
0.42
0.002819
0.62
0.009567
0.82
0.020316
0.03
0.001164
0.23
0.000112
0.43
0.003061
0.63
0.010009
0.83
0.020958
0.04
0.001016
0.24
0.000165
0.44
0.003313
0.64
0.010462
0.84
0.02161
0.05
0.000879
0.25
0.000227
0.45
0.003576
0.65
0.010924
0.85
0.022273
0.06
0.000751
0.26
0.0003
0.46
0.003848
0.66
0.011397
0.86
0.022945
0.07
0.000634
0.27
0.000382
0.47
0.004131
0.67
0.011879
0.87
0.023628
0.08
0.000526
0.28
0.000475
0.48
0.004423
0.68
0.012372
0.88
0.02432
0.09
0.000428
0.29
0.000577
0.49
0.004726
0.69
0.012874
0.89
0.025023
0.1
0.000341
0.3
0.000689
0.5
0.005038
0.7
0.013386
0.9
0.025735
0.11
0.000263
0.31
0.000812
0.51
0.00536
0.71
0.013909
0.91
0.026457
0.12
0.000196
0.32
0.000944
0.52
0.005693
0.72
0.014441
0.92
0.02719
0.13
0.000138
0.33
0.001087
0.53
0.006035
0.73
0.014984
0.93
0.027932
0.14
9.06E-05
0.34
0.001239
0.54
0.006388
0.74
0.015536
0.94
0.028685
0.15
5.31E-05
0.35
0.001402
0.55
0.00675
0.75
0.016099
0.95
0.029447
0.16
2.55E-05
0.36
0.001574
0.56
0.007123
0.76
0.016671
0.96
0.03022
0.17
7.91E-06
0.37
0.001756
0.57
0.007505
0.77
0.017253
0.97
0.031002
0.18
3.31E-07
0.38
0.001949
0.58
0.007897
0.78
0.017846
0.98
0.031794
0.19
2.76E-06
0.39
0.002151
0.59
0.0083
0.79
0.018448
0.99
0.032597
Sidang Tertutup, Juli 2011
32
Tabel 4.6 Selisih Fungsional Biaya (E) pada saat 0 dan 0.5 dengan metode Transformasi Hopf-Cole E 0
NaN
E
E
E
E
0.2
0.000152
0.4
0.023637
0.6
0.087122
0.8
0.190607
0.01
0.014891
0.21
0.000376
0.41
0.025861
0.61
0.091346
0.81
0.196832
0.02
0.013215
0.22
0.0007
0.42
0.028186
0.62
0.095671
0.82
0.203156
0.03
0.011639
0.23
0.001125
0.43
0.03061
0.63
0.100095
0.83
0.20958
0.04
0.010164
0.24
0.001649
0.44
0.033134
0.64
0.104619
0.84
0.216104
0.05
0.008788
0.25
0.002273
0.45
0.035758
0.65
0.109243
0.85
0.222729
0.06
0.007512
0.26
0.002997
0.46
0.038483
0.66
0.113968
0.86
0.229453
0.07
0.006336
0.27
0.003822
0.47
0.041307
0.67
0.118792
0.87
0.236277
0.08
0.005261
0.28
0.004746
0.48
0.044231
0.68
0.123716
0.88
0.243201
0.09
0.004285
0.29
0.00577
0.49
0.047255
0.69
0.12874
0.89
0.250226
0.1
0.003409
0.3
0.006894
0.5
0.05038
0.7
0.133865
0.9
0.25735
0.11
0.002634
0.31
0.008119
0.51
0.053604
0.71
0.139089
0.91
0.264574
0.12
0.001958
0.32
0.009443
0.52
0.056928
0.72
0.144413
0.92
0.271898
0.13
0.001382
0.33
0.010867
0.53
0.060352
0.73
0.149838
0.93
0.279323
0.14
0.000906
0.34
0.012391
0.54
0.063877
0.74
0.155362
0.94
0.286847
0.15
0.000531
0.35
0.014016
0.55
0.067501
0.75
0.160986
0.95
0.294471
0.16
0.000255
0.36
0.01574
0.56
0.071225
0.76
0.16671
0.96
0.302195
0.17
7.91E-05
0.37
0.017564
0.57
0.075049
0.77
0.172535
0.97
0.31002
0.18
3.31E-06
0.38
0.019488
0.58
0.078974
0.78
0.178459
0.98
0.317944
0.19
2.76E-05
0.39
0.021513
0.59
0.082998
0.79
0.184483
0.99
0.325968
Sidang Tertutup, Juli 2011
33
LANJUTAN... Dari perbandingan ketiga gambar dengan metode approksimasi difusi dan ketiga gambar dengan metode transformasi Hopf-Cole diperoleh selisih nilai fungsional biaya yang sama, bisa dilihat dari tabel 4.1 sama dengan tabel 4.4, tabel 4.2 sama dengan tabel 4.5, dan tabel 4.3 sama dengan tabel 4.6. Adapun yang membedakan antara kedua metode adalah transformasi Hopf-Cole membuat grafik fungsional biaya lebih konveks. Transformasi juga mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya. Pada gambar juga terlihat bahwa pada transformasi Hopf-Cole fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem. Sidang Tertutup, Juli 2011
34
KESIMPULAN a. Penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dengan background tetap yang homogen berdimensi 1 menggunakan metode approksimasi difusi disimulasikan dengan hubungan antara fungsional biaya dengan parameter estimasi q ( koefisien absorpsi dan difusi). b. Parameter estimasi yang dipilih adalah parameter q yang menyebabkan nilai fungsional biaya minimum. Dari hasil simulasi didapatkan fungsional biaya bernilai minimum pada saat parameter estimasi disekitar 0.2. c. Besarnya parameter regularisasi pada fungsional biaya sangat berpengaruh baik dengan metode approksimasi difusi maupun metode transformasi Hopf-Cole. Semakin besar parameter regularisasi maka semakin besar pula error atau selisih nilai fungsional biaya. Sidang Tertutup, Juli 2011
35
KESIMPULAN d. Transformasi Hopf-Cole mengubah skala penyelesaian pada fungsional biaya. Selain itu regularisasi pada transformasi Hopf-Cole tidak banyak mengubah kekonvekan dari fungsional biaya. e. Pada transformasi Hopf-Cole, fungsional biaya lebih sensitif terhadap perubahan parameter q, dengan kata lain metode numerik dimulai dimanapun akan konvergen pada parameter yang sebenarnya, sehingga bisa dikatakan bahwa transformasi Hopf-Cole memperbaiki stabilitas invers problem.
Sidang Tertutup, Juli 2011
36
SARAN a. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium yang tidak homogen. b. Perlu dilakukan penelitian lebih lanjut tentang penyelesaian persamaan transfer radiasi pada invers problem pencitraan kanker otak dalam medium dengan dimensi yang lebih tinggi
Sidang Tertutup, Juli 2011
37
DAFTAR PUSTAKA Alcouffe, R, Barbour, R, dan Hielscher, A, (1998), “Comparison of finite-difference transport and diffussion calculations for photon migration in homogenous and heterogenous tissues”, Phys. Med. Biol, 42:1285-1302 Alfano, R.R dan Chance, B, (1995), “Optical tomography, photon migration, and spectroscopy of tissue and model media”, theory, human studies, and instrumentations, part 1 dan 2, volume 2389, SPIE Ambrocio, E, (2008), “ A Self-Consisten Obstacle Scattering Theory for the Diffusion Approximation of the Radiative Transport Equation”, A Technical report submitted in partial
fulfillment of the requirement for degree of Master of Science, University of California, Merced Asrul, (2010), “Kanker Otak”, http://dokter-herbal.com
/kanker-otak.html diakses pada tanggal 27 Januari 2011. Evans, L, C, (1998), Partial Differential Equations, 19, American Mathematical Society Ishimaru, A, (1978), Single Scattering an Transport Theory (Wave Propagation and Scattering in Random Media I, Academic, New York Sidang Tertutup, Juli 2011
38
DAFTAR PUSTAKA Jakob, W dan Marschner, S, (2009), Lecture handout: Diffusion Approximation, Cornell University Kaipio, J dan Somersalo, E, (2004), Statistical and Computational Invers Problem, 160, Helsinki dan Kuopio. Khan, T, R, (2007), “ Invers Problem In Optical Tomography Using Diffusion Approximation and Hopf-Cole Transformation”, Departement of Mathematical Science, Clemson University, SC 29634-0975, Clemson Natterer, F, (2001), Mathematical Methods in Image Recontruction, Siam Ohwada, T, (2009), “Cole-Hopf Transformation as Numerical Tool For The Burgers Equation”, Departement of Aeronautics and Astronautics, Graduate of School of Engineering, 606-8501, Kyoto Japan Tahir, K, (2007), “Optical Tomography”, http://www.imperial.ac.uk/research/photonics/reseach/topics /tomog diakses pada tanggal 17 Desember 2010. Wang, LV, dan Wu, HI, (2007), Biomedical Optics, Wiley. ISBN 9780471743040 Sidang Tertutup, Juli 2011
39
PERSAMAAN TRANSFER RADIASI
TRANSFORMASI HOPF-COLE INVERS PROBLEM APPROKSIMASI DIFUSI PERSAMAAN TRANSFER RADIASI
TRANSFORMASI HOPF-COLE
Terima Kasih Sidang Tertutup, Juli 2011
40