Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016
MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U
Januari 2016
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
1 / 72
Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1
2
Discrete Mathematics and Its Applications, Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen (acuan utama). Discrete Mathematics with Applications , Edisi 4, 2010, oleh S. S. Epp.
3
Mathematics for Computer Science. MIT, 2010, oleh E. Lehman, F. T. Leighton, A. R. Meyer.
4
Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.
5
Slide kuliah Matematika Diskrit di Telkom University oleh B. Purnama.
Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke
@telkomuniversity.ac.id.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
2 / 72
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
3 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
4 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
De…nisi dan Notasi Himpunan
Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern.
De…nisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari de…nisi himpunan:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
5 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
De…nisi dan Notasi Himpunan
Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern.
De…nisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari de…nisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
5 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
De…nisi dan Notasi Himpunan
Himpunan merupakan objek matematika yang sangat penting dan digunakan pada seluruh kajian matematika dan ilmu komputer modern.
De…nisi Sebuah himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang tak terurut. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut sebagai elemen, anggota, atau unsur himpunan. Dalam hal ini, himpunan tersebut dikatakan memuat atau mengandung elemen-elemennya. Dari de…nisi himpunan: Duplikasi elemen dalam suatu himpunan tidak diperhatikan. Urutan kemunculan elemen tidak diperhatikan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
5 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Notasi Himpunan Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kapital: A; B; C; : : : ; X; Y; Z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: A1 ; A2 ; : : : ; X1 ; X2 ; : : :. Anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil: a; b; c; : : : x; y; z, atau dengan indeks jika perlu, seperti: a1 ; a2 ; : : : ; x1 ; x2 ; : : :. Notasi x 2 A menyatakan bahwa x adalah anggota A, atau dengan perkataan lain A memuat x. Notasi x 62 A menyatakan bahwa x bukan anggota A, atau dengan perkataan lain A tidak memuat x. Notasi ; atau ? atau fg menyatakan himpunan kosong/ himpunan hampa, yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Dengan demikian proposisi matematika x 2 ; selalu bernilai F dan proposisi matematika x 62 ; selalu bernilai T.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
6 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Himpunan
Contoh Misalkan A = fsemar; gareng; petruk; bagongg, p B = f inn; 10; 3 2; rey , C = f9; f9g ; ff9ggg. Kita memiliki:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
7 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Himpunan
Contoh Misalkan A = fsemar; gareng; petruk; bagongg, p B = f inn; 10; 3 2; rey , C = f9; f9g ; ff9ggg. Kita memiliki: semar 2 A, gareng 2 A, arjuna 62 A,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
7 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Himpunan
Contoh Misalkan A = fsemar; gareng; petruk; bagongg, p B = f inn; 10; 3 2; rey , C = f9; f9g ; ff9ggg. Kita memiliki: semar 2 A, gareng 2 A, arjuna 62 A, f inn 2 B, han 62 B, luke 62 B,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
7 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Himpunan
Contoh Misalkan A = fsemar; gareng; petruk; bagongg, p B = f inn; 10; 3 2; rey , C = f9; f9g ; ff9ggg. Kita memiliki: semar 2 A, gareng 2 A, arjuna 62 A, f inn 2 B, han 62 B, luke 62 B,
9 2 C, f9g 2 C, ff9gg 2 C, fff9ggg 62 C.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
7 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
8 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g,
himpunan lima bilangan ganjil positif pertama:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
8 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g,
himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g, himpunan 100 bilangan genap positif pertama:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
8 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g,
himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g,
himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
8 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Kita memiliki: himpunan empat bilangan prima positif pertama: f2; 3; 5; 7g,
himpunan lima bilangan ganjil positif pertama: f1; 3; 5; 7; 9g,
himpunan 100 bilangan genap positif pertama: f2; 4; 6; : : : ; 200g, himpunan bilangan bulat: f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
8 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg, A3 memuat dua anggota,
3
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg, A3 memuat dua anggota, yaitu b dan fa; fa; bgg.
3
Akibatnya:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg, A3 memuat dua anggota, yaitu b dan fa; fa; bgg.
3
Akibatnya: 1
a 2 A1 , b 2 A1 ,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg, A3 memuat dua anggota, yaitu b dan fa; fa; bgg.
3
Akibatnya: 1 2
a 2 A1 , b 2 A1 ,
a 2 A2 , A1 2 A2 , b 62 A2 ,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Misalkan A1 = fa; bg, A2 = fa; fa; bgg, A3 = fb; fa; fa; bggg. Kita memiliki: 1
A1 memuat dua anggota, yaitu a dan b,
2
A2 memuat dua anggota, yaitu a dan fa; bg, A3 memuat dua anggota, yaitu b dan fa; fa; bgg.
3
Akibatnya: 1 2 3
a 2 A1 , b 2 A1 ,
a 2 A2 , A1 2 A2 , b 62 A2 ,
b 2 A3 , A2 2 A3 , a 62 A3 , A1 62 A3 .
Contoh tersebut memperlihatkan bahwa sebuah himpunan bisa jadi merupakan anggota dari himpunan lain. Anggota himpunan juga dapat berupa himpunan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
9 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Cara Mende…nisikan dan Menulis Himpunan Himpunan dapat direpresentasikan dengan: 1
menggunakan daftar: 1 2
2
A = fx1 ; x2 ; : : : ; xn g untuk himpunan dengan berhingga banyaknya anggota; A = fx1 ; x2 ; : : :g untuk himpunan dengan tak berhingga banyaknya anggota.
Tanda “. . . ” digunakan untuk menunjukkan bahwa pola untuk anggota himpunan tersebut sudah jelas. menggunakan notasi pembangun himpunan (set builder notation) dengan suatu predikat tertentu 1 2
3
A = fx j P (x)g atau A = fx : P (x)g A = fx 2 S j P (x)g atau A = fx 2 S : P (x)g, dalam hal ini S adalah himpunan lain dalam konteks pembicaraan yang membatasi elemen-elemen dari himpunan yang dinotasikan. Kadang-kadang S berupa himpunan universal atau himpunan semesta pembicaraan.
Dalam hal ini A = fx 2 S j P (x)g dibaca sebagai: A memuat seluruh x di S yang memenuhi P (x). P (x) merupakan predikat uner dengan variabel x. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
10 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 2 3
4
A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,
B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,
C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, D = fz j z faktor prima positif dari 12g.
Maka: 1
A=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
11 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 2 3
4
A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,
B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,
C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, D = fz j z faktor prima positif dari 12g.
Maka: 1 2
A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g, B=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
11 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 2 3
4
A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,
B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,
C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, D = fz j z faktor prima positif dari 12g.
Maka: 1 2 3
A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g,
B = f21; 23; 25; 27; 29g,
C=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
11 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 2 3
4
A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,
B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,
C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, D = fz j z faktor prima positif dari 12g.
Maka: 1 2 3 4
A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g,
B = f21; 23; 25; 27; 29g,
C = f1; 2; 5; 10g, D=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
11 / 72
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
Contoh Notasi Pembentuk Himpunan Contoh Misalkan: 1 2 3
4
A = fw j w bilangan bulat positif yang kurang dari 10g,
B = fx j P (x) g dengan P (x) : x bilangan bulat ganjil antara 20 dan 30,
C = fy j P (y)g dengan P (y) : y bilangan bulat positif yang habis membagi 10, D = fz j z faktor prima positif dari 12g.
Maka: 1 2 3 4
A = f1; 2; 3; : : : ; 8; 9g,
B = f21; 23; 25; 27; 29g,
C = f1; 2; 5; 10g, D = f2; 3g. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
11 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
12 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N . Dalam kuliah ini N = f1; 2; 3; : : :g. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mende…nisikan N = f0; 1; 2; 3; : : :g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
13 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N . Dalam kuliah ini N = f1; 2; 3; : : :g. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mende…nisikan N = f0; 1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N0 , N0 , atau N0 . Dalam kuliah ini N0 = f0; 1; 2; 3; : : :g. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
13 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Beberapa Himpunan Bilangan Himpunan bilangan asli/ himpunan bilangan natural: dinotasikan dengan N, N, atau N . Dalam kuliah ini N = f1; 2; 3; : : :g. Meskipun demikian, banyak referensi ilmu komputer yang mende…nisikan N = f0; 1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan cacah: dinotasikan dengan N0 , N0 , atau N0 . Dalam kuliah ini N0 = f0; 1; 2; 3; : : :g. Setiap anggota himpunan bilangan asli juga anggota himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan bulat: dinotasikan dengan Z, Z, atau Z, dide…nisikan sebagai Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g. Setiap anggota himpunan bilangan cacah juga anggota himpunan bilangan asli. Himpunan bilangan bulat positif dinotasikan dengan Z+ atau Z>0 , kita memiliki Z+ = f1; 2; 3; : : :g. Himpunan bilangan bulat positif sama dengan himpunan bilangan asli, sehingga Z+ = N. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
13 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, dide…nisikan sebagai Q := ab j a; b 2 Z dan b 6= 0 .
Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat dide…nisikan sebagai Q := ab j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 . Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1 . Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q+ atau Q>0 .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
14 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, dide…nisikan sebagai Q := ab j a; b 2 Z dan b 6= 0 .
Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat dide…nisikan sebagai Q := ab j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 . Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1 . Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q+ atau Q>0 .
Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang “dapat diukur secara kontinu”. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R+ atau R>0 .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
14 / 72
Beberapa Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan rasional: dinotasikan dengan Q, Q, atau Q, dide…nisikan sebagai Q := ab j a; b 2 Z dan b 6= 0 .
Karena pada himpunan tidak terdapat duplikasi elemen, Q juga dapat dide…nisikan sebagai Q := ab j a 2 Z, b 2 N, dan FPB (a; b) = 1 . Setiap bilangan bulat m dapat ditulis dalam bentuk m 1 . Jadi setiap anggota himpunan bilangan bulat juga anggota himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional positif dinotasikan dengan Q+ atau Q>0 .
Himpunan bilangan real (bilangan nyata): dinotasikan dinotasikan dengan R, R, atau R. Himpunan bilangan real mencakup seluruh bilangan yang “dapat diukur secara kontinu”. Himpunan bilangan real mencakup himpunan seluruh bilangan rasional (Q) dan himpunan seluruh bilangan irasional. Himpunan bilangan real positif dinotasikan dengan R+ atau R>0 . Himpunan bilangan kompleks: dinotasikan dengan C, C, atau C, dide…nisikan sebagai C := a + bi j a; b 2 R dan i2 = 1 .
Setiap bilangan real dapat ditulis dalam bentuk a + 0i. Jadi setiap anggota himpunan bilangan real juga anggota himpunan bilangan kompleks. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
14 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
15 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Himpunan Semesta (Universal) Himpunan Semesta (Univeral) Himpunan semesta/ himpunan universal merupakan himpunan yang berisi semua objek yang sedang kita tinjau. Himpunan semesta/ himpunan universal biasa ditulis dengan S atau U . Himpunan semesta/ himpunan universal dapat berbeda-beda, bergantung pada batasan objek yang kita tinjau.
Contoh 1
Misalkan kita memakai himpunan universal U = fx j (x 2 N) ^ (x 100)g, ini berarti kita hanya meninjau bilangan asli yang tidak lebih dari 100. Kita tidak boleh meninjau bilangan lain di luar U , contohnya 1, 101, ataupun 21 ,
2
Misakan kita memakai himpunan universal U = R, ini berarti kita hanya meninjau bilangan p real, saja. Kitaptidak boleh meninjau elemen lain di luar 2 maupun 1 + 3. U , contohnya
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
16 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi gra…s dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = f j termasuk 26 huruf dalam alfabet standarg dan V = f j huruf vokal dalam alfabet standarg. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
17 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Diagram Venn Diagram Venn Diagram Venn merupakan ilustrasi gra…s dari keterkaitan antara beberapa himpunan ditinjau terhadap himpunan semesta tertentu. Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = f j termasuk 26 huruf dalam alfabet standarg dan V = f j huruf vokal dalam alfabet standarg. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
17 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = fx j (x 2 N) ^ (x 8)g, A = f1; 2; 3; 5g, dan B = f2; 5; 6; 8g. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
18 / 72
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
Misalkan kita memiliki himpunan semesta U = fx j (x 2 N) ^ (x 8)g, A = f1; 2; 3; 5g, dan B = f2; 5; 6; 8g. Representasi diagram Venn dari hal ini adalah
A
U 1 3
MZI (FIF Tel-U)
B 2 5
Himpunan
7 8 6
4
Januari 2016
18 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
19 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Kesamaan Himpunan De…nisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A 6= B.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
20 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Kesamaan Himpunan De…nisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A 6= B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat 8x (x 2 A $ x 2 B) bernilai benar.
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 6; 12g,
B = fx j x faktor positif dari 12g, C = f1; 2; 3g, D = f1; 2; 2; 3; 3; 3g. Maka kita memiliki: MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
20 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Kesamaan Himpunan De…nisi (Kesamaan Himpunan) Dua himpunan A dan B dikatakan sama, ditulis dengan A = B, apabila A dan B memuat elemen-elemen yang sama. Selain itu, A dan B tidak sama dan ditulis dengan A 6= B. A = B jika & hanya jika (jikka) formula logika predikat 8x (x 2 A $ x 2 B) bernilai benar.
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 6; 12g,
B = fx j x faktor positif dari 12g, C = f1; 2; 3g, D = f1; 2; 2; 3; 3; 3g.
Maka kita memiliki: A = B, C = D, A 6= C, A 6= D, B 6= C, B 6= D. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
20 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Himpunan Bagian
De…nisi (Himpunan Bagian)
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
21 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Himpunan Bagian
De…nisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
21 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Himpunan Bagian
De…nisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A
B jikka formula logika predikat 8x (x 2 A ! x 2 B) bernilai benar.
De…nisi (Himpunan Bagian Sejati)
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
21 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Himpunan Bagian
De…nisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A
B jikka formula logika predikat 8x (x 2 A ! x 2 B) bernilai benar.
De…nisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A 6= B.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
21 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Himpunan Bagian
De…nisi (Himpunan Bagian) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian/ subhimpunan/ subset dari B, ditulis dengan A B, apabila setiap elemen dari A juga merupakan elemen dari B. Selanjutnya B dikatakan superset dari A dan ditulis dengan B A. A
B jikka formula logika predikat 8x (x 2 A ! x 2 B) bernilai benar.
De…nisi (Himpunan Bagian Sejati) Himpunan A dikatakan sebagai himpunan bagian sejati/ subhimpunan sejati/ subset sejati (proper subset) dari B, ditulis dengan A B atau A B, apabila A B tetapi A 6= B. A B jikka formula logika predikat 8x (x 2 A ! x 2 B) ^ 9x (x 2 B ^ x 62 A) bernilai benar.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
21 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Diagram Venn untuk hubungan A
B dapat diilustrasikan sebagai berikut.
U B
A
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
22 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f1; 2; 3; 4g,
C = fx j (x 2 N) ^ (x + 5 < 10)g, ; = fg. Maka:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
23 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f1; 2; 3; 4g,
C = fx j (x 2 N) ^ (x + 5 < 10)g, ; = fg. Maka: 1
; A, ; B, ; benar bahwa ;
MZI (FIF Tel-U)
C, dan ; ;,
;, serta ;
Himpunan
A, ;
B, ;
C, tetapi tidak
Januari 2016
23 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f1; 2; 3; 4g,
C = fx j (x 2 N) ^ (x + 5 < 10)g, ; = fg. Maka: 1
2
; A, ; B, ; benar bahwa ; B
A dan B
MZI (FIF Tel-U)
C, dan ; ;,
;, serta ;
A, ;
B, ;
C, tetapi tidak
A, karena 5 2 A tetapi 5 62 B,
Himpunan
Januari 2016
23 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Contoh Misalkan: A = f1; 2; 3; 4; 5g, B = f1; 2; 3; 4g,
C = fx j (x 2 N) ^ (x + 5 < 10)g, ; = fg. Maka: 1
2 3
; A, ; B, ; benar bahwa ; A dan B
B
C A, C B = C).
C, dan ; ;,
;, serta ;
A, ;
A, karena 5 2 A tetapi 5 62 B,
A (karena 5 2 A tetapi 5 62 C), C
C, tetapi tidak
B, ;
B, dan B
C (karena
Contoh Untuk himpunan-himpunan bilangan, kita memiliki N MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
N0
Z
Q
R Januari 2016
C. 23 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Lebih Jauh Tentang Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Teorema Untuk setiap himpunan A berlaku: 1 2
; A
A; A.
Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
Teorema Apabila A dan B adalah dua himpunan, maka A = B jika & hanya jika A dan A B.
B
Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
24 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Teorema Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku: jika A A C.
B dan B
C, maka
Bukti Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
25 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan 1: Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian Latihan Untuk setiap pernyataan berikut, pilih T bila pernyataan tersebut benar, atau F bila pernyataan tersebut salah. 1 2 3 4 5
f1; 3; 5g = f3; 5; 1g
T
F
f1; 3; 5g = f1; 3; 3; 3; 5; 5; 5; 5; 5g
T
F
f1; f1g ; ff1ggg = f1g
T
F
f1g
T
F
; = f;g
T
F
f1; f1gg
Solusi: Nomor 1: T, karena urutan pada himpunan tidak diperhatikan. Nomor 2: T, karena duplikasi anggota himpunan tidak diperhatikan. Nomor 3: F, karena himpunan f1; f1g ; ff1ggg memuat tiga anggota, yaitu 1, f1g, dan ff1gg; sedangkan f1g hanya memuat satu anggota, yaitu 1. Nomor 4: T, karena 1 2 f1g dan 1 2 f1; f1gg. Nomor 5: F, karena ; tidak memuat anggota apapun; sedangkan f;g memuat satu anggota, yaitu ;. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
26 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Latihan: Hubungan antar Dua Himpunan Latihan Isilah tempat yang telah disediakan dengan: =, =; ; ; 2; 3 tidak dapat ditentukan. (1)
f;g
(2)
;
f0g
(3)
f;; f;gg
f;g
(4)
f1g
(5)
ffgg
fg
(6)
f;g
f0g
MZI (FIF Tel-U)
,
, 2, 3, atau X jika hubungan
ffgg
ff1g ; ff1gg ; fff1gggg
Himpunan
Januari 2016
27 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
28 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1 2
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg. Karena ;
MZI (FIF Tel-U)
A untuk sembarang himpunan A, maka ;
Himpunan
f0g.
Januari 2016
28 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1 2 3
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg. Karena ;
A untuk sembarang himpunan A, maka ;
f0g.
Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
f;g.
28 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1 2 3
4
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg. Karena ;
A untuk sembarang himpunan A, maka ;
f0g.
Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3.
f;g.
f1g 2 ff1g ; ff1gg ; fff1gggg.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
28 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1 2 3
4 5
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg. Karena ;
A untuk sembarang himpunan A, maka ;
f0g.
Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3. f1g 2 ff1g ; ff1gg ; fff1gggg. Karena ffgg 3 fg dan ffgg .
MZI (FIF Tel-U)
f;g.
fg, maka ada dua jawaban benar, yaitu 3 dan
Himpunan
Januari 2016
28 / 72
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
Solusi Latihan
1 2 3
4 5
6
Karena ; = fg, maka f;g = ffgg. Karena ;
A untuk sembarang himpunan A, maka ;
f0g.
Karena ; 2 f;g dan ; 2 f;; f;gg, maka f;g f;; f;gg, atau f;; f;gg Kita juga dapat mengatakan bahwa f;; f;gg 3 f;g karena f;g adalah anggota dari f;; f;gg. Jadi ada dua jawaban benar, yaitu dan 3. f1g 2 ff1g ; ff1gg ; fff1gggg. Karena ffgg 3 fg dan ffgg .
f;g.
fg, maka ada dua jawaban benar, yaitu 3 dan
f;g adalah himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu himpunan kosong. Himpunan f0g juga himpunan yang memuat tepat satu anggota, yaitu 0. Jelas bahwa f;g = 6 f0g, dengan perkataan lain tidak terdapat hubungan =; ; ; 2; 3 antara f;g dan f0g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
28 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
29 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj = 1, jff;ggj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj = 1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan: A dikatakan himpunan berhingga (…nite set) jikka A memuat tepat n anggota, untuk suatu bilangan bulat tak negatif n; dalam hal ini, n dikatakan sebagai kardinalitas dari A, dan dinotasikan dengan jAj, n (A), atau #A,
A dikatakan himpunan tak berhingga (in…nite set) jikka A bukan himpunan berhingga.
Contoh Jika A = fm 2 N j m < 10 dan m ganjilg, maka jAj = 5. j;j = 0, jf;gj = 1, jff;ggj = 1, jf;; f;g ; ff;gggj = 3.
N, Z, Q, R, C adalah contoh himpunan tak berhingga. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
30 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Ekuivalensi Dua Buah Himpunan
De…nisi Dua buah himpunan A dan B dikatakan ekuivalen, ditulis A B, bila kardinalitasnya sama. Bila A dan B berhingga, maka A B bila jAj = jBj.
Contoh Himpunan A = f1; 2; 3; 4g dan B = f2; 4; 6; 8g memenuhi sifat A 6= B tetapi A B karena jAj = jBj = 4.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
31 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f;;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg. P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;; f;gg .
P (f;; f;gg) = f
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;; f;gg .
P (f;; f;gg) = f;;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;; f;gg .
P (f;; f;gg) = f;; f;g ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;; f;gg .
P (f;; f;gg) = f;; f;g ; ff;gg ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Himpunan Kuasa (Power Set) De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan kuasa (power set) dari A adalah himpunan yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A. Himpunan kuasa dari A dinotasikan dengan 2A , P (A), atau } (A).
Contoh P (fa; bg) = f;; fag ; fbg ; fa; bgg.
P (f0; 1; 2g) = f;; f0g ; f1g ; f2g ; f0; 1g ; f0; 2g ; f1; 2g ; f0; 1; 2gg . P (;) = f;g . P (f;g) = f;; f;gg .
P (f;; f;gg) = f;; f;g ; ff;gg ; ff;; f;gggg .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
32 / 72
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
Teorema Jika A adalah suatu himpunan dengan jAj = n, maka jP (A)j = 2A = 2n .
Bukti Bukti dapat diperoleh melalui induksi matematika dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
33 / 72
Operasi Himpunan
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
34 / 72
Operasi Himpunan
Beberapa Operasi Himpunan Standar De…nisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan, maka 1
2
3
4
Gabungan (union) dari A dan B, dinotasikan dengan A [ B, dide…nisikan sebagai A [ B := fx j x 2 A atau x 2 Bgatau A [ B := fx j (x 2 A) _ (x 2 B)g;
Irisan (intersection) dari A dan B, dinotasikan dengan A \ B, dide…nisikan sebagai A \ B := fx j x 2 A dan x 2 Bgatau A \ B := fx j (x 2 A) ^ (x 2 B)g; Jika A \ B = ;, maka A dan B dikatakan saling lepas (disjoint)dan dapat ditulis A==B. Selisih (di¤erence) dari A dan B, dinotasikan dengan A n B, A r B, atau A B, dide…nisikan sebagai A r B := fx j x 2 A dan x 62 Bgatau A r B := fx j (x 2 A) ^ (x 62 B)g; Xor atau beda simetris (symmetric di¤erence) dari A dan B, dinotasikan dengan A B dide…nisikan sebagai A B := fx j (x 2 A) (x 2 B)g, sehingga A B := (A n B) [ (B n A) = (A [ B) n (A \ B). MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
35 / 72
Operasi Himpunan
De…nisi Jika A ditinjau pada himpunan semesta pembicaraan S, maka komplemen dari A, 0 dinotasikan dengan A , AC , A, atau S r A, dide…nisikan sebagai AC := fx 2 S j x 62 Ag.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
36 / 72
Operasi Himpunan
A[B Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A [ B = fx 2 U : (x 2 A) _ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A [ B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
37 / 72
Operasi Himpunan
A[B Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A [ B = fx 2 U : (x 2 A) _ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A [ B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
37 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A[B =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
38 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. A[;=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
38 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. A [ ; = f1; 2; 3; 4g.
A[S =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
38 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A [ B = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. A [ ; = f1; 2; 3; 4g.
A [ S = S.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
38 / 72
Operasi Himpunan
A\B Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A \ B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A \ B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
39 / 72
Operasi Himpunan
A\B Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A \ B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A \ B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
39 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A\B =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g. B\C =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2 3
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g.
B \ C = f5; 6g. A\C =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2 3
4
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g.
B \ C = f5; 6g.
A \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C). Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint). A\B\C =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2 3
4
5
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g.
B \ C = f5; 6g.
A \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C). Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint). A \ B \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C). Perhatikan bahwa: (A \ B) \ C = f3; 4g \ f5; 6; 7; 8g = ; dan A \ (B \ C) = f1; 2; 3; 4g \ f5; 6g = ;. Kita tidak dapat menulis A==B==C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. A\;=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2 3
4
5
6
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g.
B \ C = f5; 6g.
A \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C). Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint). A \ B \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C). Perhatikan bahwa: (A \ B) \ C = f3; 4g \ f5; 6; 7; 8g = ; dan A \ (B \ C) = f1; 2; 3; 4g \ f5; 6g = ;. Kita tidak dapat menulis A==B==C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. A \ ; = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 ;). Nilai kebenaran dari x 2 ; selalu F. A\S =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, C = f5; 6; 7; 8g, maka: 1 2 3
4
5
6
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A \ B = f3; 4g.
B \ C = f5; 6g.
A \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 C). Akibatnya kita dapat menulis A==C (A dan C saling lepas/ disjoint). A \ B \ C = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 B) ^ (x 2 C). Perhatikan bahwa: (A \ B) \ C = f3; 4g \ f5; 6; 7; 8g = ; dan A \ (B \ C) = f1; 2; 3; 4g \ f5; 6g = ;. Kita tidak dapat menulis A==B==C karena A dan B tidak saling lepas, begitu pula dengan B dan C. A \ ; = ;, karena tidak ada x 2 S yang memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 ;). Nilai kebenaran dari x 2 ; selalu F. A \ S = A, karena jika x 2 A \ S maka x memenuhi (x 2 A) ^ (x 2 S), akibatnya haruslah x 2 A, sehingga diperoleh A \ S = A. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
40 / 72
Operasi Himpunan
ArB Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A r B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = fx 2 U : (x 2 A) ^ : (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A r B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
41 / 72
Operasi Himpunan
ArB Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A r B = fx 2 U : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = fx 2 U : (x 2 A) ^ : (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A r B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
41 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
ArB =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
BrA=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g. SrA=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
4
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g.
S r A = fx 2 N : x 10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g = f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC . ArS =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
4 5
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g.
S r A = fx 2 N : x 10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g = f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC . A r S = f1; 2; 3; 4g r fx 2 N : x Ar;=
MZI (FIF Tel-U)
10g = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 S)g = ;.
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
4 5
6
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g.
S r A = fx 2 N : x 10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g = f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC . A r S = f1; 2; 3; 4g r fx 2 N : x
10g = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 S)g = ;.
A r ; = f1; 2; 3; 4g r ; = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 ;)g = f1; 2; 3; 4g, karena x 62 ; selalu bernilai T.
;rA=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
4 5
6
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A r B = f1; 2; 3; 4g r f3; 4; 5; 6g = f1; 2g.
B r A = f3; 4; 5; 6g r f1; 2; 3; 4g = f5; 6g.
S r A = fx 2 N : x 10g r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 S) ^ (x 62 A)g = f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC . A r S = f1; 2; 3; 4g r fx 2 N : x
10g = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 S)g = ;.
A r ; = f1; 2; 3; 4g r ; = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 ;)g = f1; 2; 3; 4g, karena x 62 ; selalu bernilai T.
; r A = ; r f1; 2; 3; 4g = fx 2 S : (x 2 ;) ^ (x 62 A)g = ;, karena x 2 ; selalu bernilai F.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
42 / 72
Operasi Himpunan
A
B
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A B = (A [ B)r(A \ B) = (A r B)[(B r A) = fx 2 U : (x 2 A) (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
43 / 72
Operasi Himpunan
A
B
Misalkan A dan B adalah dua himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A B = (A [ B)r(A \ B) = (A r B)[(B r A) = fx 2 U : (x 2 A) (x 2 B)g. Diagram Venn untuk A B diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
43 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
A
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
B=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
44 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
A
B = f1; 2; 5; 6g, B
MZI (FIF Tel-U)
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A=
Himpunan
Januari 2016
44 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
A
2
A
B = f1; 2; 5; 6g, B
S=
MZI (FIF Tel-U)
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A = f1; 2; 5; 6g.
Himpunan
Januari 2016
44 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: B = f1; 2; 5; 6g, B
A = f1; 2; 5; 6g.
1
A
2
A S = fx 2 S : (x 2 A) f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC .
3
A
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
(x 2 S)g = (A [ S) r (A \ S) = S r A =
;=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
44 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: B = f1; 2; 5; 6g, B
A = f1; 2; 5; 6g.
1
A
2
A S = fx 2 S : (x 2 A) f5; 6; 7; 8; 9; 10g = AC .
3
A ; = fx 2 S : (x 2 A) f1; 2; 3; 4g = A.
MZI (FIF Tel-U)
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
(x 2 S)g = (A [ S) r (A \ S) = S r A =
(x 2 ;)g = (A [ ;) r (A \ ;) = A r ; =
Himpunan
Januari 2016
44 / 72
Operasi Himpunan
A0 , AC , atau A Misalkan A adalah himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A0 = A = AC = fx 2 S : x 62 Ag. Diagram Venn untuk AC diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
45 / 72
Operasi Himpunan
A0 , AC , atau A Misalkan A adalah himpunan yang ditinjau pada himpunan semesta U . Kita memiliki A0 = A = AC = fx 2 S : x 62 Ag. Diagram Venn untuk AC diilustrasikan sebagai berikut.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
45 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
46 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A = fx 2 S : x 62 Ag = f5; 6; 7; 8; 9; 10g.
B=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
46 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A = fx 2 S : x 62 Ag = f5; 6; 7; 8; 9; 10g.
B = fx 2 S : x 62 Bg = f1; 2; 7; 8; 9; 10g.
S=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
46 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3 4
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A = fx 2 S : x 62 Ag = f5; 6; 7; 8; 9; 10g.
B = fx 2 S : x 62 Bg = f1; 2; 7; 8; 9; 10g.
S = fx 2 S : x 62 Sg = ;.
;=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
46 / 72
Operasi Himpunan
Contoh Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N : x B = f3; 4; 5; 6g, maka: 1 2 3 4
10g, A = f1; 2; 3; 4g,
A = fx 2 S : x 62 Ag = f5; 6; 7; 8; 9; 10g.
B = fx 2 S : x 62 Bg = f1; 2; 7; 8; 9; 10g.
S = fx 2 S : x 62 Sg = ;.
; = fx 2 S : x 62 ;g = S.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
46 / 72
Hukum-hukum Aljabar Himpunan Misalkan A, B, dan C adalah himpunan yang ditinjau atas himpunan semesta pembicaraan S. A[;=A A\S =A A[A=A A\A=A A[B =B[A A\B =B\A
Sifat identitas Sifat idempoten
A[S =S A\;=; C =A AC
Sifat dominasi Sifat komplementasi
Sifat komutatif
(A [ B) [ C = A [ (B [ C) (A \ B) \ C = A \ (B \ C) A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C) C (A [ B) = AC \ B C C (A \ B) = AC [ B C A [ (A \ B) = A A \ (A [ B) = A A [ AC = S A \ AC = ;
Sifat asosiatif Sifat distributif Hukum De Morgan Sifat absorpsi Sifat komplemen
Dari kuliah Logika Matematika, kita dapat memperoleh analogi berikut: Pada Himpunan \ [ (
)
Pada Logika ^ _
C
: ! $ T F
= S (himpunan semesta) ; (himpunan kosong)
Dengan operator perbandingan aritmetika, kita memiliki analogi dengan <, dengan , dan dengan >.
dengan
,
Kemudian karena pada logika proposisi memenuhi sifat komutatif dan asosiatif, kita memiliki teorema berikut.
Teorema (Sifat komutatif dan asosiatif
.)
Misalkan A, B, C adalah tiga himpunan yang ditinjau pada semesta S, maka 1
A
2
(A
B=B B)
A.
C=A
(B
C).
Operasi Himpunan
Latihan 2: Operasi Himpunan Latihan Diberikan himpunan semesta S = fx 2 N0 : x 10g, himpunan A = fx 2 S : x genapg, himpunan B = fx 2 S : x < 7g, dan himpunan C = fx 2 S : x > 3g. Tentukan: 1 2 3
A[B[C A\B\C
(A r B) r C
4
A r (B r C)
5
A
6
(A
7
A
(B
A
C
8
B B) A
C C)
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
49 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
4
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;. B r C = fx 2 S : (x 2 B) ^ (x 62 C)g = f0; 1; 2; 3g. Jadi A r (B r C) = fx 2 S : x 2 A ^ x 62 f0; 1; 2; 3gg = fx 2 A : x > 3g = fx 2 S : (x genap) ^ (x > 3)g = f4; 6; 8; 10g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
4
5
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;. B r C = fx 2 S : (x 2 B) ^ (x 62 C)g = f0; 1; 2; 3g. Jadi A r (B r C) = fx 2 S : x 2 A ^ x 62 f0; 1; 2; 3gg = fx 2 A : x > 3g = fx 2 S : (x genap) ^ (x > 3)g = f4; 6; 8; 10g. A B = fx 2 S : x 2 A [ B dan x 62 A \ Bg = f1; 3; 5; 8; 10g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
4
5 6
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;. B r C = fx 2 S : (x 2 B) ^ (x 62 C)g = f0; 1; 2; 3g. Jadi A r (B r C) = fx 2 S : x 2 A ^ x 62 f0; 1; 2; 3gg = fx 2 A : x > 3g = fx 2 S : (x genap) ^ (x > 3)g = f4; 6; 8; 10g. A B = fx 2 S : x 2 A [ B dan x 62 A \ Bg = f1; 3; 5; 8; 10g. (A B) C = fx 2 S : x 2 (A B) [ C dan x 62 (A B) \ Cg = f1; 3; 4; 6; 7; 9g.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
4
5 6
7
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;. B r C = fx 2 S : (x 2 B) ^ (x 62 C)g = f0; 1; 2; 3g. Jadi A r (B r C) = fx 2 S : x 2 A ^ x 62 f0; 1; 2; 3gg = fx 2 A : x > 3g = fx 2 S : (x genap) ^ (x > 3)g = f4; 6; 8; 10g. A B = fx 2 S : x 2 A [ B dan x 62 A \ Bg = f1; 3; 5; 8; 10g. (A B) C = fx 2 S : x 2 (A B) [ C dan x 62 (A B) \ Cg = f1; 3; 4; 6; 7; 9g. B C = fx 2 S : x 2 B [ C dan x 62 B \ Cg = S r f4; 5; 6g = f0; 1; 2; 3; 7; 8; 9; 10g. Jadi A (B C) = fx 2 S : x 2 A [ (B C) dan x 62 A \ (B C)g = f1; 3; 4; 6; 7; 9g. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Solusi 1
2
3
4
5 6
7
8
Perhatikan bahwa B [ C = fx 2 S : (x < 7) _ (x > 3)g = S. Jadi A [ B [ C = A [ S = S. Perhatikan bahwa B \ C = fx 2 S : (x < 7) ^ (x > 3)g = fx 2 S : 3 < x < 7g = f4; 5; 6g. Jadi A \ B \ C = f4; 6g. A r B = fx 2 S : (x 2 A) ^ (x 62 B)g = f8; 10g. Jadi (A r B) r C = fx 2 S : x 2 f8; 10g ^ x 62 Cg = ;. B r C = fx 2 S : (x 2 B) ^ (x 62 C)g = f0; 1; 2; 3g. Jadi A r (B r C) = fx 2 S : x 2 A ^ x 62 f0; 1; 2; 3gg = fx 2 A : x > 3g = fx 2 S : (x genap) ^ (x > 3)g = f4; 6; 8; 10g. A B = fx 2 S : x 2 A [ B dan x 62 A \ Bg = f1; 3; 5; 8; 10g. (A B) C = fx 2 S : x 2 (A B) [ C dan x 62 (A B) \ Cg = f1; 3; 4; 6; 7; 9g. B C = fx 2 S : x 2 B [ C dan x 62 B \ Cg = S r f4; 5; 6g = f0; 1; 2; 3; 7; 8; 9; 10g. Jadi A (B C) = fx 2 S : x 2 A [ (B C) dan x 62 A \ (B C)g = f1; 3; 4; 6; 7; 9g. A AC = x 2 S : x 2 A [ AC dan x 62 A \ AC = fx 2 S : x 2 S dan x 62 ;g = S. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
50 / 72
Operasi Himpunan
Gabungan dan Irisan yang Diperumum Karena sifat asosiatif, A [ (B [ C) [berturutan A \ (B \ C)] maupun (A [ B) [ C [berturutan: (A \ B) \ C] dapat ditulis sebagai A [ B [ C [berturutan: A \ B \ C]. Secara umum, gabungan dari A1 ; A2 ; : : : ; An dapat ditulis sebagai n [
Ai =
i=1
[
fAi ; i = 1; : : : ; ng = A1 [ A2 [
[ An .
Kemudian, irisan dari A1 ; A2 ; : : : ; An dapat ditulis sebagai n \
i=1
Ai =
\
fAi ; i = 1; : : : ; ng = A1 \ A2 \
\ An .
Operasi gabungan maupun irisan juga boleh melibatkan tak hingga banyaknya 1 S himpunan, gabungan dari A1 ; A2 ; : : : ditulis sebagai Ai = A1 [ A2 [ , sedangkan irisan dari A1 ; A2 ; : : : ditulis sebagai
1 T
i=1 MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
i=1
Ai = A1 \ A2 \
.
Januari 2016
51 / 72
Operasi Himpunan
Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan Ai = fx j x bilangan ganjil dan x 2ig. 1 2 3
Tentukan A1 , A2 , A3 , A4 , A5 S100 Tentukan i=1 Ai . T100 Tentukan i=1 Ai .
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
52 / 72
Operasi Himpunan
Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan Ai = fx j x bilangan ganjil dan x 2ig. 1 2 3
Tentukan A1 , A2 , A3 , A4 , A5 S100 Tentukan i=1 Ai . T100 Tentukan i=1 Ai .
Solusi: 1
A1 = fx j x A3 = fx j x A5 = fx j x
MZI (FIF Tel-U)
2g = f1g. A2 = fx j x 4g = f1; 3g. 6g = f1; 3; 5g. A4 = fx j x 8g = f1; 3; 5; 7g. 10g = f1; 3; 5; 7; 9g.
Himpunan
Januari 2016
52 / 72
Operasi Himpunan
Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan Ai = fx j x bilangan ganjil dan x 2ig. 1 2 3
Tentukan A1 , A2 , A3 , A4 , A5 S100 Tentukan i=1 Ai . T100 Tentukan i=1 Ai .
Solusi: 1
2
A1 = fx j x 2g = f1g. A2 = fx j x 4g = f1; 3g. A3 = fx j x 6g = f1; 3; 5g. A4 = fx j x 8g = f1; 3; 5; 7g. A5 = fx j x 10g = f1; 3; 5; 7; 9g. S100 [ f1; 3; 5; : : : ; 199g = i=1 Ai = f1g [ f1; 3g [ f1; 3; 5g [ f1; 3; 5; : : : ; 199g = A100 , karena A1 A2 A3 A100 .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
52 / 72
Operasi Himpunan
Latihan: Gabungan dan Irisan yang Diperumum Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan Ai = fx j x bilangan ganjil dan x 2ig. 1 2 3
Tentukan A1 , A2 , A3 , A4 , A5 S100 Tentukan i=1 Ai . T100 Tentukan i=1 Ai .
Solusi: 1
2
3
A1 = fx j x 2g = f1g. A2 = fx j x 4g = f1; 3g. A3 = fx j x 6g = f1; 3; 5g. A4 = fx j x 8g = f1; 3; 5; 7g. A5 = fx j x 10g = f1; 3; 5; 7; 9g. S100 [ f1; 3; 5; : : : ; 199g = i=1 Ai = f1g [ f1; 3g [ f1; 3; 5g [ f1; 3; 5; : : : ; 199g = A100 , karena A1 A2 A3 A100 . T100 \ f1; 3; 5; : : : ; 199g = f1g = A1 , i=1 Ai = f1g \ f1; 3g \ f1; 3; 5g \ karena A1 A2 A3 A100 . MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
52 / 72
Operasi Himpunan
Xor (Beda Simetris) yang Diperumum
Karena
bersifat asosiatif, maka kita memiliki de…nisi n M
i=1 1 M
Ai
=
A1
A2
Ai
=
A1
A2
An dan
i=1
Latihan Diberikan himpunan semesta N, dan himpunan L5 Ai = fx j x bilangan ganjil dan x 2ig, tentukan i=1 Ai .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
53 / 72
Operasi Himpunan
Solusi: Kita memiliki 5 M
Ai
=
i=1
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
54 / 72
Operasi Himpunan
Solusi: Kita memiliki 5 M
Ai
= A1
A2
A3
A4
A5
i=1
MZI (FIF Tel-U)
=
Himpunan
Januari 2016
54 / 72
Operasi Himpunan
Solusi: Kita memiliki 5 M
Ai
= A1
A2
A3
A4
A5
i=1
=
f1g
= f3g
= f1; 5g
= f3; 7g
MZI (FIF Tel-U)
f1; 3g
f1; 3; 5g
f1; 3; 5g
f1; 3; 5; 7g
f1; 3; 5; 7g
f1; 3; 5; 7g
f1; 3; 5; 7; 9g
f1; 3; 5; 7; 9g
f1; 3; 5; 7; 9g
f1; 3; 5; 7; 9g = f1; 5; 9g .
Himpunan
Januari 2016
54 / 72
Produk Kartesius
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
55 / 72
Produk Kartesius
Produk Kartesius Himpunan merupakan koleksi objek yang tidak mempedulikan urutannya. Untuk merepresentasikan kumpulan objek terurut, dibutuhkan struktur yang berbeda.
De…nisi (n tupel terurut (ordered n-tuple)) n tupel terurut (a1 ; a2 ; : : : ; an ) adalah kumpulan objek terurut dengan a1 sebagai komponen pertama, a2 sebagai komponen kedua, dan seterusnya hingga an adalah komponen ke-n. Jika n = 2, maka 2 tupel terurut (a1 ; a2 ) disebut pasangan terurut/ pasangan berurutan. Dua n tupel terurut (a1 ; : : : ; an ) dan (b1 ; : : : ; bn ) dikatakan sama jikka ai = bi untuk setiap i = 1; 2; : : : ; n.
Contoh Kita memiliki (1; 2; 3) 6= (1; 3; 2).
De…nisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan, hasil kali kartesius dari A dan B, dinotasikan dengan A B, dide…nisikan sebagai himpunan A B := f(a; b) j a 2 A dan b 2 Bg. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
56 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A
B=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A
B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A
B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 6) ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A B
B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 6) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 6)g . A=
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A B
B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 6) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 6)g . A = f(2; 1) ; (2; 3) ; (2; 5) ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka A B
B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 6) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 6)g . A = f(2; 1) ; (2; 3) ; (2; 5) ; (3; 1) ; (3; 3) ; (3; 5) ;
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
57 / 72
Produk Kartesius
Contoh Misalkan A = f1; 3; 5g dan B = f2; 3; 6g, maka B = f(1; 2) ; (1; 3) ; (1; 6) ; (3; 2) ; (3; 3) ; (3; 6) ; (5; 2) ; (5; 3) ; (5; 6)g .
A
A = f(2; 1) ; (2; 3) ; (2; 5) ; (3; 1) ; (3; 3) ; (3; 5) ; (6; 1) ; (6; 3) ; (6; 5)g .
B Jadi A
B 6= B
A.
De…nisi Misalkan A1 ; A2 ; : : : ; An adalah n buah himpunan, hasil kali kartesius dari A1 , A2 , . . . , dan An , dinotasikan dengan A1 A2 An , dide…nisikan sebagai himpunan A1
A2
An := f(a1 ; a2 ; : : : ; an ) : ai 2 Ai untuk setiap i = 1; 2; : : : ; ng .
Apabila A1 = A2 = = An = A, maka A Kita juga dapat menulis ni=1 Ai = A1 A2
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
A ditulis dengan An .
A An .
Januari 2016
57 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
58 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Prinsip Inklusi-Eksklusi Dua Himpunan
Teorema Jika A dan B adalah dua himpunan berhingga, maka jA [ Bj = jAj + jBj
jA \ Bj
dan jA
Bj = jA [ Bj
= jAj + jBj
jA \ Bj
= jAj + jBj
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
jA \ Bj
2 jA \ Bj .
jA \ Bj
Januari 2016
59 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j = 68, dan jK \ M j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j = 68, dan jK \ M j = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah jK [ M j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j = 68, dan jK \ M j = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah jK [ M j = =
MZI (FIF Tel-U)
jKj + jM j
Himpunan
jK \ M j
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j = 68, dan jK \ M j = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah jK [ M j =
jKj + jM j
= 97 + 68
jK \ M j
12 = 153.
Jadi banyaknya mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit ada sebanyak MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Misalkan terdapat 1467 mahasiswa di suatu gedung, 97 orang di antaranya sedang mempelajari Kalkulus, 68 orang sedang mempelajari Matematika Diskrit, dan 12 orang sedang mempelajari keduanya. Ada berapa banyak mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit? Solusi: Misalkan K M
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Kalkulusg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang mempelajari Matematika Diskritg .
Kita memiliki jKj = 97, jM j = 68, dan jK \ M j = 12. Akibatnya banyaknya mahasiswa di gedung itu yang sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit adalah jK [ M j =
jKj + jM j
= 97 + 68
jK \ M j
12 = 153.
Jadi banyaknya mahasiswa di gedung itu yang tidak sedang mempelajari Kalkulus atau Matematika Diskrit ada sebanyak 1467 153 = 1314 orang. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
60 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Prinsip Inklusi-Eksklusi Tiga Himpunan
Angka 1 merah: daerah yang terlibat ketika jAj dihitung, angka 1 hijau: daerah yang terlibat ketika jBj dihitung, angka 1 biru: daerah yang terlibat ketika jCj dihitung. Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung lebih dari sekali. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
61 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Mengurangkan dengan jA \ Bj : dua 1 merah diambil, dengan jA \ Cj : dua 1 biru diambil, dengan jB \ Cj : dua 1 hijau diambil. Perhitungan hampir benar, kecuali pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama beririsan. Maka perlu ditambahkan jA \ B \ Cj.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
62 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Jadi kita memiliki jA [ B [ Cj = jAj + jBj + jCj
(jA \ Bj + jA \ Cj + jB \ Cj)
+ (jA \ B \ Cj) .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
63 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Latihan Di suatu gedung ada sebanyak 115 mahasiswa yang mempelajari Matematika Diskrit, 71 mahasiswa yang mempelajari RPL, dan 56 mahasiswa yang mempelajari PBO. Di antara mereka semua, 25 mahasiswa mempelajari Matematika Diskrit dan RPL, 14 mahasiswa mempelajari Matematika Diskrit dan PBO, serta 9 mahasiswa mempelajari RPL dan PBO. Jika terdapat 196 mahasiswa yang mempelajari salah satu dari kuliah Matematika Diskirt, RPL, atau PBO, berapa orang yang mempelajari ketiga mata kuliah tersebut sekaligus?
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
64 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki jM [ P [ Rj =
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki jM [ P [ Rj =
MZI (FIF Tel-U)
jM j + jP j + jRj
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki jM [ P [ Rj =
MZI (FIF Tel-U)
jM j + jP j + jRj
(jM \ P j + jM \ Rj + jP \ Rj)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki jM [ P [ Rj =
196
=
jM j + jP j + jRj
(jM \ P j + jM \ Rj + jP \ Rj)
+ jM \ P \ Rj
115 + 71 + 56
(14 + 25 + 9) + jM \ P \ Rj .
Jadi jM \ P \ Rj = MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Prinsip Inklusi-Eksklusi
Solusi: Misalkan M R P
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar Matematika Diskritg , = fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar RPLg ,
= fx : x mahasiswa dalam gedung yang belajar PBOg .
Kita memiliki jM j = 115, jRj = 71, jP j = 56, jM \ Rj = 25, jM \ P j = 14, dan jR \ P j = 9. Selain itu karena terdapat 196 mahasiswa yang paling setidaknya mengambil salah satu dari kuliah tersebut, kita memiliki jM [ P [ Rj = 196. Dari prinsip inklusi-eksklusi kita memiliki jM [ P [ Rj =
196
=
jM j + jP j + jRj
(jM \ P j + jM \ Rj + jP \ Rj)
+ jM \ P \ Rj
115 + 71 + 56
(14 + 25 + 9) + jM \ P \ Rj .
Jadi jM \ P \ Rj = 2. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
65 / 72
Partisi Himpunan
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
66 / 72
Partisi Himpunan
Partisi Himpunan
De…nisi Misalkan A adalah sebuah himpunan. Himpunan-himpunan bagian A1
A, : : : , An
A, A2
A
dikatakan partisi dari A, bila memenuhi: 1 2 3
Ai 6= ;, untuk setiap i = 1; : : : ; n Sn A1 [ A2 [ [ An = i=1 Ai = A dan
Ai \ Aj = ; untuk setiap i dan j yang berbeda.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
67 / 72
Partisi Himpunan
Contoh Misalkan A = f1; 2; 3 : : : ; 10g. Maka koleksi himpunanff1; 2; 3g ; f4; 5g ; f6; 7; 8g ; f9; 10gg maupun ff1g ; f2; 3; 5; 7g ; f4; 6; 8; 10g ; f9gg
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
68 / 72
Partisi Himpunan
Contoh Misalkan A = f1; 2; 3 : : : ; 10g. Maka koleksi himpunanff1; 2; 3g ; f4; 5g ; f6; 7; 8g ; f9; 10gg maupun ff1g ; f2; 3; 5; 7g ; f4; 6; 8; 10g ; f9gg adalah partisi dari A. Sedangkan koleksi himpunan ff1; 2; 3; 4g ; f4; 5; 6g ; f6; 7; 8g ; f8; 9; 10gg maupun ff1; 2; 3g ; f4; 5; 6g ; f7; 8gg
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
68 / 72
Partisi Himpunan
Contoh Misalkan A = f1; 2; 3 : : : ; 10g. Maka koleksi himpunanff1; 2; 3g ; f4; 5g ; f6; 7; 8g ; f9; 10gg maupun ff1g ; f2; 3; 5; 7g ; f4; 6; 8; 10g ; f9gg adalah partisi dari A. Sedangkan koleksi himpunan ff1; 2; 3; 4g ; f4; 5; 6g ; f6; 7; 8g ; f8; 9; 10gg maupun ff1; 2; 3g ; f4; 5; 6g ; f7; 8gg keduanya bukan partisi dari A.
Catatan Untuk himpunan yang kardinalitasnya tak berhingga, maka Sn S1 banyaknya partisi juga harus tak berhingga. Ekspresi i=1 Ai diganti dengan i=1 Ai .
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
68 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi:
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t 62 S,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t 62 S, (4) ya,
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t 62 S, (4) ya, (5) ya (fb; o; o; kg = fb; o; kg), MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t 62 S, (4) ya, (5) ya (fb; o; o; kg = fb; o; kg), (6) tidak, karena ; tidak diperbolehkan, MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Partisi Himpunan
Latihan: Partisi Latihan Diberikan himpunan S = fu; m; b; r; o; k; c; sg. Periksa apakah koleksi himpunan berikut merupakan partisi dari S. 1 2 3 4 5 6 7
ffm; o; c; kg ; fr; u; b; sgg
ffc; o; m; bg ; fu; sg ; frgg
ffb; r; o; c; kg ; fm; u; s; tgg ffu; m; b; r; o; c; k; sgg
ffb; o; o; kg ; fr; u; mg ; fc; sgg ffu; m; bg fr; o; c; k; sg ; ;g ffb; u; mg ; fc; o; r; k; sgg
Solusi: (1) ya, (2) tidak, karena k hilang, (3) tidak, karena t 62 S, (4) ya, (5) ya (fb; o; o; kg = fb; o; kg), (6) tidak, karena ; tidak diperbolehkan, (7), ya. MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
69 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Bahasan 1
Pengantar: De…nisi dan Notasi Himpunan
2
Beberapa Himpunan Bilangan
3
Himpunan Semesta (Universal) dan Diagram Venn
4
Kesamaan Himpunan & Himpunan Bagian
5
Kardinalitas Himpunan (Berhingga) dan Himpunan Kuasa
6
Operasi Himpunan
7
Produk Kartesius
8
Prinsip Inklusi-Eksklusi
9
Partisi Himpunan
10
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
70 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Bukti Matematis Terkait Himpunan
Bukti matematis terkait himpunan dilakukan dengan memakai de…nisi-de…nisi kesamaan himpunan, himpunan bagian, dan operasi-operasi himpunan. Ingat kembali dari kuliah Logika Matematika bahwa bukti matematis dapat berupa: bukti langsung, bukti dengan kontraposisi, atau bukti dengan kontradiksi.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
71 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
72 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti Akan dibuktikan bahwa A
MZI (FIF Tel-U)
C, yang berarti: untuk setiap x 2 A maka x 2 C.
Himpunan
Januari 2016
72 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti Akan dibuktikan bahwa A Misalkan x 2 A, karena A x 2 C.
MZI (FIF Tel-U)
C, yang berarti: untuk setiap x 2 A maka x 2 C. (B [ C), maka x 2 B [ C. Ini berarti x 2 B atau
Himpunan
Januari 2016
72 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x 2 A maka x 2 C. Misalkan x 2 A, karena A (B [ C), maka x 2 B [ C. Ini berarti x 2 B atau x 2 C. Karena A \ B = ;, maka tidak mungkin x memenuhi x 2 A dan x 2 B. Akibatnya tidak mungkin x 2 B.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
72 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x 2 A maka x 2 C. Misalkan x 2 A, karena A (B [ C), maka x 2 B [ C. Ini berarti x 2 B atau x 2 C. Karena A \ B = ;, maka tidak mungkin x memenuhi x 2 A dan x 2 B. Akibatnya tidak mungkin x 2 B. Oleh karenanya haruslah x 2 C.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
72 / 72
Pembuktian Matematis Terkait Himpunan
Teorema Misalkan A dan B adalah dua himpunan. Jika A \ B = ; dan A maka A C.
(B [ C),
Bukti Akan dibuktikan bahwa A C, yang berarti: untuk setiap x 2 A maka x 2 C. Misalkan x 2 A, karena A (B [ C), maka x 2 B [ C. Ini berarti x 2 B atau x 2 C. Karena A \ B = ;, maka tidak mungkin x memenuhi x 2 A dan x 2 B. Akibatnya tidak mungkin x 2 B. Oleh karenanya haruslah x 2 C. Dengan demikian jika x 2 A dengan A \ B = ; dan A (B [ C), maka x 2 C. Jadi A C.
MZI (FIF Tel-U)
Himpunan
Januari 2016
72 / 72