TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO
1. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah khususnya SMA, sudah dikenalkan tentang polinomial atau lebih sering disebut dengan istilah suku banyak. Polinomial P (x) berderajat n berbentuk, (1.1)
P (x) = an xn + an 1 xn
1
+ an 2 xn
2
+
+ a1 x + a0
dengan an 6= 0. ai disebut koo…sien dari xi sedangkan a0 biasa disebut konstanta. Akar atau pembuat nol dari suatu polinomial f (x) ialah suatu nilai, katakanlah t, sedemikian sehingga f (t) = 0. Berdasarkan Fundamental Theorem of Algebra (FTA), setiap polinomial setidaknya memiliki satu akar. Lebih jauh, andaikan t1 adalah akar dari P (x) maka dapat ditulis, P (x) = (x t1 )P1 (x) dimana P1 (x) ialah polinomial berderajat n 1. Jika kita gunakan FTA sekali lagi pada P1 (x) maka diperoleh, P (x) = (x t1 )(x t2 )P2 (x) dimana P2 (x) ialah polinomial berderajat n pada akhirnya kita dapatkan bentuk berikut,
2. Seterusnya apabila FTA diterapkan terus,
(1.2)
t2 )(x
P (x) = an (x
t1 )(x
t3 )
Bentuk (1.2) biasa disebut pemfaktoran dari P (x) dan t1 ; t2 ;
(x
tn )
; tn adalah akar- akar dari P (x).
2. Teorema Vieta Kita de…nisikan, jumlah simetris ke-k, k , dari suatu himpunan sebagai jumlah dari perkalian k elemen dari elemen - elemen yang ada pada himpunan tersebut. Sebagai contoh dari himpunan yang beranggotakan a; b; c; d kita peroleh, 1
=a+b+c+d
2
= ab + ac + ad + bc + bd + cd
3
= abc + abd + acd + bcd
4
= abcd 1
2
TUTUR WIDODO
Teorema Vieta. Jika ft1 ; t2 ; ; tn g adalah akar- akar dari polinomial P (x) = an xn +an 1 xn 1 + an 2 x n 2 + + a1 x + a0 maka berlaku, k an k (2.1) k = ( 1) an untuk 1
k
n
Untuk membuktikan teorema Vieta di atas salah satu caranya bisa dengan induksi pada n. Untuk n = 1, diperoleh f (x) = a1 x+a0 . Dimana satu- satunya akar adalah t1 = aa10 . Sehingga a0 = ( 1)1 a1a1 1 . Selanjutnya assumsikan teorema benar untuk n = m. 1 = t1 = a1 Perhatikan, untuk n = m+1 kita punya f (x) = am+1 xm+1 +am xm + +a1 x+a0 . Berdasarkan FTA, fungsi f dapat ditulis, (2.2)
f (x) = (x
tm+1 )(fm (x))
dengan tm+1 adalah salah satu akar dari f dan fm adalah polinomial berderajat m. Berdasarkan assumsi, kita juga ketahui bahwa, (2.3)
fm (x) = am+1 xm
+ tm )xm
(t1 + t2 +
1
+
+ t1 t2 t3
tm
Dari (2.2) dan (2.3) didapat, f (x) = (x = (x
tm+1 )(fm (x)) tm+1 )am+1 xm
= am+1 xm+1
(t1 + t2 +
(t1 + t2 +
yang berarti pada fungsi f berlaku, lengkapi bukti teorema di atas.
k
+ tm )xm
1
+
+ tm + tm+1 )xm +
= ( 1)k
a(m+1) am+1
k
+ t1 t2 t3 t1 t2 t3
tm tm tm+1
!
seperti yang diharapkan untuk me-
3. Jumlah Newton Sering kita menemui kasus seperti ini. Jika akar-akar dari x3 + 2x2 + 3x + 4 = 0 adalah a; b; c maka carilah nilai dari a2 + b2 + c2 . Untuk menyelesaikan kasus ini relatif mudah. Bisa dengan bantuan teorema Vieta yang telah dipelajari sebelumnya. Kita punya, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) sehingga a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2
2(ab + ac + bc) = 4
6=
2
Dari kasus di atas kalau pangkatnya hanya dua tidak masalah. Tetapi jika yang ditanya adalah a10 + b10 + c10 atau a7 + b7 + c7 pasti akan sangat lama menghitungnya. Oleh karena itu untuk mengatasinya, diperkenalkan Jumlah Newton. Jumlah Newton. Bila diketahui polinomial P (x) = an xn +an 1 xn 1 +an 2 xn 2 + +a1 x+a0 yang akar-akarnya adalah t1 ; t2 ; ; tn . Dide…nisikan pula, sd = td1 + td2 + + tdn , maka berlaku (3.1)
an s d + an 1 s d
1
+ an 2 s d
2
+
+ an
d+1 s1
+ dan
d
=0
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON
3
Untuk memberi gambaran, perhatikan beberapa bentuk khusus dibawah ini (untuk beberapa pilihan nilai d), an s 1 + an
1
=0
an s2 + an 1 s1 + 2an
2
=0
an s3 + an 1 s2 + an 2 s1 + 3an
3
=0
:::::::::::::::dst
4. Contoh Setelah mempelajari teorema Vieta dan Jumlah Newton, kini saatnya kita lihat soal- soal yang bisa diselesaikan dengan kedua teorema tersebut. Pada bagian ini akan saya berikan beberapa contoh bahwa kedua tool yang baru saja kita pelajari cukup ampuh bukan hanya untuk menyelesaikan soal- soal yang berkaitan dengan polinomial tetapi juga sistem persamaan. Contoh 1. Tentukan semua pasangan terurut (x; y; z) yang memenuhi : x + y + z = 17 xy + yz + zx = 94 xyz = 168 Solusi. Misalkan P (x) = x3 + ax2 + bx + c adalah polinomial yang akar- akarnya ialah (x; y; z). Maka diperoleh a = 17; b = 94 dan c = 168. Oleh karena itu, P (x) = x3 17x2 + 94x 168 yang bisa difaktorkan menjadi P (x) = (x 4)(x 6)(x 7). Sehingga nilai dari triple (x; y; z) yaitu (4; 6; 7) dan semua permutasinya. Contoh 2. Diketahui akar- akar dari P (x) = x4 x3 x2 dari f (a) + f (b) + f (c) + f (d) jika f (x) = x6 x5 x3 x2
1 adalah a; b; c; d. Carilah nilai x
Solusi. f (a) + f (b) + f (c) + f (d) = a6
a5
a3
+ c6
c5
c3
a2 c2
a + b6 c + d6
= (a6 + b6 + c6 + d6 ) (a2 + b2 + c2 + d2 ) = s6
s5
s3
s2
d5
b3
b2
b
d3
d2
d
(a5 + b5 + c5 + d5 ) (a + b + c + d) s1
Dengan memanfaatkan jumlah Newton, kita dapatkan, s1
b5
1=0 s1 = 1
(a3 + b3 + c3 + d3 )
4
TUTUR WIDODO
s2 + s1 :( 1) + 2:( 1) = 0 s2
1
2=0 s2 = 3
s3 + s2 :( 1) + s1 :( 1) + 3:0 = 0 s3
3
1=0 s3 = 4
s4 + s3 :( 1) + s2 :( 1) + s1 :0 + 4:( 1) = 0 s4
4
3
4=0 s4 = 11
s5 + s4 :( 1) + s3 :( 1) + s2 :0 + s1 :( 1) + 5:0 = 0 s5
11
4
1=0 s5 = 16
s6 + s5 :( 1) + s4 :( 1) + s3 :0 + s2 :( 1) + s1 :0 + 6:0 = 0 s6
16
11
3=0 s6 = 30
Jadi, f (a) + f (b) + f (c) + f (d) = s6
s5
s3
s2
s1 = 30
16
4
3
1=6
Contoh 3. Misalkan a; b; c adalah bilangan real positif sedemikian sehingga (ab + bc + ca)3 = abc(a + b + c)3 Buktikan bahwa a; b; c adalah suku- suku dari barisan geometri.
Solusi. Andaikan a; b; c adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x3 +rx2 +sx+t. Berdasarkan teorema Vieta diperoleh, a+b+c=
r
ab + bc + ca = s abc =
t
berdasarkan apa yang diketahui di soal didapat hubungan s3 = tr3 apabila r 6= 0 bentuk ini s3 equivalen dengan t = 3 . Apabila hasil terakhir disubstitusikan ke polinomial P (x), kita peroleh r 3 P (x) = x3 + sx2 + rx + rs3 . Selanjutnya diperoleh, akar- akar dari P (x) adalah penyelesaian
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON
5
dari persamaan cubic, r3 x3 + r4 x2 + sr3 x + s3 = 0 r4 x2 + sr3 x + (rx)3 + s3 = 0 r3 x(rx + s) + (rx + s)(r2 x2
rsx + s2 ) = 0
(rx + s)(r2 x2 + (r3
rs)x + s2 ) = 0 s dan dua akar r rs)x + s2 sehingga bc =
Jadi salah satu akar dari P (x), tanpa mengurangi keumuman, adalah a =
yang lain yaitu b dan c juga merupakan akar- akar dari r2 x2 + (r3 r 2 s2 ) = a2 . Jadi terbukti bahwa a; b; c adalah suku- suku barisan geometri. Sedangkan jika = ( 2 r s r = 0 berakibat s = 0 sehingga polinom P (x) berbentuk P (x) = x3 + t yang hanya memiliki satu akar real. Hal ini kontradiksi dengan soal sebab diketahui a; b; c bilangan real positif. Contoh 4. Jika a; b adalah akar- akar dari polinomial P (x) = x4 + x3 adalah akar dari polinomial S(x) = x6 + x4 + x3 x2 1 Solusi. Misalkan c; d adalah akar- akar lain dari P (x) = x4 + x3 diperoleh, (4.1)
a+b+c+d=
(4.2)
ab + bc + cd + ad + bd + ac = 0
(4.3)
abc + abd + acd + bcd = 0
(4.4)
abcd =
1. Buktikan bahwa ab
1. Dengan teorema Vieta
1
1
Misalkan p = ab; p0 = cd dan s = a + b; s0 = c + d sehingga persamaan diatas equivalen dengan, s + s0 =
(4.5)
1
(4.6)
p + p0 + ss0 = 0
(4.7)
ps0 + p0 s = 0 pp0 =
(4.8) Dari pers. (4.5) diperoleh s =
1
s0 sedangkan dari pers. (4.8) didapat p =
1
hasil ini disubstitusikan ke pers. (4.6) dan (4.7) diperoleh, p2
(4.9)
ps2
ps
1 . Apabila p0
1=0
p2 s + p2 + s = 0
(4.10) Dari pers. (4.10) kita punya s = p
2
p
p2 . Jika disubstitusikan ke pers. (4.9) diperoleh, p2 + 1 p2 p2 + 1
2
p
p2 p2 + 1
1=0
dengan sedikit komputasi diperoleh, p6 + p4 + p3
p2
1=0
6
TUTUR WIDODO
Sehingga terbukti p = ab adalah akar dari polinom S(x) = x6 + x4 + x3
x2
1.
5. Latihan Latihan 1. Selesaikanlah sistem persamaan berikut, x+y+z =4 x2 + y 2 + z 2 = 14 x3 + y 3 + z 3 = 34 Latihan 2. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, x+y+z =0 x3 + y 3 + z 3 = 18 x7 + y 7 + z 7 = 2058 Latihan 3. Carilah penyelesaian real dari sistem persamaan berikut, a+b=8 ab + c + d = 23 ad + bc = 28 cd = 12 Latihan 4. Carilah semua triple (x; y; z) memenuhi sistem persamaan di bawah ini, x+y
z=0
yx + zx
xy = 27 xyz = 54
Latihan 5. Diketahui a; b; c adalah bilangan real taknol sedemikian sehingga a + b + c 6= 0 dan 1 1 1 1 + + = a b c a+b+c
Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat ganjil n berlaku, 1 1 1 1 + n+ n = n n a b c a + bn + c n Latihan 6. Buktikan bahwa dua akar dari polinomial P (x) = x4 + 12x hasilnya adalah 2.
5 bila dijumlahkan
Latihan 7. Carilah nilai n dan kemudian selesaikan persamaan berikut, x4
15x3 + 70x2
120x + n = 0
Jika diketahui akar- akarnya membentuk barisan geometri. Latihan 8. Carilah jumlah semua akar, baik real maupun nonreal, dari persamaan, x
2010
+
1 2
2010
x
=0
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON
7
jika diketahui tidak ada akar kembar. Latihan 9. Jika dua akar dari persamaan x4 adalah 32. Tentukan nilai k.
18x3 + kx2 + 200x
1984 = 0 hasil kalinya
Latihan 10. Jika akar- akar dari polinomial P (x) = x8 4x7 +7x6 +a5 x5 +a4 x4 +a3 x3 +a2 x2 + a1 x + ao semuanya adalah bilangan real positif. Tentukan semua nilai dari ao yang mungkin. References [1] Adeel Khan. 2006. A Few Elementary Properties of Polynomials E-mail address:
[email protected] URL: http://mathematic-room.blogspot.com
