Tento text doplňuje návod k úloze „Měření momentu setrvačnosti“ uvedený ve skriptech Úvod do fyzikálních měření. V žádném případě si neklade za cíl být kompletním návodem pro změření úlohy. Cílem bylo doplnit teoretické informace o problematice otáčení tuhého tělesa, zejména podrobněji rozebrat veličinu moment setrvačnosti, a dále odvodit některé vztahy používané při měření výše zmíněné úlohy. Autor
Katedra fyziky
Obsah: Teorie ......................................................................................................................................... 3 Moment setrvačnosti .............................................................................................................. 3 Steinerova věta ....................................................................................................................... 5 Experimentální stanovení momentu setrvačnosti ....................................................................... 7 Stanovení momentu setrvačnosti metodou malých kyvů ....................................................... 7 A) Pokud známe polohu hmotného středu tělesa .......................................................... 7 B) Pokud neznáme polohu hmotného středu tělesa ...................................................... 8 Příloha ...................................................................................................................................... 11
2011 S.P.
-2-
Katedra fyziky
Měření momentu setrvačnosti tuhého tělesa Teorie Moment setrvačnosti Při rotačním (otáčivém) pohybu tuhého tělesa kolem nehybné osy opisují body tělesa kružnice, jejichž středy leží na ose rotace. Všechny body tělesa se za daný čas otočí o stejný úhel. Úhlová rychlost je tedy pro všechny body stejná. Obvodové rychlosti jednotlivých bodů jsou přímo úměrné poloměrům kružnic, po nichž se body pohybují. Situaci zachycuje obrázek 1.
o
r2
v2 m2
r1 m1
v1
Obrázek 1: Odvození kinetické energie tuhého tělesa rotujícího kolem nehybné osy Kinetickou energii Ek rotujícího tělesa vypočteme jako součet kinetických energií jednotlivých bodů: Ek
1 m1 v12 2
1 1 m 2 v 22 ... m n v 2n 2 2
n i 1
1 mi vi2 2
(1)
Pro velikost rychlosti každého bodu tělesa platí vztah:
vi
(2)
ri
S použitím vztahu (2) můžeme vztah (1) přepsat do podoby: n
Ek i 1
1 mi ri2 2
2
1 2
n 2
mi ri2
(3)
i 1
Ze vztahu (3) vyplývá, že kinetická energie tuhého tělesa rotujícího kolem nehybné osy závisí na úhlové rychlosti otáčení, na hmotnostech jednotlivých bodů tvořících těleso a na jejich vzdálenostech od osy otáčení. Kinetická energie tělesa při rotaci tedy závisí na rozložení hmotnosti v tuhém tělese. Fyzikální veličina, která charakterizuje rozložení látky vzhledem k ose rotace, se nazývá moment setrvačnosti vzhledem k ose rotace a značí se J. Moment setrvačnosti má jednotku kg∙m2.
2011 S.P.
-3-
Katedra fyziky Pro konečný počet bodů tvořících tuhé těleso je moment setrvačnosti definován vztahem: n
m i ri2
J
(4a)
i 1
Protože většina těles je tvořena nekonečným počtem bodů, musíme ve vztahu (4a) nahradit konečný součet integrálem přes hmotnost celého tělesa. Moment setrvačnosti pak definuje následující vztah: J
r 2 dm ,
(4b)
(m)
kde dm je hmotnost elementu tělesa a r kolmá vzdálenost tohoto elementu od osy rotace. Pokud je materiál, z něhož je tuhé těleso vyrobeno, homogenní, pak je možno s použitím hustoty přejít ve vztahu (4b) od elementu hmotnosti k elementu objemu. J
r 2 dm (m)
r 2 dV
(5)
(V)
Pro tělesa pravidelných tvarů lze přímo z definice (4b) odvodit momenty setrvačnosti. Tyto momenty lze najít např. ve fyzikálních tabulkách, vzorce pro běžná tělesa obsahuje tabulka 1.
Obruč nebo prstenec o poloměru R otáčející se kolem geometrické osy
J
m R2
Válec nebo disk o poloměru R otáčející se kolem geometrické osy
J
1 m R2 2
Koule o poloměru R otáčející se kolem osy procházející jejím středem
J
2 m R2 5
Kužel o poloměru podstavy R a výšce v otáčející se kolem geometrické osy
J
3 m R2 10
Pravoúhlý hranol hmotnosti m s hranami a, b, c vzhledem k ose jdoucí středem rovnoběžně s hranou a
J
1 m (b 2 12
Tenká tyč délky l otáčející se kolem osy vedené středem tyče kolmo k její délce
J
1 m l2 12
Tenká tyč délky l otáčející se kolem osy vedené jedním koncem tyče kolmo k její délce
J
1 m l2 3
Tabulka 1: Momenty setrvačnosti vybraných těles
2011 S.P.
-4-
c2 )
Katedra fyziky Steinerova věta Ne vždy musí těleso rotovat kolem osy, která prochází jeho hmotným středem. Je-li znám moment setrvačnosti tělesa J0 vzhledem k některé ose o0 jdoucí hmotným středem tělesa, pak lze určit moment setrvačnosti tělesa J vzhledem k libovolné ose o rovnoběžné s osou o0. K tomuto účelu slouží tzv. Steinerova věta: J
J0
m a2 ,
(6)
kde m je hmotnost tělesa a a vzájemná vzdálenost os o a o0.
o0
o J
J0
m
a
J
J0
m a2
Obrázek 2: Aplikace Steinerovy věty (hmotný střed válce leží na rotační ose válce) Pozn.: Ze Steinerovy věty vyplývá, že moment J setrvačnosti tělesa vzhledem k ose, která neprochází jeho hmotným středem, je vždy větší než moment setrvačnosti J0 vzhledem k ose rotace, která prochází hmotným středem tělesa. (Hmotnost je vždy kladné číslo a druhá mocnina vzdálenosti také, proto se člen m.a2 vždy přičítá.) Příklad užití Steinerovy věty: Homogenní válec o hmotnosti m = 1 kg a poloměru r = 0,1 m se otáčí kolem osy rovnoběžné s osou rotační symetrie válce. Vzájemná vzdálenost osy válce a osy rotace činí a = 0,2 m. Stanovte moment setrvačnosti válce vzhledem k ose rotace. Řešení: Situaci zachycuje obrázek 2. Pro homogenní válec leží hmotný střed na ose symetrie jeho rotační symetrie, tj. ose o0. Vzorec pro výpočet momentu setrvačnosti J0 vhledem k ose o0 je známý a lze jej najít například v tabulce 1 tohoto textu. Osy o0 a o jsou rovnoběžné, proto použijeme Steinerovu větu. Steinerova věta: J
J0
m a2
Pro moment setrvačnosti J0 nalezneme v tabulce 1 vzorec: J
2011 S.P.
1 m r2 2
-5-
Katedra fyziky Po dosazení do Steinerovy věty získáme hledaný výsledek: J
1 m r2 2
m a2
Vztah lze matematicky upravit do podoby:
J
m
r2 2
a2
Pro zadané hodnoty: J 1
0,12 2
0,22
1
0,01 0,04 2
1 0,005 0,04
1 0,045 0,045 kg m 2
J 0,045 kg m 2
Pozn. Moment setrvačnosti zadaného válce rotujícího podle osy o0 činí:
J0 J0
2011 S.P.
1 0,01 1 0,12 0,005 kg m 2 2 2 0,005 kg m 2
-6-
Katedra fyziky
Experimentální stanovení momentu setrvačnosti Stanovení momentu setrvačnosti metodou malých kyvů Pro stanovení momentu setrvačnosti tělesa J lze použít metodu kyvů, kdy těleso zavěsíme nad jeho hmotným středem a rozkýveme. (Zavěšení nad hmotným středem tělesa je nutné, aby těleso kývalo. Pokud bychom těleso zavěsili v místě jeho hmotného středu, pak se kývat nebude. Touto metodou nelze přímo změřit moment setrvačnosti J0 vzhledem k ose procházející hmotným středem tělesa.) Pro kývání tělesa v tíhovém poli kolem vodorovné osy lze pro malé výchylky (tj. m < 5°) z pohybové rovnice odvodit vztah pro dobu kmitu: T
J , m g a
2
(7)
kde g je tíhové zrychlení, m hmotnost tělesa, a vzdálenost hmotného středu tělesa od osy otáčení. A)
Pokud známe polohu hmotného středu tělesa
Ze známé hmotnosti m, vzdálenosti a (pokud známe polohu hmotného středu tělesa) a ze změřené periody kmitů T můžeme určit moment setrvačnosti z upraveného vztahu (7): J
T2 m g a 4 2
(8)
Pro stanovení momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející hmotným středem tělesa použijeme Steinerovu větu (6) upravenou do podoby: J0
J m a2
(9)
Stanovení chyby měření Stanovení momentu setrvačnosti výše uvedeným způsobem je klasický příklad nepřímého měření. Ze změřených veličin periody kmitů T, známé hmotnosti m, změřené vzdálenosti a, tabulkové hodnoty tíhového zrychlení g a několika konstant určíme hledaný moment setrvačnosti výpočtem podle vztahu (8). Pro chybu vypočteného momentu setrvačnosti tělesa pravidelného tvaru užijeme vztah: (J )
J T
2
(T )
J m
2
( m)
J g
2
(g )
J a
2
(a )
J
2
( )
(10)
Logickou úvahou lze některé závorky ve výrazu (10) zanedbat a vztah tím zjednodušit. Konstanty tíhové zrychlení g a tzv. Ludolfovo číslo jsou uvedeny v tabulkách mnohem přesněji, než se nám podařilo stanovit ostatní veličiny. Chyba určení tíhového zrychlení (g) a chyba určení Ludolfova čísla ( ) jsou zanedbatelně malé v porovnání s ostatními chybami měřených veličin. (Např. zobrazují běžné kalkulačky nejméně na 8 desetinných míst.)
2011 S.P.
-7-
Katedra fyziky Vztah (10) se zjednoduší do podoby:
J T
(J )
2
2
J m
(T )
(m)
J a
2
(11)
(a )
Jednotlivé parciální derivace se rovnají:
J T
B)
2 T m g a 4 2
T2 g a 4 2
J m
,
,
J a
T2 m g 4 2
Pokud neznáme polohu hmotného středu tělesa
Pokud polohu hmotného středu tělesa neznáme, postupujeme takto. Nejdříve stanovíme periodu kývání tělesa, pro kterou platí již dříve uvedený vztah (7) T
J , m g a
2
(7)
kde g je tíhové zrychlení, a vzdálenost hmotného středu tělesa od osy otáčení. Protože neznáme polohu hmotného středu tělesa a, potřebujeme rovnici (7) doplnit o další vhodný vztah, abychom měli soustavu dvou rovnic pro dvě neznámé. Přidáme k tělesu přívažek o známé hmotnosti a jednoduchém tvaru (nejčastěji válec), u něhož jsme schopni určit polohu hmotného středu ap a umíme spočítat jeho moment setrvačnosti Jp. Tím dostáváme další potřebnou rovnici. Pro kývající těleso s přívažkem platí:
T
Js , ms g a s
2
(12)
kde g je tíhové zrychlení, ms hmotnost soustavy těleso plus přívažek, as vzdálenost hmotného středu soustavy od osy otáčení a Js moment setrvačnosti soustavy. Pro moment setrvačnosti soustavy těleso plus přívažek Js platí jednoduchý vztah (13a) Js
J Jp
(13a)
kde Jp je moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení o. Přívažek volíme jednoduchého tvaru např. jako válec. Osa otáčení přívažku není totožná s osou symetrie válce, proto moment setrvačnosti přívažku vůči ose otáčení o získáme s použitím Steinerovy věty (6) a vztah (13a) přejde ve vztah:
Js
J J p0
mp a 2p ,
(13b)
kde Jp0 je moment setrvačnosti přívažku vůči ose procházející jeho hmotným středem, mp hmotnost přívažku a ap vzdálenost hmotného středu přívažku od osy otáčení o. Moment setrvačnosti Jp0 pro jednoduchý tvar přívažku a vzdálenost ap dokážeme určit. V rovnici (12) chybějící vzdálenost hmotného středu soustavy as od osy otáčení o vyjádříme s pomocí vztahu: as
2011 S.P.
m a mp a p
m a mp a p
m mp
ms
,
(14)
-8-
Katedra fyziky kde m je hmotnost zkoumaného tělesa, mp hmotnost přívažku, a vzdálenost hmotného středu zkoumaného tělesa od osy otáčení o a as vzdálenost hmotného středu soustavy od osy otáčení o. Vysvětlení ke vztahům (12) až (14) obsahuje obrázek 3. o a S
as
Ss
r
ap
Sp
Obrázek 3: Stanovení momentu setrvačnosti tělesa s neznámou polohou hmotného středu Ze soustavy rovnic (7) a (12) až (14) lze odvodit vztah pro stanovení momentu setrvačnosti tělesa, u kterého neznáme přesnou polohu hmotného středu. Při odvození můžeme postupovat například takto: Z rovnice (12) vyjádříme moment setrvačnosti soustavy Js Ts2 m s a s 4 2
Js
(15)
Vyjádřený moment setrvačnosti Js dosadíme do rovnice (13b). Dále předpokládejme válcový tvar přívažku a zvolme z tabulky vhodný moment setrvačnosti Jp pro přívažek. Ts2 ms a s 4 2
J
1 mp r 2 2
m p a 2p
(16)
Za polohu hmotného středu soustavy as v rovnici (16) dosadíme z rovnice (14) a získáme následující vztah 1 4
2
ms
m a mp a p ms
Ts2
J
1 mp r 2 2
m p a 2p
(17)
(Pozn.: hmotnost soustavy ms lze na levé straně rovnice (17) vykrátit) Polohu a hmotného středu tělesa bez přívažku můžeme vyjádřit ze vztahu (7):
a
2011 S.P.
4 2 J m g T2
(18)
-9-
Katedra fyziky Vyjádřenou polohu a hmotného středu tělesa bez přívažku (18) dosadíme do rovnice (17), čímž dostaneme rovnici:
1
m
2
4
4 2 J m g T2
g Ts2
mp a p
1 m p r 2 m p a 2p 2
J
(19)
V rovnici (19) kromě hledaného momentu setrvačnosti J známe všechny ostatní veličiny. Jednoduchými algebraickými úpravami dospějeme k výslednému výrazu použitelnému pro stanovení hledaného momentu setrvačnosti:
J
mp a p g Ts2
T2 T 2 Ts2
1 mp r 2 mp a 2p 2
2
4
(20)
Ze změřené periody kyvů tělesa nepravidelného tvaru bez přívažku T a periody kyvů tělesa nepravidelného tvaru s přívažkem válcového tvaru TS s použitím vztahu (20) stanovíme hledaný moment setrvačnosti.
Stanovení chyby měření Stanovení momentu setrvačnosti tělesa nepravidelného tvaru výše uvedeným způsobem je opět příklad nepřímého měření. Ze změřených veličin periody kmitů tělesa bez přívažku T, periody kmitů tělesa s přívažkem Ts, známé hmotnosti přívažku mp, změřené vzdálenosti hmotného středu přívažku od osy otáčení ap, tabulkové hodnoty tíhového zrychlení g a poloměru přívažku r určíme hledaný moment setrvačnosti výpočtem podle vztahu (20). Pro chybu vypočteného momentu setrvačnosti tělesa nepravidelného tvaru užijeme vztah: (J)
J T
2
J Ts
(T )
2
2
J mp
(Ts )
J r
(m p )
2
J g
(r )
2
2
J ap
(g )
J
(a p )
2
(21)
( )
Logickou úvahou lze některé závorky ve výrazu (21) zanedbat. Konstanty tíhové zrychlení g a tzv. Ludolfovo číslo jsou uvedeny v tabulkách mnohem přesněji, než se nám podařilo stanovit ostatní veličiny. Chyba určení tíhového zrychlení (g) a chyba určení Ludolfova čísla ( ) jsou zanedbatelně malé v porovnání s ostatními chybami měřených veličin. Vztah (21) se nám zjednoduší do podoby: (J)
J T
2
(T )
2
2
J Ts
J mp
(Ts )
(m p )
2
2
J r
J ap
(r )
(22)
(a p )
Jednotlivé parciální derivace se rovnají: J T J mp
2011 S.P.
2 J Ts2 T (T 2 Ts2 ) T2 T 2 Ts2
J Ts
,
Ts2 4 2
ap
,
T2 T
2
J ap
- 10 -
Ts m p g a p 2 s
T
2 T2 T 2 Ts2
2
2 J Ts T2
Ts2 m p g 4
2
,
2 mp a p
Katedra fyziky
Příloha
Osa rotace
a Hmotný střed
Obrázek 4: Reálná sestava experimentu pro stanovení momentu setrvačnosti tělesa se známou polohou hmotného středu (hmotný střed soustavy leží ve středu desky).
2011 S.P.
- 11 -
Katedra fyziky
Ss ap r
Sp
Obrázek 5: Reálná sestava experimentu pro stanovení momentu setrvačnosti tělesa s neznámou polohou hmotného středu (neznámá poloha hmotného středu soustavy Ss je vyznačena červeně).
© 2011, revize 2013, Mgr. Stanislav Panoš, Ph.D.
2011 S.P.
- 12 -
