Téma: Paralaktické změny souřadnic objektů a vlastní pohyby hvězd Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc
Ke změnám souřadnic objektů na obloze dochází rovněž v důsledku prostorových změn polohy pozorovatele na Zemi. K těmto změnám dochází periodicky v důsledku denního a ročního pohybu Země. Abychom mohli tyto změny kvalifikovaně popsat, seznámíme se s potřebnými pojmy. Definice pojmů Mějme úsečku AB délky AB = z, tzv. základnu a bod C na ní neležící (obr.1a). Vnitřní úhel γ při vrcholu C v trojúhelníku ABC nazveme paralaktickým úhlem bodu C vzhledem k základně AB. Paralaktický úhel je tedy vlastně úhel, pod kterým pozorovatel, nacházející se v bodě C, pozoruje základnu. Označíme-li vnitřní úhly při vrcholech A a B v trojúhelníku ABC jako α a β a strany AC = rB a BC = rA , dostáváme aplikací sinové věty z sin γ = . sin β rB Zavedením vnějšího úhlu β ′ , příslušejícího k úhlu β v trojúhelníku, dostáváme odtud sin γ =
z sin β ′ . rB
(1)
C
C
γ
γ rB
d
rA α A
z Obrázek 1a:
, β
β
. A
B
B z Obrázek 1b:
Je-li úsečka BC kolmá na základnu (tedy při kolmém pohledu pozorovatele), nazýváme příslušný paralaktický úhel paralaxou bodu C vzhledem k základně AB (obr.1b). Potom zřejmě platí z z resp. tgγ = . (2) rB rA Veličina rA = d je potom vzdáleností bodu C od základny. Jestliže se na stejnou základnu z bude pozorovatel dívat ze dvou různých vzdáleností r1 ar2 , ke kterým příslušné paralaxy budou γ1 a γ2 , potom ze (2) plyne sin γ =
1
z = r1 tgγ1 = r2 tgγ2 ⇔
tgγ2 r1 = . r2 tgγ1
(3)
Poměr vzdáleností bodů od základny je tedy opačný než poměr tangent příslušných paralax. V astronomii, s ohledem na zmíněné dva základní pohyby Země, užíváme paralaxu vzhledem ke dvěma různým základnám. Pro základnu délky z = rZ (tedy rovné střednímu poloměru Země) nazýváme příslušnou paralaxu denní paralaxou objektu. Pro základnu délky z = RZ (tedy rovné střední vzdálenosti Země od Slunce) nazýváme příslušnou paralaxu roční paralaxou objektu. Ustálené značení pro tyto veličiny je πd pro denní a πr pro roční paralaxu. Z (3) pak pro objekt ve vzdálenosti d od pozorovatele pro jeho paralaxy vyplývá vztah RZ rZ ; πr = acctg . (4) d d Protože v astronomii jsou vzdálenosti objektů většinou o několik řádů větší než je délka . . příslušné základny, lze s dostačující přesností psát tgπd = πd [rad] i tgπr = πr [rad]. Potom je πd = acctg
rZ RZ ; πr = . (5) d d Z (3) pak pro dva různé objekty o vzdálenostech d1 a d2 , denních paralaxách πd1 a πd2 a ročních paralaxách πr1 a πr2 máme πd =
d1 πd πr = 2 = 2. d2 πd1 πr1
(6)
Příklad: Jako příklad určíme denní paralaxu Slunce πdS . Řešení: Do (5) dosazujeme rZ = 6.373 · 103 [km] a d = RZ = 1.496 · 108 [km]. Potom 6.673 · 103 rZ = = 4.26 · 10−5 [rad] = 8.796′′ . RZ 1.496 · 108 Příklad: Určeme ještě denní paralaxu Měsíce πdM . πdS =
Řešení: Nyní je možno postupovat dvěma způsoby: Můžeme do (5) dosazovat dM = = 3.844 · 105 [km] (střední vzdálenost Měsíce od Země). Potom πdM =
rZ 6.673 · 103 . = = 1.658 · 10−2 [rad] = 57′ . dM 3.844 · 105
Můžeme ale také využít už určenou denní paralaxu Slunce a výraz (6). Potom je RZ 1.496 · 108 dS πdM . = ⇒ πdM = πdS = · 8.796 = 3423′′ = 57′ . 5 πdS dM dM 3.844 · 10 Astronomické jednotky vzdálenosti Základní ”malou” jednotkou vzdálenosti v astronomii je astronomická jednotka se značkou AU (astronomical unit). Je definována jako střední vzdálenost Země od Slunce. Je tedy 1AU=1.496·108 km. Tuto jednotku používáme pro určování vzdáleností v rámci sluneční soustavy. 2
Větší jednotkou, používanou pro určování vzdáleností mezi hvězdami, je parsek se značkou pc. Je definován jako vzdálenost objektu, jehož roční paralaxa by byla rovna jedné obloukové sekundě. Název jednotky je složenina prvních tří písmen slov ”paralaxa” a ”sekunda”. Mějme fiktivní objekt ve vzdálenosti d =1pc. Z výrazu (5) plyne, že vzdálenost 1pc, vyjádřena v astronomických jednotkách, je rovna převrácené hodnotě jedné obloukové sekundy vyjádřené v radiánech. Je tedy 180 · 60 · 60 = 206265 . π Odtud plyne, že 1pc=206265·1.496 · 108 = 3.086 · 1013 [km]. Jestliže ve výrazu (6) vezmeme jeden fiktivní objekt ve vzdálenosti d =1pc (takže jeho roční paralaxa je πr1 = 1′′ ) a druhý objekt ve vzdálenosti d2 = d[pc], který má roční paralaxu πr2 = πr [”], dostaneme ihned d[AU] =
1 = πr [′′ ] . d[pc]
(7)
Příklad: Jako příklad určíme roční paralaxu nejbližší hvězdy, nacházející se ve vzdálenosti d =1.31pc od Slunce. 1 1 = 1.31 = 0.763[′′ ]. Je tedy patrno, že i nejbližší hvězdy Řešení: Podle (7) jest πr [′′ ] = d[pc] . mají roční paralaxy pouhé zlomky obloukových sekund. Přibližný vztah tgγ = γ, který v astronomické praxi používáme ve vztahu (2), je proto naprosto oprávněný.
Poznámka: Výše zmíněnou nejbližší hvězdou je v našich zeměpisných šířkách nepozorovatelná hvězda Proxima souhvězdí Centaura. V populární literatuře se jako jednotka mezihvězdných vzdáleností používá rovněž světelný rok se značkou LY (light year). Je definován jako vzdálenost proběhnutou elektromagnetickým zářením ve vakuu za dobu jednoho (tropického) roku. Protože rychlost šíření elektromagnetického záření c = 3 · 105 [km/s], je 1LY = 3 · 105 · 365.25 · 24 · 60 · 60 = 9.46 · 1012 km . Ve srovnání s parsekem potom je 1pc=
30.86·1012 9.46·1012
= 3.26LY .
Vliv denní paralaxy na změnu obzorníkových souřadnic V této podkapitole odvodíme vztah pro změnu obzorníkových souřadnic objektu pro pozorovatele nacházejícího se ve středu Země (tzv. geocentrické souřadnice) oproti pozorovateli nacházejícím se na zemském povrchu (tzv. topocentrické souřadnice). Na obrázku 2 je uveden řez Země rovinou místního poledníku pozorovacího stanoviště P na zemském povrchu. Objekt L na obloze leží mimo zmíněnou rovinu. Nechť jeho vzdálenost od pozorovacího stanoviště je r2 a od středu Země r1 . Zaveďme kartézské souřadnice přidružené k topocentrickým obzorníkovým souřadnicím h2 (azimut), A2 (výška nad obzorem) jako P, x2 , y2 , z2 . Zaveďme dále kartézské souřadnice přidružené ke geocentrickým obzorníkovým souřadnicím h1 (azimut), A1 (výška nad obzorem) jako S, x1 , y1 , z1 . Rovina obrázku je pak rovinou yd 1 z1 ≡ yd 2 z2 a osy x míří za nákresnu (pravotočivost souřadnic). Pro souřadnice objektu L pak platí x1 = x2 ; y1 = y2 + rZ ; z1 = z2 , 3
(8)
L r2
y2
z2
P
r1
x2 rz
y1 z1
S x 1
Obrázek 2:
xi = ri cos hi sin Ai ; yi = ri sin hi ; zi = ri cos hi cos Ai ; i = 1, 2 ,
(9)
přičemž rZ je (střední) poloměr Země. Spojením (8) a (9) vznikne r1 cos h1 sin A1 = r2 cos h2 sin A2 , r1 sin h1 = r2 sin h2 + rZ ,
(10)
r1 cos h1 cos A1 = r2 cos h2 cos A2 . Násobme první rovnici výrazem cos A2 , třetí rovnici výrazem sin A2 a vzniklé rovnice odečtěme. Obdržíme r1 cos h1 (sin A1 cos A2 − cos A1 sin A2 ) = r1 cos h1 sin(A1 − A2 ) = 0 .
Pro r1 6= 0 a h1 6= ± π2 odtud máme sin(A1 − A2 ) = 0. Vzhledem k fyzikální podstatě úlohy odtud jednoznačně plyne A1 = A2 . Změna počátku obzorníkových souřadnic tedy nemá žádný vliv na hodnotu azimutu objektu. Za těchto podmínek lze v první rovnici (10) krátit výrazem sin A a ve třetí rovnici výrazem cos A. V obou případech dojdeme ke stejné rovnici tvaru r1 cos h1 = r2 cos h2 .
(11)
Násobme nyní druhou rovnici (10) výrazem cos h2 , rovnici (11) výrazem sin h2 a vzniklé rovnice odečtěme. Dostaneme
odkud
r1 (sin h1 cos h2 − cos h1 sin h2 ) = rZ cos h2 , sin(h1 − h2 ) = 4
rZ cos h2 . r1
Podle (5) (platného pro dostatečně vzdálené objekty) po zavedení denní paralaxy πd objektu dostaneme sin ∆h = πd cos h2 ,
(12)
kde ∆h je změna výšky nad obzorem objektu, při pozorovatelově přechodu z pozorovacího stanoviště na zemském povrchu do středu Země. Protože (s výjimkou zenitové nebo nadirové polohy objektu) pravá strana rovnice (12) vždy kladná, znamená to, že přechod do středu Země zvyšuje výšku nad obzorem (a proto přechod na zemský povrch naopak tuto výšku snižuje) o uvedený úhel. Vzhledem k malosti denní paralaxy pro většinu mimozemských objektů lze přibližně psát h2 ≈ h1 a sin ∆h ≈ ∆h. Rovnice (12) pak dostane konečný tvar ∆h = πd cos h1 ,
(13)
jenž jednoduše kvantifikuje snížení výšky nad obzorem objektu při přechodu od geocentrických k topocentrickým obzorníkovým souřadnicím. K největšímu poklesu výšky nad obzorem při zmíněném přechodu dochází u objektů na obzoru. Tento pokles je roven denní paralaxe objektu. Pro polohu v zenitu (nadiru) ke změně výšky nad obzorem nedochází. Vliv roční paralaxy na změnu ekliptikálních souřadnic V této podkapitole odvodíme vztah pro změnu ekliptikálních souřadnic objektu pro pozorovatele nacházejícího se ve středu Země (tzv. geocentrické souřadnice) oproti pozorovateli nacházejícímu se ve středu Slunce (tzv. heliocentrické souřadnice). L γ d
υ Z
Rz
S
Obrázek 3: Aplikujeme-li výraz (1) na základnu z = RZ rovnou astronomické jednotce a body A, B a C v trojúhelníku jsou (po řadě) Z (střed Země), S (střed Slunce) a L (objekt na obloze)(obr.3), dostaneme vzhledem k tomu, že rameno rB má význam vzdálenosti d objektu od Země a k definici roční paralaxy objektu, že sin γ = πr sin β ′ . Protože součet vnitřních úhlů trojúhelníka je roven π, je zřejmě γ = β ′ −α. Z obrázku 3 je potom patrno, že při pohledu na objekt ze středu Země se směr pohledu posouvá o paralaktický úhel γ ve směru na Slunce, oproti pohledu na objekt ze středu Slunce. Bude-li se objekt nacházet mimo sluneční soustavu, bude paralaktický úhel natolik malý, že lze psát . sin γ = γ = πr sin ϑ . 5
(14)
Poznamenejme, že vnější úhel β ′ jsme kvůli jednoznačnosti ve značení označili ϑ.
NE L
NE π −β 2 λ S− λ π +ψ L 2
K
ψ , L
π 2
υ
ν S
S Obrázek 4:
Obrázek 5:
Sledujme nyní situaci na nebeské sféře (obr.4). Je zde znázorněna ekliptika s okamžitou polohou Slunce S, (severní) eliptikální pól NE , poloha L objektu při pohledu ze středu Slunce a L’ při pohledu ze středu Země. Bod L’ zřejmě leží na oblouku hlavní kružnice spojující neposunutý objekt L se Sluncem S. Veďme bodem L oblouk ekliptikální rovnoběžky a bodem L’ veďme oblouk ekliptikálního poledníku. Tyto oblouky se protínají v bodě K (obr.4). Na pravoúhlý trojúhelník (rovnoběžka a poledník jsou kolmé strany) LL’K se lze dívat, vzhledem k malosti jeho stran, jako na planimetrický trojúhelník s přeponou rovnou paralaktickému posuvu γ. Označíme-li úhel při vrcholu L tohoto trojúhelníka jako ψ, platí zřejmě LK = LL′ cos ψ = γ cos ψ ; KL′ = LL′ sin ψ = γ sin ψ .
(15)
Orientovaná úsečka KL′ , chápána jako příslušný středový úhel sférického trojúhelníka LL’K, je záporně vzatá změna ∆β ekliptikální šířky β při přechodu od bodu L k bodu L’. Orientovaná úsečka LK, chápána stejným způsobem, má hodnotu kosínem ekliptikální šířky násobené změny ∆λ ekliptikální délky λ při výše zmíněném přechodu. Změna ekliptikální délky je totiž patrna mezi poledníky bodů L a L’ až na ekliptice (obr.4). Odtud a po dosazení (14) do (15) dostaneme LK = πr sin ϑ cos ψ = ∆λ cos β ; KL′ = πr sin ϑ sin ψ = −∆β .
(16)
Abychom vyjádřili v předchozích rovnicích zapsané součiny goniometrických funkcí, uvažujme sférický trojúhelník LNE S, který je rozkreslen na obrázku 5. Jeho strana NE L je obloukem ekliptikálního poledníku bodu L. Délka této strany je proto π2 − β. Strana NE S je obloukem poledníku bodu S. Protože S leží na ekliptice, je délka této strany rovna π2 . Strana SL, chápána jako příslušný středový úhel, je rovna úhlu mezi směrem na objekt a na Slunce, který byl výše označen jako ϑ. Vnitřní úhel při vrcholu NE je úhlem mezi oblouky poledníků Slunce a objektu. Jeho velikost je tedy rovna λS − λ, kde λS je ekliptikální délka Slunce. Srovnáním obrázků 4 a 5 vyplývá, že úhel při vrcholu L má velikost π2 + ψ. Aplikací sínové věty pro popisovaný sférický trojúhelník dostáváme 6
sin
π 2
+ψ
sin(λS − λ)
=
sin π2 ⇒ sin ϑ cos ψ = sin(λS − λ) . sin ϑ
Aplikací sínuskosínové věty pro stranu ϑ a přilehlý úhel
π 2
(17)
+ ψ dostaneme
π π π π π sin ϑ cos + ψ = sin − β cos − cos − β sin cos(λS − λ) ⇒ 2 2 2 2 2 ⇒ sin ϑ sin ψ = sin β cos(λS − λ) .
(18)
∆λ cos β = πr sin(λS − λ) ; ∆β = −πr sin β cos(λS − λ) .
(19)
Dosazením (17) a (18) do (16) dostaneme
Při znalosti heliocentrických ekliptikálních souřadnic β a λ objektu, jeho roční paralaxy πr a ekliptikální délky λS Slunce (tedy data pozorování), z rovnic (19) určíme změny ∆β a ∆λ těchto ekliptikálních souřadnic při pohledu na týž objekt ze středu Země oproti pohledu ze středu Slunce. Součty heliocentrických souřadnic s příslušnými změnami pak dávají geocentrické ekliptikální souřadnice objektu. Zavedeme nyní kartézské souřadnice s počátkem v bodě L, osou x tečnou k sférické rovnoběžce a osou y tečnou ke sférickému poledníku příslušnému k bodu L. Orientace obou os bude ve smyslu růstu příslušných ekliptikálních souřadnic. Vzhledem k malým rozměrům sférického trojúhelníka KLL’ lze s ohledem na vztah (19) pro souřadnice bodu L’ psát x = πr sin(λS − λ) ; y = πr sin β cos(λS − λ) .
Tyto rovnice jsou parametrickými rovnicemi křivky, po které se pohybuje bod L’ v průběhu času. Parametrem v těchto rovnicích je totiž veličina λS (ekliptikální délka Slunce), která se s časem periodicky mění s periodou (siderický) rok. Dělením první rovnice paralaxou πr , dělením druhé rovnice výrazem πr sin β, umocněním vzniklých rovnic a sečtením vzniklých mocnin obdržíme
x πr
2
y + πr sin β
!2
= 1.
Jedná se o středovou rovnici elipsy o poloosách πr na ose x a πr sin β na ose y. Při pohledu ze středu Země objekty tedy na obloze vykonávají paralaktické posuvy po elipsách se středy ve svých heliocentrických polohách. Poloosa elipsy na sférické rovnoběžce (kde je ekliptikální šířka konstantní) má délku rovnou roční paralaxe objektu a poloosa na sférickém poledníku (kde je ekliptikální délka konstantní) je zkrácena faktorem sin β. Speciálně pro objekt v ekliptikálních pólech je příslušnou křivkou kružnice (úhlového) poloměru πr , zatímco pro objekt na ekliptice je touto křivkou dvakrát proběhnutá úsečka délky 2πr . Poznámka: Na první pohled je patrna podobnost odvozených paralaktických posuvů objektů s posuvy aberačními příslušnými k roční aberaci. Křivkami jsou v obou případech stejně orientované elipsy. Rozdíl je pouze ve velikosti hlavní (a tím i vedlejší) poloosy těchto elips. Zatímco u roční aberace je délka hlavní poloosy rovna roční aberační konstantě Ar = 20.5′′ a je tudíž pro všechny objekty stejná a relativně velká, u paralaktického posuvu je délka hlavní poloosy pro každý objekt jiná a relativně malá, protože i nejbližší hvězdy mají roční paralaxu rovnou pouhým zlomkům obloukové sekundy. To je 7
důvodem, proč paralaktický posuv (byť byl podstatně dříve předpovězen) byl objeven později než posuv aberační. Vlastní pohyb hvězd Hvězdy v okolí Slunce (tedy na periférii Galaxie) konají, podobně jako Slunce, periodické pohyby kolem středu Galaxie s velmi dlouhými periodami (řádově desítky až stovky milionů let). Tyto pohyby se pro různé objekty dějí různými rychlostmi a v různých rovinách. V důsledku toho se tyto objekty jeví vůči Slunci (Zemi) v relativním pohybu. Vzhledem k dlouhé periodě těchto pohybů lze za krátkou časovou jednotku (například jeden rok) tyto relativní pohyby považovat za rovnoměrné přímočaré. Za zmíněnou časovou jednotku se hvězda relativně vůči Slunci S přemístí z polohy L do −−→ polohy L’ (obr.6). Polohový vektor LL′ lze vzhledem k rovnoměrnosti a přímočarosti pohybu a vzhledem k časové jednotce považovat za vektor (relativní) rychlosti ~v objektu vůči Slunci. Tuto rychlost rozložíme na složku ~vr do směru objektu (radiální) a složku ~vt na tento směr kolmou (tečnou). Radiální složku nelze vizuálně pozorovat na obloze, zatímco tečnou s velkou přesností ano. Experimentálně bylo zjištěno, že úhel µ, pod kterým vidíme posun objektu za rok, je maximálně řádu jednotek obloukových sekund. Proto lze psát
, L
vr
v
L
γ
vt
d µ µ
,
S Obrázek 6:
vt . . (20) µ = µ′ = tgµ′ = , d kde d = SL je vzdálenost hvězdy od Slunce. Jestliže budeme rychlosti vyjadřovat v astronomických jednotkách za rok, bude roční posuv vyjádřen v astronomických jednotkách. Podle definice roční paralaxy vidíme ze vzdálenosti d jednu astronomickou jednotku pod úhlem πr [”]. Vzdálenost číselně rovnou rychlosti vt vidíme pod úhlem µ[”]. Vzhledem k náhradám tangent příslušnými argumenty platí mezi úhly a tečnými posuvy přímá úměra, tedy LL′ [AU] µ[′′ ] = . πr [′′ ] 1[AU] 8
Protože úsečka LL′ vyjadřuje roční pohyb, lze její velikost v astronomických jednotkách nahradit tečnou rychlostí vyjadřovanou v astronomických jednotkách za rok. Proto píšeme µ[′′ ] . (21) πr [′′ ] Převedením astronomických jednotek za rok na kilometry za sekundu dostaneme vt [AU/rok] =
1.496 · 108 [AU] = = 4.74[km/s] . [rok] 365.25 · 24 · 60 · 60 Tento poznatek ve spojení s (21) dává µ[′′ ] . (22) πr [′′ ] Největší roční posuv µ ze všech hvězd má Barnardova hvězda v souhvězdí Hadonoše (tzv. šipka), a sice 10.3[”]. Je experimentálně zjištěno, že 97% hvězd má roční posuv menší než půl obloukové sekundy. Protože roční paralaxy okolních hvězd jsou řádově desetiny obloukové sekundy, plyne z (22) řádový odhad tečných relativních rychlostí okolních hvězd v jednotkách až desítkách kilometrů za sekundu. vt [km/s] = 4.74
NS , L
K L
ψ
µ
ν
Obrázek 6: Pro určení změn rovníkových souřadnic poplatných vlastním relativním pohybům hvězd posoudíme stav na nebeské sféře podle obrázku 7. Je na něm znázorněn nebeský rovník s jarním bodem, severní světový pól NS , poloha L hvězdy na počátku období a L’ po uplynutí jednoho roku. Bod K je průsečíkem poledníku bodu L s rovnoběžkou bodu L’. Posuv kvantifikujeme roční odchylkou µ a (orientovaným) úhlem ψ dráhy hvězdy vzhledem k poledníku. Pravoúhlý sférický trojúhelník KLL’ můžeme vzhledem k velikosti jeho stran považovat za planimetrický. Jeho přepona (jako příslušný středový úhel) má velikost maximálně několik obloukových sekund. Z obrázku plynou pro změnu deklinace ∆δ a pro změnu rektascenze ∆α vztahy . LK = ∆δ = µ cos ψ ; KL′ = ∆α cos δ ′ = ∆α cos δ = µ sin ψ . 9
Z těchto vztahů, při znalosti startovací deklinace δ a parametrů µ a ψ popisujících roční posuv, určíme roční změnu deklinace ∆δ a rektascenze ∆α. Při delším časovém údobí než jeden rok nelze určenou roční změnu jednoduše extrapolovat, protože úhel ψ se s časem mění (zejména v okolí světových pólů). Radiální složku rychlosti vr jsme schopni zjišťovat aplikací tzv. Dopplerova jevu. Tento jev kvantifikujeme následujícím způsobem. Jestliže λ0 je statická vlnová délka vlnění (je-li zdroj vlnění v klidu) a λ = λ0 ± ∆λ je vlnová délka vlnění pro případ zdroje pohybujícího se (ve směru spojnice zdroje a pozorovatele) rychlostí v, pak platí v ∆λ (23) = , λ0 c kde c je rychlost šíření příslušných vln. Jestliže se zdroj pohybuje od pozorovatele, vlnová délka roste (znaménko plus) a při pohybu ve směru k pozorovateli vlnová délka klesá (znaménko mínus). Při spektrografickém rozboru světla hvězd se objevují výrazné tzv. Frauenhofferovy čáry odpovídající prvkům v nitru hvězd. Jejich vlnové délky můžeme (prostřednictvím změřené frekvence) určovat. Statické vlnové délky můžeme určovat rozborem slunečního světla, neboť Slunce se vůči Zemi nepohybuje radiálním pohybem. Dosazením rychlosti c šíření elektromagnetického vlnění do (23) pak snadno určíme radiální rychlost hvězdy. Velikost výsledné relativní rychlosti hvězdy je podle Pythagorovy věty rovna (obr.7) v=
q
vr2 + vt2 .
(24)
Příklad: Hvězda o roční paralaxe πr =0.5” vykoná za rok úhlový posuv µ =2.5”. Sodíková čára o statické vlnové délce λ0 = 590[nm] (nanometrů) se v jejím spektru posunula k delším vlnovým délkám o ∆λ=0.03[nm]. Určete výslednou relativní rychlost hvězdy. Řešení: Dosazením do (22) dostáváme pro tečnou složku rychlosti vt = 4.74 · πµ = 2.5 = 23.7[km/s]. Dosazením do (23) dostáváme pro radiální složku rychlosti = 4.74 · 0.5 této hvězdy vr = c · ∆λ = 15.75[km/s]. Tato rychlost je smyslem od = 3 · 105 · 0.03 λ0 590 √ pozorovatele. Výsledná rychlost podle (24) je v = 23.72 + 15.752 = 28.46[km/s].
10
