Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap, kalimat perintah, kalimat terbuka, atau pernyataan. Jika pernyataan, tentukan nilai kebenarannya dan beri alasan. 1.1 Sebagian mahasiswa tahun pertama Prodi Matematika FMIPA UGM tidak memiliki buka diktat ”Pengantar Logika Matematika dan Himpunan”. 1.2 Grafik fungsi f dengan persamaan f (x) = 3x3 + 2x2 + x − 10 paling sedikit memotong sumbu X di dua titik yang berbeda. 1.3 Jika rank(A) = rank(A : B) sama dengan banyaknya variabel, maka SPL AX = B memiliki solusi. 1.4 [(∀ε > 0)(∃δ > 0)(|x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε)] ⇒ f 0 (x0 ) ada. 1.5 Paling sedikit tiga mahasiswa dan tidak lebih dari 5 mahasiswa yang memperoleh nilai A. 2. Dari soal no 1, tentukan: 2.1 Konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat-kalimat 1.3 dan 1.4 ! 2.2 Kalimat yang ekuivalen dengan negasi dari kalimat 1.1, 1.2 dan 1.5, tetapi tidak boleh menggunakan kata ”tidak” di awal kalimat. 3. Tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataan-pernyataan berikut ? 3.1. (p ⇒ q) ⇔ (((¯ p ∨ q¯) ⇒ (r ∧ q)) ⇒ (¯ p ∧ r)) 3.2 (p ⇒ q ⇒ r ⇒ p¯) ⇒ p¯
(Tanpa tabel kebenaran)
(Dengan tabel kebenaran)
Ingat: p ⇒ q ⇒ r yang dimaksud p ⇒ q dan q ⇒ r 4. Untuk semua bilangan asli n ≥ 2012, bilangan n4 − n2 habis dibagi 12. Apakah kalimat ini benar ? Jika ya buktikan, jika tidak berikan contoh yang menunjukkan, bahwa pernyataan tersebut salah.
Catatan: Bobot Nilai setiap satu soal (1, 2, 3, 4) sama, yaitu 25 point
Mata Kuliah : PLMH Hari/tanggal : Rabu, 10 September 2008 Waktu : Dikumpulkan paling lambat Rabu, 17 September 2008, jam 12.00 Sifat : Take Home
Dosen : IEW, BS.
I 1. Diberikan suatu himpunan S. Tuliskan definisi relasi ekuivalensi pada S. 2. Jika S = IR dengan IR himpunan semua bilangan real dan R adalah relasi pada S yang didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap x, y ∈ S xRy jika dan hanya jika x2 = y 2 . a. Tunjukkan R relasi ekuivalensi. b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensinya. III
Diketahui A, B dan D adalah himpunan- himpunan tidak kosong. 1. Tunjukkan apakah berlaku A × (B − D) = (A × B) − (A × D). 2. Tentukan X agar berlaku A − (B
S
D) = (A − B) − (D − X).
IV 1. Jika f pemetaan (fungsi) dari A ke B dan D ⊆ B, buktikan f −1 (Dc ) = (f −1 (D))c dengan ”c” notasi komplemen. 2. Jika A = IR dan B = IR + dengan IR himpunan semua bilangan real dan IR + himpunan semua bilangan real positif, maka: Tunjukkan bahwa f : A −→ B, dengan definisi f (x) = ex ,
∀x ∈ A
merupakan pemetaan bijektif. V
Diketahui S adalah himpunan semua bilangan real. Buktikan bahwa jika a, b ∈ S dan untuk setiap bilangan real positif ² berlaku a 6 ≥ b + ², maka a ≤ b.
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat-kalimat berikut ini. 1.1. p ∈ IR ⇒ (∃y ∈ R)(p < y ∧ p2 > y). 1.2. Jika dia terbukti bersalah, maka dia pasti dihukum. 2. Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataan-pernyataan berikut ? 2.1. (p ⇒ q) ⇐⇒ (¯ q ⇒ p¯) 2.2. (p ⇒ (q ∧ q¯)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇔ (q ∨ p¯)) 2.3. p ⇔ (¯ p ⇒ (q ∧ q¯)) 3. Buktikan dengan prinsip INDUKSI MATEMATIKA, bahwa pada himpunan semua bilangan bulat positif Z + berlaku 4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1). 4. Diketahui p1 , p2 , dan p3 adalah tiga buah bilangan prima. Buktikan, bahwa (p2 p3 − 1)p1 + (p1 p3 )p2 6= (p1 p2 )p3 .
I 1. Diberikan suatu himpunan S. Tuliskan definisi relasi ekuivalensi pada S. 2. Jika S = IR dengan IR himpunan semua bilangan real dan R adalah relasi pada S yang didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap x, y ∈ S xRy jika dan hanya jika x2 = y 2 . a. Tunjukkan R relasi ekuivalensi. b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensinya. III
Diketahui A, B dan D adalah himpunan- himpunan tidak kosong. 1. Tunjukkan apakah berlaku A × (B − D) = (A × B) − (A × D). 2. Tentukan X agar berlaku A − (B
S
D) = (A − B) − (D − X).
IV 1. Jika f pemetaan (fungsi) dari A ke B dan D ⊆ B, buktikan f −1 (Dc ) = (f −1 (D))c dengan ”c” notasi komplemen. 2. Jika A = IR dan B = IR + dengan IR himpunan semua bilangan real dan IR + himpunan semua bilangan real positif, maka: Tunjukkan bahwa f : A −→ B, dengan definisi f (x) = ex ,
∀x ∈ A
merupakan pemetaan bijektif. V
Diketahui S adalah himpunan semua bilangan real. Buktikan bahwa jika a, b ∈ S dan untuk setiap bilangan real positif ² berlaku a 6 ≥ b + ², maka a ≤ b.
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat-kalimat berikut ini. 1.1. p ∈ IR ⇒ (∃y ∈ R)(p < y ∧ p2 > y). 1.2. Jika dia terbukti bersalah, maka dia pasti dihukum. 2. Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataan-pernyataan berikut ? 2.1. (p ⇒ q) ⇐⇒ (¯ q ⇒ p¯) 2.2. (p ⇒ (q ∧ q¯)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇔ (q ∨ p¯)) 2.3. p ⇔ (¯ p ⇒ (q ∧ q¯)) 3. Buktikan dengan prinsip INDUKSI MATEMATIKA, bahwa pada himpunan semua bilangan bulat positif Z + berlaku 4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1). 4. Tunjukkan, bahwa
√
3+
√
2 adalah bilangan irasional.
1. Relasi urutan parsial ’R’ pada himpunan S disebut urutan total jika (∀s, r ∈ S)(s ≤ r ∨ r ≤ s). Diketahui N = {1, 2, · · · } dan S = { (n1 , n2 , · · · , nk , 0, · · ·) | ni ∈ N ∪ {0}, i = 1, 2, · · · , k dan k ∈ N }. Didefinisikan ∀(n1 , n2 , · · · , nk , 0, · · ·), (m1 , m2 , · · · , mq , 0, · · ·) ∈ S (n1 , n2 , · · · , nk , 0, · · ·)R(m1 , m2 , · · · , mq , 0, · · ·) m mq 1 m2 pn1 1 pn2 2 · · · pnk k ≤ pm 1 p2 · · · pq ,
dengan p1 = 2, p2 = 3, · · · bilangan-bilangan prima. Buktikan ’R’ relasi urutan parsial total di S. 2. Diketahui C(A) menyatakan kardinalitas himpunan A. Tunjukkan, bahwa (C(A)+ C(B)) + C(C) = C(B) + (C(A) + C(C)). 3. Buktikan, bahwa (∀n ∈ {1, 2, · · ·}){1, 2, · · · , n} 6∼ A ⇐⇒ (∃B ⊂ A)A ∼ B. 4. Apakah benar himpunan IR 3 = {(x, y, z) | x, y, z ∈ IR } ekuipoten dengan {(x, y, z) | (x, y, z) ∈ IR 3 , x2 + y 2 + z 2 ≤ 0 }? Jelaskan jawaban anda !
1. Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari kalimat-kalimat berikut ini. 1.1. p ∈ IR ⇒ (∃y ∈ R)(p < y ∧ p2 > y). 1.2. Jika dia terbukti bersalah, maka dia pasti dihukum. 2. Tanpa menggunakan tabel kebenaran tunjukkan/selidikilah kebenaran pernyataanpernyataan berikut ? 2.1. (p ⇒ q) ⇐⇒ (¯ q ⇒ p¯) 2.2. (p ⇒ (q ∧ q¯)) ⇔ ((p ⇒ q) ⇔ (q ∨ p¯)) 2.3. p ⇔ (¯ p ⇒ (q ∧ q¯)) 3. Buktikan dengan prinsip INDUKSI MATEMATIKA, bahwa pada himpunan semua bilangan bulat positif Z + berlaku 4 + 8 + 12 + . . . + 4n = 2n(n + 1). 4. Tunjukkan, bahwa
√
3+
√
2 adalah bilangan irasional.
I 1. Diberikan suatu himpunan S. Tuliskan definisi relasi ekuivalensi pada S. 2. Jika S = IR dengan IR himpunan semua bilangan real dan R adalah relasi pada S yang didefinisikan sebagai berikut: untuk setiap x, y ∈ S xRy jika dan hanya jika x2 = y 2 . a. Tunjukkan R relasi ekuivalensi. b. Tentukan kelas-kelas ekuivalensinya. III
Diketahui A, B dan D adalah himpunan- himpunan tidak kosong. 1. Tunjukkan apakah berlaku A × (B − D) = (A × B) − (A × D). 2. Tentukan X agar berlaku A − (B
S
D) = (A − B) − (D − X).
IV 1. Jika f pemetaan (fungsi) dari A ke B dan D ⊆ B, buktikan f −1 (Dc ) = (f −1 (D))c dengan ”c” notasi komplemen. 2. Jika A = IR dan B = IR + dengan IR himpunan semua bilangan real dan IR + himpunan semua bilangan real positif, maka: Tunjukkan bahwa f : A −→ B, dengan definisi f (x) = ex ,
∀x ∈ A
merupakan pemetaan bijektif. V
Diketahui S adalah himpunan semua bilangan real. Buktikan bahwa jika a, b ∈ S dan untuk setiap bilangan real positif ² berlaku a 6 ≥ b + ², maka a ≤ b.
