T T A. Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba. Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

T T A Összeállította: Vinczéné Varga Adrienn Kézi Csaba

Debreceni Egyetem Műszaki Kar Műszaki Alaptárgyi Tanszék

 A függvény fogalma, tulajdonságok

Függvény megadása Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Monotonitás Szélsőértékek Paritás Periódus f : A →B

 Fontosabb függvénytípusok

Hatványfüggvények Exponenciális függvények Logaritmikus függvények Trigonometrikus függvények Polinomfüggvények Racionális törtfüggvények

 Hatványfüggvények Az xxn függvényeket, ahol n valós szám hatványfüggvényeknek nevezzük. Példák pozitív egész kitevőjű hatványfüggvényekre

f ( x)  x

f ( x)  x 2

f ( x)  x 3

xℝ, f(x)=A·x2

(Animáció)

Példák negatív egész kitevőjű hatványfüggvényekre Függvény: Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Növekedés Szélsőérték

f ( x) 

1 x

 x  1

x nullától különböző valós szám f (x) nullától különböző valós szám nincs szigorúan monoton csökkenő, ha x<0; szigorúan monoton csökkenő, ha x>0 nincs

f ( x) 

1 x2

 x  2

Példák közönséges tört kitevőjű hatványfüggvényekre !!! A közönséges törtek tizedestört alakja: • véges • végtelen, szakaszos Értelmezés: Ha • x egy pozitív szám, n pedig egy pozitív páros szám vagy • x tetszőleges valós szám, n pedig egy pozitív páratlan szám és xn = y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke. Jelölés:

xn y

x y

1 n

f ( x)  x

f ( x)  x 3

4

x

0

1

4

9

x

-1

0

1

8

f(x)

0

1

2

3

f(x)

1

0

1

16

!!! Hatványozás azonosságai

Az xn = y típusú egyenletekben (y ismert, x ismeretlen) a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet:

Páros n esete: •Ha y<0, akkor nincs megoldás. Példa x4 = -3 •Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa x4 = 0 megoldása: x=0 •Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa x4 = 16 megoldásai: x1=-2, x2=2

Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa x3 = -8 megoldása: x=-2.

 Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek (Sokszínű matematika, 9. osztály 46. oldal) n-ed fokú polinom: P(x)=anxn +an-1xn-1+…+a1x + a0 , ahol an,…..,a0 rögzített valós számok és an≠0 (: főegyüttható).

Ha P(x0)=0, akkor x0 a P(x) polinom zérushelye.

Példák: A P(x)=5x3-4x2+7x-9 polinom egy teljes harmadfokú polinom. A Q(x)=6x4-3x3-5 polinom egy hiányos negyedfokú polinom.

P(x)=x4-x2 x<-1

x=-1

-1<x<0

x=0

0<x<1

x=1

x>1

x2

+

+

+

0

+

+

+

x+1

-

0

+

+

+

+

+

x-1

-

-

-

-

-

0

+

x4-x2

+

0

-

0

-

0

+

x2(x2-1)=0

 Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom Másodfokú egyenlet

Diszkrimináns Megoldóképlet

Gyöktényezős alak Másodfokú egyenlőtlenségek (a≠0)

ax2 + bx + c  0 ax2 + bx + c  0 ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0

a>0

a<0

 Exponenciális és logaritmikus függvények xℝ, f(x)=ax (a>0, a≠1)

xℝ+, f(x)=logax (a>0, a≠1)

01 esetén sz. m. n.

01 esetén sz. m. n. f(x)=x f1(x)=2x

1

f2(x)=log2x 1

a>1

xℝ, f(x)=0.5x

0< a < 1

xℝ+, f(x)=log0.5x f(x)=x

f1(x)=0.5x

x

log0.5x

2

2

-1

0

1

1

0

1

0.5

0.5

1

x

0.5x

-1

1

1

2

2

1 2 0.5        4 2 1 2

!!! Logaritmus azonosságai

f2(x)=log0.5x

log 0.5 0.25  log 0.5 0.52  2

 Exponenciális és logaritmikus egyenletek és egyenlőtlenségek

Az exponenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szerepel. A legegyszerűbb exponenciális egyenlet: af(x)=b alakú, ahol a>0, b>0 és f valamilyen adott valós függvény. Példa:

2x+3 =11 2x =8 x=log28 x=3

2x+3 =11 x+3=log211 x=-3+log211  3  log 2 11  3 

lg 11  0.4594 lg 2

Ha a≠1, akkor f(x) = logab ami már nem exponenciális egyenlet.

Ha a=1, akkor két eset van: b=1 vagy b≠1. •Ha a=1 és b=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. x

1

Példa:

1

 x0

•Ha a=1 és b≠1, akkor nincs megoldása az egyenletnek.

Másik ilyen alaptípus az af(x)= ag(x), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények. •Ha a=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Példa:

x

1

1 x

1

 x0

•Ha a≠1, akkor mindkét oldal a alapú logaritmusát véve az f(x)=g(x) egyenlethez jutunk. Példa:

3

x

 3x  2 

x  x  2  x  x2  4x  4 

Példa:

3

x

Oldja meg a 3

 3x  2 

x

 3x  2 egyenlőtlenséget!

x  x  2  x  x2  4x  4 

 x 2  3x  4  0   3  9  4 1  4 x1, 2   2  nincs valós megoldás

Példa:

Oldja meg a 2

x2

 2 x2

egyenlőtlenséget!

2  2 x2  x 2  x  2  x 2  x  2  0 x2

x1, 2

1  1  4 1  2   x1  1, x2  2 2

megoldás : x  1 vagy x  2

Példa:

Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget!

log0.5x+3 ≥ 0 Feltétel: x > 0 log0.5x ≥ -3 log0.5x ≥ log0.50.5-3 log0.5x ≥ log0.58 x≤8

Megoldás: 0< x ≤ 8 !!! log0.5x+3 ≥ 0 nem ugyanaz, mint log0.5(x+3) ≥ 0

 Függfénytranszformáció f(x)=|(x-3)2-2|+3 f1(x)=x2 f2(x)=(x-3)2 f3(x)=(x-3)2-2 f4(x)=|(x-3)2-2| f(x)=|(x-3)2-2|+3

1. feladat

Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz –1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A 1.cs. (0,01)-2 2.cs. (0,5)-2 3.cs. (0,1)-3

B

C

D

2. feladat

A 1.cs. 2.cs.

log 3 3 3 1 log 3 3 1

3.cs. log 2 (30  31 )

B

C

D

3. feladat: Melyik függvény grafikonja lehet? f(x)=…

A

B

C

D

y

1.cs.

x

3

x 1

3

3x

3 log 3 x log 3 ( x  1)

y

2.cs.

x

x 1 3

3

y

3.cs.

x 3 x

x

x 1



1 3

1 3

x  1

x 1

3x 1

31 x

3

4. feladat: Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza ………….

A 1.cs. x 2  x  6  0

2.cs. x 2  2 x  3  0

3.cs. x 2  x  6  0

B

C

D

5. feladat:Az egyenlőtlenség megoldáshalmaza ………….

A 1.cs. 2 x  3  11 x

17 1 2.cs.    1  16 2

3.cs. lg( x  1)  0

B

C

D

 A szinusz és koszinusz függvények Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják.

sin 2   cos 2   1

A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a

0,

1  , 2

értékek valamelyikével egyenlők.



2 , 2



3 , 2

1

A szög mérése

Fok: Radián: a teljes szög mértéke 360° egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik

Összefüggés fok és radián között :

180° =  (rad)

II.

III.

A szinusz függvény

I.

IV.

A koszinusz függvény

Függvény

f(x)=sin(x)

Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Monotonitás

Szig.mon.növ., ha Szig.mon.csökk, ha

Szélsőérték A minimumok helye:

A maximumok helye: paritás periódus

Páratlan, azaz sin (-x)= -sin(x)

; értéke: -1 ; értéke: 1

 Tangens és kotangens függvény értelmezése

Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő:

A tangens függvény:

f(x)=tg(x) (cos(x)≠0)

A kotangens függvény: f(x)=ctg(x) (sin(x)≠0)

Függvény

f(x)=tg(x)

Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Monotonitás Szig.mon.növ., ha Szélsőérték

nincs

paritás

Páratlan, azaz tg (-x)= -tg(x)

periódus

π

Összefüggések derékszögű háromszögben

Alkalmazás: Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat.

a = csin,

b = ccos

Összefüggés a trigonometrikus függvények között

Trigonometrikus egyenletek és egyenlőtlenségek Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a,

2 sin x  2

2 sin x   2

b,

Megoldás:

45 

a, x1 

 4

4

(rad ),

3 135  (rad ) 4

 k  2 , ahol k egész szám

x2   

b,



 4

 l  2 , ahol l egész szám

  x1       k  2 , ahol k egész szám 4 

  x2   2    l  2 , ahol l egész szám 4 

Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket!

a,

Megoldás:

3 cos x  2

3 cos x   2

b,

30 

a, x1 



 6

(rad ),

330 

11 (rad ) 6

 k  2 , ahol k egész szám

6 11 x2   l  2 , ahol l egész szám 6

b,

  x1       k  2 , ahol k egész szám 6 

  x2       l  2 , ahol l egész szám 6 

Példa: Oldja meg az alábbi egyenleteket! a,

cos x  0

b,

Megoldás:

90 

a, x1 



cos x  1

 2

(rad ),

3 270  (rad ) 2

 k  2 , ahol k egész szám

2 3 x2   l  2 , ahol l egész szám 2 ....................................................... x



b,

2

 m   , ahol m egész szám

x    k  2 , ahol k egész szám

Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! 1 sin x  2

Megoldás:



5  k  2  x   k  2 6 6 ahol k egész szám

Példa: Oldja meg az alábbi egyenlőtlenséget! tg x  1

Megoldás:





 k   x 



2 4 ahol k egész szám

 k 

Mintafeladat

Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz –1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A

B

C

D

1.cs. cos 0

0

1

-1

0.5

 2.cs. sin 3

1 2

3 2



1 2

1  2

1 2



3 2

3.cs. cos

5 6



3 2 3 2

1. feladat

A 1.cs. cos 0  2.cs. sin 3

3.cs. cos

5 6

B

C

D

2. Feladat : Adja meg az egyenletnek azt a megoldását, melyre  0 x 2 !

A 1.cs. 2.cs.

tg x 

3 3

ctg x  1

3.cs. tg x  3

B

C

D

3. Feladat : Adja meg a függvény zérushelyét az első síknegyedben!

A 1.cs. x  sin x 2.cs. x  cos x 3.cs. x  ctg x

B

C

D

4. Feladat : Adja meg a függvény periódusát!

A 1.cs.

x  sin 2 x

2.cs.

x  cos

x 2

3.cs. x  3  ctg x

B

C

D

5. Feladat : Az alábbiak közül melyik értéket veheti fel az f függvény a  3   ;   4



intervallumon!

A 1.cs.

f ( x)  sin x

2.cs. f ( x)  cos x 3.cs.

f ( x)  tg x

1 4

 2 3  4

B  2 1 4

0

C

D

0

3  4

3 4  2



0 1 4

Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága

Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok távolsága:

Két pont által meghatározott vektor

Az P1=(x1,y1) és a P2=(x2,y2) pontok által meghatározott vektor:

Vektor hossza és szöge

A vektor hossza:

A vektor szöge (az x tengely pozitív felétől pozitív forgásirányban mért szög amennyiben vx≠0):

Egyenes meredeksége (iránytangense)

Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két pontot: (x1,y1) és (x2,y2) az

értéket az egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük. Egyenes egyenlete

Itt egyenes egyenletén az y = m(x-x0) + y0

formulát értjük. m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja

y = m(x-x0) + y0

y = mx +b ahol b= -mx0+ y0

b: tengelymetszet

Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból

1. Két pont

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: (x0,y0) és (x1,y1)! (Feltételezzük, hogy x0≠x1)

, így az egyenes egyenlete:

2. Egy pont és egy irányvektor

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy irányvektora (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx≠0)

, így az egyenes egyenlete:

Szokásos a vy x- vx y= vy x0- vx y0 alakra való átírás.

3. Egy pont és egy normálvektor

Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B≠0)

, így az egyenes egyenlete: Szokásos az Ax + By = Ax0 + By0 alakra való átírás, illetve az Ax + By+C =0 alak, ahol C=-( Ax0 + By0) . Speciális helyzetű egyenesek egyenlete a b

Az egyenes egyenlete: y=a

Az egyenes egyenlete: x=b

Szakasz felezőpontja

Az (x1;y1) és az (x2;y2) pontokat összekötő szakasz felezőpontja:  x  x y  y2  F  1 2 ; 1  2 2  

Példa Legyen P=(2;-4), Q=(3;1). Ekkor a PQ szakasz felezőpontja:

Háromszög súlypontja

Az A=(x1;y1), B=(x2;y2), C=(x3;y3) csúcspontú háromszög súlypontja:

Szakasz általános osztó pontja

Legyen P1=(x1;y1), P2=(x2;y2) két pont, ezek helyvektorai legyenek rendre p1 és p 2 . A szakaszt m:n arányban osztó P pont helyvektora legyen p , a P koordinátái (x;y). Ha P1P:PP2=m:n , akkor nx1  mx2 x mn

ny1  my2 y mn

Kör egyenlete Az K=(u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete:

(x-u)2 + (y-v)2 = R2 Magyarázat: d(K,P)=R, így

x  u 2   y  v 2

R

Példa: Határozza meg az 2x2-8x+2y2+12y-6=0 egyenletű kör középpontját és sugarát! Megoldás:

Középpont: (2,-3)

2[x2-4x+y2+6y-3]=0 x2-4x+y2+6y-3=0 x2-4x+4-4+y2+6y+9-9-3=0 x2-4x+4+y2+6y+9-16=0 (x-2)2+(y+3)2=16

Sugár: 4

Kúpszeletek

(a) ellipszis

(b) parabola

(c) hiperbola

Az ellipszis azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságösszege a két adott pont távolságánál nagyobb állandó.

ELLIPSZIS F1, F2 : fókuszok a: nagy féltengely b: kis féltengely c: lineáris excentricitás O: centrum

c b  a 2

2

2

2

x y  2 1 2 a b

2

A HIPERBOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík két adott pontjától (fókuszpontok) vett távolságkülönbsége abszolút értékben a két adott pont távolságánál kisebb pozitív állandó.

F1, F2 : fókuszok a: valós féltengely b: képzetes féltengely c: lineáris excentricitás O: centrum

a b  c 2 2

2

2

x y  2 1 2 a b

2

A PARABOLA azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek a sík egy adott v egyenesétől (vezéregyenes) és egy v-re nem illeszkedő F pontjától (fókuszpont) vett távolsága egyenlő.

1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz –1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont A Az A(1,2) és B(3,1) pontokon

1.cs. áthaladó egyenes egyenlete 2.cs.

A P(-2,3) ponton áthaladó v(1,-5) irányvektorú egyenes egyenlete

3.cs.

A P(-2,3) ponton áthaladó n(1,-5) normálvektorú egyenes egyenlete

B

C

D

2. feladat

A

1.cs.

Legyen A(5,-1), B(2,-1). Az AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja

Az A(1,-2), B(0,2), C(2,6) 2.cs. csúcsokkal rendelkező háromszög súlypontja Legyen A(-2,1), B(4,-5). Az 3.cs. AB szakasz B-hez közelebbi harmadoló pontja

B

C

D

3. feladat

A 1.cs.

Az x+2y=-3 egyenes meredeksége

2.cs.

A 2x-5y=1 egyenes egy irányvektora

3.cs.

A 3x+2y=2 egyenes egy normálvektora

B

C

D

4. feladat

A

1.cs.

A P(3,5) pontnak az x2y=5 egyenletű egyenestől való távolsága

2.cs.

Az x-2y=5 és az x-2y=10 egyenesek távolsága

3.cs.

Az x-2y=2 és a 3x+y=5 egyenesek metszéspontja

B

C

D

5. feladat:

A 1.cs.

Az x2+y2=25 kör középpontja

2.cs.

Az (x-1)2+(y-2)2=25 kör középpontja

3.cs.

Az (x+2)2+(y-3)2=25 kör középpontja

B

C

D

 Geometriai alapok

 térelemek  térelemek kölcsönös helyzete  szögek  térelemek hajlásszöge  térelemek távolsága  euklideszi alapszerkesztések

 Alapfogalmak és jelölések

A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C, ... P, Q, ... X, Y, Z – latin nagybetű; egyenes: a, b, c, ... p, q, ... x, y, z – latin kisbetű; sík: S,T,…….. – latin nagybetű

 Térelemek kölcsönös helyzete

Két egyenes lehet  metsző  párhuzamos  kitérő

Két sík kölcsönös helyzete lehet  metsző

 párhuzamos

Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet  az egyenes illeszkedik a síkra

 az egyenes párhuzamos a síkkal

 az egyenes döfi a síkot

 3 sík kölcsönös helyzete

 3 sík kölcsönös helyzete

Szögek A szög: olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.(Ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa. A szögmérés mértékegysége a fok, 1o- a teljes szög 360-ad része. A szögeket nagyság szerint a következő csoportokba soroljuk:

Szögek

teljesszög : α

α = 360o

eyenesszög : β

β = 180o

nullszög : γ

γ = 0o

hegyesszög : δ

0o < δ < 90o

derékszög : ε

ε = 90o

tompaszög : ζ

90o < ζ <180o

homorúszög : η

180o < η < 360o

Térelemek szöge Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90o.



 



Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel párhuzamos két egyenes szögét értjük.

e

e' f S

f'

Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük.

a

a' S

Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük.

Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is. (a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)

Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük.  Két pont távolsága a két pontot összekötő szakasz hossza.

 Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.

.

 Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük. .

 Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mért távolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető.

 Egymással párhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük.

 Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük.

 Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük.

Euklideszi szerkesztések Az euklideszi szerkesztés lehetőségei:  Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval.  Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük.  Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk.  Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük.  Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.  Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.

 szakasz felező merőleges szerkesztése  szögfelező szerkesztése  külső pontból a körhöz húzott érintők szerkesztése

Háromszögek A háromszögek csoportosítása: szögei szerint hegyesszögű derékszögű tompaszögű oldalai szerint egyenlő oldalú egyenlő szárú általános

 Háromszögekre vonatkozó néhány állítás  A háromszög belső szögeinek összege 180°.  A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál.  A háromszög külső szögeinek összege 360°.  A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

 Háromszögek nevezetes vonalai és pontjai     

szögfelezők oldalfelező merőlegesek magasságvonalak, magasságpont súlyvonalak, súlypont középvonalak

 Általános háromszögekre vonatkozó tételek  háromszög kerülete  háromszög területe (magassággal, beírt kör sugarával, Héron képlet, trigonometrikus területképlet)  szinusz tétel l

a sin α Héron = b sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.)  koszinusz tétel

c2 = a2 + b2 – 2abcos (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.)

 Derékszögű háromszögekre vonatkozó tételek  Pitagorasz-tétel

Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c2 = a2 + b2

Pitagorasz

 magasságtétel Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt mc = c1 ∙ c2  befogótétel Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a = c ∙ c2 C

b

A

a

m

c1

c2 c

B

Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két végpontját a körvonal bármely másik pontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör középpontja mindig az átfogójának felezőpontja lesz. Az átfogó a kör átmérője.

O

Példa Egy kisméretű test a függőleges iránnyal α=30°-os szöget bezáró AB vezetőrúd mentén mozoghat. A testhez az ábrán látható módon egy rugót erősítünk. Amikor a test az A pontban van, akkor a rugó megnyúlása nulla. Mekkora a rugó megnyúlása, amikor a test a B pontban van? (a=0,7 m és h=0,5 m) a=l0

A a1

h

l

B

1    90  120.

l  a  h  2ah  cos  1 2

2

l 2  0,7 2  0,5 2  20,7  0,3  cos 120  1,09

l | l  l0 | 0,34m.

2

l  1,04m

P

 A kör geometriája A kör (körvonal) azon pontok mértani helye a síkban, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az adott pont a kör középpontja, az adott állandó a kör sugara.

Kerület: 2R Terület: R2

A kör részei

t

e el

lõ

sze

átmérõ s ugá r

húr érintõ

sz r kö

k

k ci

ör

kerületi szög

k

középponti szög körgyûrû

Az alábbi ábra egy vaslemezből kivágott idomot mutat. A lemez vastagságát , a vas sűrűségét jelöli. Számítsa ki az idom tömegét!

1. feladat Pontozás: Helyes válasz 3 pont Helytelen válasz –1 pont Nincs válasz/javított vagy nem egyértelmű válasz 0 pont

A

1.cs. Téglalap területe 2.cs. r sugarú kör területe 3.cs. r sugarú kör kerülete

B

C

D

2. feladat

A

1.cs.

Az ‚a’ oldalú négyzet átlójának hossza A 3 cm és 4 cm oldalakkal

2.cs. rendelkező téglalap átlója

Egy téglalap hosszabbik oldala 12

3.cs. cm, átlója 13 cm. A rövidebb oldal

B

C

D

3. feladat

A 1.cs. Téglatest térfogata (élei: a,b és c) 2.cs. r sugarú gömb felszíne

3.cs. r sugarú gömb térfogata

B

C

D

4. feladat

A

1.cs.

Egy derékszögű háromszög befogói 3 cm és 4 cm hosszúak. A háromszög köré írt kör sugara

2.cs.

Egy egyenlő szárú háromszög alapja 10 cm, szárai 13 cm-esek. A háromszög területe

3.cs.

Egy háromszög oldalai 3, 4 és 5 cm hosszúak. A háromszög területe

B

C

D

5. feladat: A

1.cs.

Egy körbe és a kör köré is egy-egy szabályos háromszöget írunk. Mennyi a két háromszög területének aránya?

2.cs.

Egy 25 cm sugarú kör két párhuzamos húrja 14 cm és 40 cm hosszú. Határozzuk meg a közöttük lévő távolságot, ha a középpont a két húr között van!

3.cs.

Adott P pontból adott körhöz húzott érintő és szelőszakaszok merőlegesek egymásra. Az érintőszakasz 12 cm, a szelő P ponthoz közelebb eső szelete 10 cm. Határozzuk meg a kör sugarát!

B

C

D