Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus

Prosiding

ISSN :9 772407 749004 Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus Nahlia Rakhmawati Dosen Pendidikan Matematika STKIP PGRI Jombang [email protected]

ABSTRAK Pada penelitian ini dirancang 3 jalur bus sekolah, yang tidak hanya mencakup kompleks sekolah tetapi juga fasilitas umum di wilayah kecamatan Jombang. Dari jalur yang dirancang, disusun sebuah model sistem jaringan bus sekolah menggunakan aljabar max-plus, yang kemudian dianalisa kestabilan dari beberapa skenario realisasi dari sistem jaringan bus sekolah tersebut. Akhirnya, diperoleh sebuah desain penjadwalan dan keberangkatan bus sekolah di masing-masing jalur. Kata Kunci : Rancangan, Sistem Jaringan Bus Sekolah, Aljabar Max-Plus.

Jombang yang sedang berkembang dan

Pendahuluan Kebutuhan

masyarakat

akan

transportasi umum yang nyaman, bebas macet, bebas kecelakaan, cepat dan sehat sepertinya memang perlu terus dicanangkan. Karena jika transportasi lancar, maka semua bidang kehidupan akan semakin membaik. Angkutan

umum

memberikan kesempatan yang tinggi terhadap kebutuhan akan kendaraan umum. Hal ini dapat mendorong jumlah kendaraan

kota

permintaan

akan

pelayanan angkutan umum. Pada mengenai sebagai

di

dan

penelitian pengadaan

salah

satu

ini bus

dikaji sekolah

solusi

untuk

mengatasi kemacetan utamanya di jam

Jombang tersedia dengan trayek yang

pulang

beragam.

intra

kemacetan dalam kota Jombang adalah

wilayah kabupaten, terdapat Angkutan

kegiatan menjemput anak pada jam

Perdesaan dengan 24 trayek, yang

pulang

menjangkau

kecamatan.

berasal dari seluruh penjuru kabupaten

penduduk

Jombang, maka orang tua yang siaga

kabupaten Jombang 1,38% per tahun

sudah stand by menunggu di depan

akan

pada

sekolah dengan memarkir kendaraan di

meningkatnya jumlah kendaraan umum

depan lingkungan sekolah. Dan karena

dan permintaan akan angkutan umum

sekolah

Untuk

ke

Pertumbuhan

tersebut,

transportasi

semua jumlah

berakibat

demikian

langsung

pula

sekolah.

sekolah.

di

Penyebab

Mengingat

Jombang

utama

siswa

kebanyakan

kabupaten

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

1167

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

memusat atau berada pada satu wilayah

karena untuk setiap x, y, z  R berlaku :

tertentu,

i. x  y  max  x, y  max  y , x  y  x,

maka

dapat

dibayangkan

 x  y   z  max max  x, y , z  max  x, y , z  max  x, max  y, z  x   y  z x    max  x,   max , x

bagaimana situasi jalan yang mayoritas digunakan untuk parker kendaraan. Penelitian ini dibatasi oleh studi kasus yang digunakan yaitu wilayah

   x  x.

kecamatan Jombang, dengan jalur bus sekolah yang dirancang melingkari wilayah Jombang Pusat yang melewati banyak perkantoran, fasilitas umum, sekolah dan pusat perdagangan. Karena berdasarkan tata kota Jombang saat ini masih

terdapat

arteri

sekunder

di

beberapa jalan ramai (pusat kegiatan), maka hanya digunakan jalur satu arah

ii. x  y  x  y  y  x  y  x,

untuk semua jalur yang akan dirancang. Aljabar untuk

max-plus

menganalisa

 x  y  z

digunakan

  x  y  z  x   y  z  x  y  z

kemungkinan

x  e  x  0  0  x  e  x  x.

realisasi dari jalur yang dirancang

iii. x    x          x    x.

dengan melihat kestabilan dari sistem yang dibentuk berdasarkan jalur yang

iv.  x  y   z  max  x, y  z

dirancang.

 max  x  z , y  z

Definisi 2.1. Definisi aljabar max-plus

  x  z   y  z, x   y  z   x  max  y , z

(Subiono, 2012)

 max  x  y , x  z

def

Diberikan R  R    dengan R adalah himpunan def

semua bilangan real dan    . Pada R didefinisikan

  x  y   x  z .

operasi berikut : def

def

x, y  R , x  y  max  x, y dan x  y  x  y.

Algoritma untuk menentukan nilai eigen

Selanjutnya ditunjukkan  R , ,  

nn dan vektor eigen dari matriks A  Rmax

merupakan semiring dengan elemen netral 

dilakukan secara berulang dari bentuk

dan elemen satuan e  0,

persamaan linear


1168

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

x  k  1  A  x  k  , k  0,1, 2,3,

2. Pengumpulan data dan informasi yang diperlukan dalam perancangan

(*)

jalur; Perilaku periodik dari persaan (*) baik untuk matriks A yang tak tereduksi maupun yang tereduksi erat

3. Perancangan 3 jalur bus sekolah; 4. Penyusunan Graph dari Jalur bus sekolah yang telah dirancang;

kaitannya dengan apa yang dinamakan

5. Analisis

vektor waktu sikel yang didefinisikan

Sekolah

sebagaimana teorema berikut ini:

Max-Plus.

Pemodelan

Jalur

Menggunakan

Bus

Aljabar

6. Analisis Penjadwalan Bus Sekolah

Teorema(*) Bila untuk sebarang keadaan awal x  0    sistem

Menggunakan Aljabar Max-Plus. 7. Menyusun

persamaan (2.1) memenuhi

time

keberangkatan

x  p   c  x  q  untuk beberapa

bus

table

untuk

sekolah

di

masing-masing jalur.

bilangan bulat p dan q dengan

Hasil dan Pembahasan

p  q  0 dan beberapa bilangan real

Jalur yang dirancang adalah: 1. Jalur 1

c , maka lim 

x k 

k 

k

dengan  

Jl. Gatot Subroto – Jl. Basuki

  



T

Kusuma Bangsa – Jl. Urip Sumohardjo – Jl. Wahid Hasyim –

c . Selanjutnya  pq

Jl. Gus Dur – Jl. Gatot Subroto.

adalah suatu nilai eigen dari matriks A dengan vektor eigen diberikan oleh p q



v   i 1

 p  q i 

Rahmat – Jl. Pattimura – Jl.



 x  q  i  1 .

2. Jalur 2 Jl. KH. Wahid Hasyim – Jl. A. Yani – Jl. Kapten Tendean – Jl. Dr. Wahidin Sudiro Husodo – Jl. KH. Wahid Hasyim.

Metode Penelitian Langkah-langkah

3. Jalur 3 penyelesaian

masalah yang digunakan antara lain:

Jl. Basuki Rahmat – Jl. Yos Sudarso – Jl. A. Yani – Jl. Kusuma Bangsa – Jl. Pattimura –

1. Studi literatur;

Jl. Basuki Rahmat.


1169

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

Terdapat 4 titik pertemuan pada

dengan 1, 2, , n menunjukkan bus yang n  1,

,n  r

ketiga jalur yaitu: Ringin Contong

sebenarnya,

(RC),

Makam

menunjukkan variabel tambahan yang

perempatan

menunjukkan bus tambahan. Vektor

Pasar

Pahlawan

Legi

(MP)

STIKES

(PL),

dan

(STIKES)

memungkinkan berpindah

yang

penumpang

jalur.

untuk

Keempat

titik

pertemuan ini dijadikan node untuk menyusun graph jalur bus sekolah sedangkan waktu tempuh antar titik pertemuan dijadikan sebagai bobot arc. Graph berarah dari jalur bus sekolah

d  k  1 adalah jadwal keberangkatan

untuk keberangkatan ke- k  1 . Kondisi awal untuk permasalahan ini adalah x  0  , meskipun keberangkatan ke-0

tidak

mempunyai

intrepretasi

yang

jelas. Oleh karena itu, yang dapat diamati adalah hanya yang terjadi dengan

adalah sebagai berikut:

dan

, xn ,

x1 ,

dan matriks hasil

adalah C  en

 nr  . Sehingga y  k 

adalah

keberangkatan

waktu

yang

teramati dari bus yang sebenarnya. Karena

keterbatasan

data

mengenai jarak dan waktu tempuh masing-masing titik pertemuan di setiap Gambar 1. Graph berarah disertai node

Model yang diinginkan dari jalur bus sekolah yang dirancang adalah:

y  k   Cx  k  x  0   x0

Vektor

x k 

maka

pada

penelitian

ini

dimisalkan hanya ada 1 bus yang

untuk jalur bus sekolah

x  k  1  Ax  k   d  k  1

jalur,

beroperasi

di

masing-masing

pertemuan

sebagaimana

titik

ditunjukkan

oleh tabel berikut ini.

     (1)

Tabel 1. Jarak antar Titik Pertemuan, Waktu Tempuh dan Alokasi Jumlah Bus

menunjukkan

waktu keberangkatan ke- k untuk semua bus termasuk bus tambahan. Vektor x  k    x1  k  ,

, xn  k  , x n  1  k  ,

, xn  r  k  , '


1170

Prosiding variabel

ISSN :9 772407 749004

dari

ke

a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

jarak

waktu tempuh

jumlah bus

(km)

(menit)

yang beroperasi

x1

UNDAR

STIKES

5.1

12.14

1

x2

STIKES

MP

1

2.24

1

x3

MP

RC

1.3

3.07

1

x4

RC

UNDAR

1.3

3.07

1

x5

RC

PL

2.4

5.46

1

x6

PL

STIKES

1

2.24

1

x7

STIKES

RC

1

2.24

1

x8

BRAVO

PL

6

14.24

1

x9

PL

MP

3

7.12

1

x10

MP

STIKES

2.6

6.14

1

x11

STIKES

BRAVO

0.6

1.26

1

RC menuju ke PL menunggu kedatangan bus yang berangkat ke(k) dari STIKES menuju ke RC dan kedatangan bus yang berangkat ke(k) dari MP menuju ke RC. b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari PL menuju STIKES menunggu

Aturan sinkronisasi diberikan sebagai

kedatangan bus yang berangkat ke-

berikut:

(k) dari RC menuju ke PL dan kedatangan

Jalur 1 a.

b.

c.

bus

ke-(k)

dari

BRAVO menuju ke PL.

Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

STIKES menuju MP menunggu

STIKES menuju ke RC menunggu



(k)

ke

(k) dari PL menuju ke STIKES,

STIKES, dan kedatangan bus yang

menunggu kedatangan bus yang

berangkat ke-(k) dari MP menuju

berangkat ke-(k) dari UNDAR

ke STIKES, serta kedatangan bus

menuju ke STIKES, dan menunggu

yang berangkat ke-(k) dari PG


menuju ke STIKES.

(k) dari MP menuju ke STIKES.

dari

UNDAR

menuju


Jalur 3

MP menuju ke RC menunggu

a. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari


PL menuju ke MP menunggu

(k) dari STIKES menuju ke MP


dan kedatangan bus yang berangkat

(k) dari BRAVO menuju ke PL dan

ke-(k) dari PG menuju ke MP.

bus yang berangkat ke-(k) dari RC


menuju ke PL.

menunggu

b. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari

kedatangan bus ke-(k) dari MP

MP menuju ke STIKES menunggu

menuju ke RC dan kedatangan bus


ke-(k) dari STIKES menuju ke RC.

(k) dari PL menuju ke MP dan

RC

ke

UNDAR

Jalur 2 Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

1171

Prosiding

ISSN :9 772407 749004


ii. Jalur 2 x5  k  1  3.07  x3  k    6.14  x7  k  

(k) dari STIKES menuju ke MP.

 d5  k  1

c. Keberangkatan bus ke-(k+1) dari STIKES

menuju

ke

BRAVO

x6  k  1  1.26  x5  k    5.46  x8  k    d 6  k  1

menunggu kedatangan bus yang berangkat

ke-(k)

dari

MP

ke

x7  k  1  12.14  x1  k    7.12  x6  k     2.24  x10  k    d 7  k  1

STIKES, menunggu kedatangan bus yang berangkat ke-(k) dari PL menuju ke STIKES dan menunggu

(3)

kedatangan bus yang berangkat ke(k)

dari

UNDAR

menuju

ke

x8  k  1  14.24  x11  k    d8  k  1

STIKES. Berdasarkan data pada tabel 1 dan aturan sinkronisasi seperti yang telah

diuraikan,

iii. Jalur 3

maka

dapat

dikonstruksi model keseluruhan jalur bus sekolah yaitu sebagai berikut:

x9  k  1  1.26  x5  k    5.46  x8  k    d9  k  1

x10  k  1   2.24  x2  k     2.24  x9  k    d10  k  1

x11  k  1  12.14  x1  k    7.12  x6  k  

i. Jalur 1

  2.24  x10  k    d11  k  1

x1  k  1  3.07  x4  k    d1  k  1

(4)

x2  k  1  12.14  x1  k    7.12  x6  k     2.24  x10  k    d 2  k  1 x3  k  1   2.24  x2  k     2.24  x9  k    d3  k  1

Selanjutnya, model (2), (3) dan (4) di atas dapat dinyatakan dalam bentuk umum model aljabar max-plus sebagai berikut:

x4  k  1  3.07  x3  k    6.14  x7  k    d 4  k  1

x  k  1    Ap  x  k  1  p    d  k  1 M

p 1

(2)

(5) dengan

Ap adalah matriks berukuran

n  n dan n adalah jumlah variabel. Matriks

Ap

adalah

matriks

yang

berkaitan dengan x  k  1  p  dan M


1172

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

dalam hal ini adalah jumlah bus

4. Hitung p q

maksimum diantara semua jalur.

vektor

eigen





v     p q i   x  q  i  1 . i 1

Berdasarkan Tabel 1, jumlah variabel adalah 11 variabel dan jumlah

Dengan menggunakan bantuan Scilab

bus maksimum dimisalkan 1 bus pada

dan

semua jalur, maka n  11 dan M  1 .

  8.94 . Interpretasi dari nilai eigen ini

Sehingga

ada

sebuah

adalah

A

matriks

Maxplus

toolbox,

diperoleh

bahwasanya

periode

keberangkatan bus di masing-masing

berukuran 1111 . Matriks A adalah

titik pertemuan adalah setiap 8.97 menit

sebagai berikut:

sekali.  

 

  

 12.14   2.24   3.07      3.07  A    12.24               2.24     12.14

3.07

         

    



  

    

 



     2.24    6.14      6.14    1.26   5.46      7.12    2.24        14.24  1.26   5.46         2.24      7.12    2.24   7.12

Berdasarkan

teorema

2.24

(*),

menginspirasi suatu algoritma untuk mendapatkan

nilai

eigen

sekaligus

vektor eigen dari suatu matriks persegi

A

      

yang dikenal dengan Algoritma

Power (Subiono, 2010), yaitu sebagai berikut: 1. Mulai dari sebarang vektor awal x  0   .

keberangkatan

bus

jadwal dapat

disusun

menggunakan vektor eigen matriks A sebagai

keadaan

awal

(waktu

keberangkatan awal), yaitu: 0      8.67   3.79     5.87   5.87    vx   10.49   8.67     13.97   10.49     3.79     8.67 

Kesimpulan

2. Iterasi persamaan (*) sampai ada bilangan bulat

Selanjutnya

pq0

1. Aljabar max-plus dapat diterapkan

dan

dalam penyusunan model rencana

bilangan real c sehingga suatu

jaringan bus sekolah di Jombang.

perilaku periodik terjadi, yaitu

Model yang disusun menggunakan

x  p  c  x q .

aljabar max-plus ini menghasilkan

c 3. Hitung nilai eigen   . pq

bentuk model x  k  1  A  x  k   d  k  1


1173

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

dengan analisa penyusunan jadwal

Subiono, (2010), Linear Equation in

regular dilakukan pada matriks A .

Max – Plus Algebra and Its

2. Model

jaringan

bus

sekolah

menghasilkan

periode

Application,

Mathematics

Department of Sepuluh

keberangkatan bus di masing-

Nopember

masing titik pertemuan adalah

Technology, Surabaya.

setiap 8.94 menit sekali.

Mubarok, Rendy M, (2013), Analisis Angkutan

Kabupaten Akhir

S1

Umum

Jombang,

Tugas

Teknik

Sipil,

Universitas Jember. Profil

Kabupaten/Kota

of

Subiono, (2012), Aljabar Maxplus dan

Pustaka

Kinerja

Institute

Jombang.

Diakses

melalui

Terapannya, Buku Ajar Mata Kuliah Pilihan Pasca Sarjana Matematika, ITS, Surabaya. Subiono, dan A. Dieky, (2012), MaxPlus Algebra Toolbox ver. 1.1.0, Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya.

www.jombangkab.go.id.


1174

Studi Penerapan Bus Sekolah di Jombang Menggunakan Aljabar Max-Plus

Recommend Documents