Statistický rozbor hazardních her

ˇ Jihoˇ cesk´ a uviverzita v Cesk´ ych Budˇ ejovic´ıch Katedra matematiky

Statistick´ y rozbor hazardn´ıch her Diplomov´ a pr´ ace

2007

Pavel Nov´ ak

Prohlaˇsuji, ˇze jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatnˇe. Uvedl jsem vˇsechny literárn´ı prameny a publikace, které jsem k tomu pouˇzil.

ˇ ych Budˇejovic´ıch 20. dubna 2007 V Cesk´

............. .............

Rád bych na tomto m´ıstˇe podˇekoval vedouc´ımu této diplomové práce, kter´ ym je prof. RNDr. Pavel Tlust´ y, CSc., za podnˇetné rady a pˇripom´ınky. Také bych chtˇel podˇekovat sv´ ym rodiˇc˚ um za jejich nekoneˇcnou trpˇelivost.

Abstrakt Tato práce se zab´ yvá ˇc´ıselnou hrou Sportka a je zamˇeˇrena pˇredevˇs´ım na studium takzvan´ ych anomáln´ıch“ jev˚ u. Ke kaˇzdému takovému jevu je sestaven ma” tematick´ y model a je zjiˇstˇen jeho pˇredpokládan´ y v´ yskyt. Ten je pak porovnán se skuteˇcnou histori´ı této loterie. Dalˇs´ı ˇcást se vˇenuje podrobné anal´ yze pouˇzit´ ych losovac´ıch zaˇr´ızen´ı. S vyuˇzit´ım bohaté historie této hry je potvrzena nebo vyvrácena hypotéza o spravedlivosti jednotliv´ ych losovac´ıch zaˇr´ızen´ı. Posledn´ı ˇcást se vˇenuje v´ ypoˇctu pravdˇepodobnosti v´ yhry v jednotliv´ ych v´ yhern´ıch poˇrad´ıch.

Abstract This diploma thesis discusses the numeric game Sportka and concentrates on research of the so called abnormal effects. Mathematical models are designed for such effects and their probable appearance is found. This appearance is compared to the presence of the real events in history of the game. The second part turns to the analysis of the lottery machines which have been used. The equitableness of the particular lottery-wheels is accepted or refused according to the abundant history of the real draws in Sportka. The last part of the thesis is involved in the mathematical simulation of the jackpot in the case of reasonable betting.

Obsah ´ UVOD

1

ˇ ´ 1 HISTORIE HAZARDNÍCH HER A LOTERIÍ V CESK YCH ZEMÍCH 3 1.1 1.2

Hazardn´ı hry ve stˇredovˇeku a za Rakouska–Uherska . . . . . . . . ˇ Hazardn´ı hry v Ceskoslovensku . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Historie ˇc´ıselné hry Sportka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

´ ´ Í SPORTKY 2 ANOMALIE V LOSOVAN

4

7

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u. . . . . . . . . . . . . ˇ Sest po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Pˇet po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Jedna ˇctveˇrice a jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . .

12

Právˇe jedna ˇctveˇrice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . .

13

Dvˇe trojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Tˇri dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

Právˇe jedna trojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . .

19

Jedna trojice a jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel . . . . . . . .

20

Malá ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Velká ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Lichá ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Sudá ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ˇ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR

21

ˇ ÍZENÍ 3 TEST LOSOVACÍCH ZAR

7

21 25

3.1

Jednotlivá losovac´ı zaˇr´ızen´ı Sportky . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

3.2

Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1957–1965 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Bernoulliho posloupnost nezávisl´ ych pokus˚ u . . . . . . . . . . . .

28

Centráln´ı limitn´ı vˇeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.3


31

3.4


33

3.5


39

3.6


44

3.7

Souˇcasné losovac´ı zaˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

´ VYHERN ´ Í PORAD ˇ Í 4 JEDNOTLIVA

49

4.1

Pravdˇepodobnost v´ yhry v jednotliv´ ych poˇrad´ıch . . . . . . . . . .

49

4.2

Matematick´ y model v´ yˇse nejvyˇsˇs´ı v´ yhry . . . . . . . . . . . . . .

51

Model v´ yˇsky jackpotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

´ ER ˇ 5 ZAV

54

ˇ ÍLOHY 6 PR

56

6.1 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1957–1965 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56


57


58


59


60

6.6 Souˇcasné losovac´ı zaˇr´ızen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

LITERATURA

62

Seznam tabulek 1

Polovina poˇctu tah˚ u s jednou pˇetic´ı . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2

Druhá polovina poˇctu tah˚ u s jednou pˇetic´ı . . . . . . . . . . . . .

12

3

Polovina poˇctu tah˚ u se ˇctveˇric´ı a dvojic´ı . . . . . . . . . . . . . .

13

4

Tahy s jednou ˇctveˇric´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

5

Tahy se dvˇema trojicemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

6

Konstrukce tˇr´ı dvojic po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel

. . . . . . . . . . . .

15

7

Zjiˇstˇen´ı poˇctu tah˚ u se dvˇema dvojicemi . . . . . . . . . . . . . . .

17

8

Nalezené absolutn´ı ˇcetnosti jednotliv´ ych zaj´ımav´ ych tah˚ u . . . . .

22

9

Porovnán´ı pravdˇepodobnost´ı a relativn´ıch ˇcetnost´ı, oˇcekávaného a skuteˇcného poˇctu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

10

Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u (1957–1965) . . . . . . . . . . . . .

56

11


57

12


58

13


59

14


60

15

Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u (1993–souˇcasnost)

61

. . . . . . . . .

´ UVOD Hazardn´ı hry, sázen´ı obecnˇe i r˚ uzné loterie pˇritahovaly a vzruˇsovaly lidstvo od nepamˇeti. Lidská váˇseˇ n pro hru – a samozˇrejmˇe i v´ yhru – prováz´ı lidstvo po celou dobu jeho existence. Dokazuj´ı to staré letopisy, kroniky a r˚ uzná v´ ytvarná d´ıla. Hazardn´ı hra se nejednou stala i literárn´ım námˇetem (vzpomeˇ nme si tˇreba na Dostojevského a jeho román Hr´ aˇc , kde je u ´stˇredn´ı postavou hráˇc rulety). Hrou se zab´ yvaj´ı filosofové, dˇejepisci i ekonomové, i kdyˇz ti tvrd´ı, ˇze ˇclovˇeka ke hˇre nut´ı ˇcistˇe iracionáln´ı popud, kter´ y ho vede ke zbyteˇcnému riskován´ı penˇez. Vˇzdyt’ pˇrece vˇsechny obchodnˇe provozované hry jsou nespravedlivé na u ´kor hráˇce. Uzav´ırán´ım sázek, svou u ´ˇcast´ı na tombolách a loteri´ıch lidé uspokojuj´ı urˇcitou základn´ı lidskou povahovou vlastnost. Jde zejména o potˇrebu hry, rizika a vzruˇsen´ı s n´ım spojeného. Hra v tˇechto pˇr´ıpadech nav´ıc svád´ı vidinou snadného, bezpracnˇe dosaˇzeného a ˇcasto velmi vysokého zisku.

2

1.1 Hazardn´ı hry ve stˇredovˇeku a za Rakouska–Uherska

HISTORIE HAZARDNÍCH HER A LOTERIÍ ˇ ´ V CESK YCH ZEMÍCH

1

1.1

Hazardn´ı hry ve stˇ redovˇ eku a za Rakouska–Uherska

Potˇreba hry a zábavy a touha po vymanˇen´ı se z kolobˇehu denn´ıch starost´ı patˇr´ı neoddˇelitelnˇe k lidské psychice. V´ yjimkou jistˇe nebyly ani r˚ uzné kmeny, které v miˇ nulosti pob´ yvaly na u ´zem´ı dneˇsn´ıch Cech. Svˇedˇc´ı o tom nálezy r˚ uzn´ ych kostˇen´ ych hrac´ıch kamen˚ u, které byly nalezeny v keltsk´ ych oppidech na Stradonic´ıch. Pravdˇepodobnˇe slouˇzili k nˇejaké sloˇzitˇejˇs´ı deskové hˇre, jej´ıˇz podobu uˇz dnes nedokáˇzeme rekonstruovat. ˇ ych zem´ıch, rozˇs´ıˇrila hra v kostky. Ve stˇredovˇeku se po celé Evropˇe, tedy i v Cesk´ Vˇetˇsinou j´ı propadaly jen niˇzˇs´ı vrstvy, a tak moˇzná právˇe proto patˇrila k nejopovrhovanˇejˇs´ım lidsk´ ym ˇcinnostem té doby. Hra v kostky se hrála na nˇekolik zp˚ usob˚ u, vˇetˇsinou vˇsak hlavn´ım c´ılem bylo, dosáhnout co nejvyˇsˇs´ıho souˇctu. Bˇeˇznˇe se házelo dvˇema nebo tˇremi kostkami. Kromˇe takto jednoduché hry se hrály také vrchc´ aby . Postupem ˇcasu ustupovaly kostky ˇc´ım dál v´ıce kartám, které vˇetˇsinou nab´ızely daleko pestˇrejˇs´ı hru. ˇ ach byl v té dobˇe velmi obl´ıben´ V Cech´ y Mariáˇs , kter´ y se hrál s dvaatˇriceti kartami, na Moravˇe to zase byly Taroky , které se hrály se speciáln´ımi tarokov´ ymi kartami. Stejnˇe tak jako hra v kostky, patˇrilo i hran´ı karet k obecnˇe odsuzovan´ ym a opovrhovan´ ym ˇcinnostem. Vedle hazardn´ıch her, které spoˇc´ıvaly na principu hry mezi jednotlivci, zaˇcaly se rozˇsiˇrovat i tzv. hrnce ˇstˇest´ı . Jejich koˇcovn´ı provozovatelé, tzv. karban´ıci , byly k vidˇen´ı na trz´ıch, pout´ıch a m´ıstech, kde se shromaˇzd’oval vˇetˇs´ı poˇcet lid´ı. Je ´ rady tedy vˇetˇsinou pochopitelné, ˇze velmi ˇcasto docházelo k r˚ uzn´ ym podvod˚ um. Uˇ tyto karban´ıky sledovaly a napˇr. v roce 1576 jich bylo nˇekolik obvinˇeno, souzeno a posléze obˇeˇseno. Státn´ı orgány se neustále snaˇzily potlaˇcovat hazard, ale vˇetˇsinou ne´ uspˇeˇsnˇe. Asi právˇe proto byla v druhé polovinˇe 18. stolet´ı zˇr´ızena prvn´ı státn´ı ˇc´ıselná loterie, která se (podle svého italského vzoru) jmenovala Loto di Genova . Jej´ı princip spoˇc´ıval v uhodnut´ı 5ti ˇc´ısel z 90ti losovan´ ych. Se sázen´ım do loterie se pojila ˇrada povˇer a zvyk˚ u, ˇc´ısla do loterie pˇredv´ıdaly za menˇs´ı pen´ız pˇredevˇs´ım r˚ uzné vykladaˇcky sn˚ u. Ve dvacát´ ych a tˇricát´ ych letech 19. stolet´ı existovala vedle státn´ı loterie i ˇ ach a pokoutn´ı, tzv. modr´ a loterie . Byla obl´ıbená pˇredevˇs´ım v severn´ıch Cech´ jej´ımi majiteli byli zámoˇzn´ı sedláci, mlynáˇri a hostinˇst´ı. Vˇetˇsinou naj´ımali potulné 3

ˇ 1.2 Hazardn´ı hry v Ceskoslovensku pocestné, kteˇr´ı obcházeli okoln´ı vesnice a pˇrij´ımali sázky niˇzˇs´ı neˇz tˇri krejcary. V´ yhry se urˇcovaly podle tah˚ u praˇzské u ´stˇredny.

1.2

ˇ Hazardn´ı hry v Ceskoslovensku

ˇ Po vzniku Ceskoslovenska v ˇr´ıjnu 1918 pˇrevzal stát kromˇe jin´ ych instituc´ı také státn´ı loterii. Lotynka vˇsak nemˇela dlouhého trván´ı. Obl´ıbená a zavrhovaná ˇc´ıselná loterie Lotynka byla zruˇsena z podnˇetu prvn´ıho ˇceskoslovenského ministra financ´ı ˇ Aloise Raˇs´ına uˇz v u ńoru 1919. Ovˇsem jiˇz v ˇcervenci vzniká Ceskoslovensk´ a tˇr´ıdn´ı loterie , jej´ıˇz podm´ınky byly stanoveny co nejpˇr´ıznivˇeji. D˚ uvodem byla obava ˇ z moˇzné u ´ˇcasti hráˇc˚ u v zahraniˇcn´ıch loteri´ıch. Ceskoslovensk´ a tˇr´ıdn´ı loterie ovˇsem nebyla ˇc´ıselnou loteri´ı. Podle objednávky byl vydán urˇcit´ y poˇcet los˚ u, z nichˇz se ˇ pak losovala hlavn´ı cena a dalˇs´ı vedlejˇs´ı ceny. Ceskoslovensko bylo tehdy jedinou zem´ı, která vyplácela celou v´ yhru bez sráˇzek (na rozd´ıl od ostatn´ıch loteri´ı, které si vˇetˇsinou strhávaly pˇetinu vyhrané ˇca´stky). Poˇcet vydan´ ych los˚ u neustále stoupal a v letech 1926–27 bylo prodáno 250 000 los˚ u. ˇ ˇ Po rozbit´ı Ceskoslovenska za Protektorátu Cechy a Morava byly losy zdraˇzeny a k v´ yhrám se zavedly pˇriráˇzky. Prodej los˚ u byl zakázán osobám ˇzidovského p˚ uvodu a zájemce o koupi losu se musel vykázat árijsk´ ym p˚ uvodem. Obliba této loterie klesla v roce 1939 na polovinu. Zmˇeny po roce 1948 zasáhly i do provozován´ı r˚ uzn´ ych loteri´ı. Vˇsechny souˇ kromé sázkové podniky, které do té doby v Ceskoslovensku existovaly, byly zruˇseny a nahrazeny monopoln´ı státn´ı organizac´ı – Státn´ı sázkovou kanceláˇr´ı (STASKA). Hlavn´ı sférou ˇcinnosti STASKY bylo sázen´ı na sportovn´ı utkán´ı. Maximáln´ı v´ yˇse v´ yher zat´ım nebyla stanovena a v´ yhry kolem milionu korun nebyly v´ yjimkou. Na konci roku 1953 byla STASKA zruˇsena. Oficiáln´ım d˚ uvodem bylo podezˇren´ı na manipulaci s v´ ysledky sportovn´ıch utkán´ı. Bˇehem existence STASKY v n´ı lidé prosázeli 896 milion˚ u korun. Padesát procent z této ˇca´stky pˇripadlo na v´ yhry, 248 milion˚ u pˇripadlo státn´ımu rozpoˇctu a zbytek byl pouˇzit ve prospˇech sportu a tˇelov´ ychovy. Po zruˇsen´ı STASKY samozˇrejmˇe docházelo k nelegáln´ımu sázen´ı. Nejen to, ˇ ale pˇredevˇs´ım vznik Ceskoslovensk´ eho svazu tˇelesné v´ ychovy (na kter´ y nebyly ve státn´ı pokladnˇe potˇrebné finanˇcn´ı prostˇredky), vedl v roce 1956 z zaloˇzen´ı podniku SAZKA. Hlavn´ım u ´kolem mˇelo b´ yt organizován´ı sázek na sportovn´ı utkán´ı. Tato loterie dostala stejn´ y název, tedy Sazka . Veˇsker´ y zisk z této loterie mˇel plynout do státn´ıho rozpoˇctu na podporu sportu, tˇelov´ ychovy a turistiky. Zároveˇ n byla zavedena maximáln´ı moˇzná v´ yhra. 4

ˇ 1.2 Hazardn´ı hry v Ceskoslovensku Historie ˇ c´ıseln´ e hry Sportka 22. dubna 1957 byla spuˇstˇena nová ˇc´ıselná hra, Sportka. Jej´ı hern´ı princip byl pˇrevzat z podobné loterie, která byla v té dobˇe provozována ve Spolkové republice Nˇemecko, a byl pˇrizp˚ usoben ˇceskoslovensk´ ym podm´ınkám. To znamená, ˇze poˇcet vˇsech moˇzn´ ych kombinac´ı takové hry by mˇel b´ yt pˇribliˇznˇe stejn´ y jako poˇcet ´ obyvatel daného státu. Ukolem sázej´ıc´ıch bylo správnˇe tipovat 6 vylosovan´ ych ˇc´ısel, z celkového poˇctu 49. Nejvyˇsˇs´ı moˇzná v´ yhra tehdy ˇcinila 40 tis´ıc korun. Loˇ sován´ı prob´ıhalo v nedˇeli dopoledne na r˚ uzn´ ych m´ıstech Ceskoslovenska, vˇetˇsinou o pˇrestávkách sportovn´ıch utkán´ı. V televizi se losován´ı pravidelnˇe objevuje od roku 1973. Hern´ı plán Sportky byl bˇehem jej´ı v´ıce neˇz p˚ ulstolet´ı dlouhé historie mnohokrát mˇenˇen. V roce 1962 bylo zavedeno tipován´ı sedmého, prémiového ˇc´ısla. V roce 1965 se Sportka rozˇs´ıˇrila na tzv. dvousázku, zaˇcal se zkrátka losovat jeˇstˇe jeden tah. Ten se losoval vˇzdy v Praze nˇekolik hodin po vylosován´ı prvn´ıho tahu. Kromˇe v´ yher mˇeli b´ yt sázej´ıc´ı motivováni i vˇecn´ ymi cenami, coˇz byly televizory. ledniˇcky, r˚ uzné zájezdy a ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech i osobn´ı automobily. Tyto vˇecné ceny se losovaly pˇreváˇznˇe ve vánoˇcn´ıch taz´ıch. Od zaˇcátku roku 1977 se losuje i tzv. dodatkové ˇc´ıslo , které vˇsak plat´ı jen pro druhé poˇrad´ı. Druhé v´ yhern´ı poˇrad´ı znamenalo uhodnut´ı pˇeti ˇc´ısel. V roce 1980 bylo vˇsak pro dodatkové ˇc´ıslo zavedeno zvláˇstn´ı v´ yhern´ı poˇrad´ı. V´ yherce tohoto zvláˇstn´ıho poˇrad´ı mus´ı uhodnout pˇet ze ˇsesti ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a k nim nav´ıc jeˇstˇe právˇe toto prémiové ˇc´ıslo. V roce 1993 byl pro prvn´ı v´ yhern´ı poˇrad´ı zaveden princip Jackpotu. To znamená, ˇze pokud nikdo v daném losován´ı neuhodl vˇsech ˇsest ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a nikdo tedy nevybral v´ yhru v prvn´ım poˇrad´ı, navyˇsuje se pro pˇr´ıˇst´ı losován´ı v´ yhra v prvn´ım poˇrad´ı právˇe o tuto nevybranou ˇcástku. Princip Jackpotu byl pro sázej´ıc´ı velmi zaj´ımav´ y, protoˇze nedlouho po jeho zaveden´ı se hlavn´ı v´ yhra mnohdy vyˇsplhala aˇz ke tˇriceti milion˚ um korun. Pozdˇeji nebyly v´ yjimkou hlavn´ı v´ yhry, které byly vyˇsˇs´ı neˇz magick´ ych sto milion˚ u korun. V takov´ ych pˇr´ıpadech zaˇc´ınaj´ı sázet i lidé, kteˇr´ı jinak Sportku zásadnˇe nesáz´ı. Rok 1995 znamenal pro Sportku posledn´ı d˚ uleˇzitou zmˇenu. Protoˇze se zaveden´ım tzv. on-line terminál˚ u“ velmi zjednoduˇsil pˇr´ıjem sázenek, mohla b´ yt frek” vence losován´ı Sportky rozˇs´ıˇrena na dvˇe losován´ı t´ ydnˇe. Druhé losován´ı se dˇeje kaˇzdou stˇredu a plat´ı pro nˇej naprosto stejná pravidla jako pro nedˇeln´ı losován´ı. V devadesát´ ych letech zavedla jeˇstˇe SAZKA dalˇs´ı dvˇe nové ˇc´ıselné hry. Prvn´ı z nich byl Mates , ten mˇel zpoˇca´tku témˇeˇr stejná pravidla jako Sportka, také se 5

ˇ 1.2 Hazardn´ı hry v Ceskoslovensku losovalo 6 ˇc´ısel ze 49. Pozdˇeji vˇsak byla tato pravidla zmˇenˇena na losován´ı 5 ˇc´ısel z 35. Mates se na zaˇcátku své existence losoval pouze jedenkrát mˇes´ıˇcnˇe, pozdˇeji jednou za ˇctrnáct dn´ı. S Matesem se pak stˇr´ıdala i dalˇs´ı ˇc´ıselná loterie Olympijská s´ azka 5 ze 40. D˚ uvody ke zˇr´ızen´ı obou tˇechto loteri´ı byly pˇredevˇs´ım finanˇcn´ı. V´ ynos z Matesa mˇel b´ yt urˇcen na obnovu kulturn´ıch památek, v´ ynos ze hry 5 ze ” 40“ mˇel b´ yt urˇcen na pˇr´ıpravu a pobyt ˇcesk´ ych olympionik˚ u na zimn´ıch a letn´ıch olympijsk´ ych hrách.

6

´ ´ Í SPORTKY ANOMALIE V LOSOVAN

2

ˇ Sportka se tedy v Cesku losuje uˇz v´ıce neˇz p˚ ulstolet´ı. Sazka a.s. nab´ız´ı na sv´ ych webov´ ych stránkách1 celou tuto historii. Pro nás to bude velmi d˚ uleˇzit´ y materiál, na kterém budeme ovˇeˇrovat své hypotézy. Zpoˇca´tku nás budou zaj´ımat tzv anomáln´ı tahy“. Co t´ım máme na mysli? Asi málokter´ y sázej´ıc´ı by asi vsadil ” ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ˇc´ısla: ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° 7 ±° 16 ±° 17 – tedy jedna ˇctveˇrice a jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Nav´ıc jsou vˇsechna ˇc´ısla malá. A pˇreci byla tato ˇc´ısla vylosována v I. tahu nedˇeln´ıho losován´ı v 16. t´ ydnu roku 1998. V následuj´ıc´ı ˇca´sti budeme hledat, jaké jsou pravdˇepodobnosti v´ yskytu takov´ ychto anomáln´ıch tah˚ u. Za takovéto anomálie budeme povaˇzovat tahy, ve kter´ ych se vyskytuje nˇekolik po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. T´ım máme na mysli tyto tahy: ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 17 ±° 34 ±° 43 ±° 49 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe dvˇe dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 13 ±° 14 ±° 31 ±° 45 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe tˇri dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 16 ±° 17 ±° 39 ±° 40 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe jedna trojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 17 ±° 39 ±° 45 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• jedna trojice a jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 17 ±° 18 ±° 45 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe dvˇe trojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 17 ±° 18 ±° 19 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe jedna ˇctveˇrice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 18 ±° 45 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• ˇctveˇrice a dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 18 ±° 19 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe jedna pˇetice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° 45 , ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

• právˇe jedna ˇsestice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 • a tahy se sam´ ymi velk´ ymi, mal´ ymi, lich´ ymi a sud´ ymi ˇc´ısly.

2.1

Teoretick´ e odvozen´ı poˇ ctu anom´ aln´ıch tah˚ u

K tomu, abychom mohli zjistit poˇcet vˇsech takov´ ychto tah˚ u, bude se nám hodit, pokud budeme znát vzorce pro v´ ypoˇcet tˇechto souˇct˚ u: n X i=1 1

http://www.sazka.cz

7

i2

(1)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u n X

i3

(2)

i=1

Pust´ıme se tedy do jejich odvozen´ı. Zaˇcnˇeme vzorcem

n X

i2 :

i=1 n X i=1

=

n n i 1 X 2 1 Xh 3 2 3 i = 3i = (i + 3i + 3i + 1) − i − 3i − 1 = 3 i=1 3 i=1 2

n n h n n i 1X i 1 Xh 1X 1X 3i − 1= (i + 1)3 − i3 − 3i − 1 = (i + 1)3 − i3 − 3 i=1 3 i=1 3 i=1 3 i=1 n n ´ X 1³ 3 1X 3 3 3 3 3 3 3 = 2 − 1 + 3 − 2 + 4 − 3 + . . . + (n + 1) − n − i− 1= 3| 3 i=1 {z } i=1 −13 +23 −23 +33 −33 +...+n3 −n3 +(n+1)3 = (n+1)3 −1

´ (n + 1)3 − 1 n(n + 1) n n³ 2 − − = 2n + 3n + 1 = 3 2 3 6 ³ ´ n n(n + 1)(2n + 1) = 2n(n + 1) + (n + 1) = 6 6 A hledan´ y vzorec je tedy: =

n X

i2 =

i=1

n(n + 1)(2n + 1) 6

Jeˇstˇe se nám bude hodit vzorec pro

i=1

i3 , odvod´ıme ho podobn´ ym trikem jako

i=1

pˇri odvozen´ı vztahu (3): n X

n X

(3)

n n i 1 X 3 1 Xh 4 (i + 4i3 + 6i2 + 4i + 1) − i4 − 6i2 − 4i − 1 = i = 4i = 4 i=1 4 i=1 3

n n n n i 6 X X 1 Xh 1X 4 4 2 (i + 1) − i − i − 1= = i− 4 i=1 4 i=1 4 i=1 i=1 | | {z } {z } (n+1)4 −1

vztah (3)

1³

´ 1 1 1 = (n + 1)4 − 1 − n(n + 1)(2n + 1) − n(n + 1) − n = 4 4 2 4 ´ 1 1³ 4 = n + 2n3 + n2 = n2 (n + 1)2 = 4 4

µ

n(n + 1) 2

¶2

A hledan´ y vztah pro sumu (2): n X i=1

µ 3

i =

n(n + 1) 2 8

¶2 (4)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u

A do tˇretice budeme jeˇstˇe pouˇz´ıvat vztahy:

j n X X

k, a podobn´ y pro tˇri sumy:

j=1 k=1 j n X i X X

k, zkusme si je tedy odvodit (budeme pouˇz´ıvat jiˇz odvozené vztahy (3)

i=1 j=1 k=1

a (4)): j n X X j=1 k=1

k=

n X j(j + 1) j=1

2

1 X³ 2 ´ 1 = j +j = 2 j=1 2 n

µ

n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) + 6 2

¶ =

³ ´ 1 1 n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) (2n + 1) + 3 = n(n + 1)(2n + 4) = = 12 12 6 µ ¶ (n + 2)(n + 1)n n+2 = = 3! 3 Nakonec jsme tedy dokázali, ˇze: j n X X

µ k=

j=1 k=1

n+2 3

¶ (5)

Zb´ yvá nám jeˇstˇe analogick´ y vztah pro tˇri sumy. Pˇri jeho odvozen´ı vyuˇzijeme právˇe odvozeného vztahu (5) : j n X i X X

k=

i=1 j=1 k=1

¶ n µ X i+2 i=1

3

n

=

1X i(i + 1)(i + 2) = 6 i=1

n n n n ´ 1³ X ´ X X 1 X³ 3 2 3 2 i + 3i + 2i = i + 3i + 2i = = 6 i=1 6 i=1 i=1 i=1 µ 2 ¶ ´ 2 1 n (n + 1) n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1) n(n + 1) ³ 2 = +3 +2 = n + 5n + 6 = 6 4 6 2 24

(n + 3)(n + 2)(n + 1)n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = = 24 4!

µ

n+3 4

¶

Dokázali jsme tedy vztah: j n X i X X

µ k=

i=1 j=1 k=1

n+3 4

¶ (6)

Odvodili jsme si tedy vztahy, na které se budeme pozdˇeji odkazovat. Ale neˇz budeme pokraˇcovat dál, povˇsimneme si jeˇstˇe, ˇze vztahy (5) a (6) se nápadnˇe

9


podobaj´ı. Pˇridáme-li k nim jeˇstˇe vztah pro

n X

k, dostaneme:

k=1 n X

µ k =

k=1

j n X X

µ k =

j=1 k=1 j n X i X X

µ k =

i=1 j=1 k=1

k1 X k2 n X X k1 =1 k2 =1 k3 =1

|

{z

···

kl−1 X

.. . ?

km =

km =1

µ

n+1 2 n+2 3 n+3 4

¶ ¶ ¶ (7)

¶ n+m m+1

}

m

Pˇriˇcemˇz posledn´ı vztah v (7) uvád´ı autor této práce jako hypotézu. Zv´ıdav´ y ˇctenáˇr se jistˇe pokus´ı tuto zaj´ımavou identitu dokázat. Jeˇstˇe zjist´ıme poˇcet vˇsech tah˚ u, které jsou moˇzné. Ve Sportce se losuje ˇsest ˇc´ısel ze 49ti moˇzn´ ych. Kolik je moˇznost´ı vybrat ˇsest prvk˚ u ze 49ti? Je jich tolik, kolik je ˇsestiˇclenn´ ych kombinac´ı ze 49ti prvk˚ u. Pro k -ˇclenné kombinace z n prvk˚ u plat´ı obecn´ y vztah:

µ ¶ n , (8) K(k, n) = k kde K(k, n) je samozˇrejmˇe poˇcet tˇechto kombinac´ı. V naˇsem pˇr´ıpadˇe dostaneme: µ ¶ 49 = 13 983 816. (9) K(6; 49) = 6 Poˇcet vˇsech moˇzn´ ych vyplnˇen´ı tiket˚ u Sportky je tedy 13 983 816. ˇ Sest po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Nyn´ı nás tedy bude zaj´ımat poˇcet vˇsech tah˚ u, ve kter´ ych tvoˇr´ı losovaná ˇc´ısla posloupnost ˇsesti po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Nejdˇr´ıve bychom si ale mˇeli uvˇedomit,

ˇze kaˇzdá takováto ˇsestice je jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ ym prvn´ım prvkem. Prvn´ı ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

taková ˇsestice bude tedy tah: ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 , posledn´ı taková ˇsestice bude ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ tah: ±° 43 ±° 44 ±° 45 ±° 46 ±° 47 ±° 48 ±° 49 . Je vidˇet, ˇze prvn´ı z tˇechto ˇc´ısel mus´ı b´ yt z mnoˇziny {1, 2, . . . , 43}. Poˇcet takov´ ych tah˚ u tedy bude stejn´ y, jako je poˇcet prvk˚ u v této mnoˇzinˇe. Poˇcet vˇsech tah˚ u se ˇsesti po sobˇe jsouc´ımi ˇc´ısly je tedy 43. Jaká je pravdˇepodobnost, ˇze náhodnˇe vybran´ y tah bude tvoˇrit ˇsest po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel? Pravdˇepodobnost poˇc´ıtáme jako: p=

Np , Nm

10

(10)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u kde Np je poˇcet pˇr´ızniv´ ych pˇr´ıpad˚ u, Nm je poˇcet vˇsech moˇzn´ ych pˇr´ıpad˚ u. V naˇsem pˇr´ıpadˇe je Np = 43 a podle vztahu (9) je Nm = 13 983 816. Tahy s jednou ˇsestic´ı by tedy mˇely b´ yt losovány s pravdˇepodobnost´ı: p=

Np 43 . = 3,07 · 10−6 . = Nm 13 983 816

(11)

Pˇ et po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Tahy, ve kter´ ych se objevuje právˇe pˇet po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, budeme hledat následuj´ıc´ım zp˚ usobem: Opˇet bude dobré si uvˇedomit, ˇze kaˇzdá z tˇechto pˇetic je jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ ym prvn´ım prvkem. V kaˇzdém tahu se ale losuje ˇsest ˇc´ısel, m˚ uˇzeme tedy ke kaˇzdé pˇetici volit jeˇstˇe jedno ˇc´ıslo. Toto ˇc´ıslo si oznaˇc´ıme jako ? . Pojd’me tedy takové tahy hledat. V Tabulce 1 postupujeme tak, ˇze pevnˇe ±° ²¯

zvol´ıme pˇetici a k n´ı pak urˇc´ıme mnoˇzinu, ze které m˚ uˇze b´ yt posledn´ı vylosované ²¯

ˇc´ıslo ±° ? . ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯

1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° ? ∈ {7, 8, . . . , 49} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° ? ∈ {8, 9, . . . , 49} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯

3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° 7 ±° ? ∈ {9, 10, . . . , 49} ±° .. .

43 moˇznost´ı 42 moˇznost´ı 43 X

41 moˇznost´ı .. .

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

43 ±° 44 ±° 45 ±° 46 ±° 47 ±° 49 ±°

i

i=1

1 moˇznost

Tabulka 1: Polovina poˇctu tah˚ u s jednou pˇetic´ı ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

Ovˇsem pozor, tento v´ yˇcet tah˚ u nen´ı kompletn´ı. Napˇr´ıklad tah ±° 6 ±° 16 ±° 17 ±° 18 ±° 19 ±° 20 zde nen´ı v˚ ubec zahrnut. V této tabulce jsme tedy uvaˇzovali pouze tahy typu pˇetice–ˇc´ıslo, kde ono izolované ˇc´ıslo bylo vˇetˇs´ı neˇz posledn´ı ˇc´ıslo pˇetice. Kolik je ale tah˚ u, kdy je ono izolované ˇc´ıslo menˇs´ı neˇz prvn´ı ˇc´ıslo pˇetice? Celá u ´loha je zˇrejmˇe symetrická a v´ yˇse uvedenou tabulku bychom mohli pro tuto druhou, symetrickou moˇznost sestavit jako Tabulku 2. V Tabulce 2 jsou tedy vˇsechny tahy typu ˇc´ıslo–pˇetice, kde toto izolované ˇc´ıslo je menˇs´ı neˇz prvn´ı ˇc´ıslo dané pˇetice. Vˇsech moˇzn´ ych tah˚ u, ve kter´ ych se objevuje pˇetice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel je tedy: 2·

n=43 X i=1

i=2·

n(n + 1) = 43 · 44 = 1892. 2

(12)

Jiná moˇznost, jak naj´ıt poˇcet vˇsech tah˚ u s jednou pˇetic´ı, by mohla b´ yt tato: Ke kaˇzdé pˇetici m˚ uˇzeme zvolit zbylé ˇc´ıslo ze 44 moˇzn´ ych – pˇet jsme uˇz z osud´ı vytáhli, 11

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯

49 ±° 48 ±° 47 ±° 46 ±° 45 ? ∈ {43, 42, . . . , 1} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯±° 48 ±° 47 ±° 46 ±° 45 ±° 44 ±° ? ∈ {42, 41, . . . , 1} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ 47 ±° 46 ±° 45 ±° 44 ±° 43 ±° ? ∈ {41, 40, . . . , 1} ±° .. .

43 moˇznost´ı 42 moˇznost´ı 41 moˇznost´ı

43 X

.. .

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

7 ±° 6 ±° 5 ±° 4 ±° 3 ±° 1 ±°

i

i=1

1 moˇznost

Tabulka 2: Druhá polovina poˇctu tah˚ u s jednou pˇetic´ı

pokud jsme vylosovali pˇetici. Protoˇze je kaˇzdá pˇetice jednoznaˇcnˇe urˇcena sv´ ym ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

prvn´ım ˇc´ıslem a posledn´ı z nich je pˇetice ±° 45 ±° 46 ±° 47 ±° 48 ±° 49 , je tedy vˇsech moˇzn´ ych pˇetic 45. Ke kaˇzdé z nich m˚ uˇzeme volit jedno ze zbyl´ ych 44 ˇc´ısel, to je dohromady 44 · 45 = 1980 moˇznost´ı. Ovˇsem nyn´ı jsme zapoˇc´ıtali i tahy, které obsahuj´ı ˇsestice.

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

Kolik takov´ ych tah˚ u mus´ıme odeˇc´ıst? Pro dvˇe krajn´ı pˇetice ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 a ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ 45 ±° 46 ±° 47 ±° 48 ±° 49 je jen jedna moˇznost, jak zvolit zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ıslo tak, aby jsme ±° ²¯

²¯

dostali ˇsestici. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe je to ˇc´ıslo ±° 6 a ve druhé ˇc´ıslo ±° 44 . Pro vˇsechny ostatn´ı pˇr´ıpady m˚ uˇzeme ono krajn´ı ˇc´ıslo volit ze dvou moˇznost´ı. Napˇr´ıklad pro ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ pˇetici ±° 21 ±° 22 ±° 23 ±° 24 ±° 25 , vznikne ˇsestice, pokud je zbylé ˇc´ıslo bud’ ±° 20 nebo ±° 26 . Tedy pro dvˇe krajn´ı pˇetice je pouze jedna moˇznost, pro 43 ostatn´ıch pˇetic máme dvˇe moˇznosti, jak volit posledn´ı ˇc´ıslo. To je dohromady 2 · 1 + 43 · 2 = 88 tah˚ u. Vˇsech tah˚ u právˇe s jednou pˇetic´ı je tedy: 1980 − 88 = 1892.

(13)

Poˇcty moˇznost´ı poˇc´ıtané prvn´ım zp˚ usobem (12) a druh´ ym zp˚ usobem (13) jsou samozˇrejmˇe stejné. Jeˇstˇe zjist´ıme pravdˇepodobnost tah˚ u s jednou pˇetic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. S vyuˇzit´ım vztah˚ u (10), (9) a (13) plat´ı: p=

Np 1892 . = = 1,35 · 10−4 . Nm 13 983 816

(14)

Jedna ˇ ctveˇ rice a jedna dvojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Zde je situace velmi podobná pˇredeˇslému pˇr´ıpadu. Celá u ´loha je opˇet symetrická, polovinu vˇsech moˇznost´ı m˚ uˇzeme zjistit napˇr´ıklad pomoc´ı následuj´ıc´ı Tabulky 3. ²¯

Symbolem ±° ?1 je oznaˇceno menˇs´ı z dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. V Tabulce 3 jsme tyto tahy sestavovali tak, ˇze jsme pevnˇe zvolili jednu ˇctveˇrici a k n´ı pak uvaˇzovali vˇsechny moˇzné dvojice, které k n´ı m˚ uˇzeme vybrat. Opˇet jsme

²¯

si uvˇedomili, ˇze kaˇzdá dvojice je plnˇe urˇcena napˇr´ıklad sv´ ym menˇs´ım prvkem ±° ?1 . 12

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯

1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ?1 ∈ {6, 7, . . . , 48} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯±° ²¯ 2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° ?1 ∈ {7, 8, . . . , 48} ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ 3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° ?1 ∈ {8, 9, . . . , 48} ±°


.. .

.. .

²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ ²¯

43 ±° 44 ±° 45 ±° 46 ±° 48 ±° 49 ±°

43 X

i

i=1

1 moˇznost

Tabulka 3: Polovina poˇctu tah˚ u se ˇctveˇric´ı a dvojic´ı

Ze symetrie u ´lohy plyne, ˇze jsme takto naˇsli jen polovinu tah˚ u. Vˇsech moˇzn´ ych tah˚ u s jednou ˇctveˇric´ı a jednou dvojic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel je tedy: 2·

n=43 X

i=2·

i=1

n(n + 1) = 43 · 44 = 1892. 2

(15)

Z logiky sestavován´ı takov´ ychto tah˚ u plyne, ˇze takov´ ychto tah˚ u je stejnˇe jako tah˚ u s jednou pˇetic´ı (12). Tedy i pravdˇepodobnost vylosován´ı takového tahu mus´ı b´ yt stejná jako v (14): p=

Np 1892 . = 1,35 · 10−4 . = Nm 13 983 816

(16)

Pr´ avˇ e jedna ˇ ctveˇ rice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Vˇsechny takové tahy budeme hledat následuj´ıc´ım postupem (viz. Tabulka 4). Nejdˇr´ıve zvol´ıme pevnˇe onu ˇctveˇrici, pak zvol´ıme pevnˇe i menˇs´ı ze dvou samostatn´ ych ˇc´ısel a vˇsechny moˇznosti pro volbu posledn´ıho ˇc´ısla opˇet vyjádˇr´ıme mnoˇzinou. Pak ˇctveˇrici posuneme o jedno ˇc´ıslo a cel´ y postup opakujeme. Z Tabulky 4 to zˇrejmˇe bude patrnˇejˇs´ı. Zde ovˇsem poˇc´ıtáme pouze tahy typu ˇctveˇrice–ˇc´ıslo–ˇc´ıslo. Je jasné, ˇze ˇctveˇrice m˚ uˇze b´ yt také na druhém nebo na tˇret´ım m´ıstˇe. To jsou dohromady tˇri moˇznosti ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

pro kaˇzd´ y tah z tabulky. Napˇr´ıklad tahu ±° 1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 ±° 6 ±° 8 odpov´ıdaj´ı dalˇs´ı ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ dva tahy: ±° 1 ±° 3 ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° 8 a ±° 1 ±° 3 ±° 5 ±° 6 ±° 7 ±° 8 . Poˇcet vˇsech tah˚ u s právˇe jednou ˇctveˇric´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel je tedy (s vyuˇzit´ım odvozeného vztahu (5)): µ ¶ µ ¶ j n=42 XX n+2 44 3· i=3· =3· = 39 732. (17) 3 3 j=1 i=1 Uˇz jen zb´ yvá dopoˇc´ıtat pravdˇepodobnost v´ yskytu takov´ ychto tah˚ u, s vyuˇzit´ım vztah˚ u (10), (9) a (17) plat´ı: p=

39 732 Np . = = 2,84 · 10−3 . Nm 13 983 816 13

(18)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u ²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯²¯

1 ±° 2 ±° 3 ±° 4 6 ±° ? ∈ {8, 9 . . . , 49} ±° ±° ²¯²¯

7 ±° ? ∈ {9, 10, . . . , 49} ±° .. .

.. .

47 ±° 49 ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯±° ²¯

42 X

i

i=1

1 moˇznost

2 ±° 3 ±° 4 ±° 5 7 ±° ? ∈ {9, 10 . . . , 49} ±° ±° ²¯²¯

8 ±° ? ∈ {10, 11, . . . , 49} ±°

41 moˇznost´ı 40 moˇznost´ı

.. .

.. .

²¯ ²¯

.. .

41 moˇznost´ı

.. .

²¯ ²¯

.. .

42 moˇznost´ı

47 ±° 49 ±°

41 X

i

i=1

j 42 X X

i

j=1 i=1

1 moˇznost

²¯ ²¯ ²¯ ²¯²¯ ²¯

42 ±° 43 ,±° 44 ±° 45 ±° 47 ±° 49 ±°

1 moˇznost

.. . 1 X

i

i=1

Tabulka 4: Tahy s jednou ˇctveˇric´ı

Dvˇ e trojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Nyn´ı budeme hledat vˇsechny takové tahy, vˇsechny takové tahy, ve kter´ ych se vyskytuj´ı dvˇe trojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Budeme je hledat tak, ˇze pevnˇe zvol´ıme prvn´ı trojici a budeme uvaˇzovat, kolik máme moˇzn´ ych voleb druhé trojice. V dalˇs´ım kroku opˇet posuneme prvn´ı trojici o jedno m´ısto a zase spoˇc´ıtáme, kolik m˚ uˇze b´ yt druh´ ych trojic. Takto budeme postupovat poˇra´d dále, aˇz vyˇcerpáme ²¯

vˇsechny moˇznosti (viz Tabulka 5 – symbol ±° ?1 oznaˇcuje nejmenˇs´ı ˇc´ıslo druhé trojice). ²¯ ²¯ ²¯²¯

1 ±° 2 ±° 3 ?1 ∈ {5, 6, . . . , 47} ±° ²¯ ²¯ ²¯±° ²¯ 2 ±° 3 ±° 4 ±° ?1 ∈ {6, 7, . . . , 47} ±° ²¯ ²¯ ²¯²¯ 3 ±° 4 ±° 5 ±° ?1 ∈ {7, 8, . . . , 47} ±° .. .


.. .

.. .

²¯ ²¯ ²¯²¯ ²¯ ²¯

43 ±° 44 ±° 45 ±° 47 ±° 48 ±° 49 ±°

43 X

i

i=1

1 moˇznost

Tabulka 5: Tahy se dvˇema trojicemi Vˇsech tah˚ u se dvˇema trojicemi je tedy: 43 X i=1

=

43 · 44 = 946. 2 14

(19)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u Jeˇstˇe dopoˇc´ıtáme pravdˇepodobnost v´ yskytu tah˚ u se dvˇema trojicemi po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Ze vztah˚ u (10), (9) a (19) dostáváme: p=

946 Np . = = 6,76 · 10−5 . Nm 13 983 816

(20)

Tˇ ri dvojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Tyto tˇri dvojice budeme hledat tak, ˇze vˇzdy upevn´ıme dvˇe z nich a spoˇc´ıtáme poˇcet vˇsech kombinac´ı, jak se dá vybrat tˇret´ı dvojice. Pokud tedy pevnˇe zvol´ıme dvojice ˇ ısel 1 2 4 5 pak menˇs´ı prvek tˇret´ı dvojice mus´ı leˇzet v mnoˇzinˇe {7, . . . , 48}. C´

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ±° ±° ±° ±°

v této mnoˇzinˇe je právˇe 42. Máme tedy 42 moˇznost´ı, jak vybrat tˇri dvojice tak, ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

aby dvˇe z nich byly ±° 1 ±° 2 ±° 4 ±° 5 . Pokusme se popsat vˇsechny takovéto moˇznosti vytvoˇren´ı tˇr´ı dvojic – viz Tabulka 6. ²¯ ²¯²¯ ²¯²¯

1 ±° 2 ±° 4 ±° 5 ±° ?1 ∈ {7, . . . , 48} ±° ²¯ ²¯²¯ 5 ±° 6 ±° ?1 ∈ {8, . . . , 48} ±° .. .

²¯ ²¯

45 ±° 46 ±°

.. .

²¯ ²¯

7 ±° 8 ±° ?1 ∈ {9, . . . , 48} ±°

.. .

45 ±° 46 ±°

²¯ ²¯²¯ ²¯

42 ±° 43 ±° 45 ±° 46 ±°

42 X

i

i=1

1 moˇznost

2 ±° 3 ±° 5 ±° 6 ±° ?1 ∈ {8, . . . , 48} ±° ²¯ ²¯²¯

²¯ ²¯


48 ±° 49 ±° ²¯ ²¯²¯ ²¯²¯

.. .

42 moˇznost´ı

.. .

²¯ ²¯

48 ±° 49 ±° ²¯ ²¯

48 ±° 49 ±°

41 moˇznost´ı 40 moˇznost´ı .. .

41 X

i

i=1

j 42 X X

i

j=1 i=1

1 moˇznost

1 moˇznost

.. . 1 X

i

i=1

Tabulka 6: Konstrukce tˇr´ı dvojic po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel

Vˇsech moˇzn´ ych tah˚ u, ve kter´ ych se objev´ı právˇe tˇri dvojice je tedy

k=1 i=1

i.

k=1 i=1

Ze vztahu (5) v´ıme, ˇze plat´ı: 42 X k X

42 X k X

µ ¶ 44 44 · 43 · 42 = 1204 moˇznost´ı. i= = 3! 3

(21)

Zaj´ µımav´ ¶ e je, ˇze bychom se k tomuto poˇctu mˇeli dostat podle kombinaˇcn´ıho 44 ˇc´ısla také tak, ˇze ze 44 prvk˚ u vyb´ıráme 3. To skuteˇcnˇe m˚ uˇzeme. Pokud 3 15

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u nám jde o právˇe tˇri dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, pak tyto dvojice m˚ uˇzeme také vybrat takov´ ymto myˇslenkov´ ym postupem: • Nejdˇr´ıve si mus´ıme uvˇedomit, ˇze kaˇzdá dvojice je jednoznaˇcnˇe urˇcena — jak uˇz bylo zm´ınˇeno v´ yˇse — sv´ ym nejmenˇs´ım prvkem. Tyto tˇri dvojice jsou tedy jednoznaˇcnˇe vybrány sv´ ymi nejmenˇs´ımi prvky a ty jsou tˇri. Na kaˇzdou z tˇechto dvojic tedy m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na jeden prvek. To by vysvˇetlovalo, proˇc vyb´ıráme tˇri prvky. • Zb´ yvá nám vysvˇetlit, proˇc vyb´ıráme pouze ze 44 prvk˚ u. K tomu nám pom˚ uˇze následuj´ıc´ı pˇredstava (viz [1]): Ve sbˇernách Sportky v Polsku se ve vitr´ınˇe se 49 ˇc´ısly oznamuje v´ ysledek losován´ı rozsv´ıcen´ım vylosovan´ ych ²¯ ²¯

ˇc´ısel. Pˇredstavme si tedy oˇc´ıslované koule v ˇradˇe srovnané od ±° 1 do ±° 49 a ˇze v´ ysledek je zaznamenáván rozsv´ıcen´ım ˇsesti koul´ı s vylosovan´ ymi ˇc´ısly. Je to, jako by vˇsechny koule byly b´ılé a po vylosován´ı se zbarvily ˇcervenˇe. V naˇsem pˇr´ıpadˇe to znamená, ˇze máme mezi 43 b´ıl´ ych koul´ı um´ıstit tˇri ˇcervené dvojice, tak aby ˇza´dná dvˇe spolu nesousedily. Um´ıstˇeme tedy 43 koul´ı do ˇrady a pokusme se spoˇc´ıtat kolik je takov´ ych m´ıst, kde budou tˇri ˇcervené dvojice oddˇeleny alespoˇ n jednou b´ılou koul´ı. Jedno takové m´ısto je na zaˇca´tku, jedno na konci a pak zb´ yvá jeˇstˇe 42 m´ıst mezi b´ıl´ ymi koulemi. Celkem je tedy 44 µ ¶ 44 . takov´ ych m´ıst, z nich máme vybrat tˇri. Poˇcet vˇsech moˇznost´ı je tedy 3 Zb´ yvá jeˇstˇe dopoˇc´ıtat pravdˇepodobnost tahu se tˇremi dvojicemi. S vyuˇzit´ım vztah˚ u (10), (9) a (21) plat´ı: p=

Np 1204 . = = 8,61 · 10−5 . Nm 13 983 816

(22)

Pr´ avˇ e dvˇ e dvojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Opˇet se pokusme sestavovat takovéto dvojice. Zaˇcneme tak, ˇze upevn´ıme dvˇe dvojice a jedno ˇc´ıslo, druhé mus´ı b´ yt prvkem nˇejaké mnoˇziny. Najdeme ji a zjist´ıme tak, kolik takov´ ych moˇzn´ ych tip˚ u existuje. Dále bude volné i prvn´ı ˇc´ıslo. Opˇet zjist´ıme poˇcet moˇznost´ı a cel´ y postup opakujeme, dokud nevyˇcerpáme vˇsechny moˇznosti. Vˇse je pˇrehlednˇe zachyceno v Tabulce 7. Ovˇsem mus´ıme si dát pozor na to, ˇze takto spoˇc´ıtáme pouze ˇc´ıselné kombinace typu: dvojice–dvojice–ˇc´ıslo–ˇc´ıslo, ale ne uˇz napˇr´ıklad kombinace typu ˇc´ıslo– dvojice–dvojice–ˇc´ıslo. Mus´ıme se tedy jeˇstˇe zamyslet nad t´ım, jak m˚ uˇzeme tuto skupinu nakombinovat. Máme tedy srovnat do ˇrady prvky takovéto mnoˇziny: {ˇc´ıslo, ˇc´ıslo, dvojice, dvojice}. To je ˇctyˇrprvková mnoˇzina, která má dva r˚ uzné 16


²¯ ²¯²¯ ²¯²¯²¯

2 ±° 4 ±° 5 7 ? ∈ {9, . . . , 49} 1 ±° ±° ±° ±° ²¯²¯

8 ±° ? ∈ {10, . . . , 49} ±° .. .

²¯

47 ±°

.. .

²¯

9 ±° ? ∈ {11, . . . , 49} ±°

.. .

47 ±°

²¯ ²¯²¯

41 X

i

i=1

1 moˇznost

5 ±° 6 ±° 8 ±° ? ∈ {10, . . . , 49} ±° ²¯²¯

²¯


49 ²¯ ²¯²¯²¯ ±°

.. .

41 moˇznost´ı

.. .

40 moˇznost´ı 39 moˇznost´ı .. .

²¯

49 ±°

40 X

i

i=1

²¯

1 moˇznost

j=1 i=1

.. . 1 X

9 ±° ? ∈ {11, . . . , 49} ±°

i

k=1 j=1 i=1

40 moˇznost´ı 39 moˇznost´ı

40 X

i

i=1

.. .

47 ±°

²¯ ²¯²¯

44 ±° 45 ±° 47 ±°

j 40 X X

.. .

.. . 49 ±°

1 moˇznost

²¯

49 ±°

1 moˇznost

.. . 41 ±° 42 ±° 44 ±° 45 ±° 47 ±°

i

j=1 i=1

²¯

.. . 1 X

i

i=1

²¯ ²¯²¯ ²¯²¯

j 1 X 41 X X

i=1

2 ±° 3 ±° 5 ±° 6 ±° 8 ±° ? ∈ {10, . . . , 49} ±° ²¯²¯

²¯

i

1 moˇznost

44 ±° 45 ±° 47 49 ±° ±° ²¯ ²¯²¯ ²¯²¯²¯

.. .

j 41 X X

²¯

49 ±°

1 moˇznost

1 X

i

i=1

Tabulka 7: Zjiˇstˇen´ı poˇctu tah˚ u se dvˇema dvojicemi

17

.. . j 1 XX j=1 i=1

i

i

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u prvky, z nichˇz kaˇzd´ y se dvakrát opakuje. Uspoˇrádat tuto mnoˇzinu do ˇrady je analogická u ´loha, jako uspoˇra´dat do ˇrady prvky z mnoˇziny {1, 1, 2, 2}, nebo-li je to totéˇz jako hledat, kolik r˚ uzn´ ych ˇctyˇrcifern´ ych ˇc´ısel se dá vytvoˇrit z prvk˚ u mnoˇziny {1, 1, 2, 2}. To jsou ale permutace s opakován´ım. Pro jejich poˇcet plat´ı vztah: n! , k1 ! · k2 ! · . . . · km !

Pk1 ,k2 ,...,km (n) =

(23)

kde n je poˇcet prvk˚ u dané mnoˇziny a k1 , k2 , . . . , km jsou poˇcty opakován´ı jednotm X liv´ ych prvk˚ u, pˇriˇcemˇz plat´ı, ˇze ki = n. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se poˇcet moˇznost´ı, i=1

srovnat do ˇrady mnoˇzinu {ˇc´ıslo, ˇc´ıslo, dvojice, dvojice}, dá zjistit za pouˇzit´ı vztahu (23) takto:

4! =6 2!.2! Vˇsech moˇzn´ ych tah˚ u, které obsahuj´ı právˇe dvˇe dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel je tedy (k v´ ypoˇctu pouˇzijeme vztahu (6)): 6·

j k X 41 X X k=1 j=1 i=1

µ ¶ 44 i=6· = 814 506. 4

(24)

Existuje tedy 814 506 tah˚ u, které obsahuj´ı právˇe dvˇe dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Opˇet bychom tento v´ ysledek dokázali odvodit i jinak. Jde-li nám o tahy, ve kter´ ych se vyskytuj´ı právˇe dvˇe dvojice, znamená to (v souladu s t´ım, co bylo ˇreˇceno v pˇredcházej´ıc´ım odstavci), ˇze mus´ıme do ˇrady 43 koul´ı um´ıstit dvˇe dvojice a dvˇe samotné koule tak, aby ˇza´dné dva z tˇechto ˇctyˇr prvk˚ u nesousedily. Mus´ıme je tedy um´ıstit bud’ na zaˇca´tek, nebo na konec této ˇrady, nebo do nˇekteré z mezer mezi tˇemito koulemi. V ˇradˇe 43 koul´ı je 42 mezer a nav´ıc m˚ uˇzeme pouˇz´ıt i m´ısto na zaˇcátku a naµkonci ¶ této ˇrady. To je dohromady 44 m´ıst. Vyb´ıráme tedy ˇctyˇri 44 m´ısta ze 44, tj. moˇznost´ı. Ale nav´ıc jeˇstˇe pro kaˇzd´ y z tˇechto v´ ybˇer˚ u mus´ıme 4 urˇcit, na kterém m´ıstˇe budou ony dvojice a na kterém budou zbylá dvˇe ˇc´ısla. Opˇet máme tedy seˇradit ˇctyˇri prvky, které se opakuj´ı, m˚ uˇzeme tedy pouˇz´ıt vztah pro permutace s opakován´ım (23). Takov´ ych moˇznost´ı je tedy 6. Opˇet se tedy dostáváme ke vztahu:

µ ¶ 44 6· = 814 506. 4

(25)

Na závˇer jeˇstˇe dopoˇc´ıtáme pravdˇepodobnost vylosován´ı tah˚ u se dvˇema dvojicemi po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Zase vyuˇzijeme vztahy (10), (9) a (24): p=

Np 814 506 . = = 0,0582. Nm 13 983 816 18

(26)

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u Pr´ avˇ e jedna dvojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Nyn´ı nás bude zaj´ımat kolik je takov´ ych tah˚ u, ve kter´ ych se vyskytne jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, a ˇzádná ostatn´ı ˇc´ısla uˇz spolu nesoused´ı. Opˇet si pˇredstav´ıme ˇradu 43 koul´ı a mezi budeme umist’ovat jednu dvojici a ˇctyˇri samostatná ˇc´ısla tak, aby spoleˇcnˇe ˇza´dné dva prvky nesousedili. Máme tedy um´ıstit jednu dvojici a ˇctyˇri izolovaná ˇc´ısla, to je dohromady pˇet prvk˚ u. Uvaˇzovaná m´ısta v ˇradˇe ˇctyˇriceti tˇr´ı koul´ı jsou opˇet zaˇcátek, konec a 42 mezer , tj. 44 moˇzn´ ych ¡44¢ m´ıst. Vyb´ıráme tedy 5 prvk˚ u ze 44, to znamená, ˇze máme celkem 5 moˇznost´ı. Jeˇstˇe nám zb´ yvá zjistit kolik je moˇznost´ı seˇrazen´ı mnoˇziny jedné dvojice a ˇctyˇr izolovan´ ych ˇc´ısel. To jsou opˇet permutace s opakován´ım (23), v naˇsem pˇr´ıpadˇe 5! . Vˇsech tah˚ u s jednou dvojic´ı opakuj´ıc´ıch se ˇc´ısel je tedy: 1!.4! µ ¶ 44 5! = 5 430 040 (27) 1! · 4! 5 Tah˚ u, ve kter´ ych se vyskytuje právˇe jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel a kde jsou ostatn´ı ˇc´ısla od sebe oddˇelena, je tedy 5 430 040. To je necel´ ych pˇet a p˚ ul milionu tah˚ u, coˇz je pomˇernˇe dost. Jak velká bude pravdˇepodobnost, ˇze v náhodném tahu Sportky se objev´ı právˇe jedna dvojice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel? S vyuˇzit´ım vztah˚ u (10), (9) a (27) plat´ı: p=

Np 5 430 040 . = = 0,388 Nm 13 983 816

∼

39 %.

(28)

Máme tedy pravdˇepodobnost 39 %, ˇze náhodnˇe vybran´ y tah losován´ı Sportky obsahuje právˇe jednu dvojici po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. To je pomˇernˇe velká pravdˇepodobnost. Asi malokter´ y sázej´ıc´ı tipuje na svém tiketu dvˇe po sobˇe jdouc´ı ˇc´ısla. Pr´ avˇ e jedna trojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Do tˇechto tah˚ u samozˇrejmˇe nebudeme poˇc´ıtat tahy s trojic´ı a dvojic´ı ani se dvˇema trojicemi. Opˇet vyuˇzijeme stejnou u ´vahu jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Pˇredstav´ıme si ˇradu 43 b´ıl´ ych koul´ı a do nich bychom chtˇeli um´ıstit ˇctyˇri prvky (pˇredstavme si je opˇet napˇr´ıklad jako ˇctyˇri ˇcervené koule). Proˇc ˇctyˇri? Jde pˇrece o prvky trojice– ˇc´ıslo–ˇc´ıslo–ˇc´ıslo, tedy o ˇctyˇri r˚ uzné prvky. Kolik máme moˇznost´ı um´ıstit mezi 43 b´ıl´ ych koul´ı 4 ˇcervené? M˚ uˇzeme je um´ıstit na zaˇcátek nebo na konec této ˇrady nebo mezi tyto koule. Mezer mezi tˇemito koulemi je 42, zaˇca´tek a konec jsou dalˇs´ı dvˇe moˇznosti, dohromady tedy 44 moˇznost´ı. Vyb´ıráme tedy ˇctyˇri prvky ze 44. Ovˇsem u oné ˇctyˇrprvkové mnoˇziny trojice–ˇc´ıslo–ˇc´ıslo–ˇc´ıslo se prvek ˇc´ıslo opakuje 19

2.1 Teoretické odvozen´ı poˇctu anomáln´ıch tah˚ u tˇrikrát. Jde tedy opˇet o permutace s opakován´ım (23). Tah˚ u s jednou trojic´ı je tedy:

µ ¶ 44 4! · = 543 004 1! · 3! 4

(29)

A pravdˇepodobnost v´ yskytu takov´ ychto tah˚ u je pak podle (10), (9) a (29) plat´ı: p=

Np 543 004 . = = 0,0388 Nm 13 983 816

(30)

Jedna trojice a jedna dvojice po sobˇ e jdouc´ıch ˇ c´ısel Opˇet vyuˇzijeme stejnou u ´vahu jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe. Mezi 43 koulemi (a to vˇcetnˇe zaˇcátku a konce této ˇrady) je tedy 44 m´ıst. Do tˇechtoµm´ıst ¶ nyn´ı umist’ujeme 44 trojici prvk˚ u trojice–dvojice–ˇc´ıslo. Podle (8) máme tedy moˇznost´ı. Prvky 3 trojice–dvojice–ˇc´ıslo tvoˇr´ı tˇr´ıprvkovou mnoˇzinu, ve které se ˇza´dn´ y prvek neopakuje. Pokud tedy pevnˇe zvol´ıme mezery mezi ˇradou koul´ı, mus´ıme jeˇstˇe rozhodnout kolika zp˚ usoby m˚ uˇzeme do tˇechto tˇr´ı mezer um´ıstit tˇri prvky. Takov´ ych zp˚ usob˚ u je ale stejnˇe, jako je permutac´ı tˇr´ıprvkové mnoˇziny, a tˇech je 3! . Pro poˇcet vˇsech tah˚ u s jednou dvojic´ı a jednou trojic´ı tedy plat´ı: µ ¶ 44 44 · 43 · 42 = 3! · 3! · = 44 · 43 · 42 = 79 464. 3 3!

(31)

Jeˇstˇe mus´ıme zjistit pravdˇepodobnost vylosován´ı takovéhoto tahu, ta je podle vztah˚ u (10), (9) a (31): p=

79 464 . Np = 0,00568. = Nm 13 983 816

(32)

Mal´ aˇ c´ısla Nyn´ı zjist´ıme poˇcet tah˚ u, ve kter´ ych jsou jen ˇc´ısla ostˇre menˇs´ı neˇz 25. Napˇr´ıklad ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

tah ±° 1 ±° 3 ±° 9 ±° 10 ±° 17 ±° 22 patˇr´ı mezi takové tahy. Jejich poˇcet zjist´ıme jednoduˇse. Staˇc´ı si jen uvˇedomit, ˇze kaˇzd´ y takov´ yto tah má ˇsest ˇc´ısel, která jsou vybrána z mnoˇziny {1, 2, . . . , 24}. Tato mnoˇzina má 24 prvk˚ u. Vˇsech hledan´ ych tah˚ u bude právˇe tolik jako ˇsestiprvkov´ ych kombinac´ı z 24 prvk˚ u (vztah (8)). Tedy: µ ¶ 24 = 134 596. 6

(33)

A pravdˇepodobnost v´ yskytu takov´ ychto tah˚ u je podle vztah˚ u (10), (9) a (33): p=

Np 134 596 . = = 0,00963. Nm 13 983 816

20

(34)

ˇ 2.2 Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR Velk´ aˇ c´ısla T´ım máme na mysli tahy, ve kter´ ych se vyskytuj´ı jen ˇc´ısla z mnoˇziny {26, 27, . . . , 49}. Analogickou u ´vahou jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe zjist´ıme (obˇe mnoˇziny maj´ı stejn´ y poˇcet prvk˚ u), ˇze takov´ ych tah˚ u je podle vztahu (33) pˇresnˇe 134 596. Pravdˇepodobnost v´ yskytu je stejná jako v (34). Lich´ aˇ c´ısla Jsou takové tahy, které obsahuj´ı pouze ˇc´ısla z mnoˇziny lich´ ych ˇc´ısel menˇs´ıch neˇz 50, tj. {1, 3, 5, . . . , 49}. Taková mnoˇzina má 25 prvk˚ u, z tˇech opˇet vyb´ıráme ˇsestiprvkové podmnoˇziny. Podle vztahu (8) plat´ı: µ ¶ 25 = 177 100. 6 A pro pravdˇepodobnost vylosován´ı takov´ ychto tah˚ u plat´ı: Np 177 100 . p= = = 0,0127. Nm 13 983 816

(35)

(36)

Sud´ aˇ c´ısla Vˇsechna sudá ˇc´ısla od 1 do 49 m˚ uˇzeme zapsat do mnoˇziny {2, 4, 6, . . . , 48}, která má 24 prvk˚ u. Poˇcet tah˚ u zjist´ıme tedy opˇet jako ˇsestiˇclennou kombinaci z 24 prvk˚ u. Ze vztahu (33) uˇz v´ıme, ˇze takov´ ychto tah˚ u je 134 596. Pravdˇepodobnost v´ yskytu je stejná jako v (34).

2.2

ˇ Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR

Na webov´ ych stránkách Sazky a.s.2 je zdarma k dispozici historie vˇsech tah˚ u Sportky, a to jak pro nedˇeln´ı, tak i stˇredeˇcn´ı losován´ı. Jak uˇz bylo naznaˇceno ˇ ych zem´ıch dlouhou tradici. Prvn´ı losován´ı v u ´vodu, ˇc´ıselné loterie maj´ı v Cesk´ Sportky se uskuteˇcnilo na konci dubna 1957. Od té doby probˇehlo do dubna 2007 pˇresnˇe 2596 tah˚ u. Od ledna 1977 se losuje tzv. dodatkové ˇc´ıslo , to má ale smysl jen pro sázej´ıc´ıho, kter´ y uhodnul právˇe pˇet ˇra´dn´ ych ˇc´ısel a toto dodatkové. V tom pˇr´ıpadˇe by vyhrál v´ yhru ve druhém poˇrad´ı. Nás ale bude zaj´ımat pouze onˇech ˇsest ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel. Pomoc´ı jednoduch´ ych program˚ u3 nalezneme poˇcty jednotliv´ ych anomáli´ı. V´ ysledky jsou pˇrehlednˇe uvedeny v Tabulce 8. Asi nás pˇrekvap´ı, ˇze jsme skuteˇcnˇe naˇsli do2 3

http://www.sazka.cz Jsou na pˇriloˇzeném CD ve sloˇzce programy/anomalie. Jako programovac´ı jazyk byl pouˇzit

skriptovac´ı jazyk PERL. Ve sloˇzce historie tahu/ je pak celá historie losovan´ ych ˇc´ısel od roku 1956.

21

ˇ 2.2 Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR

Nedˇele

Stˇreda

Dohromady

I. tah

II. tah

I. tah

II. tah

ˇ Sestice

0

0

0

0

0

Pˇetice ˇ rice a dvojice Ctveˇ

2

0

0

0

2

1

1

0

0

2

Jedna ˇctveˇrice

11

8

0

0

19

Dvˇe trojice

0

0

0

0

0

Trojice a dvojice

9

7

3

1

20

114

79

28

25

246

Tˇri dvojice

2

1

0

0

3

Dvˇe dvojice

163

153

31

32

379

Jedna dvojice

1019

857

253

251

2380

Lichá ˇc´ısla

21

23

15

9

68

Sudá ˇc´ısla

18

22

8

4

52

Malá ˇc´ısla

19

21

10

2

52

Velká ˇc´ısla

29

25

6

4

64

2596

2184

629

629

6068

Jedna trojice

Celkem tah˚ u

Tabulka 8: Nalezené absolutn´ı ˇcetnosti jednotliv´ ych zaj´ımav´ ych tah˚ u konce dva tahy, ve kter´ ych ˇsla jedna pˇetice po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Byl to tahy

²¯

z 50. t´ ydne roku 1970, tehdy byla v prvn´ım tahu Sportky vylosována ˇc´ısla: ±° 17

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

23 ±° 24 ±° 25 ±° 26 ±° 27 . Podobn´ y tah byl ten ze 42. t´ ydne roku 1989: ±° 17 ±° 18 ±° 19 ±° 20 ±° 21 ±° ²¯ 26 . Dodejme, ˇze podle vztahu (14) je pravdˇepodobnost, ˇze bude vylosována pˇetice ±° po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, rovna 0,0135 %, coˇz je zhruba podobná pravdˇepodobnost, jako pokud bychom chtˇeli, aby nám pˇri hodu minc´ı padnul 13krát za sebou rub. Bez zaj´ımavosti jistˇe nen´ı ani tah z 16. t´ ydne roku 1998, tehdy byla v prvn´ım ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

17 – tedy jedna ˇctveˇrice a tahu nedˇeln´ıho losován´ı taˇzena ˇc´ısla: ±° 4 ±° 5 ±° 6 ±° 7 ±° 16 ±° jedna dvojice. Pravdˇepodobnost je to stejná, jako pro jednu pˇetici (ˇceho jsme si jiˇz vˇsimli, kdyˇz jsme rozeb´ırali poˇcty takov´ ych tah˚ u). Nyn´ı nás bude zaj´ımat porovnán´ı vypoˇc´ıtané pravdˇepodobnosti a relativn´ı ˇcetnosti, kterou jsme naˇsli ve vˇsech losován´ıch (posledn´ı sloupec Tabulky 8). Relativn´ı ˇcetnosti pro jednotlivé anomálie budeme poˇc´ıtat následuj´ıc´ım zp˚ usobem: ri =

Poˇcet tah˚ u s anomáli´ı i Celkov´ y poˇcet ovˇeˇrovan´ ych tah˚ u

(37)

V naˇsem pˇr´ıpadˇe byl celkov´ y poˇcet ovˇeˇrovan´ ych tah˚ u 6068. Byly to v´ ysledky losován´ı z I. tahu nedˇeln´ıho losován´ı, tˇech bylo od 16. t´ ydne roku 1957 do 15. t´ ydne 22

ˇ 2.2 Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR

Pravdˇepodobnost

Relativn´ı

Oˇcekávan´ y Skuteˇcn´ y

v´ yskytu

ˇcetnost

poˇcet

poˇcet

ˇ Sestice

3,07 · 10−6

—

0

0

Pˇetice ˇ rice a dvojice Ctveˇ

0,000 135

0,000 330

1

2

0,000 135

0,000 330

1

2

Jedna ˇctveˇrice

0,002 84

0,003 13

17

19

−5

Dvˇe trojice

6,76 · 10

—

0

0

Trojice a dvojice

0,005 68

0,003 30

34

20

Jedna trojice

0,0388

0,0405

235

246

Tˇri dvojice

8,61 · 10−5

1

3

Dvˇe dvojice

0,0582

0,125

354

379

Jedna dvojice

0,388

0,392

2356

2380

Lichá ˇc´ısla

0,0127

0,0112

77

68

Sudá ˇc´ısla

0,009 63

0,008 57

58

52

Malá ˇc´ısla

0,009 63

0,008 57

58

52

Velká ˇc´ısla

0,009 63

0,0105

58

64

49,4 · 10−5

Tabulka 9: Porovnán´ı pravdˇepodobnost´ı a relativn´ıch ˇcetnost´ı, oˇcekávaného a skuteˇcného poˇctu roku 2007 pˇresnˇe 2596. Dále pak ze II. tahu nedˇeln´ıho losován´ı (kter´ y se zaˇcal losovat od 14. t´ ydne roku 1965), tˇech bylo do 15. t´ ydne roku 2007 pˇresnˇe 2184. A koneˇcnˇe to byly tahy stˇredeˇcn´ıho losován´ı, jehoˇz oba tahy se losuj´ı od 15. t´ ydne roku 1995. Jich bylo dohromady do 16. t´ ydne roku 2007 pˇresnˇe 2 · 629 = 1258. Dohromady máme tedy k dispozici historii 2596 + 2184 + 1288 = 6068 tah˚ u. Spoˇc´ıtejme relativn´ı ˇcetnost napˇr´ıklad pro tahy s jednou trojic´ı. Tˇech bylo dohromady 246, pro jejich relativn´ı ˇcetnost tedy podle vztahu: r3 =

246 = 0,0405. 6068

(38)

V´ ysledky pro vˇsechny ostatn´ı tahy, které nás zaj´ımaj´ı, jsou v Tabulce 9. V Tabulce 9 jsou také porovnány skuteˇcné a oˇcekávané poˇcty v´ yskytu kaˇzdé anomálie v 6068 taz´ıch. Skuteˇcné poˇcty, jsou celkové hodnoty z Tabulky 8, jsou to ty, které jsme opravdu naˇsli v bohaté historii losován´ı Sportky. Oˇcekávané hodnoty zjist´ıme pomoc´ı pravdˇepodobnosti, kterou jsme si u kaˇzdé anomálie vypoˇc´ıtali. Pokud provedeme n losován´ı a o nˇejakém jevu v´ıme, ˇze nastane s pravdˇepodobnost´ı p, pak je tento oˇcekávan´ y poˇcet roven souˇcinu této pravdˇepodobnosti p a poˇctu opakován´ı n, tedy p·n. 23

ˇ 2.2 Anal´ yza historie tah˚ u Sportky v CR Jak´ y tedy bude oˇcekávan´ y poˇcet tah˚ u s jednou trojic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, pokud provedeme 6068 losován´ı? Podle vztahu (30) je tato pravdˇepodobnost 0,0388. Tah˚ u s jednou trojic´ı m˚ uˇzeme tedy oˇcekávat: n · p = 6068 · 0,0388 = 235 tah˚ u.

(39)

Oˇcekávané poˇcty pro ostatn´ı zaj´ımavé tahy jsou v Tabulce 9. Je dobré si povˇsimnout, ˇze oˇcekávané a skuteˇcné poˇcty se nijak v´ yznamnˇe neliˇs´ı.

24

3

ˇ ÍZENÍ TEST LOSOVACÍCH ZAR

Sportka je samozˇrejmˇe stejnˇe tak jako ruleta hazardn´ı hra. Z historie rulety v´ıme, ˇze se hráˇci nejednou pokouˇseli vyuˇz´ıt slabin losovac´ıho zaˇr´ızen´ı. Tak jako se to v roce 1897 podaˇrilo Angliˇcanovi Josephu Jaggersovi. Kdyˇz poprvé vkroˇcil do herny v Monte Carlu, ve které bylo ˇsest ruletov´ ych kol, byl jimi jako mechanik stroj˚ u pro zpracován´ı bavlny tak fascinován, ˇze hned druh´ y den najal ˇsest lid´ı k tomu, aby u jednotliv´ ych stol˚ u nenápadnˇe zaznamenávali vylosovaná ˇc´ısla. U ruletov´ ych stol˚ u b´ yvá zvykem, ˇze se losován´ı koná zhruba 55krát za hodinu. Vezmeme-li v u ´vahu, ˇze kasino mˇelo otevˇreno asi 8 hodin dennˇe, mohl Jaggers za t´ yden z´ıskat historii 3000 losovan´ ych ˇc´ısel pro kaˇzdou ruletu. Po t´ ydnu tato data analyzoval a doˇsel k závˇeru, ˇze u ˇsesté rulety padaj´ı d´ıky poˇskozen´ı jej´ıho mechanického zaˇr´ızen´ı nˇekterá ˇc´ısla ˇcastˇeji, nˇeˇz by mˇel b´ yt obvykl´ y teoretick´ y pr˚ umˇer. Jaggers se tedy zaˇcal u této rulety hrát a zaˇcal na zjiˇstˇená ˇc´ısla sázet. Jakmile doˇslo k prvn´ım v´ yhrám, zaˇcal zvyˇsovat sázky. Kdyˇz uˇz vyhrával asi 10 000 dolar˚ u, zaˇcali si ho vˇs´ımat dva inspektoˇri z onoho kas´ına. Kdyˇz uˇz Jaggers vyhrával 50 000 dolar˚ u, pˇribylo pozorovatel˚ u z ˇrad personálu, mysleli si totiˇz, ˇze mus´ı j´ıt o nˇejak´ y podvod. V jedenáct veˇcer, kdyˇz uˇz se herna zav´ırala, odnáˇsel si Jaggers necel´ ych 70 000 dolar˚ u. Pˇr´ıˇst´ı den se samozˇrejmˇe do herny vrátil a opˇet sázel ta samá ˇc´ısla. Aby zmátl tˇri inspektory, kteˇr´ı sledovali témˇeˇr kaˇzd´ y jeho pohyb, sázky prokládal dalˇs´ımi na zcela náhodná ˇc´ısla. To ale nikoho z personálu neuklidnilo, nebot’ druh´ y den vyhrál Jaggers do té doby neuvˇeˇriteln´ ych 300 000 dolar˚ u. Pro kasino se vˇse jeˇstˇe zhorˇsilo t´ım, ˇze ostatn´ı hráˇci u stolu zaˇcali sázet pˇresnˇe podle nˇeho. Kasinu uˇz pomalu zaˇcalo docházet, ˇze tato ruleta mus´ı b´ yt nˇejak´ ym zp˚ usobem nevyváˇzená. Veden´ı tedy rozhodlo, ˇze bˇehem noci budou jednotlivá ruletová kola prom´ıchána. Neˇz tento u ´skok ze strany herny Jaggers následuj´ıc´ıho dne prohlédl, pˇriˇsel o sumu 200 000 dolar˚ u. Nebyl ale hloup´ y, a tu

svou“ ruletu v hernˇe ” naˇsel podle malého ˇskrábance na okraji m´ısy ruletového kola. Pˇresunul se tedy k nˇemu a dalˇs´ımi sázkami nahromadil dalˇs´ıch 350 000 tis´ıc dolar˚ u. To vˇse v souˇctu s pˇredchoz´ımi dny dalo dohromady témˇeˇr 450 000 dolar˚ u. Zoufalé veden´ı herny ˇreˇsilo vzniklou situaci radikálnˇe. Poslali kur´ yra s prohrávaj´ıc´ım ruletov´ ym kolem spˇeˇsnˇe k v´ yrobci rulety do Paˇr´ıˇze. Tamn´ı experti bleskovˇe poznali, ˇze problém bude v kovov´ ych zaráˇzkách na okraji ruletového kola. Okamˇzitˇe bylo rozhodnuto vymˇenit je za jiné. Kur´ yr se stihl vrátit do Monte Carla nejen s upraven´ ym ruletov´ ym kolem, ale i se sadou náhradn´ıch zaráˇzek pro ostatn´ı rulety.

25

3.1 Jednotlivá losovac´ı zaˇr´ızen´ı Sportky Samozˇrejmˇe vˇse bylo uˇcinˇeno tajnˇe, tak aby Jaggers nepojal ani nejmenˇs´ı náznak podezˇren´ı. Následuj´ıc´ı den se Jaggers opˇet objevil v hernˇe. Vˇsichni lidé z veden´ı kasina byli plni dychtivého oˇcekáván´ı, co se bude d´ıt, a vˇeˇrili, ˇze Angliˇcan vˇsechny své vyhrané pen´ıze (o nichˇz si mysleli, ˇze je z´ıskal neoprávnˇenˇe) zpátky prohraje. Jaggers si opˇet vybral oznaˇcenou ruletu a zaˇcal hrát. Na konci dne uˇz prohrával rovn´ ych 75 000. Doˇslo mu, ˇze kasino dalo zˇrejmˇe nˇejak´ ym zp˚ usobem ruletu do poˇra´dku, a dalˇs´ı den se s vyhran´ ymi 325 000 vrátil zpˇet do Anglie.

3.1

Jednotliv´ a losovac´ı zaˇ r´ızen´ı Sportky

Co nás bude zaj´ımat nyn´ı je tedy nasnadˇe. Bˇehem v´ıce neˇz padesátileté historie Sportky se losovac´ı zaˇr´ızen´ı, která se pouˇz´ıvala k losován´ı jednotliv´ ych tah˚ u, velmi ˇcasto mˇenila. Sice nev´ıme, ve kterém losovac´ım t´ ydnu doˇslo k v´ ymˇenˇe losovac´ıch zaˇr´ızen´ı, zhruba ale v´ıme, ˇze jednotlivá zaˇr´ızen´ı byla pouˇz´ıvána v obdob´ıch: 1. v letech 1957–1965 2. v letech 1965–1972 3. v letech 1972–1976 (viz Obrázek 4 na stranˇe 34) 4. v letech 1976–1988 (viz Obrázek 8 na stranˇe 39) 5. v letech 1988–1993 (viz Obrázek 12 na stranˇe 44) 6. v letech 1993–2007 Odkud v´ıme, ˇze to byla právˇe tato léta? Minimálnˇe m˚ uˇzeme z fotografi´ı v [6] usoudit na léta: 1957–1972, 1972–1976, 1976–1988, 1988–1993 a 1993–2007. V roce 1965 se událo ve Sportce mnoho zmˇen: malinko se zefektivnil pˇr´ıjem sázenek, pˇribyl druh´ y tah. S druh´ ym tahem musela vzniknout i kopie losovac´ıho zaˇr´ızen´ı. Dá se pˇredpokládat, ˇze v té dobˇe Sazka radˇeji nechala vyrobit dvˇe nová stejná losovac´ı zaˇr´ızen´ı. Proto dˇelen´ı 1957–1972 zjemn´ıme na: 1957–1965 a 1965–1972. Ne vˇzdy se ale pouˇz´ıvalo jen jedno losovac´ı zaˇr´ızen´ı, byly napˇr´ıklad prázdninové ˇ ach atd. Pro naˇsi hrubou tahy, které se losovaly jen na Slovensku, jiné v Cech´ anal´ yzu, ovˇsem budeme pˇredpokládat, ˇze se jednotlivá zaˇr´ızen´ı pouˇz´ıvala po celou v´ yˇse uvedenou dobu. Jeˇstˇe poznamenejme, ˇze stejn´ y tip losovac´ıho zaˇr´ızen´ı byl vˇetˇsinou vyroben ve dvou exempláˇr´ıch, které se pouˇz´ıvaly k losován´ı I. a II. tahu. Protoˇze celou historii losovan´ ych ˇc´ısel, máme d´ıky webu Sazky a.s. k dispozici, pouˇzijeme z této historie vˇzdy tu ˇcást, která odpov´ıdá dobˇe, kdy se jednotlivá losovac´ı zaˇr´ızen´ı pouˇz´ıvala. Sice nev´ıme, ve kterém t´ ydnu toho kterého roku doˇslo 26

3.2 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1957–1965

Obrázek 1: Záloˇzn´ı losovac´ı zaˇr´ızen´ı

k v´ ymˇenˇe zaˇr´ızen´ı, pokud budeme ale zkoumat o deset nebo dvacet tah˚ u nav´ıc, nemˇel by to b´ yt problém. Napˇr´ıklad pokud se nˇejaké zaˇr´ızen´ı pouˇz´ıvalo 12 let — tak tomu bylo u zaˇr´ızen´ı z let 1976–88 — bylo na nˇem za tuto dobu vylosováno 624 tah˚ u. Pokud tedy zahrneme nˇejak´ ych deset tah˚ u nav´ıc, jsou to necelá 2 % a staticky jsou pro nás bezv´ yznamná. V´ıme také, ˇze se ve v´ yjimeˇcn´ ych pˇr´ıpadech losovalo ze záloˇzn´ıho losovac´ıho zaˇr´ızen´ı. Tvoˇril ho jednoduch´ y losovac´ı buben, ve kterém bylo 49 váleˇck˚ u. V kaˇzdém váleˇcku byl svinut´ y pap´ır s napsan´ ym ˇc´ıslem (viz Obrázek 1). Sice nev´ıme pˇresnˇe, kolik takov´ ychto tah˚ u bylo provedeno, v´ıme jen, ˇze bylo pouˇzito ve v´ yjimeˇcn´ ych ” pˇr´ıpadech“ [6, str. 228]. Tˇech bylo zˇrejmˇe jen velmi málo. Statisticky je pro nás tedy takové zaˇr´ızen´ı nezaj´ımavé.

3.2

Losovac´ı zaˇ r´ızen´ı z let 1957–1965

V letech 1957–1965 se losoval pouze jeden tah, od 14. t´ ydne roku 1965 se losuje i druh´ y tah. To prakticky znamená, ˇze k losovac´ımu zaˇr´ızen´ı, které bylo pouˇzito pro losován´ı prvn´ıho tahu, byla bud’ vyrobena jeho pˇresná kopie nebo (jak uˇz bylo naznaˇceno) bylo vyrobeno u ´plnˇe nové losovac´ı zaˇr´ızen´ı, a to ve dvou identick´ ych exempláˇr´ıch. Pro kaˇzdé zaˇr´ızen´ı (tedy pro kaˇzdé obdob´ı) budeme zkoumat ˇcetnosti vylosován´ı kaˇzdého ˇc´ısla. Prvn´ı losován´ı probˇehlo v 16. t´ ydnu roku 1957, posledn´ı, ve kterém se losoval jen jeden tah, probˇehlo v nedˇeli v 13. t´ ydnu roku 1965. Dohromady probˇehlo za tuto dobu celkem 412 losován´ı. Graf na Obrázku 2 udává kolikrát bylo v této dobˇe vytaˇzeno kaˇzdé ˇc´ıslo. Na horizontáln´ı ose je vˇsech 49 ˇc´ısel (pro pˇrehlednost ²¯

jsou oˇc´ıslována jen lichá), na svislé ose jsou pak ˇcetnosti. Napˇr´ıklad ˇc´ıslo ±° 10 bylo vylosováno pˇresnˇe 37krát. 27


65 63 61 59 57 55 53 51 49 47 45 43 41 39 37 35 33 31 29 27 25 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

ˇ Obrázek 2: Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel 1957–1965

Bernoulliho posloupnost nez´ avisl´ ych pokus˚ u Nyn´ı si poloˇzme otázku, jak´ y poˇcet vylosován´ı konkrétn´ıho ˇc´ısla by nám mˇel pˇri 412ti proveden´ ych taz´ıch pˇrij´ıt pˇr´ıliˇs mal´ y nebo naopak pˇr´ıliˇs velk´ y. Pˇekná metoda je uvedena v [2]. Máme tedy n losován´ı a ptáme se s jakou pravdˇepodobnost´ı vylosujeme nˇejaké konkrétn´ı ˇc´ıslo právˇe k-krát. To je samozˇrejmˇe o Bernoulliho posloupnost nezávisl´ ych pokus˚ u [5, str. 116–118]: Mˇejme n nezávisl´ ych pokus˚ u z nichˇz kaˇzd´ y skonˇc´ı bud’ zdarem s pravdˇepodobnost´ı p nebo nezdarem s pravdˇepodobnost´ı q = 1 − p. Potom pravdˇepodobnost jevu Ak , ˇze právˇe k pokus˚ u bude zdaˇril´ ych je:

µ ¶ n k n−k p(Ak ) = p q k

(40)

V naˇsem pˇr´ıpadˇe je poˇcet vˇsech losován´ı n = 412, k je pak ˇcetnost, se kte²¯

rou bylo nˇejaké ˇc´ıslo losováno. Napˇr´ıklad pro ˇc´ıslo ±° 10 , které bylo vylosováno v 37 taz´ıch je k = 37. Pravdˇepodobnost p je v naˇsem pˇr´ıpadˇe pravdˇepodobnost 6 vylosován´ı jednoho konkrétn´ıho ˇc´ısla. Losujeme 6 ˇc´ısel ze 49, proto je p = . 49 Pravdˇepodobnost jevu opaˇcného — dané ˇc´ıslo nebude mezi ˇsesti vylosovan´ ymi (a 6 43 bude tedy mezi 43 nevylosovan´ ymi) — je jednoduˇse q = 1 − = . 49 49 Jeˇstˇe si uvˇedom´ıme, ˇze pro jev Ak (ˇc´ıslo bude taˇzeno právˇe k-krát) mus´ı platit, ˇze jist´ y jev je, ˇze ˇc´ıslo bud’ nebude losováno v ˇza´dném tahu nebo právˇe v k-taz´ıch, 28

3.2 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1957–1965 kde k ∈ {1, 2, 3, . . . , n}. Nebo-li: n X

Ak =

k=0

n µ ¶ X n

k

k=0

pk q n−k = 1

(41)

Nyn´ı bychom chtˇeli o nˇejaké ˇcetnosti prohlásit, ˇze pokud nastane v n taz´ıch, nen´ı losovac´ı zaˇr´ızen´ı spravedlivé. Napˇr´ıklad pokud by bylo nˇejaké ˇc´ıslo ve 412ti taz´ıch taˇzeno dvakrát. Chtˇeli bychom tedy provést nˇejak´ y statistick´ y test. To b´ yvá zvykem provádˇet na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 %. Hledáme nejmenˇs´ı ˇcetnost, o n´ıˇz m˚ uˇze s pravdˇepodobnost´ı 95 % ˇr´ıct, ˇze se nestane. Stane se tedy s pravdˇepodobnost´ı maximálnˇe rovnou 5 %, nebo-li s vyuˇzit´ım vztahu (41): µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n 0 n n 1 n−1 n 2 n−2 n k1 n−k1 pq + pq + pq + ... + p q ≤ 0,05 0 1 2 k1

(42)

Coˇz m˚ uˇzeme zapsat pomoc´ı sumy jako: k1 µ ¶ X n i=0

i

pi q n−i ≤ 0,05

(43)

ˇ ıslo k1 je maximáln´ı ˇc´ıslo, pro které jsou nerovnice (42) resp. (43) splnˇeny. Pokud C´ tedy bylo nˇekteré ˇc´ıslo taˇzeno s ˇcetnost´ı menˇs´ı neˇz k1 , znamená to, ˇze losovac´ı zaˇr´ızen´ı nelosuje spravedlivˇe, ale naopak znatelnˇe ménˇe ˇcasto losuje nˇekterá ˇc´ısla. Analogicky by to mˇelo platit pro velké ˇcetnosti. Rozpoznáme tak ˇcetnosti, které jsou pˇr´ıliˇs vysoké. Podle vztahu (43) tedy pˇr´ıliˇs vysoké ˇcetnosti poznáme podle vztah˚ u: µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ n n 0 n n n n−1 1 n−2 2 p q + p q + p q +. . .+ pn−k2 q k2 ≤ 0,05 (44) n n−1 n−2 n − k2 Coˇz m˚ uˇzeme zapsat pomoc´ı sumy jako: n µ ¶ X n i=k2

i

pi q n−i ≤ 0,05

(45)

Kde k2 je nejmenˇs´ı ˇc´ıslo, pro které jsou jeˇstˇe nerovnice (44) resp. (45) splnˇeny. V pˇr´ıpadˇe losovac´ıho zaˇr´ızen´ı z let 1957-1965 jsme tato ˇc´ısla naˇsli pomoc´ı jednoduchého programu4 . Nalezené hodnoty jsou v naˇsem pˇr´ıpadˇe k1 = 39 a k2 = 62, jsou vyneseny siln´ ymi ˇcarami v grafu na Obrázku 2, na stranˇe 28. ²¯

Z tohoto grafu je také vidˇet, ˇze ˇc´ıslo ±° 10 bylo losováno pouze 37krát, coˇz je málo. S pravdˇepodobnost´ı 95 % m˚ uˇzeme tedy ˇr´ıct, ˇze losovac´ı zaˇr´ızen´ı, které se 4

je opˇet pˇriloˇzen na CD ve sloˇzce /programy/cetnosti. Kv˚ uli rychlosti v´ ypoˇctu je napsán

v jazyce kalkulaˇcky bc.

29

3.2 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1957–1965 pouˇz´ıvalo od zaˇcátku aˇz do 13. sázkového t´ ydne roku 1965, nelosovalo spraved²¯

livˇ e, protoˇze losovalo ˇc´ıslo ±° 10 ménˇe ˇcasto, neˇz se dalo pˇredpokládat. Ovˇsem zp˚ usob v´ ypoˇctu minimáln´ı ˇcetnosti k1 a maximáln´ı ˇcetnosti k2 podle vztah˚ u (43) a (45) je problematick´ y. Nejde o problém teoretick´ y, ale praktick´ y. Pokud si uvˇedom´ıme, ˇze napˇr´ıklad uˇz jen pro náˇs pˇr´ıpad, kdy n = 412 se ve vztahu (43) objev´ı ˇcleny: µ ¶ µ ¶412 µ ¶0 µ ¶ µ ¶411 µ ¶1 µ ¶ µ ¶62 µ ¶350 412 6 43 412 6 43 412 6 43 + +. . .+ 412 49 49 411 49 49 62 49 49 (46) ¡ 6 ¢412 . −376 = 1,728 · 10 . Po v´ ypoˇcetn´ım softwaru tedy nutnˇe Napˇr´ıklad ˇc´ıslo 49 poˇzadujeme, aby poˇc´ıtal s pˇresnost´ı alespoˇ n na 400 desetinn´ ych m´ıst. To jednak prodluˇzuje v´ ypoˇcet (ˇcasovˇe), jednak je pro vysoká n cel´ y tento postup nalezen´ı minimáln´ı a maximáln´ı ˇcetnosti k1 a k2 nepouˇziteln´ y. Centr´ aln´ı limitn´ı vˇ eta Ukáˇzeme si tedy jeˇstˇe jednu metodu, jak zjistit, zdali dané losovac´ı zaˇr´ızen´ı losuje spravedlivˇe. Ze statistiky v´ıme [4, str. 115-120], ˇze tento test m˚ uˇzeme provést ²¯

pomoc´ı centráln´ı limitn´ı vˇety. Pop´ıˇseme si ho na pˇr´ıkladu ˇc´ısla ±° 10 . Zkoumejme ²¯

tedy, zdali ˇc´ıslo ±° 10 nebylo losováno ménˇe ˇcasto neˇz by mˇelo, tedy zda dané losovac´ı zaˇr´ızen´ı neznev´ yhodˇ nuje nˇekterá ˇc´ısla. Zaj´ımá nás tedy odhad pravdˇepo²¯

dobnosti vylosován´ı ˇc´ısla ±° 10 .

²¯

Celkem tedy probˇehlo 412 losován´ı a ˇc´ıslo ±° 10 bylo taˇzeno právˇe 37krát. Zaved’me si tedy náhodné veliˇciny X1 , . . . X412 s alternativn´ım rozdˇelen´ım A(P ), kde ²¯

u ´spˇech (X = 1) nastane, je-li v nˇejakém tahu vylosováno ˇc´ıslo ±° 10 , a ne´ uspˇech ²¯

(X = 0) pokud je vylosováno jiné ˇc´ıslo neˇz ±° 10 . Bodov´ y odhad pravdˇepodobnosti, ²¯ 37 ˇze v nˇejakém tahu bude vylosováno i ˇc´ıslo ±° 10 : X = = 0,08980, v´ ybˇerov´ y 412 rozptyl budeme poˇc´ıtat podle vztahu: n ´2 1 X³ S2 = Xi − X , (47) n − 1 i=1 coˇz v naˇsem pˇr´ıpadˇe m˚ uˇzeme psát jako: ´ 1 ³ 37 ´2 1 X³ = 37 · (1 − 0,09890)2 + 375 · (0 − 0,09890)2 (48) Xi − 411 i=1 12 411 . S = 0,08191 (49) 412

S2 =

Ke vztahu (48) jeˇstˇe dodejme, ˇze veliˇcina Xi nab´ yvá v 37mi pˇr´ıpadech hodnoty Xi = 1 a ve zbyl´ ych pˇr´ıpadech (412 − 37 = 375) je pak Xi = 0 (ˇc´ıslo nebylo vylosováno). 30

3.3 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1965–1972 Pro intervalov´ y odhad stˇredn´ı hodnoty na hladinˇe pravdˇepodobnosti α plat´ı podle centráln´ı limitn´ı vˇety: ¿ À ³ ³ α´ S α´ S √ ; X +u 1− √ I = X −u 1− (50) 2 2 n n ³ α´ kde u 1 − je kritická hodnota normáln´ıho rozdˇelen´ı. Ta se dá naj´ıt ve statis2 tick´ ych tabulkách [4].³V naˇsem pˇr´ıpadˇe bude hladina pravdˇepodobnosti α = 5 %, a α´ kritickou hodnotu u 1 − = 1,96. Tvrzen´ı o spravedlivosti losovac´ıho zaˇr´ızen´ı 2 si tedy m˚ uˇzeme dovolit potvrdit nebo vyvrátit s pravdˇepodobnost´ı 95 %. V naˇsem ²¯

pˇr´ıpadˇe dostáváme odhad pravdˇepodobnosti vylosován´ı ˇc´ısla ±° 10 v nˇekterém tahu: À ¿ 0,08191 0,08191 ; 0,08980 + 1, 96 · √ (51) I = 0,08980 − 1, 96 · √ 492 492 I = h0,08257; 0,09703i

(52)

²¯

Pravdˇepodobnost vylosován´ı ˇc´ısla ±° 10 by tedy mˇela leˇzet v intervalu I. Pokud by tato losován´ı byla spravedlivá, pak by tato pravdˇepodobnost byla pro kaˇzdé 6 ˇc´ıslo stejná, tj. p = = 0,12245. Losujeme totiˇz 6 ˇc´ısel ze 49. V naˇsem pˇr´ıpadˇe, 49 ale p ∈ / I. Pravdˇepodobnost p je vˇetˇs´ı neˇz horn´ı mez intervalu I, coˇz znamená, ˇze ²¯

ˇc´ıslo ±° 10 bylo losováno ménˇe ˇcastˇeji neˇz by tomu mˇelo b´ yt. Toto losovac´ı zaˇr´ızen´ı ²¯

tedy nen´ı spravedliv´ e, protoˇze znev´ yhodˇ nuje ˇc´ıslo ±° 10 . Pokud tedy chceme zjistit, zda m˚ uˇzeme na hladinˇe pravdˇepodobnosti 5 % o nˇejakém losovac´ım zaˇr´ızen´ı prohlásit, ˇze losuje nespravedlivˇe, museli bychom intervalové odhady (jako byl ten (52)) dopoˇc´ıtat zvláˇst’ pro kaˇzdé ˇc´ıslo. To jsme skuteˇcnˇe udˇelali a v´ ysledky jsme pˇrehlednˇe zapsali do Tabulky 10 v pˇr´ıloze na stranˇe 56. Tuˇcnˇe jsou zv´ yraznˇeny intervaly, které nevyhovuj´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe je ²¯

to pouze ˇc´ıslo ±° 10 .

3.3


Pˇripomeˇ nme, ˇze od 14. t´ ydne roku 1965 se losuj´ı dva tahy. Budeme tedy proto uvaˇzovat dvˇe losovac´ı zaˇr´ızen´ı — pro prvn´ı a pro druh´ y tah. Poznamenejme, ˇze kdyby tato zaˇr´ızen´ı mˇela nˇejakou v´ yrobn´ı chybu, musela by se tato chyba projevit na obou zaˇr´ızen´ıch. Protoˇze se ale dá pˇredpokládat, ˇze pˇred t´ım neˇz se zaˇr´ızen´ı zaˇcne pouˇz´ıvat k losován´ı jednotliv´ ych tah˚ u, provád´ı s n´ım pracovn´ıci Sazky jistˇe ˇradu test˚ u. Pˇr´ıpadné odchylky, které by se nám podaˇrili naj´ıt, tedy asi budou pro kaˇzdé zaˇr´ızen´ı jiné. Od 14. t´ ydne roku 1965 do konce roku 1972 probˇehlo pˇresnˇe 401 losován´ı. Kaˇzdé z tˇechto losován´ı mˇelo I. a II. tah, které budeme analyzovat zvláˇst’. S vyuˇzit´ım 31


64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

66 64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26

ˇ Obrázek 3: Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel pro I. a II. tah 1965–1972

32

3.4 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1972–1976 vztah˚ u (43) a (45) na stranˇe 29 opˇet najdeme ˇc´ısla k1 a k2 , kde k1 je nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y sˇc´ıtac´ı index takov´ y, pro kter´ y je jeˇstˇe vztah (43) splnˇen. Koeficient k2 je naopak ˇ ısla k1 a k2 jsou tedy horn´ı nejmenˇs´ı moˇzn´ y, pro kter´ y je jeˇstˇe vztah (45) splnˇen. C´ a doln´ı odhad ˇcetnosti losován´ı kaˇzdého ˇc´ısla na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 %. Pro 401 losován´ı plat´ı, ˇze k1 = 38 a k2 = 61. Protoˇze pˇredpokládáme, ˇze I. a II. tah se losuj´ı na stejném zaˇr´ızen´ı, a ˇze obˇe zaˇr´ızen´ı se pouˇzila pro vˇsech 401 losován´ı, mus´ı nalezené ˇcetnosti k1 a k2 samozˇrejmˇe platit pro oba tahy. ˇ Cetnosti jednotliv´ ych ˇc´ısel pro prvn´ı a druh´ y tah jsou na Obrázku 3. Silnou ˇcarou je zv´ yraznˇena minimáln´ı a maximáln´ı ˇcetnost pˇri pravdˇepodobnosti 95 %. ²¯

Nejmenˇs´ı pˇredpokládaná ˇcetnost je k1 = 38. Ovˇsem ˇc´ıslo ±° 6 bylo v prvn´ım tahu ²¯

losováno 35krát a ˇc´ıslo ±° 46 36krát. Také jsme zjistili, ˇze maximáln´ı ˇcetnost by mˇela ²¯ ˇ ıslo 34 bylo ovˇsem v prvn´ım tahu losováno 62krát. To znamená, b´ yt k2 = 61. C´ ±°

ˇze losovac´ı zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo k losován´ı ˇc´ısel prvn´ıho tahu nebylo spra²¯ ²¯

vedliv´ e, protoˇze znev´ yhodˇ novalo ˇc´ısla ±° 6 a ±° 46 a naopak zv´ yhodˇ novalo ˇc´ıslo

²¯

34 . ±° Podobná situace je i ve druhém tahu. Ménˇe ˇcastˇeji, neˇz bychom na hladinˇe ²¯

pravdˇepodobnosti 95 % pˇredpokládali, byla taˇzena ˇc´ısla ±° 2 (bylo taˇzeno 34krát) ²¯

a ±° 27 (bylo taˇzeno 37krát). Naopak, ˇcastˇeji neˇz oˇcekáváme bylo vylosováno ˇc´ıslo

²¯

19 . Ani losovac´ı zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo pro losován´ı druhého tahu Sportky ±° v letech 1965–1972, tedy také nelosovalo spravedlivˇ e. Ke stejnému závˇeru bychom samozˇrejmˇe doˇsli, pokud bychom podle vztahu (50) na stranˇe 31 poˇc´ıtali odhady pravdˇepodobnost´ı. Tyto odhady jsou pro oba dva tahy a pro kaˇzdé ˇc´ıslo uspoˇrádány v Tabulce 11 v pˇr´ılohách na stranˇe 57. Pravdˇepodobnost vylosován´ı libovolného ˇc´ısla je v kaˇzdém tahu p =

6 49

= 0,122.

Pravdˇepodobnost je poˇcet pˇr´ızniv´ ych pˇr´ıpad˚ u ku poˇctu vˇsech moˇzn´ ych, losuje se totiˇz 6 ˇc´ısel ze 49. U kaˇzdého intervalového odhadu tedy mus´ıme zjistit, zdali p ∈ I. U ˇc´ısel zm´ınˇen´ ych v´ yˇse plat´ı, ˇze p ∈ / I. Tyto intervaly jsou zv´ yraznˇeny tuˇcnˇe.

3.4


Dalˇs´ım obdob´ım, které budeme zkoumat je rozmez´ı let 1972–76. Protoˇze nev´ıme, kdy pˇresnˇe nastala v´ ymˇena losovac´ıch zaˇr´ızen´ı budeme zkoumat toto obdob´ı celé, to znamená od 2. t´ ydne roku 1972 do 52. t´ ydne roku 1976. 1. ledna 1972 bylo totiˇz v sobotu, proto je odpov´ıdaj´ıc´ı t´ yden oznaˇcen jako 53. t´ yden roku 1971. T´ yden, kter´ y zaˇcal v pondˇel´ı 3. ledna 1972 je pak oznaˇcen jako 2. t´ yden roku 1972. Tolik pro vysvˇetlen´ı, proˇc zaˇc´ınáme aˇz od druhého t´ ydne. Bˇehem tˇechto 4 let máme 33


Obrázek 4: Zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo v letech 1972–1976

k dispozici historii pouze 260ti tah˚ u. Toto rozmez´ı vycház´ı z fotografie v [6, str. 227], tato fotografie je na Obrázku 4. Pod´ıváme-li se na toto zaˇr´ızen´ı, vid´ıme, ˇze je urˇceno pouze pro jeden tah. Taky je vidˇet, ˇze kv˚ uli snazˇs´ı kontrole losovac´ıho zaˇr´ızen´ı, která prob´ıhala pˇred kaˇzd´ ym losován´ım, byly losované m´ıˇcky srovnány ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯

podle hodnot do sedmi pˇrihrádek. V prvn´ı byla ˇc´ısla ±° 1 ±° 8 ±° 15 ±° 22 ±° 29 ±° 36 ±° 43 (jsou ²¯ ²¯ ²¯ to ˇc´ısla, která dávaj´ı po dˇelen´ı 7mi zbytek 1). V druhém sloupci jsou ˇc´ısla ±° 2 ±° 9 · · · ±° 44 (jsou to ˇc´ısla, která dávaj´ı po dˇelen´ı 7mi zbytek 2). Tˇechto sloupc˚ u je 7, v po²¯ ²¯ ²¯

sledn´ım z nich jsou ˇc´ısla ±° 7 ±° 14 · · · ±° 49 . Pro tato zaˇr´ızen´ı tedy nebudeme hledat jen ˇcetnosti jednotliv´ ych ˇc´ısel, ale porovnáme i ˇcetnosti kaˇzdého sloupce. Pokud spoˇc´ıtáme ˇcetnosti kaˇzdé takové skupiny, zjist´ıme, ˇze se liˇs´ı jen velmi málo. To plat´ı pro oba dva tahy. Obˇe losovac´ı zaˇr´ızen´ı se tedy z tohoto pohledu chovaj´ı vyváˇzenˇe. Grafy jednotliv´ ych ˇcetnost´ı jsou na pˇriloˇzeném CD v adresáˇri /TeX/grafy/graf 72 sloupce 1t.ps a /TeX/grafy/graf 72 sloupce 2t.ps. Dalˇs´ı moˇznost, jak tato ˇc´ısla slouˇcit do skupin je podle poˇrad´ı ˇc´ısel v jednotliv´ ych sloupc´ıch. Podle Obrázku 4 je zˇrejmé, ˇze nejv´ yˇse v jednotliv´ ych sloupc´ıch ²¯ ²¯ ²¯

jsou ˇc´ısla ±° 1 ±° 2 · · · ±° 7 . Losovac´ı zaˇr´ızen´ı funguje tak, ˇze po roztoˇcen´ı ˇca´sti, ve které jsou srovnány m´ıˇcky, dojde k odklopen´ı pˇrepáˇzky, která je nad touto prvn´ı vrstvou. Prvn´ı sedmice“ ˇc´ısel tedy vypadne do losovac´ıho bubnu nejdˇr´ıve. Ve ” ²¯ ²¯ ²¯ druhé vrstvˇe“ jsou ˇc´ısla ±° 8 ±° 9 · · · ±° 15 — tˇechto 7 ˇc´ısel se dostane do osud´ı jako ” druhá sedmice“ v poˇrad´ı. Tak m˚ uˇzeme pokraˇcovat dále, v posledn´ı vrstvˇe jsou ” ²¯ ²¯ ²¯ ˇc´ısla ±° 44 ±° 45 · · · ±° 49 . Tato ˇc´ısla se dostanou do osud´ı jako posledn´ı. Osoba, která 34


252 250 248 246 244 242 240 238 236 234 232 230 228 226 224 222 220 218 216 214 212 210 208 206 204 202 200 198 196 194 192 190 188 186 184 182 180 178 176 174 172 170 I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VI

ˇ Obrázek 5: Cetnosti skupin losovan´ ych ˇc´ısel pro druh´ y tah 1972–1976. Sloupec I. je ˇcetnost skupiny 1–7, sloupec II. je ˇcetnost skupiny 8–15, atd. Silnou ˇcarou jsou vytaˇzeny odhady minimáln´ı a maximáln´ı ˇcetnosti pro hladinu pravdˇepodobnosti 98 %.

losován´ı provád´ı (coˇz byli vˇetˇsinou u ´spˇeˇsn´ı sportovci), ovládá losovac´ı zaˇr´ızen´ı tak, ˇze v okamˇziku, kdy jsou m´ıˇcky v osud´ı prom´ıchány, uvoln´ı tlaˇc´ıtkem na ovladaˇci doln´ı záklopku, která propust´ı jeden m´ıˇcek. To se opakuje 6krát pro kaˇzd´ y tah. Vˇsechna ˇc´ısla, která byla vylosována v tomto obdob´ı, jsme tedy rozdˇelili do tˇechto sedmi skupin a spoˇc´ıtali celkov´ y poˇcet vylosovan´ ych ˇc´ısel v kaˇzdé skupinˇe. Zaj´ımavé jsou v´ ysledky pro druh´ y tah, které jsou v grafu na Obrázku 5. Podle vztahu (43) na stranˇe 29 jsme opˇet naˇsli nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı ˇcetnosti k1 a k2 . V´ ysledky jsou pˇrekvapivé. Odhad nejmenˇs´ı ˇcetnosti jsme tentokrát provádˇeli pro pravdˇepodobnost 98 %. Vztah (43) se pak ovˇsem zmˇen´ı: k1 µ ¶ X n i n−i pq ≤ 0,02 i i=0

(53)

V tomto pˇr´ıpadˇe je poˇcet vˇsech vylosovan´ ych ˇc´ısel n = 6 · 260 = 1560 (losuje se 6 ˇc´ısel v kaˇzdém z 260ti tah˚ u). Pravdˇepodobnost p znamená v tomto pˇr´ıpadˇe pravdˇepodobnost, ˇze vylosované ˇc´ıslo bude patˇrit napˇr´ıklad do prvn´ı sedmice“. Protoˇze kaˇzdá sedmice“ obsahuje stejnˇe prvk˚ u je jasné, ˇze stejná ” ” pravdˇepodobnost to bude pro druhou, tˇret´ı aˇz sedmou sedmici“. Poˇcet pˇr´ızniv´ ych ” 35

3.4 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1972–1976 pˇr´ıpad˚ u, kdy vylosované ˇc´ıslo patˇr´ı do nˇejaké pevnˇe zvolené sedmice“ je 7 (mus´ı ” to b´ yt jedno z ˇc´ısel této sedmice“). Vˇsech moˇznost´ı, jak losovat jedno ˇc´ıslo, je ” 7 samozˇrejmˇe 49, pro pravdˇepodobnost p tedy plat´ı p = 49 = 17 . A koneˇcnˇe q je pravdˇepodobnost jevu opaˇcného, tedy ˇze vylosované ˇc´ıslo nepatˇr´ı do zvolené sedmice“, takˇze q = 1 − 71 = 76 = 42 . 49 ” Nejvˇetˇs´ı ˇc´ıslo k1 , které jeˇstˇe splˇ nuje tento vztah je k1 = 194 Vztah pro horn´ı odhad bychom opˇet z´ıskali pouze upraven´ım pravé strany ve vztahu (45). Protoˇze je ale v´ ypoˇcet velmi ˇcasovˇe nároˇcn´ y5 , nebudeme pro v´ ypoˇcet horn´ıho odhadu pouˇz´ıvat vztahu (45). Staˇc´ı si totiˇz uvˇedomit, ˇze pokud bylo celkem losováno 5 · 52 · 6 = 1560 ˇc´ısel6 , mˇela by b´ yt ˇcetnost kaˇzdé skupiny stejná, totiˇz 1 . 1560 · 7 = 222. Máme-li totiˇz nˇejak´ y jev, kter´ y nastane s pravdˇepodobnost´ı p = 17 , a tento jev se n-krát opakuje, m˚ uˇzeme oˇcekávat, ˇze nastane v n · p pˇr´ıpadech, coˇz je stˇredn´ı hodnota tohoto jevu7 . Z vlastnosti binomického rozdˇelen´ı v´ıme (napˇr. [9]), ˇze graf jednotliv´ ych ˇcetnost´ı mus´ı b´ yt symetrick´ y podle vertikáln´ı osy, která procház´ı jeho maximem (viz Obrázek 6). Jeho maximum je samozˇrejmˇe právˇe v hodnotˇe 222, coˇz je stˇredn´ı hodnota ˇcetnosti kaˇzdé sedmice“. Protoˇze v´ıme, ˇze na hladinˇe pravdˇepodobnosti 98 % je ” pro 1560 losován´ı doln´ı odhad ˇcetnosti k1 = 194, mˇelo by ze symetrie alternativn´ıho rozdˇelen´ı mus´ı platit, ˇze pokud 222 − 194 = 28, pak by oˇcekávané ˇcetnosti mˇely b´ yt v rozmez´ı 222 ± 38. Maximáln´ı ˇcetnost na hladinˇe pravdˇepodobnosti 98 % je tedy 222 + 28 = 250.

²¯ ²¯ ²¯

Na Obrázku 5 je vidˇet, ˇze prvn´ı sedmice“, kterou tvoˇr´ı ˇc´ısla ±° 1 ±° 2 · · · ±° 7 byla ” losována 193krát, ale náˇs odhad ˇcetnosti je 194. Nápadná je taky velká ˇcetnost ²¯ ²¯ ²¯

prostˇredn´ı sedmice“, to jsou ˇc´ısla ±° 22 ±° 23 · · · ±° 28 , ta byla taˇzena 249krát, a náˇs ” horn´ı odhad je 250. Moˇzné zd˚ uvodnˇen´ı je, ˇze toto zaˇr´ızen´ı ˇspatnˇe prom´ıchávalo“ ” m´ıˇcky s ˇc´ısly. M´ıˇcky z prostˇredn´ı sedmice“ byly totiˇz pˇresnˇe mezi tˇremi horn´ımi a ” tˇremi spodn´ımi sedmicemi“. Pravdˇepodobnˇe se tedy moc neprom´ıchaly s ostatn´ımi ” 5

V´ ypoˇcet koeficientu k1 trval programu bc na bˇeˇzném PC asi ˇctyˇri a p˚ ul hodiny. Bylo totiˇz

tˇreba zpˇresnit poˇcet desetinn´ ych m´ıst kaˇzdého v´ ypoˇctu. V tomto pˇr´ıpadˇe jsme poˇc´ıtali s pˇresnost´ı na 800 desetinn´ ych m´ıst. 6 Toto obdob´ı trvalo pˇet let, kaˇzd´ y rok má 52 sázkov´ ych t´ ydn˚ u a v kaˇzdém tahu je 6 ˇc´ısel. 7 V angliˇctinˇe se stˇredn´ı hodnotˇe ˇr´ıká expected value (znaˇc´ı se E(X)), tedy oˇcekávaná ” hodnota“, coˇz je napˇr´ıklad v tomto pˇr´ıpadˇe jistˇe v´ ystiˇznˇejˇs´ı. Pro stˇredn´ı hodnotu napˇr. podle [8] plat´ı: Má-li náhodná veliˇcina X diskrétn´ı rozdˇelen´ı, kde P [X = si ] = pi pro i ∈ I, nejv´ yˇse spoˇcetnou mnoˇzinu r˚ uzn´ ych v´ ysledk˚ u, pak: E(X) =

X I

36

si pi

(54)


Obrázek 6: Grafy r˚ uzn´ ych binomick´ ych rozdˇelen´ı.

ˇc´ısly, asi právˇe naopak, ˇcastˇeji se dostávaly k okraji losovac´ıho bubnu. Malou ˇcetnost ˇc´ısel z prvn´ı skupiny m˚ uˇzeme vysvˇetlit podobnˇe: pˇri otáˇcen´ı bubnu se asi dostaly bl´ıˇze ke stˇredu bubnu a byly proto losovány podstatnˇe ménˇe. V prvn´ım tahu, kde se pouˇz´ıvalo jiné losovac´ı zaˇr´ızen´ı (zaˇr´ızen´ı na Obrázku 4 je zˇretelnˇe oznaˇceno 1. tah“), jsou uˇz jednotlivé ˇcetnosti pomˇernˇe vyrovnané. ” Graf je k nalezen´ı na pˇriloˇzeném CD v adresáˇri /TeX/grafy/graf 1972 g1.ps. Opˇet budeme také zkoumat ˇcetnosti jednotliv´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a opˇet nám poslouˇz´ı vztahy (43) a (45) na stranˇe 29. M˚ uˇzeme tak sestavit grafy, které jsou na Obrázku 7. Siln´ ymi ˇcarami jsou opˇet znázornˇeny horn´ı a doln´ı odhady ˇcetnost´ı. V tomto obdob´ı jsme analyzovali celkem 560 tah˚ u. Minimáln´ı ˇcetnost k1 = 22 a maximáln´ı ˇcetnost je k2 = 42. Hladinu pravdˇepodobnosti jsme opˇet zvolili 95 %. ²¯

Je vidˇet, ˇze v prvn´ım tahu bylo ˇc´ıslo ±° 45 losováno 19krát, coˇz je ménˇe, neˇz je naˇse minimáln´ı odhadovaná ˇcetnost.

²¯

²¯

Ve druhém tahu maj´ı niˇzˇs´ı ˇcetnost ˇc´ısla ±° 4 (bylo taˇzeno 19krát) a ±° 44 (bylo ²¯ taˇzeno 20krát). Pro nás je zaj´ımavé, ˇze ˇc´ıslo ±° 4 leˇz´ı právˇe uprostˇred sedmice“ ” s nejmenˇs´ı ˇcetnost´ı. Také je vidˇet, ˇze ˇcetnosti vylosován´ı ˇc´ısel z prostˇredn´ı sedmice“ ” jsou u vˇetˇsiny z ˇc´ısel z této sedmice jedny z nejvˇetˇs´ıch ˇcetnost´ı v daném obdob´ı. Ke stejnému závˇeru bychom také mohli doj´ıt, pokud bychom podle vztahu (50) na stranˇe 31 poˇc´ıtali odhady pravdˇepodobnost´ı. Tyto odhady jsou pro oba dva tahy a pro kaˇzdé ˇc´ıslo uspoˇrádány v Tabulce 12 v pˇr´ılohách na stranˇe 58. Pravdˇepodobnost vylosován´ı libovolného ˇc´ısla je v kaˇzdém tahu p =

6 49

= 0,122.

U kaˇzdého intervalového odhadu mus´ıme zjistit, zdali p ∈ I. Mus´ıme tedy kaˇzd´ y

37


44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10


38



interval v této tabulce srovnat s hodnotou 0,122. Intervaly, kam tato hodnota nepatˇr´ı, jsou opˇet zv´ yraznˇeny tuˇcnˇe. Pokud by mˇel sázej´ıc´ı tyto informace, zˇrejmˇe by sázel vˇetˇsinou ˇc´ısla z oné ²¯ ²¯ ²¯

prostˇredn´ı sedmice“ ±° 22 ±° 23 · · · ±° 28 . Nejv´ıce jich bylo taˇzeno v II. tahu 6. sázkového ” ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ t´ ydne roku 1974. tehdy byla taˇzena ˇc´ısla ±° 11 ±° 22 ±° 23 ±° 24 ±° 27 ±° 37 .

3.5


Podle [6, str. 228] bylo toto zaˇr´ızen´ı pouˇz´ıváno v letech 1976–1988 s malou pˇrestávkou v letech 1979–1980. Z Obrázku 8 je patrné, ˇze toto zaˇr´ızen´ı fungovalo na podobném principu jako zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo v pˇredchoz´ıch letech. Opˇet se jednalo o otoˇcn´ y losovac´ı buben, kter´ y mˇel ve stˇredu ˇcást se sedmi pˇrihrádkami, ve kter´ ych bylo pˇred zaˇcátkem losován´ı vyrovnáno vˇsech 49 losovan´ ych ˇc´ısel. Tradice, která velela, ˇze losovat mus´ı jen v´ yznamn´ı hosté, coˇz uˇz byli nejen sportovci, ale stále ˇcastˇeji i kasteláni r˚ uzn´ ych hrad˚ u a zámk˚ u, byla dodrˇzena i u tˇechto losován´ı. Losuj´ıc´ı uvedl ovladaˇcem zaˇr´ızen´ı do chodu a vysypal m´ıˇcky do otoˇcného bubnu, kde se zaˇcaly prom´ıchávat. Pak podle svého uváˇzen´ı uvolnil pˇrepáˇzku, která oddˇelovala buben od prostoru, kter´ y byl vyhrazen pro losovaná ˇc´ısla (viz Obrázek 8). Zkoumané tahy jsou z obdob´ı 1976–1978 a 1981–1988. Pro nás to znamená, ˇze budeme analyzovat tahy od 1. sázkového t´ ydne roku 1976 aˇz po 52. sázkov´ y t´ yden roku 1978 a dále pak tahy od 2. sázkového t´ ydne roku 1981 aˇz po 52. sázkov´ y t´ yden roku 1988. Tˇechto tah˚ u je dohromady 568. Opˇet nás ˇceká anal´ yza ˇcetnost´ı jednotliv´ ych ˇc´ısel i skupin ˇc´ısel. Tyto skupiny budou opˇet tvoˇrit sedmice“ ” 39


520 516 512 508 504 500 496 492 488 484 480 476 472 468 464 460 456 452 448 444 440 436 432 I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VI

ˇ Obrázek 9: Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel pro sedmiˇclenné skupiny, I. je skupina ˇc´ısel 1, 8, . . . , 43, II. je skupina 2, 9, . . . , 44, atd. aˇz VII. je skupina 7, 14, . . . , 49 ²¯ ²¯ ²¯

²¯ ²¯ ²¯

1 ±° 2 · · · ±° 7 atd. aˇz ±° 44 ±° 45 · · · ±° 49 . Dalˇs´ı moˇznost, jak rozdˇelit tato ˇc´ısla do sedmi ±° ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ²¯ ˇ skupin je rozdˇelen´ı ±° 1 ±° 8 · · · ±° 43 atd. aˇz ±° 7 ±° 14 · · · ±° 49 . Cetnosti ovou tˇechto skupin v obou taz´ıch plnˇe odpov´ıdaj´ı naˇsim odhad˚ um. Nejzam´ıvˇejˇs´ı situace je asi ²¯ ²¯ ²¯

²¯ ²¯ ²¯

u druhého tahu skupiny ±° 1 ±° 8 · · · ±° 43 atd. aˇz ±° 7 ±° 14 · · · ±° 49 graf ˇcetnost´ı tˇechto skupin je na Obrázku 9. Maximáln´ı a minimáln´ı ˇcetnost pro hladinu pravdˇepodobnosti 95 % byly dopoˇc´ıtány podle vztah˚ u (43) a (45) na stranˇe 29. Podobn´ ymi u ´vahami, jako byly ty pro pˇredchoz´ı losovac´ı zaˇr´ızen´ı (na stranˇe 36) dojdeme k tomu, ˇze n = 568 · 6 = 3408, p =

1 7

a q =

6 . 7

Opˇet dopoˇc´ıtáme mininimáln´ı ˇcetnost k1 = 453 a

maximáln´ı ˇcetnost k2 = 519. Z Obrázku 9 je patrné, ˇze se ˇcetnosti vˇsech skupin veˇsli do intervalu, kter´ y jsme si vymezili minimáln´ı a maximáln´ı ˇcetnost´ı8 . Grafy podobn´ ych rozbor˚ u pro jiné typy sedmic“ jsou na pˇriloˇzeném CD v adresáˇri ” /TeX/grafy/. Jejich popis je v souboru README.txt na tomto CD. Jeˇstˇe se zamˇeˇr´ıme na ˇcetnosti jednotliv´ ych ˇc´ısel. Protoˇze nev´ıme, kdy pˇresnˇe k v´ ymˇenˇe zaˇr´ızen´ı doˇslo, budeme opˇet uvaˇzovat celé obdob´ı s v´ yjimkou let 1979– 1980, kdy se pouˇz´ıvalo jiné losovac´ı zaˇr´ızen´ı. Podle vztah˚ u (43) a (45) na stranˇe 29 8

Maximáln´ı ˇcetnost jsme zase zjistili s vyuˇzit´ım symetrie binomického rozdˇelen´ı [9]. V´ ypoˇcet

programem bc tentokráte trval 8 hodin, poˇc´ıtali jsme s pˇresnost´ı na tis´ıc desetinn´ ych m´ıst. V´ ypoˇcetn´ı algoritmus zˇrejmˇe nejv´ıce zamˇestnávaly v´ ypoˇcty velk´ ych kombinaˇcn´ıch ˇc´ısel typu µ ¶ µ ¶3000 3000 6 a mocniny s relativnˇe velk´ ym exponentem, napˇr. . 408 7

40

3.5 Losovac´ı zaˇr´ızen´ı z let 1976–1988 opˇet vypoˇc´ıtáme minimáln´ı a maximáln´ı moˇznou hodnotu ˇcetnosti, tedy ˇc´ısla k1 a k2 . Protoˇze v´ ysledky jsou v tomto pˇr´ıpadˇe zaj´ımavˇejˇs´ı m˚ uˇzeme si dovolit poˇc´ıtat dokonce na hladinˇe pravdˇepodobnosti 99 %. Vztahy (43) a (45) pak mus´ıme psát ve tvaru: k1 µ ¶ X n i=0

i

i n−i

pq

≤ 0,01

a

n µ ¶ X n i=k2

i

pi q n−i ≤ 0,01

(55)

kde k1 je ona hledaná minimáln´ı ˇcetnost na hladinˇe pravdˇepodobnost 99 %, k2 je ˇ ılsla p a q jsou pravdˇepomaximáln´ı ˇcetnost na hladˇeni pravdˇepodobnosti 99 %. C´ dobnosti pˇr´ıznivého a nepˇr´ıznivého jevu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe oznaˇc´ıme za pˇr´ızniv´ y jev vylosován´ı jednoho pevnˇe zvoleného ˇc´ısla. V kaˇzdém tahu losujeme 6 ˇc´ısel ze 49, pravdˇepodobnost vylosován´ı jednoho konkrétn´ıho ˇc´ısla je tedy p =

6 . 49

Nepˇr´ızniv´ y

jev je jev opaˇcn´ y, tedy nevylosován´ı onoho ˇc´ısla. Pro jeho pravdˇepodobnost mus´ı platit q = 1 −

6 49

=

43 , 49

coˇz je pochopitelné, uvˇedom´ıme-li si, ˇze si máme vybrat ˇ ıslo n je poˇcet losován´ı. jedno z ˇc´ısel, která nebyla vylosována. Tˇech je ale 43. C´ V tomto pˇr´ıpadˇe je n = 568. ˇ Pomoc´ı jednoduchého skriptu9 zjist´ıme, ˇze k1 = 51 a k2 = 87. Cetnosti jednotliv´ ych ˇc´ısel pro I. a II. tah jsou uvedeny v grafech na Obrázku 10. Hranici maximáln´ı a minimáln´ı ˇcetnosti pˇri pravdˇepodobnosti 95 % opˇet oddˇeluj´ı silnˇejˇs´ı ˇcáry. V´ ysledky jsou pˇrekvapivé. O zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo k losován´ı prvn´ıho tahu, i o zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo k losován´ı druhého tahu m˚ uˇzeme s 99 % ²¯ ˇ ıslo 6 bylo v prvn´ım tahu pravdˇepodobnost´ı ˇr´ıct, ˇze nelosovala spravedlivˇ e. C´ ±°

taˇzeno ˇcastˇeji, neˇz bychom s 99 % pravdˇepodobnost´ı oˇcekávali. Náˇs odhad nejvyˇsˇs´ı ²¯

ˇcetnosti byl 88, ˇc´ıslo ±° 6 bylo ovˇsem vylosováno 91krát. A z druhé strany: náˇs ²¯ ²¯

odhad doln´ı ˇcetnosti je 51, ˇc´ısla ±° 29 a ±° 34 se vˇsak do tohoto odhadu nevejdou. ²¯ ²¯ ˇ ıslo 29 bylo totiˇz vylosováno 49krát a ˇc´ıslo 34 bylo vylosováno dokonce jen C´ ±°

±°

48krát. Ke stejnému závˇeru bychom také mˇeli doj´ıt, pokud bychom podle vztahu (50) na stranˇe 31 poˇc´ıtali odhady pravdˇepodobnost´ı. Tyto odhady jsou pro oba dva tahy a pro kaˇzdé ˇc´ıslo uspoˇra´dány v Tabulce 13 v pˇr´ılohách na stranˇe 59. Pravdˇepodobnost vylosován´ı libovolného ˇc´ısla je v kaˇzdém tahu p =

6 49

= 0,122. Kaˇzd´ y

intervalov´ y odhad mus´ıme tedy srovnat s hodnotou 0,122. Intervaly, kam tato hodnota nepatˇr´ı, jsou opˇet vysázeny tuˇcn´ ym ˇrezem p´ısma. Hladinu pravdˇepodobnosti jsme volili také 99 %. Tento typ losovac´ıho zaˇr´ızen´ı zˇrejmˇe tedy nebyl dobˇre navrˇzen. To je moˇzná také d˚ uvod, proˇc se pouˇz´ıval jen necelé tˇri roky (mezi léty 1976–79). Pak bylo 9

Je na pˇriloˇzeném CD v adresáˇri /programy/cetnosti.bc

41


96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 58 56 54 52 50 48 46 44 42 40


42



toto zaˇr´ızen´ı nahrazeno jin´ ym, ponˇekud hluˇcnˇejˇs´ım, které se pouˇz´ıvalo pouze v letech 1979–80 [6, str 229]. Toto provizorn´ı zaˇr´ızen´ı je na Obrázku 11. Pouˇz´ıvalo se tedy jen krátkou dobu. Bohuˇzel nev´ıme, jestli to byly celé dva roky 1979 a 1980 nebo tˇreba jen 30 tah˚ u nˇekdy na pˇrelomu tˇechto let. Pokud bychom tedy toto zaˇr´ızen´ı chtˇely podrobit stejné statistické anal´ yze jako ostatn´ı zaˇr´ızen´ı, mˇeli bychom k dispozici historii maximálnˇe 104 tah˚ u, o kter´ ych bychom ani pˇresnˇe nevˇedˇeli, zdali jsou vˇsechny opravdu ony tahy, ve kter´ ych se toto zaˇr´ızen´ı pouˇz´ıvalo. Takov´ y rozbor by byl zat´ıˇzen pˇr´ıliˇs velkou statistickou chybou. Zaˇr´ızen´ı na Obrázku 11 tedy nebudeme analyzovat. Toto zaˇr´ızen´ı se podle [6] pouˇz´ıvalo tak krátkou dobu z d˚ uvodu nadmˇerné hluˇcnosti. Dalˇs´ı z d˚ uvod˚ u jistˇe také byla jistá nepr˚ uhlednost tohoto zaˇr´ızen´ı pˇred televizn´ımi kamerami. Pˇredchoz´ı zaˇr´ızen´ı byla vˇsechna um´ıstˇena vertikálnˇe tak, aby mˇel divák pˇrehled a pˇr´ıpadnˇe mohl jedn´ım letm´ ym pohledem ovˇeˇrit, zdali je v osud´ı vˇsech 49 losovac´ıch m´ıˇck˚ u. Toto provizorn´ı zaˇr´ızen´ı bylo ale v horizontáln´ı poloze, tud´ıˇz pomˇernˇe nepˇrehledné. O tom, zdali se losovalo spravedlivˇe, m˚ uˇzeme jen spekulovat. Ale potom, co uˇz v´ıme o pˇredchoz´ıch zaˇr´ızen´ıch, by bylo s podivem, kdyby Sazka toto zaˇr´ızen´ı odstranila jen kv˚ uli nadmˇernému hluku. Jistˇe je totiˇz mnohem jednoduˇsˇs´ı ztiˇsit chod tohoto zaˇr´ızen´ı neˇz vym´ yˇslet dalˇs´ı losovac´ı systém. O to vˇetˇs´ım pˇrekvapen´ım je, ˇze v letech 1980–1988 se Sportka losovala opˇet ze stejného osud´ı jako v letech 1976–1979. Dá se tud´ıˇz pˇredpokládat, ˇze toto osud´ı z˚ ustávalo stejné jen na prvn´ı pohled. Pˇr´ıpadné vnitˇrn´ı nerovnosti losovac´ıho 43



bubnu, ˇci jiné mechanické závady, které by mohly ovlivˇ novat ˇcetnosti jednotliv´ ych losovan´ ych ˇc´ısel, byly jistˇe odstranˇeny.

3.6


Od této doby aˇz dodnes pouˇz´ıvá Sazka k losován´ı v´ yhern´ıch ˇc´ısel jednotliv´ ych tah˚ u Sportky zaˇr´ızen´ı tohoto typu. Princip je jednoduch´ y: potom, co se m´ıˇcky sesypou do losovac´ıho bubnu, zaˇcne ve spodn´ı ˇca´sti tohoto bubnu foukat velmi siln´ y proud vzduchu. M´ıˇcky se tak v bubnu zaˇcnou vznáˇset a prom´ıchávat. To ovˇsem klade vysoké nároky na homogenitu jednotliv´ ych m´ıˇck˚ u. Ty jsou proto váˇzeny s pˇresnost´ı na miligramy [6]. V´ yhodou takov´ ychto osud´ı bylo to, ˇze mohla b´ yt témˇeˇr celá ze skla nebo pr˚ uhledného plastu, tud´ıˇz dokonale pˇrehledná. Prvn´ım typ takového zaˇr´ızen´ı je na Obrázku 12 (na fotografii losuje ˇctyˇrnásobn´ y olympijsk´ y v´ıtˇez Emil Zátopek). Mezi 2. sázkov´ ym t´ ydnem roku 1988 a 53. sázkov´ ym t´ ydnem 1993 vˇcetnˇe, bylo vylosováno pˇresnˇe 310 tah˚ u. Opˇet nás budou zaj´ımat ˇcetnosti jednotliv´ ych losovan´ ych ˇc´ısel. Podle vztah˚ u (43) a (45) na stranˇe 29 najdeme odhady maximáln´ı a minimáln´ı ˇcetnosti na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 %. Podle tˇechto vztah˚ u relativnˇe snadno zjist´ıme, ˇze nejmenˇs´ı pˇredpokládaná ˇcetnost je k1 = 28 a k2 = 48. V´ ysledky jsou pˇrehlednˇe uvedeny na Obrázku 13. Je vidˇet, ˇze ˇcetnosti jednotliv´ ych losovan´ ych ˇc´ısel v prvn´ım tahu nejsou moc vyrovnané. Vyˇsˇs´ı ˇcetnost, neˇz ²¯

²¯

je náˇs odhad maj´ı ˇc´ısla: ±° 1 , které bylo losováno 49krát, ±° 11 , které bylo losováno ²¯

²¯

53krát, ±° 26 , to bylo losováno pˇresnˇe 51krát a ˇc´ıslo ±° 37 , které bylo losováno 52krát. 44


56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10 1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1

3

5

7

9

11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

56 54 52 50 48 46 44 42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22 20 18 16 14 12 10

ˇ Obrázek 13: Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel pro I. a II. tah 1988-1993

45

3.7 Souˇcasné losovac´ı zaˇr´ızen´ı ²¯

²¯

Naopak niˇzˇs´ı ˇcetnost mˇela ˇc´ısla: ±° 6 , které bylo losováno 22krát, ±° 30 , které bylo ²¯

losováno 26krát, a koneˇcnˇe ˇc´ıslo ±° 46 , to bylo losováno pˇresnˇe ve 24 taz´ıch. ˇ Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel ve druhém tahu uˇz jsou malinko vyrovnanˇejˇs´ı. Naˇsim ²¯

odhad˚ um nevyhovuj´ı pouze ˇc´ısla ±° 6 , které bylo losováno 52krát (má tedy na ²¯

rozd´ıl od prvn´ıho tahu vyˇsˇs´ı ˇcetnost neˇz byl pˇredpoklad) a ˇc´ıslo ±° 17 , které se nevejde do naˇseho odhadu, protoˇze bylo vylosováno pouze 24krát, zat´ımco náˇs ²¯

minimáln´ı odhad je k1 = 28. A koneˇcnˇe ˇc´ıslo ±° 9 , které se tˇesnˇe nevejde do naˇseho odhadu, protoˇze bylo losováno jen 27krát. Ke stejnému závˇeru bychom také doˇsli pomoc´ı intervalov´ ych odhad˚ u pravdˇepodobnost´ı, které jsme sestavovali s pomoc´ı centráln´ı limitn´ı vˇety podle vztahu (50) na stranˇe 31. Tyto odhady jsou pro oba dva tahy a pro kaˇzdé ˇc´ıslo uspoˇra´dány v Tabulce 14 v pˇr´ılohách na stranˇe 60. Pravdˇepodobnost vylosován´ı libovolného ˇc´ısla je v kaˇzdém tahu p =

6 49

= 0,122. Kaˇzd´ y intervalov´ y odhad mus´ıme tedy

srovnat s hodnotou 0,122. Intervaly, kam tato hodnota nepatˇr´ı, jsou opˇet vysázeny tuˇcnˇe. Pokud bychom chtˇeli naˇse odhady zpˇresnit pro pravdˇepodobnost 99 %, pak by se do takového odhadu ˇcetnost´ı veˇsla vˇsechna ˇc´ısla. Je tedy patrné, ˇze se Sazka snaˇzila vyrábˇet ˇc´ım dál dokonalejˇs´ı losovac´ı zaˇr´ızen´ı, coˇz je pochopitelné. Ve srovnán´ı s pˇredchoz´ım zaˇr´ızen´ım, je ale vidˇet, ˇze doˇslo k podstatnému zlepˇsen´ı.

3.7

Souˇ casn´ e losovac´ı zaˇ r´ızen´ı

Zaˇr´ızen´ı, kter´ ym se losuje dodnes (je na Obrázku 14), se pouˇz´ıvá od roku 1993. Protoˇze zase nev´ıme, odkdy pˇresnˇe se toto zaaˇr´ızen´ı pouˇz´ıvá, budeme ve shodˇe s [6] povaˇzovat za prvn´ı tah tohoto zaˇr´ızen´ı, 2. sázkov´ y t´ yden roku 1993. Posledn´ım tahem, kter´ y máme k dispozici je tah v 15. t´ ydnu roku 2007. To je 745 losován´ı pro prvn´ı a stejn´ y poˇcet pro druh´ y tah. Tak jako v pˇredeˇsl´ ych pˇr´ıpadech, bude nás zaj´ımat, kolikrát bylo kaˇzdé ˇc´ıslo vylosováno. Zase najdeme minimáln´ı a maximáln´ı poˇcet losován´ı na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 %. Uˇz v´ıme, ˇze to jsou ˇc´ısla k1 a k2 ze vtah˚ u (43) a (45) V naˇsem pˇr´ıpadˇe je poˇcet tah˚ u n = 745, a pravdˇepodobnost vylosován´ı kaˇzdého ˇc´ısla v jednom tahu je p =

6 , 49

pravdˇepodobnost jevu opaˇcného je q = 1 −

6 49

=

43 . 49

Nejvˇetˇs´ı

ˇc´ıslo k1 , které jeˇstˇe vyhovuje nerovnici (43) je k1 = 76, nejmenˇs´ı ˇc´ıslo k2 , které jeˇstˇe vyhovuje nerovnici (45) je k2 = 106. Poˇcet vylosován´ı je u kaˇzdého ˇc´ısla znázornˇen v grafu na Obrázku 14. Horn´ı graf popisuje I. tah, doln´ı II. tah. Z graf˚ u na Obrázku 15 je vidˇet, ˇze o prvn´ım tahu m˚ uˇzeme ˇr´ıct, ˇze ˇcastˇeji, neˇz ²¯

bychom pˇredpokládali, byla losována ˇc´ıslo ±° 25 . To bylo taˇzeno 108krát, pˇritom od46

3.7 Souˇcasné losovac´ı zaˇr´ızen´ı

Obrázek 14: Zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvá dnes

had maximáln´ıho poˇctu vylosován´ı v 745ti taz´ıch je na hladinˇe pravdˇepodobnosti ²¯²¯

95 % roven 106. Ménˇe, neˇz bychom pˇredpokládali, byla taˇzena ˇc´ısla ±° 8 a ±° 39 . Obˇe byla zat´ım vylosována pouze 73krát, ale odhad minimáln´ıho poˇctu vylosován´ı je na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 % roven 76. Druh´ y tah uˇz je troˇsku vyrovnanˇejˇs´ı. V´ıce, neˇz bychom oˇcekávali, bylo taˇzeno ²¯

ˇc´ıslo ±° 17 (ˇcetnost jeho vylosován´ı pˇrevyˇsuje náˇs odhad jen o jedno vylosován´ı) a ²¯

ˇc´ıslo ±° 29 . To bylo vylosováno 111krát, ale náˇs odhad maximáln´ı ˇcetnosti je jen ²¯ ²¯

106. Do doln´ıho odhadu se ve druhém tahu tˇesnˇe neveˇsla ˇc´ısla ±° 3 a ±° 18 . Stejn´ y závˇer m˚ uˇzeme také uˇcinit, pokud bychom vyuˇzili centráln´ı limitn´ı vˇety. Odhady pravdˇepodobnost´ı pro vylosován´ı kaˇzdého ˇc´ısla tak m˚ uˇzeme naj´ıt v Tabulce 15. Pˇri jej´ım sestavován´ı jsme opˇet pro kaˇzdé ˇc´ıslo naˇsli intervalov´ y odhad, kter´ y jsme sestavili podle vztahu (50) na stranˇe 31. Pravdˇepodobnost vylosován´ı libovolného ˇc´ısla je v kaˇzdém tahu tak jako v ostatn´ıch taz´ıch p =

6 49

= 0,122.

Kaˇzd´ y intervalov´ y odhad jsme porovnali s hodnotou 0,122. Intervaly, kam tato hodnota nepatˇrila, jsou opˇet zv´ yraznˇeny tuˇcnˇe. Kaˇzd´ y tah je losován na jiném zaˇr´ızen´ı. O obou tedy m˚ uˇzeme prohlásit, ˇze s pravdˇepodobnost´ı 95 % nelosuj´ı spravedlivˇ e. I kdyˇz ˇcetnosti losovan´ ych ˇc´ısel jso u druhého tahu pomˇernˇe vyrovnané. Pokud bychom byli nároˇcnˇejˇs´ı a hladinu pravdˇepodobnosti posunuly na 99 %, pak by se poˇcty vylosován´ı vˇsech ˇc´ısel veˇsli do takov´ ychto odhad˚ u.

47


114 112 110 108 106 104 102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

114 112 110 108 106 104 102 100 98 96 94 92 90 88 86 84 82 80 78 76 74 72 70 68 66 64 62 60

ˇ Obrázek 15: Cetnosti losovan´ ych ˇc´ısel pro I. a II. tah (1993–souˇcasnost)

48

´ VYHERN ´ Í PORAD ˇ Í JEDNOTLIVA

4

Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı motivac´ı pro sázen´ı Sportky je asi pro vˇsechny sázej´ıc´ı vidina prvn´ıho ˇ poˇrad´ı. V prvn´ıch letech existence Sportky se v tehdejˇs´ım socialistickém Ceskoslovensku vedla celospoleˇcenská debata o tom, zdali je v˚ ubec sázková ˇcinnost ˇzádoc´ı pro socialistick´ y stát. Ale z toho, ˇze byla Sazka státn´ı loteri´ı, profitoval samozˇrejmˇe hlavnˇe tehdejˇs´ı státn´ı rozpoˇcet. Z vklad˚ u Sportky byly financovány tˇelov´ ychovné spolky a r˚ uzné sportovn´ı akce. Ani tato skuteˇcnost ale nezabránila tomu, aby byla v roce 1961 hlavn´ı v´ yhra ve Sportce sn´ıˇzena ze 40 tis´ıc na 15 tis´ıc korun. Za druhé poˇrad´ı se vyplácelo deset tis´ıc. Zv´ yˇseny byly naopak v´ yhry v ostatn´ıch v´ yhern´ıch poˇrad´ıch. Proti tomuto politickému rozhodnut´ı ale protestovala sázej´ıc´ı veˇrejnost, nebot’ sázkové obraty zaˇcaly prudce klesat. V roce 1960 ˇcinil roˇcn´ı obrat Sazky 781 milion˚ u korun, o rok pozdˇeji uˇz jen 455 milion˚ u a v roce 1962 uˇz to bylo dokonce jen 359 milion˚ u korun. Tento sestupn´ y trend potvrdil zásadu, ˇze sázej´ıc´ı maj´ı zájem pˇredevˇs´ım o v´ yhry v prvn´ım poˇrad´ı a zv´ yˇsen´ı velkého mnoˇzstv´ı v´ yher v nejniˇzˇs´ıch poˇrad´ıch o relativnˇe n´ızkou ˇca´stku je nechává chladn´ ymi. V roce 1963 bylo tedy toto dva roky staré opatˇren´ı pˇrehodnoceno a nejvyˇsˇs´ı v´ yhra Sportky byla stanovena na 80 tis´ıc korun. Vklady nedlouho po tomto rozhodnut´ı dosáhly hranice dvou miliard korun. Zvyˇsován´ı nejvyˇsˇs´ıch v´ yher pak pokraˇcovalo i v dalˇs´ıch letech. V roce 1965 uˇz byla nejvyˇsˇs´ı v´ yhra stanovena na 200 tis´ıc korun. K dalˇs´ımu nav´ yˇsen´ı v´ yhry v prvn´ım poˇrad´ı na 300 tis´ıc korun doˇslo v roce 1984 a od roku 1990 se uˇz hrálo o 500 tis´ıc. Od u ńora roku 1993 je v´ yˇse hlavn´ı v´ yhry neomezená a ˇr´ıd´ı se pouze vklady. [6] V roce 1993 byl také pro prvn´ı v´ yhern´ı poˇrad´ı zaveden princip Jackpotu. To znamená, ˇze pokud nikdo v daném losován´ı neuhodl vˇsech ˇsest ˇra´dn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a nikdo tedy nevyhrál v´ yhru v prvn´ım poˇrad´ı, navyˇsuje se pro pˇr´ıˇst´ı losován´ı v´ yhra v prvn´ım poˇrad´ı o nevyˇcerpanou ˇcástku ze vˇsech poˇrad´ı. Princip Jackpotu byl pro sázej´ıc´ı velmi zaj´ımav´ y, protoˇze nedlouho po jeho zaveden´ı se hlavn´ı v´ yhra mnohdy vyˇsplhala aˇz ke tˇriceti milion˚ um korun. Pozdˇeji nebyly v´ yjimkou hlavn´ı v´ yhry, které byly vyˇsˇs´ı neˇz magick´ ych sto milion˚ u korun. V takov´ ych pˇr´ıpadech zaˇc´ınaj´ı sázet i lidé, kteˇr´ı jinak Sportku zásadnˇe nesáz´ı.

4.1

Pravdˇ epodobnost v´ yhry v jednotliv´ ych poˇ rad´ıch

Zkoumejme nyn´ı, jaká je pravdˇepodobnost v´ yhry v jednotliv´ ych poˇrad´ıch. Z´ıskat v´ yhru v prvn´ım poˇ rad´ı znamená uhodnout vˇsech ˇsest ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel. Jaká je pravdˇepodobnost v´ yhry prvn´ıho poˇrad´ı? Poˇcet vˇsech moˇzn´ ych zp˚ usob˚ u, 49

4.1 Pravdˇepodobnost v´ yhry v jednotliv´ ych poˇrad´ıch jak se dá vybrat ˇsest ze 49ti ˇc´ısel je ˇsestiˇclenná kombinace ze ˇctyˇriceti dev´ıti prvk˚ u (vzah (8) na stranˇe 10) , tedy: µ ¶ 49 = 13 983 816. 6

(56)

Pˇr´ıznivá moˇznost je jenom jedna, vˇsechna tipovaná ˇc´ısla mus´ı b´ yt totiˇz taˇzena. Pravdˇepodobnost v´ yhry prvn´ıho poˇrad´ı je tedy: 1 1 . pI = µ ¶ = = 7,8 · 10−8 . 49 13 983 816 6

(57)

Dodejme, ˇze je to asi stejná pravdˇepodobnost, jako kdybychom pˇri 24 hodech minc´ı hodily samé ruby. Z´ıskat v´ yhru ve druh´ em poˇ rad´ı znamená uhodnout pˇet ze ˇsesti losovan´ ych ˇc´ısel a nav´ıc dodatkové ˇc´ıslo. Dodatkové ˇc´ıslo je v podstatˇe sedmé losované ˇc´ıslo, má smysl pouze pro v´ yhru ve druhém poˇrad´ı. Poˇcet vˇsech moˇzn´ ych zp˚ usob˚ u, jak tipovat ˇsest ze 49ti ˇc´ısel je opˇet stejn´ y, poˇc´ıtali jsme ho vztahem (56). Poˇcet vˇsech pˇr´ızniv´ ych pˇr´ıpad˚ u urˇc´ıme následuj´ıc´ı u ´vahou: Ze ˇsesti ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel jich mus´ıme uhodnout právˇe pˇet. Poˇcet vˇsech moˇznost´ı, jak vybrat zeµˇsesti ¶ 6 . ˇc´ısel pˇet, je stejn´ y jako poˇcet pˇetiˇclenn´ ych kombinac´ı z ˇsesti prvk˚ u, tedy: 5 Zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ıslo mus´ı b´ yt právˇe dodatkové ˇc´ıslo, je tedy urˇceno jednoznaˇcnˇe. Pro pravdˇepodobnost v´ yhry ve druhém poˇrad´ı tedy plat´ı: µ ¶ 6 6 5 . pII = µ ¶ = = 4,29 · 10−7 . 49 13 983 816 6

(58)

Tˇ ret´ı poˇ rad´ı z´ıská ten sázej´ıc´ı, kter´ y uhodne právˇe pˇet ˇra´dn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel. Kolik je takov´ ych tip˚ u? Opˇet nás tedy zaj´ımá, kolika usoby se dá vybrat µ ¶zp˚ 6 moˇznost´ı. Jeˇstˇe nám pˇet ze ˇsesti ˇc´ısel. Z pˇredchoz´ıho pˇr´ıpadu v´ıme, ˇze je to 5 ale zb´ yvá jedno ˇc´ıslo. Jaké m˚ uˇze b´ yt? V podstatˇe jakékoli, kromˇe ˇc´ısel, která byla vylosovaná. Kolik ˇc´ısel ze 49ti nebylo vylosováno? Losuje se ˇsest ˇc´ısel a jedno dodatkové, které to b´ yt nem˚ uˇze, protoˇze uˇz by sednalo o vyˇsˇs´ı v´ yhern´ı poˇrad´ı. Do 49ti zb´ yvá tedy jeˇstˇe 43 nevylosovan´ ych ˇc´ısel . Zb´ yvaj´ıc´ı ˇc´ıslo je tedy jedno z tˇechto 43 ˇc´ısel. Pro pravdˇepodobnost v´ yhry ve tˇret´ım poˇrad´ı tedy plat´ı: µ ¶ 6 43 · 258 5 . pIII = µ ¶ = = 1,84 · 10−5 . 49 13 983 816 6 50

(59)

4.2 Matematick´ y model v´ yˇse nejvyˇsˇs´ı v´ yhry V´ yherce ˇ ctvrt´ eho poˇ rad´ı mus´ı uhodnout právˇe ˇctyˇri losovaná ˇc´ısla. Kolik je tedy vˇsech pˇr´ızniv´ ych tip˚ u? Losuje se ˇsest ˇc´ısel, my z nich vyb´ırámeµˇctyˇ ¶ri, podobnˇe 6 jako v pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech bychom pˇriˇsli na to, ˇze je to právˇe moˇznost´ı. 4 Znovu se ale jeˇstˇe mus´ıme zamyslet nad t´ım, jaká mohou b´ yt ona zb´ yvaj´ıc´ı dvˇe tipovaná ˇc´ısla. Opˇet jakákoli, kromˇe tˇech, která byla losována. Páté ˇc´ıslo tedy m˚ uˇzeme vybrat 45 zp˚ usoby, a pro ˇsesté ˇc´ıslo zv´ yvá uˇz jen 44 zp˚ usob˚ u, pˇriˇcemˇz na poˇrad´ı tˇechto ˇc´ısel nezáleˇz´ı. Jinak ˇreˇceno: vybrat dvˇe ˇc´ısla ze 45 je moˇzno µ ¶ 45 · 44 45 = = 990 2 2

(60)

zp˚ usoby. Poˇcet vˇsech moˇzn´ ych tip˚ u je opˇet (56). Pro pravdˇepodobnost v´ yhry ve ˇctvrtém poˇrad´ı mus´ı tedy platit:

pIV

µ ¶ µ ¶ 6 45 · 14 850 . 4 2 µ ¶ = = 1,06 · 10−3 . = 49 13 983 816 6

(61)

Posledn´ı je p´ at´ e v´ yhern´ı poˇ rad´ı. Abychom vyhráli nejniˇzˇs´ı v´ yhru je tedy tˇreba trefit právˇe tˇri losovaná ˇc´ısla. Jakou máme pravdˇepodobnost, ˇze se tak stane? Opˇet budeme uvaˇzovat podobnˇe jako v pˇredcházej´ıc´ıch dvou pˇr´ıpadech. Napˇ ych ˇc´ısel ony tˇri v´ yhern´ı. To je moˇzné provést µ ¶red vybereme z ˇsesti vylosovan´ 6 zp˚ usoby. Zb´ yvaj´ıc´ı tˇri ˇc´ısla je tˇreba vybrat z tˇech, která nebyla vylosovaná. 3 µ ¶ 46 Tˇech je 46, máme tedy moˇznost´ı, jak m˚ uˇzeme vybrat zbylá tˇri nev´ yhern´ı 3 ˇc´ısla. A koneˇcnˇe pro pravdˇepodobnost nejniˇzˇs´ı moˇzné v´ yhry plat´ı: µ ¶ µ ¶ 6 46 · 303 600 . 3 3 µ ¶ = pV = = 2,17 · 10−2 . 49 13 983 816 6

(62)

To je o nˇeco málo v´ıc neˇz dvˇe procenta. Dá se tedy ˇr´ıct, ˇze nejniˇzˇs´ı poˇrad´ı vyhrává zhruba kaˇzd´ y padesát´ y.

4.2

Matematick´ y model v´ yˇ se nejvyˇ sˇ s´ı v´ yhry

Zkoumejme tedy nyn´ı, kam aˇz by mohl vystoupat jackpot, pokud by byla Sportka provozovována sto let podle pravidel, která plat´ı v souˇcasné dobˇe. Ta jsou nastavena tak, ˇze losován´ı prob´ıhá dvakrát t´ ydnˇe — kaˇzdou stˇredu a nedˇeli. Losuj´ı se vˇzdy dva tahy, pˇriˇcemˇz kaˇzd´ y tah má pro své prvn´ı poˇrad´ı vlastn´ı jackpot. V kaˇzdém tahu se vˇzdy ˇsest ˇrádn´ ych ˇc´ısel a jedno dodatkové. Dodatkové ˇc´ıslo 51

4.2 Matematick´ y model v´ yˇse nejvyˇsˇs´ı v´ yhry má smysl jen ve druhém poˇrad´ı, tj. pokud nˇekdo uhodne pˇet ze ˇsesti ˇra´dn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a zároveˇ n toto dodatkové ˇc´ıslo. Jackpot se ale dá vyhrát pouze v prvn´ım poˇra´d´ı. To znamená, ˇze v´ yherce jackpotu mus´ı uhodnout vˇsech ˇsest losovan´ ych ˇc´ısel (to jsou ona ˇrádná losovaná ˇc´ısla, mezi nˇeˇz nepatˇr´ı dodatkové ˇc´ıslo). Nejlépe to bude vidˇet na pˇr´ıkladu. Pˇredstavme si, ˇze se v nˇekterém ze stˇredeˇcn´ıch losován´ı hraje v prvn´ım poˇrad´ı prvn´ıho tahu o 83 milión˚ u korun a v prvn´ım poˇrad´ı druhého tahu napˇr´ıklad o 50 milión˚ u korun. Pˇredstavme si, ˇze v daném lososován´ı neuhodl v prvn´ım tahu vˇsech ˇsest ˇrádn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel nikdo a ve druhém tahu uhodli dokonce dva v´ yherci vˇsech ˇsest losovan´ ych ˇc´ısel. Kaˇzd´ y z nich pak vyhrává polovinu v´ yhry, to jest 25 milión˚ u korun. V následuj´ıc´ım nedˇeln´ım losován´ı bude jackpot v prvn´ım poˇrad´ı prvn´ıho tahu 83 milión˚ u plus jedna osmina penˇez vsazen´ ych v tomto stˇredeˇcn´ım losován´ı, ve druhém tahu se následuj´ıc´ı nedˇeli bude hrát jen o tuto jednu osminu z penˇez vsazen´ ych v tomto stˇredeˇcn´ım losován´ı. Pokud v nˇekterém tahu nepadne v´ yhra v prvn´ım poˇrad´ı, v pˇr´ıˇst´ım losován´ı se tato v´ yhra nav´ yˇs´ı o jednu ˇctvrtinu z penˇez vybran´ ych v tomto losován´ı (vˇetˇsinou tak dva aˇz tˇri milióny korun). V´ yhry ve tˇret´ım aˇz pátém poˇrad´ı také nejsou pevné, ale jsou urˇceny poˇctem v´ yherc˚ u a poˇctem vybran´ ych penˇez v daném tahu, ˇzádné jackpoty pro nˇe tedy neexistuj´ı. V´ yhru ve druhém poˇrad´ı z´ıská ten, komu se podaˇr´ı uhodnout pˇet ˇra´dn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel a ˇc´ıslo dodatkové. V´ yhra se vˇetˇsinou pohybuje kolem p˚ ul miliónu korun (v závislosti na poˇctu jej´ıch v´ yherc˚ u a poˇctu sázej´ıc´ıch). V´ yhru ve tˇret´ım poˇrad´ı z´ıskávaj´ı ti sázej´ıc´ı, kteˇr´ı uhodli pˇet ˇra´dn´ ych losovan´ ych ˇc´ısel, ve ˇctvrtém poˇrad´ı ˇctyˇri ˇrádná losovaná ˇc´ısla. Posledn´ı, páté poˇrad´ı, z´ıskáváj´ı ti, kter´ı uhodli tˇri ˇra´dná losovaná ˇc´ısla. Pro ilustraci zde uvedeme poˇcet v´ yherc˚ u v dan´ ych poˇrad´ıch a odpov´ıdaj´ıc´ı v´ yhry ve druhém tahu stˇredeˇcn´ıho losován´ı z 25. sázkového t´ ydne roku 200610 : Poˇrad´ı Poˇcet uhodnut´ ych ˇc´ısel

Poˇcet v´ yher

V´ yˇse v´ yhry [Kˇc]

I

6

1

27 302 959

II

5 + dodatkové

1

470 399

III

5

58

14 598

IV

4

2 639

427

V

3

45 275

83

10 ´

Udaje jsou pˇrevzaty z oficiáln´ı v´ yhern´ı listiny pro 25. sázkov´ y t´ yden roku 2006, která je

dostupná na oficiáln´ım webu akciové spoleˇcnosti Sazka.

52

4.2 Matematick´ y model v´ yˇse nejvyˇsˇs´ı v´ yhry Model v´ yˇ sky jackpotu Je známo, ˇze s pˇrib´ yvaj´ıc´ı v´ yˇskou jackpotu roste i poˇcet sázej´ıc´ıch. To má dva d˚ uvody. Ten nejprostˇs´ı je zkrátka ten, ˇze ˇclovˇeka vˇzdy pˇritahovaly pen´ıze, které je moˇzno bezpracnˇe z´ıskat. Druh´ y d˚ uvod je ten, ˇze s pˇrib´ yvaj´ıc´ı v´ yˇskou hlavn´ı v´ yhry rostou i prostˇredky, které Sazka utrat´ı za reklamu. Pokud je tato reklamn´ı kampaˇ n vedena d˚ uslednˇe, mˇela by oslovit kaˇzdého. Nav´ıc pokud jackpot pˇrekoná nˇejakou psychologickou hranici, ˇreknˇeme napˇr´ıklad 100 milion˚ u korun, zaˇcnou sázet i ti, kteˇr´ı jinak nikdy nesáz´ı. Je to také t´ım, ˇze sázec´ı horeˇcce“ propadá i jejich okol´ı ” Na pˇriloˇzeném CD je v adresáˇri /jackpot/model jackpotu.pl program, kter´ y modeluje r˚ ust jackpotu podle chován´ı sázej´ıc´ıch. T´ımto programem jsme simulovali losován´ı Sportky po celé jedno stolet´ı. Nejvyˇsˇs´ı v´ yhra v prvn´ım poˇrad´ı pak jednou vystoupala aˇz na 347 milion˚ u, podruhé (60 let potom) dokonce aˇz na 357 milion˚ u. Podrobn´ y popis algoritmu a ostatn´ı dokumentace je na pˇriloˇzeném CD.

53

5

´ ER ˇ ZAV

V této práci jsme se zamˇeˇrili na ˇc´ıselnou hru Sportka. V prvn´ı ˇca´sti jsme zkoumali tahy ve kter´ ych se objevovali r˚ uzné anomáln´ı“ jevy. Mezi nˇe patˇrili tahy s jednou ” ˇsestic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel, s jednou pˇetic´ı, ˇctveˇric´ı, ˇctveˇric´ı a dvojic´ı, jednou trojic´ı, dvˇema trojicemi, trojic´ı a dvojic´ı, tˇremi dvojicemi, dvˇema dvojicemi a jednou dvojic´ı. Také nás zaj´ımali tahy se sam´ ymi lich´ ymi, sud´ ymi, mal´ ymi a velk´ ymi ˇc´ısli. U kaˇzdého takového jevu jsme naˇsli celkov´ y poˇcet vˇsech takov´ ych tah˚ u. Ke konci této ˇca´sti jsme pˇredpovˇezené v´ ysledky srovnali se skuteˇcnou histori´ı tah˚ u. Z Tabulky 9 na stranˇe 23 bylo vidˇet, ˇze realita velmi dobˇre odpov´ıdá naˇsemu modelu. V´ yraznˇe se liˇsili pouze tahy, ve kter´ ych byl poˇcet nalezen´ ych anomáli´ı velmi mal´ y. Tyto nalezené ˇcetnosti jsou ale zat´ıˇzeny statistickou chybou. Tak tomu bylo napˇr´ıklad u poˇctu nalezen´ ych tah˚ u s pˇetic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. Tento tah jsme oˇcekávali jen jeden, bylo jich ale dvakrát tolik, tedy 2. Stejnˇe tak tomu bylo u tah˚ u s jednou ˇctveˇric´ı a jednou dvojic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel. U anomáli´ı“, ” které se objevovali ˇcasto (napˇr´ıklad tahy s jednou dvojic´ı po sobˇe jdouc´ıch ˇc´ısel) byl rozd´ıl mezi pˇredpovˇezenou a skuteˇcnou hodnotou v 6068 taz´ıch v ˇrádu desetin procent. Ve druhé ˇcásti jsme se zamˇeˇrili na jednotlivá losovac´ı zaˇr´ızen´ı. Vˇetˇsinu z nich jsme testovali na hladinˇe pravdˇepodobnosti 95 %. U kaˇzdého zaˇr´ızen´ı jsme pomoc´ı binomického rozdˇelen´ı naˇsli nejmenˇs´ı a nejvˇetˇs´ı moˇzn´ y poˇcet losovan´ ych ˇc´ısel. Pˇrekvapen´ım pro nás bylo, ˇze na hladinˇe pravdˇepodobnost 95 % se ˇzádné losovac´ı zaˇr´ızen´ı nejevilo jako spravedlivé. To bylo asi zp˚ usobeno t´ım, ˇze poˇcty tah˚ u pro jednotlivá zaˇr´ızen´ı, které jsme zkoumali, byly pomˇernˇe malé. Krátká historie tah˚ u pro kaˇzdé zaˇr´ızen´ı je nepochybnˇe i zámˇer provozovatele Sportky, moˇzná i právˇe proto se losovac´ı zaˇr´ızen´ı mˇenila tak ˇcasto. U losovac´ıho zaˇr´ızen´ı z let 1972–1976 jsme zjistili, ˇze s pravdˇepodobnost´ı 98 % znev´ yhodˇ novalo prvn´ıch sedm losovan´ ych ˇc´ısel. A s pravdˇepodobnost´ı 95 % m˚ uˇzeme tvrdit, ˇze naopak prostˇredn´ı sedmice“ ˇc´ısel byla losována ˇcastˇeji. ” O zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo v letech 1976–1988, s malou pˇrestávkou v letech 1979–1980, m˚ uˇzeme ˇr´ıct dokonce s 99 % pravdˇepodobnost´ı, ˇze nelosovalo spravedlivˇe. A to jak zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo k losován´ı prvn´ıho tahu, tak i pro zaˇr´ızen´ı, které se pouˇz´ıvalo pro losován´ı druhého tahu. To uˇz asi nebude zp˚ usobeno jen statistickou chybou. M˚ uˇzeme tedy skoro jistˇe ˇr´ıct, ˇze tato zaˇr´ızen´ı losovala nespravedlivˇe. Obˇe tato zaˇr´ızen´ı si byla podobná, jistˇe by se dalo spekulovat i o tom, ˇze taková losovac´ı zaˇr´ızen´ı jsou zat´ıˇzena velk´ ym mnoˇzstv´ım nepˇresnost´ı, kter´ ych by mohl ˇsikovn´ y sázej´ıc´ı vyuˇz´ıt. 54

V poslen´ı ˇca´sti jsme zjistili pravdˇepodobnosti v´ yher v jednotliv´ ych poˇrad´ıch. Na pˇriloˇzeném CD je také program, kter´ y modeluje r˚ ust jackpotu v prvn´ım v´ yhern´ım poˇrad´ı, podle chován´ı sázej´ıc´ıch. Pˇrekvapivé bylo, ˇze se jackpot mohl vyˇsplhat aˇz na 357 milion˚ u (dluˇzno ale dodat, ˇze se to stalo aˇz po 90ti letech historie této simulované Sportky). Tipy sázej´ıc´ıch a losovaná ˇc´ısla byly generovány kaˇzd´ y jin´ ymi algoritmy. Podrobn´ y popis vˇcetnˇe historie tah˚ u jednoho stolet´ı, kter´ y vyprodukoval tento model je na pˇriloˇzeném CD. Na tomto CD jsou také vˇsechny programy a skripty (samozˇrejmˇe s komentáˇri), které byly k sepsán´ı této práce potˇreba.

55

6 6.1

ˇ ÍLOHY PR Losovac´ı zaˇ r´ızen´ı z let 1957–1965 ˇc´ıslo

intervalov´ y odhad

ˇc´ıslo intervalov´ y odhad

1

h0.11156; 0.17970i

26

h0.07271; 0.13117i

2

h0.10936; 0.17704i

27

h0.09846; 0.16366i

3

h0.07059; 0.12843i

28

h0.09413; 0.15829i

4

h0.10717; 0.17437i

29

h0.09846; 0.16366i

5

h0.08981; 0.15289i

30

h0.09197; 0.15559i

6

h0.09846; 0.16366i

31

h0.08981; 0.15289i

7

h0.08981; 0.15289i

32

h0.07271; 0.13117i

8

h0.10282; 0.16902i

33

h0.09197; 0.15559i

9

h0.09197; 0.15559i

34

h0.08551; 0.14749i

10

h0.08257; 0.09703i

35

h0.09846; 0.16366i

11

h0.10282; 0.16902i

36

h0.10282; 0.16902i

12

h0.08981; 0.15289i

37

h0.08766; 0.15020i

13

h0.08766; 0.15020i

38

h0.07909; 0.13935i

14

h0.10282; 0.16902i

39

h0.09197; 0.15559i

15

h0.11594; 0.18502i

40

h0.08981; 0.15289i

16

h0.08336; 0.14478i

41

h0.07059; 0.12843i

17

h0.07271; 0.13117i

42

h0.09197; 0.15559i

18

h0.08551; 0.14749i

43

h0.10499; 0.17169i

19

h0.10064; 0.16634i

44

h0.10936; 0.17704i

20

h0.08123; 0.14207i

45

h0.06848; 0.12568i

21

h0.06638; 0.12294i

46

h0.09630; 0.16098i

22

h0.09630; 0.16098i

47

h0.10936; 0.17704i

23

h0.09630; 0.16098i

48

h0.08981; 0.15289i

24

h0.10282; 0.16902i

49

h0.06638; 0.12294i

49

h0.08123; 0.14207i

Tabulka 10: Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u (1957–1965)

56


6.2


ˇc.

odhad 1. tah

odhad 2. tah

ˇc.

odhad 1. tah

odhad 2. tah

1

h0,074; 0,170i

h0,069; 0,164i

26

h0,088; 0,189i

h0,069; 0,167i

2

h0,060; 0,150i

h0,038; 0,120i

27

h0,074; 0,170i

h0,034; 0,120i

3

h0,042; 0,123i

h0,088; 0,179i

28

h0,083; 0,183i

h0,038; 0,127i

4

h0,065; 0,157i

h0,065; 0,157i

29

h0,083; 0,183i

h0,112; 0,216i

5

h0,092; 0,195i

h0,116; 0,223i

30

h0,074; 0,170i

h0,102; 0,203i

6

h0,026; 0,113i

h0,092; 0,188i

31

h0,069; 0,163i

h0,092; 0,191i

7

h0,051; 0,137i

h0,092; 0,187i

32

h0,114; 0,218i

h0,069; 0,175i

8

h0,069; 0,163i

h0,097; 0,196i

33

h0,060; 0,150i

h0,078; 0,172i

9

h0,065; 0,157i

h0,088; 0,184i

34 h0,129; 0,233i

h0,060; 0,160i

10

h0,056; 0,143i

h0,074; 0,166i

35

h0,088; 0,189i

h0,047; 0,139i

11

h0,074; 0,170i

h0,088; 0,186i

36

h0,116; 0,227i

h0,097; 0,205i

12

h0,092; 0,195i

h0,078; 0,179i

37

h0,083; 0,183i

h0,069; 0,166i

13

h0,083; 0,183i

h0,078; 0,177i

38

h0,065; 0,157i

h0,051; 0,140i

14

h0,056; 0,143i

h0,051; 0,138i

39

h0,088; 0,189i

h0,065; 0,161i

15

h0,056; 0,143i

h0,069; 0,160i

40

h0,083; 0,183i

h0,042; 0,133i

16

h0,074; 0,170i

h0,083; 0,181i

41

h0,060; 0,150i

h0,056; 0,144i

17

h0,088; 0,189i

h0,083; 0,183i

42

h0,060; 0,150i

h0,102; 0,200i

18

h0,078; 0,176i

h0,078; 0,176i

43

h0,060; 0,150i

h0,056; 0,144i

19

h0,056; 0,143i

h0,129; 0,216i

44

h0,074; 0,170i

h0,078; 0,175i

20

h0,078; 0,176i

h0,060; 0,154i

45

h0,056; 0,143i

h0,068; 0,151i

21

h0,083; 0,183i

h0,047; 0,138i

46 h0,030; 0,103i

h0,116; 0,208i

22

h0,083; 0,183i

h0,102; 0,205i

47

h0,056; 0,143i

h0,078; 0,171i

23

h0,092; 0,195i

h0,056; 0,151i

48

h0,092; 0,195i

h0,051; 0,145i

24

h0,078; 0,176i

h0,074; 0,171i

49

h0,069; 0,163i

h0,088; 0,185i

25

h0,065; 0,157i

h0,069; 0,162i


57


6.3


ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

1

h0,104; 0,202i

h0,087; 0,182i

26

h0,063; 0,146i

h0,095; 0,185i

2

h0,063; 0,146i

h0,079; 0,166i

27

h0,051; 0,129i

h0,079; 0,163i

3

h0,067; 0,152i

h0,055; 0,138i

28

h0,087; 0,180i

h0,079; 0,170i

4

h0,067; 0,152i

h0,025; 0,099i

29

h0,083; 0,174i

h0,051; 0,136i

5

h0,048; 0,124i

h0,048; 0,124i

30

h0,087; 0,180i

h0,100; 0,194i

6

h0,087; 0,180i

h0,071; 0,161i

31

h0,108; 0,207i

h0,044; 0,130i

7

h0,051; 0,129i

h0,079; 0,163i

32

h0,075; 0,163i

h0,091; 0,182i

8

h0,059; 0,141i

h0,063; 0,146i

33

h0,067; 0,152i

h0,071; 0,157i

9

h0,079; 0,169i

h0,079; 0,169i

34

h0,120; 0,234i

h0,083; 0,181i

10

h0,104; 0,202i

h0,067; 0,158i

35

h0,059; 0,141i

h0,075; 0,160i

11

h0,087; 0,180i

h0,112; 0,208i

36

h0,083; 0,174i

h0,075; 0,165i

12

h0,087; 0,180i

h0,087; 0,180i

37

h0,087; 0,180i

h0,075; 0,165i

13

h0,071; 0,158i

h0,095; 0,186i

38

h0,063; 0,146i

h0,095; 0,185i

14

h0,067; 0,152i

h0,067; 0,152i

39

h0,091; 0,185i

h0,075; 0,166i

15

h0,079; 0,169i

h0,087; 0,178i

40

h0,055; 0,135i

h0,067; 0,149i

16

h0,055; 0,135i

h0,079; 0,164i

41

h0,063; 0,146i

h0,095; 0,185i

17

h0,095; 0,191i

h0,067; 0,157i

42

h0,083; 0,174i

h0,095; 0,189i

18

h0,079; 0,169i

h0,063; 0,150i

43

h0,091; 0,185i

h0,040; 0,120i

19

h0,059; 0,141i

h0,055; 0,136i

44

h0,087; 0,180i

h0,091; 0,185i

20

h0,067; 0,152i

h0,075; 0,162i

45

h0,029; 0,094i

h0,100; 0,181i

21

h0,091; 0,185i

h0,083; 0,176i

46

h0,095; 0,191i

h0,079; 0,172i

22

h0,112; 0,212i

h0,104; 0,203i

47

h0,104; 0,202i

h0,071; 0,163i

23

h0,079; 0,169i

h0,100; 0,193i

48

h0,087; 0,180i

h0,079; 0,170i

24

h0,063; 0,146i

h0,059; 0,142i

49

h0,075; 0,163i

h0,108; 0,201i

25

h0,079; 0,169i

h0,104; 0,197i


58


6.4

Losovac´ı zaˇ r´ızen´ı z let 1976–1988 ˇc.

odhad 1. tah

odhad 2. tah

ˇc.

odhad 1. tah

odhad 2. tah

1

h0,068; 0,154i

h0,060; 0,144i

26 h0,072; 0,159i

h0,080; 0,169i

2

h0,080; 0,170i

h0,037; 0,117i

27 h0,094; 0,139i

h0,109; 0,196i

3

h0,072; 0,159i

h0,088; 0,178i

28 h0,072; 0,159i

h0,044; 0,125i

4

h0,109; 0,209i

h0,060; 0,151i

29 h0,060; 0,142i h0,068; 0,120i

5

h0,092; 0,187i

h0,068; 0,158i

30 h0,117; 0,220i

h0,092; 0,191i

6

h0,126; 0,265i

h0,084; 0,174i

31 h0,088; 0,181i

h0,072; 0,162i

7

h0,080; 0,170i

h0,092; 0,185i

32 h0,080; 0,170i

h0,088; 0,180i

8

h0,076; 0,165i

h0,056; 0,141i

33 h0,084; 0,176i

h0,056; 0,142i

9

h0,064; 0,148i

h0,052; 0,133i

34 h0,056; 0,136i h0,034; 0,116i

10

h0,052; 0,131i

h0,096; 0,184i

35 h0,064; 0,148i

h0,084; 0,172i

11

h0,064; 0,148i

h0,080; 0,167i

36 h0,084; 0,176i

h0,080; 0,171i

12

h0,076; 0,165i

h0,080; 0,170i

37 h0,076; 0,165i

h0,064; 0,150i

13

h0,088; 0,181i

h0,096; 0,191i

38 h0,072; 0,159i

h0,101; 0,193i

14

h0,080; 0,170i

h0,109; 0,204i

39 h0,088; 0,181i

h0,096; 0,191i

15

h0,072; 0,159i

h0,076; 0,164i

40 h0,064; 0,148i

h0,092; 0,182i

16

h0,076; 0,165i

h0,064; 0,150i

41 h0,080; 0,170i

h0,060; 0,146i

17

h0,085; 0,201i

h0,068; 0,164i

42 h0,072; 0,159i

h0,076; 0,164i

18

h0,048; 0,125i

h0,080; 0,164i

43 h0,076; 0,165i

h0,084; 0,174i

19

h0,107; 0,213i

h0,096; 0,181i

44 h0,105; 0,203i

h0,052; 0,141i

20

h0,076; 0,165i

h0,088; 0,179i

45 h0,105; 0,203i

h0,092; 0,189i

21

h0,072; 0,159i

h0,064; 0,149i

46 h0,092; 0,187i

h0,072; 0,163i

22

h0,060; 0,142i

h0,060; 0,142i

47 h0,113; 0,214i

h0,052; 0,142i

23

h0,064; 0,148i

h0,072; 0,158i

48 h0,072; 0,159i

h0,076; 0,164i

24

h0,088; 0,181i

h0,117; 0,215i

49 h0,064; 0,148i

h0,072; 0,158i

25

h0,072; 0,159i

h0,084; 0,174i


59


6.5


ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

1

h0,141; 0,301i

h0,039; 0,176i

26

h0,108; 0,257i

h0,061; 0,199i

2

h0,061; 0,188i

h0,032; 0,150i

27

h0,025; 0,128i

h0,039; 0,147i

3

h0,084; 0,223i

h0,061; 0,194i

28

h0,025; 0,128i

h0,084; 0,205i

4

h0,084; 0,223i

h0,068; 0,204i

29

h0,046; 0,165i

h0,061; 0,184i

5

h0,039; 0,153i

h0,046; 0,162i

30

h0,029; 0,113i

h0,042; 0,134i

6

h0,018; 0,115i

h0,124; 0,250i

31

h0,084; 0,223i

h0,084; 0,223i

7

h0,116; 0,268i

h0,032; 0,162i

32

h0,084; 0,223i

h0,100; 0,242i

8

h0,046; 0,165i

h0,092; 0,222i

33

h0,053; 0,177i

h0,046; 0,167i

9

h0,051; 0,118i

h0,029; 0,119i

34

h0,053; 0,177i

h0,053; 0,177i

10

h0,068; 0,200i

h0,025; 0,142i

35

h0,025; 0,128i

h0,076; 0,195i

11

h0,136; 0,242i

h0,084; 0,221i

36

h0,039; 0,153i

h0,084; 0,210i

12

h0,046; 0,165i

h0,092; 0,222i

37

h0,131; 0,268i

h0,061; 0,201i

13

h0,061; 0,188i

h0,068; 0,198i

38

h0,025; 0,128i

h0,061; 0,176i

14

h0,061; 0,188i

h0,092; 0,227i

39

h0,084; 0,223i

h0,076; 0,213i

15

h0,092; 0,234i

h0,053; 0,186i

40

h0,039; 0,153i

h0,108; 0,239i

16

h0,046; 0,165i

h0,100; 0,232i

41

h0,084; 0,223i

h0,068; 0,204i

17

h0,092; 0,234i

h0,001; 0,109i

42

h0,061; 0,188i

h0,068; 0,198i

18

h0,068; 0,200i

h0,046; 0,171i

43

h0,066; 0,139i

h0,053; 0,156i

19

h0,053; 0,177i

h0,039; 0,157i

44

h0,039; 0,153i

h0,061; 0,181i

20

h0,068; 0,200i

h0,039; 0,162i

45

h0,025; 0,117i

h0,068; 0,186i

21

h0,084; 0,223i

h0,053; 0,185i

46

h0,068; 0,200i

h0,068; 0,200i

22

h0,076; 0,212i

h0,018; 0,135i

47

h0,025; 0,128i

h0,032; 0,137i

23

h0,032; 0,140i

h0,053; 0,169i

48

h0,046; 0,165i

h0,053; 0,174i

24

h0,061; 0,188i

h0,039; 0,159i

49

h0,046; 0,165i

h0,039; 0,155i

25

h0,046; 0,165i

h0,068; 0,193i


60


6.6

Souˇ casn´ e losovac´ı zaˇ r´ızen´ı

ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

ˇc´ıslo

odhad 1. tah

odhad 2. tah

1

h0,093; 0,147i

h0,087; 0,140i

26

h0,103; 0,158i

h0,098; 0,153i

2

h0,087; 0,139i

h0,106; 0,160i

27

h0,085; 0,137i

h0,078; 0,128i

3

h0,106; 0,162i

h0,070; 0,121i

28

h0,101; 0,156i

h0,104; 0,160i

4

h0,119; 0,177i

h0,111; 0,168i

29

h0,100; 0,154i

h0,127; 0,183i

5

h0,106; 0,162i

h0,089; 0,143i

30

h0,093; 0,147i

h0,089; 0,141i

6

h0,098; 0,152i

h0,098; 0,152i

31

h0,089; 0,141i

h0,093; 0,146i

7

h0,082; 0,133i

h0,082; 0,133i

32

h0,114; 0,171i

h0,095; 0,150i

8

h0,073; 0,121i

h0,087; 0,138i

33

h0,090; 0,143i

h0,082; 0,134i

9

h0,103; 0,158i

h0,100; 0,154i

34

h0,089; 0,141i

h0,075; 0,125i

10

h0,087; 0,139i

h0,089; 0,141i

35

h0,090; 0,143i

h0,098; 0,151i

11

h0,087; 0,139i

h0,109; 0,163i

36

h0,087; 0,139i

h0,104; 0,158i

12

h0,090; 0,143i

h0,095; 0,148i

37

h0,085; 0,137i

h0,100; 0,153i

13

h0,090; 0,143i

h0,108; 0,162i

38

h0,092; 0,145i

h0,098; 0,152i

14

h0,082; 0,133i

h0,089; 0,140i

39

h0,073; 0,121i

h0,109; 0,162i

15

h0,106; 0,162i

h0,085; 0,139i

40

h0,103; 0,158i

h0,112; 0,168i

16

h0,084; 0,135i

h0,081; 0,132i

41

h0,084; 0,135i

h0,104; 0,158i

17

h0,111; 0,167i

h0,124; 0,181i

42

h0,095; 0,148i

h0,090; 0,143i

18

h0,112; 0,169i

h0,070; 0,121i

43

h0,076; 0,125i

h0,090; 0,141i

19

h0,116; 0,173i

h0,087; 0,142i

44

h0,096; 0,150i

h0,109; 0,164i

20

h0,114; 0,171i

h0,106; 0,163i

45

h0,096; 0,150i

h0,093; 0,147i

21

h0,084; 0,135i

h0,116; 0,170i

46

h0,085; 0,137i

h0,109; 0,163i

22

h0,084; 0,135i

h0,106; 0,159i

47

h0,112; 0,169i

h0,095; 0,150i

23

h0,100; 0,154i

h0,089; 0,142i

48

h0,096; 0,150i

h0,093; 0,147i

24

h0,108; 0,164i

h0,082; 0,136i

49

h0,100; 0,154i

h0,087; 0,140i

25

h0,133; 0,188i

h0,081; 0,134i

Tabulka 15: Tabulka intervalov´ ych odhad˚ u (1993–souˇcasnost)

61


LITERATURA ´ , P.; Plocki, A.; Pravdˇepodobnost a statistika pro zaˇc´ [1] Tlusty ateˇcn´ıky a m´ırnˇe pokroˇcilé. Prometheus, Praha, 2007 [2] Plocki, A.; Stochastyka I. Wydavnictwo Naukowe WSP, Krakow, 1997 [3] Wichmann, B. A.; Hill I. D.; An efficient and portable number generator. Aplied Statisticks 31(2), 1982, p. 188-90 ´ , J.; Pravdˇepodobnost a statistika. Ostrava: [4] Pavelka, L.; Doleˇ zalova ˇ 1999 VSB, ˇ, V.; Matematika pro gymnázia: Kombinatorika, pravdˇe[5] Calda, E.; Dupac podobnost a statistika. Prometheus, Praha, 1993 [6] kolektiv autor˚ u; Evropské loterie a hry. Olympia, Praha, 1998 ˇek, J; Dolinova ´ , M.; Kasina, aneb co nev´ıte o nejrychlejˇs´ım hazardu. [7] Tuc Ikar, Praha, 2001 ˇispe ˇvatele ´ Wikipedie; Stˇredn´ı hodnota [online], Wikipedie: Otevˇrená [8] Pr encyklopedie, c2007, Datum posledn´ı revize 9. 04. 2007, 02:25 UTC, [citováno 20. 04. 2007] hhttp://cs.wikipedia.org/w/index.php?title= St%C5%99edn%C3%AD hodnota&oldid=1380132i ˇispe ˇvatele ´ Wikipedie, Binomické rozdˇelen´ı [online] , Wikipedie: Otevˇrená [9] Pr encyklopedie, c2007, Datum posledn´ı revize 7. 04. 2007, 17:33 UTC, [citováno 20. 04. 2007] hhttp://cs.wikipedia.org/w/index.php?title= Binomick%C3%A9 rozd%C4%9Blen%C3%AD&oldid=1376716i

62

Statistický rozbor hazardních her

Recommend Documents