Spolehlivost letadlové techniky

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství

Prof. Ing. Rudolf Holub, CSc. Doc. Ing. Zdeněk Vintr, CSc.

Spolehlivost letadlové techniky (elektronická učebnice)

Brno 2001

2

OBSAH

PŘEDMLUVA..................................................................................................................... 4 1

ÚVOD ............................................................................................................................ 5

2

STANDARDIZACE VE SPOLEHLIVOSTI ............................................................ 8 2.1 MEZINÁRODNÍ STANDARDY................................................................................. 8 2.2 ČESKÉ NORMY ................................................................................................... 10 2.3 VOJENSKÉ STANDARDY ..................................................................................... 10

3

TERMINOLOGIE POUŽÍVANÁ VE SPOLEHLIVOSTI ................................... 14 3.1 OBJEKTY ........................................................................................................... 14 3.2 VLASTNOSTI OBJEKTU ....................................................................................... 16 3.3 STAVY OBJEKTU ................................................................................................ 17 3.4 JEVY A ČINNOSTI ............................................................................................... 18 3.5 SLEDOVANÉ VELIČINY ....................................................................................... 19 3.6 UKAZATELE SPOLEHLIVOSTI.............................................................................. 21 3.7 FUNKCE OBJEKTU .............................................................................................. 31 3.8 PORUCHY .......................................................................................................... 32 3.9 PROGRAM SPOLEHLIVOSTI VÝROBKU ................................................................ 34

4

MATEMATICKÉ NÁSTROJE VE SPOLEHLIVOSTI ....................................... 38 4.1 NÁHODNÉ POKUSY A JEVY ................................................................................. 38 4.2 PRAVDĚPODOBNOST .......................................................................................... 41 4.3 NÁHODNÁ PROMĚNNÁ ....................................................................................... 44 4.4 MOŽNOSTI POPISU ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI NÁHODNÉ PROMĚNNÉ ...... 45 4.5 CHARAKTERISTIKY NÁHODNÝCH PROMĚNNÝCH - STATISTIKY .......................... 49 4.6 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ PROMĚNNÉ .............................. 51 4.7 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY ............................ 60 4.8 ERGODIČNOST ................................................................................................... 61

5

PREDIKTIVNÍ ANALÝZY SPOLEHLIVOSTI .................................................... 63 5.1 CÍLE PREDIKTIVNÍ ANALÝZY SPOLEHLIVOSTI SYSTÉMU ..................................... 63 5.2 METODOLOGICKÉ PŘÍSTUPY K ANALÝZE ........................................................... 64 5.3 ZÁKLADNÍ METODY ANALÝZY SPOLEHLIVOSTI.................................................. 65 5.4 HLAVNÍ KROKY PREDIKTIVNÍ ANALÝZY ............................................................ 65 5.5 HLAVNÍ CHARAKTERISTIKY PREDIKTIVNÍ ANALÝZY .......................................... 68

6

SPOLEHLIVOST NEOPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ......................................... 71 6.1 MODELOVÁNÍ BEZPORUCHOVOSTI SYSTÉMŮ ..................................................... 71 6.2 ZÁKLADNÍ TYPY NEOPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ ................................................. 77 6.3 SLOŽITĚJŠÍ MODELY NEOPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ ........................................... 90 6.4 ZVLÁŠTNOSTI SPOJENÉ SE SPECIFIKACÍ STRUKTURY SYSTÉMU .......................... 99

7

SPOLEHLIVOST OPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ ............................................ 102 7.1 VÝCHODISKA ANALÝZY SPOLEHLIVOSTI OPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ .............. 102 7.2 ZÁKLADNÍ POJMY POUŽÍVANÉ PŘI ANALÝZE PROSTORU STAVŮ ....................... 103 7.3 DIAGRAMY PŘECHODŮ MEZI STAVY ................................................................ 104

3 7.4 7.5 7.6

ZÁKLADY KVANTITATIVNÍ ANALÝZY DIAGRAMŮ PŘECHODŮ MEZI STAVY ...... 107 ANALYTICKÉ ŘEŠENÍ DIAGRAMU PŘECHODŮ MEZI STAVY ............................... 110 POHOTOVOST ZÁKLADNÍCH TYPŮ SYSTÉMU .................................................... 118

8

ANALÝZA ZPŮSOBŮ A DŮSLEDKŮ PORUCH............................................... 122 8.1 STRUČNÝ HISTORICKÝ PŘEHLED ...................................................................... 122 8.2 CHARAKTERISTIKA, CÍLE A MOŽNOSTI POUŽITÍ METODY ................................. 122 8.3 OMEZENÍ A NEDOSTATKY METODY FMEA...................................................... 124 8.4 VSTUPNÍ INFORMACE, POTŘEBNÉ PRO ANALÝZU. ............................................ 124 8.5 POSTUP PROVÁDĚNÍ ANALÝZY......................................................................... 126 8.6 DOKUMENTACE FMEA/FMECA .................................................................... 128

9

ANALÝZA STROMU PORUCHOVÝCH STAVŮ.............................................. 137 9.1 HISTORIE METODY........................................................................................... 137 9.2 CHARAKTERISTIKA, CÍLE A POSTUP PROVÁDĚNÍ METODY................................ 137 9.3 PŘÍPRAVNÁ ČÁST ANALÝZY............................................................................. 138 9.4 TVORBA STROMU PORUCHOVÝCH STAVŮ ........................................................ 140 9.5 KVALITATIVNÍ ANALÝZA STROMU PORUCHOVÝCH STAVŮ .............................. 142 9.6 KVANTITATIVNÍ ANALÝZA STROMU PORUCHOVÝCH STAVŮ ............................ 146

10 INTERFERENČNÍ TEORIE.................................................................................. 151 10.1 ÚVOD. ............................................................................................................. 151 10.2 STOCHASTICKÉ VLASTNOSTI NAMÁHÁNÍ A ODOLNOSTI ................................... 152 10.3 STATICKÝ MODEL INTERFERENCE NAMÁHÁNÍ A ODOLNOSTI ........................... 156 10.4 DYNAMICKÝ MODEL INTERFERENCE NAMÁHÁNÍ A ODOLNOSTI ....................... 163 11 ZKOUŠKY SPOLEHLIVOSTI.............................................................................. 173 11.1 ZÁKLADNÍ POJMY ............................................................................................ 173 11.2 ROZSAH ZKOUŠEK ........................................................................................... 175 11.3 URČOVACÍ ZKOUŠKY ....................................................................................... 180 11.4 OVĚŘOVACÍ ZKOUŠKY SPOLEHLIVOSTI ............................................................ 189 11.5 ZKOUŠKY SPOLEHLIVOSTI PROTOTYPŮ ............................................................ 191 12 LETCKÉ PŘEDPISY A STANDARDY ................................................................ 206 12.1 PŘEDPISY A STANDARDY PRO CIVILNÍ LETECKOU TECHNIKU V ČR .................. 206 12.2 MEZINÁRODNÍ PŘEDPISY A STANDARDY PRO CIVILNÍ LETECKOU TECHNIKU .... 211 12.3 PŘEDPISY A STANDARDY PRO VOJENSKOU LETECKOU TECHNIKU .................... 216 13 POLEHLIVOST A BEZPEČNOST LETECKÉ TECHNIKY............................ 219 13.1 POŽADAVKY NA BEZPEČNOST DOPRAVNÍHO LETOUNU A JEHO SOUSTAV ......... 219 13.2 POSTUP ANALÝZY BEZPEČNOSTI LETOUNU A JEHO SOUSTAV ........................... 221 13.3 KVALITATIVNÍ ANALÝZA................................................................................. 223 13.4 KVANTITATIVNÍ ANALÝZA .............................................................................. 227 POUŽITÁ LITERATURA ............................................................................................. 228 ODBORNÉ PUBLIKACE ............................................................................................... 228 ČESKÉ TECHNICKÉ NORMY Z OBLASTI SPOLEHLIVOSTI.............................................. 229 AMERICKÉ VOJENSKÉ NOREMY PRO OBLAST SPOLEHLIVOSTI .................................... 232 SPOJENECKÉ PUBLIKACE PRO BEZPORUCHOVOST A UDRŽOVATELNOST .................... 232 ZÁKONY, VYHLÁŠKY A LETECKÉ PŘEDPISY .............................................................. 233

4

PŘEDMLUVA Učebnice „Spolehlivost letadlové techniky“ poskytuje ucelený a poměrně široký přehled o problematice zabezpečování spolehlivosti a bezpečnosti složitých technických systémů se zaměřením na letadlovou techniku. Učebnice je určena především studentům magisterského studijního programu v oboru Letadlová technika na Leteckém ústavu FSI VUT v Brně, jako základní studijní literatura pro studium předmětu Spolehlivost letadlové techniky. Učebnice může také sloužit jako doplňková studijní literatura i studentům jiných technických oborů a široké uplatnění lze také předpokládat při řešení praktických problémů v oboru spolehlivosti letadlové techniky v běžné inženýrské praxi. Učebnice je zaměřena především na výklad teoretických základů spolehlivosti a na objasnění charakteru, základních principů a způsobů praktické aplikace často používaných metod a postupů. Zvláštní pozornost je věnována zejména problematice modelování bezporuchovosti složitých technických systémů a možnostem praktického provádění analýz jejich inherentní spolehlivosti a bezpečnosti. Velký prostor je v učebnici také věnován otázkám standardizace v oboru spolehlivosti a systému leteckých předpisů jako základním východiskům při zabezpečování vysoké provozní spolehlivosti a bezpečnosti letadlové techniky. Protože každá analýza spolehlivosti a bezpečnosti je založena na multidisciplinárních základech, jsou v textu použity jak zákony matematiky a logiky, tak i zákony z mnoha jiných, především technických vědních oborů. Proto se u čtenáře učebnice předpokládají odpovídající znalosti z těchto disciplín. Pro usnadnění zvládnutí předložené problematiky jsou v učebnici vyloženy základy teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky a logiky v rozsahu nezbytném pro pochopení prezentovaných modelů, postupů a metod. Učebnice je věcně členěna do řady relativně samostatných kapitol, které však na sebe logicky navazují a tvoří integrální celek, komplexně pokrývající celou problematiku zabezpečování spolehlivosti a bezpečnosti letadlové techniky. Vzhledem k tomu, že se významná část českého leteckého průmyslu již tradičně zaměřuje na produkci vojenské letadlové techniky je v učebnici věnována pozornost i zvláštnostem zabezpečování spolehlivosti u této techniky se specifickým určením. Autoři

5

1 ÚVOD Spolehlivost je pojem, který podobně jako řada jiných pojmů prošel složitým historickým vývojem a i dnes má celou řadu různých interpretací a je používán v nejrůznějších souvislostech. Pro účely tohoto učebního textu bude spolehlivost vždy chápána jako určitá vlastnost zkoumaných objektů (výrobků, systémů), která je předmětem našeho zájmu a kterou se s využitím analýz, prognóz, výpočtů, modelování, zkoušek a dalších nástrojů snažíme ovlivňovat. K lepšímu pochopení všech souvislostí a současného chápání významu spolehlivosti bude dobré stručně charakterizovat vývoj tohoto pojmu a vymezit současné pojetí spolehlivosti v širších souvislostech. K zásadnímu rozvoji v oblasti spolehlivosti objektů došlo zejména v posledních 30 letech, kdy došlo k intenzivnímu výzkumu v oblasti teorie spolehlivosti a k vývoji metod analýz spolehlivosti, výpočtových modelů, metod zkoušek spolehlivosti a dalších nástrojů, které umožňují cílevědomě spolehlivost objektů ovlivňovat Vznik samotného pojmu spolehlivost objektů se datuje zhruba do začátku 40-tých let, do období vývoje koncepčně nových, poměrně složitých zbraňových systémů. Jednalo se především o raketovou techniku vyvíjenou v Německu. Pro efektivní bojové nasazení této techniky, bylo třeba zajistit, aby raketa splnila požadovanou funkci, tedy doletěla k určenému cíli a zasáhla ho, s vysokou pravděpodobností. Tradiční postupy vývoje a výroby těchto raket nezaručovaly splnění požadavků na jejich spolehlivost. To přimělo projektanty aby se systematicky a na vědeckém základě zabývali spolehlivostí těchto raket. Tak byly zformulovány první zákony spolehlivé funkce sériových a paralelních systémů a podána první definice spolehlivosti. Ta definovala spolehlivost jako pravděpodobnost, s jakou bude objekt schopen plnit bez poruchy požadované funkce po stanovenou dobu a v daných provozních podmínkách. Předpokládalo se tedy, že objekt bude plnit požadované funkce bez poruchy. Z dnešního pohledu tedy definice hovoří pouze o bezporuchovosti. V angličtině byla takto pojatá spolehlivost označována pojmem Reliability. Tato definice se v uvedeném významu používala prakticky až do konce 60-tých let. Při pozdější praktické aplikaci této definice u složitých systémů se naráželo na jistá omezení a podmíněnost její platnosti. Především dostatečně dobře nevystihuje spolehlivost složitých opravovaných systémů, které se mohou v daném okamžiku nacházet v různých provozních stavech a tyto stavy s časem náhodně měnit. V nejširším významu pojmu spolehlivost musí proto její definice postihnout i další vlastnosti, činnosti a oblasti působnosti. Z těchto důvodů vznikla historicky druhá definice spolehlivosti. Ta definovala spolehlivost jako obecnou schopnost výrobku plnit požadované funkce po stanovenou dobu a v daných podmínkách, která se vyjadřuje dílčími vlastnostmi jako jsou bezporuchovost, životnost, opravitelnost, pohotovost apod. V definici se již nehovoří o pravděpodobnosti s jakou bude objekt plnit požadované funkce, ale obecně o jeho schopnosti je plnit. V definici se také již nehovoří pouze o bezporuchovosti, ale také o dalších vlastnostech. Spolehlivost je tedy definována jako obecná vlastnost, která má svoje další dílčí subvlastnosti, pro které také byly definovány konkrétní číselné ukazatele.

6 Pro označení takto definované spolehlivosti byl v angličtině ovšem i nadále používán pojem Reliability. To přinášelo jisté terminologické problémy, protože tento pojem byl v souladu s původní definicí spolehlivosti také používán k označení i bezporuchovosti. Pro bližší rozlišení obecného pojmu spolehlivost od pojmu bezporuchovost se používaly termíny spolehlivost „v širším“ a „užším“ významu. Tyto rozpory potom také byly jedním z důvodů vypracování další (a dosud poslední) definice spolehlivosti. V platné terminologické normě (ČSN IEC 50 (191)) je spolehlivost definována následujícím způsobem: Spolehlivost je souhrnný termín používaný pro popis pohotovosti a činitelů které ji ovlivňují: bezporuchovost, udržovatelnost a zajištěnost údržby. Tato definice reaguje na skutečnost, že schopnost objektu plnit požadované funkce není zpravidla determinována jen vlastnostmi samotného objektu, ale že významně tuto schopnost ovlivňují i vnější činitelé, například míra zajištěnosti požadované údržby. Opět je však pojem spolehlivost používán pouze pro obecný popis a takto definovanou spolehlivost nelze kvantifikovat a souhrnně vyjádřit žádným číselným ukazatelem. Její jednotlivé dílčí činitele, např. pohotovost, bezporuchovost a udržovatelnost však již kvantifikovaně hodnotit možné je pomocí konkrétních ukazatelů. V souvislosti se zavedením poslední definice spolehlivosti došlo i k významným terminologickým změnám. Spolehlivost je nyní v angličtině označována pojmem Dependability a původní pojem Reliability je již výhradně používán pouze pro označení bezporuchovosti. Pojem spolehlivost je často používán s různými přívlastky, přičemž takto vzniklé pojmy nejsou v platných terminologických normách definovány. Proto zde bude objasněn význam alespoň tří následujících pojmů které jsou pro technickou praxi důležité: •

Inherentní spolehlivost - je spolehlivost „vložená“ do objektu v průběhu jeho návrhu a výroby. Nezahrnuje zhoršující vlivy provozních podmínek, podmínek prostředí, způsobů údržby, lidského faktoru a pod.;

•

Provozní spolehlivost - je spolehlivost s uvážením vlivů provozních a jiných podmínek;

•

Odhadovaná (predikovaná) spolehlivost - je spolehlivost, která je výsledkem výpočtů, analýz a prognóz spolehlivosti projektovaného objektu. Je tedy výsledkem použitých metod odhadu, vstupních informací o spolehlivosti prvků, použitého výpočtového modelu spolehlivosti systému, schopností a možností analytika provádějícího odhad a pod. V nejširším významu je spolehlivost vnímána také jako věda o správné nebo nesprávné funkci objektu. Zkoumá tedy podmínky pro správnou (požadovanou) funkci nebo podmínky vzniku nesprávné funkce, možnostmi jejich ovlivňování, predikce, ověřování a měření. Dále se věda o spolehlivosti zaměřuje na zkoumání příčin a důsledků nesprávné funkce. Spolehlivost každého výrobku je v současnosti také chápána jako integrální součást celkového souhrnu znaků, které ovlivňují schopnost uspokojovat stanovené a předpokládané potřeby uživatele. Tuto schopnost souhrnně nazýváme jakost (kvalita). Vedle spolehlivosti zahrnuje jakost celou řadu dalších dílčích vlastností objektu (viz Obr. 1.1).

7

JAKOST

Technická Funkčnost

Spolehlivost

Ekologičnost

Bezpečnost

Ekonomičnost

Další znaky

Estetičnost

Obr. 1.1 Dílčí vlastnosti jakosti Kontrolní otázky k úvodu: 1. Charakterizujte význam spolehlivosti jako obecné vlastnosti výrobků. 2. Komentujte vývoj pojmu spolehlivost z historického hlediska. 3. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy Dependability a Reliability. 4. Vysvětlete rozdíl mezi inherentní a provozní spolehlivostí. 5. Charakterizujte význam spolehlivosti jako vědního oboru. 6. Popište význam spolehlivosti a její vztah k jakosti výrobků.

8

2 STANDARDIZACE VE SPOLEHLIVOSTI Neustálé zvyšování významu spolehlivosti jako jedné ze základních subvlastností jakosti mnoha výrobků se odráží i ve stavu technické normalizace. Různé nadnárodní organizace i jednotlivé vyspělé země usilují o zobecnění dlouholetých zkušeností a praktických poznatků získaných při zabezpečování spolehlivosti výrobků a jejich zpracování do formy různých doporučení a prakticky použitelných návodů (standardů), které mají umožnit racionalizaci všech činností v této oblasti. 2.1

Mezinárodní standardy

Rozhodující roli při standardizaci ve spolehlivosti hraje Mezinárodní elektrotechnická komise IEC (International Electrotechnical Commission). Tato organizace byla založena v roce 1904 s cílem podporovat mezinárodní spolupráci ve všech otázkách, které se týkají normalizace v oblasti elektrotechniky a elektroniky. Za tímto účelem IEC, kromě jiného, vydává mezinárodní normy. Příprava těchto norem probíhá v jednotlivých technických komisích (Technical Commission - TC). Vydávané normy vyjadřují v největší možné míře mezinárodní shodu v názoru na předmět jehož se týkají. Protože přijaté normy v některých případech přesahují rámec samotného oboru elektrotechniky a elektroniky a mají obecnější platnost, jsou využívány i v jiných oborech, zejména ve strojírenství. V roce 1963 vznikla v IEC nová Technická komise TC 56 nazvaná „Reliability and Maintainability“, na kterou Mezinárodní organizace pro normalizaci ISO delegovala povinnost zabezpečovat normalizaci v oblasti spolehlivosti. Název komise byl později s ohledem na vývoj definice spolehlivosti (viz kap.0) změněn na „Dependability“. Hlavní úlohou této komise je vývoj a udržování kompletní sady mezinárodních norem, které umožní Světovému společenství (World Community) specifikovat, analyzovat, zlepšovat, vyhodnocovat a jinými způsoby „ovládat“ spolehlivost výrobků. Činnost komise vychází ze dvou základních postulátů: 1) Zabezpečování spolehlivosti výrobku je třeba věnovat pozornost systematicky ve všech etapách jeho života, přičemž z logiky procesu vzniku, provozu a zániku výrobku lze jeho technický život rozdělit do šesti etap: •

Etapy volby koncepce a stanovení požadavků.

•

Etapy návrhu a vývoje.

•

Etapy výroby.

•

Etapy instalace.

•

Etapy provozu a údržby.

•

Etapy vypořádání.

2) Činnosti spojené se zabezpečováním spolehlivosti v jednotlivých etapách života musí být přiměřeně organizované (řízené) a je vhodné je uspořádat do programu spolehlivosti.

9 V souladu s těmito postuláty IEC/TC-56 během své činnosti vypracovala a v aktuálním stavu udržuje sadu norem, která pokrývá většinu problémů spojených se zabezpečováním spolehlivosti výrobků. Velice dobře a komplexně je zpracována problematika zkoušek bezporuchovosti v řadě norem IEC 650 (a některých dalších) a problematika zabezpečování udržovatelnosti v řadě norem IEC 706. Soubory těchto norem jsou v podstatě úplné a pokrývají řešenou problematiku ve všech jejich aspektech. Podrobně jsou také rozpracovány metody analýz spolehlivosti: •

Postup analýzy způsobů a důsledků poruch (FMEA) – IEC 812;

•

Analýza stromu poruchových jevů – IEC 1025;

•

Metoda blokového diagramu bezporuchovosti – IEC 1077;

•

Použití Markovových metod – IEC 1065.

Vymezení základních pojmů a definicí je zapracováno v Mezinárodním elektrotechnickém slovníku, Kapitola 191: Spolehlivost a jakost služeb (IEC 50). Od počátku devadesátých let začala IEC postupně vydávat také sadu norem IEC 300 nazvanou Management spolehlivosti a další normy na ni navazující, které se zabývají otázkami tvorby programu spolehlivosti a jeho realizací v jednotlivých etapách života výrobku. Jednotlivé národní či regionální standardizační organizace mohou za stanovených podmínek využívat mezinárodních norem IEC při tvorbě vlastních národních a regionálních norem a to buď tak, že příslušnou normu převezmou beze změny (přeloží do příslušného jazyka), nebo ji podle vlastních potřeb upraví. Každý rozdíl mezi normou IEC a odpovídající národní nebo regionální normou potom musí být v těchto normách jasně vyznačen. Část norem IEC byla beze změn převzata do systému standardů dalších mezinárodních organizací, z nichž k nejvýznamnějším patří Mezinárodní organizace pro normalizaci (normy ISO) a Evropská unie (Evropské normy EN). Zavedení norem IEC do systému Evropských norem má zvláště velký význam, protože každá norma, která byla schválena jako Evropská norma musí být zavedena ve všech členských zemích Evropské unie. V každé nově vydané Evropské normě je jednoznačně stanoven termín do kterého musí být EN zavedena na národní úrovni vydáním identické národní normy nebo schválena k přímému používání. Stejně tak je stanoven termín do kterého musí být zrušeny všechny konfliktní národní normy. Některé normy, které také s problematikou spolehlivosti souvisí byly vypracovány a jsou udržovány v aktuálním stavu přímo organizací ISO. Jedná se především o sadu norem ISO 9000 (Normy pro řízení a zabezpečování jakosti výrobků a služeb) a související normy, které jsou široce využívány. Certifikace výrobců podle těchto norem je běžnou realitou. I z pohledu těchto norem je spolehlivost chápána jako významná subvlastnost jakosti a věcně tyto normy nejsou v žádném rozporu s normami IEC. Dokonce norma IEC 300-1 (Management spolehlivosti. Část 1: Řízení programu spolehlivosti) se stala nedílnou součástí novelizovaného systému norem ISO 9000 jako norma ISO 9000-4 (Normy pro

10 řízení a zabezpečování jakosti. Část 4: Pokyny pro řízení spolehlivosti). Organizace ISO také vypracovala svoji názvoslovnou normu pro tuto oblast - ISO 8402 (Management jakosti a zabezpečování jakosti – Slovník). Všechny pojmy a definice uváděné v tomto slovníku jsou také v souladu s terminologií norem IEC. 2.2

České normy

Problematika standardizace v oblasti spolehlivosti začala být v bývalé ČSSR systematicky řešena již na počátku sedmdesátých let, přičemž tvorba norem byla značně ovlivňována naším členstvím v RVHP, proto se základem většiny vypracovaných norem staly normy této hospodářské organizace. S postupem doby však byly při tvorbě těchto norem stále více využívány i jiné zdroje a to zejména normy IEC, ISO a DIN. Tak byl postupně vypracován soubor norem, který řešil celou řadu problémů spojených se zajišťováním spolehlivosti, který ale tuto problematiku neřešil komplexně. Jde především o řadu praktických, často velmi dobře použitelných návodů pro realizaci zkoušek spolehlivosti a jejich vyhodnocení, pro sledování a vyhodnocování provozní spolehlivosti a o soubor popisů základních nástrojů spolehlivosti. Systematický přístup k řízení spolehlivosti ve všech etapách života výrobku zde však chybí. Zásadní změna v této oblasti nastává až po roce 1989, kdy se i u nás začala realizovat praxe zavádění mezinárodních norem beze změn. Takto převzaté normy jsou označovány původním označení s předřazením značky ČSN. Jedná se především o normy IEC, EN a ISO. Přehled takto zavedených norem je uveden v přehledu použité literatury. V současnosti je možné konstatovat, že naprostá většina platných mezinárodních norem z oblasti spolehlivosti je již jako Česká norma vydána a další normy jsou průběžně vydávány. 2.3

Vojenské standardy

Přes poměrně kvalitní a rozsáhlý systém mezinárodních i národních norem si některé vojensko-politické aliance i jednotlivé země vypracovaly a udržují soubory vojenských norem, které řeší specifické problémy ozbrojených sil a kde otázky spolehlivosti také nezůstávají stranou pozornosti. 2.3.1

Standardy NATO

Svůj vlastní standardizační systém si také buduje aliance NATO, jako důležitý prostředek členských států k efektivnímu kolektivnímu rozvoji ozbrojených sil a k jejich případnému efektivnímu použití. Standardizační dokumenty jsou zde vydávány ve dvojí formě. Buď jako tak zvané Standardizační dohody (Standardisation Agreement) které jsou označovány zkratkou STANAG a čtyřmístným číselným kódem, nebo jako tak zvané Spojenecké publikace (Allied Publications), které jsou označovány zkratkou podle příslušné oblasti, kterou upravují např. administrativa – AAP (Allied Administration Publication) a pořadovým číslem publikace. Standardizace v NATO je dobrovolnou činností a členské státy nejsou žádným způsobem nuceny se podílet na rozvoji standardizačních dohod, ani k tomu, aby je ratifikovaly a zaváděly. Vychází se zde z principu národní odpovědnosti - státy ratifikují a vykonávají standardizační dohody na základě vlastního rozhodnutí. Ratifikací státy

11 potvrzují vůli příslušný standard implementovat. Přičemž implementací se zde rozumí zajištění účinnosti příslušné standardizační dohody v dané zemi. To se zpravidla realizuje zavedením standardizační smlouvy do systému národních vojenských norem. K přípravě standardizačních dohod a spojeneckých publikací se v rámci NATO přistupuje pouze tehdy, nejsou-li určité konkrétní požadavky zajištěny uznávanými civilními nebo již existujícími vojenskými normami. V maximální míře jsou zde tedy respektovány a využívány zejména platné mezinárodní normy. V rámci NATO je obecně věnována velká pozornost otázkám zabezpečování jakosti vojenské techniky a materiálu. Základním východiskem v této oblasti jsou mezinárodní normy řady ISO 9000, které však nepokrývají všechny specifické aspekty vývoje, výzkumu, výroby, zkoušení a užití vojenské techniky a materiálu. Proto byl v rámci NATO připraven soubor spojeneckých publikací pro jakost – AQAP (Allied Quality Assurance Publication), které jsou v podstatě aliančním ekvivalentem norem ISO 9000. Publikace AQAP z těchto norem vychází, navazují na ně a upřesňují je pro specifické podmínky aliance. Mimo jiné tyto publikace zavádí některé nové prvky systému zabezpečování jakosti jako jsou management konfigurace, či státní ověřování jakosti. Soubor těchto publikací je zastřešen standardizační dohodou STANAG4107 –Vzájemné uznávání státního ověřování jakosti a používání spojeneckých publikací k ověřování jakosti (Mutual acceptance of government quality assurance and usage of the allied quality assurance publications). Podobně jako je do systému norem ISO 9000 začleněn systém norem pro spolehlivost IEC/TC56 i k sadě publikací AQAP byl připraven soubor publikací, zabývající se bezporuchovostí a udržovatelností vojenské techniky a materiálu ARMP (Allied Reliability and Maintainability Publications). Tento soubor vychází z mezinárodních norem pro spolehlivost, navazuje na ně a upřesňuje požadavky na řízení spolehlivosti ve specifických podmínkách. Soubor těchto publikací je zastřešen standardizační dohodou STANAG-4174 – Spojenecké publikace pro bezporuchovost a udržovatelnost (Allied Reliability and Maintainability Publications). Přehled těchto publikací je uveden v přehledu použité literatury. Česka republika obě výše uvedené standardizační dohody, týkající se otázek jakosti a spolehlivosti vojenské techniky, ratifikovala v roce 1999 a jejich požadavky tak musí být při realizaci dodávek pro AČR respektovány. 2.3.2

Národní vojenské standardy

Se speciálními vojenskými standardy zabývajícími se problematikou spolehlivosti se můžeme setkat v celé řadě zemí. Velice často se jedná jen o národní (jazykové) modifikace mezinárodních standardů, které jsou doplněny požadavky upřesňujícími rozsah a posloupnost provádění jednotlivých činností při zabezpečování spolehlivosti a jasně vymezujícími povinnosti smluvních stran s ohledem na legislativu příslušné země. Stejně tak se ale můžeme v jednotlivých zemích setkat s originálními vojenskými standardy, které nemají žádnou mezinárodní obdobu a které se zabývají velice specifickými problémy v této oblasti. Nejvýznamnějším producentem takovýchto standardů jsou Ozbrojené síly USA jejichž vojenské a obranné standardy označované MIL-STD, MIL-HDBK a DoD-STD se v řadě případů staly základem při tvorbě mezinárodních standardů. Vzhledem k vysoké

12 kvalitě a propracovanosti těchto standardů, které často mají charakter velice podrobných, snadno prakticky použitelných návodů, jsou často využívány i v jiných oborech a v zahraničí. Přehled těchto standardů z oboru bezporuchovosti a udržovatelnosti je uveden v přehledu použité literatury. U řady standardů z tohoto přehledu je uvedeno, že byly zrušeny – to znamená, že již dále nejsou závazné při realizaci dodávek pro Ozbrojené síly USA. Z části byly tyto standardy zrušeny proto, že příslušná problematika byla zapracována do jiných standardů a z části proto, že příslušná oblast byla pokryta jinými mezinárodními či národními standardy. Nicméně bez ohledu na tuto skutečnost jsou i tyto zrušené standardy stále velice často využívány v civilním sektoru a při organizaci a řízení obraných akvizicí mimo USA, naši republiku nevyjímaje. Obdobným způsobem, avšak zdaleka ne v takovém rozsahu jako USA vytváří a udržují systém národních vojenských standardů i další vyspělé země. Jako příklad zde uvedeme alespoň následující tři soubory často citovaných národních vojenských standardů: • Britské obranné standardy – označované DEF STAN; • Německé vojenské standardy – označované ZM-Leitfaden, ZM-Hilfsmittel; • Francouzské vojenské standardy – označované DGA. 2.3.3

České obranné standardy

Svůj systém vojenských standardů si buduje i Česká republika. V roce 2000 byl schválen Zákon č. 309/2000 Sb. o obranné standardizaci, katalogizaci a státním ověřování jakosti výrobků a služeb určených k zajištění obrany státu. Na základě tohoto zákona byl vybudován při Ministerstvu obrany Úřad pro obrannou standardizaci, katalogizaci a státní ověřování jakosti, který byl pověřen vydáváním Českých obranných standardů (ČOS). Tento úřad obstarává celou agendu spojenou s přistupováním naší země k jednotlivým Standardizačním dohodám, přičemž vlastní zavedení dohody (implementace) se zpravidla realizuje vydáním dohody ve formě ČOS. Tak se i standardizační dokumenty NATO pro oblast spolehlivosti stávají součástí národního standardizačního systému. Podle dikce zákona stanovují ČSO požadavky na výrobky a služby nebo na postupy při činnostech v oblasti operační, logistické a administrativní, které slouží k zajištění obrany státu. Ustanovení ČOS jsou tedy ve věcech týkajících se zajišťování obrany závazné a všichni dodavatelé armády jsou povinni se těmito standardy řídit.

13 Kontrolní otázky ke 2. kapitole: 1. Charakterizujte činnost IEC, její význam pro tvorbu mezinárodních standardů a principy, jimiž se ve své činnosti řídí. 2. Uveďte hlavní skupiny standardů, používaných v oboru spolehlivosti. 3. Definujte etapy technického života podle standardů IEC. 4. Charakterizujte současný stav a význam standardizace ve spolehlivosti. 5. Objasněte místo a úlohu Českých obranných standardů při zabezpečování spolehlivosti vojenské techniky. 6. Vysvětlete význam programů spolehlivosti pro zabezpečování spolehlivosti výrobků. 7. Charakterizujte soustavu norem, jimiž je upraveno zabezpečování spolehlivosti výrobků a služeb, určených pro vojenské použití v armádách členských zemí NATO.

14

3 TERMINOLOGIE POUŽÍVANÁ VE SPOLEHLIVOSTI Základem porozumění v každé oblasti lidské činnosti je jasné vymezení používaných termínů, které zajistí, že vždy, pokud se vyjadřujeme o věcech z dané oblasti a používáme stejných slov (termínů) myslíme skutečně totéž. Proto je i v oblasti spolehlivosti používané terminologii věnována velká pozornost s cílem sjednotit ji i na mezinárodní úrovni. V současné době se česká terminologie ve spolehlivosti řídí normou ČSN IEC 50 (191), která vznikla překladem Mezinárodního elektrotechnického slovníku, Kapitola 191: Spolehlivost a jakost služeb, který byl vypracován mezinárodní organizací IEC (viz kap. 2.1). Dalším důležitým dokumentem, který definuje některé významné pojmy týkající se spolehlivosti je norma ČSN ISO 8402 – Management jakosti a zabezpečování jakosti – Slovník. Mimo tyto dva základní dokumenty se také můžeme setkat s vymezením některých dalších specifičtějších pojmů v úvodu každé normy vypracované IEC nebo v MIL-STD a jiných normách. V tomto učebním textu je odborná terminologie používána v souladu s výše uvedenými normami. Pokud jsou někde použity pojmy, které nejsou v těchto normách uvedeny, je jejich význam na místě použití vysvětlen. Dále následuje přehled vybraných pojmů a jejich definicí v souladu s ČSN IEC 50 (191), jejichž znalost je pro zvládnutí učebního textu nezbytným předpokladem. Vlastní definice jsou uvedeny šikmým písmem a pokud je to vhodné, jsou doplněny komentářem. V některých případech jsou v komentářích uváděny dalších často používaný pojmy, které v příslušných normách nejsou definovány. U většiny pojmů je kromě českého termínu uveden také termín anglický a to především proto aby si studenti mohli rozšířit svoji slovní zásobu a byli i v této odborné oblasti připraveni k práci se zahraniční literaturou. 3.1

Objekty

Objekt (Entita) Jakákoliv část, součást, zařízení, část systému, funkční jednotka, přístroj nebo systém, s kterým je možné se individuálně zabývat. Objekt se může skládat z hardware, ze software nebo z obojího současně a v určitých případech do něho mohou být zahrnuti i lidé. V případě, že bude objekt zmiňován jako výsledek určitých činností nebo procesů, například návrhových, Subsystém vývojových, výrobních a pod., S1 Okolí systému bude nazýván výrobkem Prvek A (produktem). Při uvádění různých C praktických příkladů bude pojem F objekt, či výrobek podle potřeby nahrazován dalšími konkrétnějšími B E D pojmy jako např., letounu, palivová soustava, brzdový I Subsystém systém, čerpadlo, spínač, ložisko a Si pod. Pokud je na dané úrovni Subsystém Vazby S2 objekt považován za dále nedělitelný je označován jako Rozhraní systému prvek. Obr. 3.1 Struktura a vazebnost systému

15 Ve spolehlivosti je také často používán pojem systém (je také použit ve výše uvedené definici objektu), jehož definice v názvoslovných normách není uvedena. Pro potřeby tohoto učebního textu budeme systémem rozumět soubor prvků, určený k plnění předepsaných funkcí, charakterizovaný strukturou, vazebností mezi prvky a vztahem (vazbami) k okolí, přičemž tyto vazby mohou být hmotné (fyzikální), nehmotné, informační, abstraktní a jiné. Systém jako celek zahrnuje všechny prvky, materiály, služby, software, osoby a jejich dovednosti, které jsou potřebné k tomu, aby byl schopen plnit všechny požadované funkce ve všech očekávaných provozních podmínkách. Z uvedené definice logicky vyplývá, že nemáme-li specifikován účel (důvod jeho existence) pro který systém zavádíme a jeho funkčnost, chybí nám kritéria pro jeho vymezení, tj. definování na objektu. Samotným vymezením objektu není ještě definován žádný systém. A naopak, na jednom objektu můžeme účelově definovat prakticky neomezený počet systémů. Objekt na libovolné úrovni členění může být prvkem systému pokud u něj definujeme množinu funkcí a jeho vazby k danému systému. Z faktu, že systém je přesně definovaným souborem prvků vyplývá, že můžeme přesně identifikovat jeho rozhraní. Vymezení tohoto rozhraní je pro analýzu systému velmi důležité. Vymezení systému, jeho strukturovanosti a vazebnosti je naznačeno v Obr. 3.1. Ve vztahu k výrobku jsou rozlišovány dva subjekty, dodavatel a zákazník. Dodavatelem je zde označován subjekt (fyzická či právnická osoba), který poskytuje (prodává) výrobek zákazníkovi. Z definice je patrné že dodavatel nemusí být totožný se subjektem, který svými činnostmi nebo procesy výrobek vytváří, ale může to být například i obchodní organizace, či prodejce. Proto v případech kdy dodavatelem bude myšlen ten subjekt, který se bezprostředně podílí na návrhu, vývoji a výrobě výrobku, bude označován jako výrobce (producent). Zákazníkem se zde rozumí subjekt, který je příjemcem výrobku poskytnutého dodavatelem (subjekt, který výrobek kupuje). Pokud je zákazník s dodavatelem ve smluvním vztahu, který specifikuje podmínky poskytnutí výrobku, potom se zákazník označuje jako odběratel. V textu je také často používán pojem uživatel, kterým se zde rozumí subjekt (fyzická či právnická osoba) bezprostředně využívající objekt k plnění požadovaných funkcí. Zpravidla se předpokládá, že uživatel má k objektu jistý vlastnický vztah a že hradí (podílí se na hrazení) nákladů spojených s vlastnictvím objektu. Opravovaný objekt Opravitelný objekt, který se po poruše skutečně opravuje. U tohoto objektu pozorujeme v provozu proud po sobě jdoucích poruch a obnov až do okamžiku dosažení jeho mezního stavu. Neopravovaný objekt Objekt, který se po poruše neopravuje. Neopravovaný objekt může být opravitelný nebo neopravitelný. U takového objektu je doba do jeho první poruchy současně dobou do dosažení mezního stavu, tedy dobou užitečného života.

16 3.2

Vlastnosti objektu

Spolehlivost (dependability) Souhrnný termín používaný pro popis pohotovosti a činitelů, které ji ovlivňují: bezporuchovost, udržovatelnost a zajištěnost údržby. Podrobný komentář k tomuto pojmu je uveden v úvodu skript. Pohotovost (availability) Schopnost objektu být ve stavu schopném plnit požadovanou funkci v daných podmínkách, v daném časovém okamžiku nebo v daném časovém intervalu, za předpokladu, že jsou zajištěny požadované vnější prostředky. Pohotovost je komplexní vlastnost, zahrnující bezporuchovost, udržovatelnost a zajištěnost údržby. Vnějšími prostředky které jsou v definici uvedeny se rozumí prostředky údržby, jiné požadované vnější prostředky pohotovost neovlivňují. Bezporuchovost (reliability) Schopnost objektu plnit požadovanou funkci v daných podmínkách a v daném časovém intervalu. Obecně se předpokládá že na začátku časového intervalu je objekt ve stavu schopném plnit požadované funkce. Kritériem pro ukončení schopnosti plnit požadovanou funkci je nastoupení jevu porucha. Životnost (durability) Schopnost objektu plnit požadovanou funkci v daných podmínkách používání a údržby do dosažení mezního stavu. O ukončení schopnosti plnit požadovanou funkci zde rozhoduje mezní stav, což je stav při kterém musí být ukončeno používání objektu z technických, technologických, ekonomických, bezpečnostních či jiných závažných důvodů. Dosažením mezního stavu končí užitečný život objektu. Po dosažení mezního stavu se již neprovádí oprava. Kritéria určující dosažení mezního stavu musí být stanovena technickými podmínkami. U neopravovaných objektů je mezní stav dosažen v okamžiku nastoupení první poruchy (objekt se po poruše neopravuje) a doba provozu do této první (a současně poslední) poruchy je tedy rovna době užitečného života objektu (např. žárovka, ložisko, atd.). V případě opravovaných objektů se objekt po poruše opravuje přičemž počet oprav není formálně ničím omezen (z věcného hlediska může být limitován například ekonomicky, technologicky a pod.). Celkový užitečný život (životnost) opravovaného objektu je potom dán součtem dob provozu (mezi jednotlivými opravami) až do vzniku mezního stavu objektu. Udržovatelnost (maintainability) Schopnost objektu v daných podmínkách používání setrvat ve stavu, nebo vrátit se do stavu, v němž může plnit požadovanou funkci, jestliže se údržba provádí v daných podmínkách a používají se stanovené postupy. Jedná se tedy o schopnost objektu být udržován v provozuschopném stavu prováděním preventivní a nápravné údržby.

17 Zajištěnost údržby Schopnost organizace poskytující údržbářské služby zajišťovat podle požadavků v daných podmínkách prostředky potřebné pro údržbu podle dané koncepce údržby. Jde tedy o schopnost organizace zajišťující údržbu objektu zajistit všechny potřebné prostředky jako jsou náhradní díly, spotřební materiál, nářadí, přípravky, diagnostické prostředky, kvalifikované pracovníky atd. v souladu se stanovenou koncepcí údržby. 3.3

Stavy objektu

Provoz (operating state) Stav, kdy objekt plní požadovanou funkci Prostoj (non-operating state) Stav objektu kdy neplní požadovanou funkci Když hovoříme o prostoji, nesledujeme příčinu toho proč objekt neplní funkci, ale pouze skutečnost, že ji neplní. Příčinou prostoje může být jak porucha, provádění preventivní údržby či nezajištěnost vnějších zdrojů, tak i skutečnost že v daném okamžiku činnost objektu nevyžadujeme a proto jsme jeho provoz přerušili (viz Obr. 3.2). Použitelný stav (up state) Stav objektu charakterizovaný skutečností, že objekt může plnit požadovanou funkci za předpokladu, že vnější prostředky, jsou-li požadovány, jsou zajištěny. Neobsazený stav (free state). Nevyužitý stav (idle state) Prostoj objektu v použitelném stavu v době kdy není jeho funkce požadována. Poruchový stav (fault) Stav objektu charakterizovaný neschopností plnit požadovanou funkci, kromě neschopnosti během preventivní údržby nebo jiných plánovaných činností, nebo způsobený nedostatkem vnějších zdrojů. Poruchový stav je zpravidla výsledkem poruchy vlastního objektu, může však existovat bez předchozí poruchy. Jako opak k tomuto stavu se často používá termín bezporuchový stav, ve kterém se objekt nachází vždy když není v poruchovém stavu. Provozuneschopný stav (disabled state) Stav objektu charakterizovaný jeho neschopností z jakýchkoliv důvodů plnit požadovanou funkci. Provozuneschopný stav z vnějších příčin (external disabled state) Podmnožina provozu neschopných stavů, kdy je objekt v použitelném stavu, ale nemá požadované vnější prostředky, nebo je provozuneschopný z důvodů jiných plánovaných operací než je údržba. Provozuneschopný stav z vnitřních příčin (internal disabled state) Stav objektu charakterizovaný buď poruchovým stavem, nebo možnou neschopností plnit požadovanou funkci během preventivní údržby.

18 Prostoj Provozuneschopný stav

Provoz

Nevyužitý stav

Provozuneschopný stav Provozuneschopný z vnitřních příčin stav Preventivní Poruchový z vnějších příčin stav údržba

Použitelný stav

Nepoužitelný stav

Obr. 3.2 Klasifikace stavů objektu 3.4

Jevy a činnosti

Porucha (failure) Jev spočívající v ukončení schopnosti objektu plnit požadovanou funkci. Kritéria poruchy by měla být vymezena v technických podmínkách. Porucha je jevem, kterému je ve spolehlivosti věnována zvláštní pozornost. Proto je poruchám věnována zvláštní kapitola (viz kap 3.8). Obnova (restoration) Jev, kdy objekt po poruchovém stavu opět získá schopnost plnit požadovanou funkci. Údržba (maintenance) Kombinace všech technických a administrativních činností, včetně činností dozoru, zaměřených na udržení objektu ve stavu nebo navrácení objektu do stavu, v němž může plnit požadovanou funkci. Preventivní údržba (preventive maintenance) Údržba prováděná v předem určených intervalech nebo podle předepsaných kritérií a zaměřená na snížení pravděpodobnosti poruchy nebo degradace fungování objektu. Údržba po poruše (corrective maintenance) Údržba prováděná po zjištění poruchového stavu a zaměřená na uvedení objektu do stavu, v němž může plnit požadovanou funkci. Oprava (repair) Část údržby po poruše při níž se na objektu provádějí ruční operace. Oprava představuje souhrn činností, konaných po poruše za účelem navrácení objektu do použitelného stavu. Spočívá v detekci, lokalizaci a opravě poruchy a v kontrole správné funkce objektu po opravě.

19 3.5

Sledované veličiny

Doba provozu (operating time) Časový interval, během něhož je objekt v provozu. Vzájemný vztah pojmů „čas“ a „doba provozu“ vyplývá z následující poznámky. Dobou provozu rozumíme dobu, potřebnou k vykonání určitého rozsahu práce vykonané objektem. Může to být jakákoliv fyzikální veličina, vztažitelná k provozu, charakterizující tento provoz a sledovatelná technickými prostředky a měřitelná fyzikálními jednotkami. Podle okolností může být doba provozu měřena například v provozních hodinách, letových hodinách, ujetých kilometrech, litrech spotřebovaného paliva, počtech zátěžných cyklů, počtu vzletů a přístání, sepnutí nebo impulsů, počtech výstřelů ze zbraně a pod. Pojem „čas“, „časový interval“ je použit k obecnému pojmenování intervalu trvání doby provozu. S využitím doby provozu potom měříme dobu trvání (čas) různých stavů objektu a používáme ji k výpočtu konkrétních ukazatelů spolehlivosti. Dobu provozu obvykle označujeme symbolem t. Doba provozu do poruchy (time to failure): Celková doba provozu objektu od okamžiku jeho prvního uvedení do použitelného stavu až do poruchy, nebo od okamžiku obnovy do příští poruchy. U neopravovaných objektů je to doba do vzniku mezního stavu, takže tato doba vyjadřuje současně dobu technického života objektu a vztahuje se tedy k životnosti objektu. U složitých obnovovaných objektů tato doba nemá zpravidla větší praktický význam. Dobu do poruchy označujeme symbolem t1 nebo zkratkou anglického názvu TTF. Doba provozu mezi poruchami (operating time between failures) Celková doba provozu mezi dvěma po sobě jdoucími poruchami opravovaného objektu. Označuje se obvykle symbolem ti, kde i označuje pořadí doby mezi poruchami od okamžiku prvního uvedení objektu do použitelného stavu. Mezinárodní označení – TBF. Užitečný život (useful life) Časový interval začínající od daného časového okamžiku a končící v okamžiku , kdy intenzita poruch je nepřijatelná, nebo kdy je objekt v důsledku poruchového stavu považován za neopravitelný v daných podmínkách. Jinak řečeno jde o součet všech dob provozu od počátku až do vzniku mezního stavu. Často je tato doba také označována jako technický život objektu. Po ukončení užitečného života je objekt vyřazen z provozu. V některých případech může být na objektu po ukončení užitečného života provedena generální oprava, po níž je objekt opět schopen plnit požadovanou funkci. Užitečný život obvykle označujeme symbolem tŽ,. U neopravovaného objektu je užitečný život vždy roven době do první poruchy. Doba údržby (maintenance time) Časový interval, během něhož se provádí údržbářský zásah buď ručně, nebo automaticky, včetně technických a logistických zpožděních. V případě že nejsou uvažována logistická zpoždění ale pouze ta část doby údržby kdy se provádí vlastní údržbářský zásah hovoříme o době aktivní údržby. Podrobné členění doby údržby je patrné z Obr. 3.3.

20 Doba preventivní údržby (preventive maintenance time) Část doby údržby, během níž se na objektu provádí preventivní údržba, včetně technických a logistických zpoždění obsažených v preventivní údržbě. V případě že nejsou uvažována logistická zpoždění hovoříme o době aktivní preventivní údržby, kterou označujeme symbolem tpú. Doba údržby po poruše (corrective maintenance time) Část doby údržby, během níž se na objektu provádí údržba po poruše, včetně technických a logistických zpoždění obsažených v údržbě po poruše. V případě že nejsou uvažována logistická zpoždění hovoříme o době aktivní údržby po poruše. Doba opravy (repair time) Část doby aktivní údržby po poruše během níž se na objektu provádějí opravárenské práce. Dobu opravy můžeme dále rozdělit na dobu lokalizace porouchané části, dobu aktivní opravy během níž se provádí vlastní opravárenské operace a na dobu kontroly kdy se provádí kontrola funkce objektu. Dobu opravy označujeme symbolem too. Logistické zpoždění (logistic delay) Kumulovaná doba během níž se nemohou provádět údržbářské operace z důvodu nezbytného získání údržbářských prostředků, kromě administrativního zpoždění. Logistické zpoždění může být způsobeno například čekáním na náhradní díly, odborníky, zkušební zařízení, informace, vhodné podmínky prostředí a pod. Logistické zpoždění označujeme tL. Technické zpoždění (technical delay) Kumulovaná doba potřebná k provedení pomocných technických operací, které souvisí s údržbářským zásahem. Technické zpoždění spojujeme výhradně s údržbou po poruše. Zahrnujeme sem například čas potřebný k přesunu objektu na příslušné opravárenské pracoviště a zpět, očištění objektu před zahájením opravy a pod. Doba údržby Doba preventivní údržby

Doba údržby po poruše Doba aktivní údržby po poruše

Logistické zpoždění

Doba aktivní preventivní údržby

Doba opravy Technické zpoždění

Doba lokalizace porouchané části

Doba aktivní opravy

Doba aktivní údržby

Obr. 3.3 Schéma dob údržby

Doba kontroly


21 Pracnost údržby (maintenance man-hours) Kumulované trvání jednotlivých dob na údržbu, vyjádřené v normohodinách, využité veškerými pracovníky údržby pro daný typ údržbářského zásahu nebo během daného časového intervalu. Podle typu prováděné údržby dále rozlišujeme pracnost preventivní údržby a pracnost údržby po poruše (pracnost opravy). Pracnost údržby označujeme symbolem tpú, (pracnost preventivní údržby tppú, pracnost opravy tpo). Mezinárodní označení MMH. Doba do obnovy (time to restoration) Časový interval, během něhož je objekt v nepoužitelném stavu z vnitřních příčin z důvodu poruchy. Jedná se tedy o dobu od vzniku poruchy do okamžiku obnovy. Doba do obnovy se označuje mezinárodní zkratkou TTR. Doba použitelného stavu (up time) Časový interval, během něhož je objekt v použitelném stavu. Doba nepoužitelného stavu (down time) Časový interval, během něhož je objekt v nepoužitelném stavu. 3.6 3.6.1

Ukazatele spolehlivosti Pravděpodobnostní pojetí ukazatelů spolehlivosti

Platná terminologická norma [2] definuje ukazatel (measure) jako funkci nebo číselnou hodnotu používanou pro popis náhodné proměnné nebo náhodného procesu. Z definice je zřejmé, že ukazatele jsou ve spolehlivosti obecně chápany jako nástroje umožňující popis stochastických jevů a procesů, které charakterizují spolehlivost objektu. Pro lepší pochopení dalšího výkladu bude vhodné stručně připomenout některé základní poznatky z teorie pravděpodobnosti, které s problematikou ukazatelů spolehlivosti úzce souvisí. S každou náhodnou proměnnou je spojeno jisté pravidlo, které určuje s jakou pravděpodobností lze při realizaci příslušného náhodného pokusu očekávat nastoupení daného jevu. Například s jakou pravděpodobností můžeme očekávat, že u sledovaného objektu během určité doby provozu nastane porucha. Toto pravidlo nazýváme zákonem rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné, který může být u spojité náhodné proměnné vyjádřen například: • distribuční funkcí; • hustotou pravděpodobnosti; • intenzitou náhodného jevu; • kumulativní intenzitou náhodného jevu. U diskrétní náhodné proměnné zákon rozdělení pravděpodobnosti může být vyjádřen: • distribuční funkcí; • pravděpodobnostní funkcí.

22 Zákon rozdělení podává o náhodné proměnné obraz sice úplný, ale často dosti nepřehledný, komplikovaný a někdy i nepraktický. Proto při aplikaci často shrnujeme informaci o náhodné proměnné do jednoho nebo několika čísel, která proměnnou dobře charakterizují a jejichž způsob výpočtu je jednoznačně definován. Tato čísla nazýváme číselnými charakteristikami nebo statistikami. Z velkého množství charakteristik zde uvedeme pouze nejdůležitější, v praxi často používané, které popisují hlavní vlastnosti každého rozdělení, totiž polohu a variabilitu náhodné proměnné: • střední hodnota; • rozptyl; • směrodatná odchylka. Další významnou a velice často používanou charakteristikou náhodné proměnné je tzv. kvantil, což je hodnota náhodné proměnné, která rozděluje obor hodnot náhodné proměnné v určitém pravděpodobnostním poměru. S ohledem na výše uvedené, tedy ukazatelem spolehlivosti obecně může být: • funkce charakterizující zákona rozdělení pravděpodobnosti sledované náhodné proměnné; • číselná charakteristika rozdělení pravděpodobnosti sledované náhodné proměnné. V praxi je používána celá řada takových ukazatelů a jejich výběr pro použití u konkrétních objektů by měl být vždy volen tak, aby vybrané ukazatelé co nejlépe postihovaly charakter objektu, způsob jeho používání a dané provozní podmínky. Problematika ukazatelů spolehlivosti je u nás řešena dvěma platnými normami: • ČSN IEC 50 (191) Mezinárodní elektrotechnický slovník. Kapitola 191: Spolehlivost a jakost služeb. V této normě jsou uvedeny definice vybraných ukazatelů dílčích vlastností spolehlivosti a symboly pro jejich označení v souladu s mezinárodními zvyklostmi. Nejsou zde však uvedena žádná doporučení pro použití těchto ukazatelů. •

ČSN 010606 Spolehlivost v technice. Postup volby nomenklatury normovaných ukazatelů spolehlivosti. V této normě jsou taktéž uvedeny definice jednotlivých ukazatelů a jejich symbolická označení. Mimo to norma obsahuje postup, který umožňuje racionální výběr ukazatelů v závislosti na charakteru objektu, časovém režimu jeho provozu, závažnosti důsledků jeho poruch a způsobu omezení doby jeho použití. S využitím tohoto postupu je možné určit soubor (nomenklaturu) ukazatelů, který nejlépe charakterizují spolehlivost daného objektu.

Jistým problémem je skutečnost, že výše uvedené normy nejsou ve vzájemném souladu. Je použita odlišná terminologie, rozdílné označování ukazatelů a některé ukazatele jsou odlišně definovány. Přehled vybraných ukazatelů spolehlivosti z obou výše uvedených norem a některých dalších ukazatelů, které jsou v praxi často používány, je uveden v Tab. 3.1 a Tab. 3.2. V první tabulce jsou uvedeny ukazatele používané u neopravovaných objektů a ve druhé tabulce ukazatele opravovaných objektů. Zde bude vhodné připomenout, že u neopravovaných objektů je udržovatelnost charakterizována pouze ukazateli vztaženými k preventivní údržbě, protože u těchto objektů se provádění údržby po poruše nepředpokládá. Definice vybraných ukazatelů používaných k popisu jednotlivých subvlastností spolehlivosti včetně podrobnějšího komentáře jsou uvedeny v následujících kapitolách.

23 3.6.2

Ukazatele bezporuchovosti

Ukazatelem bezporuchovosti obecně rozumíme funkci nebo číselnou hodnotu používanou pro popis rozdělení pravděpodobnosti konkrétní sledované (náhodné) veličiny, která charakterizuje bezporuchovost objektu. Takovou náhodnou veličinou je například doba provozu do poruchy. Obecně však mohou být sledovány i jiné náhodné veličiny, například počet poruch, které se vyskytnou u jistého počtu neopravovaných objektů za danou dobu provozu apod. Přehled základních ukazatelů, které se v praxi pro popis bezporuchovosti objektů používají je uveden v příslušných technických normách. Dále budou uvedeny ty ukazatele bezporuchovosti, které jsou v praxi nejčastěji využívány. V závorce je vždy uveden odpovídající anglický termín. Pravděpodobnost bezporuchového provozu (reliability) Vyjadřuje pravděpodobnost, že objekt může plnit požadovanou funkci v daných podmínkách v daném časovém intervalu (t1, t2). Označení: R(t1, t2). Jestliže je bezporuchovost objektu sledována od samého počátku jeho uvedení do provozu t1 = 0, potom se pravděpodobnost bezporuchového provozu zjednodušeně označuje R(t). Intenzita poruch (failure rate) Vyjadřuje limitu poměru podmíněné pravděpodobnosti, existuje-li, že časový okamžik vzniku poruchy objektu leží v daném časovém intervalu (t, t+∆t), k délce časového intervalu ∆t, jestliže ∆t se blíží nule, za podmínky, že na začátku časového intervalu je objekt v použitelném stavu. Označení: λ(t) Pravděpodobnost bezporuchového provozu R(t) a intenzita poruch λ(t) popisují rozdílným ale teoreticky rovnocenným způsobem bezporuchovost objektu. Jestliže je znám jeden z těchto ukazatelů můžeme s jeho využitím vyjádřit i druhý:  t  R ( t ) = exp − ∫ λ ( x ) ⋅ dx   0 

(3.1)

V případě, že je intenzita poruch v čase konstantní (rozdělení dob mezi poruchami má exponenciální charakter) tj. λ (t) = λ platí: (3.2)

R ( t ) = exp(−λ ⋅ t )

Poznámka: Jestliže je splněna podmínka, že λ⋅t << 1, což například platí pro vznik poruch u vysoce spolehlivých objektů, je možné použít pro pravděpodobnost bezporuchového provozu přibližný vztah: R (t) = 1 − λ ⋅ t

(3.3)

Tento přibližný vztah je velmi snadno použitelný a za předpokladu splnění výše uvedené podmínky podstatně zjednodušuje výpočty a dává přijatelné výsledky.

24 Střední intenzita poruch (mean failure rate) Střední hodnota okamžité intenzity poruch v daném časovém intervalu (t1, t2). Označení: t

1 2 λ (t 1 , t 2 ) = λ ( t ) ⋅ dt t 2 − t 1 ∫t1

(3.4)

Střední doba do poruchy (mean time to failure) Vyjadřuje očekávanou dobu do poruchy. Označení: MTTF, t 1 Střední doba provozu mezi poruchami (mean time between failures) Očekávaná doba provozu mezi poruchami. Označení: MTBF, t Pro exponenciální rozdělení dob mezi poruchami platí: λ=

1 MTBF

(3.5)

Parametr proudu poruch (failure intensity) Je limita poměru, existuje-li, středního počtu poruch opravovaného objektu v časovém intervalu (t, t + ∆t) k délce tohoto intervalu ∆t, jestliže se délka časového intervalu blíží nule. Parametr proudu poruch lze vyjádřit vztahem: E[N( t + ∆t ) − N( t )] ∆t → 0 + ∆t

z( t ) = lim

(3.6)

kde N(t) je počet poruch v časovém intervalu (0, t) a E označuje očekávanou hodnotu. V případě, že náhodný proces vzniku poruch má exponenciální charakter s parametrem rozdělení λ je parametr proudu poruch v čase konstantní a platí: z( t ) = λ Střední parametr proudu poruch (mean failure intensity) Střední hodnota okamžitého parametru proudu poruch v daném časové intervalu (t1, t2). Střední parametr proudu poruch lze vyjádřit vztahem: t

z=

1 2 z ( t ) ⋅ dt t 2 − t1 ∫t1

(3.7)

25 3.6.3

Ukazatele udržovatelnosti

Ukazatelem udržovatelnosti obecně rozumíme funkci nebo číselnou hodnotu používanou pro popis rozdělení pravděpodobnosti konkrétní sledované (náhodné) veličiny, která charakterizuje udržovatelnost objektu. Takovou náhodnou veličinou zde zpravidla je doba provádění údržby objektu, může to však být i celá řada veličin jiného charakteru. Obecné členění doby údržby je patrné z Obr. 3.3. a charakteristika jednotlivých složek doby údržby je uvedena v kapitole 3.5. Přehled základních ukazatelů, které se v praxi pro popis udržovatelnosti objektů používají je uveden v příslušných technických normách. Dále budou uvedeny ty ukazatele udržovatelnosti, které jsou v praxi nejčastěji využívány. Intenzita opravy (repair rate) Limita poměru podmíněné pravděpodobnosti, existuje-li, že zásah údržby po poruše skončí v časovém intervalu (t, t +∆t), k délce tohoto časového intervalu ∆t, jestliže se ∆t blíží nule, za podmínky, že tato operace neskončila do začátku časového intervalu. Označení: µ(t) Jestliže rozdělení dob do obnovy má exponenciální charakter je intenzita oprav v čase konstantní a označujeme ji µ.

Střední intenzita opravy (mean repair rate) Střední hodnota okamžité intenzity opravy v daném časovém intervalu. Střední intenzitu opravy lze vyjádřit vztahem: t

µ (t 1 , t 2 ) =

2 1 ⋅ ∫ µ( t ) ⋅ dt t 2 − t 1 t1

(3.8)

Střední doba do obnovy (mean time to restoration) Očekávaná doba do obnovy. Označení: MTTR V případě, že je intenzita oprav v čase konstantní (rozdělení dob do obnovy má exponenciální charakter) tj. µ(t) = µ platí: µ=

1 MTTR

(3.9)

Pravděpodobnost doby aktivní údržby (maintainability) Pravděpodobnost, že daný aktivní údržbářský zásah může být proveden během stanoveného časového intervalu, jestliže se údržba provádí za stanovených podmínek s použitím stanovených postupů a prostředků. Označení: M(t1,t2) V angličtině se termín „maintaiability“ používá nejen k označení udržovatelnosti jako vlastnosti, ale také jako označení výše uvedené pravděpodobnosti.

26 Střední doba opravy (mean repair time) Očekávaná doba opravy. Označení: MRT Jedná se o očekávanou dobu během níž se na objektu provádí opravárenské operace, tj. vyhledání příčin poruchového stavu, jejich odstranění a provedení kontroly objektu. (viz Obr. 3.3). p-kvantil doby opravy (p-fractile repair time) Hodnota p-kvantilu doby opravy. Střední pracnost údržby (mean maintenance man-hour) Očekávaná pracnost údržby vyjádřená v normohodinách. Podle potřeby se může dále rozlišovat pracnost preventivní údržby a pracnost údržby po poruše. Podíl zjistitelných poruchových stavů (fault coverage) Podíl poruchových stavů objektu, které mohou být v daných podmínkách zjištěny. Podíl proveditelných oprav (repair coverage) Podíl poruchových stavů objektu, které mohou být úspěšně odstraněny opravou. Mimo výše uvedené ukazatele, které jsou pro popis udržovatelnosti doporučovány mezinárodními standardy IEC, se v praxi využívají ještě další účelové ukazatele postihující ekonomickou stránku údržby. Například kumulativní náklady životního cyklu výrobku, kumulativní náklady na údržbu, jednotkové náklady na údržbu (kumulativní náklady vztažené na jednotku doby provozu), střední náklady na opravu či preventivní údržbářský zásah apod. 3.6.4

Ukazatele zajištěnosti údržby

Ukazatelem zajištěnosti údržby obecně rozumíme funkci nebo číselnou hodnotu používanou pro popis rozdělení pravděpodobnosti konkrétní sledované (náhodné) veličiny, která charakterizuje zajištěnost údržby objektu. Takovou náhodnou veličinou zde zpravidla je doba logistických nebo administrativních zpoždění. Pro ukazatele zajištěnosti údržby je charakteristické, že zpravidla nepopisují vlastnosti objektu jako takového (jeho inherentní vlastnosti), ale většina z nich je ovlivňována především aplikovanou koncepcí údržby, systémem zásobování, administrativními postupy atd. Dále jsou uvedeny základní ukazatele zajištěnosti údržby. Střední administrativní zpoždění (mean administrative delay) Očekávané administrativní zpoždění. Označení: MAD p-kvantil administrativního zpoždění (p-fractile administrative delay) Hodnota p-kvantilu doby opravy.

27 Střední logistické zpoždění.(mean logistic delay) Očekávané logistické zpoždění. Označení: MLD p-kvantil logistického zpoždění (p-fractile logistic delay) Hodnota p-kvantilu logistického zpoždění. 3.6.5

Ukazatele pohotovosti

Spolehlivost opravovaných objektů je charakterizována především ukazateli pohotovosti, které komplexně popisují bezporuchovost a udržovatelnost opravovaných objektů. Ukazatelem pohotovosti obecně rozumíme funkci nebo číselnou hodnotu používanou pro popis rozdělení pravděpodobnosti konkrétní sledované (náhodné) veličiny, která charakterizuje pohotovost objektu. Takovou náhodnou veličinou například může být stav objektu, který se náhodně v čase mnění. Přehled základních ukazatelů, které se v praxi pro popis pohotovosti objektů používají je uveden v příslušných technických normách. Dále budou uvedeny ty ukazatele pohotovosti, které jsou v praxi nejčastěji využívány. V závorce je vždy uveden odpovídající anglický termín. Funkce okamžité pohotovosti (instantaneous availability) Vyjadřuje pravděpodobnost toho, že objekt je ve stavu schopném plnit v daných podmínkách a v daném časovém okamžiku požadovanou funkci za předpokladu, že jsou zajištěny požadované vnější prostředky. Označení: A(t). Funkce okamžité nepohotovosti (instantaneous unavailability) Vyjadřuje pravděpodobnost toho, že objekt není ve stavu schopném plnit v daných podmínkách a v daném časovém okamžiku požadovanou funkci za předpokladu, že jsou zajištěny požadované vnější prostředky. Označení: U(t). Protože funkční a nefunkční stav představují dva vzájemně komplementární jevy platí: (3.10)

U( t ) = 1 − A( t ) Součinitel střední pohotovosti (mean availability) Střední hodnota okamžité pohotovosti v daném časovém intervalu (t1, t2). Součinitel lze vyjádřit následujícím vztahem: t

2 1 A(t 1 , t 2 ) = ⋅ ∫ A( t ) ⋅ dt t 2 − t 1 t1

(3.11)

Součinitel střední nepohotovosti (mean unavailability) Střední hodnota okamžité nepohotovosti v daném časovém intervalu (t1, t2). Součinitel lze vyjádřit následujícím vztahem: t

2 1 U(t 1 , t 2 ) = ⋅ ∫ U( t ) ⋅ dt t 2 − t 1 t1

(3.12)

28 Součinitel asymptotické pohotovosti (asymptotic availability) Limita okamžité pohotovosti, pro účely modelování, existuje-li, jestliže se doba blíží nekonečnu. Představuje limitu okamžité funkce pohotovosti pro t → ∞. A = A(∞) = lim A( t )

(3.13)

t →∞

Jestliže má rozdělení dob mezi poruchami a dob do obnovy exponenciální charakter, můžeme součinitel asymptotické pohotovosti objektu vyjádřit následujícím vztahem: A=

MTBF µ = MTTR + MTBF λ + µ

(3.14)

Součinitel asymptotické nepohotovosti (asymptotic unavailability) Limita okamžité nepohotovosti, pro účely modelování, existuje-li, jestliže se doba blíží nekonečnu. Představuje limitu okamžité funkce nepohotovosti pro t → ∞: U = U(∞) = lim U( t )

(3.15)

t →∞

Za předpokladu exponenciálního rozdělení dob mezi poruchami a dob do obnovy lze součinitel asymptotické pohotovosti vyjádřit následujícím vztahem: U=

MTTR λ = MTBF + MTTR λ + µ

(3.16)

Součinitel asymptotické střední pohotovosti (asymptotic mean availability) Limita součinitele střední pohotovosti, existuje-li, v časovém intervalu (t1, t2), pro účely modelování, jestliže se t2 blíží nekonečnu. Představuje limitu součinitele střední pohotovosti pro t2 → ∞: A = lim A ( t 1 , t 2 )

(3.17)

t 2 →∞

Součinitel asymptotické střední nepohotovosti (asymptotic mean unavailability) Limita součinitele střední nepohotovosti, existuje-li, v časovém intervalu (t1, t2), pro účely modelování, jestliže se t2 blíží nekonečnu. Představuje limitu součinitele střední nepohotovosti pro t2 → ∞: U = lim U( t 1 , t 2 ) t 2 →∞

Střední doba použitelného stavu (mean up time) Očekávaná doba použitelného stavu. Označení MUT.

(3.18)

29

A 1

A(t)

U(t1) U( t1 , t 2 )

A( t1 , t 2 )

A(t1) 0

U

t1

t2

A t

Obr. 3.4 Vztahy mezi ukazateli pohotovosti Střední doba nepoužitelného stavu (mean down time) Očekávaná doba nepoužitelného stavu. Označení MDT

Tab. 3.1 Vybrané ukazatele spolehlivosti neopravovaných objektů Sledované vlastnosti


Ukazatelé spolehlivosti

Označení

Pravděpodobnost bezporuchového R(t) provozu λ(t) Bezporuchovost Doba provozu do Intenzita poruch poruchy Střední doba provozu do poruchy MTTF, t 1 p-kvantil doby do poruchy

Životnost

Doba užitečného Střední užitečný (technický) život (technického) p-kvantil užitečného (technického) života života

Doba preventivní Střední doba preventivní údržby údržby Pravděpodobnost provedení údržby Udržovatelnost Pracnost Střední pracnost preventivní údržby a zajištěnost preventivní údržby údržby Logistické zpoždění Střední logistické zpoždění p-kvantil logistického zpoždění

t1p tž

tžp t oú M(t1, t2) t ppú

MLD, t L tLp

30 Tab. 3.2 Vybrané ukazatele spolehlivosti opravovaných objektů Sledované vlastnosti


Bezporuchovost Doba provozu mezi poruchami

Ukazatelé spolehlivosti

Označení

Pravděpodobnost bezporuchového provozu Intenzita poruch Střední intenzita poruch

λ( t 1 , t 2 )

Parametr proudu poruch (okamžitý) Střední parametr proudu poruch

z(t) z( t 1 , t 2 )

R(t1, t2) λ(t)

Střední doba provozu mezi poruchami MTBF, t p-kvantil doby mezi poruchami tp Životnost

Doba užitečného (technického) života Doba údržby Doba preventivní údržby Doba opravy

Střední užitečný (technický) život

tž

p-kvantil užitečného života

tžp

Pravděpodobnost provedení údržby Střední doba preventivní údržby

µ (t) µ (t 1 , t 2 )

Střední doba opravy

MRT, t oo

Pracnost údržby Udržovatelnost a zajištěnost Pracnost preventivní údržby Střední pracnost preventivní údržby údržby Pracnost opravy Střední pracnost opravy


Pohotovost

t oú

Intenzita opravy (okamžitá) Střední intenzita opravy p-kvantil doby opravy Střední pracnost údržby

Doba údržby po poruše

M(t1, t2)

Střední doba do obnovy Střední logistické zpoždění

p-kvantil logistického zpoždění Střední doba použitelného stavu Střední doba nepoužitelného stavu Doba použitelného Okamžitá pohotovost stavu, Součinitel asymptotické pohotovosti Součinitel střední pohotovosti Doba nepoužitelného Okamžitá nepohotovost stavu Součinitel střední nepohotovosti Součinitel asymptotické nepohotovosti

tpo t pú t ppú

t po MTTR MLD, t L tLp MUT MDT A(t) A A(t 1 , t 2 ) U(t) U(t 1 , t 2 ) U

31 3.6.6

Hodnoty ukazatelů spolehlivosti

Vlastní číselné hodnoty ukazatelů spolehlivosti dělíme na řadu druhů, podle toho jakým způsobem byly stanoveny. Dále jsou uvedeny definice nejvýznamnějších z nich. Skutečná hodnota (true) Označuje ideální hodnotu, která charakterizuje veličinu přesně definovanou v podmínkách existujících v okamžiku, kdy je tato veličina pozorována. Této hodnoty by bylo možné dosáhnou jen tehdy, jestliže by byly vyloučeny všechny chyby měření a soubor výsledků měření by byl nekonečný, respektive v případě konečného souboru by byl vzat v úvahu celý soubor. Předpovězená hodnota (predicted) Označuje hodnotu přiřazenou veličině před tím, než je veličina skutečně pozorovatelná, počítanou na základě dříve pozorovaných nebo odhadovaných hodnot téže veličiny, nebo jiných veličin s použitím matematického modelu. Někdy je tato hodnota také označována termínem předpověď (prognóza). Odhadovaná hodnota (estimated) Označuje hodnotu získanou jako výsledek operace provedené za účelem přiřazení číselných hodnot k parametrům rozdělení vybraného jako statistický model ze souboru, z něhož byl tento výběr vzat. Výsledek odhadu může být vyjádřen buď jako jednotlivá číselná hodnota nazývaná bodový odhad, nebo jako konfidenční interval nazývaný intervalový odhad. Inherentní hodnota (inherent) Označuje hodnotu určenou za předpokladu ideálních podmínek údržby a provozu. Při stanovování této hodnoty se neuvažují žádná logistická ani technická zpoždění a předpokládá se že všechny vnější požadované zdroje jsou k dispozici. Provozní hodnota (operational) Označuje hodnotu určenou za daných podmínek provozu. Tato hodnota je stanovena na základě výsledků pozorování provozu objektu v reálných podmínkách. 3.7

Funkce objektu

V celé řadě z výše uvedených definic se setkáváme s pojmem funkce objektu a i v úvodu tohoto učebního textu bylo zdůrazněno, že správná či nesprávná funkce objektu je ve spolehlivosti předmětem zkoumání. Proto bude vhodné pojem funkce objektu a jeho chápání ve spolehlivosti podrobněji objasnit. Vlastní pojem funkce objektu není v normách pro spolehlivost definován, nicméně z kontextu jeho používání v těchto normách lze vyvodit, že funkce objektu je zde chápána jako činnost, respektive způsob činnosti prostřednictvím které objekt plní svůj účel. Je to důvod, pro který objekt existuje nebo má existovat. Pro možnosti přesnějšího vymezení funkce objektu je vhodné zavést jistou kategorizaci funkcí s ohledem na jejich význam. Obvykle se používá rozdělení funkcí objektu do tří následujících stupňů:

32 • • •

Hlavní funkce; Vedlejší funkce; Podpůrné funkce. Hlavní funkce vyjadřuje podstatu existence objektu. Pro realizaci této funkce byl objekt navržen a zejména plnění této funkce se od něj očekává. Vedlejší funkce specifikují u objektu další funkční vlastnosti, které zpravidla umožňují plnění hlavní funkce a doplňují hlavní funkci o konkrétní vlastnosti. Podpůrné funkce jsou takové, které nejsou pro vlastní výkon hlavní funkce nezbytně nutné, ale které zvyšují užitnou hodnotu objektu. Ve vztahu k funkci objektu se také často používá pojem úkol (mission), kterým se označuje zvláštní druh globálně pojaté funkce u velmi složitých systémů jejichž úkol v jednom okamžiku začíná a v jiném okamžiku končí. Úkol sestává z konečného a uceleného souboru funkcí, vykonávaných jednotlivě, souběžně nebo v posloupnosti za sebou jednotlivým objektem nebo souborem různých objektů, ale vždy za účelem splnění přesně definovaného globálního cíle. Splnění tohoto cíle se obvykle požaduje s předem vymezeným požadavkem na pravděpodobnost jeho úspěšného ukončení, nebo s nejvýše přípustným rizikem jeho selhání. 3.8

Poruchy

Jedním z nejvýznamnějších jevů, kterými se spolehlivost zabývá je porucha, která byla v kap. 3.4 definována jako jev spočívající v ukončení schopnosti objektu plnit požadované funkce. Tento jev a jeho zkoumání má ve spolehlivosti zásadní význam a pro potřeby analýz a hodnocení spolehlivosti je používán rozsáhlý systém kategorizace poruch podle různých hledisek. Dále je uvedeno základní třídění poruch podle normy ČSN IEC 50 (191). 3.8.1

Třídění poruch podle rychlosti vzniku

Postupná porucha (gradual failure) Porucha způsobená změnou daných charakteristik objektu v čase. Postupnou poruchu lze očekávat na základě předchozího zkoumání nebo sledování a někdy je jí možné předcházet preventivní údržbou. Typickým příkladem může být mechanické opotřebení součástí, které probíhá po celou dobu provozu a jeho vývoj je možné sledovat s využitím různými diagnostickými metodami (měření vůlí, tribodiagnostika, vibrodiagnostika apod.) Náhlá porucha (sudden failure) Porucha, která nemohla být očekávána na základě předchozího zkoumání nebo sledování. Do této kategorie například spadají poruchy způsobené únavou materiálu, které se projeví náhlým a úplným porušením součásti. 3.8.2

Třídění poruch podle stupně rozsahu

Úplná porucha (complete failure) Porucha způsobující úplnou neschopnost objektu plnit všechny požadované funkce.

33 Částečná porucha (partial failure) Porucha způsobující neschopnost objektu plnit některé, nikoliv však všechny požadované funkce. Do této kategorie patří také poruchy, kdy objekt sice plní všechny požadované funkce, ale při jejich plnění nedosahuje stanovených parametrů. K tomu aby bylo možné nastoupení takové poruchy identifikovat, musí být jednoznačně stanoveny přípustné limity provozních parametrů objektu. 3.8.3

Třídění poruch podle příčiny

Příčinou poruchy se zde rozumí okolnosti během vývoje, návrhu, výroby, nebo používání objektu, které vedly k poruše. Nezávislá (primární) porucha (primary failure) Porucha objektu nezpůsobená přímo ani nepřímo poruchou nebo poruchovým stavem jiného objektu. Prvotní porucha objektu je výslednicí příčin, inherentně obsažených pouze uvnitř objektu a nikoliv jako důsledek poruchy jiných objektů systému. Prvotní porucha může mít svoje inherentní příčiny například v provozním opotřebení, konstrukčním návrhu, chybném výpočtu, nevhodné technologii, montáži, nebo jiných technických aspektech. Závislá (sekundární) porucha (secondary failure) Porucha objektu způsobená buď přímo, nebo nepřímo poruchou nebo poruchovým stavem jiného objektu. Například pokud praskne tlakové potrubí v důsledku překročení maximálního povoleného tlaku, které bylo způsobeno poruchou regulace tlaku jedná se o závislou poruchu. Porucha z nesprávného použití (misuse failure) Porucha způsobená používáním objektu během namáhání překračujícím stanovenou způsobilost objektu. Například pokud je elektromotor čerpadla přetěžován (čerpadlo pracuje s vyšším než dovoleným tlakem) a dojde k poškození elektromotoru jedná se o poruchu z nesprávného použití. Porucha z nesprávného zacházení (mishandling failure) Porucha způsobená nesprávným zacházením s objektem nebo nedostatkem péče o objekt. Například pokud ve stanovených lhůtách není vyměňován a doplňován olej ve spalovacím motoru a v důsledku toho dojde k jeho zadření, jedná se o tuto poruchu. Konstrukční porucha (design failure) Porucha způsobená nesprávným návrhem, projektem nebo konstrukcí objektu. Výrobní porucha (manufacturing failure) Porucha způsobená neshodou výrobního provedení nebo určených výrobních postupů s návrhem objektu.

34 Porucha způsobená stárnutím (ageing failure) Porucha jejíž pravděpodobnost výskytu vzrůstá s časem jako důsledek vnitřních procesů v objektu. Příčinou takovéto poruchy může být celá řada fyzikálních, chemických a dalších jevů, které se projevují například změnou vlastností materiálů nebo jejich únavou. 3.8.4

Klasifikace poruch podle důsledků

Poruchy, které mohou u objektů a jejich prvků nastat mohou mít velmi rozdílné důsledky, které se obvykle hodnotí ve dvou úrovních: • V první úrovni se hodnotí vliv poruch na charakter, časový průběh a rozsah funkcí plněných vlastním objektem či systémem jehož je součástí. Kritériem závažnosti důsledku poruchy zde potom je míra snížení funkčnosti objektu či systému. • Ve druhé úrovni se hodnotí, zda nastoupení poruchy může také, mimo omezení funkčnosti objektu, vést i k dalším nepřijatelným následkům, jako například k ohrožení zdraví a životů lidí, vzniku velkých materiálních škod, vzniku ekologických škod a pod. V mezinárodních normách a předpisech a v odborné literatuře se můžeme setkat s celou řadou způsobů hodnocení důsledků poruch, které se liší podle účelu hodnocení, oboru použití, charakteru posuzovaných objektů atd. Vybrané způsoby hodnocení důsledků poruch a možnosti jejich praktické použití jsou uvedeny v kap. 8.6.6. Na tomto místě se omezíme pouze na základní klasifikaci poruch podle důsledků, která je uvedena v ČSN IEC 50 (191): Kritická porucha (critical failure) Porucha, o které se usuzuje, že může způsobit úraz osob, značné materiální škody nebo může mít jiné nepřijatelné důsledky. Nekritická porucha (non-critical failure) Porucha o které se usuzuje, že nemůže způsobit úraz osob, značné materiální škody ani nemá jiné nepřijatelné důsledky.

3.9

Program spolehlivosti výrobku

Moderní pojetí problematiky zabezpečování spolehlivosti, tak jak bylo formulováno IEC požaduje, aby spolehlivosti byla věnována systematická pozornost ve všech etapách života výrobku. Činnosti týkající se spolehlivosti, které se mají provádět v každé etapě životního cyklu výrobku, je přitom nutno volit v kontextu s celkovým životním cyklem výrobku, protože rozhodnutí učiněná v kterémkoliv okamžiku mají dopad na spolehlivost a náklady nejen v daném čase, ale i v následujících etapách života. Proto je vhodné všechny úkoly, které jsou při zajišťování spolehlivosti výrobku realizovány, uspořádat do programu spolehlivosti, jehož účelem je zajistit, aby se vynaložilo přiměřené a účelné úsilí na zajištění spolehlivosti výrobku jako základního znaku jakosti a to ve všech etapách jeho životního cyklu. Rozsah a obsah programu spolehlivosti se má řídit podle individuálních potřeb každého projektu, podle případných specifických omezení a vždy má respektovat skutečný význam spolehlivosti daného výrobku. Prvky programu je vhodné integrovat s jinými prvky programu vývoje, výroby a provozu.

35 V jednotlivých etapách života výrobku se má program spolehlivosti soustředit zejména na realizaci následujících úkolů. Etapa koncepce a stanovení požadavků. V této etapě se formulují cílové požadavky na výrobek. Činnosti týkající se spolehlivosti se mají v této etapě soustředit na stanovení racionálních požadavků na výrobek, na budoucí zajištěnost jeho údržby a na sestavení programu spolehlivosti jako základu pro řízení spolehlivostí v následujících etapách. Rozhodnutí učiněná během této etapy mají největší dopad na výrobek a na jeho náklady životního cyklu. Etapa návrhu a vývoje. V této etapě se vytváří a dokumentuje hardware, případně software výrobku v podobě podrobné výrobní dokumentace a vytváří se také další dokumentace, jako jsou například instrukce pro údržbu. Hlavním cílem činnosti týkajících se spolehlivosti v této etapě je zajistit zejména, aby: • v průběhu návrhu byly plně respektovány stanovené cílové požadavky na spolehlivost; • se realizovaly analýzy a predikce spolehlivosti a jejich výsledky se použily k dosažení požadované spolehlivosti; • požadavky na spolehlivost přidělené libovolné části výrobku zabezpečovaly dosažení požadované výsledné úrovně spolehlivosti výrobku; • byly definovány podmínky, postupy validace, ověřování a zkoušení a jejich kritéria a aby tyto činnosti byly prováděny v souladu s požadavky na spolehlivost. Etapa výroby. V této etapě se výrobek vyrábí a sestavuje, software výrobku se kopíruje. Hlavním problémem zde je jeho zhotovení v souladu s výrobní dokumentací. Prvořadá je otázka kontroly kvality výrobního procesu (uplatnění norem ISO 9000). Činnosti týkající se spolehlivosti mají v této etapě za cíl zajistit, aby parametry spolehlivosti výrobku dosažené během návrhu a vývoje nebyly znehodnoceny v průběhu výrobního procesu. V programu spolehlivosti musí být stanoveny postupy, kterými je nutné se při výrobě řídit, aby bylo dosaženo požadované úrovně spolehlivosti. Základní činnosti týkající se spolehlivosti jsou zde zaměřeny především na: • periodické zkoušení bezporuchovosti a udržovatelnosti; • výrobní zkoušky; • třídění namáháním pro zlepšení bezporuchovosti. Etapa instalace. V této etapě se výrobek instaluje. Činnost je zde zaměřena na to aby se parametry spolehlivosti během instalace prokázaly a neznehodnotily. Musí být stanoveny postupy a instrukce pro provádění přejímací kontroly a pro zkoušení systému a jeho komponent, kterými se ověřuje shoda s výchozí specifikací a návrhem. Základní činnosti prováděné k zajištění spolehlivosti zde jsou: • zkoušení při uvádění do provozu; • provádění přejímacích zkoušek; • zkoušení růstu bezporuchovosti; • prokazovaní bezporuchovosti a udržovatelnosti;

36 • sběr a analýza dat; • řízení počátečních poruch. Etapa provozu a údržby. V této etapě životního cyklu je výrobek používán a zajišťuje se a provádí jeho údržba (základní činnosti preventivní údržby a údržba po poruše). Pro zajištění požadované úrovně spolehlivosti v této etapě bývá nezbytné poskytnout: • odpovídající provozní instrukce a instrukce pro údržbu; • výcvik; • komplexní logistickou podporu. I v této etapě je prospěšné, pokud jsou pro to podmínky, organizovat sběr dat o spolehlivosti a provádět jejich analýzu. Etapa vypořádání (likvidace). V této etapě se výrobek vyjme z používání, demontuje se, zničí se nebo se, pokud to je nutné, uloží v chráněném prostředí. V této etapě lze provést zkoušky a analýzy opotřebení, ověření zbytkové životnosti a pod. Tyto údaje pak mohou sloužit výrobci pro další zlepšení úrovně spolehlivosti systému. Sestavení efektivního programu spolehlivosti během libovolné etapy životního cyklu vyžaduje nejen znalost zásad, metod a technik spolehlivosti, ale též porozumění samotnému výrobku a jeho technologii výroby, jeho zamýšlenému použití a různým faktorům vztahujícím se k nákladům. Výše uvedené úkoly programu spolehlivosti jsou vyjádřeny obecně a pro každý specifický výrobek je nutné jejich přizpůsobení. Proto je třeba při sestavování programu spolehlivosti vzít také v úvahu: • použití výrobku u uživatele (způsob použití, obor použití a další faktory determinující důležitost spolehlivosti pro daný výrobek); • skutečné, nebo předpokládané požadavky zákazníka; • znaky týkající se výrobku (novost, požadovaná úroveň spolehlivosti, kritičnost poruch výrobku atd.); • minulou historii obdobných výrobků; • hledisko nákladů a přínosů každého úkolu programu spolehlivosti; • optimalizaci nákladů a přínosů výrobku.

37 Kontrolní otázky ke 3. kapitole: 1. Definujte spolehlivost a její dílčí vlastnosti. Komentujte jejich význam pro vojenskou techniku. 2. Vysvětlete význam pojmů objekt, prvek a systém. 3. Definujte stavy objektu s nimiž se v teorii spolehlivosti setkáváme. 4. Objasněte význam pojmů údržba, preventivní a nápravná údržba a oprava a vysvětlete jejich vzájemný vztah. 5. Objasněte význam pojmů porucha, obnova a poruchový stav a vysvětlete jejich vzájemný vztah. 6. Vysvětlete význam pojmu doba provozu a uveďte v jakých jednotkách se měří. 7. Uveďte a komentujte přehled základních dob, které se při zkoumání spolehlivosti objektu sledují. 8. Objasněte strukturu dob sledovaných při hodnocení udržovatelnosti objektu. 9. Vysvětlete co rozumíme pojmem „ukazatel spolehlivosti“ a uveďte přehled základních ukazatelů pro opravované a neopravované objekty. 10. Vysvětlete jaké hodnoty ukazatelů spolehlivosti rozeznáváme. 11. Vysvětlete jak je ve spolehlivosti chápán pojem funkce objektu. 12. Uveďte možné způsoby třídění poruch. 13. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: provoz a použitelný stav. 14. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: prostoj a neobsazený stav. 15. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: poruchový stav a provozuneschopný stav. 16. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: údržba a udržovatelnost. 17. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: oprava a obnova. 18. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: doba do poruchy a doba mezi poruchami. 19. Objasněte pojem užitečný život. 20. Vysvětlete rozdíl mezi pojmy: logistické a technické zpoždění. 21. Objasněte co je to program spolehlivosti. 22. Uveďte jednotlivé etapy životního cyklu výrobku a objasněte jaké činnosti se v nich při zajišťování spolehlivosti realizují.

38

4 MATEMATICKÉ NÁSTROJE VE SPOLEHLIVOSTI V této kapitole budou uvedeny některé matematické nástroje, používané při analýze spolehlivosti systémů. Protože spolehlivost je vlastnost objektů s výrazným stochastickým charakterem budou i použité nástroje pocházet z teorie pravděpodobnosti, matematické statistiky, formální logiky, a Booleovy algebry. Předpokládá se, že uživatelé tohoto textu již absolvovali výuku matematiky zaměřenou na výše uvedené oblasti a disponují potřebnými teoretickými znalostmi. Další výklad se proto omezí pouze na stručné zopakovaní a shrnutí této problematiky, zpravidla bez uvádění odpovídající matematické teorie a důkazů. 4.1

Náhodné pokusy a jevy

4.1.1

Náhodný pokus

Pokusem rozumíme každý konečný děj, který se uskutečňuje za určitých jednoznačně stanovených podmínek a jehož realizaci lze za těchto podmínek neomezeně mnohokrát opakovat (alespoň teoreticky). Z tohoto hlediska pokusem může být jak pouhé pozorování a konstatování nějaké skutečnosti, tak měření určité veličiny či realizace složitého technického experimentu. Pokusem například může být měření bodu varu nějaké kapaliny, sledování životnosti součástky či počtu letounů, které jsou v daném okamžiku vyřazeny z provozu z důvodu poruchy. Při realizaci pokusů se obecně můžeme setkat se zákonitostmi dvojího typu: 1) při splnění souboru určitých podmínek bude mít pokus vždy stejný výsledek. Např. voda za určitých podmínek vře vždy při teplotě 100 o C. Souhrnně můžeme o takových pokusech a výsledných jevech říci, že jsou jednoznačně určeny podmínkami pokusu. Nastávají vždy s jistotou. Mezi podmínkami a výsledkem pokusu existuje funkční závislost. Takové pokusy označujeme jako deterministické. 2) při splnění souboru určitých podmínek může realizace pokusu vést k různým výsledkům. Např. stejné součástky se při stejném zatížení poruší po rozdílné době provozu. Mezi podmínkami a výsledkem pokusu neexistuje funkční ale pouze stochastická vazba. Takové pokusy označujeme jako náhodné. Náhodným pokusem tedy rozumíme takové pokusy, které je možné neomezeně mnohokrát opakovat, ale jejichž výsledek není jednoznačně předurčen podmínkami pokusu a náhodně se mění přes to, že podmínky pokusu jsou zachovány. Ve spolehlivosti se budeme setkávat převážně s pokusy tohoto typu. 4.1.2

Náhodný jev

Pro přesný popis pokusu je nutno stanovit množinu všech možných výsledků daného pokusu, přičemž možné výsledky musí být specifikovány tak, aby po realizaci pokusu bylo vždy možné jednoznačně určit který z nich nastal. Možné výsledky pokusu tedy musí být zavedeny tak, aby byly vzájemně neslučitelné, tj. aby žádné dva z nich nemohly nastat současně. Dále musí být množina možných výsledků úplná to znamená, že při realizaci pokusu musí právě jeden z nich vždy nastat. Tyto možné výsledky náhodného pokusu potom nazýváme elementárními jevy. Elementární jevy mohou mít v závislosti na povaze náhodného pokusu nejrůznější charakter. Jejich množinu může například tvořit: •

množina všech celých čísel od 1 do 6 při sledování výsledku hodu hrací kostkou;

39 •

množina všech nezáporných celých čísel menších nebo rovných n, vyjadřujících počet letounů vyřazených v daném okamžiku z provozu z důvodu poruchy, pokud celkový počet sledovaných letounů je roven n;

•

množina všech nezáporných čísel vyjadřujících dobu života součástky při sledování její životnosti apod. Úplnou množinu všech možných výsledků při daném pokusu nazýváme základním prostorem (elementárních jevů) a označujeme ji Ω. Náhodným jevem potom rozumíme jakýkoliv jev který je podmnožinou Ω. Jinak řečeno, náhodným jevem rozumíme jakékoliv tvrzení o výsledku náhodného pokusu o kterém lze po ukončení pokusu jednoznačně rozhodnout zda je či není pravdivé. Příkladem může být tvrzení, že porucha součástky (jako jev) nastane do určité doby, nebo že v daný okamžik bude z provozu vyřazen menší než daný počet vozidel. Výsledkem pokusu potom je potvrzení nebo vyvrácení pravdivosti tohoto tvrzení. Z výše uvedeného je patrné, že jev je v tomto případě chápán jako podmnožina množiny Ω. Mezi jevy můžeme zavést vzájemné relace odpovídající množinovým relacím a pro jevy budou platit všechna tvrzení platná pro množiny. Obdobně jako množiny budeme i jevy označovat velkými písmeny ze začátku abecedy A,B,C,...., případně těmito písmeny s indexem A1, A2, ...An; B1, B2, ....Bm a pod. 4.1.3

Operace s jevy

Uvažujme jevy A,B,C,... které jsou prvky Ω. Matematicky zapsáno: A ⊂ Ω, B ⊂ Ω, C ⊂ Ω atd. Na základě analogie jevů a množin lze potom pro operace s těmito jevy zformulovat určitá pravidla: 1) Platí-li, že nastane-li jev A, nastane současně i jev B, potom řekneme, že jev A má za následek (implikuje) jev B nebo že jev B je částí jevu A. Symbolicky vyjádřeno: A ⊂ B nebo B ⊂ A. Zřejmě také platí: jestliže A ⊂ B a B ⊂ C, potom A ⊂ C. 2) Jestliže jev A má za následek jev B a současně jev B má za následek jev A, potom jevy A a B jsou identické (rovnocenné). Při náhodných pokusech oba buď nastoupí nebo nenastoupí. Symbolicky vyjádřeno: jestliže A ⊂ B a zároveň B ⊂ A, potom A = B. 3) Jev, spočívající v součastném nastoupení jak jevu A, tak i jevu B nazýváme průnikem (součinem) jevů A a B; symbolicky zapisujeme relací A ∩ B. Platí: • A ∩ B ⊂ A a zároveň A ∩ B ⊂ B; • jestliže C ⊂ A a C ⊂ B, potom C ⊂ A ∩ B; 4) Jev, spočívající v nastoupení alespoň jednoho z jevů A a B nazýváme sjednocením (součtem) jevů A a B; symbolicky zapisujeme relací: A ∪ B. Platí: •

A ⊂ A ∪ B; B ⊂ A ∪ B ;

• jestliže A ⊂ C a B ⊂ C, potom A ∪ B ⊂ C; 5) Jev, který nastoupí právě tehdy, když nenastane jev A nazýváme jevem doplňkovým (komplementárním) k jevu A. Značí se symbolicky A . 6) Jev, který spočívá v nastoupení jevu A a současně v nenastoupení jevu B nazýváme rozdílem jevů A a B; symbolicky zapisujeme relaci A \ B. Platí relace: A \ B = A ∩B

(4.1)

40 7) Jev, který musí při každém pokusu nutně nastat nazýváme jevem jistým a označujeme Ω. Jev, který nastat nemůže nazýváme jevem nemožným a označujeme ∅. 8) Jevy A a B, které se vzájemně vylučují, tzn. jejichž průnik je jevem nemožným, A ∩ B = ∅, nazýváme jevy neslučitelnými nebo disjunktními. 9) Jevy A, B, C, ...., jejichž sjednocení je jistým jevem, tj. A ∪ B ∪ C ∪ ...... = Ω, nazýváme úplným systémem jevů a v případě jejich neslučitelnosti úplným systémem neslučitelných jevů. 4.1.4

Zákony pro operace s jevy (Booleova algebra)

Dále je uveden základní přehled nejčastěji používaných pravidel (zákonů) pro operace s jevy. Zákon komutativní (zaměnitelnosti), (platí pro sjednocení a průnik jevů): A∩B=B∩A A∪B=B∪A

(4.2) (4.3)

Zákon asociativní (slučitelnosti), (operace sjednocení a průniku jevů jsou slučitelné): A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

(4.4)

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

(4.5)

Zákon distributivní (rozdělitelnosti), (operace sjednocení a průniku jevů jsou rozdělitelné): A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(4.6)

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(4.7)

Zákon totožnosti: A∩A=A

(4.8)

A∪A=A

(4.9)

Zákon absorpční: A ∩ (A ∪ B) = A

(4.10)

A ∪ (A ∩ B) = A

(4.11)

Komplementy k jevům: A∩ A=∅

(4.12)

A∪ A=Ω

(4.13)

Operace s ∅ a Ω: ∅∩A=∅

(4.14)

41 ∅∪A=A Ω∩A=A Ω∪A=Ω Ω = ∅ ∅= Ω De Morganovy zákony: ( A ∩ B) = A ∪ B ( A ∪ B) = A ∩ B Další často používaná pravidla pro operace s jevy: A ∪ B = A ∪ ( A ∩ B) (A ∩ B) = A ∪ (A ∩ B)

(4.15) (4.16) (4.17) (4.18) (4.19)

(4.20) (4.21)

(4.22) (4.23)

Poznámka: Pro zjednodušení zápisů při práci s jevy se často symboly pro sjednocení a průnik množin nahrazují znaménky plus a mínus, např.: (A ∪ B) ∩ C = (A + B) ⋅ C . 4.2

Pravděpodobnost

4.2.1

Definice pravděpodobnosti

Pokud chceme kvantitativně posoudit možnost nastoupení určitého náhodného jevu, můžeme n – krát realizovat příslušný pokus a určit, kolikrát sledovaný jev A nastal v dané sérii pokusů a určit tak zvanou relativní četnost náhodného pokusu podle následujícího vztahu: (4.24) n(A) n kde n(A) je počet výskytů jevu A v n pokusech. Pomocí relativních četností potom můžeme porovnat, který jev v dané sérii pokusů nastal častěji a který méně častěji. Vždy platí: h( A) =

•

Relativní četnost libovolného jevu je 0 ≤ h( A) ≤ 1 , přičemž relativní četnost nemožného jevu je h(∅) = 0 a relativní četnost jevu jistého je h(Ω) = 1.

•

Je-li A1, A2, ..... Ak posloupnost navzájem disjunktních jevů a A je jejich sjednocením potom: (4.25)

42 i= n

h( A) = ∑ h( A i ) i =1

Provádíme-li opakovaně série téhož pokusu, můžeme se přesvědčit, že relativní četnost sledovaného jevu kolísá v jistých mezích kolem určité pevné hodnoty, přičemž tyto meze se s rostoucím počtem pokusů stále zužují. Tato zákonitost vede k závěru, že objektivní možnost nastoupení náhodného jevu lze vyjádřit jedním pevným číslem, které nazýváme pravděpodobností. Z tohoto pohledu lze pravděpodobnost chápat jako relativní míru četnosti jevu v případě provedení nekonečného množství pokusů. Obecně lze pravděpodobnost definovat následujícím způsobem: Mějme náhodný pokus s neprázdnou množinou elementárních jevů Ω, na níž je definováno jevové pole S.. Pravděpodobností potom nazveme funkci, která přiřazuje náhodným jevům reálná čísla, přičemž přiřazení splňuje podmínky vymezené následujícími axiomy: Axiom 1: Pravděpodobnost náhodného jevu A ⊂ S je nezáporné číslo, nejvýše rovné jedné, tedy: 0 ≤ P( A ) ≤ 1

(4.26)

Axiom 2: Pro libovolnou posloupnost disjunktních (Ai ∩ Aj = ∅ pro všechna i ≠ j) náhodných jevů A1, A2, A3, .... (Ai ⊂ S) platí: ∞  ∞ P A i  = ∑ P( A i )  i =1  i=1

(4.27)

Tento axiom někdy bývá označován jako věta o sčítání pravděpodobností. Axiom 3: Je-li Ω jistý jev, pak jeho pravděpodobnost je rovna 1, tedy P(Ω) = 1 4.2.2

(4.28)

Vlastnosti pravděpodobností

Při výpočtech pravděpodobností náhodných jevů můžeme užít následující vlastnosti pravděpodobností, které přímo vyplývají z výše uvedených axiomů: 1) Jestliže jev A implikuje jev B, potom pravděpodobnost jevu A je nejvýše rovna pravděpodobnosti jevu B. A ⊂ B ⇒ P( A ) ≤ P( B)

(4.29)

Jev B lze totiž vyjádřit jako sjednocení dvou disjunktních jevů B = A ∪ (B\A) a podle rovnice (4.27) pro pravděpodobnost jevu B platí P(B) = P(A) + P(B\A). Vzhledem k tomu, že obecně platí P(B\A) ≥ 0, musí být P(B) ≥ P(A). 2) Pravděpodobnost A (komplementárního jevu k jevu A) je: P( A ) = 1 − P( A )

(4.30)

43 Jevy A a A jsou disjunktní a jejich sjednocení je jev jistý. Z rovnice (4.28) potom plyne, že P( A) + P( A ) = 1 . 3) Pravděpodobnost nemožného jevu P(∅) je: (4.31)

P(∅) = 0 Nemožný jev je komplementem jevu jistého a podle rovnice (4.28) platí:

(4.32)

P(∅) = 1 - P(Ω) = 0. 4) Pravděpodobnost rozdílu jevů A a B je:

(4.33)

P( A \ B) = P( A) − P( A ∩ B)

Náhodný jev A lze zapsat jako sjednocení následujících disjunktních jevů: A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B ). Dále podle rovnice (4.1) platí že A ∩ B = A\B. Jev A je tedy možné vyjádřit rovnicí A = (A ∩ B) ∪ (A\B). Použitím pravidla pro sčítání pravděpodobností disjunktních jevů vyjádřeného rovnicí (4.27) a vhodnou úpravou potom obdržíme rovnici (4.33). 5) Pravděpodobnost sjednocení dvou nedisjunktních jevů A a B je rovna: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

(4.34)

Tento vztah se někdy nazývá „Pointcaré(-ho) teorém“ a je pravidlem o sčítání pravděpodobností nedisjunktních jevů. Sjednocení jevů A a B lze vyjádřit jako sjednocení dvou disjunktních jevů: A ∪ B = A ∪ B\A a s využitím pravidla vyjádřeného v rovnici (4.33) můžeme obdržet vztah (4.34). 4.2.3

Podmíněná pravděpodobnost

Je třeba rozlišovat: • pravděpodobnost nepodmíněnou P(A), která vychází pouze ze souboru základních podmínek; • pravděpodobnost podmíněnou P(AB) , která vedle základních podmínek bere v úvahu ještě další podmínku, totiž současné nastoupení jevu B. Hledanou podmíněnou pravděpodobnost jevu A vzhledem k jevu B lze vyjádřit jako poměr pravděpodobností současného nastoupení jevů A a B a pravděpodobnosti nastoupení jevu B. V souhlase s tím definujeme podmíněnou pravděpodobnost vztahem: P(A ∩ B) P(AB) = ; P(B) ≠ 0 (4.35) P(B) a obráceně P(BA) =

P(A ∩ B) ; P(A)

P(A) ≠ 0

(4.36)

Na základě výše uvedeného vyjádření podmíněné pravděpodobnosti je možné odvodit důležitý vztah pro stanovení pravděpodobnosti průniku jevů. Úpravou rovnice (4.35) obdržíme: P( A ∩ B) = P( A ).P( BA )

(4.37)

44 Toto pravidlo je někdy označováno jako věta o násobení pravděpodobností a lze je zobecnit pro libovolný počet jevů. Pravidlo nám také umožňuje matematické vyjádření nezávislosti jevů. Říkáme, že dva jevy jsou nezávislé, jestliže pravděpodobnost jednoho z nich nezávisí na tom, zda druhý jev nastal nebo nenastal. Matematicky vyjádřeno: (4.38) P(AB) = P(A) ; resp. P(BA) = P(B) Z výše uvedeného vyplývá, že pravděpodobnost současného nastoupení dvou nezávislých jevů je rovna součinu jejich pravděpodobnosti: P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

(4.39)

Toto pravidlo lze rozšířit na libovolný počet nezávislých jevů: P(A ∩ B ∩ C ∩.....) = P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) …. 4.2.4

(4.40)

Úplná pravděpodobnost

Důsledkem věty o sčítání pravděpodobností a věty o násobení pravděpodobností je tzv. věta o úplné pravděpodobnosti. V praxi máme často určit pravděpodobnost nějakého jevu A, který může nastat současně s jedním z jevů H1, H2, ....., HS, které tvoří úplný systém neslučitelných jevů Ω = H1 ∪ H2 ∪......∪ HS. Takový systém jevů budeme nazývat hypotézami. Protože hypotézy tvoří úplný systém jevů, může jev A nastat pouze v kombinaci s některou z těchto hypotéz, tedy A = H1⋅A + H2⋅A + .....+ HS⋅A. Protože hypotézy jsou neslučitelné, jsou i kombinace HiA jevy neslučitelné. Použijeme-li větu o sčítání a násobení pravděpodobností dostaneme: S

P( A) = ∑ P( H i ) ⋅ P( A H i )

(4.41)

i =1

Uvedený vztah se nazývá věta o úplné pravděpodobnosti a říká, že pravděpodobnost jevu A se vypočte jako součet součinů pravděpodobností každé hypotézy s pravděpodobností jevu A při nastoupení této hypotézy. 4.2.5

Pravděpodobnost hypotéz - Bayesova věta

Důsledkem věty o násobení a věty o úplné pravděpodobnosti je tzv. Bayesova věta nebo též věta o pravděpodobnosti hypotéz za podmínky, že nastal určitý jev A. P( H iA ) =

P( H i ) P( AH i ) S

∑ P( H

j

(4.42)

) P( AH j )

j=1

4.3

Náhodná proměnná

Existuje exaktní, matematická definice pojmu náhodná proměnná, kterou zde uvádět nebudeme a spokojíme se se zjednodušenou intuitivní definicí, která je pro naše potřeby dostatečná. Náhodnou proměnnou nazveme takovou proměnnou: • jejíž každá hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu;

45 • která může nabývat libovolné hodnoty z definovaného oboru hodnot, vždy však pouze s určitou pravděpodobností, kterou lze vyjádřit jistým zákonem rozdělení pravděpodobnosti, např. distribuční funkcí, hustotou pravděpodobnosti a pod. Náhodné proměnné lze tedy exaktně popisovat pouze pomocí stochastických nástrojů. Náhodné proměnné budeme dále označovat velkými písmeny z konce abecedy (X,Y,Z,....) a jejich možné hodnoty odpovídajícími malými písmeny (x,y,z,...). Při praktických aplikacích se zpravidla setkáváme s náhodnými proměnnými dvojího typu: • Diskrétní náhodná proměnná X je taková náhodná proměnná, která může nabývat jen hodnot z nějaké konečné, nebo spočetné množiny {x1, x2, x3, ……}. Například počet porouchaných součástek za danou dobu provozu z celkového počtu n součástek může nabývat hodnot 1, 2, 3, …n. • Spojitá náhodná proměnná X je taková náhodná proměnná, která může nabývat všech hodnot z určitého intervalu. Například doba bezporuchového provozu systému X může nabývat hodnot x ∈ (0, ∞). 4.4

Možnosti popisu rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné

Pro praktickou práci s náhodnými proměnnými potřebujeme znát pravidla, podle kterých je možné hodnotám náhodné proměnné přiřazovat odpovídající pravděpodobnosti. To znamená, že musíme mít praktickou možnost říci, s jakou pravděpodobností lze při realizaci pokusu očekávat nastoupení daného jevu. Například s jakou pravděpodobností se poruší sledovaná součástka za danou dobu, nebo s jakou pravděpodobností se bude počet vozidel vyřazených z provozu v důsledku poruchy nacházet v jistém intervalu. Je-li takový vztah mezi jevy a pravděpodobnostmi jejich nastoupení znám, říkáme že je dán zákon rozdělení pravděpodobnosti příslušné náhodné proměnné. 4.4.1

Distribuční funkce

Každá náhodná proměnná je charakterizovaná především svojí distribuční funkcí (Cumulative Distribution Function - cdf). Distribuční funkcí náhodné proměnné X v intervalu (-∞; ∞) rozumíme funkci F(x) definovanou vztahem: F( x ) = P(X ≤ x )

(4.43)

Hodnota funkce F(X) v bodě x tedy vyjadřuje pravděpodobnost toho, že náhodná proměnná X nabude hodnoty menší nebo rovné x. Distribuční funkce má následující vlastností: • 0 ≤ F(x) ≤ 1 • F(x) je neklesající a zleva spojitá funkce. • lim F( x ) = 0 x→ − ∞

•

lim F( x ) = 1

x→ ∞

Na základě uvedených vlastností distribuční funkce lze také odvodit důležitý vztah pro pravděpodobnost toho, že náhodná proměnná nabude hodnoty z jistého intervalu x ∈ (x1, x2〉: P(x1 < X ≤ x2) = F(x2) - F(x1)

(4.44)

46 Tento vztah říká, že pravděpodobnost toho, že náhodná proměnná nabude hodnoty z daného intervalu je rovna rozdílu hodnot distribuční funkce F(x) v krajních bodech tohoto intervalu. F(x) 1 F(x2) F(x1) 0

x1

x2

x

Obr. 4.1 Distribuční funkce spojité náhodné proměnné Ve spolehlivosti se často také používá komplement k distribuční funkci, který nazýváme funkce spolehlivosti (bezporuchovosti), protože vyjadřuje pravděpodobnost toho, že jev (např. porucha) do okamžiku x nenastane: (4.45)

R ( X ) = 1 − F( X ) = P ( X > x ) 4.4.2

Hustota pravděpodobnosti

Zákon rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné může být také vyjádřen pomocí tak zvané hustoty pravděpodobnosti (Probability Density Function - pdf), která charakterizuje tzv. rozdělení spojitého typu. Náhodná proměnná X má rozdělení spojitého typu, existuje-li nezáporná reálná funkce f(x) taková, že pro všechna reálná x se dá distribuční funkce F(x) vyjádřit ve tvaru: x

F( x ) =

(4.46)

∫ f ( u ) ⋅ du

−∞

kde funkce f(x) se nazývá hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné x. Tuto funkci je možno vyjádřit vztahem: dF( x ) f (x) = (4.47) dx Hustota pravděpodobnosti má následující vlastnosti: •

∞

∫ f ( x ) ⋅ dx = 1;

−∞

x2

• P( x 1 < X ≤ x 2 ) = F( x 2 ) − F( x 1 ) = ∫ f ( x ) ⋅ dx , x1

• P( X = x ) = 0.

pro všechna reálná čísla x1 < x2;

47 f(x)

P(x1 < X ≤ x2)

0

x1

x2

x

Obr. 4.2 Hustota pravděpodobnosti náhodné proměnné Graf hustoty pravděpodobnosti nám poskytuje dobrou představu o tom, kterých hodnot náhodná proměnná může nabývat častěji (s vyšší pravděpodobností) a kterých měně častěji. Dobře patrné je to z Obr. 4.2. 4.4.3

Pravděpodobnostní funkce

Pro diskrétní náhodné proměnné není hustota pravděpodobnosti ze zjevných důvodů definována. Místo ní se zde pracuje s tak zvanou pravděpodobnostní funkcí P(x), která charakterizuje rozdělení diskrétního typu. Náhodná proměnná X má rozdělení diskrétního typu, existuje-li konečná, nebo spočetná množina reálných čísel {x1, x2, x3, …… } taková, že pro každé xi z této množiny je pravděpodobnost P(X=xi) > 0 a součet těchto pravděpodobností přes všechna xi z této množiny je roven jedné: (4.48)

∑ P( X = x ) = 1 i

xi

Toto rozdělení je zadáno, je-li dána množina {x1, x2, x3, …… } možných hodnot náhodné proměnné a pravděpodobnosti pro všechny tyto hodnoty. Pravděpodobnost může být zadána vzorcem, tabulkou, grafem či jiným předpisem. Funkci P(x) = P(X=x) nazýváme pravděpodobnostní funkcí náhodné proměnné X. Graf pravděpodobnostní funkce P(x) nám potom poskytuje obdobnou informaci jako hustota pravděpodobnosti (viz. Obr. 4.3) P(x)

0

x1 x2 x3

xi-1 xi xi+1

xn-1 xn

x

Obr. 4.3 Pravděpodobnostní funkce diskrétní náhodné proměnné

48 Distribuční funkci diskrétní náhodné pravděpodobnostní funkce vyjádřit vztahem: F( x ) =

proměnné

je

možno

∑ P( x )

s využitím (4.49)

i

xi < x

Tato distribuční funkce je nespojitá a má skoky v bodech x1, x2, x3 ..... a je konstantní v intervalu (xi, xi+1〉, i = 1, 2 , 3, ... . Přitom v bodě xi je velikost skoku rovna hodnotě P(xi). Přiklad grafu distribuční funkce diskrétní proměnné je znázorněn na Obr. 4.4. F(x) 1

P(xi)

x1

x1

0

xi-1

xi

xi+1

xn-1

xn

x

Obr. 4.4 Distribuční funkce diskrétní náhodné proměnné 4.4.4

Intenzita náhodného jevu

Intenzita náhodného jevu (hazard function) je definována jako podmíněná pravděpodobnost toho, že jev nastane během nekonečně malého intervalu dx za podmínky, že do okamžiku x jev nenastal. Tuto podmíněnou pravděpodobnost můžeme vyjádřit následujícím vztahem: h( x ) =

f (x ) 1 − F( x )

(4.50)

Intenzita jevu může být v závislosti na hodnotě náhodné proměnné konstantní nebo proměnná. 4.4.5

Kumulativní intenzita náhodného jevu.

Pro popis rozdělení pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné se také často používá tak zvaná kumulativní intenzita (Cumulative Hazard Function), která je definována vztahem: x

H(x ) =

∫ h(u ) ⋅ du

(4.51)

−∞

Pokud v této rovnici nahradíme h(x) výrazem z rovnice (4.50) a provedeme naznačenou integraci obdržíme obecný vztah pro kumulativní intenzitu ve tvaru: H ( x ) = − ln[1 − F( x )]

(4.52)

A odtud snadno odvodíme, že pro distribuční funkci platí obecný vztah: F( x ) = 1 − exp[− H ( x )]

(4.53)

49 Obdobným způsobem můžeme vyjádřit i vztahy mezi dalšími funkcemi, které slouží k popisu rozdělení náhodné proměnné. Přehled těchto relací je uveden v Tab. 4.1. Tab. 4.1 Vzájemné vztahy mezi F(x), R(x), f(x), h(x) a H(x). F(x) F(x) R(x)

f(x)

R(x)

f(x)

h(x)

1 – F(x)

dF( x ) dx

f (x) 1 − F( x )

−

1 – R(x)

x

∞

0

x

∫ f ( u) ⋅ du

dR ( x ) dx

∫ f ( u) ⋅ du

−

1 dR ( x ) ⋅ R ( x ) dx

f (x) ∞

∫ f ( u) ⋅ du x

x x x h(x) 1 − exp − h( u ) ⋅ du  exp − h ( u ) ⋅ du  h( x ) ⋅ exp  − h ( u ) ⋅ du  ∫ ∫ ∫  0   0   0 

4.5 4.5.1

Charakteristiky náhodných proměnných - statistiky Význam charakteristik

Úplné poznání náhodné proměnné předpokládá jednak vymezení hodnot, jichž může nabývat, jednak znalost pravděpodobností s nimiž náhodná proměnná nabude těchto hodnot nebo hodnot z možných intervalů. Zákon rozdělení podává o náhodné proměnné obraz sice úplný, ale často dosti nepřehledný, komplikovaný a někdy i nepraktický. Proto při aplikaci často shrnujeme informaci o náhodné proměnné do jednoho nebo několika čísel, která proměnnou dobře charakterizují a jejichž způsob výpočtu je jednoznačně definován. Tato čísla nazýváme charakteristikami - statistikami. Z velkého množství charakteristik zde uvedeme pouze nejdůležitější, v praxi často používané, které popisují hlavní vlastnosti každého rozdělení, totiž polohu a variabilitu náhodné proměnné. Základní informace poskytují charakteristiky, které udávají polohu daného rozdělení. Reprezentují jakýsi střed kolem kterého se výskyt náhodné proměnné centruje (nejčastěji vyskytuje). Vedle polohy se jednotlivá rozdělení náhodné proměnné odlišují také rozpětím kolísání hodnot, jejich koncentrací, rozptýlením (variabilitou), špičatostí a sešikmením při opakování pokusů. Toto rozptýlení vyjadřují charakteristiky variability. Někdy se setkáváme i s charakteristikami založenými na tzv. kvantilech , což jsou body, rozdělující obor možných hodnot náhodné proměnné v určitém pravděpodobnostním poměru.

50 4.5.2

Charakteristiky polohy

Základní charakteristikou polohy je střední hodnota - E(X). Pro diskrétní náhodnou proměnnou X s funkcí pravděpodobnosti P(x) je střední hodnota definována vztahem: (4.54)

E ( X ) = ∑ x ⋅ P( x ) x

Podobně je-li X spojitá náhodná proměnná s hustotou pravděpodobnosti f(x), je střední hodnota definována vztahem: E( x ) =

(4.55)

∞

∫ x ⋅ f (x ) ⋅ dx

−∞

Pro práci se středními hodnotami jsou důležité některé její vlastnosti: • Střední hodnota konstanty, je rovna této konstantě: E(k) = k; • Střední hodnota součinu konstanty a náhodné proměnné je: E(kX) = k⋅E(X); • Střední hodnota součtu nezávislých náhodných proměnných X a Y je: E(X+Y) = E(X)+E(Y) • Střední hodnota součinu nezávislých náhodných proměnných: E(XY) = E(X) ⋅ E(Y) 4.5.3

Charakteristiky variability

Rozptyl: První důležitou charakteristikou variability náhodné proměnné je rozptyl - D(X), který je obecně definován vztahem:

{

D( X ) = E [X − E( X )]

2

}

(4.56)

což rozepsáno pro diskrétní náhodnou proměnnou znamená, že D( X ) = ∑ [x − E( X )] ⋅ P( x ) 2

(4.57)

x

a pro spojitou proměnnou: D( X ) =

∞

∫ [x − E( X )]

2

⋅ f ( x ) ⋅ dx

(4.58)

−∞

Pro rozptyl platí následující pravidla: • Rozptyl konstanty, např. k je roven nule.: D(k) = 0; • Rozptyl součinu konstanty a náhodné proměnné je: D(k ⋅X) = k2⋅D(X); • Rozptyl součtu dvou nezávislých náhodných proměnných je: D(X+Y) = D(X) + D(Y); • Rozptyl náhodné proměnné je: D(X) =E(X2) - [E(X)]2

51 Směrodatná odchylka Druhou důležitou charakteristikou variability je druhá odmocnina z rozptylu, kterou nazýváme směrodatnou odchylkou - σ(X). σ( X ) = D( X )

4.5.4

(4.59)

Kvantily

Kvantily jsou body, rozdělující obor hodnot náhodné proměnné v určitém pravděpodobnostním poměru, přičemž 100p% kvantilem xp nazveme takovou hodnotu náhodné proměnné, která splňuje současně následující nerovnosti: P( X ≤ x p ) ≥ P

(4.60)

P( X > x p ) ≥ 1 − P

(4.61)

Má-li náhodná proměnná spojité rozdělení musí kvantil xp splňovat pouze následující podmínku: F( x p ) = p

(4.62)

Výše uvedenými podmínkami není kvantil jednoznačně určen, protože může existovat ohraničený interval hodnot xp splňujících uvedené podmínky. Jednoznačně jsou kvantily určeny pouze pro spojité distribuční funkce rostoucí ve všech jejich bodech. Některé kvantily mají zvláštní význam a speciální názvy: • Medián - xMe je 50%-ním kvantilem a dělí obor náhodné proměnné na dvě stejně pravděpodobné části; • Modus - xMo je hodnota které diskrétní náhodná proměnná nabývá s největší pravděpodobností, nebo hodnota spojité náhodné proměnné ve které její hustota pravděpodobnosti nabývá maximální hodnoty.

4.6 4.6.1

Základní typy rozdělení spojité náhodné proměnné Obecně

Připomeňme si, že náhodné proměnné označujeme velkými písmeny, např. X,Y,Z,Q,..., jejich konkrétní realizace malými písmeny, např. x,y,z,q,... . Rozdělení náhodné proměnné je definováno typem rozdělení a jeho parametry. Parametry rozdělení jsou vlastně vhodně zvolené charakteristiky (statistiky), např. střední hodnota, směrodatná odchylka, nebo jiné parametry (viz kap. 0). Protože většina rozdělení je víceparametrická budeme v dalším pro jednoduchost zápisu používat pro popis parametrů symbolické označení Θ, což označuje vektor parametrů rozdělení pravděpodobnosti. U každého typu rozdělení bude tento vektor konkrétně definován.

52 4.6.2

Normální - Gaussovo rozdělení

Jedná se o dvou-parametrické rozdělení s vektorem parametrů Θ = (µ , σ). Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ a σ , jestliže hustota pravděpodobnosti je dána vztahem:  ( x − µ) 2  ⋅ exp − f (x ) =  2σ 2  σ ⋅ 2π  1

(4.63)

µ - parametr polohy (střední hodnota náhodné proměnné) σ - parametr tvaru (směrodatná odchylka) Definiční obor veličin: (-∞ < x < ∞ ); (-∞ < µ < ∞ ); σ > 0. Distribuční funkci normálního rozdělení je potom možné vyjádřit vztahem: Kde:

F( x ) =

x  ( u − µ) 2  ⋅ ∫ exp  − ⋅ du 2σ 2  σ ⋅ 2π −∞ 

1

(4.64)

K integrálu, kterým je dána distribuční funkce normálního rozdělení neexistuje primitivní funkce v konečném tvaru, proto je určení jednotlivých hodnot distribuční funkce s využitím vztahu (4.64) spojeno se značnými obtížemi. Z tohoto důvodu se využívá faktu, že každé normální rozdělení je možné transformovat na tak zvaný normovaný tvar s vektorem parametrů Θ = (0, 1). Distribuční funkce normálního normovaného rozdělení je potom dána následujícím vztahem: Φ (z ) =

z  w2  1  ⋅dw ⋅ ∫ exp  − 2π − ∞  2 

(4.65)

Distribuční funkci libovolného normálního rozdělení lze transformovat do normovaného tvaru zavedením substituce: z=

x −µ σ

(4.66)

a distribuční funkci každého normálního rozdělení lze vyjádřit vztahem: F( x ) = Φ (z )

(4.67)

Hodnoty distribuční funkce normovaného normálního rozdělení jsou tabelovány, nebo se k jejich určení používají vhodné počítačové programy. V některých tabulkách se uvádí hodnoty pouze pro z ≥ 0. Hodnoty distribuční funkce pro z < 0 se potom stanoví s využitím vztahu: Φ(-z) = 1 - Φ(z)

(4.68)

Parametry normálního rozdělení: Střední hodnota: E(x) = µ ;

(4.69)

53 Rozptyl: (4.70)

D(x) = σ2 ; Kvantil: x p = µ + z pσ

(4.71)

kde: zp – 100p% kvantilem normovaného rozdělení. Normální rozdělení je symetrické kolem střední hodnoty µ. V technické praxi se normální rozdělení používá všude tam, kde je náhodná proměnná ovlivňována velkým počtem činitelů, z nichž každý jednotlivě má jen relativně malý vliv na sledovanou náhodnou proměnnou. V teorii spolehlivosti normální rozdělení nepatří k nejpoužívanějším a uplatňuje se pouze ve vybraných případech, například: • Pro popis doby technického života neopravovaných objektů kde se projevuje postupná degradace a poměr σ/µ je malý. Jde například o elektrická zařízení se žhavícím vláknem jako jsou žárovky, topné spirály a pod. • Pro popis doby opravy. • Jako aproximace k některým jiným rozdělením.

Obr. 4.5 Funkce F(x), f(x) a h(x) pro normální rozdělení

54 4.6.3

Logaritmicko-normální rozdělení

Jedná se o dvou-parametrické rozdělení s vektorem parametrů Θ = (µ* , σ*). Náhodná veličina X má logaritmicko-normální rozdělení s parametry µ* a σ*, jestliže hustota pravděpodobnosti je dána vztahem:  (x * − µ * )2  ⋅ exp  − f (x) = *  2 σ ⋅ 2π 2 ⋅ σ*   1

(4.72)

Kde: x* = ln x µ* = E(ln x) σ* =

D 2 (ln x )

Pro práci s tímto rozdělením platí analogie s normálním rozdělením s tím rozdílem, že namísto náhodné veličiny x se pracuje s veličinou x* = ln(x). Místo přirozeného logaritmu je možné použít také logaritmus s jakýmkoliv jiným základem. Často se používá logaritmus dekadický. V teorii spolehlivosti se log-normální rozdělení používá zejména pro: • Popis doby technického života u objektů kde se projevuje únava materiálů. • Popis doby do technického života u objektů, kde s dobou provozu klesá jejich odolnost proti zatížení vlivem opotřebení nebo jiné degradace. • Popis chovaní prvků u nichž se v počátečních fázích provozu projevuje jisté zvyšování odolnosti proti zatížení, které v dalším provozu vede ke snižování intenzity poruch (viz Obr. 4.6, průběh h(x) pro σ = 0,8). Například tzv. zahořování elektronických součástek.

Obr. 4.6 Funkce F(x), f(x) a h(x) pro log-normální rozdělení

55 4.6.4

Exponenciální rozdělení

Jedná se o jedno, resp. dvou-parametrické rozdělení s vektorem parametrů Θ = (µ, c). Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení s parametry µ a c, jestliže hustota pravděpodobnosti je dána vztahem: f (x) =

 x −c 1  ⋅ exp − µ µ  

(4.73)

µ - střední hodnota náhodné proměnné; c - parametr posunutí počátku rozdělení. Definiční obor: x ≥ c; µ > 0; c ≥ 0.

Kde:

Pro distribuční funkci exponenciálního rozdělení platí vztah:  x −c  F( x ) = 1 − exp − µ  

(4.74)

V praxi se častěji pracuje pouze s jedno-parametrickou podobou tohoto rozdělení, kdy c = 0 a místo střední hodnoty je jako parametr rozdělení používána intenzita náhodné proměnné, která je v případě exponenciálního rozdělení konstantní. Pokud jsou sledovanými náhodnými jevy poruchy hovoříme o intenzitě poruch (failure rate) kterou označujeme symbolem λ: h (x ) = λ =

1 µ

(4.75)

Hustota pravděpodobnosti je potom dána vztahem: (4.76)

f ( x ) = λ ⋅ exp( −λ ⋅ x ) a distribuční funkce vztahem:

(4.77)

F( x ) = 1 − exp( −λ ⋅ x )

Poznámka: Jestliže je splněna podmínka, že λ⋅x << 1, což například platí pro vznik poruch u vysoce spolehlivých objektů, je možné použít pro distribuční funkci přibližný vztah: F( x ) = λ ⋅ x

(4.78)

Tento přibližný vztah je velmi snadno použitelný a za předpokladu splnění výše uvedené podmínky podstatně zjednodušuje výpočty a dává přijatelné výsledky. Funkce spolehlivosti pro exponenciální rozdělení je dána vztahem: R ( x ) = 1 − F( x ) = exp( −λ ⋅ x )

(4.79)

56 Dosazením z rovnice (4.75) do obecného vztahu pro kumulativní intenzitu (4.51) obdržíme vztah pro kumulativní intenzitu exponenciálního rozdělení: x

H ( x ) = ∫ λ ⋅ dx = λ ⋅ x

(4.80)

0

Obecný vztah pro výpočet kvantilu je v tomto případě možno přímo odvodit ze vztahu pro distribuční funkci: x p = −µ ⋅ ln(1 − p)

(4.81)

Důležitým kvantilem je tzv. charakteristický život, pro který platí (xp = µ). Dosazením této podmínky do rovnice (4.81) a její úpravou obdržíme hodnotu distribuční funkce pro tento kvantil: P(xp = µ) = 0,632 což je pravděpodobnost, s jakou náhodná veličina X nabude hodnoty rovné charakteristickému životu nebo hodnoty menší.

Obr. 4.7 Funkce F(x), f(x) a h(x) pro exponenciální rozdělení Parametry (charakteristiky)rozdělení: Střední hodnota: E(x) = µ

(4.82)

Rozptyl: D(x) = µ 2 ;

(4.83)

Směrodatná odchylka: σ=µ

(4.84)

57 Exponenciální typ rozdělení se často používá ve výzkumu spolehlivosti, v teorii hromadné obsluhy, v teorii obnovy a pod. Využívá se zejména pro popis bezporuchovosti těch objektů kde se neprojevuje vliv postupné degradace součástí, jako např. stárnutí, koroze, opotřebení a pod. Konstantní intenzita poruch se například běžně předpokládá u vysoce spolehlivých, složitých technických systémů. 4.6.5

Weibullovo rozdělení

Jedná se o rozdělení dvou, resp. tří parametrické s vektorem parametrů Θ = (α, β), resp. Θ = (α, β, c).Náhodná veličina X má Weibullovo rozdělení s parametry α, β a c jestliže hustota pravděpodobnosti je dána vztahem:   x − c β  β β −1 f ( x ) = β ⋅ (x − c ) ⋅ exp −    α   α  

(4.85)

Kde: α - parametr polohy rozdělení; β - parametr tvaru rozdělení; c - parametr posunutí počátku rozdělení. Definiční obor veličin: x ≥ 0; α > 0; β > 0; c ≥ 0; Pro distribuční funkci Weibullova rozdělení platí:   x − c β  F( x ) = 1 − exp  −      α  

(4.86)

V praxi se nejčastěji pracuje s dvou-parametrickým rozdělením, kdy c = 0. Pro distribuční funkci potom platí:   x β  F( x ) = 1 − exp −      α  

(4.87)

Funkci spolehlivosti lze pro Weibullovo dvou parametrické rozdělení vyjádřit vztahem:   x β  R ( x ) = exp  −      α  

(4.88)

a intenzitu jevu vztahem:

h( x ) =

β x ⋅  α α

β −1

(4.89)

Pro kumulativní intenzitu jevu lze odvodit vztah: x H(x ) =   α

β

(4.90)

58 Pro kvantil platí: x p = α ⋅ [− ln(1 − p ) ]

1β

(4.91)

S využitím tohoto vztahu můžeme určit pravděpodobnost s jakou náhodná veličina X nabude hodnoty rovné parametru α nebo hodnoty menší. Dosazením podmínky xp = α do rovnice (4.1) a úpravou obdržíme p = F(xp = α) = 0,632. Tato hodnota platí pro každé Weibullovo rozdělení bez ohledu na velikost parametru β. Střední hodnota Weibullova rozdělení je funkcí parametrů rozdělení a vypočte se ze vztahu:  1 E( x ) = α ⋅ Γ1 +   β

(4.92)

Kde symbol Γ značí hodnotu „Gama funkce“ příslušného argumentu. Tato funkce je tabelovaná. Weibullovo rozdělení popisuje mnoho praktických případů výskytu jevů v mnoha technických oborech. Používá se tehdy, když nelze přijmout předpoklad o konstantní intenzitě jevu. Ve spolehlivosti je toto rozdělení široce využíváno pro popis dob spojených s poruchami tak i dob nápravné údržby. Rozdělení s parametrem β > 1 umožňuje dobrý popis bezporuchovosti a životnosti objektů u kterých se výrazně projevuje vliv opotřebení, únavy, koroze a dalších degradačních procesů. Rozdělení s parametrem β < 1 umožňuje popis bezporuchovosti v počátečních fázích provozu kdy se projevují výrobní vady. V případě že se parametr β = 1 Weibullovo rozdělení přechází do exponenciálního rozdělení, které je vlastně jeho zvláštním případem.

Obr. 4.8 Funkce F(x), f(x) a h(x) pro Weibullovo rozdělení

59 4.6.6

Rozdělení minimálních extrémních hodnot

Jedná se o rozdělení dvou-parametrické s vektorem parametrů Θ = (γ, δ). Náhodná veličina X má rozdělení minimálních extrémních hodnot. s parametry γ a δ, jestliže hustota pravděpodobnosti je dána vztahem: f (x ) =

 1 x−γ  x − γ  ⋅ exp  ⋅ exp − exp  δ  δ   δ  

(4.93)

kde: γ - parametr polohy; δ - je parametr měřítka. Definiční obor: -∞ < x < ∞, δ > 0, γ ≥ 0. Distribuční funkce tohoto rozdělení je dána vztahem:   x − γ  F( x ) = 1 − exp − exp   δ  

(4.94)

Funkce spolehlivosti:   x − γ  R ( x ) = exp − exp   δ  

(4.95)

Obr. 4.9 Funkce F(x), f(x) a h(x) pro rozdělení minimálních extrémních hodnot Intenzita jevu: h (x ) =

1 x−γ exp  δ  δ 

(4.96)

60 Kvantil: x P = c + u Pδ Kde:

u p = ln[− ln (1 − p )]

(4.97) (4.98)

Tohoto rozdělení se používá k popisu případů, kdy z množiny n stejných a stejně možných náhodných jevů nastane v pořadí první jev (minimální extrém). V technické praxi popisuje velmi často se vyskytující situace, jako např.: první porucha ventilu nebo první porucha vstřikovače u víceválcového motoru apod.

4.7 4.7.1

Základní typy rozdělení diskrétní náhodné veličiny Binomické rozdělení

Jedná se o rozdělení dvou-parametrické s vektorem parametrů Θ = (n, p). Diskrétní náhodná proměnná má binomické rozdělení s parametry n a p, jestliže pravděpodobnostní funkce je dána vztahem: P( x ) =

n! ⋅ p x (1 − p) n − x x!⋅ (n − x )!

(4.99)

Kde:

n - Celkový počet pokusů p - Pravděpodobnost nastoupení sledovaného jevu Definiční obor veličin: 0 ≤ x ≤ n, 0 ≤ n < ∞, 0 ≤ p ≤ 1. Hodnota pravděpodobnostní funkce určuje pravděpodobnost toho, že v posloupnosti n nezávislých pokusů se určitý jev A vyskytne právě x-krát, jestliže pravděpodobnost nastoupení sledovaného jevu při každém pokusu je rovna p. Pro distribuční funkci binomického rozdělení platí: x

F( x ) = ∑ i =0

n! p i (1 − p) n −i i!⋅ (n − i)!

(4.100)

Hodnota distribuční funkce vyjadřuje pravděpodobnost toho, že sledovaný jev A se v posloupnosti n nezávislých pokusů vyskytne nejvýše x-krát. Střední hodnota se stanoví podle vztahu: E(X) = n⋅p

(4.101)

a rozptyl je dán vztahem: σ2(X) = n⋅p⋅(1-p)

(4.102)

61 Poznámka: Když n → ∞ a p << 1, potom Binomické rozdělení se blíží Poissonovu rozdělení a je možné při výpočtech tímto rozdělením nahradit. Když n→∞ potom se Binomické rozdělení blíží Normálnímu rozdělení s parametry µ = n⋅p a σ2 = n⋅p⋅(1-p). 4.7.2

Poissonovo rozdělení

Jedná se o rozdělení jedno-parametrické s vektorem parametrů Θ = (m). Diskrétní náhodná proměnná má binomické rozdělení s parametrem m, jestliže pravděpodobnostní funkce je dána vztahem: P( x ) = Kde:

m x −m ⋅e x!

(4.103)

m – střední hodnota náhodné proměnné.

Ve spolehlivosti se toto rozdělení používá k popisu počtu výskytů určitého jevu během dané doby. V tomto případě lze parametr rozdělení vyjádřit vztahem: m = λ⋅t

(4.104)

Kde: λ - intenzita jevu; t - doba pozorování. Potom lze vztah pro pravděpodobnostní funkci přepsat do následujícího tvaru: (λ ⋅ t ) x P( x ) = ⋅ exp(−λ ⋅ t ) x!

(4.105)

Hodnota pravděpodobnostní funkce vyjadřuje pravděpodobnost s jakou se určitý jev s intenzitou λ vyskytne během doby t právě x-krát. Hodnota distribuční funkce potom vyjadřuje pravděpodobnost, že se příslušný jev během doby t vyskytne nejvýše x-krát: x 1 F( x ) = ∑ ⋅ (λ ⋅ t ) i ⋅ exp(−λ ⋅ t ) i = 0 i!

(4.106)

Střední hodnota: E(X) = m

(4.107)

Rozptyl: σ2(X) = m 4.8

(4.108)

Ergodičnost

Při použití zákonů rozdělení pravděpodobnosti při řešení praktických technických úloh někdy předpokládáme platnost tzv. ergodičnosti náhodného procesu. Ergodičnost náhodného procesu (proudu jevů) je vlastnost, spočívající v tom, že střední hodnota stanovená jako funkce doby trvání procesu E(X)t (na dostatečně dlouhém úseku) je stejná jako střední hodnota stanovená jako funkce počtu pokusů E(X)n (při dostatečném počtu

62 pokusů). Tento předpoklad usnadňuje řešení mnoha úloh a z technického hlediska se přijímá např. u vysoce spolehlivých výrobků, kdy λt<< 1. U procesů s nekonstantní intenzitou je nutné důsledky tohoto předpokladu na výsledné řešení vždy pečlivě zvážit!!

Kontrolní otázky ke 4. kapitole: 1. Vysvětlete pojmy náhodný pokus a náhodný jev. Vysvětlete jejich význam pro obor spolehlivosti. 2. Uveďte základní pravidla pro operace s jevy. 3. Vysvětlete význam pojmu „pravděpodobnost“ a uveďte základní vlastnosti pravděpodobnosti. 4. Vysvětlete význam pojmu „podmíněná pravděpodobnost“. 5. Vysvětlete význam pojmu „náhodná proměnná a pojednejte o možnostech popisu rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné. 6. Definujte distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti spojité náhodné proměnné a vysvětlete jejich vzájemný vztah. 7. Definujte pravděpodobnostní funkci a distribuční funkci diskrétní náhodné proměnné a vysvětlete jejich vzájemný vztah. 8. Definujte intenzitu náhodného jevu a vysvětlete co vyjadřuje. 9. Vysvětlete význam charakteristik náhodných proměnných a uveďte přehled základních charakteristik. 10. Uveďte základní typy rozdělení náhodné veličiny používané v teorii spolehlivosti a charakterizujte možnosti jejich použití. 11. Charakterizujte normální rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné a vysvětlete možnosti využití tohoto rozdělení. 12. Charakterizujte logaritmicko-normální rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné a vysvětlete možnosti využití tohoto rozdělení. 13. Charakterizujte exponenciální rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné a vysvětlete možnosti využití tohoto rozdělení. 14. Charakterizujte Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné a vysvětlete možnosti využití tohoto rozdělení. 15. Charakterizujte rozdělení minimálních extrémních hodnot a vysvětlete možnosti využití tohoto rozdělení. 16. Charakterizujte základní typy rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné proměnné a vysvětlete možnosti jejich využití. 17. Vysvětlete význam pojmu „ergodičnost náhodného procesu“.

63

5 PREDIKTIVNÍ ANALÝZY SPOLEHLIVOSTI Prediktivní analýzy spolehlivosti se používají k přezkoumání a předpovědi ukazatelů bezporuchovosti, pohotovosti, udržovatelnosti a bezpečnosti systému. Analýzy spolehlivosti se provádí zejména v etapě volby koncepce a stanovení požadavků, v etapě návrhu a vývoje a v etapě provozu a údržby a to především pro vyhodnocení a stanovení ukazatelů spolehlivosti a pro posouzení zda byly splněny specifikované požadavky. 5.1

Cíle prediktivní analýzy spolehlivosti systému

Analýza spolehlivosti systému je proces, jehož podstatou je získávání, zkoumání a uspořádávání informací specifických a významných pro daný systém a potřebných pro rozhodování o něm a o stanovených cílech. Zkoumání probíhá obvykle na modelu systému. Konečným produktem tohoto procesu je soubor informací o vlastnostech modelu systému. Model může být v průběhu analýzy modifikován. V souladu s touto definicí je primárním cílem analýzy systému získávání informací o něm. Analýza musí být provedena podle jasně stanovených pravidel a postupů, tak aby proces analýzy byl opakovatelný a vždy vedl ke stejným výsledkům (dvě nezávisle provedené analýzy jednoho systémů nemůžou dospět ke vzájemně rozporným výsledkům. Informace, které jsme schopni z analýzy získat nemusí být na první pohled a na jejím začátku zcela zřejmé. Vysvětlení poskytuje Obr. 5.1. Kruh představuje informace, které musí být získány proto, aby analýza systému splnila svůj účel. Analytik, který se zaměřuje na typ problémů A začíná svůj výzkum v této oblasti a vyřešení řady problémů které ho zajímají jej může dovést do oblasti A1; objasnění těchto problémů jej může dále přivést do oblasti A2; atd. Jiný analytik, zaměřený na skupinu problémů B může obdobně dospět k oblastem B1, B2 atd. B2

A2 B1

A1 A

B

INFORMACE Z ANALÝZY

Obr. 5.1 Oblasti informací, získávaných analýzou spolehlivosti. Pro ilustraci problému uvažujme např. elektronický bezpečnostní systém ochrany důležitého průmyslového podniku. Analytik začíná výzkum jeho spolehlivosti identifikací a popisem rozhraní systému, možných příčin a důsledků poruch jeho externího napájecího systému, rozborem poruch vlastního napájecího systému, pokračuje rozborem příčin a důsledků poruch interní elektrické instalace a nakonec jednotlivých výkonných prvků bezpečnostního systému. Uvážit musí vazby mezi prvky a důsledky kombinace poruch jednotlivých prvků na výslednou spolehlivost systému ve všech předpověditelných režimech provozu. Jestliže pak nastane okamžik, kdy je třeba na základě provedené analýzy učinit rozhodnutí, pak obvykle bez ohledu na rozsah prácí, které byly vykonány ještě nemusí být k dispozici všechny úplné a vyčerpávající informace o úrovni bezpečnosti daného systému.

64 V takovém případě výsledky analýzy i přijatá rozhodnutí nesou v sobě ještě určitá rizika nejistoty. Tato rizika musí být pečlivě uvážena, musí být známá a odhadnutelná. Minimalizovat tato rizika znamená zaměřit se od samého začátku analýzy na hlavní charakteristiky systému, přičemž všechny významné charakteristiky musí být uváženy. Nejistoty ve výsledcích analýzy a přijatých rozhodnutích mohou vznikat v principu ze dvou důvodů: • z vnějších a vnitřních omezení - tato omezení mají povahu fyzikální, geografickou, omezení funkcí systému, interference systému s jinými systémy (nižších nebo vyšších řádů), interference s lidským faktorem, s vnějším prostředím a pod. • z požadované hloubky analýzy - je nezbytné hned na začátku specifikovat má-li být analýza provedena do hloubky subsystémů, hlavních agregátů nebo až do úrovně elementárních prvků, protože tyto požadavky limitují i případné nepřesnosti v řešení a závěrech analýzy. Přirozeně že všechna tato omezení a nejistoty mohou být postupně během řešení redukována v důsledku nových nebo zpřesněných informací týkajících se použitých postupů, dílčích výsledků a cílů analýzy. V první fázi je tedy výsledkem procesu analýzy první model systému. Dále se proces analýzy podle potřeby a požadavků několikrát opakuje a novými informacemi zpřesňuje. Po takových úpravách, studiích a revizích vzniká finální model systému. Každý model systémů vytvořený pro potřeby analýzy spolehlivosti musí logicky popisovat funkčnost systému a elementy modelu musí představovat zcela konkrétní jevy, které v tomto případě mají povahu náhodných jevů. Tyto jevy se mohou týkat jak samotného systému, tak i prostředí v němž pracuje, např.: • poruch a selhání funkcí jak prvků systému tak systému jako celku; • způsobů a postupů jeho údržby a oprav; • změn ve způsobu provozu, provozních podmínek, přepravy, skladování; • lidského faktoru, jeho úrovně, chyb v obsluze, případně reakce na změny v chování systémů a pod. Model spolehlivosti by měl tedy postihnout podmínky pro požadovanou funkci, případně podmínky vzniku poruchy a to jak jeho jednotlivých prvků, tak v kombinaci poruch prvků selhání funkce celého systému. Model by také měl umožnit výpočet charakteristik spolehlivosti v podobě konkrétních ukazatelů. 5.2

Metodologické přístupy k analýze

Existují dva rozdílné metodologické postupy při provádění analýzy spolehlivosti systému: induktivní a deduktivní. • Induktivní postup: je založen na provádění analýzy od specifických a elementárních problémů k obecnějším a globálnějším problémům. Od analýzy funkcí a poruch prvků (a jejich kombinací) na nejnižší úrovni členění systému se postupuje k analýze poruch a jejich důsledků na nadřazené systémy až k poruchám celého systému. Tento postup se uplatňuje například v metodě FMEA, kde se posuzují důsledky poruch prvků na funkci nadřazených systémů. Při zkoumání důsledků poruch se tedy uplatňuje induktivní postup. • Deduktivní postup: je založen na provádění analýzy od globálních (obecných) problémů k problémům elementárním. Od analýzy poruch systému na nejvyšší úrovni členění se postupuje k analýze jejich příčin a podílu poruch elementárních prvků na

65 těchto poruchách. Při zkoumání příčin vzniku poruch se tedy uplatňuje deduktivní postup. Tento postup se uplatňuje například v metodě stromu poruch. 5.3

Základní metody analýzy spolehlivosti

Tak jak se vyvíjela spolehlivost jako vědní obor, rozvíjely se i metody analýzy spolehlivosti. Dnes jsou nejvýznamnější metody analýzy spolehlivosti již standardizovány a návody k jejich použití jsou k dispozici ve formě národních, mezinárodní či vojenských norem. V současné praxi se při provádění analýz spolehlivosti můžeme setkat zejména s následujícími metodami: • Předběžná analýza rizik. • Analýza projevů a důsledků poruch (FMEA). • Analýza projevů, důsledků a kritičnosti poruch (FMECA). • Metoda grafů a blokových diagramů bezporuchovosti. • Metoda pravdivostní tabulky. • Metoda orientovaných stromů událostí. • Markovovy metody. • Simulační metody. Podrobněji jsou nejužívanější z těchto metod popsány a vysvětleny na jiném místě této učebnice. 5.4

Hlavní kroky prediktivní analýzy

V principu existují čtyři hlavní kroky (etapy) při provádění prediktivní analýzy spolehlivosti a to: • Funkční a technická analýza. • Kvalitativní analýza. • Kvantitativní analýza. • Syntéza výsledků analýzy. Vzájemná návaznost těchto etap a přehled základních úkolů, které jsou v rámci každé etapy realizovány je znázorněn na Obr. 5.2. 5.4.1

Funkční a technická analýza

V této etapě jsou shromažďována první data o systému a jeho účelu, cílových vlastnostech, funkčních a technických charakteristikách. Jde o data a informace nezbytné pro definování systému a jeho vlastností. Především je nutné shromáždit co nejpodrobnější informace o jeho prvcích z nichž je systém vytvořen. Je provedena první (předběžná) funkční analýza, která by měla vyústit v podrobnější identifikaci a definování hlavních funkcí systému. Je to významné i pro definování všech významných vnějších omezení funkčních vlastností a provozních podmínek. Je to předběžná (první) etapa kvalitativní analýzy která pomáhá zkompletovat údaje, potřebné v dalších etapách analýzy, především pomůže identifikovat všechny funkce a jejich omezení.

66

KROK 1. Funkční a technická analýza

Kolekce dat o systému a jejich funkční a technická charakteristika

Ostatní informace, které se vztahují k systému, jeho prvkům a provozním podmínkám

Předběžná analýza funkčních a technických charakteristik systému Stanovení cílů analýzy spolehlivosti, potřebné specifikace, definice, limity,.. Stanovení úrovně analýzy a hloubky členění systému Praktické rozčlenění systému do zvolené úrovně (na úroveň prvků)

KROK 2. Kvalitativní analýza

Kvalitativní analýza spolehlivosti metodami PHA, FMEA a pod. Vytvoření modelu spolehlivosti, definice modelu funkčnosti Definice a popis poruch systému, kvalitativní klasifikace poruch Souhrnný přehled všech poruch, jejich setřídění a posouzení závažnosti

KROK 3. Kvantitativní analýza

Výpočet ukazatelů spolehlivosti, podle daných kritérií, porovnání s požadavky

Použití údajů o spolehlivosti prvků, předchozích systémů, předpisů, norem,..

Analýza citlivosti systému na spolehlivost jeho prvků

Odhad rizik, nejistot v provozních podmínkách, podkladech a pod.

Souhrnný přehled poruch , jejich setřídění podle závažnosti důsledků

KROK 4. Syntéza

Syntéza výsledků, posouzení dosažené úrovně spolehlivosti, závěry, doporučení

Obr. 5.2 Prediktivní analýza spolehlivosti systému 5.4.2

Kvalitativní analýza

Konečným cílem kvalitativní analýzy je vyhledat všechny poruchy, jejich příčiny a popsat důsledky, které poruchy mohou mít a specifikovat jejich vliv na funkci systému. Existuje velký počet formálních postupů provedení analýzy a je na analytikovi aby k danému účelu zvolil nejlepší s ohledem na podklady, které má k dispozici a na cíle analýzy. Kvalitativní analýza poslouží především k vybudování odpovídajícího modelu spolehlivosti systému. Model musí vycházet ze strukturního členění systému a z řady

67 předpokladů, přijatých pro řešení, např. zda popisuje katastrofický nebo jiný poruchový stav, k jaké konfiguraci systému nebo jeho provozní fázi se model vztahuje, které poruchy jsou apriori považovány za významné až katastrofické, případně které faktory významně ovlivňují vznik těchto poruch. Přirozeně že modelování spolehlivosti systému je těsně svázáno s modelováním fyzikálních jevů a procesů (degradačních procesů), které mohou vyústit v určité fázi provozu až do poruchového stavu. Obecně řečeno, analytik je nucen postavit a analýzou ověřit řadu hypotéz a předpokladů o správné nebo poruchové funkci vztahujících se k analyzovanému systému. Jde o případy, kdy je např. analyzován vliv různých provozních podmínek, variant údržbových postupů, chování obsluhy v normálních nebo mezních situacích apod. na spolehlivou funkci systému nebo na podmínky vzniku předpokládané poruchy. Je potřeba zdůraznit, že kvalita provedené analýzy je přímo závislá na použitém modelu funkčnosti, který musí postihovat co nejpřesněji všechny významné poruchy a jejich vzájemné souvislosti. Od samého začátku kvalitativní analýzy musí být jasně definovány její cíle. Je třeba zjistit, zda byla zpracována studie, obsahující koncepci spolehlivosti, stanovení požadavků na spolehlivost se zvláštním důrazem na požadavky bezporuchovosti, životnosti, udržovatelnosti, pohotovosti, bezpečnosti případně dalších ukazatelů. Další důležitou součástí kvalitativní analýzy je stanovení rozsahu, zaměření a hloubky analýzy. Do jaké hloubky funkčního členění bude (nebo může být) analýza provedena. O tom rozhoduje obvykle hloubka a rozsah informací, které jsou o systému a jeho prvcích k dispozici a také úroveň rozpracovanosti systému. V souladu s požadavkem na hloubku analýzy musí být provedeno i strukturní rozčlenění systému na prvky. I když hloubka členění je libovolná není účelné ji provést do větší hloubky, než do jaké jsou k dispozici konkrétní informace o spolehlivosti prvků systému, zejména o možných poruchách, jejich příčinách a důsledcích. Označení prvek sytému je třeba chápat z praktického hlediska jako takovou část systému, pro kterou může být provedena analýza a pro kterou mohou být specifikovány projevy poruch, jejich příčiny, důsledky a pro kterou jsou k dispozici číselné údaje o poruchách. Ne vždy ovšem je nutné dělat analýzu spolehlivosti až do co nejnižší úrovně členění. 5.4.3

Kvantitativní analýza

V rámci kvantitativní analýzy se provádí výpočet (odhad) kvantitativní (číselné) hodnoty vhodně vybraných ukazatelů spolehlivosti v pojmech např.: pravděpodobnosti vzniku poruchy, nebo stupně závažnosti poruchy, nebo jiného ukazatele. Číselnou hodnotu pravděpodobnosti lze získat vhodnou a dovolenou manipulací s modelem a uvážením elementárních jevů, které model strukturovaně spojuje v analyzovaný (nežádoucí) poruchový stav systému. Mimo dovolené manipulace s modelem, správný výběr vstupních elementárních jevů a vstupních údajů, je dále nezbytné správně uvážit: • dobu provozu na niž se vztahuje analýza (doba trvání mission, fáze provozu, apod.); • způsoby ověřování správné funkce záložních prvků a subsystémů, dobu provádění zkoušek; • zásady provádění preventivní a nápravné údržby (frekvenci a dobu trvání); • přípustný rozsah a rychlost změny provozních podmínek. Vzhledem k tomu, že samotný model a všechny předchozí veličiny mají ze své podstaty stochastickou povahu, řídí se stochastickými zákony a jsou proto zatíženy určitou

68 „nejistotou“ ve svých vlastnostech, bude i výsledek analýzy zatížen jistým rizikem nejistoty v závěrech a doporučeních. Míru tohoto rizika je možné snižovat, nelze ho však zcela odstranit. Nejistoty jsou např. spojeny s posouzením důsledků poruch prvků na závažnost poruchy systému, s odhadem pravděpodobností vzniku poruchy prvků, s posouzením vlivu změny provozních podmínek na vznik poruchy apod. Tyto nejistoty můžeme posoudit a do jisté míry zmenšit analýzou citlivosti systému na uvedené náhodné vlivy. Kvantitativní analýzy je možné obecně provádět „ručně“ pokud jsou systémy jednoduché a ne příliš rozsáhlé, jinak se provádí pomocí výpočetní techniky a speciálních, k tomu účelu vypracovaných programů. 5.4.4

Syntéza výsledků analýzy

Syntéza informací a závěry z kvalitativní a kvantitativní analýzy např. přesně ukáže ty poruchy a jejich kombinace, na nichž je nejvíce závislá spolehlivost systému, odhalí nejkritičtější prvky systému nebo nejvýznamnější funkce systému. Tímto způsobem lze rozhodnout o takových technických či technologických opatřeních, která nejúčinnějším a nejrychlejším způsobem povedou ke zvýšení spolehlivosti, konkrétně bezporuchovosti, bezpečnosti, pohotovosti, udržovatelnosti a jiných vlastností systému. Ze závěrů analýzy je možné usoudit, zda systém splnil nebo nesplnil požadavky na jeho spolehlivost a bezpečnost. Stejně tak analýza může posloužit i k jiným praktickým krokům: • ke zvýšení úrovně spolehlivosti prvků; • ve změnách v zálohování prvků; • ke zdůvodnění nezbytnosti dodatečného zálohování prvků; • k odstranění nadbytečného zálohování; • k dodatečné ochraně nebo monitorování funkcí prvků; • k nezbytnosti zabudování ochrany systému před poruchou společných prvků; • k nezbytnosti předepsat kontrolu správné funkce prvků se skrytými poruchami; • k úpravě preventivních údržbových operací; • ke změnám charakteru a period kontrolních zkoušek; • k minimalizaci rizika vlivu lidského faktoru na spolehlivou funkci systému a pod. Analýza poskytuje celou řadu dalších užitečných informací, využitelných při organizaci, řízení a kontrole provozu. Dává též první podklady pro objektivní plánování systému logistické podpory budoucího provozu.

5.5

Hlavní charakteristiky prediktivní analýzy

Prediktivní analýza spolehlivosti se z obecného hlediska vyznačuje dvěma hlavními a významnými charakteristikami – interaktivností a iterativností. 5.5.1

Interaktivní povaha analýzy

Pro snadnější pochopení podstaty a cílů analýzy spolehlivosti byl postup jejího provádění rozdělen do čtyř samostatných a relativně nezávislých kroků. Ve skutečnosti ovšem toto dělení a nezávislost kroků nemá ostré hranice. Pro každý reálný systém, který má být definován, vyvinut a vyroben mají jednotlivé etapy, jimiž jeho vznik prochází v prováděných činnostech vzájemné průniky. Problém přibližují následující příklady:

69 Výběr a definice prvků, provedený v průběhu počátečního dělení systému by měl vycházet ze skutečně existujících a dostupných informací o jejich spolehlivosti. Nebylo by rozumné ani užitečné provést nejdříve dělení systému na prvky bez znalosti těchto informací a dodatečně je zjišťovat. V takovém případě existuje riziko, že potřebné údaje nebudou pro všechny prvky k dispozici. Rozumnější je nejdříve se přesvědčit o dostupnosti údajů a tomu potom přizpůsobit hloubku a rozsah dělení systému. Hloubka dělení systému, rozsah proveditelnosti analýzy, použité metody analýzy to vše závisí na prostředcích a informacích, které jsou pro analýzu k dispozici. Častěji je nutné počítat s tím, že budou použitelné jen omezené prostředky. Jestliže je dělení systému provedeno do příliš velké hloubky (příliš detailně) a zvolené metody analýzy složité a těžkopádné, analytik se může dostat do časové tísně z nadměrného rozsahu práce a může být ohrožen konečný termín ukončení analýzy. Kvalitativní modelování, které je implicitní součástí analýzy má v sobě i kvantitativní aspekty. Identifikace a definice možných poruch, jejich projevů, důsledků a rizika jejich vzniku mají vždy stochastickou povahu a nesou v sobě i jistou chybu v odhadu. Proto vždy můžeme v analýze pouze předpokládat vznik poruch a jejich důsledků a to obvykle na základě zkušeností získaných empiricky z provozu stejných nebo příbuzných systémů. Tyto zkušenosti potom přenášíme do očekávaného chování nového systému. Přitom je třeba uvážit i takové způsoby poruch případně též jejich kombinací, které jsou pouze předpověditelné, to jest i takových, které se dosud ještě nevyskytly a s nimiž nejsou žádné praktické zkušenosti. U nich potom nemáme k dispozici žádné ověřené kvantitativní informace o pravděpodobnosti jejich vzniku, musíme je odhadovat a tím do analýzy vnášíme další nejistoty stochastické povahy. Tyto nejistoty je možné případně korigovat teprve mnohem později až na základě skutečného provozu. Takže kvalitativní a kvantitativní aspekty analýzy jsou vzájemně úzce spojeny a podmíněny. Závěry z kvalitativní a kvantitativní analýzy mohou objasnit řadu aspektů spojených se spolehlivostí systému a zpětně mohou korigovat i původní členění systému na prvky, jejich výběr, jejich spolehlivostní vlastnosti a ovlivnit i použitý model spolehlivosti systému. KROK 1 Funkční a technická analýza

KROK 2 Kvalitativní analýza

KROK 3 Kvantitativní analýza

KROK 4 Syntéza výsledků a závěry

Změny v systému vedoucí k jeho zlepšení

Přehodnocení a revize systému NE Jsou stanovené cíle splněny? ANO Konec analýzy

Obr. 5.3 Iterativní povaha analýzy spolehlivosti

70 5.5.2

Iterativní povaha analýzy

Ze své povahy má analýza spolehlivosti iterativní charakter. Je integrální součástí všech vývojových prací na systému, přináší náměty a návrhy na změny systému, které jsou důsledkem odhalených nedostatků. První závěry z analýzy vedou ke změnám v systému a ke zvýšení jeho spolehlivosti. Vliv těchto změn a modifikací vyvolává potřebu opakování (aktualizaci) analýzy až do té doby, dokud nejsou splněny na začátku projekčních prací stanovené cíle. Iterativní aspekty, obsažené v analýze spolehlivosti ukazuje Obr. 5.3.

Kontrolní otázky ke 5. kapitole: 1. Vysvětlete co je cílem prediktivní analýzy spolehlivosti. 2. Uveďte nejčastěji používané metody analýzy spolehlivosti. 3. Charakterizujte hlavní kroky prediktivní analýzy. 4. Objasněte interaktivní a iterativní povahu prediktivních analýz.

71

6 SPOLEHLIVOST NEOPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ Tato kapitola pojednává o možnostech analýzy bezporuchovosti systémů pomocí modelování spolehlivosti neopravovaných systémů, tedy systémů, které se po poruše neopravují. Spolehlivost takových systémů je charakterizována především jejich bezporuchovostí a předmětem zkoumání jsou zde podmínky vzniku poruchy jako jevu ukončujícího schopnost systémů plnit požadované funkce, respektive podmínky zachování této schopnosti systému. Poznatky zde uvedené lze také samozřejmě využít pří zkoumání bezporuchovosti opravovaných systémů a to u těch, u kterých nezáleží na pořadí, ve kterém dochází k poruchám. 6.1

Modelování bezporuchovosti systémů

Při zkoumání bezporuchovosti systémů zpravidla nepracujeme přímo se systémem jako takovým, ale nahrazujeme ho určitým modelem, který vhodným způsobem vyjadřuje logiku bezporuchové funkce systému nebo jeho poruchy. Z formálního hlediska může mít takový model celou řadu podob. Využívají se například matematické modely, grafické modely, pravdivostní tabulky, lingvistické popisy apod. V poslední době se také můžeme setkat se softwarovým modelováním bezporuchovosti. Zvláštní místo mezi těmito modely mají grafické modely spolehlivosti. Patří k nejrozšířenějším způsobům modelování bezporuchovosti a ve většině případů jsou také základem pro tvorbu jiných typů modelů. Například matematické a softwarové modely jsou zpravidla odvozovány z grafických modelů. Grafickým modelem spolehlivosti zde rozumíme každé grafické zobrazení systému, které vyjadřuje jeho strukturu a vazebnost, tedy součastně postihuje logiku funkcí systémů (případně poruchy) a uspořádání systému. Model musí jasně vyjadřovat charakter vazeb mezi jednotlivými prvky systému. Obecně tyto vazby mohou být orientované nebo neorientované v závislosti na tom, zda „přenos spolehlivostních informací“ je možný jenom jedním směrem, nebo oběma směry. Pro všechny typy grafických modelů bezporuchovosti platí tzv. „duální princip“, který říká, že záměnou „poruchy“ za „bezporuchovou funkci“ se změní logika sériové struktury na paralelní a opačně. Při tvorbě grafických modelů bezporuchovosti se vychází z teorie sítí a grafů. Nejčastěji jsou využívány následující typy grafických modelů • neorientované grafy, • orientované grafy, • orientované stromy událostí, • logické blokové diagramy. Dále jsou tyto základní typy modelů stručně popsány a jsou zde také uvedeny vybrané pojmy a definice které jsou pří práci s těmito modely často používány. 6.1.1

Neorientovaný graf

Neorientovaným grafem (dále NOG) G rozumíme uspořádanou trojici objektů (U,H,Ψ), kde: U je neprázdná množina uzlů; H je neprázdná množina hran; Ψ je neorientované (neuspořádané) zobrazení množiny hran do množiny uzlů. Je-li např. Ψ(h1) = {u1, u2} říkáme, že hrana h1 spojuje uzly u1 a u2 nebo že uzly u1, u2 a hrana h1 jsou incidentní (související), či hrana h1 má krajní uzly u1 a u2. Uzly představují místa větvení grafu. Hrany představují prvky grafu (systému) a jejich funkci (viz Obr. 6.1).

72 Pro jednoznačné určení grafu je tedy nutno stanovit úplnou trojici objektů (U, H,Ψ). Nejčastěji se při konstrukci grafu G postupuje takto: • Různým uzlům ui ∈ U přiřadíme různé body v rovině; • Hranám hj ∈ H přiřadíme čáry v téže rovině podle následujícího předpisu: jestliže h1 spojuje uzly u1, u2 přiřadíme jí čáru, vedoucí z uzlu u1 do uzlu u2 tak, aby neprocházela žádným jiným bodem přiřazeným nějakému uzlu u ∈ U.

u4 u2

u1

h5 h6

h3

h1 h2

u5

h4 u3

u6

h8 h7

u7

Obr. 6.1 Příklad neorientovaného grafu

Některé důležité vlastnosti NOG: 1) Hrany h1, h2 nazýváme sousední, existují-li tak, že pro ně platí: Ψ(h1) = {ui, uj} a Ψ(h2) = {uj, uk}; 2) Je-li h1 ≠ h2 a současně platí: Ψ(h1) = {u1, u2} a Ψ(h2) = {u1, u2} říkáme, že hrany h1, h2 jsou paralelní; 3) Hranu hi ∈ H, pro níž platí Ψ(hi) = {uk, uk} nazýváme smyčkou; 4) Stupněm uzlu u ∈ U (zapsáno – st(ui) rozumíme počet hran incidentních s uzlem u, přičemž smyčku počítáme dvakrát; 5) Jsou-li množiny {U, H} konečné, říkáme, že NOG je konečný. V opačném případě je NOG nekonečný; 6) NOG, který neobsahuje paralelní hrany ani smyčky nazýváme prostý; 7) Nechť pro dva NOG - {G1,G2 } platí: U1 ⊂ U2 a H1 ⊂ H2 potom říkáme, že G1 je podgrafem grafu G2 resp., že G2 je nadgrafem grafu G1 a symbolicky to zapisujeme G1 ⊂ G2. Při použití NOG pro modelování bezporuchovosti graf zobrazuje logickou strukturu systému, přičemž hrany grafu představují jednotlivé prvky systému (subsystémy, agregáty či součásti – dle podrobnosti modelu) a uzly znázorňují vazebnost systému, tedy funkční či logické propojení prvků. Obecně graf musí vyjadřovat jak správná funkce systému závisí na správné funkci jednotlivých prvků systémů. Bezporuchový stav systému je určen existencí alespoň jednoho úspěšného propojení mezi počátečním a koncovým uzlem grafu. NOG může také být využit pro modelování poruchy systému. Graf potom vyjadřuje závislost poruchy celého systému na poruchách jednotlivých prvků systému.

73 6.1.2

Orientovaný graf:

Zvláštností orientovaných grafů je, že každé hraně grafu je zadán „směr“ - hrana je orientována. Orientovaným grafem (OG) rozumíme uspořádanou trojici objektů (U, H, Ω), kde: U je neprázdná množina uzlů; H je neprázdná množina hran; Ω je orientované (uspořádané) zobrazení množiny hran do množiny uzlů. Orientace hrany je vyjádřena šipkou. Je-li např. Ω(h1) = {u1, u2} říkáme, že hrana h1 má počáteční uzel u1 a koncový uzel u2 nebo že uzly u1, u2 a hrana h1 jsou incidentní (související), či hrana h1 má krajní uzly u1 a u2. Uzel představuje místo větvení funkcí v grafu (místo větvení průchodu signálu grafem). Hrana představuje funkci prvku v zobrazené funkční struktuře systému. Orientovaný graf se znázorňuje graficky v rovině stejně jako NOG s tím rozdílem, že každé hraně (čáře) přiřazujeme šipkou orientaci od počátečního uzlu (přesněji od bodu, odpovídajícímu počátečnímu uzlu hrany) ke koncovému uzlu (viz Obr. 6.2). u2

u3

h2 h3

h1 u1

u0

u4

h5

u5

h4

h6 u6

u7

Obr. 6.2 Příklad orientovaného grafu Některé důležité vlastnosti OG: Vedle analogických vlastností 1), 2), 6) a 8) z NOG známe u OG další vlastnosti: • Orientovaný graf OG nazýváme prostým, jestliže neobsahuje smyčky a větve paralelní ve stejném smyslu; • Orientovanou cestou z u0 do un délky n nazýváme konečnou posloupnost hran h, jejichž zobrazení Ω tvoří posloupnost typu: {u0, u1}, {u1, u2}, …{un-1, un}. • Je-li u0 = un , nazveme tuto posloupnost cyklem (posloupnost hran vychází z uzlu u0 a po n-hranách se opět vrací do u0). Pro použití OG při modelování bezporuchovosti systémů platí obdobné zásady jaké byly uvedeny u NOG. 6.1.3

Orientovaný strom událostí

V teorii spolehlivosti jsou často využívány různé speciální orientované grafy se zvláštním významem. Jsou často užívaným nástrojem spolehlivostí analýzy složitých systémů. Užíváme pro ně speciální pojmenování, např. orientovaný strom událostí, (událostí může být stav bezporuchové funkce, nebo stav poruchy a pod nebo jakákoliv jiná, přesně definovaná událost.). Nejznámějším typem tohoto typu grafu je strom poruch. Orientovaný strom poruch (OSP) je OG, kterým budeme rozumět konečný orientovaný graf typu T≡{U,V,Ω} s těmito vlastnostmi: • Kořen stromu: Existuje právě jeden uzel K ∈ U, z něhož nevystupuje žádná větev a do něhož právě jedna větev vstupuje. Uzel K se nazývá kořen stromu, označuje se často T = TOP a říká se mu také vrcholový jev;

74 • •

•

Listy stromu: Existuje konečná množina uzlů L ∈ U takových, pro které platí, že do nich žádná větev nevstupuje a z nich právě jedna větev vystupuje. Uzel těchto vlastností se nazývá listem stromu; Uzly větvení: Existuje konečná množina uzlů stromu, které nejsou ani kořen ani listy, jimiž prochází konečný počet větví stromu a jimž je podle určitého pravidla přiřazen jeden ze dvou logických (Booleovských) operátorů. Používají se především tyto dva operátory: AND - průniku jevů (symbolické označení ⊗ ); OR - sjednocení jevů (symbolické označení ⊕ ). Stav listů: každému listu je přiřazena buď: jedna z dvojice hodnot binárních proměnných xi = 1 nebo xi = 0 která popisuje stav - prvku systému. Pro tuto proměnnou platí: xi = 1 – znamená poruchový stav prvku; xi = 0 – znamená bezporuchový stav prvku; - nebo číselná hodnota pravděpodobnosti poruchového stavu p(xi = 1) nebo bezporuchového stavu p(xi = 0). Předpokládá se, že tato pravděpodobnost bude pro všechny listy známa a to buď v podobě hodnoty nezávislé na době provozu nebo jako hodnota závislá na době provozu vyjádřená konkrétním zákonem rozdělení pravděpodobnosti. K

T = TOP

u0 u1

u3

u2

L0

L1

L2

L3

u4

L4

L5

L6

Obr. 6.3 Příklad formálního orientovaného stromu poruch Další důležité pojmy Nechť systém S sestává z N prvků takových, že v každém časovém okamžiku t u každého z nich dokážeme definovat jeden ze dvou vzájemně disjunktních stavů, a sice použitelný stav (xi = 0) nebo stav poruchový (xi = 1). Potom můžeme definovat následující pojmy: • Úspěšnou cestou (UC) v systému S = {S1, S2, …Si,… SN} rozumíme takovou podmnožinu prvků {Si}, kdy podmnožina prvků i = 1,2,3,….q ≤ N, je-li každý její prvek

75

•

•

•

ve stavu xi = 0 má to za následek, že je současně systém ve stavu xS = 0. Ostatní prvky systému N – q mohou být ve stavu (xi = 1). Minimální úspěšnou cestou (MUC) v systému S nazveme každou podmnožinu prvků v systému {Sj}, kde j = 1,2,3,…..r ≤ q, jež je sama úspěšnou cestou, ale žádná její vlastní podmnožina již úspěšnou cestou není. Kritickým řezem (KR) v systému S = {S1, S2, …Si,… SN} rozumíme takovou podmnožinu prvků {Si}, kdy podmnožina prvků i = 1,2,3,….s ≤ N, je-li každý její prvek ve stavu (xi = 1) má to za následek, že je současně systém ve stavu xS = 1. Ostatní prvky systému N – s mohou být ve stavu xi = 0. Minimálním kritickým řezem (MKR) v systému S nazveme každou podmnožinu prvků v systému {Sj}, kde j = 1,2,3,…..p ≤ s, jež je sama kritickým řezem, ale žádná její vlastní podmnožina již kritickým řezem není.

Množina všech minimálních úspěšných cest Nechť je známa množina všech {MUC-r} v systému S. Potom lze bezporuchový stav systému xS = 0 zobrazit logickým schématem podle Obr. 6.4. Prvky v každé sériové větvi schématu tvoří vždy jednu MUC. Celkový počet MUC v systému nechť je r.

MUC-1

S11

S21

Sq11

MUC-2

S12

S22

Sq22

O

I

O

I

S1r

MUC-r

S2r

Sqnr

Obr. 6.4 Množina minimálních úspěšných cest Tedy bezporuchový stav systému S se dá tímto způsobem zobrazit ve tvaru závislé paralelně – sériové struktury, kde qi značí počet prvků v i-té minimální úspěšné cestě. Řešit takovou soustavu je potom možné klasickým postupem. Každé minimální úspěšné cestě lze přiřadit tzv. koeficient významnosti ξ, který vyjadřuje relativní míru jejího podílu na výsledné bezporuchovosti celého systému. Koeficient má tedy význam podmíněné pravděpodobnosti toho, že je systém v bezporuchovém stavu, díky správné funkci příslušné MUC. ξi = RMUCi / RSYST kde:

RMUCi je pravděpodobnost bezporuchového stavu i-té MUC; RSYST je pravděpodobnost bezporuchového stavu celého systému.

(6.1)

76 Množina všech minimálních kritických řezů Nechť je známa množina všech {MKR-s} v systému S. Potom stav systému xS = 1 lze zobrazit logickým schématem podle Obr. 6.5. Prvky v každé paralelní větvi schématu tvoří vždy jeden MKR.

I

I

MKR-1

MKR-2

MKR-s

S11

S12

S1s

S21

S22

S2s

Sp11

Sp22

Spns

O

O

Obr. 6.5 Množina minimálních kritických řezů Tedy poruchový stav systému S se dá tímto způsobem zobrazit ve tvaru závislé sériově paralelní struktury, kde pi značí počet prvků v i-tém minimálním řezu. Řešit takovou soustavu je potom možné klasickým postupem. I zde je možné každému minimálnímu kritickému řezu přiřadit tzv. koeficient významnosti ϕ, který vyjadřuje relativní míru jeho přispění k výslednému poruchovému stavu celého systému. Koeficient má tedy význam podmíněné pravděpodobnosti toho, že nastane-li porucha systému, je její příčinou nastoupení daného MKR. ϕi = QMKRi / QSYST kde:

QMKRi je pravděpodobnost poruchy i-tého MKR; QSYST je pravděpodobnost poruchy celého systému.

6.1.4

Logický blokový diagram

(6.2)

Logický blokový diagram (LBD) je grafický model systému, kde jednotlivé prvky systému Ei jsou symbolicky znázorněny obdélníky (bloky) a funkční (logické) vazby mezi jednotlivými prvky jsou znázorněny hranami, které podobně jako u grafů mohou být neorientované nebo orientované. V diagramu také musí byt vyznačena vstupní a výstupní brána. Prvky mezi vstupní a výstupní bránou jsou uspořádány a propojeny tak aby reprezentovaly všechny „úspěšné cesty“ systému. Vstupní a výstupní brána diagramu se označuje písmeny I (input) a O (ouput) případně šipkami. Příklady blokových diagramů jsou uvedeny na Obr. 6.6. LBD může znázorňovat jak logiku bezporuchové funkce (blokový diagram bezporuchovosti) tak i logiku poruchy (blokový diagram poruchy).

77

E1

E2 E1

E3

E4

E5

E6

E7

I

E2

E3 E4

O

E5

Obr. 6.6 Příklady logického blokového diagramu Podobně jako v případě stromu poruch můžeme i u LBD definovat kritické řezy a úspěšné cesty. U blokových diagramů se pracuje především s úspěšnými cestami. K objasnění tohoto pojmů u LBD využijeme poněkud názornější metodu a budeme tento pojem definovat s využitím jeho grafické interpretace.

E2

I

E3

E4

E7

O

E5

Obr. 6.7 Minimální úspěšné cesty systému Minimální úspěšnou cestu LBD lze určit tak, že od vstupní brány směrem k výstupní bráně blokového diagramu vedeme čáru podél hran diagramu. Každá množina prvků kterými taková čára prochází představuje minimální úspěšnou cestu systému. Příklad grafického určení minimálních úspěšných cest je znázorněn na Obr. 6.7. Analogicky by bylo možné definovat i minimální kritické řezy.

6.2

Základní typy neopravovaných systémů

V této kapitole budou probrány základní typy neopravovaných systémů, používaných v teorii spolehlivosti k popisu funkcí složitých technických objektů a probrány některé vybrané metody výpočtu jejich spolehlivosti. V zásadě se všechny typy systémů dají redukovat na tři základní typy: • sériové, • paralelní, • smíšené (sériově-paralelní; paralelně-sériové).

78 1.1.1

Sériový systém

Sériový systém je nejjednodušší a často se vyskytující strukturou v analýzách bezporuchovosti systémů. Pro jeho charakteristiku je nutné zdůraznit důležitou okolnost bez ohledu na konstrukční a technologické provedení konkrétního objektu je jeho funkčnost daná sériovou strukturou tehdy, jestliže platí, že při poruše kteréhokoliv jednotlivého prvku objektu dojde k poruše celého objektu (ukončení jeho schopnosti plnit požadované funkce). Příklad grafických modelů sériového systému je na Obr. 6.8. I

1

2 1

3 2

i

N

N-1

O

N

Obr. 6.8 Blokový diagram a orientovaný graf bezporuchovosti sériového systému Sériový sytém se tedy nachází v bezporuchovém stavu tehdy a jen tehdy, jsou-li v daném okamžiku současně v bezporuchovém stavu všechny jeho prvky. Analogicky se sériový systém nachází v poruchovém stavu tehdy, je-li v daném okamžiku v poruchovém stavu alespoň jeden jeho prvek. Dále budeme označovat bezporuchový stav i-tého prvku jako jev Ai a jeho poruchový stav jako jev A i a obdobně pro systém - bezporuchový stav AS a poruchový stav A S . Pravděpodobnost toho, že se i-tý prvek systému nachází v bezporuchovém stavu bude označována P(Ai) = Ri a pravděpodobnost poruchového stavu P( A i ) = Qi. Pro systém budeme psát: P(AS) = RS a P( A S ) = QS. V souladu s výše uvedeným potom můžeme sériový systém, který je složen z N prvků, charakterizovat následujícími rovnicemi: (6.3)

i= N

A S = A1 ∩ A 2 ∩ ........ ∩ A i ∩ ........ ∩ A N −1 ∩ A N = A i i =1

i= N

(6.4)

A S = A1 ∪ A 2 ∪ ........ ∪ A i ∪ ........ ∪ A N −1 ∪ A N = A i i =1

S využitím známých pravidel potom můžeme vyjádřit pravděpodobnost toho, že se sériový systém nachází v bezporuchovém stavu následující rovnicí:  i= N  R S = P(A S ) = P(A1 ∩ A 2 ∩ ............ ∩ A i ∩ ........... ∩ A N ) = P A i   i =1 

(6.5)

Při praktickém použití této rovnice mohou nastat dva případy: • Vznik poruch jednotlivých prvků systému je vzájemně nezávislý. Potom lze rovnici (6.5) přepsat do tvaru: i= N

R S = P(A S ) = P(A1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ .......... ⋅ P(A i ) ⋅ ......... ⋅ P(A N ) = ∏ R i i =1

(6.6)

79 •

Vznik poruch je vzájemně závislý. Potom musíme pracovat s tak zvanou úplnou pravděpodobností a rovnice (6.5) přejde do tvaru: R S = P(A1 ) ⋅ P(A 2  A 1 ) ⋅ P(A 3 A1 ∩ A 2 ) ⋅ ..... ⋅ P(A N A 1 ∩ A 2 ∩ .... ∩ A N −1 )

(6.7)

Protože bezporuchový a poruchový stav představují dva komplementární jevy platí pro jejich pravděpodobnosti následující vztah: QS = 1 − R S

(6.8)

Obr. 6.9 Závislost bezporuchovosti sériového systému na bezporuchovosti prvků Z rovnice (6.6) je zřejmé, že výsledná úroveň bezporuchovosti sériového systému je závislá jak na počtu prvků systému tak i na úrovni jejich bezporuchovosti, to je dobře patrné z Obr. 6.9, kde je znázorněna závislost pravděpodobnosti bezporuchového stavu sériového systému na pravděpodobnosti bezporuchového stavu prvků systému při jejich různém počtu (předpokládá se zde, že systém je složen s identických prvků tj. prvků se stejnou bezporuchovostí). Z rovnice (6.6) je také patrné, že výsledná pravděpodobnost bezporuchového stavu sériového systému nikdy nemůže být vyšší, než je nejnižší hodnota pravděpodobnosti bezporuchového stavu jeho prvků: R S ≤ (R i )min

Jde o matematicky vyjádřený princip nejslabšího článku v řetězci náhodných událostí.

(6.9)

80 Vliv časové závislosti poruch Pravděpodobnost nastoupení poruch jednotlivých prvků systému je vždy závislá na době provozu a s délkou provozu se zvyšuje. Proto i pravděpodobnost bezporuchového stavu systému je závislá na době provozu což lze symbolicky vyjádřit vztahem. (6.10)

R S = R S (t) Tento vztah můžeme s využitím rovnice (6.6) dále upravit do tvaru: i= N

R S ( t ) = R 1 ( t ) ⋅ R 2 ( t ) ⋅ .......... ⋅ R i ( t ) ⋅ ......... ⋅ R N ( t ) = ∏ R i ( t )

(6.11)

i =1

kde Ri(t) představuje tzv. funkci bezporuchovosti i-tého prvku, která je dána konkrétním typem rozdělení náhodné proměnné a příslušnými parametry tohoto rozdělení. Například pro exponenciální rozdělení platí: i= N  i= N  R S ( t ) = exp(−λ S ⋅ t ) = ∏ exp(−λ i ⋅ t ) = exp − ∑ λ i ⋅ t  i =1   i =1 Z uvedené rovnice vyplývá, že: i= N

λS = ∑ λ i

(6.12)

(6.13)

i =1

Slovně vyjádřeno - rozdělení pravděpodobnosti poruch sériového systému, jehož prvky mají exponenciální rozdělení pravděpodobnosti poruch je opět exponenciální s výslednou intenzitou poruch systému rovnou součtu intenzit poruch jeho prvků. Komentář k možnostem užití sériového systému: Sériové zapojení prvků představuje co do číselné hodnoty odhadu pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému nejhorší případ. Předpoklad sériového uspořádání prvků systému vede k určení nejnižší pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému, předpoklad jakéhokoliv jiného uspořádání prvků vždy povede k určení vyšší pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému. Tento fakt může být využit pro odhady minimální úrovně bezporuchovosti systémů bez složitého modelování jejich struktury (postačuje znalost souboru prvků které systém tvoří a údajů o jejich bezporuchovosti). Toho lze využít například pro předběžné odhady bezporuchovosti systémů v ranných předvýrobních etapách, kdy struktura systému dosud není zcela jasná, nebo pro jednoduchý odhad bezporuchovosti vysoce složitých systémů, jejichž modelování je komplikované. Zde je však třeba zdůraznit, že zejména u složitých struktur, kde jsou často využívány paralelní vazby a různé způsoby zálohování prvků, může vést aplikace sériového modelu k značně zkreslenému hodnocení bezporuchovosti systému. Proto je třeba oprávněnost použití sériového modelu v každém jednotlivém případě důkladně posoudit. Odpovídající pozornost je také třeba věnovat otázce posouzení závislosti poruch jednotlivých prvků systému a ohodnocení statistické významnosti těchto závislostí. V případě, kdy tyto závislosti existují, ale jsou prokazatelně „slabé“, je možné přijmout předpoklad o statistické nezávislosti poruch prvků a pro výpočet použít rovnici (6.6). Pokud jsou však závislosti poruch prvků statisticky významné je nezbytné tuto skutečnost akceptovat a pro výpočet použít podmíněné pravděpodobnosti podle rovnice (6.7).

81 6.2.2

Paralelní systém

Paralelní systém je druhou nejjednodušší a často se vyskytující strukturou v analýzách spolehlivosti systémů. Paralelní strukturou nazýváme takové funkční uspořádání systému pro které, bez ohledu na jeho konkrétní konstrukční a technologické provedení, platí, že k poruše systému (ukončení jeho schopnosti plnit požadované funkce) dojde až při současné poruše všech jeho prvků objektu. Příklad blokového schématu paralelního systému je na Obr. 6.10.

1 2

I

O i N

Obr. 6.10 Blokové schéma paralelního systému Paralelní systém se tedy nachází v bezporuchovém stavu tehdy, je-li v bezporuchovém stavu alespoň jeden jeho prvek. Analogicky se paralelní systém nachází v poruchovém stavu tehdy a jen tehdy, jsou-li v poruchovém stavu současně všechny jeho prvky. Paralelní systém složený z N prvků tak můžeme charakterizovat následujícími rovnicemi: i= N

(6.14)

A S = A1 ∪ A 2 ∪ ........ ∪ A i ∪ ........ ∪ A N −1 ∪ A N = A i i =1

i= N

A S = A1 ∩ A 2 ∩ ........ ∩ A i ∩ ........ ∩ A N −1 ∩ A N = A i

(6.15)

i =1

Při dalším popisu bezporuchovosti paralelního systému budeme vycházet z rovnice (6.15), která popisuje poruchový stav systému. S využitím známých pravidel potom můžeme vyjádřit pravděpodobnost toho, že se paralelní systém nachází v poruchovém stavu následující rovnicí:

•

 i= N  (6.16) Q S = P(A S ) = P( A1 ∩ A 2 ∩ ........ ∩ A i ∩ ........ ∩ A N −1 ∩ A N ) = P A i   i =1  Při praktickém použití této rovnice mohou nastat dva případy: Vznik poruch jednotlivých prvků systému je vzájemně nezávislý. Potom lze rovnici (6.16) přepsat do tvaru: i= N

Q S = P(A S ) = P( A1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ .......... ⋅ P( A i ) ⋅ ......... ⋅ P( A N ) = ∏ Q i i =1

(6.17)

82 •

Vznik poruch je vzájemně závislý. Potom musíme pracovat s úplnou pravděpodobností a rovnice (6.16) přejde do tvaru: Q S = P( A1 ) ⋅ P(A 2  A1 ) ⋅ P( A 2 A1 ∩ A 2 ) ⋅ ..... ⋅ P( A N A1 ∩ A 2 ∩ .... ∩ A N −1 )

(6.18)

Protože poruchový a bezporuchový stav jsou vzájemně komplementární jevy můžeme pro paralelní systém psát: i= N

R S = 1 − QS = 1 − ∏ Qi

(6.19)

i =1

A protože pro jednotlivé prvky systému platí: R i = 1 − Qi

(6.20)

S využitím rovnic (6.19) a (6.20) potom můžeme vyjádřit pravděpodobnost bezporuchového stavu paralelního systému rovnicí: i= N

R S = 1 − ∏ (1 − R i )

(6.21)

i =1

Z této rovnice je zřejmé, že výsledná úroveň bezporuchovosti paralelního systému je závislá jak na počtu prvků systému, tak i na úrovni jejich bezporuchovosti. Charakter těchto závislostí je dobře patrný z Obr. 6.11, kde je znázorněna závislost pravděpodobnosti bezporuchového stavu paralelního systému na pravděpodobnosti bezporuchového stavu prvků při jejich různém počtu (předpokládá se zde použití prvků s identickými vlastnostmi, tj. prvků se stejnou bezporuchovostí).

Obr. 6.11 Závislost bezporuchovosti paralelního systému na bezporuchovosti prvků

83 Z rovnice (6.21) je také patrné, že výsledná pravděpodobnost bezporuchového stavu paralelního systému nikdy nemůže být nižší, než je nejvyšší hodnota pravděpodobnosti bezporuchového stavu jeho prvků: R S ≥ (R i ) max

(6.22)

Vliv časové závislosti poruch Pokud vezmeme v úvahu, že pravděpodobnost bezporuchového stavu systému i jeho prvků je závislá na době provozu můžeme rovnici (6.21) formálně upravit do tvaru: i=N

R S ( t ) = 1 − ∏ [1 − R i ( t )]

(6.23)

i =1

Pro exponenciální rozdělení rovnice (6.23) přejde do následujícího tvaru: i= N

R S ( t ) = 1 − ∏ [1 − exp(−λ i ⋅ t )]

(6.24)

i =1

Lze ukázat, že v případě kdy platí podmínka λ t << 1, což je u současných, vysoce spolehlivých technických objektů zpravidla dostatečně splněno, je možné pravděpodobnost bezporuchového stavu prvku za předpokladu exponenciálního rozdělení vyjádřit následujícím přibližným vztahem:

R i (t) = 1 − λ i ⋅ t

(6.25)

s jehož použitím lze rovnici (6.24) přepsat do tvaru: i=n

1 − λ S t = 1 − ∏ [1 − (1 − λ i t )]

(6.26)

i =1

Vzhledem k tomu, že intenzita poruch se u exponenciálního rozdělení s časem nemění (je konstantní), nemá smysl v dalších úpravách rovnice (6.26) operovat časem a je možné tuto rovnici dále formálně vyšetřovat v čase t = 1. Za tohoto předpokladu lze rovnici (6.26) přepsat do tvaru: i=n

λS = ∏ λi

(6.27)

i =1

Komentář k možnostem užití paralelního systému Paralelní zapojení prvků představuje co do číselné hodnoty odhadu pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému nejlepší případ. Předpoklad paralelního uspořádání prvků systému vede k určení nejvyšší pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému, předpoklad jakéhokoliv jiného uspořádání prvků vždy povede k určení nižší pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému. Předpoklad paralelního zapojení prvků tedy vede ke stanovení nejvyšší možné hodnoty pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému. Oprávněnost použití paralelního modelu je tedy třeba v každém jednotlivém případě důkladně posoudit. Neodůvodněná aplikace paralelního modelu může vést ke značně

84 zkreslenému hodnocení bezporuchovosti systému tak, že mu bude přisuzována podstatně vyšší úroveň bezporuchovosti, než kterou reálně má. Podobně jako u sériového systému i v případě paralelního systému hraje významnou roli závislost poruch prvků systému a s ohledem na to, je třeba vždy zvažovat zda pro výpočet bude vycházet z rovnice (6.17) nebo (6.18). 6.2.3

Smíšené systémy

Systémy, které se vyskytují v praktických situacích nebývají obvykle čistě sériové nebo paralelní, ale tzv. „smíšené“. Vyskytují se v nich vazby mezi prvky jak sériové, tak paralelní. Proto se takové systémy nedají jednoduše řešit pomocí již popsaných postupů a je nutné zvolit postupy jiné. V následující části proto budou popsány některé obecnější přístupy k odhadu pravděpodobnosti bezporuchového (případně poruchového) stavu takových systémů Metoda dekompozice systému. V případech, kdy je systém koncipován tak, že obsahuje vnitřní sériové a paralelní struktury můžeme pro řešení použít postup, založený na dekompozici systému. Jednotlivé části systému, které jsou tvořeny čistě paralelní či sériovou strukturou postupně nahrazujeme fiktivními prvky u nichž stanovíme pravděpodobnost bezporuchového stavu dříve popsanými způsoby s využitím rovnic (6.6) a (6.21). Takto postupujeme až k určení výsledné pravděpodobnosti bezporuchového stavu celého systému. Tato metoda, tak jak je dále popsána, může být použita pouze pro systémy, kde jsou poruchy jednotlivých prvků nezávislé. S ohledem na tento požadavek musí být konstruován i model systému, kde se smí každý jednotlivý prvek systému objevit jen jednou. Nejlépe budeme demonstrovat postup na příkladu. Mějme za úkol odvodit výraz pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému, znázorněného na Obr. 6.12, kde jsou také naznačeny jednotlivé kroky dekompozice. Blokové schéma systému postupně zjednodušujeme a jednotlivé části systému, které mají prostou sériovou nebo paralelní strukturu nahrazujeme fiktivními prvky jejichž pravděpodobnost bezporuchového stavu si vždy s využitím známých vztahů vyjádříme. Tak postupujeme pokud není model systému zredukován na jednoduché paralelní či sériové zapojení, s jehož využitím potom snadno umíme vyjádřit výslednou pravděpodobnost bezporuchového stavu systému. Zpětným dosazením dílčích výrazů potom obdržíme výsledný vztah pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému a dosazením číselných hodnot pravděpodobností prvků také obdržíme výslednou pravděpodobnost pro systém. Pokud budou pro jednotlivé prvky známy zákony rozdělení pravděpodobnosti jako funkce doby provozu můžeme takto určit i pravděpodobnost bezporuchového stavu systému jako funkci doby provozu.

85

1. krok II

I

5

2 6

4 3

I

1 8

11

7

III

9

10

R I = 1 − [(1 − R 2 ) ⋅ (1 − R 3 )]

R II = 1 − [(1 − R 5 ) ⋅ (1 − R 6 ) ⋅ (1 − R 7 )]

R III = R 8 ⋅ R 9 ⋅ R 10 2. krok A

I

I

1

4

II

11

O

III

R A = R I ⋅ R 4 ⋅ R II 3. Krok B

I

1

A

11

O

III

R B = 1 − [(1 − R A ) ⋅ (1 − R III )] 4. krok I

1

B

11

R S = R 1 ⋅ R B ⋅ R 11 Obr. 6.12 Postup dekompozice systému

O

O

86 Inspekční metoda. Podstata metody spočívá v tom, že stav systému vyjádříme jako logickou kombinaci jevů vyjadřujících stavy jednotlivých prvků a dále vyšetříme s jakou pravděpodobností tato kombinace jevů může nastat. Logický výraz vyjadřující stav systému vytváříme na základě „inspekce“ modelu systému, při které zkoumáme logické vazby mezi stavem jednotlivých prvků a stavem systému. Zde je třeba podotknout, že předmětem našeho zkoumání nemusí být pouze bezporuchový stav systému, ale stejně tak to může být i komplement tohoto stavu, tedy poruchový stav. Při inspekci systému opět můžeme využít principu dekompozice. Postupně nahrazujeme ty části systému, které jsou tvořeny prostými sériovými a paralelními strukturami fiktivními prvky. Tak postupujeme dokud nezredukujeme celý systém na jednoduchou sériovou nebo paralelní strukturu. Potom zapíšeme logický výraz který popisuje stav tohoto zredukovaného systému a postupně do něj dosazujeme dílčí výrazy popisující stav zavedených fiktivních prvku. II 1 I

I 2

4

O

3

Obr. 6.13 Příklad použití inspekční metody Například pro bezporuchový stav systému znázorněného na Obr. 6.13 můžeme psát: A S = A 4 ∩ A II = A 4 ∩ (A I ∪ A 1 ) = A 4 ∩ [(A 2 ∩ A 3 ) ∪ A1 ]

(6.28)

Dalším krokem řešení je nalezení vztahu pro pravděpodobnost toho, že se systém bude nacházet v popsaném stavu. K tomu lze v zásadě použít dva postupy: • Převod logického výrazu popisujícího stav systému do disjunktní formy a vyjádření pravděpodobnosti příslušného stavu systému s využitím známých vztahů pro pravděpodobnost průniku a sjednocení disjunktních jevů. • Přímým vyjádřením pravděpodobnosti toho, že se systém nachází ve stavu popsaném logickým výrazem a postupnou úpravou výpočtového vztahu s využitím pravidel pro výpočet pravděpodobnosti průniku a sjednocení nedisjunktních jevů. a) Převod logického výrazu do disjunktního tvaru Cílem postupu je úprava logického výrazu do tvaru, který představuje sjednocení řady vzájemně disjunktních jevů, protože s použitím známých vztahů jsme schopni snadno vyjádřit pravděpodobnost takto popsaného jevu. Při úpravách se používají základní vztahy pro operace s jevy. Zvláštní význam pro tyto úpravy má vztah pro převod sjednocení dvou nedisjunktních jevů na disjunktní tvar:

(

A∪B = A∪ A∩B

)

(6.29)

87 Podstata této úpravy je zřejmá z následujících obrázků (Vennovy diagramy). Na Obr. 6.14 je graficky znázorněno sjednocení jevů A a B tak jak je vyjadřuje levá strana rovnice (6.29). Z obrázku je patrné, že jevy mají průnik a tedy nejsou disjunktní. Na Obr. 6.15 je potom graficky znázorněna pravá strana rovnice (6.29). Obrázek jasně ukazuje, že v tomto případě jsou sjednocovány jevy, které žádný průnik již nemají a jsou tedy vzájemně disjunktní. Lze pro ně tedy přímo napsat vztah pro pravděpodobnost: P(A ∪ B) = P(A) + P( A ) ⋅ P(B)

Obr. 6.14 Sjednocení nedisjunktních jevů

Obr. 6.15 Sjednocení disjunktních jevů Výše uvedené poznatky je možné zobecnit i pro sjednocení více jak dvou jevů. Snadno lze ukázat že opakovanou aplikací pravidla vyjádřeného rovnicí (6.29), můžeme převést na disjunktní tvar sjednocení jakéhokoliv počtu jevů. Nechť máme N vzájemně nedisjunktních jevů A1, A2 …. AN. Jejich sjednocení lze převést na tvar vyjadřující sjednocení vzájemně disjunktních jevů následujícím způsobem: i= N

A i =1

i

= A 1 ∪ (A1 ∩ (A 2 ∪ (A 2 ∩ (A 3 ∪ (A 3 ∩ .... ∩ (A N −1 ∪ (A N −1 ∩ A N )))..)) (6.30)

Aplikací tohoto pravidla a s využitím dalších pravidel pro operace s jevy uvedenými v kapitole 4.1.4, potom můžeme na disjunktní tvar převést libovolný logický výraz. Praktický postup takového převodu budeme demonstrovat na příkladu logického výrazu (6.28). Nejdříve výraz upravíme do následujícího tvaru: A S = (A 1 ∩ A 4 ) ∪ (A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) a na výraz aplikujeme pravidlo naznačené v rovnici(6.30):

[

A S = (A 1 ∩ A 4 ) ∪ (A1 ∩ A 4 ) ∩ (A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )

]

88 Dále použijeme De Morganův zákon a obdržíme:

[

A S = (A 1 ∩ A 4 ) ∪ ( A1 ∪ A 4 ) ∩ (A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )

]

Díky této úpravě se ve výrazu objevilo nové sjednocení, které je opět třeba převést na disjunktní tvar:

[

]

A S = (A 1 ∩ A 4 ) ∪ { A1 ∪ (A 1 ∩ A 4 ) ∩ (A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )} = = (A 1 ∩ A 4 ) ∪ (A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )

Tato rovnice již vyjadřuje sjednocení dvou vzájemně disjunktních jevů vyjádřených výrazy v závorkách. Rovnici proto můžeme s použitím vztahů pro pravděpodobnost disjunktních jevů snadno přepsat do tvaru vyjadřujícího pravděpodobnost bezporuchového stavu systému: P(A S ) = P(A1 ) ⋅ P(A 4 ) + P( A1 ) ⋅ P(A 2 ) ⋅ P(A 3 ) ⋅ P(A 4 ) =

= P(A1 ) ⋅ P(A 4 ) + [1 − P(A 1 )]⋅ P(A 2 ) ⋅ P(A 3 ) ⋅ P(A 4 ) =

= P ( A 1 ) ⋅ P ( A 4 ) + P ( A 2 ) ⋅ P( A 3 ) ⋅ P ( A 4 ) − P ( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅ P( A 3 ) ⋅ P ( A 4 ) Na závěr k tomuto postupu poznamenejme, že je výhodné vždy na začátku řešení uspořádat logický výraz vyjadřující stav systému tak, aby v něm byly sjednocované jevy uspořádány zleva doprava podle složitosti. To znamená tak, aby první člen ve výrazu vyjadřoval průnik nejmenšího počtu jevů a poslední člen průnik nejvyššího počtu jevů. Dodržení tohoto pravidla může značně zjednodušit operace prováděné při převodu výrazu do disjunktního tvaru. b) Přímé vyjádření pravděpodobnosti jevu Tento postup je založen na znalosti vztahu pro výpočet pravděpodobnosti sjednocení dvou nedisjunktních jevů A a B, který je prezentován v kapitole 4.1.4. Tento vztah lze také obdržet úpravou rovnice (6.29). Jak již bylo dříve ukázáno, pravá strana této rovnice představuje sjednocení dvou disjunktních jevů a proto může být snadno vyjádřena pravděpodobnost tohoto výrazu rovnicí:

[

]

P(A ∪ B) = P A ∪ (A ∩ B) = P(A) + P(A ) ⋅ P(B)

(6.31)

kterou lze dále upravit do následujícího tvaru: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) ⋅ P(B)

(6.32)

S využitím tohoto pravidla je potom možné vyjádřit pravděpodobnost libovolného logického výrazu popisujícího stav systému. Vlastní postup potom spočívá v tom, že přímo vyjádříme pravděpodobnost zkoumaného stavu objektu jako pravděpodobnost nastoupení jevu popsaného příslušným logickým výrazem. V dalším řešení potom výraz nejdříve upravíme tak aby představoval prosté sjednocení dvou jevů. Potom s využitím pravidla naznačeného rovnicí (6.31) vyjádříme pravděpodobnost tohoto sjednocení jevů jako součet pravděpodobností těchto jevů zmenšený o pravděpodobnost jejich průniku. Tento postup opakujeme dokud pravděpodobnost logického výrazu není vyjádřena jako prostý součet pravděpodobností průniků jevů. V posledním kroku řešení, v souladu se známými pravidly, vyjádříme pravděpodobnost každého průniku jevů jako součin pravděpodobností jednotlivých jevů.

89 Tento postup si prakticky ukážeme na rovnici (6.28). Nejdříve přímo vyjádříme pravděpodobnost jevu popsaného logickým výrazem: P(A S ) = P{A 4 ∩ [(A 2 ∩ A 3 ) ∪ A1 ]} Dále upravíme výraz v závorce na pravé straně rovnice tak, aby představoval prosté sjednocení průniků jevů: P(A S ) = P[(A 1 ∩ A 4 ) ∪ (A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 )] Nyní upravíme výraz na pravé straně rovnice v souladu s pravidlem pro výpočet pravděpodobnosti sjednocení nedisjunktních jevů: P(A S ) = P(A1 ∩ A 4 ) + P(A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) − P(A1 ∩ A 4 ) ⋅ P(A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) Tuto rovnici již snadno upravíme do konečného tvaru uplatněním pravidla pro výpočet pravděpodobnosti průniku jevů: P ( A S ) = P ( A 1 ) ⋅ P ( A 4 ) + P ( A 2 ) ⋅ P( A 3 ) ⋅ P ( A 4 ) − P( A 1 ) ⋅ P ( A 2 ) ⋅ P ( A 3 ) ⋅ P ( A 4 ) Porovnáním se můžeme přesvědčit že jsme dospěli ke stejnému výsledku jako při převodu logického výrazu do disjunktního tvaru. Komentář k možnostem použití inspekční metody Metodu je možné použít i v případě kdy poruchy prvků jsou vzájemně závislé. Potom je však třeba aplikovat známá pravidla pro práci s podmíněnou pravděpodobností. Výsledný vztah pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému ve výše demonstrovaném příkladu by při vzájemné podmíněnosti jevů přešel do tvaru: P(A S ) = P(A1 ) ⋅ P(A 4A 1 ) + P(A 2 ) ⋅ P(A 3A 2 ) ⋅ P(A 4A 2 ∩ A 3 ) − − P(A 1 ) ⋅ P(A 2A 1 ) ⋅ P(A 3A 1 ∩ A 2 ) ⋅ P(A 4A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ) Inspekční metoda také může být s úspěchem použita i v případě, kdy se v modelu systému objevuje jeden a tentýž prvek opakovaně. Důsledné dodržování pravidel operací s jevy a pravděpodobnostmi zajistí, že opakovaný výskyt stejného prvku v modelu neovlivní výsledek řešení. To však platí jen v případě, že opakující se prvek je v modelu systému na všech místech výskytu vždy označován stejně (jevy reprezentující stav takového prvku musí mít vždy stejný index). Známými postupy také můžeme při použití metody uvažovat závislost pravděpodobností jednotlivých stavů na době provozu. Nevýhodou metody je skutečnost, že u složitějších systémů s vysokým počtem prvků její použití vede ke komplikovaným a zdlouhavým matematickým úpravám výpočtových vztahů. Proto vždy, když je to možné je výhodnější použít metodu dekompozice, pokud tomu nebrání její omezení.

90 6.3

Složitější modely neopravovaných systémů

V praxi se často setkáváme se systémy, jejichž funkce jsou natolik komplexní, že pro vyjádření jejich logiky jsou jednoduché sériově paralelních struktury nedostatečné a k jejich popisu je vhodnější využít složitějších modelů. Dále jsou uvedeny nejčastěji se vyskytující příklady takových složitějších modelů včetně možností jejich řešení. 6.3.1

Systém „m dobrých z n“

Systém „m dobrých z n“ je takový systém, který má n ≥ m prvků a k jehož bezporuchové funkci musí být v bezporuchovém stavu alespoň m prvků v libovolné kombinaci. Systému se někdy říká systém, pracující v logice m/n . Model systému může být znázorněn například jako sériově paralelní systém, který je tvořen paralelními větvemi, přičemž v každé větvi je do série zapojeno právě m prvků. Každá větev systému potom představuje právě jednu z možných kombinací bezporuchových stavů prvků, která zajišťuje, že se celý systém nachází v bezporuchovém stavu. Příklad grafu takového systému je znázorněn na Obr. 6.16. Na základě znalostí z kombinatoriky můžeme počet větví takového systému určit ze vztahu: n n! k =   =  m  m! ⋅ (n − m)!

(6.33)

V praxi systémy m/n zpravidla znázorňujeme zjednodušeně pomocí blokových schémat, kde jsou jednotlivé prvky systému zapojeny do paralelní struktury u které je naznačena logika funkce systému výrazem m/n. Příklad takového blokového diagramu je uveden na Obr. 6.17).

Obr. 6.16 Graf systému „m dobrých Uvedený model lze považovat za zobecnění základních typů systémů. Zahrnuje v sobě paralelní systém pro m = 1, i sériový systém pro m = n. Systém m/n tvořený identickými prvky V případě, že je systém pracující v logice m/n tvořen identickými prvky můžeme pravděpodobnost bezporuchového stavu systému stanovit relativně jednoduše s využitím poznatků o binomickém rozdělení. Proto, abychom mohli použít tento postup nemusí být prvky systému nezbytně konstrukčně shodné, ale bude postačovat, když budou mít stejné

91 spolehlivostí vlastnosti, konkrétně stejnou pravděpodobnost bezporuchového provozu. Musí tedy platit: (6.34)

P(A1 ) = P(A 2 ) = P(A 3 ) = ....... = P(A n ) = p Pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému potom platí: RS =

n n k n! n −k   ⋅ p ⋅ ( 1 − p ) = ⋅ p k ⋅ (1 − p) n − k ∑ ∑ k k ! ⋅ ( n − k )! k =m   k=m n

(6.35)

Jestliže je pravděpodobnost poruchy prvků závislá na době provozu a je znám zákon rozdělení této pravděpodobnosti můžeme pravděpodobnost bezporuchového stavu systému vyjádřit také jako funkci doby provozu. Například pro exponenciální rozdělení, kdy bude platit: (6.36)

p = e − λ⋅t přejde rovnice (6.35) do tvaru: R S (t) =

n

n!

∑ k!⋅ (n − k)! ⋅ e

− k ⋅λ⋅ t

k=m

(

⋅ 1 − e − λ⋅t

)

(6.37)

n −k

Výpočet bezporuchovosti systému m/n užitím pravdivostní tabulky V případě kdy systém m/n není tvořen identickými prvky je možné pro stanovení pravděpodobnosti bezporuchového (případně poruchového) stavu systému využít pravdivostní tabulku s jejíž pomocí vyhledáme všechny kombinace stavů prvků systému, při kterých je systém v provozuschopném stavu. Vlastní postup budeme demonstrovat na příkladu systému znázorněného na Obr. 6.17, který pracuje v režimu 2/3. Tento systém se nachází v bezporuchovém stavu pokud jsou v bezporuchovém stavu alespoň dva libovolné prvky systému. 1

I

2

2/3

O

3

Obr. 6.17 Systém pracující v logice 2/3 V prvním kroku řešení připravíme pravdivostní tabulku do které vyznačíme všechny možné kombinace stavů jednotlivých prvků a každé této kombinaci přidělíme odpovídající stav systému a zapíšeme logický výraz popisující danou kombinaci stavů. Jednotlivé stavy prvků i systému budeme v tabulce označovat následujícím způsobem: 1 – poruchový stav, 0 – bezporuchový stav. V logických výrazech budeme jevy představující bezporuchový stav prvků označovat písmeny A, B a C a bezporuchový stav systému písmenem S. Jevy reprezentující poruchové stavy budou označovány stejnými písmeny s pruhem A, B, C a S . Vlastní postup tvorby pravdivostní tabulky pro systém znázorněný na Obr. 6.17 je patrný z Tab. 6.1.

92 Z tabulky je zřejmé, že vyšetřovaný systém je v bezporuchovém stavu jestliže se jeho prvky nachází ve stavech popsaných kombinacemi (4), (6), (7) a (8). Ostatní kombinace odpovídají poruchovému stavu systému. V souladu s tímto zjištěním můžeme bezporuchový stav systému popsat rovnicí: (6.38)

S = ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C) ∪ ( A ∩ B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C)

Tento výraz již představuje sjednocení vzájemně disjunktních jevů a bude tomu tak vždy, když při tvorbě logického výrazu bude využita pravdivostní tabulka, protože, každý řádek v tabulce vždy representuje jedinečnou kombinaci stavů prvků, která vylučuje možnost aby současně nastala jiná z kombinací. O tom, že jevy sjednocované v rovnici (6.38) jsou skutečně disjunktní se můžeme přesvědčit i na Vennově digramu Obr. 6.18, který znázorňuje možné kombinace stavů prvků systému . Tab. 6.1 Pravdivostní tabulka Kombinace

Prvek 1

Prvek 2

Prvek 3

Systém

Logický výraz

(1)

1

1

1

1

A ∩B∩C

(2)

1

1

0

1

A ∩B∩ C

(3)

1

0

1

1

A ∩ B ∩C

(4)

1

0

0

0

A∩B∩C

(5)

0

1

1

1

A ∩ B∩C

(6)

0

1

0

0

A ∩B∩ C

(7)

0

0

1

0

A ∩ B ∩C

(8)

0

0

0

0

A∩B∩C

Protože logický výraz v rovnici (6.38) vyjadřuje sjednocení disjunktních jevů, můžeme rovnici snadno přepsat do tvaru vyjadřujícího pravděpodobnost bezporuchového stavu systému: P(S) = P( A ) ⋅ P( B) ⋅ P(C) + P(A) ⋅ P( B) ⋅ P(C) + P(A) ⋅ P( B) ⋅ ( C ) + P( A) ⋅ P( B) ⋅ P(C) = = P( A) ⋅ P( B) + P(B) ⋅ P(C) + P( A) ⋅ P(C) − 2 ⋅ P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C)

(6.39)

Metoda pravdivostní tabulky je obecně použitelná metoda, kterou je možno aplikovat v podstatě na jakýkoliv systém, u kterého je možné pro každou možnou kombinaci stavů prvků systému jednoznačně určit stav systému. Tato metoda je tedy použitelná jak pro systémy kde jsou poruchy prvků vzájemně závislé (potom je třeba důsledně respektovat pravidla pro práci s pravděpodobností podmíněných jevů) tak i u systémů v jejichž modelech se jeden a tentýž prvek objevuje více jak jednou. Metoda je také využitelná u některých systémů se složitější strukturou popsaných v kapitole 6.3.2.

93

Obr. 6.18 Možné kombinace stavů prvků systému Pravdivostní tabulka je velmi názorná a pro systémy s malým počtem prvků i vhodná metoda, avšak u systémů s vyšším počtem prvků generuje velmi mnoho kombinací stavů prvků systému a metoda se stává relativně obtížnou a mnohdy manuálně neproveditelnou. Pokud uvažujeme jen dva možné stavy prvků a systému – poruchový a bezporuchový, musíme u systému s N prvky vyšetřit celkem 2N kombinací stavů prvků. Například u systému tvořeného 10 prvky bychom již museli použít tabulku s 1024 řádky. Toto omezení metody však dnes můžeme snadno překonat při využití výkonné výpočetní techniky a vhodného softwaru. Výpočet bezporuchovosti systému m/n inspekční metodou Inspekční metodu popsanou v kapitole 6.2.3 lze s jistými úpravami použít i pro stanovení pravděpodobnosti bezporuchového (případně poruchového) stavu systému pracujícího v logice m/n. U těchto systémů však zpravidla není možné při tvorbě logického výrazu popisujícího stav systému využít postupného zjednodušování modelu systému (dekompozice), jak to bylo ukázáno u smíšených systémů. Modely používané pro grafické znázornění systému m/n totiž obvykle vyjadřují logiku jejich funkce jen symbolicky a nikoli skutečným uspořádáním prvků v modelu (viz Obr. 6.17). Logický výraz popisující stav objektu se u systému m/n vytváří jako přímý jevový popis logiky jeho funkce. Prakticky si tento postup ukážeme na příkladu systému pracujícího v logice 2/3, jehož model je na Obr. 6.17. Tento systém se nachází v bezporuchovém stavu, pokud se v bezporuchovém stavu nachází alespoň dva z jeho prvků. Jinak řečeno - v bezporuchovém stavu musí být libovolné dva prvky systému, nebo všechny tři prvky systému. Tuto podmínku lze vyjádřit následujícím logickým výrazem: S = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C)

(6.40)

Obdobným způsobem můžeme vyjádřit i komplement k tomuto stavu, tedy stav poruchový. Systém se nachází v poruchovém stavu, pokud se v poruchovém stavu nachází více jak jeden prvek systému. Jinak řečeno v poruchovém stavu musí být současně libovolné dva prvky systému, nebo všechny tři prvky systému: S = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C ) ∪ ( A ∩ B ∩ C )

(6.41)

94 Dalším krokem řešení je nalezení vztahu pro pravděpodobnost toho, že se systém bude nacházet v popsaném stavu. K tomu lze obdobně jako u smíšených systémů použít dva postupy. • Převod logického výrazu popisujícího stav systému do disjunktní formy. • Přímým vyjádřením pravděpodobnosti logického výrazu. Oba tyto postupy jsou podrobně popsány v kapitole 6.2.3. Další postup řešení zde bude demonstrován cestou převodu logického výrazu na disjunktní formu. Předmětem úpravy zde bude logický výraz z rovnice (6.41). Protože se již jedná o poměrně složitý výraz budeme zde pro zjednodušení zápisů používat na místo symbolů pro průnik a sjednocení znaménka „krát“ a „plus“ (s logickým významem). Rovnici (6.41) tedy zapíšeme ve tvaru: S = A ⋅B + A ⋅C + B⋅C + A ⋅B⋅C

Na všechna naznačená sjednocení ve výrazu potom aplikujeme De Morganův zákon:

[

(

)]

S = A ⋅ B + A ⋅B⋅ A ⋅C + A ⋅C⋅ B⋅C + B⋅C⋅ A ⋅ B⋅C =

(

){

(

)[

(

)

= A⋅B + A + A⋅ B ⋅ A⋅C + A + A⋅ C ⋅ B⋅C + B + B⋅C ⋅A ⋅B⋅C

]}

Dalšími úpravami potom dospějeme ke konečnému výrazu, který popisuje bezporuchový stav systému v disjunktní formě: S = A ⋅B + A ⋅ B⋅C + A ⋅ B ⋅C

(6.42)

Pokud porovnáme tento výsledek s rovnicí (6.38), ve které je výraz popisující bezporuchový stav stejného systému určený s pomocí pravdivostní tabulky, vidíme že se výsledky liší. Liší se však pouze formálně. Pokud si znázorníme logický výraz z rovnice (6.42) graficky s využitím Vennova diagramu (viz Obr. 6.19) a porovnáme ho s grafickým vyjádřením výrazu z rovnice (6.38) na Obr. 6.18, vidíme že se výsledky shodují. Z uvedeného je zřejmé, že jeden a tentýž stav systému může být v disjunktní formě vyjádřen formálně různými, ale vzájemně ekvivalentními výrazy.

Obr. 6.19 Grafické vyjádření bezporuchového stavu systému

95 S využitím rovnice (6.42) nyní snadno můžeme vyjádřit pravděpodobnost bezporuchového stavu systému: P(S) = P(A) ⋅ P(B) + P(A ) ⋅ P(B) ⋅ P(C) + P(A) ⋅ P( B) ⋅ P(C) = = P(A) ⋅ P(B) + [1 − P(A)]⋅ P(B) ⋅ P(C) + P(A) ⋅ [1 − P(B)]⋅ P(C) = = P(A) ⋅ P(B) + P(B) ⋅ P(C) + P(A) ⋅ P(C) − 2 ⋅ P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(C) Porovnáním tohoto výsledku s rovnicí (6.39) se můžeme přesvědčit, že jsme dospěli ke shodnému výsledku jako při použití pravdivostní tabulky. Ke stejnému výsledku bychom také dospěli při přímém vyjádření pravděpodobnosti logického výrazu z rovnice (6.40) a za použití postupu naznačeného v kapitole 6.2.3. 6.3.2

Systémy s multifunkčními prvky

Až dosud jsme pracovali především s modely, v nichž byly při znázorňování logické funkce systému použity pouze sériové a paralelní struktury a každý prvek systému se v modelu objevoval vždy právě jen jednou. V praxi se však často setkáváme se systémy jejichž funkce tímto jednoduchým způsobem nelze popsat. Týká se to například všech systémů v jejichž konstrukci jsou použity tak zvané multifunkční prvky. To jsou prvky, které se z hlediska bezporuchovosti podílí na plnění více jak jedné funkce a často se používají pro zdvojení (zálohování) funkcí jiných prvků, nebo částí systému. Pro systémy, které zahrnují multifunkční prvky je typické, že jejich funkci nelze znázornit jednoduchou sériově paralelní strukturou bez toho, aniž by se v modelu objevoval jeden a tentýž prvek na více místech. Při tvorbě modelu systému s multifunkčními prvky se pro vyjádření logiky jejich funkce často používají orientované a můstkové vazby mezi prvky. Příklady takových modelů jsou znázorněny na Obr. 6.20. Blokový diagram a) z tohoto obrázku představuje jednoduchý model palivového systému dvoumotorového letounu. Prvky B a E představují motory letounu. Prvky A a D zdroje paliva pro prvý respektive druhý motor. Prvek C představuje záložní zdroj paliva pro oba motory. Funkce celého systému je dostatečně zřejmá z modelu. Multifunkčním prvkem v tomto systému je prvek C, který současně zálohuje činnost prvků A a D. Blokový diagram b) z Obr. 6.20 reprezentuje jednoduchý logický model brzdového systému dvounápravového vozidla. Prvek B představuje brzdy zadní nápravy vozidla, prvek D brzdy přední nápravy. Běžně v provozu jsou brzdy obou náprav ovládány hydraulickým systémem, který je znázorněn blokem C. Brzdy zadní nápravy je také možno ovládat prostřednictvím mechanického systému znázorněného blokem A (tzv. ruční brzda). Multifunkčním prvkem v tomto systému je prvek C. Blokový diagram c) na Obr. 6.20 znázorňuje model zdrojové části hydraulického systémů, kde bloky A a C představují nádrže, bloky B a D čerpadla a blok E propojovací ventil. Při běžném provozu čerpadlo B nasává hydraulickou kapalinu z nádrže A a čerpadlo D z nádrže C. V případě nutnosti je možno otevřít ventil „křížového propojení“E, který umožní zásobování čerpadla B z nádrže C, případně čerpadla D z nádrže A. Jako multifunkční zde pracuje prvek E.

96

A

I

B

C

A

B

A

O

O I

D

C

E a)

I

B

O

E

D

C

b)

D c)

Obr. 6.20 Modely systémů s multifunkčními prky Při vyšetřování bezporuchovosti systémů s multifunkčními prvky se zpravidla používají dva postupy: a) Transformace modelu systému do sériově paralelní struktury a použití standardních postupů. b) Aplikace věty o úplné pravděpodobnosti. Transformace modelu Každý model systému s multifunkčními prvky lze transformovat na logicky ekvivalentní model se sériově paralelní strukturou. Obvykle se postupuje tak, že se na základě analýzy logiky funkce systému identifikuje množina všech minimálních úspěšných cest (viz kapitola 6.1.4) a ta se graficky vyjádří jako sériově paralelní blokový diagram, kde je každá větev diagramu tvořena do série uspořádanými prvky reprezentující jednu z úspěšných cest. Takto vybudovaný blokový diagram je již diagram s jednoduchou sériově paralelní strukturou, kde se však některé prvky systému vyskytují opakovaně. V Obr. 6.21 jsou znázorněny transformované modely blokových diagramů z Obr. 6.20 (ve stejném pořadí).

A

B

C

B

A

O I

I C

E

D

E

a)

B

C

D

C

B

b)

A

B

C

D

O I

O A

E

D

C

E

B

c)

Obr. 6.21 Transformované modely systémů s multifunkčními prvky Transformované modely již můžeme řešit standardními postupy. Použitelné jsou v podstatě všechny dosud popsané metody s výjimkou metody dekompozice. Striktně je však nutné dodržovat zásadu, že bloky v diagramu, které představují jeden a tentýž prvek

97 systému musí být shodně označovány, stejně tak, jako jevy a pravděpodobnosti, které jsou jim přiřazovány. V některých případech není nutné transformaci modelu systému provádět a můžeme pracovat přímo se systémem, který nemá sériově paralelní strukturu. Například u většiny jednodušších systému (s malým počtem prvku) lze poměrně snadno určit logický výraz popisující stav systému i bez znalosti transformované struktury (snadno si ji dovedeme představit). Avšak v případě složitých struktur zahrnujících velké množství prvků se jednoznačně doporučuje systematické vyšetření všech minimálních úspěšných cest a vytvoření transformovaného modelu. Aplikace věty o úplné pravděpodobnosti. Pří výkladu o podmíněné pravděpodobnosti v kapitole 4.2.4 byla zformulována tzv. věta o úplné pravděpodobnosti, která se dá s úspěchem použít při určování pravděpodobnosti bezporuchového stavu systémů s multifunkčními prvky. Metoda je založena na faktu, že pravděpodobnost bezporuchového stavu libovolného systému se dá formálně vyjádřit vztahem: R S = P(SA i ) ⋅ P(A i ) + P(SA i ) ⋅ P( A i )

(6.43)

kde výraz P(SAi) označuje pravděpodobnost bezporuchového stavu systému za předpokladu, že i-tý prvek systému je v bezporuchovém stavu a výraz P(S A i ) označuje pravděpodobnost toho, že se systém nachází v bezporuchovém stavu za předpokladu, že itý prvek systému je v poruchovém stavu. Při výpočtu se potom postupuje tak, že pravděpodobnost bezporuchového stavu systému vyjádříme s pomocí rovnice (6.43), přičemž jako i-ty prvek vyjádřený v rovnici vezmeme některý z multifunkčních prvků systému. Dále upravíme blokový diagram systému tak aby v jednom případě znázorňoval logiku funkce systému za podmínky že uvažovaný i-tý prvek je v bezporuchovém stavu a ve druhém případě za podmínky, že je tento prvek v poruchovém stavu. Jestliže takto vzniklé grafy mají jednoduchou sériově paralelní strukturu můžeme známými postupy určit podmíněné pravděpodobnosti naznačené v rovnici (6.43) a vypočítat pravděpodobnost bezporuchového stavu celého systému aplikací věty o úplné pravděpodobnosti. Jestliže vzniklé grafy nemají sériově paralelní strukturu (obsahují další bloky reprezentující multifunkční prvky) vyjádříme pravděpodobnost bezporuchového stavu těchto dílčích grafů podle rovnice (6.43) a celý postup podle potřeby opakujeme, dokud nedospějeme k jednoduchým sériově paralelním grafům. Prakticky si tento postup ukážeme na blokového diagramu a) z Obr. 6.20. Nejdříve vyjádříme pravděpodobnost bezporuchového stavu tohoto systému podle rovnice (6.43): R S = P(SC) ⋅ P(C) + P(SC ) ⋅ P( C )

(6.44)

Dále výše popsaným způsobem upravíme diagram systému a získáme jeden diagram znázorňující logiku funkce systému za podmínky že prvek C je v provozuschopném stavu a druhý vyjadřující logiku funkce systému za podmínky že prvek C je v poruchovém stavu (viz Obr. 6.22).

98 B

I

A

O E

Prvek C je v bezporuchovém stavu

B

O

I D

E

Prvek C je v poruchovém stavu

Obr. 6.22 Grafické vyjádření podmíněných stavů systému Na základě těchto diagramů již snadno můžeme vyjádřit (například použitím inspekční metody) obě podmíněné pravděpodobností z rovnice (6.44): P(SC) = P(B) + P(E ) − P(B) ⋅ P(E)

P(SC ) = P(A) ⋅ P(B) + P(D) ⋅ P(E) − P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(D) ⋅ P(E) Dosazením těchto výrazů do rovnice (6.44) potom obdržíme vztah pro pravděpodobnost bezporuchového stavu systému: R S = [P(B) + P(D) − P(B) ⋅ P(D)]⋅ P(C) +

+ [P(A) ⋅ P(B) + P(D) ⋅ P(E) − P(A) ⋅ P(B) ⋅ P(D) ⋅ P(E)]⋅ [1 − P(C)]

Aplikace věty o úplné pravděpodobnosti často vede k podstatně jednoduššímu a rychlejšímu určení hledané pravděpodobnosti než cestou transformace modelu a použitím klasických metod vyhodnocení modelu. Možnost použití tohoto modelu není omezena pouze na systémy s multifunkčními prvky, ale je obecně použitelná. Značně zjednodušit řešení například může v případě některých rozsáhlejších systémů m/n. 6.3.3

Složité systémy

Blokové diagramy složitých systémů často mohou být velice komplikované. Při pečlivém prošetření se však zpravidla ukáže, že některé části diagramu vytváří relativně izolované subsystémy s jedním vstupem a jedním výstupem a se zřetelnou vnitřní strukturou, kterou jsme schopni řešit známými postupy. Potom lze k vyšetření bezporuchovosti systému použít metodu redukce, kdy tyto jednotlivé subsystémy nahradíme fiktivními bloky, čímž se model systému zjednoduší do řešitelné podoby. Například model složitého systému znázorněného na Obr. 6.23 lze tímto způsobem zredukovat do podoby jednoduchého diagramu znázorněného na Obr. 6.24. Při určování prvků systému, které budou seskupeny a považovány za jeden subsystém je třeba postupovat tak, aby jednotlivé subsystémy, které budou nahrazeny fiktivními bloky, byly statisticky nezávislé, měly jen jeden „vstup“ a jeden „výstup“ a s ostatními subsystémy propojeny jednoduchými vazbami. Z tohoto požadavku také vyplývá, že žádný jednotlivý prvek systému se nesmí objevit více jak u jednoho subsystému.

99

1

A

B

F

C

G H

D

I

E

K

J

O

I

P

L

R M

3

2

N

2/4

S O

T

4

Obr. 6.23 Model složitého systému

1

2

O

I 3

4

Obr. 6.24 Redukovaný model složitého systému 6.4

Zvláštnosti spojené se specifikací struktury systému

Nezbytným předpokladem pro aplikaci všech výše prezentovaných výpočtových postupů je navržení věcně správného modelu, který reprezentuje logiku funkcí systému a umožňuje popis jeho bezporuchovosti. Jednou z nejvýznamnějších zvláštností, se kterou se při tvorbě modelů bezporuchovosti setkáváme je skutečnost, že logická struktura systému z hlediska bezporuchovosti zpravidla není totožná s konstrukčním uspořádáním prvků systému. To je dáno tím, že při zkoumání bezporuchovosti nás nezajímá vlastní prvek či systém, ale projev jeho existence – jeho funkce. Proto je třeba při tvorbě modelu bezporuchovosti jednoznačně vycházet z analýzy funkcí jednotlivých prvků systému a jejich vztahu k funkcím systému jako celku. Často se tak v praxi můžeme setkat s případem, že prvky které jsou z hlediska konstrukce objektu uspořádány vedle sebe (paralelně) mají z hlediska bezporuchovosti sériovou strukturu a naopak. U některých typů prvků se dokonce může stát, že se nám z hlediska různých funkcí mohou stejné prvky jevit různě uspořádány. Typickým příkladem mohou být prvky s vlastnostmi logického spínače, jejichž funkce je charakteristická dvěma funkčními stavy. Mohou to být například elektrické spínače (sepnuto – rozepnuto), pneumatické a hydraulické ventily (zavřeno – otevřeno),

100 mechanické zámky polohy (zamčeno – odemčeno) a podobně. V dalším budou všechny tyto prvky souhrnně označovány jako spínače. 1 2 3 • • •

n

Obr. 6.25 Paralelní zapojení spínačů Na Obr. 6.25 je znázorněna soustava n paralelně zapojených spínačů. Pokud jsou ve výchozím stavu všechny spínače rozepnuty a budeme u této soustavy modelovat funkci sepnutí příslušného obvodu jsou spínače uspořádány i z hlediska bezporuchovosti v paralelní struktuře, protože k sepnutí obvodu postačuje správná funkce (sepnutí) jen jednoho z prvků. Pravděpodobnost bezporuchové funkce sepnutí u tohoto systému je tedy dána známým vztahem: n

R S = 1 − ∏ (1 − R i ) ,

(6.45)

i =1

kde Ri vyjadřuje pravděpodobnost bezporuchové funkce sepnutí i-tého spínače. Pokud u soustavy na Obr. 6.25 jsou ve výchozím stavu všechny spínače sepnuty a budeme modelovat funkci přerušení příslušného obvodu, jsou spínače z hlediska bezporuchovosti uspořádány sériově, protože má-li být obvod přerušen musí být ve stavu správné funkce (rozepnuty) součastně všechny prvky tohoto systému. Pravděpodobnost bezporuchové funkce rozepnutí u této soustavy je dána vztahem: (6.46)

n

RS = ∏Ri i =1

kde Ri je pravděpodobnost bezporuchové funkce rozepnutí u i-tého spínače. Analogická situace je u soustavy n sériově zapojených spínačů (viz Obr. 6.26). Když sledujeme funkci rozepnutí obvodu, má soustava z hlediska bezporuchovosti charakter paralelní struktury a když sledujeme funkci sepnutí má charakter sériové struktury. Z uvedeného je patrné, že struktury tvořené prvky s charakterem logického spínače mohou navenek vykazovat různou úroveň bezporuchovosti, v závislosti na funkci, kterou od nich požadujeme. Tyto poznatky musíme reflektovat i při tvorbě modelů bezporuchovosti systémů zahrnujících takové prvky. 1

2

3

n • • • • • •

Obr. 6.26 Sériově zapojené spínače

101 Kontrolní otázky k 6. kapitole: 1. Vysvětlete co rozumíme orientovaným a neorientovaným grafem, popište základní vlastnosti těchto grafů a možnosti jejich použití při modelování bezporuchovosti. 2. Vysvětlete co rozumíme orientovaným stromem událostí, popište jeho základní vlastnosti a možnosti jeho využití při modelování bezporuchovosti. Objasněte význam pojmů minimální kritický řez a minimální úspěšná cesta. 3. Objasněte charakter logických blokových diagramů a popište možnosti jejich využití při modelování bezporuchovosti objektů. Naznačte postup určení minimálních úspěšných cest u logických blokových diagramů. 4. Charakterizujte vlastnosti sériového systému a odvoďte pravděpodobnosti bezporuchového stavu tohoto systému.

vztah

pro

určení

5. Charakterizujte vlastnosti paralelního systému a odvoďte vztah pro určení pravděpodobnosti bezporuchového stavu tohoto systému. 6. Vysvětlete vliv složitosti (počtu prvků) sériového a paralelního systému na jeho výslednou bezporuchovost. 7. Vysvětlete postup určení pravděpodobnosti bezporuchového stavu smíšeného systému metodou dekompozice. Uveďte základní výpočtové vztahy a omezující podmínky pro použití metody. 8. Vysvětlete postup určení pravděpodobnosti bezporuchového stavu smíšeného systému inspekční metodou. Uveďte základní výpočtové vztahy a omezující podmínky pro použití metody. 9. Vysvětlete postup určení pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému pracujícího v logice m/n metodou pravdivostní tabulky. Charakterizujte možnosti použití metody. 10. Vysvětlete postup určení pravděpodobnosti bezporuchového stavu systému pracujícího v logice m/n inspekční metodou. Charakterizujte možnosti použití metody. 11. Vysvětlete význam pojmu „multifunkční prvek“ a objasněte jak se použití multifunkčních prvků projeví při modelování bezporuchovosti systému. 12. Objasněte základní možnosti výpočtu pravděpodobnosti bezporuchového stavu u systémů s multifunkčními prvky. 13. Objasněte zásady a postup redukce (zjednodušení) složitých blokových diagramů při jejich výpočtu. 14. Vysvětlete jaké důsledky pro modelování bezporuchovosti systému má použití prvků s charakterem logického spínače.

102

7 SPOLEHLIVOST OPRAVOVANÝCH SYSTÉMŮ Tato kapitola pojednává o možnostech modelování spolehlivosti opravovaných systémů, tedy systémů, které se po poruše opravují. Spolehlivost takových systémů je charakterizována především jejich pohotovostí a předmětem zkoumání jsou zde možné stavy systému a podmínky přechodu systému mezi těmito stavy. Pohotovostí zde rozumíme schopnost systému být ve stavu schopném plnit požadované funkce v daných podmínkách, v daném časovém okamžiku nebo v daném časovém intervalu, za předpokladu, že jsou zajištěny požadované vnější prostředky. 7.1

Východiska analýzy spolehlivosti opravovaných systémů

Východiskem pro analýzu spolehlivosti opravovaných objektů je tak zvaná analýza prostoru stavů v nichž se systém může nacházet. Systém se obecně může nacházet v mnoha různých stavech, přičemž každý z nich je určen určitou kombinací stavů jednotlivých prvků systému. Obdobně se v řadě stavů, které se náhodně střídají může nacházet i každý prvek systému. Proces kdy se v čase náhodně mění stavy sledovaných objektů je obecně označován jako náhodný proces Markovova typu, který může mít čtyři základní podoby: • diskrétní stav a diskrétní čas; • diskrétní stav a spojitý čas; • spojitý stav a diskrétní čas; • spojitý stav a spojitý čas. Jestliže stavy prvku mají diskrétní charakter, znamená to že prvek se může nacházet pouze v některém z konečného počtu stavů. Nejčastěji se můžeme setkat s dvoustavovým modelem kde se prvek nachází buď ve funkčním nebo v nefunkčním stavu. V případě spojitého stavu je stav prvku obvykle charakterizován nějakou fyzikální veličinou, která může náhodně nabývat všech hodnot z určitého rozsahu. Například výstupní napětí zdrojového bloku systémů může (v závislosti na technickém stavu bloku) nabývat libovolné hodnoty napětí od nuly až po určitou jmenovitou hodnotu. Pokud ke změně stavu prvků může dojít v kterémkoliv časovém okamžiku, hovoříme o spojitém čase a v případě kdy k přechodu z jednoho stavu do druhého může dojít jen v určitých časových okamžicích hovoříme o diskrétním čase. Stav Nefunkční stav

Funkční stav Porucha

Obnova

Porucha

Čas

Obr. 7.1 Prostý proces obnovy V technické praxi se nejčastěji setkáváme s prvky (systémy), které jsou charakterizovány diskrétními stavy a spojitým časem. Modely takových systémů se označují jako diskrétní Markovovi procesy se spojitým časem. Příklad takového procesu,

103 kdy se systém může v libovolném časovém okamžiku nacházet v jednom ze dvou stavů a přechody mezi nimi se náhodně střídají a který bývá označován jako prostý proces obnovy je znázorněn na Obr. 7.1. Cílem analýzy je nalezení všech možných stavů systému, ve kterých se systém může nacházet v závislosti na stavu prvků a určení všech možných způsobů přechodu systému mezi jeho jednotlivými stavy. Analýza prostoru stavů je zvláště vhodná k posuzování spolehlivosti systémů se zálohováním nebo systémů, u kterých porucha závisí na posloupnosti událostí, nebo systémů, které mají složité strategie údržby, například u systémů s prioritou obnovy, s problémy řazení do fronty a s omezenými zdroji. Analýza prostoru stavů je široce použitelná metoda. Možnosti její aplikace u složitých systémů jsou však omezené, protože s narůstajícím počtem prvků systémů prudce narůstá složitost analýzy. 7.2

Základní pojmy používané při analýze prostoru stavů

Při modelování opravovaných systémů se používají některé specifické pojmy a termíny, které doposud v tomto skriptu nebyly objasněny. Jedná se především o následující pojmy: Jednotka (unit) Součástka nebo soubor součástek, které pracují jako jediná entita. Při analýze se zpravidla předpokládá, že jednotka jako taková může existovat pouze ve dvou stavech: funkčním nebo nefunkčním. Systém může mít několik rozlišitelných funkčních i nefunkčních stavů. Funkční stav (functional state) Stav systému (nebo jednotky), ve kterém systém (nebo jednotka) vykonává požadovanou funkci Nefunkční stav (failed state) Stav systému (nebo jednotky), ve kterém systém (nebo jednotka) nevykonává požadovanou funkci Přechod (transition) Změna z jednoho stavu do jiného, která je obvykle výsledkem poruchy nebo obnovy. Přechod mohou též způsobit jiné události, jako jsou lidské chyby, vnější události, rekonfigurace softwaru atd. Pravděpodobnost přechodu (transition probability) Pravděpodobnost přechodu mezi jedním stavem a jiným stavem. Počáteční stav (initial state) Stav systému v čase t = 0. Po poruše systému může být systém obnoven do počátečního stavu. Zpravidla systém zahajuje svůj provoz v čase t = O z plně funkčního stavu, ve kterém jsou všechny

104 jednotky systému funkční, a přechází přes jiné funkční stavy, ve kterých se nachází postupně stále méně funkčních jednotek, až ke konečnému stavu, kterým je nefunkční stav. Absorpční stav (absorbing state) Stav, ze kterého nejsou možné žádné přechody, jakmile se do něho přejde. Jakmile se jednou systém dostane do absorpčního stavu, není již možné ho žádným zásahem vrátit do funkčního stavu a je nezbytné ho plně nahradit jiným zcela funkčním systémem. 7.3

Diagramy přechodů mezi stavy

Východiskem analýzy opravovaných systémů je kvalitativní analýza prostoru stavů, která spočívá v určení všech možných (vzájemně disjunktních) stavů ve kterých se systém může nacházet. Například systém který se skládá z n dvoustavových jednotek se obecně může nacházet v m stavech, přičemž každý z těchto stavů je určen jistou kombinací stavů jednotek systému. Počet všech možných kombinací stavů prvků je v tomto případě dán vztahem: m = 2n

(7.1)

Ke znázornění stavového prostoru systému a k usnadnění jeho analýzy se využívají tak zvané diagramy přechodů mezi stavy. Tyto diagramy představují specifický model spolehlivosti systému z hlediska jeho chování v čase. Diagram graficky vyjadřuje závislost stavu systému na stavech jeho jednotlivých prvků a naznačuje jakými způsoby může systém měnit svůj stav. Vlastní diagram představuje uspořádaný soubor značek stavů mezi nimiž jsou vyznačeny čarami všechny přechody mezi jednotlivými stavy systému. Jako značky stavů se v diagramu obvykle používají kroužky s jednoznačnou identifikací, která bude umožňovat, aby se analytický postup jednoznačně odkazoval na tento stav. Identifikátorem je obvykle písmeno nebo číslo. Ke zvýšení srozumitelnosti diagramu je vhodné aby se do značky stavu zahrnul popis stavu buď přímo, nebo pomocí odkazu na seznam vysvětlivek. Značky stavů se mají uspořádat tak, aby stav umístěný nejvíce vlevo byl plně funkční stav a stav (stavy) vpravo byl (byly) nefunkční stav (stavy) systému. Relativní pozice mezilehlých stavů mají být takové, aby byl přechod zleva doprava výsledkem poruchy a přechod zprava doleva bylo výsledkem obnovy. Stavy systému odpovídající stejnému počtu nefunkčních jednotek mají být svisle zarovnány . Přechody mezi stavy se vyznačují čarami se šipkami propojujícími určité stavy. Čára s šipkou vpravo představuje poruchu a čára s šipkou vlevo představuje obnovu. Jestliže je možné dosáhnout přechodu mezi dvěma stavy jak poruchou, tak obnovou, potom se mají tyto určité stavy propojit jedinou čarou se šipkami na obou koncích. V případě jednoduchých diagramů je možné k vyznačení poruchy a obnovy použít samostatné čáry vyznačující přechody. Čáry vyznačující přechody přiřazené neobnovitelným jednotkám mohou mít pouze jednu šipku, která v tomto případě představuje poruchový přechod. K šipkám na čarách představujících přechody se uvádí údaje o pravděpodobnosti s jakou lze příslušný přechod očekávat během krátkého časového intervalu ∆t (viz Obr. 7.2). Přitom se zde předpokládá, že si systém nepamatuje předchozí historii svého chování s výjimkou stavu bezprostředně předcházejícího novému, budoucímu stavu systému. Stav, v němž se systém nalézá v časovém okamžiku (t + ∆t) je závislý pouze na stavu, v němž se nacházel v okamžiku t a na pravděpodobnosti přechodu do stavu dalšího, v němž se

105 bude nacházet za časový okamžik ∆t. Nezáleží tedy na tom, jakým způsobem se systém dostal do stavu ve kterém se nacházel v časovém okamžiku t (systém nemá paměť). Takovýto proces přechodů mezi stavy označujeme jako homogenní Markovův proces.

0

P10(∆t)

Funkční stav

P01(∆t)

1

Nefunkční stav

Obr. 7.2 Digram přechodů mezi stavy u systému s jednou jednotkou Pravděpodobnost přechodu systému z Obr. 7.2 ze stavu 0 do stavu 1, tedy ze stavu funkčního do stavu nefunkčního lze vyjádřit rovnicí: (7.2)

P01 (∆t ) = λ ( t ) ⋅ ∆t a pravděpodobnost přechodu systému ze stavu 1 do stavu 0 rovnicí:

(7.3)

P10 (∆t ) = µ( t ) ⋅ ∆t kde:

λ(t) – okamžitá intenzita poruch; (obecně „hazard function“ – h(t)); µ(t) – okamžitá intenzita oprvav.

Obecně se předpokládá, že pravděpodobnost přechodů mezi stavy se může měnit s časem (s tím jak se mnění okamžitá intenzita přechodů). Při praktickém modelování spolehlivosti opravovaných systémů se však zpravidla přijímá zjednodušující předpoklad, že intenzity přechodů mezi stavy jsou v čase konstantní. Bez tohoto zjednodušení by většina standardních úloh byla jen velice obtížně řešitelná. Praktické zkušenosti také ukazují, že u moderních vysoce spolehlivých systémů je toto zjednodušení velmi dobře akceptovatelné. Proto i v dalším výkladu se bude předpokládat že intenzity přechodů mezi jevy jsou v čase konstantní. V takovém případě se může zjednodušit i popis diagramu a na místo pravděpodobností přechodů mezi stavy zde postačuje uvést příslušné intenzity přechodů.

0

µ

λ

1

Obr. 7.3 Zjednodušený diagram přechodu mezi stavy Praktický postup tvorby diagramů přechodů mezi stavy bude podrobněji naznačen v následujících příkladech. 1. Příklad: Systém s jednou jednotkou Prvním krokem při tvorbě digramu je definování stavů systému. V nejjednodušším případě může diagram obsahovat pouze dva stavy – funkční stav a nefunkční stav (viz Obr. 7.3). Šipka od stavu 0 ke stavu 1 znázorňuje výskyt poruchy s intenzitou λ a šipka od stavu 1 ke stavu 0 znázorňuje provedení obnovy s intenzitou µ.

106 U systému s jednou jednotkou můžeme také uvažovat i více než dva stavy. Například na Obr. 7.4 je znázorněn diagram systému s jednou jednotkou, který se může nacházet ve třech stavech, přičemž ze stavu 1 se cestou obnovy může vrátit do stavu 0, ale může také přejít do stavu 2, z něhož již možný přechod není – jedná se o absorpční stav.

0

µ1

λ1

λ2

1

degradovaný stav

plně funkční stav

2

nefunkční stav (absorpční stav)

Obr. 7.4 Diagram přechodů mezi stavy pro systém s jednou jednotkou se třemi stavy Diagram obdobného systému je také znázorněn na Obr. 7.5. V tomto případě však model připouští, že systém může přejít přímo ze stavu 0 až do stavu 3. λ3

0

µ1

plně funkční stav

λ1

λ2

1

degradovaný stav

3

nefunkční stav (absorpční stav)

Obr. 7.5 Diagram přechodů mezi stavy s uvažováním přímého přechodu

2. Příklad: Systém se dvěma jednotkami Jestliže budeme předpokládat, že jednotku lze reprezentovat dvěma stavy: 0 (funkční) a 1 (nefunkční), jsou u systému se dvěma jednotkami možné celkem čtyři stavy systémů 0, 1, 2 a 3] přičemž odpovídající stav jednotek je (0,0), (0,1), (1,0) a (1,1). V případě že se bude jednat o paralelní systém pouze stav 3 - (1,1) bude představovat nefunkční stav. Zbývající tři stavy budou představovat funkční stav. Diagram takového systému (s obnovitelnými prvky) je uveden na Obr. 7.6. λ1

1

µ2 λ2

µ1

3

0 µ2

λ1 λ2

2

µ1

Obr. 7.6 Diagram přechodů mezi stavy pro systém se dvěma obnovitelnými jednotkami

107 V případě že by se u výše popsaného systému mohla vyskytnou porucha se společnou příčinou, která by do nefunkčního stavu přivedla současně obě jednotky systému diagram by se transformoval do podoby uvedené na Obr. 7.7. Analogickým postupem lze znázornit i diagramy s jinými koncepcemi přechodu mezi stavy či systémy s více jednotkami. λ1 µ1

0

1

µ2 λ2 λ3

µ3

µ2

3 λ1

λ2

2

µ1

Obr. 7.7 Diagram přechodů mezi stavy zobrazující poruchu se společnou příčinou

7.4

Základy kvantitativní analýzy diagramů přechodů mezi stavy

Cílem kvantitativní analýzy diagramu přechodů mezi stavy je určení pravděpodobnosti toho, že se systém v čase t nachází ve funkčním respektive nefunkčním stavu. Toto hodnocení se provádí pomocí tzv. funkce okamžité pohotovosti A(t) nebo funkce okamžité nepohotovosti U(t). Podrobněji bude význam funkce okamžité pohotovosti objasněn na jednoduchém příkladu. Mějme jednoduchý dvoustavový systém s jednou jednotkou (viz Obr. 7.8). 1-λ

λ

0

1

µ

1-µ

Obr. 7.8 Diagram přechodů mezi stavy u dvoustavového systému s jednou jednotkou Pro pravděpodobnosti přechodů mezi jednotlivými stavy u tohoto systému platí: P01 (∆t ) = λ ⋅ ∆t

(7.4)

P10 (∆t ) = µ ⋅ ∆t

(7.5)

108 Pro pravděpodobnost setrvání prvku v jednotlivých stavech platí: P00 (∆t ) = 1 − λ ⋅ ∆t

(7.6)

P11 (∆t ) = 1 − µ ⋅ ∆t

(7.7)

Dále budeme předpokládat že časový interval ∆t je natolik krátký, že pravděpodobnost dvou nebo více přechodů v tomto časovém intervalu je zanedbatelně malá. Pro hodnotu funkce okamžité pohotovosti tohoto systému v čase t + ∆t potom můžeme psát: A( t + ∆t ) = A( t ) ⋅ P00 (∆t ) + [1 − A( t )]⋅ P10 (∆t )

(7.8)

Tuto rovnici dále můžeme upravit dosazením výrazů z rovnic (7.5) a (7.6): A( t + ∆t ) = A( t ) ⋅ (1 − λ ⋅ ∆t ) + [1 − A( t )]⋅ µ ⋅ ∆t Obdobným způsobem také můžeme nepohotovosti analyzovaného systému:

(7.9) vyjádřit

hodnotu

funkce

okamžité

U( t + ∆t ) = U( t ) ⋅ (1 − µ ⋅ ∆t ) + [1 − U( t )]⋅ λ ⋅ ∆t

(7.10)

A

A(t = 0) = 1

1,0 0,9

0,9

0,87

0,861

0,858

0,857

0,8

0,834

0,78 0,7 0,6

0,6

0,5 0,4 0,3 0,2

A(t = 0) = 0

0,1

0

1

2

3

4

Časový interval

Obr. 7.9 Časový vývoj funkce okamžité pohotovosti

109 Z rovnic (7.9) a (7.10) je patrné že hodnota funkce okamžité pohotovosti resp. nepohotovosti systému je v čase t + ∆t závislá na intenzitách přechodů mezi stavy systému a na tom v jakém výchozím stavu se systém nacházel v čase t. Dále bude na konkrétním příkladě prezentován typický průběh funkce okamžité pohotovosti. Předpokládejme, že se systém znázorněný na Obr. 7.8 v časovém okamžiku t = 0 nacházel ve funkčním stavu (ve stavu 0, tj. A(t=0) = 1) a sledujme vývoj funkce okamžité pohotovosti po časových krocích ∆t = 1, jestliže λ = 0,1 a µ = 0,6. V takovém případě je hodnota funkce okamžité pohotovosti na počátku sledovaného procesu rovna A(t = 0) = 1 (systém je ve funkčním stavu). Tuto hodnotu dosadíme do rovnice (7.9) za A(t) a vypočteme hodnotu funkce v čase t + ∆t. Vypočtenou hodnotu znovu dosadíme do rovnice za A(t) a určíme hodnotu funkce v čase t + 2⋅∆t. Stejným způsobem pokračujeme i v dalších časových intervalech. Obdržené výsledky jsou graficky znázorněny na Obr. 7.9, kde jsou také naznačeny výsledky řešení pro případ, kdy na počátku procesu je systém v nefunkčním stavu A(t = 0) = 0. Z obrázku je patrné že s časem funkce okamžité pohotovosti konverguje k jisté ustálené hodnotě – součiniteli asymptotické pohotovosti.

KROK 0

0 0,1

∆t = 1 0,1

0,9

A(0) = 1

1

0,4

A(∆t) = Σ P(0) = 0,9

0,6

KROK 1

0,9

0 0,1

0,9

0,09

0,81

0

0,6

0,1

0,9

0

1

0

∆t = 1

1

0

0,04

0,06

1

KROK 2

A(2⋅∆t) = Σ P(0) = 0,87 0,4

0,6

0,1

1

0

1

0,9

0,4

1

0

A(3⋅∆t) = Σ P(0) = 0,861

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

A(4⋅∆t) = Σ P(0) = 0,858 Obr. 7.10 Grafické řešení vývoje funkce okamžité pohotovosti systému

1

0

110 V kapitole 7.5.3 bude ukázáno, že pro řešený případ (dvoustavový systém s jednou jednotkou) je možné součinitel asymptotické pohotovosti vyjádřit vztahem: µ A(∞) = (7.11) µ+λ Celý problém je také možné interpretovat grafickým stromovým diagramem. Diagram se konstruuje tak, že jako vrcholový uzel diagramu, vyznačíme výchozí stav systému v čase t = 0. Na další nižší úroveň diagramu vyznačíme stavy do kterých systém může přejít během časového okamžiku ∆t a naznačíme zde také s jakou pravděpodobností se to může stát. Tuto pravděpodobnost vždy určíme jako součin pravděpodobnosti toho že, se systém na počátku časového kroku nacházel v příslušném výchozím stavu a pravděpodobnosti uvažovaného přechodu. Celý postup řešení pro případ, že systém se v čase t = 0 nachází v plně funkčním stavu, je dobře parný z příkladu uvedeného na patrný z Obr. 7.10. V každém časovém kroku řešení můžeme určit hodnotu okamžité funkce pohotovosti jako součet všech pravděpodobností přiřazených na dané úrovni uzlům reprezentujícím funkční stav objektu. Analogicky můžeme určit hodnotu okamžité funkce nepohotovosti jako součet všech pravděpodobností přiřazených na dané úrovni uzlům reprezentujícím nefunkční stav objektu. Snadno lze ukázat že součet všech pravděpodobností v každém časovém okamžiku je roven jedné, což také vyplývá z rovnice (3.10). To znamená, že v libovolném časovém okamžiku musí být systém vždy reprezentován pouze jedním ze stavů definovaných v diagramu přechodů mezi stavy.

7.5

Analytické řešení diagramu přechodů mezi stavy

Postupy kvantitativního hodnocení diagramů přechodů mezi stavy, které byly naznačeny v předchozím odstavci jsou velice názorné a jednoduché, ale jsou prakticky nepoužitelné pro řešení digramů složitějších systémů. Proto dále budou popsány možnosti obecného analytického řešení těchto diagramů. Tyto metody jsou obecně nazývány jako metody Markovovy. To proto, že v počátečních stádiích vývoje těchto metod byly aplikovány výhradně na tzv. Markovovy procesy (viz kapitola 7.1). Později se jejich použití rozšířilo i na tzv. semi-Markovovské procesy a ne-Markovovské procesy. Další výklad bude zaměřen pouze na řešení klasických homogenních Markovových procesů. 7.5.1

Předpoklady řešení

Mějme opravovaný systém který se může nacházet v k stavech, přičemž stavy označené od 1 do m odpovídají funkčnímu stavu systému a stavy od m + 1 do k odpovídají nefunkčnímu stavu systému. Dále označíme: aij - intenzita přechodu systému ze stavu i do stavu j (intenzity přechodů jsou v čase konstantní); Pi(t) - pravděpodobnost toho, že se systém v čase t nachází ve stavu i; Pij - pravděpodobnost přechodu systému ze stavu i do stavu j během časového okamžiku dt. Tuto pravděpodobnost lze vyjádřit následujícím vztahem: Pij = a ij ⋅ dt

(7.12)

111 Pii

- pravděpodobnost toho, že systém setrvá ve stavu i během časového intervalu dt (nezmění svůj stav). Tuto pravděpodobnost lze vyjádřit vztahem: Pii = 1 −

j= k

∑ a ij ⋅ dt

(7.13)

j=1, j≠ i

Funkci okamžité pohotovosti systému potom lze vyjádřit vztahem: i=m

A( t ) = ∑ Pi ( t )

(7.14)

i =1

a funkci okamžité nepohotovosti vztahem: U( t ) =

7.5.2

i=k

i =m

i = m +1

i =1

∑ Pi (t ) = 1 − ∑ Pi (t )

(7.15)

Rovnice stavů systému a jejich řešení

Pokud budeme zkoumat s jakou pravděpodobností se systém v čase t + dt bude nacházet ve stavu i, musíme se zabývat dvěma alternativami: • buď se v čase t systém nacházel ve stavu i a během časového okamžiku dt v tomto stavu setrval. Pravděpodobnost této alternativy je dána součinem pravděpodobnosti toho, že se systém v čase t nacházel ve stavu i – Pi(t) a pravděpodobnosti že během časového intervalu dt v tomto stavu setrval – Pii; • nebo se čase t systém nacházel v jiném stavu než je stav i a během časového okamžiku dt přešel do stavu i. V této alternativě musíme postupně brát do úvahy všechny možné stavy systému (odlišné od stavu i) a zkoumat s jakou pravděpodobností se systém v každém z těchto stavů může v čase t nacházet a z jakou pravděpodobností z tohoto stavu může přejít během časového intervalu dt do stavu i. Výslednou pravděpodobnost této alternativy lze vyjádřit výrazem: j= k

∑ Pj (t ) ⋅ Pji

j=1, j≠ i

S uvážením výše popsaných alternativ lze pravděpodobnost toho, že se systém v čase t+dt nachází ve stavu i, vyjádřit vztahem: Pi ( t + dt ) = Pi ( t ) ⋅ Pii +

j= k

∑ Pj ( t) ⋅ Pji

(7.16)

j=1, j≠i

Dosazením z rovnic (7.12) a (7.13) do rovnice (7.16) obdržíme: j= k   j= k Pi ( t + dt ) = Pi ( t ) ⋅  1 − ∑ a ij ⋅ dt  + ∑ Pj ( t ) ⋅ a ji ⋅ dt  j=1, j≠i  j=1, j≠i  

(7.17)

a po dalších vhodných úpravách dospějeme k výrazu: j= k j= k Pi ( t + dt ) − Pi ( t ) = − Pi ( t ) ⋅ ∑ a ij + ∑ Pj ( t ) ⋅ a ji , dt j=1, j≠ i j=1, j≠i

(7.18)

112 který lze formální úpravou převést do tvaru diferenciální rovnice: j= k j= k dPi ( t ) = − Pi ( t ) ⋅ ∑ a ij + ∑ Pj ( t ) ⋅ a ji dt j=1, j≠i j=1, j≠ i

(7.19)

Pro potřeby dalšího řešení nyní zavedeme následující substituce: dPi ( t ) = Pi ′ ( t ) dt −

(7.20)

j= k

(7.21)

∑ a ij = a ii

j=1, j≠ i

Zde je třeba zdůraznit, že nově zavedený symbol aii nemá význam intenzity setrvání systému ve stavu i. Jedná se pouze o účelové označení které umožňuje zobecnění celého řešení. Praktický význam této substituce vyplyne z dále naznačeného postupu. S využití substituce (7.21) potom můžeme rovnici (7.19) dále upravovat: Pi ′ ( t ) = Pi ( t ) ⋅ a ii +

j= k

∑ Pj (t ) ⋅ a ji

(7.22)

j=1, j≠ i

První členy této soustavy rovnic (kde jsou členy označeny aii) zastupují členy na diagonále, které ve druhém členu právě chybí (kde j≠i). Takže součtem obou členů nabude výsledná soustava rovnic tvaru: j= k

Pi ′ ( t ) = ∑ Pj ( t ) ⋅ a ji

(7.23)

j=1

S využitím této rovnice potom můžeme sestavit soustavu lineárních diferenciálních rovnic, která popisuje chování systému jako celku: j= k

P1′ ( t ) = ∑ Pj ( t ) ⋅ a j1 j=1

j= k

P2′ ( t ) = ∑ Pj ( t ) ⋅ a j2

........

j=1

j= k

Pk ′ ( t ) = ∑ Pj ( t ) ⋅ a jk j=1

Tuto soustavu rovnic můžeme formálně zapsat v maticovém tvaru: P ′( t ) = C ⋅ P( t )

(7.24)

113 kde:

P ′( t ) - je sloupcový vektor:  P ′ (t)   1′   P2 ( t )  P ′( t ) =  .     .   ′  Pk ( t ) P(t) - je sloupcový vektor:  P1 ( t )  P ( t)   2  P( t ) =  .     .  Pk ( t ) C

- je matice intenzit přechodů:  a 11 a  12 a 13  C= .  a 1i   . a  1k

a 21 a 22 a 23 . . . a 2k

a 31 a 32 a 33 . . . a 3k

. a j1 . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

a k1  a k 2  a k3   .  a ki   .  a kk 

(7.25)

Do této matice se dosazují odpovídající intenzity přechodů mezi jednotlivými stavy. Za prvky na hlavní diagonále matice - a11, a22 ...aii, ... akk se dosazují hodnoty stanovené podle rovnice (7.21) tj. součet ostatních prvků příslušného sloupce se znaménkem mínus. V případě, že je některý z přechodů prakticky nemožný (vyplyne to z analýzy diagramu přechodů mezi stavy) dosadí se za odpovídající prvek 0. Soustava lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu (7.24), je analyticky řešitelná například s využitím Laplaceovy transformace. Vlastní výpočet je vždy možné provést pouze pro určité okrajové podmínky, které jsou v tomto případě vyjádřeny stavem systému v čase t = 0. Zpravidla se předpokládá, že systém i všechny jeho jednotky jsou v čase t = 0 ve funkčním stavu. Vlastní popis analytického řešení této soustavy rovnic překračuje rámec těchto skript a nebude zde prezentován. V praxi se obvykle k řešení této soustavy rovnic používají numerické metody a výpočetní technika. Výsledkem řešení soustavy rovnic (7.24) jsou pravděpodobnosti P1(t), P2(t) ....Pk(t), ze kterých snadno můžeme určit funkci okamžité pohotovosti respektive nepohotovosti podle vztahů (7.14) nebo (7.15). Prioritním cílem řešení diagramů přechodů mezi stavy však obvykle nebývá určení funkce okamžité pohotovosti, která obvykle velice rychle s časem konverguje k hodnotě asymptotické pohotovosti (viz kapitola 7.4), ale právě určení asymptotické pohotovosti. V takovém případě se řešení soustavy rovnic (7.24) značně zjednoduší. Hodnota

114 pravděpodobnosti Pi(t) totiž také konverguje ke své asymptotické hodnotě a pro t → ∞ se již s časem nemění, vzniká soustava lineárních diferenciálních rovnic homogenních typu: (7.26)

Pi ′ (∞) = 0 Soustavu rovnic (7.24) tak lze pro t → ∞ upravit do následujícího tvaru:

(7.27)

0 = C ⋅ P (∞ )

Tento výraz již reprezentuje homogenní soustavu lineárních algebraických rovnic, kterou lze snadno řešit standardními postupy. Jistý problém pro řešení představuje skutečnost, že rovnice v soustavě (7.27) jsou lineárně závislé - hodnost matice C je nižší než počet stavů systému (h = k-1) a soustava tak představuje pouze k – 1 platných rovnic. K překonání této potíže se využívá skutečnosti, že se systém v každém časovém okamžiku musí nacházet v některém z definovaných stavů. Avšak s jistotou (pravděpodobností jedna) se v každé časovém okamžiku nachází buď ve funkčním nebo nefunkčním stavu. To lze vyjádřit rovnicí: (7.28)

P1 (∞) + P2 (∞) + P3 (∞)........Pk (∞) = 1

kterou můžeme soustavu rovnic (7.27) doplnit a umožnit tak její řešení. Vhodnými matematickými úpravami lze dokázat (důkaz přesahuje rámec těchto skript a nebude zde prezentován), že řešení soustavy rovnic (7.27) doplněné o rovnici (7.28) lze obecně vyjádřit následujícím vztahem : Pi (∞) = kde:

Di D

(7.29)

D - determinant matice intenzit přechodů C, ve které jsou v souladu s rovnicí (7.28) všechny prvky posledního řádku matice nahrazeny jedničkami:

D=

a 11 a 12 a 13

a 21 a 22 a 23

.

.

a 1,k −1

a 2,k −1

1

1

. . .

a i1 . a i2 a i3

. . .

a k1 a k2 a k3

. . . a i,k −1

. . . a k ,k −1

.

1

1

(7.30)

1

Di - determinant matice intenzit přechodů C, ve které jsou všechny prvky posledního řádku matice nahrazeny nulami s výjimkou prvku v i–tém sloupci, který je nahrazen jedničkou: a 11 a 12 a D i = 13 . a 1,k −1 0

a 21

.

a i1 .

.

a k1

a 22 a 23 .

. a i2 . a i3 . . . a i,k −1

. . . .

a k2 a k3 . a k ,k −1

.

0

0

a 2,k −1 0

1

(7.31)

115 Jakmile jsou určeny hodnoty pravděpodobností Pi(∞) pro všechny stavy systému lze také určit asymptotickou pohotovost systému ze vztahu: i=m

(7.32)

A(∞) = ∑ Pi (∞) i =1

Jestliže do tohoto výrazu dosadíme z rovnice (7.29) za Pi(∞) můžeme asymptotickou pohotovost vyjádřit vztahem: i=m

A (∞ ) =

∑D i =1

(7.33)

i

D

Snadno lze ukázat, že součet determinantů Di v rovnici (7.33) je roven determinantu matice intenzit přechodu C ve které jsou prvky posledního řádku matice od prvního sloupce až po m-tý sloupec nahrazeny jedničkami a ve zbývajících sloupcích nulami. Samozřejmě za předpokladu, že stavy systému 1, 2 … m reprezentují funkční stavy systému a stavy m+1, m+2, … k reprezentují nefunkční stavy systému. a 11 . a m1 a m +1,1 . a 12 . a m2 a m +1, 2 i= m . . . . Di = . . . . i =1 a 1,k −1 . a m,k −1 . a m +1,k −1 1 1 1 0

∑

. a k1 . a k2 . . . . . a k ,k −1 0 0

(7.34)

Analogicky je možné vyjádřit i vztah pro asymptotickou nepohotovost systému: i=k

U (∞ ) =

∑D

(7.35)

i

i = m +1

D

kde: a 11 a 12 . Di = . i = m +1 a 1,k −1 i =k

∑

0

.

a m1

. . . .

a m2 . .

0

a m +1,1 .

a m +1, 2 . . a m ,k −1 . a m +1,k −1 0

1

.

a k1

. a k2 . . . . . a k ,k −1 1

1

(7.36)

116 7.5.3

Příklady praktického výpočtu

Dále bude na jednoduchých příkladech demonstrováno praktické použití výše prezentovaných postupů. Dvoustavový systém s jednou opravovanou jednotkou Mějme dvoustavový systém s jednou opravovanou jednotkou jehož diagram přechodů mezi stavy je znázorněn na Obr. 7.11. µ

1

λ

2

Obr. 7.11 Dvoustavový systém s jednou opravovanou jednotkou Nejdříve určíme intenzity přechodů mezi stavy: a12 = λ, a21 = µ a hodnoty prvků v hlavní diagonále matice C podle rovnice (7.21): a11 = -λ, a22 = -µ a sestavíme matici intenzit přechodů: − λ µ  C=   λ − µ Tím je určena soustava lineárních diferenciálních rovnic popisující stavy systému. Řešením této soustavy pomocí Lapleceovy transformace za předpokladu že se systém v čase t = 0 nacházel ve funkčním stavu A(t = 0) =1 obdržíme: P1 ( t ) = A( t ) =

λ µ − ⋅ exp[− (λ + µ) ⋅ t ] λ+µ λ+µ

Asymptotickou pohotovost systému můžeme určit s použitím vztahu (7.35): −λ 1 A (∞ ) = −λ 1

µ 0 µ = µ λ+µ 1

Třístavový systém se dvěma totožnými opravovanými jednotkami Mějme třístavový systém se dvěma totožnými opravovanými jednotkami jehož diagram přechodů mezi stavy je znázorněn na Obr. 7.12. 1

µ

2⋅λ 2

2⋅µ λ

3

Obr. 7.12 Systém se dvěma totožnými jednotkami Systém je tvořen dvěma totožnými jednotkami, které se navzájem zálohují. Pokud jsou obě jednotky ve funkčním stavu nachází se systém ve stavu 1, pokud je jedna z jednotek v nefunkčním stavu nachází se systém ve stavu 2 a pokud jsou obě jednotky v nefunkčním stavu nachází se systém ve stavu 3. Stavy 1 a 2 představují funkční stavy systému a stav 3 nefunkční stav. Dále se předpokládá, že strategie údržby systému umožňuje v případě potřeby současné opravování obou jednotek.

117 Nejdříve vyjádříme intenzity jednotlivých přechodů: a12 = 2⋅λ, a13 = 0, a21 = µ, a23 = λ, a31 = 0, a32 = 2⋅µ. Podle rovnice (7.21) určíme hodnoty prvků v hlavní diagonále matice: a11 = -2⋅λ, a22 = -(µ+λ), a33 = -2⋅µ a sestavíme matici intenzit přechodů: µ 0  − 2 ⋅ λ  − (λ + µ) 2 ⋅ µ  C =  2λ  0 λ − 2 ⋅ µ  S použitím Laplaceovy transformace můžeme naznačenou soustavu diferenciálních rovnic řešit a za předpokladu, že se systém v čase t = 0 nachází ve stavu 1 obdržíme následující vztah pro okamžitou intenzitu poruch: 2

µ2 + 2 ⋅ λ ⋅ µ  λ   ⋅ exp[− (λ + µ) ⋅ t ]⋅ {2 − exp[− (λ + µ) ⋅ t ]} A( t ) = +  (λ + µ) 2 λ+µ Asymptotickou pohotovost opět můžeme určit s využitím vztahu (7.33):

A (∞ ) =

− 2⋅λ µ 0 2λ − (λ + µ ) 2 ⋅ µ 1 1 0 − 2⋅λ µ 0 2λ − (λ + µ ) 2 ⋅ µ 1 1 1

µ2 + 2 ⋅ λ ⋅µ = (λ + µ) 2

Čtyřstavový systém se dvěma opravovanými jednotkami Mějme čtyřstavový systém se dvěma jednotkami jehož diagram přechodů mezi stavy je znázorněn na Obr. 7.13.

µ1

λ1

3

µ2

λ2 4

1 µ2 λ2

2

λ1 µ1

Obr. 7.13 Čtyřstavový systém se dvěma prvky Systém je tvořen dvěma odlišnými jednotkami, které se vzájemně zálohují. Pokud jsou obě jednotky ve funkčním stavu nachází se systém ve stavu 1. Pokud je první jednotka systému v nefunkčním stavu systém se nachází ve stavu 2 a pokud je nefunkční druhá jednotka systém se nachází ve stavu 3. V případě že jsou obě jednotky současně v nefunkčním stavu nachází se systém ve stavu 4. Stavy 1, 2 a 3 představují funkční stavy systémů a stav 4 nefunkční stav systému. Dále se předpokládá, že strategie údržby systému umožňuje v případě potřeby současné opravování obou jednotek.

118 Nejdříve známým postupem zkonstruujeme matici intenzit přechodů: µ1 µ2 0  − (λ 1 + λ 2 )    λ1 − (µ1 + λ 2 ) 0 µ2   C=   λ2 0 − (λ 1 + µ 2 ) µ1   0 λ2 λ1 − (µ1 + µ 2 )  Naznačenou soustavu diferenciálních rovnic by bylo opět možné řešit Laplaceovou transformací. Vzhledem k tomu, že výsledkem řešení je poměrně komplikovaný výraz nebude zde toto řešení uváděno. A zaměříme se pouze na určení asymptotické pohotovosti. V zhledem k tom, že systém má celkem tři funkční stavy a pouze jeden nefunkční stav, bude výhodnější postupovat tak, že nejdříve určíme asymptotickou nepohotovost a teprve z ní asymptotickou pohotovost. Při řešení vyjdeme ze vztahu (7.35): − (λ 1 + λ 2 ) µ1 λ1 − (µ1 + λ 2 )

µ2

0 µ2

0 λ2 0 − (λ 1 + µ 2 ) µ 1 0 0 0 1 λ1 ⋅ λ 2 U (∞ ) = = 0 − (λ 1 + λ 2 ) µ1 µ2 (µ1 ⋅ λ 1 ) ⋅ (µ 2 ⋅ λ 2 ) 0 λ1 − (µ1 + λ 2 ) µ2 0 λ2 − (λ 1 + µ 2 ) µ 1 1 1 1 1 Z výsledku tohoto řešení potom můžeme určit i asymptotickou pohotovost systému: A (∞ ) = 1 − A ( ∞ ) = 1 −

7.6

µ ⋅ µ + µ1 ⋅ λ 2 + µ 2 ⋅ λ1 λ1 ⋅ λ 2 = 1 2 (µ1 ⋅ λ 1 ) ⋅ (µ 2 ⋅ λ 2 ) (µ1 ⋅ λ 1 ) ⋅ (µ 2 ⋅ λ 2 )

Pohotovost základních typů systému

Systém se sériovou strukturou a opravovanými jednotkami Mějme systém se sériovou strukturou, který je tvořen n opravovanými jednotkami jehož diagram přechodů mezi stavy je znázorněn na Obr. 7.14.

λ1 1

µ1

2 µ2

λn

λi-1

λ2 3 µi-1

i

………

……

µn

Obr. 7.14 Sériový systém s opravovanými jednotkami

n+1

119 Protože má uvažovaný systém sériovou strukturu nachází se ve funkčním stavu jenom tehdy když jsou všechny jeho jednotky současně ve funkčním stavu. Z toho vyplývá, že systém má pouze jeden funkční stav a to stav 1. Všechny ostatní stavy systému jsou stavy nefunkční a každý z nich představuje situaci kdy je nefunkční právě jedna jednotka (předpokládá se, že v jednom okamžiku může být nefunkční nejvýše jedna jednotka). Celkem se tedy systém může nacházet v k = n + 1 stavech (jeden funkční + n nefunkčních). Systém je charakterizován následující maticí intenzit přechodů:  i =n − ∑ λ i  i=1  λ1 C= λ2   .  λ n 

µ1

µ2

.

− µ1 0

0 − µ2

. 0

. 0

. . . .

 µn   0  0   .  − µ n 

Obecné analytické řešení naznačené soustavy lineárních diferenciálních rovnic je značně obtížné a vede k velice komplikovaným výrazům. Proto se u sériových systémů s většími počty jednotek v případě potřeby provádí pouze numerické řešení. Obdobně komplikované je v tomto případě i určení obecného výrazu pro asymptotickou pohotovost systému. Proto se při řešení přijímají některá zjednodušení, která řešení usnadní. Za předpokladu, že platí podmínka: λi << 1 µi

(7.37)

lze asymptotickou pohotovost pro sériový systém vyjádřit přibližným vztahem: i=n

A (∞ ) ≈ 1 − ∑ i =1

λi µi

(7.38)

Moderní vysoce spolehlivé systémy obvykle podmínku (7.37) splňují a výše uvedený přibližný vztah dobře splňují. Výše uvedená podmínka charakterizuje vysoce spolehlivé systémy s vysokou úrovní bezporuchovosti a dobrou opravitelností. Systémy se sériovou strukturou a neopravovanými jednotkami Sériový systém s neopravovanými jednotkami představuje zvláštní případ předchozího řešeni, kdy se předpokládá že všechny intenzity obnovy jsou rovny nule µi = 0. Matice intenzit přechodů potom má následující tvar:  i=n − ∑ λ i  i =1  λ1 C= λ2   .  λ n 

 0 0 . 0  0 0 . 0 0 0 . 0  . . . . 0 0 . 0

120 Řešení takovéto soustavy lineárních diferenciálních rovnic je potom poměrně jednoduché. S využitím Laplaceovy transformace a za předpokladu že se systém v čase t = 0 nacházel ve funkčním stavu lze funkci okamžité pohotovosti vyjádřit následujícím vztahem:  i=n  A( t ) = exp − ∑ λ i ⋅ t   i =1  Tento výraz představuje dobře známý vztah pro výpočet pravděpodobnosti bezporuchového stavu u sériového systému v případě exponenciálního rozdělení dob mezi poruchami u prvků systému (viz kapitola 4.6.4). Vyšetřování asymptotické pohotovosti v tomto případě nemá smysl, protože funkce okamžité pohotovosti je shodná s funkcí bezporuchovosti sériového systému zjevně v závislosti na čase konverguje k nule. Systémy s paralelní strukturou Mějme systém s paralelní strukturou, který je tvořen n opravovanými jednotkami. Tento systém se nachází ve funkčním stavu vždy, když se ve funkčním stavu nachází alespoň jedna jednotka systému. V nefunkčním stavu se systém nachází pouze v případě, že jsou všechny jednotky systému současně v nefunkčním stavu, tj. existuje pouze jediný nefunkční stav systému. Dále se předpokládá, že strategie údržby umožňuje současně provádět vždy tolik oprav, kolik stav systému právě vyžaduje. Vypracovat obecný diagram přechodů mezi stavy pro popsaný systém je velice obtížné, protože systém se může nacházet v celkem 2n stavech. Z tohoto důvodu zde nebude diagram přechodů mezi stavy ani příslušná matice intenzit přechodů uváděna a omezíme se pouze na uvedení přibližného vztahu pro asymptotickou pohotovost. Za předpokladu že je splněna podmínka vyjádřená nerovností (7.37) lze asymptotickou pohotovost paralelního systému vyjádřit rovnicí: i=n i=n µi A(∞) = ∏ A i (∞) =∏ (7.39) i =1 i =1 λ i + µ i Pokud by se jednotky paralelního systému po poruše neopravovaly (µi = 0 pro všechny i), je možné pro systém vyjádřit funkci okamžité pohotovosti ve tvaru: i =n

A( t ) = 1 − ∏ [1 − exp(−λ i ⋅ t )] i =1

Tento výraz představuje známý vztah pro výpočet pravděpodobnosti bezporuchového stavu u paralelního neopravovaného systému v případě exponenciálního rozdělení dob mezi poruchami prvků (viz kapitola 4.6.4).

121 Kontrolní otázky k 7. kapitole: 1) Vysvětlete co jsou to náhodné procesy Markovova typu. 2) Objasněte co jsou to diagramy přechodů mezi stavy a uveďte zásady jejich návrhu. 3) Na příkladu dvoustavového systému s jednou jednotkou objasněte charakter a význam funkce okamžité pohotovosti a součinitele asymptotické pohotovosti. 4) Vysvětlete zásady tvorby soustavy stavových rovnic systémů a popište možnosti řešení této soustavy. 5) Naznačte postup určení součinitele asymptotické pohotovosti u systémů se sériovou a paralelní strukturou.

122

8 ANALÝZA ZPŮSOBŮ A DŮSLEDKŮ PORUCH 8.1

Stručný historický přehled

Analýza způsobů a důsledků poruch, označovaná jako metoda FMEA (Failure Mode and Effects Analysis), je strukturovaná, kvalitativní analýza sloužící k identifikaci způsobů poruch systémů, jejich příčin a důsledků. V případě, že je do analýzy zahrnut i odhad kritičnosti důsledků poruch a pravděpodobnosti jejich nastoupení, hovoříme o analýze způsobů, důsledků a kritičnosti poruch, která bývá podle originálního anglického názvu obvykle označována jako metoda FMECA (Failure Mode, Effects and Criticality Analysis). Metoda FMECA tedy nepředstavuje žádný samostatný způsob analýzy spolehlivosti, ale je pouze logickým rozšířením metody FMEA. Tato metoda byla vyvinuta v šedesátých letech dvacátého století jako nástroj, který měl umožnit systematickou a vysoce organizovanou analýzu způsobů poruch prvků systému a posouzení jejich důsledků na jednotlivé subsystémy i systém jako celek. Základním impulsem pro vznik těchto metod byly problémy spojené se zabezpečováním spolehlivostí nových technických systémů, které se vyznačovaly nebývalou složitostí a jejichž selhání mohlo vést ke katastrofickým důsledkům značného rozsahu. Poprvé byla metoda použita v agentuře NASA při realizaci projektu kosmického průzkumu APOLLO. Metoda se osvědčila a její použití se rychle rozšířilo do celé řady dalších oborů lidské činnosti. Jako výsledek toho vývoje byla v USA vypracována a v roce 1974 vydána vojenská norma MIL-STD-1629 - Procedures for Performing a Failure Mode, Effects and Criticality Analysis (Postupy pro provádění analýzy způsobů, důsledků a kritičnosti poruch), která zobecnila získané zkušenosti a zformulovala základní zásady pro provádění a použití metody. Metoda nezůstala ani stranou zájmu mezinárodních standardizačních organizací. V roce 1985 Mezinárodní elektrotechnická komise IEC (International Electrotechnical Commission) vydala normu IEC 812 - Procedure for Failure Mode and Effects Analysis, která byla v roce 1992 zavedena také u nás jako ČSN IEC 812 – Postup analýzy způsobů a důsledků poruch. V současnosti metoda FMEA/FMECA patří k nejužívanějším metodám prediktivní analýzy spolehlivosti a je využívána v řadě oborů a to nejen pro analýzu technických systémů, ale také pro analýzu procesů (včetně lidské činnosti) a softwaru. V této kapitole se však zaměříme pouze na klasické využití metody při analýze spolehlivosti technických systémů. 8.2

Charakteristika, cíle a možnosti použití metody

Svojí podstatou se jedná o metodu induktivní, která provádí kvalitativní analýzu bezporuchovosti a bezpečnosti systému od nižší k vyšší úrovni členění systému a zkoumá jakým způsobem mohou objekty na nižší úrovni selhat a jaký důsledek mohou mít tato selhání pro vyšší úrovně systému. Hlavní cíle metody FMEA/FMECA lze potom shrnout do následujících bodů: • posouzení důsledků a posloupnosti jevů pro každý zjištěný způsob poruchy prvku, ať už má jakoukoliv příčinu , a to na různých funkčních úrovních systému; • určení významnosti nebo kritičnosti každého způsobu poruchy vzhledem k požadované funkci nebo provozuschopnosti systému s uvážením důsledků na bezporuchovost nebo bezpečnost daného procesu;

123 •

klasifikace zjištěných způsobů poruch podle toho, jak snadno je lze zjistit, diagnostikovat, testovat, nahradit danou součást nebo provádět kompenzační a provozní opatření (oprava, údržba, podpůrný systém atd.), i podle libovolných jiných odpovídajících charakteristik; • odhady ukazatelů významnosti a pravděpodobnosti poruchy, jsou-li k dispozici potřebná data. Nejvýznamnější využití proto metoda nachází především v etapě návrhu a vývoje, kde slouží jako součást přezkoumání návrhu a sehrává zde roli tzv. metody předběžného varování, která má zabránit pozdějším problémům vyplývajícím z nespolehlivosti systému. Svoje uplatnění však nachází i v etapě tvorby koncepce a specifikace požadavků, jako nástroj předběžné analýzy rizik, a při modifikacích a modernizacích systému nebo při změnách provozních podmínek jako prostředek identifikace a posouzení důsledků konstrukčních změn a provozních podmínek na bezporuchovost a bezpečnost systému. S úspěchem také bývá tato metoda používána při prokazování, že navrhovaný systém splňuje v oblasti bezporuchovosti a bezpečnosti požadavky norem, předpisů nebo uživatele. Informace získané při provádění FMEA mohou sloužit jako podklad pro návrh konstrukčních změn systému, formulaci požadavků na provedení zkoušek, či identifikaci nebezpečných provozních režimů. Výsledky analýzy také poskytují nezbytné informace pro racionální návrh diagnostických postupů a systému údržby. Široké možnosti využití metody jsou dobře patrné z následujícího přehledu nejvýznamnějších aplikací a přínosů metody: • poskytnout systematický, přesný a jednotný postup pro pochopení funkcí systému a jeho částí; • identifikovat všechny potenciálně možné poruchy a určit takové, které, i když se vyskytnou mají diferencované důsledky (od přijatelných přes významné až po nepřijatelné). Dále určit ty způsoby poruch, které mohou významně ovlivnit očekávaný nebo požadovaný provoz. Jedním z možných důsledků mohou být i závislé poruchy, nebo poruchy se společnou příčinou apod.; • stanovit požadavky na zvýšení spolehlivosti kritických prvků, zálohování, vlastnosti „fail-safe“ návrhu, zjednodušení návrhu, snížení hladin namáhání apod.; • stanovit požadavky na alternativní řešení, výběr prvků, materiálů, technologií apod.; • identifikovat poruchy se závažnými až katastrofickými důsledky a vyvolat tím potřebu přezkoumání, případně revize návrhu; • poskytnout logický model a podklady pro odhady pravděpodobnosti vzniku poruchových provozních stavů nebo nežádoucích provozních podmínek; • odhalit kritická místa v návrhu a kritické prvky u nichž by mohly vzniknout problémy s bezpečností nebo s právní odpovědností za výrobek nebo odhalit nesoulad s požadavky předpisů nebo zákazníka; • poskytnout věcné podklady k tomu, aby zkušebním programem bylo možno odhalit potenciální způsoby poruch; • odhalit provozní cykly (podmínky, situace), při kterých by mohlo dojít k nežádoucím způsobům poruch, nežádoucí degradaci funkcí a tím umožnit jejich prevenci; • zaměřit pozornost na klíčové oblasti a prvky řízení jakosti, kontrolu výrobního procesu, prvků logistické podpory apod.;

124 • • • • • • 8.3

vyvarovat se pozdějších nákladných modifikací včasnou identifikací nedostatků návrhu; stanovit požadavky na sběr údajů pro vývojové, výrobní a provozní zkoušky; poskytnou informace pro výběr míst pro preventivní údržbu (údržba zaměřena na bezporuchovost), pro vypracování typických technologií oprav, pro výběr testovaných míst a vestavěných i externích testovacích zařízení (prostředky technické diagnostiky); usnadnit nebo zdůvodnit stanovení zkušebních podmínek, programů zkoušek, diagnostických postupů a pod; poskytnout věcně zdůvodněné podklady pro opatření v provozu, vedoucí k eliminaci důsledků poruch (pokud již vzniknou), pro návrh alternativních způsobů provozu, změn konfigurace provozu apod.; usnadnit způsoby řešení problémů mezi všemi partnery, účastníky kontraktu. Omezení a nedostatky metody FMEA.

FMEA je neobyčejně účinná metoda analýzy spolehlivosti a bezpečnosti, je-li aplikována na analýzu prvků, které mohou způsobit poruchu celého systému. Nejúčinnější období její aplikace jsou předvýrobní etapy. Metoda má však i jistá omezení aplikace a nevýhody. FMEA může být složitá, pracná a časově náročná v případě komplexních systémů, které mají mnoho funkcí a sestávají z mnoha komponentů nebo je-li aplikována na složitý systém poprvé. To je způsobeno tím, že je při jejím použití nutno uvažovat velké množství podrobných informací o systému a dokonale znát konstrukci, funkce a technologii výroby a způsoby provozu a provozních podmínek. To všechno předpokládá účast na jejím vypracování týmu odborníků různých profesí. Klade tedy velké nároky i na organizací součinnosti prací na vypracování analýzy. Tyto obtíže se mohou ještě zvětšovat, existuje-li více variant způsobů použití systému nebo strategií údržby a oprav. Jiným omezením je skutečnost, že FMEA apriori nezahrnuje důsledky chyb lidského faktoru. Interakce mezi člověkem a systémem jsou předmětem různých studií, které ukazují, že u velmi složitých a nebezpečných systémů je člověk nejslabším prvkem v systému. Proto se úloha člověka často nahrazuje rozšířením systému o automatické řídící, bezpečnostní a softwarové prvky, které ovšem sebou nesou i zvýšení rizika selhání i těchto prvků a celého systému a komplikují aplikaci FMEA na takové systémy. Nicméně FMEA může zjistit komponenty, které jsou nejcitlivější na nepříznivé vlivy činnosti člověka a naznačit účinné kroky k eliminaci těchto nepříznivých vlivů. Další omezení se objeví v případě, když se významně projevují vlivy provozních podmínek a prostředí. Uvážení těchto vlivů vyžaduje dokonalou znalost charakteristik, práce a reakce různých komponentů systému na tyto vlivy. Je třeba konstatovat, že lidské chyby a vlivy prostředí na spolehlivost a bezpečnost systému jsou častým zdrojem poruch společného typu nebo poruch se společnou příčinou. O těchto poruchách je pojednáno na jiném místě. 8.4

Vstupní informace, potřebné pro analýzu.

K tomu aby mohla být provedena analýza systému metodou FMEA nebo FMECA je nezbytné aby byly podrobně vymezeny podmínky jejího provedení a aby analytik měl k dispozici všechny potřebné vstupní údaje. Jde hlavně o následující podmínky a informace:

125 Účel a cíle analýzy Musí být přesně vymezeno, k jakému účelu je analýza prováděna. Např. se analýza provádí proto, aby: • Bylo možné prokázat, že výrobek splňuje požadavky na bezpečnost, když průkaz těchto požadavků nelze podat jiným přijatelným způsobem, např. zkouškou, protože takový průkaz předpis nepřipouští. • Byly vyspecifikovány kritické prvky systému z hlediska nepříznivých důsledků jejich poruchy pro plnění základních funkcí systému. • Prokázat splnění požadavků na spolehlivost před tím, než budou provedeny komplexní zkoušky spolehlivosti. • Poskytnout vstupní informace pro návrh optimálního systému technické údržby systému. • Poskytnout vstupní informace pro návrh optimálního systému technické diagnostiky. • Kombinace výše uvedených účelů a cílů, případně jiné účely . Technický popis systému Slovní popisy konstrukčního uspořádání a použitého technologického řešení systému, doplněné o podrobnou výkresovou dokumentaci, schémata, grafy a pod. Definice funkcí systému a jeho prvků. Tato vstupní informace obsahuje podrobný výčet (definice) všech důležitých funkcí systému a prvků, které musí plnit a které musí být podrobeny analýze. Funkce musí být definovány tak, aby bylo možné studovat (modelovat) jejich vzájemné souvislosti, podmíněnost, posloupnost, vazby na provozní podmínky systému. Z definice musí být možné odvodit závažnost důsledků jejich neplnění, možnosti vzájemné oddělitelnosti jednotlivých funkcí a pod. Funkce může někdy být pro daný systém nebo prvek pouze jedna, avšak většinou je funkcí několik a pro každou definovanou funkci se provádí účelově zaměřená analýza. Funkční členění systému Funkční členění musí korespondovat s předchozím bodem. Specifikuje se, do jakých funkčních subsystémů se systém člení a to až do požadované hloubky analýzy. Funkční členění může být shodné nebo podobné konstrukčnímu členění, ale není to pravidlem. Funkční a konstrukční členění (uspořádání) systému je nutné odlišovat, protože výrobek jednoho konstrukčního typu může plnit celou řadu odlišných funkcí a tomu musí být přizpůsobeno i odpovídající funkční členění. Funkčnímu členění se potom přizpůsobují i modely spolehlivosti (funkčnosti), které umožňují provést analýzy spolehlivosti. Definice rozhraní systému Jde o přesné vymezení hraničních bodů a prvků, kde dochází ke vzájemné interakci se „sousedními“ systémy nebo s vnějším okolím systému. V nich potom musí být vymezeny „okrajové podmínky“ pro analýzu systému. Definice rozhraní má za cíl vyloučit „průniky jevů“ více systémů tak, aby se stejné analyzované jevy (funkce, poruchy apod.) neopakovaly vícekrát v různých systémech.

126 Údaje o prvcích systému O všech prvcích systémů, až do zvolené úrovně, která je určena požadovanou hloubkou analýzy, musí být k dispozici alespoň následující informace: • jednoznačná identifikace prvků – mohou to být například čísla výkresů, katalogová čísla, čísla prvků na schématech a výkresech a pod.; • popis funkcí prvků; • popis možných způsobů poruch prvků; • popis důsledků poruch prvků; • intenzity (pravděpodobností) jednotlivých způsobů poruch prvků (pokud je požadováno provedení kvantitativní analýzy); • zdroj informací o intenzitách (vyžaduje obvykle zadavatel projektu). 8.5

Postup provádění analýzy

Realizace metody představuje provedení jisté logické posloupnosti kroků, kterou lze rozdělit na tří základní částí: • přípravná část; • vlastní FMEA/FMECA jednotlivých prvků systému; • vyhodnocení analýzy. Obsah a rozsah každé z těchto částí analýzy závisí na celé řadě faktorů a může se případ od případu lišit jak formou, tak obsahem. Proto také neexistuje žádný univerzální, ani závazný návod, který by podrobně a jednoznačně určoval jak analýzu provádět. V platných standardech a odborných publikacích, které jsou této metodě věnovány, zpravidla najdeme jen výčet základních principů metody a doporučení k jejímu provádění. Praktické uplatnění těchto principů a doporučení bude vždy ovlivňováno specifickými vlastnostmi zkoumaného objektu, podmínkami jeho provozu či účelem analýzy, případně dohodou mezi kompetentními partnery. 8.5.1

Přípravná část analýzy

Obsahem této části analýzy je shromáždění potřebných informací a podkladů, upřesnění cílů analýzy a stanovení základních pravidel pro její provádění. K základním informacím, které jsou k provedení analýzy nezbytné patří zejména: a) Cíle, termíny a požadovaná hloubka analýzy. b) Požadavky na spolehlivost a bezpečnost systému: • požadavky vyplývající z technických podkladů; • požadavky vyplývající z legislativních podkladů. c) Informace o struktuře a funkcích systému: • přehled funkcí systému a důsledků jejich selhání; • přehled prvků systému a jejich parametrů, úloh a funkcí; • struktura a vazebnost systému (uspořádání systému a logika jeho funkcí); • úroveň zálohování a podstata záložních systémů; • návaznost na jiné systémy (definice rozhraní mezi systémy). d) Informace o provozních podmínkách a systému údržby: • specifikace podmínek provozu;

127 • doba a fáze provozu; • systém preventivní a nápravné údržby. e) Podmínky prostředí. f) Požadavky na využití softwarové podpory analýzy. Pro potřebu následné analýzy se doporučuje na základě těchto informací znázornit analyzovaný systém symbolicky, zpravidla pomocí diagramů. Tyto diagramy by měly znázornit všechny strukturální i funkční vztahy mezi jednotlivými prvky systému, tak aby umožňovaly posouzení důsledků poruchy každého jednotlivého prvku na vyšší funkce systému až po nejvyšší úroveň. Pro vytvoření takových diagramů je nezbytné stanovení nejnižší úrovně, která je předmětem sledování. Všechny objekty na této úrovni jsou potom pro potřeby analýzy považovány za dále nedělitelné prvky, které plní jasně definované funkce a mají jednoznačně vymezené způsoby poruch. Obecně takovými prvky mohou být jak jednotlivé součásti a komponenty, tak i agregáty a subsystémy. Při volbě nejnižší úrovně analýzy je třeba brát v úvahu zejména: • stanovené cíle analýzy a její požadovanou hloubku; • složitost analyzovaného systémů; • úroveň znalostí o funkcích a způsobech poruch (případně intenzitách poruch) systému na jednotlivých úrovních struktury systému; • specifikovanou nebo zamýšlenou úroveň nápravné a preventivní údržby; • možnosti symbolického znázornění (modelování) funkcí systému na jednotlivých úrovních jeho struktury; • možnosti software použitého pro analýzu. Obecně lze říci, že nejnižší úroveň analýzy musí být zvolena tak, aby na ní bylo možno věrohodně identifikovat funkce jednotlivých prvků, způsoby jejich selhání a v případě kvantitativního hodnocení i stanovit hodnoty intenzity poruch těchto prvků. Z tohoto pohledu může v rámci jednoho analyzovaného systému prvek představovat jak jednotlivou součást tak i složitý subsystém. Při analýze je potom každý prvek na zvolené úrovni analýzy považován za jakousi „černou skříňku“, jejíž vnitřní struktura a funkce již nejsou předmětem analýzy. 8.5.2

Vlastní FMEA/FMECA jednotlivých prvků systému

Při vlastní analýze jsou postupně všechny prvky systému (na zvolené nejnižší úrovni) podrobeny systematickému zkoumání, v rámci kterého se realizují zejména tyto základní kroky: • identifikace způsobů poruch prvku, jejich důsledků a pravděpodobných příčin; • identifikace metod a opatření k detekci a izolaci poruch; • kvalitativní posouzení významnosti poruch a alternativní opatření. V případě rozšíření analýzy o kvantitativní hodnocení (FMECA) se provádí ještě následující kroky: • určení kritičnosti poruch; • vyhodnocení pravděpodobnosti poruch. Tento základní rozsah analýzy může být podle potřeby rozšířen o další kroky, v rámci kterých se budou účelově zjišťovat (analyzovat) další informace, potřebné pro posouzení spolehlivosti či bezpečnosti systému.

128 Výstupem FMEA jednotlivých prvků je kvalitativní hodnocení úrovně spolehlivosti a bezpečnosti analyzovaného systému v podobě výčtu všech předpověditelných poruch, problémových míst v konstrukci a technologii a jejich důsledků pro funkci systému. Výsledky by měly mít setříděnou podobu a měly by být doplněny o informace o pravděpodobných příčinách poruch, způsobech jejich identifikace apod. V případě že je prováděno i kvantitativní zhodnocení úrovně spolehlivosti a bezpečnosti systému (FMECA) musí výsledky analýzy zahrnovat také příslušné kvantitativní ukazatele, jako např. odhadnuté pravděpodobnosti vzniku jednotlivých způsobů poruch, nebo stanovené faktory kritičnosti poruch podle zvolených kategorií závažnosti důsledků poruch. Podrobněji je o praktickém provedení jednotlivých kroků analýzy pojednáno v kapitole 8.6, kde jsou i popsány zásady pro zpracovaní dokumentace z analýzy. 8.5.3

Vyhodnocení analýzy

Závěry hodnocení musí směřovat k přijetí souboru účinných nápravných opatření, zaměřených na odstranění příčin nejzávažnějších typů poruch nebo na snížení stupně jejich závažnosti. Výsledky analýzy se vždy porovnávají s požadavky stanovenými v normách a předpisech (pokud existují) nebo s požadavky, které by měly být stanoveny ve schválených technických podmínkách pro vývoj, výrobu a provoz výrobku. Na základě výsledků tohoto porovnání a dalších poznatků získaných při realizaci analýzy se navrhnou konkrétní nápravná opatření. Ke každé poruše a jejím příčinám, pokud to je třeba, se navrhnou taková opatření, která povedou: • k úplnému odstranění příčin poruchy; • ke snížení pravděpodobnosti vzniku poruchy pod přípustnou mez; • ke snížení stupně kritičnosti důsledků poruchy. Mimo to je možné na základě výstupů z FMEA, pokud je to požadováno, navrhnout: • zdůvodněný program potřebných zkoušek spolehlivosti kritických prvků; • účelný systém údržeb, zaměřený na predikci vzniku závažných poruch; • účelný systém technické diagnostiky, zaměřený na včasné odhalení příčin vzniku poruch. Mimo tyto základní výstupy z analýzy FMEA/FMECA lze nalézt celou řadu dalších aplikací, které zde vzhledem k zaměření těchto skript nebudou dále rozváděny. 8.6

Dokumentace FMEA/FMECA

K tomu, aby výsledky analýzy byly přehledné a mohly být dále snadno využitelné, je vhodné jejich průběžné zaznamenávání do vhodně uspořádaných pracovních formulářů. Použití těchto formulářů, mimo jiné, také vytváří předpoklady proto, že analýza bude provedena systematicky tj. nic nebude opomenuto (každá položka formuláře musí být vyplněna). Neexistuje žádný závazný předpis, upravující obsah a uspořádání pracovního formuláře pro realizaci FMEA/FMECA. Uspořádání formuláře může být proto velice různorodé. Některá doporučení a návrhy jsou součástí norem. Vždy by však obsah a uspořádání mělo odpovídat specifickým cílům analýzy i charakteru analyzovaného systémů. Pracovní formulář by měl umožňovat zaznamenání především následujících informací:

129 8.6.1

Identifikační číslo analyzovaného prvku

Musí zajistit jednoznačnou identifikaci prvku v systémů. Vhodné je využít systém identifikace prvků použitý při návrhu systému (např. pozice prvků na výkresu sestavy). Identifikační číslo by také mělo umožnit bezpečné rozlišení konstrukčně různých prvků se stejným názvem a identifikaci konstrukčně shodných prvků použitých v různých částech systému. K zajištění tohoto požadavku je možné vedle identifikačního čísla ještě použít další upřesňující údaje, např. čísla výrobních výkresu, označení prvků podle katalogu náhradních dílů, označení prvků v blokových diagramech a pod. Identifikace prvků slouží k přesnému sjednocení formuláře na němž je analýza provedena s výrobní dokumentací. 8.6.2

Název analyzovaného prvku

Měl by korespondovat s názvem použitým ve výrobní dokumentaci tak, aby se předešlo možným nedorozuměním. Spolu s identifikačním číslem musí zajistit naprosto jednoznačnou identifikaci každého prvku. Pokud je používán pro konstrukčně rozdílné prvky stejný název (např. ventil, relé, spínač a pod) musí být název vždy používán s dalšími doplňujícími údaji, které ho jednoznačně identifikují a odlišují od ostatních prvků. 8.6.3

Popis funkce prvku

Podle definice musíme funkci prvku chápat jako činnost, prostřednictvím které plní svůj účel. Je to důvod, pro který existuje. Proto je definice a popis funkcí klíčovou částí analýzy a je nutné definicím funkcí věnovat velkou pozornost. Je nutné definovat jak očekávané a přijatelné způsoby činnosti systému jako celku a základních prvků z nichž se skládá, tak i charakteristiky činností, které jsou považovány za nepřijatelné a jsou poruchou, chybovou funkcí nebo mezním stavem. Popis funkcí by měl zahrnovat definici přijatelné činnosti pro všechny požadované nebo stanovené charakteristiky při všech provozních i mimoprovozních stavech, pro všechna uvažovaná časová období a pro všechny podmínky prostředí. Funkce prvků musí být definovány jak ve vztahu k nadřazenému systému tak i k celému systému. Součástí definice funkcí je i definování podmínek prostředí a požadavků předpisů. Prostředí (teplota, vlhkost, vibrace, atd), v němž se předpokládá, že bude systém pracovat by mělo být jasně definováno i s jeho vlivem na funkce systému a prvků. U systémů řízených a obsluhovaných člověkem by se měly uvážit i vlivy, spojené s lidským faktorem. Do pracovních formulářů se funkce zapisují výstižným a co nejjednodušším způsobem (obvykle jednoslovným, nebo holou větou) Příklady definice funkcí: • čerpadlo – dodává kapalinu v požadovaném množství a tlaku; • tavná pojistka – přeruší elektrický obvod při překročení povoleného proudového zatížení obvodu; • spínač (relé) – sepne el. obvod když má sepnout; • spínač – rozepne el. obvod když má rozepnout; • podobně pro každý prvek v seznamu prvků. Správná formulace funkcí prvku usnadňuje stanovení možných způsobů selhání prvku.

130 8.6.4

Způsob poruchy

Způsob poruchy je definován jako jev, prostřednictvím něhož je porucha na prvku pozorována. Vhodným způsobem se zde tedy zaznamenávají všechny způsoby, kterými se selhání prvků projeví. Pro Tab. 8.1 Příklad obecné klasifikace způsobů poruch zjednodušení celé analýzy a zvýšení srozumitelnosti Poř. výsledků analýzy je vhodné Způsob poruchy číslo provést klasifikaci způsobů 1 Předčasná činnost poruch, která definuje použitelné způsoby popisu 2 Není v činnosti v předepsaném okamžiku selhání prvků. 3 Neukončil činnost v předepsaném okamžiku Rozsah a komplexnost takové 4 Porucha v průběhu činnosti klasifikace způsobů poruch by měla korespondovat s cíli prováděné analýzy, s její požadovanou hloubkou a charakterem a složitostí analyzovaného systému. Klasifikace může mít například charakter výčtu nejobecnějších způsobů poruch, které umožňují zařazení téměř každého způsobu poruchy do jedné nebo několika málo kategorií. Příklad takové kategorizace způsobu poruch podle ČSN IEC 812 je uveden v Tab. 8.1. Tab. 8.2 Příklad podrobné klasifikace způsobů poruch Poř. číslo

Způsob poruchy

Poř. číslo

Způsob poruchy

1

Porucha celistvosti (lom)

18

Chybné uvedení do provozu

2

Mechanické omezení nebo zaseknutí

19

Nezastavuje

3

Vibrace

20

Nenabíhá

4

Nezůstává v pozici

21

Nespíná

5

Neotevírá

22

Předčasná činnost

6

Nezavírá

23

Zpožděná činnost

7

Porucha v pozici „otevřeno“

24

Chybný vstup (zvýšený)

8

Porucha v pozici „zavřeno“

25

Chybný vstup (snížený)

9

Vnitřní netěsnost

26

Chybný výstup (zvýšený)

10

Vnější netěsnost

27

Chybný výstup (snížený)

11

Je mimo toleranci (nad)

28

Ztráta vstupu

12

Je mimo toleranci (pod)

29

Ztráta výstupu

13

Omylem vyvolaná činnost

30

Zkrat (elektrický)

14

Přerušovaná činnost

31

Přerušení (elektrické)

15

Nesprávná činnost

32

Svod (elektrický)

16

Chybná indikace

17

Omezený průtok (proud)

33

Jiné zvláštní podmínky podle parametrů systému, provozních podmínek a provozních omezení

131

Taková obecná kategorizace je však pro potřeby podrobné analýzy zpravidla nedostatečná a je třeba použít klasifikaci podrobnější, která by s ohledem na cíle analýzy umožnila popis poruch prvků s dostatečným rozlišením. Příklad takové podrobnější klasifikace podle ČSN IEC 812 je uveden v Tab. 8.2. Tato klasifikace je dobrým základem pro každou podrobnou analýzu a podle potřeb je možné ji dále zpřesňovat a jednotlivé kategorie způsobu poruch dále podrobněji členit. Důležité je, aby při analýze byly do úvahy vzaty všechny možné způsoby poruch prvku a žádný nebyl dopředu z analýzy vylučován jen proto, že je krajně nepravděpodobný. Otázka pravděpodobnosti nastoupení jednotlivých způsobů poruch v této části analýzy není podstatná (to řeší analýza v dalších krocích), jediným rozhodujícím kritériem pro zařazení každého způsobu poruchy do analýzy je zde předpoklad možnosti a předpověditelnosti takového způsobu poruchy (bez ohledu na praktickou pravděpodobnost poruchy). To že do analýzy jsou zahrnuty všechny předpověditelné a reálně možné způsoby poruchy každého prvku je podstatným základem FMEA. 8.6.5

Příčina poruchy

Z induktivní povahy metody vyplývá, že stanovení příčiny poruchy není původním a ani prioritním cílem analýzy. K tomu jsou používány jiné metody. Přesto se i v této metodě stanovují všechny pravděpodobné (možné) příčiny spojené s každým daným způsobem poruch. Identifikace potenciálních příčin každého způsobu poruch se provádí především proto, aby bylo možné odhadnout zdroj jejich výskytu, aby se odhalily sekundární důsledky a aby bylo možné doporučit soubor nápravných opatření. Jelikož způsob poruchy může mít více než jednu příčinu, musí být stanoveny a popsány všechny možné nezávislé příčiny pro každý způsob poruchy. 8.6.6

Důsledky poruchy

Kvalitativní (FMEA) nebo kvantitativní (FMECA) analýza důsledků poruch je prioritním cílem metody. Zjistí se, vyhodnotí a zaznamenají důsledky všech předpokládaných způsobů poruch jak na činnost, funkci a stav vlastního prvku systému, tak i na všechny vyšší úrovně systému až po úroveň systému jako celku. Podle zvolených kritérií se potom každému důsledku přiřadí stupeň závažnosti. Z tohoto pohledu rozlišujeme: Lokální důsledek: Výraz lokální zde vyjadřuje skutečnost, že se sledují důsledky poruchy na vlastní prvek. Vyhodnocení lokálních důsledků poskytuje výchozí informace pro vyhodnocení alternativních opatření nebo pro doporučení nápravných opatření. V některých případech neexistuje jiný lokální důsledek než sám způsob poruchy. Konečný důsledek: Pro posouzení konečného důsledku poruchy, tedy důsledku poruchy prvku na činnost, funkci a stav celého systému je nutné vyhodnotit důsledky každé poruchy na všech nižších úrovních. Přitom je nutné brát v úvahu všechny možné kombinace s dalšími poruchami systému, protože porucha jednoho prvku, která sama o sobě může mít nezávažné důsledky, může v kombinaci s jinou poruchou vést ke katastrofickým důsledků. Proto v pracovních formulářích musí být tyto důsledky vyplývající z násobných poruch také uvedeny.

132 8.6.7

Metody zjišťování poruch

Je třeba popsat možné způsoby detekce poruch. Informace z této části analýzy jsou důležité pro návrh případných preventivních opatření jakými mohou být například návrhy na vybavení systému přístroji palubní diagnostiky, nebo návrhy do oblasti údržby systému. Zvláštní pozornost je třeba věnovat tak zvaným „skrytým poruchám“ o kterých obsluha není včas informována zabudovaným systémem signalizace a varování a které by mohly svojí existencí způsobit selhání systému až v okamžiku, kdy se od něj očekává plnění jeho funkce. 8.6.8

Relativní významnost poruchy a alternativní opatření

Relativní významnost poruch se posuzuje především z hlediska závažnosti jejich důsledků. K tomu je vhodné vytvořit systém kategorizace důsledků poruch, který by pokrýval všechny předpověditelné důsledky jednotlivých poruch systému a umožňoval jednoznačné zařazení každé poruchy do některé z navržených kategorií. Systém kategorizace důsledků poruch, je vždy třeba přizpůsobit konkrétnímu výrobku a podmínkám jeho použití. Například pokud je se selháním systému spojeno pouze riziko vzniku materiálních škod může být jako kriterium zařazení poruchy do příslušné kategorie vzata například výše předpokládaných škod. V případě, že technické selhání systému může vést k ohrožení života a zdraví lidí musí být rozhodujícím kritériem pro kategorizace poruch právě míra ohrožení lidí. Dále jsou uvedeny dva ilustrativní příklady kategorizace důsledků poruch podle závažnosti: 1. Příklad V letectví, jaderné energetice a jiných exponovaných oborech se obvykle využívá následující kategorizace poruch podle jejich důsledků: • Nezávažný (MINOR) důsledek vyvolá porucha, která nesníží ani jinak neovlivní funkční schopnosti, efektivnost a výkony objektu pod stanovenou a přijatelnou limitní hodnotu. • Závažný (MAJOR) důsledek vyvolá porucha která by mohla snížit funkční schopnosti objektu pod přijatelnou limitní hodnotu, ale jejíž důsledek je v provozu obsluhou zvládnutelný. • Kritický (CRITICAL) důsledek vyvolá porucha, která by mohla snížit funkční schopnosti objektu pod přijatelnou limitní hodnotu a mohla by tím přivodit takové zvýšení rizika poruchy, které by mohlo vést až ke katastrofické poruše, pokud by nebyla přijata neprodleně nebo ve stanovené době odpovídající nápravná opatření. • Katastrofický (CATASTROPHIC) důsledek vyvolá taková porucha, která by mohla mít za následek vážné poškození objektu takové povahy, že by tím bylo vyloučeno bezpečné ukončení funkce objektu, nebo která by mohla vést k újmě na zdraví nebo ke ztrátám či ohrožení života lidí nebo k velké hmotné či jiné škodě. 2. Příklad U výrobků jejichž selhání nemůže vést ke vzniku velkých materiálních ztrát a k ohrožení životů a zdraví lidí může být použita následující kategorizace: • Důsledek III. kategorie vyvolá porucha, která neomezí plnění parametrů hlavních funkcí objektu (selhání podpůrné funkce); • Důsledek II. kategorie vyvolá porucha, která zhorší, sníží nebo omezí parametry plnění hlavních funkcí objektu, ale nebrání jejich dalšímu plnění (selhání vedlejší funkce);

133 •

Důsledek I. kategorie vyvolá porucha, která znemožní objektu plnění hlavních funkcí (selhání hlavních funkcí).

Současně s posouzením významnosti poruch je vhodné posoudit realizaci alternativních opatření k předcházení důsledků poruch nebo k omezení tohoto důsledku. Tyto opatření mohou například zahrnovat: • změnu konfigurace; • použití záložních prvků; • alternativní způsoby provozu; • monitorovací, diagnostické nebo signalizační zařízení apod.

V případě rozšíření analýzy o kvantitativní hodnocení (FMECA) se do pracovního formuláře zaznamenávají také následující informace: 8.6.9

Pravděpodobnost poruchy prvku

Zde se uvede pro každý prvek pravděpodobnost výskytu každého předpokládaného způsobu poruchy. Odhad této pravděpodobnosti může být proveden řadou způsobů, například: • z výsledků sledování provozní spolehlivosti prvku; • na základě provedených zkoušek spolehlivosti; • s využitím výsledků sledování provozní spolehlivosti konstrukčně podobných prvků; • expertním odhadem s využitím znalostních databází a dalšími způsoby. Údaje uvedené v této rubrice slouží jako vstupní údaje pro hodnocení kritičnosti poruch a pro případný výpočet pravděpodobností jednotlivých způsobů poruch celého systému, nebo jeho částí. Pokud má analýza ověřit, jestli systém vyhovuje kvantitativním požadavkům na bezpečnost a spolehlivost (požadavky uživatele, norem, předpisů apod.) je znalost pravděpodobnosti jednotlivých způsobů poruch všech prvků systému nezbytná. 8.6.10 Kritičnost poruchy Hodnocením kritičnosti poruchy prvku se rozumí „ohodnocení“ závažnosti důsledků dané poruchy při uvažování její četnosti. Existence a znalost samostatného důsledku poruchy nebo pravděpodobnosti jejího nastoupení nemusí ještě nutně vést k vysoké kritičnosti takové poruchy. V podstatě se dá obecně říci, že platí „inverzní“ vztah mezi četností výskytu poruch (pravděpodobností jejího vzniku) a závažností (kritičností) důsledku poruch. Jestliže je pravděpodobnost nastoupení poruchy extrémně nízká, tak i v případě velice závažných důsledků může mít tato porucha jen malou kritičnost. To samozřejmě platí i naopak (viz Obr. 8.1). V souladu s touto filozofií se potom provádí hodnocení kritičnosti poruch. U každé poruchy se stanoví závažnost důsledků a určí pravděpodobnost jejího nastoupení. Vlastní vyhodnocení se může například provádět s využitím síťového grafu (viz Obr. 8.2), do kterého se výsledek zaznamená. V grafu jsou jako příklad uvažovány čtyři kategorie poruch, kdy důsledky I. kategorie jsou nejzávažnější a důsledky IV. kategorie nejméně závažné. Čím dále se pole v grafu s výsledným hodnocením kritičnosti nachází od počátku grafu, a to zejména ve směru diagonály tím větší je kritičnost poruchy.

134

Závažnost důsledků poruchy

Zásady pro rozdělení poruch do jednotlivých skupin podle jejich četnosti (viz vodorovná osa v grafu na Obr. 8.2) musí být jednoznačně stanoveny v podmínkách pro provádění analýzy.

Úroveň kritičnosti = konstanta

Růst kritičnosti poruchy

Četnost poruchy

Obr. 8.1 Filozofie hodnocení kritičnosti poruch

Úroveň závažnosti poruch

Takovéto grafické vyhodnocení kritičnosti poruch není příliš praktické, protože neumožňuje jednoznačné porovnání míry kritičnosti různých poruch a v praxi se proto používá jen minimálně. Je-li účelově vyžadováno porovnání míry kritičnosti jednotlivých poruch je vhodnější použít některou metodu umožňující kvantifikované posouzení kritičnosti poruch s využitím faktorů kritičnosti (viz poslední část této kapitoly). I II III IV Velmi nízká

Nízká

Střední

Vysoká

Pravděpodobnost poruchy Obr. 8.2 Příklad síťového grafu kritičnosti Výše popsané principy hodnocení kritičnosti jsou však velice často využívány pro specifikaci požadavků na spolehlivost (bezpečnost) systému a při ověřování jejich splnění. Požadavky jsou potom formulovány tak, že stanoví příslušné kategorie poruch a současně

135 se pro každou kategorii poruch stanoví i „nejvyšší“ přípustná pravděpodobnost jejich nastoupení. Kontrola splnění takto zadaných požadavků na bezpečnost a spolehlivost se provede tak, že se s využitím metody FMEA identifikují všechny poruchové stavy a v souladu se stanovenou kategorizací se určí závažnost jejich důsledků. Následně se v rámci FMECA určí pravděpodobnost nastoupení těchto poruchových stavů a zjištěné hodnoty se porovnají s hodnotami požadovanými. V některých standardech jsou také uvedeny postupy které umožňují kvantitativní vyjádření kritičnosti s využitím tzv. faktorů kritičnosti. Dále jsou uvedeny dva příklady hodnocení kritičnosti poruch tímto způsobem: 1. Příklad Hodnocení je založeno na expertním odhadu kritických faktorů CKR jednotlivých částí konstrukce, podskupin, prvků a jejich podílu na celkovém faktoru kritičnosti systému. Doporučený výpočtový vztah může mít například následující podobu: 1

C KR = {π1 .π 2 .π 3 .....π N }N

(8.1)

kde faktory π(1....N) jsou váhové faktory, vyjadřující jednotlivé vlivy na důsledek poruchy. Tyto faktory mohou například vyjadřovat vliv: • třídy poruchy; • důsledku poruchy prvku pro systém; • pravděpodobnost nastoupení poruchy prvku mezi všemi prvky; • snadnost detekce poruchy; • rychlost reakce na poruchu a pod. Všechny tyto faktory se určují expertně což může vést k jisté subjektivizaci hodnocení. Tento postup je proto vhodný především tam kde nejsou k dispozici věrohodné informace o četnosti jednotlivých způsobů poruch. 2. Příklad Poněkud složitější, zato však preciznější postup výpočtu kritičnosti poruchy představuje postup, využívající znalosti „základní (generické) intenzity poruch“ , kterou potom „opravujeme“ o konkrétní vlivy „odlišností“ od podmínek, v nichž byla zjištěna a které vyjadřují podmínky skutečné aplikace prvku v novém použití. Podobný postup používá např. norma MIL-HDBK-217 (Reliability Prediction of Electronic Equipment). Opravné faktory jsou uvedeny ve zmíněné normě nebo je nutné je určit expertními metodami. Výpočtový vztah má tvar: C KRi =

N

∑ (β.α.K E .K A .λ G .t.10 6 ) i

(8.2)

1

kde: CKRi i N β

- faktor kritičnosti daného prvku; - pořadové číslo prvku; - celkový počet prvků v systému; - podmíněná pravděpodobnost toho, že nastane-li uvažovaný typ poruchy, bude to mít za následek vznik kritické poruchy systému;

136 α λG t KE KA

- relativní podíl počtu poruch daného (uvažovaného) typu k celkovému počtu všech způsobů poruch (λG) prvku daného typu; - intenzita poruch prvku vlivem všech způsobů poruch, které u něj mohou nastat. Má obvykle rozměr: počet poruch/106 jednotek doby provozu; - doba provozu (obecně v různých jednotkách), kterou akumuluje každý prvek za celou dobu provozu objektu; - opravný faktor, postihující vliv rozdílnosti provozních podmínek při nichž byla určena λG a v nichž bude pracovat prvek v nové aplikaci; - opravný faktor, postihující vliv rozdílnosti provozního namáhání při němž byla určena λG a za kterých bude pracovat prvek v nové aplikaci;

Volba konkrétního postupu analýzy kritičnosti poruch závisí na konkrétních okolnostech, za nichž se analýza provádí, na cílech analýzy ale hlavně na charakteru vstupních informací, které jsou pro analýzu v dané situaci k dispozici.

Kontrolní otázky k 8. kapitole: 1) Charakterizujte cíle a možnosti použití metody FMEA (FMECA). 2) Charakterizujte vstupní informace nezbytné k provedení analýzy. 3) Popište základní kroky prováděné při realizaci metody a charakterizujte jejich obsah. 4) Popište strukturu pracovního formuláře metody a vysvětlete význam informací, které se do formuláře uvádí. 5) Objasněte zásady popisu funkcí prvků a popisu (hodnocení) příčin, způsobů a důsledků jejich poruch. 6) Vysvětlete možnosti hodnocení kritičnosti poruch při provádění analýzy metodou FMECA. 7) Jaké jsou výhody a nevýhody (omezení) metod FMEA a FMECA).

137

9 ANALÝZA STROMU PORUCHOVÝCH STAVŮ 9.1

Historie metody

Metoda analýzy stromu poruchových stavů (Fautl Tree Analysis – FTA) byla poprvé použita v roce 1962 firmou Bell Telephone Laboratories v souvislosti s vývojem bezpečnosti startovacího systému rakety Minuteman. Později byla tato metoda zdokonalena ve firmě Boeing, kde také byly navrženy první výpočtové programy umožňující kvalitativní i kvantitativní vyhodnocení stromu poruchových stavů s využitím výpočetní techniky. Poměrně rychle začala tato metoda nacházet uplatnění především tam, kde předmětem analýzy byly složité technické systémy, například v jaderné energetice, kosmonautice, letectví, ve zbrojním průmyslu a jiných exponovaných oborech. Postupem doby se použití metody dále rozšiřovalo i do řady jiných oblastí lidské činnosti. V technické oblasti se metoda stala jednou z nejrozšířenějších technik analýzy spolehlivosti, bezpečnosti, odhadu možných příčin poruch a hodnocení rizika a důsledků poruch složitých systémů. Tento rychlý rozvoj použití metody se odrazil i v oblasti standardizace a v roce 1990 Mezinárodní elektrotechnická komise IEC vydala normu IEC 1025 – Fault Tree Analysis, ve které jsou zobecněny zkušenosti z praktického použití metody a zformulovány principy a postupy pro tvorbu a vyhodnocení stromu poruchových stavů. V roce 1993 byla tato mezinárodní norma také vydána jako česká technická norma ČSN IEC 1025 – Analýza stromu poruchových stavů. V současné době je na trhu nabízena celá řada vysoce výkonných softwarových produktů, které značně zjednodušují praktické použití metody, což vytváří předpoklady pro její další rozšiřování. Zde je však třeba zdůraznit, že i při využití nejmodernějšího programového vybavení může tuto metodu analýzy správně a efektivně použít pouze vysoce kvalifikovaný odborník, s poměrně širokým technickým rozhledem. Proto je také výuka této metody analýzy spolehlivosti zavedena na mnoha technických universitách. 9.2

Charakteristika, cíle a postup provádění metody

Metoda stromu poruchových stavů (zkráceně strom poruch) je deduktivní metodou a svojí povahou patří mezi speciální orientované grafy. Jejich teoretické základy jsou vyloženy v kapitole 6.1.3. Strom poruch má podobu logického diagramu který znázorňuje logické vztahy mezi potenciální vrcholovou událostí (jevem) (top event), zvaným kořen stromu a mezi příčinami vzniku tohoto jevu. Příčiny mohou být v provozních podmínkách, v běžných očekávaných poruchách prvků systému, v chybách obsluhy, v náhodných diskrétních poruchách, v odchylkách (chybách) provozních parametrů prvků a pod. Správně zkonstruovaný strom poruch reprezentuje (ilustruje) všechny rozumné kombinace poruch prvků a poruchových jevů které mohou vést ke vzniku specifikovaného vrcholového jevu. Výhodou techniky stromu poruch je hlavně to, že donutí tvůrce stromu (analytika poruchy) představit si a znázornit (přesně popsat) logiku rozvoje poruchy v systému, odhalit všechny kauzální vazby mezi prvky a poruchou a to až do zvolené úrovně složitosti systému. V důsledku toho většina slabých míst v systému může být včas odhalena a to především již v etapě návrhu a vývoje systému. Strom poruch je deduktivní metoda. Rozvíjí se od vrcholové události k dalším jevům nižší úrovně, přičemž se posuzují možné příčiny vzniku nadřazeného poruchového jevu.

138 Posuzuje se, jaké by mohly být příčiny poruchového jevu. Popis příčin poruchového jevu na každé úrovni by měl odpovídat na otázky: Co? Kde? Kdy? a Proč? V současné době se technika stromu poruch stále zdokonaluje a zdokonalila již tak, že umožňuje též analýzu dynamických systémů, jako regulovaných systémů, systémů s funkcemi ovládanými spínači na povel (na vyžádání), systémů podílejících se na různých fázích činnosti systémů, systémů podřízených složitým strategiím údržby apod. Vlastní realizace metody představuje provedení jisté logické posloupnosti kroků, kterou lze rozdělit do pěti základních částí: • přípravná část; • tvorba stromu poruchových stavů; • kvalitativní analýza stromu poruchových stavů; • kvantitativní analýza stromu poruchových stavů; • vyhodnocení analýzy. Analýza stromu poruch poruchových stavů může být provedena buď kvalitativně, kvantitativně nebo obojím způsobem v závislosti na cílech analýzy. Výstupem z analýzy tedy muže být: • Soupis (přehled) možných kombinací faktorů provozních podmínek, nebo podmínek prostředí, chyb lidského faktoru, normálních provozních poruch prvků takových, které by mohly jednotlivě nebo v kombinaci vést ke vzniku nežádoucí vrcholové události; • Pravděpodobnost s jakou nežádoucí vrcholová událost může v provozu nastat během specifikovaného časového intervalu. 9.3

Přípravná část analýzy

Základním předpokladem pro úspěšné provedení analýzy je dokonalá znalost systému, jeho funkcí a podmínek jeho použití. Výchozím krokem řešení tedy musí být shromáždění všech nezbytných informací o systému, které umožní vlastní provedení analýzy. Jedná se především o následující informace: • konstrukční uspořádání systému; • popis funkcí systému; • vymezení rozhraní, které systém odděluje od okolí a charakter interakcí systému s okolím; • předpokládané provozní režimy systému; • předpokládaný systém údržby; • vliv lidského faktoru na činnost systému a pod. Při shromažďování těchto informací se vychází z dostupné technické dokumentace, např. výkresů, specifikací, technických popisů, provozních příruček a pod. Analýze stromu poruchových stavů také často předchází provedení analýzy spolehlivosti systému jinými metodami např. metodou FMEA nebo FMECA. V takovém případě je výhodné využít při shromažďování podkladů i výsledků těchto analýz. Dalším krokem v přípravné části analýzy je definovaní vrcholové události, která bude předmětem analýzy. Takovou událostí obvykle bývá: • událost, která může znamenat začátek vzniku nebo existenci nebezpečných podmínek; • událost představující neschopnost systému plnit požadované funkce.

139 Tab. 9.1 Schématické značky používané pro kreslení stromu poruch. Doporučená značka

Alternativní značka

Název a popis Blok s názvem nebo popisem vrcholové události (TOP jevu). Blok s názvem nebo popisem události (jevu), případně s uvedením pravděpodobnosti výskytu (pokud se to požaduje). Základní (primární) událost – událost, která se dále nedělí.

Nerozvíjená událost – událost, která není dále rozvíjená (zpravidla proto, že se to nepovažuje za nutné) Událost analyzovaná jinde – událost dále rozvíjená v jiném stromu poruch. Přenos do – událost definovaná kdekoliv jinde ve stromu poruch. Přenos ven – opakovaná událost použitá kdekoli jinde ve stromu poruch. &

Hradlo AND (a) – událost nastane pouze tehdy, když součastně nastanou všechny vstupní události.

≥1

Hradlo OR (nebo) – událost nastane tehdy, když nastane kterákoliv vstupní událost, nebo jejich libovolná kombinace.

≥m

m/n

Zálohovaná struktura – událost nastane tehdy, jestliže nastane minimálně m z n vstupních událostí. Hradlo INHIBIT (zdržení) – událost nastane pouze tehdy, když nastane vstupní událost a současně je splněna podmínka vyznačená uvnitř značky.

Poznámka: V praxi se alternativní značky používají mnohem častěji než značky doporučené, proto jsou alternativní značky preferovány i v těchto skriptech.

Za vrcholovou událost také může být zvolen provozuschopný stav systému. V takovém případě se nezkoumají příčiny selhání funkce systému, ale naopak podmínky, které jsou nutné pro realizaci požadované funkce systému. Z praktického hlediska je však výhodnější modelovat poruchový stav, protože to zpravidla vede ke snadnější kvantitativní a kvalitativní analýze.

140 Vrcholová událost musí být definována (vymezena) jasně a nedvojznačně. V případě, že tomu tak není analýza je omezena ve svých výstupech. Protože cílem celé analýzy je nalezení všech možných příčin vrcholové události, je třeba vrcholovou událost definovat tak aby tento cíl byl splnitelný. Definice vrcholové události proto musí jednoznačně popisovat událost, přesně vymezovat jakého systému nebo jeho části se týká a v jaké fázi provozu a za jakých podmínek nastala. Příliš obecná definice události (například „motorové vozidlo nelze zastavit“) není vhodná, protože může vést k nejasným závěrům se spekulativním charakterem. Naopak příliš specifické definování události může nežádoucím způsobem omezit rozsah analýzy a vést k opomenutí některých důležitých prvků systému či systémových vazeb. Například definice „vozidlo nelze zastavit pro poruchu hlavního brzdového válce“ již dopředu z analýzy vylučuje další prvky brzdového systému vozidla, které ovlivňují jeho schopnost brzdit. Vrcholová událost musí být definována takovým způsobem aby vždy bylo možné, s ohledem na uvažovaný stav systému a jeho prvků, jednoznačně určit zda „by vrcholová událost mohla nastat“ či ne. Z tohoto důvodu je také vhodné, pokud to charakter systému a vrcholové události umožňuje, vrcholový jev specifikovat kvantitativními ukazateli. Na závěr je třeba zdůraznit, že ke každému systému můžeme definovat celou řadu vrcholových událostí. Charakter popisované metody však neumožňuje analyzovat více vrcholových událostí současně. Pro každou jednotlivou vrcholovou událost je třeba vybudovat samostatný strom poruchových stavů a pro případný jiný jev celou analýzu opakovat. 9.4

Tvorba stromu poruchových stavů

Tvorba stromu poruchových stavů začíná od vrcholové události. Další rozvoj stromu se děje postupnou analýzou kauzálního vztahu mezi vrcholovou událostí a jejími příčinami. Při této analýze hledáme odpověď na dvě základní otázky: • Co by mohlo být příčinou (příčinami) vrcholové události? • Jaká je logická vazba mezi vrcholovou událostí a jejími příčinami? Cílem analýzy příčin vrcholového jevu je tedy identifikace všech událostí, které „by mohly být“ bezprostředními příčinami vrcholové události. Bezprostředními příčinami zde přitom rozumíme všechny bezprostředně nutné a dostačující příčiny vrcholové události. Výsledek této dílčí analýzy potom zaznamenáváme s využitím grafických značek, kdy vzájemnou logickou vazbu mezi událostí a jejími bezprostředními příčinami vyjadřujeme pomocí tzv. hradel. Přehled vybraných značek používaných při tvorbě stromu poruch je uveden v Tab. 9.1. V dalším postupu je třeba posoudit zda bezprostřední příčiny vrcholové události představují tzv. „základní (primární) události“ či ne. Základní událostí zde přitom rozumíme takovou událost, která se již dále nerozvíjí, to znamená, že její nastoupení nemůže být zapříčiněno žádnou jinou uvažovanou událostí v analyzovaném systému. Základní událost je obvykle vztažena k jednomu konkrétnímu prvku systému. Co bude při analýze považováno za základní událost je určováno požadovanou hloubkou analýzy. V některých případech může základní událost představovat poruchový stav jednotlivé součásti, jindy celého agregátu, podskupiny či subsystému. Jestliže se při hodnocení příčiny vrcholové události ukáže, že se jedná o základní událost, zakreslí se příslušnou značkou do stromu poruch a dále se nerozvíjí. Jestliže se nejedná o základní událost je v zásadě možný trojí postup:

141 • •

událost dále rozvíjet; označit událost jako Nerozvíjenou událost (nemáme dostatek informací, nebo na dané úrovni rozpracovanosti projektu nebo členění systému to není možné nebo nutné); • označit událost jako Událost analyzovanou jinde a další rozvoj události v řešeném stromu neprovádět a událost analyzovat jinde v samostatném stromu poruch. Zvolený postup vždy odpovídajícím způsobem zakreslíme do vytvářeného stromu poruch. V případě, že je některá z bezprostředních příčin vrcholové události dále rozvíjena analyzují se její bezprostřední příčiny podobným způsobem jako to bylo naznačeno u vrcholové události a výsledky tohoto kroku opět zakreslit do stromu poruch. Tento proces postupně úroveň po úrovni opakujeme (aplikujeme) pokud nedospějeme k událostem na nižší úrovni členění systému, tedy k základním událostem (případně k událostem nerozvíjeným a analyzovaným jinde). Tím je tvorba stromu poruchových stavů skončena.

TOP

Obr. 9.1 Příklad finální struktury stromu poruchových stavů V konstrukci stromu poruch se často používají tak zvané přenosy. Objevuje-li se na více místech stromu stejná dále rozvíjená událost, postačuje její vyřešení pouze na jednom z míst výskytu. Informace z tohoto řešení se potom na další místa výskytu události přenesou pomocí příslušných značek (viz Tab. 9.1).

142 Každou událost ve stromu poruch je nutné jednoznačně identifikovat a označit tak, aby byly zřejmé vzájemné vztahy mezi stromem poruch a vyšetřovaným systémem. Jestliže se ve stromu poruch objevuje více různých událostí (poruchových stavů) vztahujících se k jednomu prvku systému, musí se tyto události označit tak, aby je bylo možné vzájemně rozlišit a přitom bylo vždy jasné že se jedná o skupinu událostí, která se vztahuje k jednomu stejnému objektu. Jestliže se určitá událost, týkající se jednoho objektu objevuje na různých místech stromu poruch, případně v různých stromech poruch, je nutné všechny tyto výskyty označit stejně. Samozřejmě pokud se stejné události objevují na různých objektech nesmí mít stejné označení. V konečném stádiu vývoje je strom poruch diagram, ve kterém jsou všechny události spojené logickými hradly, přičemž každé hradlo má jednu výstupní událost a jednu či více vstupních událostí. Příklad finální struktury stromu poruchových stavů je uveden na Obr. 9.1. Z tohoto obrázku je také patrné použití různých značek používaných při vytváření stromu poruch.

9.5

Kvalitativní analýza stromu poruchových stavů

Cílem kvalitativní analýzy u stromu poruch je nalezení všech rozumně možných kombinací faktorů provozních podmínek, podmínek prostředí, chyb lidského faktoru a poruch prvků systému, které by mohly vést ke vzniku vrcholové události, zpravidla události nežádoucí (kritická porucha systému). 9.5.1

Kritické řezy a úspěšné cesty stromu poruchových stavů

Z formálního hlediska je cílem analýzy stromu poruch nalezení množiny všech minimálních kritických řezů, případně množiny všech minimálních úspěšných cest. Teoreticky tato problematika již byla objasněna v kapitole 6.1.3. Proto se zde omezíme jen na stručné vymezení základních pojmů. Kritickým řezem stromu poruchových stavů rozumíme takovou konečnou množinu základních, dále nerozvíjených a jinde analyzovaných událostí (dále tyto události budeme souhrnně označovat jako události (jevy) elementární) která, nastane-li současně vede ke vzniku vrcholové události. Minimálním kritickým řezem MKR stromu poruchových stavů rozumíme takovou konečnou množinu elementárních událostí, která je sama kritickým řezem, ale současně žádná její vlastní podmnožina kritickým řezem není. Jestliže je známa množina všech minimálních kritických řezů MKRi (i = 1, 2, ..i, ... s) je možné logickou strukturu stromu poruch vyjádřit pomocí sériově paralelního blokového diagramu vyjadřujícího logiku poruchy systému, kde každá větev diagramu představuje jeden minimální kritický řez (viz Obr. 9.2). Analogicky je možné podle tzv. „duálního principu“ u stromu poruchových stavů také definovat úspěšné cesty, minimální úspěšné cesty a množinu všech úspěšných cest, které by popisovaly situace kdy vrcholová událost nenastává (systém je v bezporuchovém stavu). Vzhledem k tomu, že se úspěšné cesty při analýze stromu poruchových stavů zpravidla nevyužívají, nebude jim zde dále věnována pozornost.

143 MKR1

....

MKR2 MKRi

O

....

I

MKRs-1 MKRs Obr. 9.2 Množina všech MKR

9.5.2

Algoritmus určení minimálních kritických řezů

Jedním z hlavních dílčích cílů při řešení stromu poruch je nalezení úplné množiny minimálních kritických řezů (prakticky však množiny všech MKR do zvoleného „řádu“). To potom umožňuje analytikovi transformovat složitě strukturovanou logiku všech variant poruchy systému na již jednoduchou strukturu sériově-paralelní, kterou lze řešit standardními výpočtovými postupy. Základní metodou pro určení množiny minimálních kritických řezů je Booleovská redukce, která je založena na jevovém popisu logických vazeb vyjádřených stromem poruch. Metoda je přímo použitelná i na stromy poruch, kde se stejné události objevují ve více větvích stromu. Metodu však nelze použít v případě, kdy je vrcholová událost závislá na časování nebo posloupnosti jevů. Náročnost praktického použití metody rychle roste s počtem elementárních jevů ve stromu poruch. Metoda spočívá v postupném vyjadřování logiky vrcholové události jako kombinace jednotlivých událostí vyjádřených ve stromu poruch. V prvním kroku vyjádříme vrcholovou událost jako logickou kombinaci událostí, které jsou bezprostřední příčinou vrcholové události. V dalších krocích stejným způsobem popisujeme události na nižších úrovních stromu poruch a takto postupujeme dokud vrcholová událost není vyjádřena jako logická kombinace elementárních jevů. Výsledný logický výraz tom s využitím pravidel Booleovké algebry upravíme tak, aby vyjadřoval prosté sjednocení průniků elementárních jevů. Jednotlivé průniky elementárních jevů v tomto logickém výraze potom představují minimální kritické řezy stromu poruch, přičemž všechny průniky jevů, které jsou v rovnici sjednocovány představují množinu kritických řezů. Pokud z této množiny kritických řezů eliminujeme ty řezy, které sami o sobě nejsou minimálními kritickými řezy, obdržíme množinu všech minimálních kritických řezů. Podrobněji si celý postup ukážeme na příkladu. Mějme strom poruchových stavů vyjádřený na Obr. 9.3. Nejdříve vyjádříme vrcholovou událost jako logickou kombinaci bezprostředních příčin této události. Pro zjednodušení zápisů zde budeme používat na místo symbolů pro průnik a sjednocení jevů znaménka „krát“ a „plus“:

144 G0

G1

A

B

G2

G3

G4

G5

E

D

F

C

H

G6

F

I

Obr. 9.3 Příklad stromu poruchových stavů G 0 = A + B + G1 Potom do rovnice za jev G1 dosadíme logický výraz vyjadřující tento jev jako logickou kombinaci jeho bezprostředních příčin a vztah tímto způsobem dále upravujeme dokud logický výraz není tvořen výhradně elementárními jevy: G 0 = A + B + (G 2 + G 3 ) G 0 = A + B + [G 4 ⋅ G 5 + (C + G 6 )]

G 0 = A + B + {(D + E) ⋅ (F + H) + [C + (F + I)]}

Výsledný logický výraz potom upravíme tak aby vyjadřoval prosté sjednocení průniků jevů: G0 = A + B + C + F + I + D ⋅ F + D ⋅ H + E ⋅ F + E ⋅ H Tento výraz můžeme dále zjednodušit, uvážíme-li podstatu operace sjednocení jevů, ze které vyplývá že: D⋅F+ E⋅F+ F = F Výsledný logický výraz potom můžeme přepsat do tvaru: G0 = A + B + C + F + I + D ⋅ H + E ⋅ H Pro řešený strom poruch jsme tak obdrželi následující soustavu sedmi minimálních kritických řezů: ΣMKR = {A}, {B}, {C}, {F}, {I}, {D,H}, {E,H} Výše presentovaný postup je vcelku jednoduchý a vede k jednoznačnému určení všech minimálních kritických řezů, ale při vysokých počtech elementárních jevů se stává

145 ručně obtížně zvládnutelný. Z tohoto důvodu byla vyvinuta celá řada různých metod vyhledávání minimálních kritických řezů založených na různých logických postupech, které například uvažují jen kritické řezy do určitého řádu (viz následující kapitola) nebo přijímají jiné zjednodušující předpoklady. Tyto metody jsou obvykle založeny na snadno programovatelných algoritmech, které umožňují řešení stromů poruch s využitím počítačů. K ručnímu řešení dnes přistupujeme jen v případě jednoduchých stromů poruch (obvykle jen do několika desítek elementárních jevů) a jinak využíváme speciální softwarové produkty určené k řešení stromů poruch, kterých je na současném trhu poměrně široká nabídka. 9.5.3

Hodnocení závažnosti minimálních kritických řezů

Kvalitativní posouzení stromu poruch může být provedeno také na základě rozboru minimálních kritických řezů při uvážení různých kritérií závažnosti. Prvním důležitým kritériem vyjadřujícím závažnost každého MKR je počet elementárních jevů řezu. Počet různých elementárních jevů v MKR se nazývá řád řezu. MKR prvního řádu je obvykle kritičtější (závažnější) než řezy druhého nebo vyšších řádů. Máme-li řez, sestávající pouze z jednoho elementárního jevu, potom vrcholová událost může nastat již tehdy, nastane-li samostatně tento jediný elementární jev. Sestává-li MKR ze dvou či více elementárních jevů, potom i vrcholová událost nastane až tehdy, nastoupí-li současně všechny jevy řezu současně, tedy dojde-li k jejich průniku. Protože pravděpodobnost nastoupení průniku jevů je dána součinem pravděpodobností jevů, logicky platí, že čím více elementárních jevů je současně třeba k nastoupení vrcholové události, tím je jeho pravděpodobnost menší. Jiným důležitým kritériem kvalitativního posouzení závažnosti MKR je typ uvažovaných elementárních jevů. Ze zkušeností vyplývá, že obecně můžeme elementární jevy podle jejich typu uspořádat (s ohledem na závažnost jejich důsledků a četnost výskytu) do následujícího pořadí: 1) chyby lidského faktoru; 2) poruchy aktivních prvků; 3) poruchy pasivních prvků. Pořadí je založeno na zkušenosti, že chyby lidského faktoru (selhání člověka) se vyskytují častěji než poruchy aktivních prvků a že aktivní prvky jsou náchylnější ke vzniku poruch než prvky pasivní. Např. čerpadlo které je trvale v činnosti je vystaveno podmínkám generujícím jeho poruchu častěji než čerpadlo záložní, činné jen příležitostně, na požádání (samozřejmě pokud je udržované a pravidelně kontrolované). Uvážíme-li toto pořadí závažnosti elementárních jevů můžeme podobně sestavit pořadí kritičnosti i pro MKR 2. řádu, tj. řezy tvořené současně dvěma elementárními jevy: 1) chyba lidského faktoru + chyba lidského faktoru; 2) chyba lidského faktoru + porucha aktivního prvku; 3) chyba lidského faktoru + porucha pasivního prvku; 4) porucha aktivního prvku + porucha aktivního prvku; 5) porucha aktivního prvku + porucha pasivního prvku; 6) porucha pasivního prvku + porucha pasivního prvku. Obdobně bychom mohli posoudit i závažnost minimálních kritických řezů vyšších řádů při znalosti charakteru elementárních jevů, které MKR tvoří.

146 Výše popsaná kritéria hodnocení závažnosti MKR mohou významně usnadnit celý proces kvalitativního hodnocení stromu poruch a následně i jeho hodnocení kvantitativní. Na základě těchto kritérií totiž můžeme kvalifikovaně rozhodnout o tom jak podrobně je třeba analýzu provést bez toho aby byla ohrožena věrohodnost výsledků. Například se doporučuje vyhledání souboru MKR jen do určitého zvoleného řádu, (obvykle do třetího, případně čtvrtého). MKR vyšších řádů totiž již svojí nízkou pravděpodobností vzniku nepřispívají ke zpřesnění výsledků analýzy a z řešení se proto vylučují. Těchto principů často využívají moderní softwarové produkty určené k řešení rozsáhlých stromů poruch s rozsahem tisíc a více prvků a logických hradel.

9.6

Kvantitativní analýza stromu poruchových stavů

Pokud jsou známy parametry spolehlivosti elementárních jevů (vstupní údaje do stromu) je možné provést kvantitativní analýzu stromu poruch. Cílem této analýzy může být určení celé řady ukazatelů charakterizujících vrcholovou událost. Dále je uveden přehled vybraných ukazatelů, které při kvalitativní analýze stromu poruch mohou být určovány: • pravděpodobnost že vrcholová událost nastane v zadaném intervalu provozu systému; • pravděpodobnost že vrcholová událost nenastane v zadaném intervalu provozu systému; • střední doba do prvního nastoupení vrcholové události; • střední počet nastoupení vrcholové události v zadaném intervalu provozu systému a pod. V dalším výkladu se zaměříme pouze na problematiku stanovení pravděpodobnosti vrcholové události. Určení dalších ukazatelů se realizuje analogickými postupy. Hned na úvod je třeba konstatovat, že metody výpočtů stromu poruch jsou většinou velice komplikované (v závislosti na složitosti stromu poruch) a jejich ruční provedení přichází do úvahy pouze ve velice jednoduchých případech. Metody výpočtů byly a stále jsou předmětem rozsáhlých výzkumných prací, které jsou dnes realizovány především u specializovaných softwarových firem, které se zabývají vývojem a produkcí programového vybavení v oblasti spolehlivosti. Nejčastěji jsou při výpočtech stromu poruch používány následující tři metody: • metoda přímého výpočtu; • metoda minimálních kritických řezů; • simulační metody (Monte Carlo). Simulační metody výpočtu jsou výhradně využívány při řešení stromů poruch na počítačích, kde je výpočet automatizován s využitím často velice komplikovaných algoritmů, jejichž popis přesahuje rámec těchto skript. Z těchto důvodu zde simulační metody nebudou dále popisovány.

147 9.6.1

Metoda přímého výpočtu

Hned na úvod je třeba zdůraznit, že tato metoda je použitelná pouze pro stromy poruch ve kterých se každý elementární jev objevuje pouze jednou. Toho lze dosáhnout převodem (úpravou) logického výrazu pro TOP jev na disjunktní formu. Vlastní postup je analogický jako výpočet blokového diagramu metodou dekompozice.

G

A2 .....

A1

G

Ai ........

As

Obr. 9.4 Logické hradlo OR

A1

A2 .....

Ai ........

As

Obr. 9.5 Logické hradlo AND

Při výpočtu postupujeme tak, že s využitím známých vtahů postupně určujeme pravděpodobnost jevů od nejnižší úrovně až po vrcholovou událost. Postupně zespodu (od listů) procházíme všechna logická hradla stromu poruch a podle jejich typu určujeme pravděpodobnost nastoupení jevů, které jsou těmito hradly logicky definovány. Například mějme jev G, složený s elementárních jevů Ai, které jsou jeho bezprostřední příčinou. V případě použití logického hradla typu OR (viz Obr. 9.4 ) se pravděpodobnost jevu G určí podle rovnice (9.1). V případě použití hradla AND (viz Obr. 9.5) se pravděpodobnost jevu G určí podle rovnice (9.2). i =s

P(G ) = 1 − ∏ [1 − P(A i )]

(9.1)

i =1

i =s

P (G ) = ∏ P ( A i )

(9.2)

i =1

Postupnou aplikací výpočtového vztahu (9.1) respektive (9.2) tak můžeme určit pravděpodobnost všech neelementárních jevů, které se ve stromu poruch objevují včetně pravděpodobnosti vrcholové události. Příklad výpočtu stromu poruchových stavů přímou metodou je naznačen na Obr. 9.6. 9.6.2

Metoda minimálních kritických řezů

Metoda je založena na předpokladu znalosti množiny všech minimálních kritických řezů stromu poruch. Jestliže je tato množina známa může být každý strom poruch transformován na sériově paralelní blokový diagram (viz kapitola 9.5.1), kde každá větev tohoto diagramu reprezentuje jeden minimální kritický jev. Takovýto blokový diagram potom můžeme snadno řešit metodami popsanými v kapitole 6. Tedy například s využitím pravdivostní tabulky nebo inspekční metodou. V případě, že se v blokovém diagramu každý elementární jev vyskytuje jen jednou, lze použít i metodu dekompozice (řešení je

148 potom v podstatě shodné s metodou přímého výpočtu stromu poruch, která byla popsána v předchozí kapitole). P(G 0 ) = P(A) ⋅ P(G1 ) ⋅ P(B)

G0

A

B P(G 1 ) = 1 − [1 − P(G 2 )]⋅ [1 − P(G 3 )]

G1

P ( G 2 ) = P ( G 4 ) ⋅ P ( C)

P(G 4 ) = 1 − [1 − P(D)]⋅ [1 − P(F)]

G2

G4

E

G3

C

F

P(G 3 ) = 1 − [1 − P (D)]⋅ [1 − P(G 5 )]

P (G 5 ) = P ( H ) ⋅ P ( I)

G5

D

H

I

Obr. 9.6 Příklad výpočtu stromu poruchových stavů přímou metodou Protože všechny zmiňované metody vypočtu blokových diagramů byly již podrobně popsány v kapitole 6, omezíme se zde pouze na ilustrativní příklad použití metody minimálních kritických řezů v kombinaci s inspekční metodou. Mějme strom poruchových stavů znázorněný na Obr. 9.7. Nejdříve vyšetříme minimální kritické řezy stromu. V prvním kroku si vyjádříme vrcholovou událost jako logickou kombinaci elementárních jevů: G 0 = G 1 + G 2 = G 3 ⋅ G 4 + A + G 5 = ( B + C) ⋅ D ⋅ E + A + B ⋅ D Dále tuto rovnici upravíme tak aby představovala prosté sjednocení průniků elementárních jevů: G0 = B ⋅ D ⋅ E + C ⋅ D ⋅ E + A + B ⋅ D Protože B ⋅ D ⋅ E + B ⋅ D = B ⋅ D můžeme rovnici dále upravit do konečného tvaru: G0 = A + B ⋅ D + C ⋅ D ⋅ E Řešený strom poruchových stavů tedy má tři minimální kritické řezy: ΣMKR = {A}, {B,D}, {C,D,E}

(9.3)

149 G0

G2

G1

G3

G4

D

C

B

G5

A

B

E

D

Obr. 9.7 Příklad stromu poruchových stavů Strom poruchových stavů znázorněný na obrázku Obr. 9.7 lze s využitím určených minimálních řezů nahradit sériově paralelním blokovým diagramem znázorněným na Obr. 9.8. Zde je třeba zdůraznit, že v tomto případě blokový digram nemodeluje bezporuchový stav systémů nýbrž jeho poruchu. V dalším kroku řešení provedeme vyšetření získaného blokového diagramu inspekční metodou. K tomu je třeba vyjádřit vrcholovou událost jako logickou kombinaci elementárních jevů. V našem případě k tomu není třeba zkoumat příslušný diagram, protože hledaný logický výraz již byl určen při vyšetřování minimálních kritických řezů v rovnici (9.3) Z uvedeného je zřejmé že při aplikaci prezentovaného postupu není nezbytně nutné vykreslovat příslušný blokový diagram, ale postačuje pouhá znalost všech minimálních kritických řezů. A

B

I

D

C

D

O

E

Obr. 9.8 Transformovaný strom poruch Další postup se tedy soustředí na určení pravděpodobnosti logického výrazu vyjádřeného rovnicí (9.3). To je možné provést mnoha způsoby (viz kapitola 6.2.3). Zde bude naznačen postup využívající převodu logického výrazu do disjunktního tvaru:

(

)

G0 = A + B ⋅ D + C ⋅ D ⋅ E = A + A ⋅ B ⋅ D + B ⋅ D ⋅ C ⋅ D ⋅ E =

[

]

= A + A ⋅ B ⋅ D + ( B + B ⋅ D) ⋅ C ⋅ D ⋅ E = A + A ⋅ B ⋅ D + A ⋅ B ⋅ C ⋅ D ⋅ E

150 Jakmile je výraz převeden do disjunktního tvaru můžeme snadno určit jeho pravděpodobnost: P(G 0 ) = P(A) + [1 − P(A)]⋅ P(B) ⋅ P(D) + [1 − P(A)]⋅ [1 − P(B)]⋅ P(C) ⋅ P(D) ⋅ P(E ) Závěrem je třeba k metodě minimálních kritických řezů poznamenat, že možnost jejího použití je bezprostředně závislá na možnosti vlastního určení minimálních kritických řezů. To může být při velkém počtu elementárních jevů značný problém. Proto se zde často využívají různá zjednodušení, například se analýza omezí jen na kritické řezy do určitého řádu apod. (viz kap 9.5.3). Ruční aplikace této metody je možná (a racionální) jen při nízkých počtech elementárních jevů ve stromu poruch. Naznačené principy metody však využívá řada softwarových produktů, které v kombinaci s výkonnou výpočetní technikou umožňují relativně rychlé řešení i poměrně rozsáhlých stromů poruchových stavů. 9.6.3

Vyhodnocení analýzy

Výsledky analýzy stromu poruchových stavů je vhodné shrnout do zprávy, která by měla zahrnovat alespoň: • cíl a předmět analýzy; • přehled použité technické dokumentace; • popis systému (konstrukční popis, popis funkcí, vymezení hranic systému); • uvažované provozní režimy a podmínky prostředí; • uvažované aspekty působení lidského činitele; • definici vrcholové události (událostí); • vytvořený strom (stromy) poruchových stavů; • výsledky kvalitativní analýzy (přehled uvažovaných kritických řezů a hodnocení jejich závažnosti, identifikace kritických prvků); • výsledky kvantitativní analýzy (číselné hodnoty požadovaných ukazatelů); • závěry analýzy (vyjádření zda systém splňuje stanovené požadavky, případně návrhy na změnu konstrukce systému, podmínek provozu či prostředí). Kontrolní otázky k 9. kapitole: 1. Objasněte charakter a cíle analýzy metodou stromu poruchových stavů. Uveďte hlavní kroky provádění analýzy. 2. Objasněte zásady tvorby stromu poruchových stavů. 3. Vysvětlete význam pojmů minimální kritický řez a minimální úspěšná cesta. Objasněte algoritmus určení množiny minimálních kritických řezů. 4. Vysvětlete obecné zásady hodnocení závažnosti minimálních kritických řezů. 5. Popište postup kvantitativní analýzy stromu poruchových stavů metodou přímého výpočtu. 6. Vysvětlete postup a zásady kvantitativní analýzy stromu poruchových stavů metodou minimálních kritických řezů.

151

10 INTERFERENČNÍ TEORIE 10.1 Úvod. Při analýze a výpočtech spolehlivosti se vychází z předpokladu, že k selhání funkce, tj. k úplné poruše (failure) nebo chybné funkci (fault) dochází v obecném slova smyslu tehdy, jestliže je překročena jistá mez odolnosti objektu, schopnosti odolávat působícímu namáhání. Tedy tehdy, jestliže namáhání - L (Load, stress) převýší hodnotu do prvku vložené (konstrukčním návrhem) odolnosti - S (Strength) proti tomuto namáhání. Pojmy “namáhání” a “odolnost” je nutné chápat v nejširším slova smyslu. Namáháním můžeme rozumět mechanické napětí, vnější nebo vnitřní síly, tlaky, elektrické napětí, proud, vnitřní pnutí v důsledku změny okolní teploty, fyzikální účinky vnějšího prostředí apod. Odolnost může představovat jakákoliv fyzikální veličina (vlastnost), vyjadřující vnitřní schopnost objektu odolávat působícímu namáhání, např. tvrdost, pevnost, tuhost, adheze, mez tavení, mez kluzu, mez stability apod. Jako příklady uveďme: • Porucha ložiska nastane tehdy, jestliže v průběhu provozu v něm vnitřně vyvolané namáhání (např. v důsledku drsnosti, ztráty mazání apod.) překročí lokální hodnotu odolnosti tomuto namáhání vzdorovat (odolávat), což ve svých důsledcích způsobí např. rozlomení klece, přehřátí, roztavení výstelky, nebo celkové zadření a následnou destrukci; • Tranzistor jako prvek integrovaného obvodu se poruší tehdy, když na něj přivedené elektrické napětí způsobí lokální proudový náraz a následné přehřátí, převyšující bod tavení pájeného spoje, jímž je vodič nebo polovodič připojen k obvodu; • Hydraulický rozvaděč, ventil apod. se poruší když se náhle (bez předchozího postupného prosakování) poškodí těsnění v důsledku překročení pracovního tlaku hydrauliky; • Hřídel se zlomí, ukroutí když dojde k překročení jeho pevnosti v důsledku překročení mezního kroutícího, ohybového momentu. Takže, jestliže navrhneme výrobek tak, že jeho odolnost převyšuje o jistou hodnotu namáhání, nenastanou poruchy. Násobek o který odolnost převýší namáhání se nazývá obvykle “součinitel bezpečnosti proti poruše”, nebo jinak, ale vždy má podobný význam. Toto je normální přístup k navrhování namáhaných prvků, při kterém konstruktér obvykle uvažuje extrémní případy namáhání a na ně navrhuje úroveň odolnosti prvku proti poruše a tím zajišťuje, že požadované úrovně součinitele bezpečnosti bylo dosaženo. Uvedený postup návrhu je obvyklý a účinný. Většina mechanizmů vzniku poruch může být tímto modelem demonstrována a vysvětlena. Přitom na vzniku poruch se v konkrétních případech může podílet buď vysoká úroveň namáhání prvku nebo jeho nízká, konstruktérem “vložená” odolnost proti poruše. Jelikož jak namáhání, tak i odolnost byly při návrhu konstruktérem od počátku uvažovány a přesto poruchy mohou vzniknout, vzniká otázka kde a v čem jsou tedy jejich příčiny? Formálně popsaný princip konstrukce součinitele bezpečnosti proti vzniku poruchy neuvažoval stochastické vlastnosti namáhání a odolnosti, což je v praxi obvyklý případ. Vycházel pouze z deterministického pojetí těchto veličin a bezpečnosti proti poruše.

152 10.2 Stochastické vlastnosti namáhání a odolnosti 10.2.1 Obecná formulace problému bezpečnosti. Existuje řada možných koncepcí, resp. metodologických přístupů k formulaci cílů v oblasti spolehlivosti a k bezpečnosti výrobků, například: • Přístup, založený na koncepci předepsaných a požadovaných hodnot "součinitelů bezpečnosti" nebo "zásoby (rezervy) bezpečnosti" proti poruše. Tomuto přístupu se někdy říká koncepce "bezpečného života" (safe-life); • Přístup, založený na koncepci "stochastického pojetí" spolehlivosti a bezpečnosti; • Přístup, založený na koncepci akceptovatelné individuální a kolektivní "velikosti rizika", plynoucího z důsledků případného selhání funkce (poruchy). Tomuto přístupu se někdy říká koncepce "bezpečný při poruše" (fail-safe); • Přístup, založený na koncepci ekonomických důsledků selhání funkce (poruchy). Vede na ekonomickou optimalizaci ztrát z nespolehlivosti výrobků; V dalším budou komentovány pouze první dva přístupy, protože zbývající přístupy i některé další, které ve výčtu nebyly uvedeny již byly diskutovány v předchozích kapitolách.

Obr. 10.1. Pojetí součinitele bezpečnosti proti poruše, deterministický model.

153 10.2.2 Koncepce bezpečného života Jde o koncepci deterministickou. Se vstupními veličinami (parametry namáhání a odolnosti) se zachází jako s veličinami známými, bez uvážení jejich stochastické povahy. Průkaz vyhovění požadavkům je veden cestou splnění a ověření požadovaných hodnot “součinitelů bezpečnosti” proti poruše (SF - safety factor), nebo “zásoby bezpečnosti” (SM - safety margin). Tato koncepce je patrně jedním z nejstarších způsobů minimalizace možnosti vzniku poruch. Je založena na principu záměrného "předimenzování" konstrukce výrobku. Mírou předimenzování je tzv. "součinitel bezpečnosti proti vzniku poruchy", který zohledňuje (avšak deterministickým způsobem) objektivně existující nejistoty ve vlastnostech materiálů a konstrukce, ve stanoveném výpočtovém namáhání, ve výpočtových metodách, v odchylkách konstrukce technologické povahy, v provozních podmínkách a pod. Samotný SF nebo SM může být zkonstruován různým způsobem, nejčastěji je to poměr mezi vhodně vybranou pevně dopředu stanovenou veličinou, charakterizující "odolnost konstrukce proti poruše - S" (např. mez pevnosti, mez kluzu, mez únavy, minimální pevnost,..) a veličinou, charakterizující "namáhání konstrukce - L" (maximální, početní, provozní namáhání,..). Situaci demonstruje Obr. 10.1. Podle něj např. pro SF platí: S L

(10.1)

S min L max

(10.2)

SF = nebo SF = a pro SM: SM =

S min − L max S min

(10.3)

Číselné hodnoty požadovaných a přijatelných SF nebo SM jsou závislé na typu výrobku, technickém oboru, důsledku poruchy a pod a jsou stanoveny v konkrétních specifikacích pro návrh a výpočet. 10.2.3 Koncepce stochastického pojetí bezpečnosti. Pro většinu výrobků jsou buď namáhání nebo odolnost proti poruše (většinou obě) veličiny známé a pevně dané, ale nejsou deterministické povahy ale stochastické povahy s jistým zákonem rozdělení pravděpodobnosti vzniku. Každé rozdělení těchto veličin má střední hodnotu, označme ji L , resp. S a směrodatnou odchylku σL nebo σS . Průkaz vyhovění požadavkům je potom veden cestou splnění a ověření požadovaných hodnot nejvýše přípustné pravděpodobnosti vzniku poruchy, nebo hodnoty pravděpodobnosti bezporuchového provozu (minimální pravděpodobnosti, že porucha za daných podmínek nenastane) za definovaných podmínek namáhání. V praxi se totiž idea deterministických součinitelů bezpečnosti ukázala jako ne zcela vyhovující v důsledku stochastických vlastností veličin, vstupujících do výpočtů. Přesnější je předpokládat, že jak namáhání L, tak odolnost proti poruše S jsou z objektivních důvodů veličiny s výrazně stochastickým

154 charakterem a náhodně se mohou vyskytovat v poměrně širokém rozpětí hodnot. Symbolické relace mezi veličinami S a L ukazují Obr. 10.2.

Obr. 10.2 Symbolické znázornění vztahu "namáhání" L a "odolnosti" S ve stochastickém pojetí těchto vlastností. Jestliže nastane situace kdy se za jistých okolností obě rozdělení překrývají, může docházet ke vzájemné "interferenci" mezi veličinami (šrafovaná část) a dojde ke vzájemné záměně veličin S a L a tím k možnosti vzniku poruchy. Takovou situaci ukazuje Obr. 2 a). Pro stochasticky rozdělené L a S potom můžeme definovat dva faktory, charakterizující bezpečnost proti poruše - zásobu bezpečnosti SM (Safety margin): SM =

(σ

S−L 2 S

+σ

)

(10.4)

2 1/ 2 L

a nerovnoměrnost namáhání LR (Loading roughness): LR =

σL (σ + σ 2L )1 / 2

(10.5)

2 S

Hodnota faktoru SM charakterizuje relativní “odstup” (vzdálenost) středních hodnot namáhání a odolnosti a faktor LR charakterizuje vliv směrodatné odchylky namáhání na bezpečnost. Oba faktory jsou relativní a vztaženy jsou na výslednou (kombinovanou) směrodatnou odchylku obou veličin, tedy namáhání a odolnosti. faktory SM a LR nám dovolují teoreticky analyzovat způsoby, kterými namáhání a odolnost vzájemně interferují a tak vytváří (generují) pravděpodobnost vzniku poruchy. Z předchozího je zřejmé, že tradiční deterministické pojetí součinitele bezpečnosti, založené na středních nebo minimálních / maximálních hodnotách S a L neumožňuje odhad pravděpodobnosti vzniku poruchy za daných podmínek. Na druhé straně nevyžaduje tento přístup k výpočtům tak podrobné informace o vlastnostech namáhání a odolnosti jako přístup stochastický.

155 Stochastický přístup vyvolává další praktické těžkosti při aplikaci. Při použití této teorie a techniky musíme být velmi ostražití a respektovat fakt, že chování lidí (lidský faktor), vlastnosti materiálů a okolního prostředí nelze vždy vtěsnat do (vázat na) použitých statistických modelů. V dalším textu budou popsány teoretické modely vzájemné interference namáhání a odolnosti. při jejich aplikaci musíme vždy dbát na konkrétní podmínky a praktická omezení jejich použití. 10.2.4 Typické situace při interferenci odolnosti a namáhání Některé příklady situací, které mohou nastat při interferenci namáhání a odolnosti jsou znázorněny na Obr. 10.3.

Obr. 10.3 Důsledky rozdílných SM a LR na velikost vzájemné interference veličin. Obr. 10.3 a) ukazuje situaci, která je velmi častá (pravděpodobná) a nastává při aplikaci vysokých součinitelů bezpečnosti s malými rozptyly veličin S a L. Obě veličiny, namáhání i odolnost jsou od sebe velmi vzdálené středními hodnotami, mají malý rozptyl (malou směrodatnou odchylku výskytu svých hodnot), nízkou hodnotu LR a vysokou hodnotu SM. Jestliže máme možnost ovlivňovat (zmenšovat) rozptyly a směrodatné odchylky veličin namáhání a odolnost a střední hodnoty obou veličin od sebe co nejvíce vzdálit, nemohou tyto veličiny vzájemně prakticky interferovat a potom je i vysoká pravděpodobnost toho, že během celého života objektu nedojde k jeho poruše. Přitom samozřejmě předpokládáme, že střední hodnoty zůstávají stále konstantní, to znamená že odolnost proti poruše v průběhu provozu nedegraduje (nezmenšuje se). Toto je koncepce, použitelná u většiny konstrukcí, nepodléhajících procesům únavy materiálu. Zkušenosti ukazují, že tento model je adekvátní situaci, kdy dokážeme “kontrolovat” kvalitu výroby, dimenze, vlastnosti materiálů, umíme odhadnout nepřesnosti výpočtových metod apod.; dokážeme odhadnout rozptyly provozního namáhání, pevností materiálů apod. a kdy omezení jejich rozptylů je přirozené nebo umělé povahy. Obr. 10.3 b) ukazuje situaci, kdy rozsah namáhání LR je nízký, nezasahuje příliš velkou část odolnosti avšak v důsledku velké směrodatné odchylky odolnosti S je zásoba bezpečnosti SM nízká. Případy extrémních hodnot namáhání ( Lextr.) způsobí poruchy u relativně malého počtu “slabých”prvků, takže jen malá část prvků se poruší při aplikaci (výskytu) extrémních hodnot namáhání. To je typický případ pro situace, kdy metody

156 kontroly kvality obyčejně nedokáží snížit směrodatnou odchylku rozdělení odolnosti S (např. ve výrobě elektronických prvků, kdy 100%-ní kontrola jakosti všech výrobků není obvykle proveditelná). V takovém případě je možné pro odhalení slabých prvků použít způsob, kdy ve zkoušce prvků aplikujeme záměrně zvýšené namáhání (přetížení) a tím u slabých prvků vyvoláme záměrně poruchu. Způsob takového zkoušení s důsledky umělého odstranění interferenční oblasti demonstruje právě Obr.3b. Výsledným efektem je vyřazení z populace těch prvků, které mají nízkou úroveň spolehlivosti s výsledným efektem zvýšení úrovně spolehlivosti těch prvků, které “obstojí” ve zkoušce se zvýšeným namáháním. Je třeba poznamenat, že aplikace zvýšeného namáhání k odhalení a eliminaci slabých prvků a tím “časných poruch” by mělo odhalit právě jen tyto prvky a nikoliv “oslabit” (snížit bezpečnost) zbylé prvky, které projdou úspěšně testem. Obr. 10.3 c) ukazuje situaci, kdy SM je nízká, rozsah namáhání LR je vysoký v důsledku velkého rozptylu (a směrodatné odchylky) namáhání L a kdy rozptyl odolnosti je malý. To je z hlediska dopadů na spolehlivost obtížná situace, protože extrémní hodnoty namáhání (Lextr. ) překrývají značnou část odolnosti, čímž mohou mít za následek u značné části populace výrobků vznik poruch. Proto není příliš ekonomické zvyšovat úroveň spolehlivosti výrobků tím, že “vytřídíme” ze souboru ty výrobky, které by se náhodně při tomto namáhání ve zkoušce porušily. Zbývají dvě možnosti řešení: buď zvýšit SM zvýšením střední hodnoty odolnosti S , což může být ovšem nákladné, nebo nalézt způsob, jak omezit (snížit, odříznout) rozdělení namáhání. V praxi to má podobu např. omezení napětí, el. proudu pojistkami, tlaků v hydraulickém okruhu pojistnými ventily, omezovačů krouticích momentů v točivých systémech, omezovači tlaků v pneumatických systémech, u tlakových nádob apod.

10.3 Statický model interference namáhání a odolnosti Obecný statický model pro výpočet pravděpodobnosti, že nevznikne porucha je možné vybudovat na základě následující úvahy a matematických nástrojů: Nechť značí fL(L) hustotu pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu namáhání L a fS(S) hustotu pravděpodobnosti pro náhodnou veličinu odolnost S proti poruše. Dále nechť značí FL(L) distribuční funkci pro náhodnou veličinu namáhání L a FS(S) distribuční funkci pro náhodnou veličinu odolnost S proti poruše. 10.3.1 Pravděpodobnost bezporuchového stavu Pravděpodobnost toho, že u prvku nevznikne porucha od náhodně vzniklého zatížení lze vyjádřit následující rovnicí: R = P(S > L) = P[(S – L) > 0]

(10.6)

R = P(L < S) = P[(L - S) < 0]

(10.7)

nebo:

Jak již bylo uvedeno a zdůvodněno veličiny L a S jsou náhodné veličiny, a předpokládejme, že mají svůj konkrétní zákon rozdělení pravděpodobnosti (spojitý nebo diskrétní). Jak již bylo uvedeno v předchozí kapitole, nebo jak ukazuje Obr. 10.4, mohou se obě tyto veličiny vzájemně ovlivňovat (spolu interferovat).

157

Obr. 10.4 Model interference veličin. Vyšrafovaná plocha v Obr. 10.4 vymezuje oblast vzájemného ovlivňování obou veličin. Je úměrná pravděpodobnosti vzniku poruchy a vyjadřuje fakt, že v důsledku náhodných vlastností veličin (především jejich rozptylu) existuje jistá míra (pravděpodobnost) možnosti toho, že nastane stav, kdy namáhání bude v daném případě větší než odolnost proti poruše a v důsledku toho vznikne porucha. Podrobnější analýzou vyšrafované části, s využitím vlastností náhodných veličin a dále s použitím Obr. 10.5 zřejmě platí: P[L0 < L ≤ (L0 + dL)] = fL(L)dL

(10.8)

a také ∞

P[S〉 L] = ∫ f S (S)dS = 1 − FS (S)

(10.9)

L0

Při výpočtu pravděpodobnosti R toho, že nenastane porucha můžeme, za předpokladu, že náhodné veličiny S a L jsou na sobě nezávislé postupovat dvojím způsobem: a) Podle rovnice (10.6) můžeme pravděpodobnost toho, že padne-li namáhání L náhodně do libovolného malého intervalu dL, v místě L0, bude současně odolnost proti poruše S vždy větší než L0 vyjádřit výrazem: ∞  f L ( L0 )dL. ∫ f S (S)dS  L0 

(10.10)

b) Alternativně podle rovnice (10.7) můžeme pravděpodobnost toho, že padne-li odolnost S náhodně do libovolného malého intervalu dS, v místě S0, bude současně namáhání prvku vždy menší než S0 vyjádřit výrazem: S0  f S (S0 )dS. ∫ f L ( L)dL  0 

(10.11)

158

Obr. 10.5 Interferenční oblast. Výrazy (10.10) a (10.11) vychází ze známé skutečnosti, že pravděpodobnost současného nastoupení dvou nezávislých jevů je rovna součinu jejich pravděpodobností. Zcela obecně podle rovnic (10.6) a (10.7) a v souladu se zavedeným označení pro hustoty pravděpodobnosti veličin L a S bude pro R platit: ∞ ∞ ∞  R = ∫ f L ( L) ∫ f S (S)dSdL = ∫ f L ( L).[1 − FS ( L)]⋅ dL 0 0 L 

(10.12)

∞ ∞ S  R = ∫ f S (S) ∫ f L ( L)dLdS = ∫ f S (S).FL (S) ⋅ dS 0 0 0 

(10.13)

nebo

Pro různé zákony rozdělení L a S je potom možné z těchto rovnic odvodit praktické vztahy pro výpočet R. 10.3.2 Pravděpodobnost poruchy Pro pravděpodobnost vzniku poruchy F = 1 – R lze analogickým postupem odvodit vztahy: ∞

F = ∫ f L ( L).FS ( L)dL

(10.14)

0

nebo ∞

F = ∫ f S (S).[1 − FL (S)dS] 0

(10.15)

159 10.3.3 Příklady praktického použití Ukázka praktického použití výpočtových vztahů budou dále provedena pro některé vybrané typy rozdělení L a S. Normální rozdělení obou veličin S a L: Budeme-li uvažovat normální rozdělení pro S a L, takže jejich distribuční funkce mají tvar ( když Φ je normální standardní normované rozdělení): L−L  a FL (L) = Φ   σL 

S−S  FS (S) = Φ   σS 

Pro potřeby dalšího řešení bude zavedena funkce y = S – L, která je z povahy problému náhodnou proměnou takovou, že pro ni platí: (10.16)

R = P(y > 0) S využitím této funkce potom platí y = S − L

 y R = P( y > 0) = Φ  σy 

   

a σ y = (σ S2 + σ 2L )1 / 2 a pro R můžeme psát: (10.17)

Takže pravděpodobnost R může být určena z tabulek normálního rozdělení nalezením hodnoty Φ(SM), tedy:  S−L  R = Φ 2 2 1/ 2   (σ S + σ L ) 

(10.18)

Příklad: Mějme prvek s těmito vlastnostmi: S = 5000 N a σ S = 400 N ; L = 3500 N a σ L = 400 N . Jaká je pravděpodobnost, že nedojde za daných podmínek k poruše prvku? SM =

5000 − 3500 = 2,65 (400 2 + 400 2 )1 / 2

Ze statistických tabulek normálního normovaného rozdělení nalezneme hodnotu Φ(SM): Φ(2,65) = 0,996

160 Exponenciální rozdělení obou veličin L a S: V tomto případě uvažujme modely pro hustotu pravděpodobností ve tvaru: pro odolnost S: f L ( L) = λ L exp[− λL .L ],

kde

λL =

1 L

kde

λS =

1 S

a pro namáhání L: f S ( S ) = λS exp[− λS .S ],

Potom např. s využitím rovnice (10.12) (uvážíme-li dále, že pro integraci jsou proměnné S = L) můžeme dospět k následujícímu vztahu: ∞ ∞  R = ∫ f S (S). ∫ f L (S)dLdS = ∫ λ S exp[− λ SS][ . exp( −λ LS)]dS 0 0 S  ∞

∞

= ∫ λ S exp[− (λ S + λ L )S]dS 0

po vynásobení výrazem:

1=

λS + λ L λS + λ L

a po vhodné úpravě obdržíme: R=

λS ∞ (λ S + λ L ). exp[− (λ S + λ L )S]dS λ S + λ L ∫0

Snadno lze dokázat, že hodnota integrálu v tomto vztahu je rovna jedné. Potom platí:

R=

λS L = λS + λ L L + S

(10.19)

Z uvedeného je patrné, že se jedná o extrémně jednoduchý výsledek, snadno použitelný ve výpočtech, který říká, že v případech exponenciálního zákona rozdělení pravděpodobností obou veličin závisí pravděpodobnost toho, že porucha nevznikne jenom na vzájemné poloze středních hodnot těchto veličin a je nezávislá na rozptýlení hodnot kolem středních hodnot.

161 Weibullovo dvou parametrické rozdělení obou veličin L a S: Předpokládejme, že hustota pravděpodobnosti namáhání a odolnosti je v tomto případě vyjádřena následujícími rovnicemi: a) pro namáhání:   L βL  β L β L −1   ⋅ L ⋅ exp  −  f L ( L) = αL   α L  

(10.20)

b) pro odolnost:   S  βS  β L βS −1 f S (S) = ⋅ S ⋅ exp −    αL   αS  

(10.21)

kde symboly αL; αS; β L; β S; označují parametry Weibullova rozdělení.a pro všechny platí že jsou větší jak nula.

S využitím takto definovaných hustot pravděpodobnosti a s využitím rovnice (10.12) potom lze pravděpodobnost R vyjádřit vztahem: ∞

R = ∫ f L ( L) ⋅ [1 − FS ( L)]⋅ dL = 0

  L βS     L β L    β L βL −1   ⋅ 1 − 1 − exp  −     ⋅ dL = =∫ ⋅ L ⋅ exp  −  αL   αS      α L     0 ∞

(10.22)

∞   L βx  L βS   βL β L −1  +     ⋅ dL = L ⋅ exp −  α L ∫0  αS      α L 

Podobně je možné odvodit také vztah pro pravděpodobnost vzniku poruchy F. 10.3.4 Grafický přístup řešení interference namáhání a odolnosti Jestliže není nic známo o tom, jakým zákonem rozdělení pravděpodobnosti se řídí odolnost a namáhání, nemůžeme předchozí postupy použít k řešení interference (k výpočtu R). V případech, kdy ale máme k dispozici soubor experimentálně naměřených údajů o namáhání a odolnosti, můžeme zvolit k řešení úlohy postup grafického odhadu pravděpodobnosti bezporuchové funkce, tj. k výpočtu R. V této kapitole uvedeme stručný postup grafického přístupu k řešení. Mějme následující funkce: a) pro doménu namáhání: ∞

G = ∫ f L ( L)dL = 1 − FL (S)

(10.23)

S

c) pro doménu odolnosti: S

H = ∫ f S ( u )du = FS (S) 0

(10.24)

162

Obr. 10.6 Znázornění funkcí G a H. Rozsah hodnot obou funkcí G i H je od 0 do 1 (jde o pravděpodobnosti). Jestliže nyní zavedeme substituci dH = fS(S)dS a dosadíme do rovnice (10.12) obdržíme: 1

R = ∫ GdH

(10.25)

0

G

1-R R H

Obr. 10.7 Graf závislosti veličin G versus H.

Rovnice (10.25) ukazuje, že plocha pod čarou v diagramu G versus H , znázorněná na Obr. 10.7 reprezentuje pravděpodobnost vzniku poruchy u prvku. Máme-li soubor experimentálních údajů o namáhání a odolnosti prvku můžeme snadno určit pro různé hodnoty S hodnoty FL(S) a FS(S) a tomu odpovídající hodnoty G a H. Vynesením těchto hodnot do grafu G versus H a změřením plochy pod čarou v grafu získáme odhad R.

163 10.4 Dynamický model interference namáhání a odolnosti Předchozí model je statický. Předpokládá sice stochastické vlastnosti veličin avšak neuvažuje vliv doby a četnosti expozice namáhání L na změnu odolnosti S proti poruše. Je možné pomocí něho stanovit pravděpodobnost vzniku poruchy, avšak při jediné uvažované realizaci vnějšího namáhání L, které padne náhodně do libovolného bodu ze všech možných náhodných realizací tohoto namáhání. Odolnost konstrukce S se přitom považuje za neměnnou a inherentně danou vlastnost objektu. Model tedy neuvažuje možnou změnu odolnosti objektu vlivem opakované realizace vnějšího namáhání. Z praxe jsou ovšem známé případy, kdy k takové změně odolnosti dochází a to v případech, kdy provozní namáhání náhodně překročí jistou mez „odolnosti objektu proti jeho poškození“ (např. mez únavy materiálu, mez odolnosti,…). Takové namáhání nezpůsobí poruchu ihned, po jediné realizaci tohoto namáhání, ale způsobí pouze „odčerpání jisté části odolnosti“ objektu proti poruše, tj. „sníží“ úroveň odolnosti tím, že změní „parametry“ její stochastické vlastností. To ve svých důsledcích znamená, že dojde i ke změně vzájemné polohy obou stochastických veličin (k jejich vzájemnému přiblížení), tím ke zvětšení interferenční oblasti a ke zvýšení rizika (pravděpodobnosti) vzniku poruchy. Tuto skutečnost je třeba při odhadu rizika vzniku poruchy vzít v úvahu a lépe ji proto vystihuje dynamický model interference.

Obr. 10.8 Dynamický model interference mezi namáháním a odolností

164 10.4.1 Popis modelu. Model vychází z těchto předpokladů: 1. Namáhání L je stochastickou veličinou s vlastnostmi jako v předchozím případě. Má svoje rozdělení pravděpodobnosti výskytu na jednotlivých hladinách, které s časem (dobou provozu) nemění svůj charakter (typ a parametry rozdělení); 2. Odolnost konstrukce proti poruše S s časem nemění svůj typ (zákon) rozdělení, ale mění svoji polohu vůči počátku souřadnic. Ke změně polohy dojde v tom případě, když namáhání opakovaně překročí jistou prahovou mez Sc citlivosti (odolnosti) konstrukce (mez únavy, mez trvanlivosti a pod.). V takovém případě dochází k postupnému "odčerpávání" odolnosti při každém jednotlivém překročení Sc, k jejímu snižování a v důsledku toho k "přibližování" veličiny S k veličině L . Tuto skutečnost symbolicky zobrazuje Obr. 10.8. 3. Aplikace dynamického modelu vyžaduje objasnění některých důležitých pojmů a vlastností náhodných veličin, s nimiž se v modelu pracuje. Především objasnění stochastické povahy veličin S a L, především jejich případné změny s dobou expozice namáhání a dále pojmu “kumulace poškození”. Základním problémem je odhad změny parametrů odolnosti S s dobou provozu. K odhadu je možné využít některou hypotézu o kumulaci poškození a aplikovat ji pro odhad změny polohy S . Ostatní veličiny a parametry považujme za neměnné.

Obr. 10.9 Model změny polohy S vlivem doby provozu.

165 Pro praktickou práci s modelem je nutné blíže vysvětlit význam některých veličin a pojmů: •

Je nutné popsat a vysvětlit vlastnosti a účinek stochastické povahy veličin S a L;

•

Vysvětlit pojmy - spektrum namáhání, ekvivalentní namáhání a ekvivalentní život;

•

Princip (hypotézu) kumulace poškození konstrukce vlivem opakujícího se namáhání;

•

Pojem změna odolnosti konstrukce proti vzniku poruchy v důsledku opakujícího se namáhání L , většího než jistá mez odolnosti .

10.4.2 Stochastické rozdělení odolnosti Dynamický model se uplatní především u takových procesů, kdy s dobou provozu (časem) dochází ke změně odolnosti S proti poruše vlivem opakované expozice namáhání L různé (náhodně proměnné) úrovně. To jsou např. typické případy poškození prvků vlivem jevů, spojených s únavou materiálu, překročení stanovených mezí parametrů apod. Potřebné informace o odolnosti mají podobu úplného S – N diagramu, tj. včetně úplného zákona rozdělení. Získat takové informace lze jen z rozsáhlých zkoušek životnosti prvků na rozdílných hladinách namáhání, z nichž je možné sestrojit S – N diagram. Protože získat takové věrohodné informace takového rozsahu je v normálních podmínkách prakticky nemožné, volí se pro její získání alternativní postupy řešení, např. cestou zrychlených nebo zkrácených zkoušek (popsaných v části o zkouškách spolehlivosti). Cílem je vždy získat informace typu, jak ukazuje Obr. 10.9.

Obr. 10.10 Typická rodina S - N křivek ve stochastické interpretaci. Obr. 10.10 a Obr. 10.11 ukazují rodinu S – N křivek, každé z nich odpovídá daná pravděpodobnost. Jestliže požadujeme rozdělení pravděpodobnosti, odpovídající určité době provozu N = N1, zakreslíme do Obr. 10.11 svislou čáru na N = N1 a průsečíky se soustavou rovnoběžek S1, S2, atd. tvoří vzorek z rozdělení pravděpodobnosti a tedy hledané rozdělení pravděpodobnosti odolnosti S pro daný okamžik doby provozu N1. Tato data jsou potom vynesena do Weibullova log-papíru jako kumulativní distribuční funkce a známým způsobem lze určit parametry jejího rozdělení α, β (případně i c).

166

Obr. 10.11 Vzájemná Transformace S – N .

10.4.3 Stochastické rozdělení namáhání Problém namáhání prvku L a jeho stochastická povaha (zákon rozdělení jeho pravděpodobnosti) je mnohem častější a významnější (a též přirozenější) než je tomu u odolnosti S.

Obr. 10.12 Skutečné provozní spektrum namáhání.

167

Obr. 10.13 Převod provozního spektra namáhání na ekvivalentní.

Obr. 10.12 a Obr. 10.13 ukazují běžné příklady časového průběhu provozního namáhání prvků. Toto namáhání má stochastickou povahu, má svoje konkrétní rozdělení pravděpodobnosti výskytu namáhání dané úrovně (na dané hladině). Výsledná křivka, hustota pravděpodobnosti namáhání, jak ji ukazuje např. Obr. 10.11 vyjadřuje pravděpodobnost s jakou se namáhání dané úrovně nachází na dané úrovni Li.

Obr. 10.14 Rozdělení pravděpodobnosti f(L) pro interferenční teorii Obr. 10.10 a Obr. 10.11 ovšem neobsahují ještě tu vstupní informaci, kterou potřebujeme do teorie interference protože takto určené (získané) rozdělení namáhání nemůže ještě být spojeno (dáno dohromady) s rozdělením odolnosti. V rozdělení odolnosti S pořadnice udává počet prvků, majících danou úroveň odolnosti. Proto v rozdělení namáhání L pořadnice musí také obsahovat počet prvků, majících danou hladinu namáhání (nikoliv četnost výskytu namáhání dané úrovně, což vyjadřuje první graf v Obr. 10.14). Je nutné proto zkonstruovat graf, který již potřebnou informaci obsahuje (viz druhý graf v Obr. 10.14). To lze získat na základě poznatku, že některé ze stejných prvků budou vystaveny v reálném provozu různým provozním podmínkám a tedy i různým hladinám namáhání a že rozdělení namáhání se bude měnit prvek od prvku. proto spektrum namáhání musí být převedeno na ekvivalentní spektrum namáhání, odpovídající potřebě interferenční teorie. Proto, jestliže spektrum zatěžování prvku v důsledku rozdílných podmínek provozu se mění v celé populaci provozovaných prvků, případ od případu jednotlivých prvků, potom se mění prvek od prvku i tzv. ekvivalentní namáhání. Takže

168 musí být získáno rozdělení pravděpodobnosti namáhání, potřebné pro použití v interferenční teorii. V tomto rozdělení bude ekvivalentní namáhání Lekv vyneseno jako souřadnice a počet prvků, (jako frekvence namáhání) vystavených tomuto namáhání bude vynesen jako pořadnice. Teprve toto rozdělení pravděpodobnosti namáhání L bude (může) interferovat s rozdělením pravděpodobnosti odolnosti S.

10.4.4 Minerovo pravidlo kumulace poškození: Pojem „kumulace poškození“ je všeobecně známý jev, používaný při výpočtech odolnosti proti únavě materiálu. Existuje celá řada modelů kumulace poškození, jedním z nejjednodušších je Minerovo pravidlo. To předpokládá, že celkový život prvku může být jednoduše odhadnut sečtením dílčích životů, spotřebovaných (vyčerpaných) každým jednotlivě působícím cyklem namáhání („přetížení“), jehož hladina překročí jistou limitní (prahovou) hodnotu. Přetížení může být tedy definováno jako taková úroveň (hladina) namáhání, která je vyšší než úroveň namáhání, odpovídající hladině trvanlivosti materiálu, tj hladina, která je-li aplikována na součást způsobí jeho částečné poškození. Toto pravidlo je možné formálně vyjádřit vztahem: n1 n n n + 2 + 3 + .... + k = 1 N1 N 2 N 3 Nk

(10.26)

nebo i=k

ni

i =1

i

∑N

=1

(10.27)

kde n1, n2, n3, …..nk jsou počty cyklů na daných hladinách namáhání (přetížení) s1, s2, s3,…sk, a N1, N2, N3, ….Nk jsou počty cyklů na dané hladině namáhání, které by byly samy o sobě nutné k vyčerpání života na dané hladině a které je možné zjistit z daného S – N diagramu (viz Obr. 10.15).

Obr. 10.15 Demonstrace výpočtu ekvivalentního namáhání a života podle Minerovy teorie.

169 Jednotlivé dílčí části rovnice (10.26) představují ve skutečnosti pravděpodobnost s jakou známý počet cyklů namáhání ni působící na příslušné hladině namáhání vyčerpá celkový života výrobku. 10.4.5 Ekvivalentní namáhání a ekvivalentní život: Definice: a) Ekvivalentní život Nekv: je takový život objektu, při kterém dojde účinkem jedné ekvivalentní hladiny namáhání Lekv ke stejnému kumulativnímu poškození objektu jako účinkem celého provozního spektra namáhání za danou dobu jeho exploatace (života). b) Ekvivalentní namáhání Lekv: je taková úroveň namáhání, která za podmínky, že platí nekv = Σni (ekvivalentní počet cyklů je stejný, jako součet cyklů namáhání na všech působících hladinách namáhání), způsobí za ekvivalentní dobu provozu (život) Nekv stejné únavové poškození jaké by způsobilo celé provozní spektrum namáhání za celou dobu provozu (život). Pojem ekvivalentního namáhání má pro teorii interference význam v tom, že umožňuje převod obecného spektra namáhání, většinou vícehladinového, Obr. 10.15 na jendohladinové spektrum namáhání, se stejným účinkem pro čerpání života (kumulativním účinkem poškození).

Obr. 10.16 Modifikovaný Goodmanův diagram Takže shrnuto: ekvivalentní namáhání je takové namáhání, které má jednu konstantní úroveň (hladinu, amplitudu ), která, je-li aplikována na součást s četností Nekv způsobí poruchu po stejné době života součásti, jako by způsobilo kompletní spektrum namáhání působícího v provozu na všech hladinách. Takže poškození po určité době provozu (života), způsobené tímto ekvivalentním namáháním je stejné, jako poškození, způsobené za stejnou dobu provozu kompletním spektrem provozního namáhání. Můžeme tedy předpokládat, že každé libovolné provozní spektrum namáhání lze „převést“ na jednohladinové ekvivalentní spektrum popsaných vlastností.

170 Postup při převodu provozního spektra na ekvivalentní spektrum namáhání: První krok spočívá v převodu skutečného provozního spektra namáhání součásti na jednoduché ekvivalentní spektrum namáhání Lekv. To je možné provést postupně pomocí tzv. Goodmanova diagramu (GD), zobrazeného na Obr. 10.16. Spektrum provozního namáhání převedeme na ekvivalentní spektrum takto: a) každý cyklus (soubor cyklů) namáhání, jak je naznačeno na Obr. 10.16, má svoji maximální, minimální a střední hodnotu; b) pomocí GD můžeme tento cyklus převést na ekvivalentní cyklus s nulovou střední hodnotou a max / min hodnotami amplitudy. Postup je patrný z obrázku: na vodorovnou osu GD vyneseme střední hodnotu cyklu, na svislici vymezíme body AB, spojením s bodem D vymezíme body XY, což jsou hledané body, charakterizující vlastnosti ekvivalentního cyklu s nulovou střední hodnotou namáhání a amplitudou XY. Popsaným postupem lze z celého provozního spektra namáhání získat kumulativní ekvivalentní spektrum namáhání, jak ukazuje Obr. 10.17. Jen část tohoto spektra způsobuje poškození prvku, znamenající „odčerpávání života“ (kumulaci poškození).

Obr. 10.17 Kumulativní ekvivalentní spektrum namáhání.

Převod ekvivalentního spektra na jednohladinové ekvivalentní spektrum: Druhý krok vychází z rovnice (10.27) a umožňuje zformulovat pro „ekvivalentní život“ Nekv a „ekvivalentní úroveň namáhání“ Lekv. Odpovídající vztahy pro Nekv dostaneme po následující úvaze: Pro ekvivalentní účinek skutečného provozního a náhradního „ekvivalentního zatížení musí platit: i=k

ni

i =1

i

∑N

=

n ekv N ekv

(10.28)

Rovnice (10.28) umožňuje najít takové Nekv, (a tomu odpovídající Lekv), pro které platí podmínka „stejného kumulativního poškození“ od účinku stejného (kumulativního) počtu aplikovaných cyklů: nekv = Σni.

171 Z této podmínky odvodíme rovnici pro ekvivalentní život ve tvaru: i=k

N ekv =

∑n

i

i =1 i=k

ni ∑ i =1 N i

(10.29)

Postup při použití tohoto vztahu přibližuje Obr. 10.15 s typickou závislostí S – N. Vlastní postup výpočtu ukažme na příkladu:

Předpokládejme, že skutečné spektrum namáhání je tvořeno třemi, co do četnosti výskytu rovnoměrně zastoupenými na třech hladinách namáhání: L1, L2, L3 , s četnostmi n1=n2=n3 a takové úrovně, která je vyšší než mez citlivosti objektu na poškození (způsobují kumulaci poškození). Konkrétně nechť platí: L1 = 90 (jednotek); L2 = 70; L3 = 55; N1 = 6x104; N2 = 5x105; N3 = 8x105. Je-li současně k dispozici S – N diagram (a to předpokládejme), potom bude: (1 + 1 + 1).n N ekv = = 1,5x105 [cyklů] 1 1   1  6x104 + 5x105 + 8x105  n Tak ekvivalentní život objektu, vystaveného uvedenému provoznímu spektru namáhání je 1,5x105 cyklů. V dalším je nutné najít k tomuto ekvivalentnímu životu odpovídající ekvivalentní namáhání. To nalezneme z S – N diagramu, v řešeném případě to bude Lekv = 75 (jednotek namáhání) (viz Obr. 10.15). Závěrem můžeme předpokládat, že kumulativní poškození objektu, vystaveného danému provoznímu spektru namáhání (L1 → n1; L2 → n2; L3 → n3) bude stejné, jako poškození způsobené spektrem s jednou hladinou Lekv = 75 a četností namáhání nekv = Σni a vyvolá ekvivalentní život Nekv = 1,5x105 cyklů. Poznámka k Minerovu pravidlu: Toto pravidlo (10.26) udává jako kriteriální hodnotu pro poškození 1,0. Zkoušky, jimiž se ověřovala platnost tohoto kritéria dávaly hodnoty v rozmezí 0,61 až 1,4, dokonce i vyšší. Avšak chápáno stochasticky se dá tvrdit, že hodnota kritéria 1,0 je pravděpodobně nejlepší z hlediska statistického pojetí podstaty daného problému. Samozřejmě existují jiné, přesnější hypotézy kumulace poškození a jejichž použití k danému účelu nestojí po formální stránce nic v cestě. Předchozí úvahy umožňují definovat a vybudovat nástroje pro dynamický model interference, především umožňují postihnout změny ve vzájemné poloze hustot pravděpodobností namáhání a odolnosti. 10.4.6 Model změny odolnosti S proti poruše: Uvážíme-li tedy např. nejjednodušší Minerovu teorie kumulace poškození ve známém tvaru: podle rovnice (10.26). Potom si můžeme modelově představit, že každý jednotlivě působící cyklus namáhání, větší než prahová hodnota namáhání L > Sc (např. nad mezí únavy) způsobí „odčerpání“ (snížení) odolnosti na dané hladině namáhání rovnající se číselně hodnotě 1/Ni . Tím fakticky dojde k posunu pdf odolnosti (tedy i

172 střední hodnoty S , změnu parametru tvaru neuvažujme) blíže k počátku souřadné soustavy, tedy blíže k rozdělení pdf zatížení (ke střední hodnotě zatížení L ) a tím ke zvětšení interferenční plochy mezi S a L a tím ke zvýšení pravděpodobnosti vzniku poruchy. To lze vyhodnotit a tak lze popsat účinek celého spektra působícího namáhání. Takže, působí-li celé spektrum namáhání po určitou dobu, odčerpá se část odolnosti, odpovídající Minerovu pravidlu kumulace poškození a tím se skutečná, okamžitá hodnota Si přesouvá do polohy, dané podle vztahu (8) a znázorněné na Obr. 10.8 a Obr. 10.9. Takže podle popsané představy lze odvodit vztah pro okamžitou polohu střední hodnoty odolnosti proti poruše ve tvaru:   n S = S0 − ∑ i S0 − L 0  L≥Sc N i  

(

)

(10.30)

Pokud pracujeme s ekvivalentním namáháním:  ni (S0 − L0 ) Si =  S0 − ∑ Lekv >Sc N ekv  

(10.31)

Nejsnadněji se prakticky řeší tato úloha právě s použitím ekvivalentního jednohladinového namáhání, na které lze převést obecně působící spektrum provozního namáhání popsaným postupem. V rovnici (10.31), která koresponduje s Obr. 10.9 značí: S0 ,L0 - Parametry rozdělení veličin S a L v čase t = 0; Si

- Okamžitá hodnota parametru rozdělení veličiny S v čase ti > 0;

αS ,α L ,βS ,β L - Obecné označení parametrů Weibullova rozdělení veličin S a L. Sc

- Prahová mez citlivosti - "odolnosti proti poruše"(mez únavy, mez kluzu, mez trvanlivosti, apod). Při úrovni namáhání L pod touto hodnotou nedochází k odčerpávání odolnosti proti poruše.

Kontrolní otázky k 10. kapitole: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Objasněte podstatu koncepce bezpečného života. Objasněte podstatu koncepce stochastického pojetí bezpečnosti. Objasněte typické situace při interferenci odolnosti a namáhání. Pojednejte o statickém modelu interference namáhání a odolnosti. Objasněte základní principy dynamického modelu interference namáhání a odolnosti. Naznačte možnosti stanovení ekvivalentního namáhání.

173

11 ZKOUŠKY SPOLEHLIVOSTI 11.1 Základní pojmy Dále jsou uvedeny některé pojmy, které jsou při přípravě, provádění a vyhodnocení zkoušek spolehlivosti používány. Zkouška spolehlivosti Je experimentální určení nebo ověření ukazatelů spolehlivosti. Protože z praktického hlediska je ukazatelem spolehlivosti vždy konkrétní parametr rozdělení sledované náhodné veličiny, je cílem zkoušek určení nebo ověření hodnot parametru rozdělení příslušné náhodné veličiny. Při zabezpečování spolehlivosti výrobků mají zkoušky spolehlivosti nezastupitelné místo, protože právě jejím prostřednictvím se ověřuje zda byly požadavky na spolehlivost specifikované v ranných etapách života výrobku splněny, případně se jejich prostřednictvím zjišťuje jaké úrovně spolehlivosti bylo u výrobku dosaženo. Z hlediska cíle zkoušek spolehlivosti tedy rozdělujeme zkoušky na • ověřovací zkoušky; • určovací zkoušky. Podle zaměření můžeme zkoušky spolehlivosti dále rozdělit na : • zkoušky bezporuchovosti; • zkoušky udržovatelnosti; • zkoušky pohotovosti; • zkoušky životnosti. Podle způsobu provádění zkoušek spolehlivosti rozeznáváme: • zkoušky stendové (na zkušebně) • provozní zkoušky Podle namáhání a časového průběhu rozlišujeme: • zkoušky normální – jsou realizovány v normálních podmínkách (podmínkách odpovídajících běžnému provozu); • zkoušky zkrácené – jsou zkoušky, které končí dříve, než dojde k poruše všech zkoušených objektů. • zkoušky zrychlené – jsou zkoušky prováděné ve zvláštních podmínkách s cílem získat požadované informace v kratších časových lhůtách. Jsou založené na intenzifikaci probíhajících procesů, vyvolávajících náhlé nebo degradační procesy. Využívají zvýšené zatížení během zkoušky a nepříznivé podmínky okolního prostředí. Zaručovaný ukazatel Je ukazatel, zaručovaný pro stanovenou dobu s určitou pravděpodobností (tzv. konfidenční pravděpodobností nebo konfidenční úrovní ). Konfidenční úroveň Je pravděpodobnost, s jakou se daný ukazatel spolehlivosti nachází v předem stanovených mezích (v tzv. konfidenčním intervalu).

174 Konfidenční interval Je interval (omezený dolní a horní mezí), do něhož ukazatel spolehlivosti padne a předem zadanou pravděpodobností. Přejímací kritéria. Limity pro parametry bezporuchovosti a udržovatelnosti, které vedou k přijetí zkoušené položky, jestliže hodnoty měřené během demonstrace (zkoušky) jsou uvnitř předepsaných limitů. Riziko spojené se zkouškami spolehlivosti. Je obecně pravděpodobnost, s jakou výrobek nevyhoví stanoveným požadavkům na spolehlivost. Jinou užívanou formou rizika je: • riziko výrobce α - je pravděpodobnost, se kterou dobré výrobky budou ve zkoušce (vlivem náhodných okolností) prohlášeny za nevyhovující. Má význam pro výrobce (odtud jeho název), protože poškozuje jeho zájmy. • riziko odběratele β - je pravděpodobnost,se kterou nevyhovující výrobky budou ve zkoušce (vlivem náhodných okolností) prohlášeny za dobré. Má význam pro odběratele (odtud název), protože poškozuje jeho zájmy. Zkušební plán Je souborem pravidel kodifikujících způsob provedení zkoušky. Vyjadřuje rozsah zkušebního vzorku, způsob provedení náhrady nebo opravy porušeného výrobku v průběhu zkoušky a způsob ukončení celé zkoušky. Symbolicky se zapisují ve tvaru uspořádané trojice symbolů [n, (U nebo R nebo M), ( ro nebo τo)]. První symbol n vyjadřuje počet výrobků, který byl do zkoušky nasazen. Druhý symbol charakterizuje činnost po vniku poruchy: U – výrobek je po poruše vyřazen ze zkoušky a není nahrazen jiným výrobkem; R – výrobek se po poruše nahrazuje novým výrobkem; M – výrobek se po poruše opravuje a vrací do zkoušky. Poslední symbol charakterizuje způsob ukončení zkoušky: ro – vyjadřuje počet poruch během zkoušky. V okamžiku kdy dojde k ro-té poruše zkouška končí; τo – vyjadřuje dobu trvání zkoušky. V okamžiku kdy je dosaženo času τo zkouška končí. Ekvivalentní doba zkoušky Je kumulativní doba provozu všech zkoušených výrobků. Její hodnota závisí na době trvání zkoušky, počtu zkoušených výrobků, počtu poruch a na typu zkušebního plánu.

175 Nápravné opatření Opatření podniknuté s cílem odstranit příčiny existující neshody, vady, nebo jiné nežádoucí situace, aby se zabránilo jejich opakovanému výskytu.

11.2 Rozsah zkoušek 1.1.1

Plány zkoušek spolehlivosti

Každá zkouška se realizuje s určitým omezeným počtem výrobků n. Zkouška končí buď po poruše všech zkoušených výrobků, nebo po určité době trvání zkoušky τ0 nebo po vzniku určitého počtu poruch r0 . Zkouška probíhá vždy podle určitého plánu, kterým je souhrn pravidel definujících průběh a způsob ukončení zkoušky. V zásadě lze zkušební plány rozdělit podle charakteru získaného souboru údajů ze zkoušky do čtyř základních skupin. Výsledky zkoušky tvoří úplný soubor Do této skupiny patří případy, kdy v průběhu zkoušky dojde u všech zkoušených výrobků k poruše a výrobky po poruše nejsou nahrazovány ani opravovány. Formálně se tyto plány označují [n, U, n]. Výsledky zkoušky tvoří soubor cenzurovaný počtem poruch Jde o tak zvané r - plány. Do zkoušky je zařazeno n stejných výrobků. Zkouška končí po nastoupení předem daného počtu poruch r0 . Přitom porušené prvky se v průběhu zkoušky buď nahrazují novými [n, R, r0] nebo nenahrazují [n, U, r0] nebo se opravují [n, M, r0]. Náhodnou veličinou je tady doba trvání zkoušky τ. Souborem údajů, které získáme pomocí těchto zkušebních plánů se někdy říká cenzurované soubory I.typu (cenzurované počtem poruch). Výsledky zkoušky tvoří soubor cenzurovaný časem Jde o tak zvané t – plány. Do zkoušky je zařazeno n stejných výrobků. Zkouška končí po uplynutí předem dané doby zkoušení τ0 . Porušené prvky se v průběhu zkoušky buď nahrazují novými (stejnými) [n, R, τ0] nebo se nenahrazují [n, U, τ0] nebo se po poruše opravují [n, M, τ0]. Náhodnou veličinou je zde počet poruch r, které nastanou v průběhu zkoušky. Souborem údajů, které získáme pomocí těchto typů zkušebních plánů se někdy říká cenzurované soubory II.typu (cenzurované dobou trvání zkoušky). Výsledky zkoušky tvoří progresivně cenzurovaný soubor Jsou to smíšené plány typu [n, R, r0] a [n, M, τ0] cenzurované náhodně počtem poruch nebo dobou zkoušky. Vyznačují se tím, že zkoušky podle těchto plánů poskytují soubory údajů (intervalů dob do poruchy) různé délky a různého typu ukončení. Jedna podskupina všech zjištěných intervalů je ukončena poruchou, druhá dobou pozorování (bez poruchy). Tyto typy souborů se nazývají progresivně cenzurované soubory. Věcně správná analýza uvedených typů souborů naměřených údajů je velmi důležitá pro volbu správného postupu výpočtu ukazatelů spolehlivosti.

176 11.2.2 Význam pojmu rozsah zkoušky V souvislosti se zkouškami a jejich správným vyhodnocením je nutné zvažovat i pojem „potřebný rozsah zkoušky“. Rozsahem zkoušky budeme dále rozumět jednoznačné stanovení vzájemných relací mezi veličinami τ, ToE, n, r, C a hodnotami vyšetřovaných parametrů spolehlivosti, kde: τdoba trvání zkoušky v reálném čase („na hodinkách“); ToE - ekvivalentní (kumulovaná) doba trvání zkoušky; npočet zkoušených výrobků v souboru (ve vzorku); rpočet poruch vzniklých na souboru n výrobků během zkoušky; Cpožadovaná konfidenční úroveň zkoušky C = 1-γ Při odhadu parametru rozdělení základního souboru a stanovení rozsahu zkoušek má zvláštní význam statistika: ˆ Θ 2ν Θo

ˆ  Θ respektive 2ν  Θo

   

β

pro kterou platí, že má tzv. chí-kvadrát rozdělení pro 2ν počet stupňů volnosti. Použité symboly mají následující význam: Θ0 - hledaný parametr rozdělení základního souboru (zde např. t, t oo apod.); ˆ - je odhad parametru rozdělení ze zkoušky, vypočtený ze zkoušeného vzorku; Θ β-

parametr Weibullova rozdělení. Uvedenou statistiku lze s výhodou použít pro odhad v následující podobě : ˆ   Θ Pr χ (21−1 / γ ), 2 v ≥ 2 v ≥ χ (21 / γ ), 2 v  = (1 − γ ) Θ0  

(11.1)

pro exponenciální rozdělení nebo také:  ˆ  Θ Pr χ (21− γ / 2), 2 v ≥ 2ν   Θ0

β    ≥ χ (2γ / 2), 2 v  = (1 − γ )   

(11.2)

pro Weibullovo rozdělení. Uvedené výrazy značí, že příslušná statistika leží ve vymezených mezích, tj. ve zvoleném konfidenčním intervalu χ (21− γ / 2 ), 2 v ; χ (2γ / 2 ), 2 v , s pravděpodobností (1-γ), přičemž použité výrazy mají následující význam: νpočet stupňů volnosti : ν = (r+1) ν=r

– pro cenzurované soubory; – pro úplné soubory;

χ ,(2 γ / 2 ), 2 v - hodnota chí-kvadrát rozdělení pro 2ν stupňů volnosti na úrovni konfidence γ/2. Na platnosti těchto statistik jsou vybudovány jak vlastní intervalové odhady parametrů rozdělení, tak i odhady rozsahu zkoušek. Stanovení rozsahu zkoušek (stejně tak výpočet ukazatelů spolehlivosti) závisí na zkušebním plánu.

177 Pro volbu rozsahu zkoušky vyjdeme z výchozího vztahu (11.1) z něhož odvodíme vztah pro jednostrannou konfidenční mez hledaného ukazatele Θ0 = t D : tD ≥

2 ⋅ ToE χ C2 , 2 v

(11.3)

Uvedený vztah v sobě obsahuje všechny veličiny uvedené na počátku této kapitoly. 11.2.3 Diagram pro znázornění průběhu zkoušky spolehlivosti Velice názorně lze vyjádřit vztahy mezi základními veličinami ovlivňujícími rozsah zkoušky s využitím tzv. „Regulačního diagramu zkoušky“, který je sestrojen na základě vztahu (11.3). Vlasní diagram je znázorněn na Obr. 11.1. Diagram je sestrojen pro jednu zvolenou konfidenční úroveň C. Průběh zkoušky je v daném případě vymezen těmito okrajovými veličinami : • maximální disponibilní dobou pro zkoušku Tc max (na vodorovné ose), •

velikostí požadovaného ukazatele bezporuchovosti t 0 (na svislé ose). Těmito veličinami je v Obr. 11.1 vymezen obdélník OACD a úsečka BC. Přímky rovnoběžné s touto přímky vyhovují rovnici (11.3). Skutečná zkouška pak probíhá za kompromisních podmínek, které vyplývají z obrázku Obr. 11.1 a jsou popsány dále.

ln t

E0

t0

D

E1

E2

C

r=j

P1´

t cj

Ej

Pj

r=2

Po r=1

r=0

C=1-γ r = max P2

P1 A 0

Tc min

B

Tcj

Tc max

ln Tc

Obr. 11.1 Regulační diagram zkoušky

Zkouška je zahájena v čase Tc = 0 a od tohoto okamžiku se postupně vynaší údaje o vzniklých poruchách do připraveného diagramu. Okamžitá hodnota doby trvání zkoušky Tc na vodorovné ose v diagramu a její průsečík s přímkou, odpovídající počtu dosud vzniklých poruch r = 0, 1, 2,… udává bod Pj , který definuje hodnotu právě prokázané úrovně ukazatele spolehlivosti t cj .Do diagramu je vynesena i požadovaná hodnota

178 ukazatele spolehlivosti t 0 . Zkouška končí dosažením některého z bodů Ej , případně protnutím spojnice BC = rmax . Přímka znázorňující zkoušku, která probíhá bez poruchy (r = 0), musí protínat úsečku CD v bodě E0 ležícím nalevo od bodu C. Jinak by zkouška neměla smysl, protože by nedošlo v rámci zadaného rozsahu zkoušky Tc max k ověření požadovaného ukazatele t ani při bezporuchové zkoušce. Pokud zkouška probíhá bez poruchy, může být ukončena již v bodě E0 , tj. po uplynutí Tc min < Tc max , protože v bodě E0 došlo k ověření požadované hodnoty t . Časové úspory jsou dány rozdílem Tc max - Tc min . Pokud v průběhu zkoušky nastanou poruchy, přechází se postupně z přímky r = 0 na přímku r = 1 při první poruše (body P0 - P1 ), z r = 1 na r = 2 při druhé poruše atd., až nejvýše na přímku procházející bodem C a reprezentující maximální přípustný počet poruch v rámci vymezených podmínek zkoušky. Do té doby je buď : • protnuta úsečka CD v bodě Ej (j = 1, 2,… r = max) a zadaný parametr je ověřen a zkouška může být ukončena v plánovaném čase, nebo • je protnuta úsečka CB, tj. je překročen maximální přípustný počet poruch a je nutné buď prodloužit dobu trvání zkoušky, nebo snížit konfidenční úroveň stanovenou k prokázání příslušného ukazatele. Protože z povahy použitého modelu a vlastností náhodných veličin vyplývá, že v průběhu zkoušky dochází ke kumulaci doby provozu u všech zkoušených výrobků, platí další důležitý závěr, že ekvivalentní doba zkoušky ToE ve výrazu (11.3) nepředstavuje dobu trvání zkoušky měřenou na „hodinkách“, ale představuje celkovou kumulativní dobu zkoušky, která je závislá na počtu zkoušených výrobků, počtu poruch, použitém plánu zkoušky a zvolené konfidenční úrovni. Popsaný postup zkoušení je použitelný i u neobnovovaných výrobků, tj. ve zkoušce, při které zkoušíme n výrobků, každý do první poruchy, po které se prvek ze zkoušky vyřazuje. Předpokládá se přitom, že doba do poruch se u všech výrobků řídí společným zákonem rozdělení. I v tomto případě lze kumulovat dobu zkoušení jednotlivých výrobků do společného souboru pozorovaných veličin. 11.2.4 Ekvivalentní doba zkoušky Pro praktickou aplikaci vztahu (11.3) je tedy nutná znalost ekvivalentní doby zkoušky. Při jejím určování musíme rozlišovat dva případy : • zkoušky v jejichž průběhu k poruchám nedojde (bezporuchová zkouška); • zkoušky v jejichž průběhu k poruchám dojde (zkouška s poruchami prvků). Bezporuchová zkouška Takováto zkouška přichází do úvahy pouze v případě zkušebního plánu omezeného časem zkoušky [n, U, τ0], kdy do okamžiku ukončení zkoušky, tj. během doby τ0 nedojde k žádné poruše. Ekvivalentní (kumulativní) doba zkoušky v tomto případě bude : ToE = n . τ0

(11.4)

179 Zkouška s poruchami - neopravované výrobky V tomto případě je nutno rozlišovat, kdy se po poruše prvky nenahrazují a kdy se prvky nahrazují novými (počet prvků, které byly podrobeny zkoušce postupně narůstá), dále pak zda je zkouška (délka zkoušky) omezena počtem poruch r0 nebo dobou τ0. Kombinací těchto možností vzniknou celkem čtyři možné typy zkoušek, pro něž je výpočet ekvivalentní doby zkoušky vždy jiný. Přdpokládá se, že náhrada prvku po poruše je provedena okamžitě (nedochází při ní k žádné časové ztrátě). a) Plán [n, U, r0] – prvky se po poruše nemění, zkouška je ukončena až se objeví r0-tá porucha, doba zkoušky je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky : r0

ToE = ∑ t i + ( n − r0 ) ⋅ τ

(11.5)

i =1

Kde : τ - dobu zkoušky, tj. dobu od počátku zkoušky do okamžiku zniku r0-té poruchy. b) Plán [n, R, r0] – prvky jsou po poruše nahrazovány novými, zkouška je ukončena až se objeví r0-tá porucha, doba zkoušky je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky : ToE = n . τ

(11.6)

Počet výrobků potřebných pro zkoušku : N = n + (r0 –1)

(11.7)

(r0-tý prvek se již nenahrazuje, zkouška končí) c) Plán [n, U, τ0] - prvky se po poruše nemění, zkouška je ukončena po uplynutí doby τ0, počet poruch je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky: r

ToE = ∑ t i + ( n − r ) ⋅ τ 0

(11.8)

i =1

Kde : τ0 - stanovená doba zkoušky. d) Plán [n, R, τ0] - prvky se po poruše nahrazují novými, zkouška je ukončena po uplynutí doby τ0, počet poruch je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky: ToE = n . τ0

(11.9)

Počet výrobků potřebných pro zkoušku : N=n+r

(11.10)

Zkouška s poruchami - opravované výrobky Při zkouškách opravovaných výrobků nejčastěji registrujeme posloupnost po sobě jdoucích poruch (nebo mezních stavů prvků) a velečin, které jsou s nimi spojeny. Takto získaná posloupnost náhodných údajů je souborem, který použijeme k výpočtu parametrů spolehlivosti.

180 U obnovovaných výrobků je důležitým parametrem spolehlivosti (konkrétně bezporuchovosti) střední doba mezi poruchami t , střední doba (resp. pracnost) opravy t oo (resp. t po ) a součinitel střední pohotovosti A . Určíme je zkouškou, během které pozorujeme proud poruch a následných oprav. Jednotlivé doby provozu „od poruchy k poruše“ značíme ti a doby oprav toi . Při pozorování doby mezi poruchami však vznikají i intervaly, které nekončí poruchou, tj. intervaly bezporuchového provozu δi. I tyto intervaly je však třeba uvážit při výpočtu ukazatelů spolehlivosti. Pozorované soubory údajů jsou tzv. „cenzurované soubory“. Vzhledem k tomu, že po každé poruše je výrobek na jistou dobu vyřazen ze zkoušky, součet dob provozu u jednotlivých výrobků se po ukončení zkoušky může lišit. Zkoušky opravovaných výrobků mohou probíhat v zásadě podle dvou typů plánu. Dále je naznačen výpočet ekvivalentní doby zkoušky pro tyto plány zkoušky. a) Plán [n, M, τ0] - prvky se po poruše opravují, zkouška je ukončena po uplynutí doby τ0, počet poruch je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky: i=r

j= n

i =1

j=1

ToE = ∑ t i + ∑ δ j

(11.11)

V podstatě se jedná o součet všech intervalů provozu, které byly ukončeny poruchou a součet všech intervalů, které byly cenzurovány časem (ukončením zkoušky). b) Plán [n, M, r0] – prvky jsou po poruše opravovány, zkouška je ukončena až se objeví r0-tá porucha, doba zkoušky je náhodná veličina. Ekvivalentní doba zkoušky : i = r0

j= n −1

i =1

j=1

ToE = ∑ t i +

∑δ

j

(11.12)

11.3 Určovací zkoušky 11.3.1 Výsledky zkoušek Dobrou pomůckou pro zpracování výsledků těchto zkoušek je norma ČSN IEC 6054, v níž jsou uvedeny prakticky použitelné výpočtové vztahy pro analytický způsob odhadu ukazatelů pro různé typy rozdělení náhodné veličiny. V zásadě jsou zde uváděny dva způsoby odhadu ukazatelů spolehlivosti: • Bodové odhady - ukazatel se odhaduje v podobě „střední hodnoty“ a to jedním číselným údajem. • Intervalové odhady - ukazatel se odhaduje v podobě intervalu možných číselných hodnot ukazatele, omezeného buď ze dvou stran, nebo častěji z jedné (dolní nebo horní) strany. Věrohodnost odhadu (konfidence) se volí dopředu podle potřeby. Z formálního hlediska nečiní odhad ukazatelů spolehlivosti výše uvedenými způsoby větších potíží, pokud jsou soubory údajů dostatečně velké. Problémy vznikají u malých souborů, které se ve zkouškách spolehlivosti vyskytují nejčastěji. V těchto případech jsou vhodnější kombinované, graficko-analytické metody. Někdy vznikají problémy též se stanovením konfidenční úrovně se kterou má být zkoušky provedena. Její velikost má vliv na rozsah zkoušky (dobu trvání, počet zkoušených výrobků) a proto se zpravidla určuje na základě ekonomických úvah.

181 Správná analýza údajů ze zkoušek spolehlivosti je závislá na charakteru naměřených údajů. Ve zkouškách spolehlivosti sledujeme chování výrobků v souvislosti se vznikem poruchy. Zajímá nás okamžik jejího vzniku. Z tohoto pohledu se v praxi můžeme setkat se čtyřmi základními případy: a) V čase ti (inspekce, pozorování) je okamžik nastoupení poruchy (sledovaný jev) tp totožný s časem ti . Okamžik ti je přesně znám (je objektivně změřen). Časový interval tohoto se nazývá „ukončený“ (rozumí se poruchou). b) V čase ti není okamžik nastoupení poruchy znám. Jev (porucha) dosud nenastal a nastane někdy v čase tp > ti , přičemž ti je znám. Časový interval tohoto typu se nazývá „neukončený“ nebo také „cenzurovaný“, jednostranně zprava (protože až do okamžiku ti k poruše nedošlo a dojde k ní pravděpodobně v časovém okamžiku od ti ). c) V čase ti není okamžik nastoupení poruchy znám. Jev (porucha) již sice nastal, ale někdy v časovém okamžiku tp < ti , přičemž ti je znám. Časový interval tohoto typu se nazývá „neukončený“ jednostranně cenzurovaný zleva (protože k poruše již došlo nalevo od okamžiku ti ). d) Okamžik nastoupení poruchy tp není přesně znám. Víme jen, že jev nastal někde v časovém okamžiku ta < tp < tb , přičemž ta a tb jsou okamžiky provádění dvou, po sobě jdoucích inspekcí : ta = ti-1 , tb = ti . Časový interval tohoto typu je „ukončený“, oboustranně cenzurovaný zprava i zleva. Obecně se všechny soubory údajů ze zkoušek skládají z těchto čtyř typů časových intervalů. 11.3.2 Analytický odhad ukazatelů spolehlivosti Výpočet ukazatelů spolehlivosti se řídí typem souboru údajů resp. typem zkušebního plánu. Dále budou uvedeny vztahy pouze pro exponenciální rozdělení, vycházející zejména z rovnice (11.1). Analogicky je možné stanovit ukazatele i pro Weibullovo rozdělení – přičemž se vychází z rovnice (11.2). Dále jsou uvedeny základní výpočtové vztahy pro bodové a intervalové odhady ukazatelů při realizaci různých plánů zkoušky. Předpokládá se exponenciální rozdělení a uváděné vztahy jsou použitelné například pro vyhodnocení střední doby mezi poruchami, středního technického života a podobně. Pro stanovení ukazatelů jiného charakteru je třeba vztahy vhodně modifikovat. Způsob stanovení ekvivalentní doby zkoušky pro jednotlivé zkušební plány je uveden v odstavci 11.2.4. Zkušební plány [n, U, n] (úplné soubory) Bodový odhad střední hodnoty t : t=

ToE 1 i= n = ∑ ti n n i=1

(11.13)

Dolní konfidenční mez ukazatele t D : i=n

tD ≥

2 ⋅ ∑ ti

2ToE = 2i =1 χ C2 , 2 n χ C, 2 n

(11.14)

182 Zkušební plány [n, U, r0] Bodový odhad střední doby t : t=

 ToE 1  i= r0 = ∑ t i + ( n − r0 )τ r0 r0  i=1 

(11.15)

Dolní konfidenční mez ukazatele t D :

tD ≥

2ToE χ C2 ,( 2⋅r0 + 2 )

 i= r0  2 ⋅  ∑ t i + ( n − r0 )τ  i =1  =  2 χ C,( 2⋅r0 + 2 )

(11.16)

Zkušební plány [n, U, τ0] Bodový odhad střední doby t : t=

ToE 1  i= r  = ∑ t i + ( n − r ) τ 0  r r  i=1 

(11.17)


tD ≥

 i=r  2 ⋅ ∑ t i + ( n − r ) τ 0   =  i =1 2 χ C ,( 2 r + 2 )

2ToE χ C2 ,( 2 r + 2 )

(11.18)

Zkušební plány [n, R, r0] Bodový odhad střední doby t : t=

ToE n ⋅ τ = r0 r0

(11.19)

Dolní konfidenční mez ukazatele t D : tD ≥

2T

χ

oE 2 C ,( 2 r0 + 2 )

=

2nτ χ

2 C ,( 2 r0 + 2 )

(11.20)

Zkušební plány [n, R, τ0] Bodový odhad střední doby t : t=

ToE n ⋅ τ 0 = r r

(11.21)

183 Dolní konfidenční mez ukazatele t D : tD ≥

2ToE χ

2 C ,( 2 r + 2 )

=

2nτ 0 χ C2 ,( 2 r + 2 )

(11.22)

Zkušební plány [n, M, r0] Bodový odhad střední doby t : T t = oE = r0

i = r0

j= n −1

i =1

j=1

∑ ti +

∑δ

i

(11.23)

r0


tD ≥

2T

χ

oE 2 C ,( 2 r0 + 2 )

j= n −1  i = r0  2 ⋅  ∑ t i + ∑ δ i  i =1 j=1  =  2 χ C,( 2 r0 + 2 )

(11.24)

Zkušební plány [n, M, τ0] Bodový odhad střední doby t : T t = oE = r

i= r

j= n

i =1

j=1

∑ t i + ∑ δi

(11.25)

r


tD ≥

2ToE χ C2 ,( 2 r + 2 )

j= n  i=r  2 ⋅  ∑ t i + ∑ δ i  i =1 j=1  =  2 χ C,( 2 r + 2 )

(11.26)

Extrémní případy zkoušek. Uvedené výpočtové vztahy umožňují vyhodnocení i některých extrémních případů. Umožňují například vyhodnotit zkoušky i v následujících případech: • zkouška jediného výrobku bez poruchy (r = 0, n = 1) : tD ≥ •

2τ 0 χ C2 , 2

(11.27)

zkouška jediného výrobku do 1. poruchy (r = 1, n = 1) : tD ≥

2t 1 χ C2 , 2

(11.28)

184 11.3.3 Grafický odhad ukazatelů spolehlivosti Logaritmický pravděpodobnostní papír. Nejsnadnější metoda odhadu parametrů spolehlivosti (realizovatelná snadno i „ručně“) pro úplné (necenzurované) soubory a složitější zákony rozdělení pravděpodobnosti (jako je např. Weibullovo rozdělení) je metoda, využívající „logaritmický pravděpodobnostní papír“, vybudovaný pro daný typ zákona rozdělení pravděpodobnosti. Je uveden příklad pro W-2 rozdělení. Jak již samotný název naznačuje, postup odhadu je založen na skutečném „vynesení“ souboru dat ze zkoušek spolehlivosti do grafu na speciálně zkonstruovaném tzv. Weibullově logaritmickém papíru. Distribuční funkce se na tomto grafu zobrazuje jako přímka, získaná lineární regresí v grafu zobrazeného souboru dat a odhad parametrů je potom odečten z grafu ve specifických bodech tohoto grafu. Tato metoda je velmi snadná, snadno se provádí i ručně a je zvláště vhodná a rychlá pro menší soubory dat, což jsou nejčastější případy odhadů u zkoušek spolehlivosti malých vzorků, zkoušek vysoce spolehlivých výrobků, časově omezených zkoušek, zkoušek životnosti prvků na stendech a v dalších podobných případech. Navíc je tato metoda velmi názorná a blízká inženýrským postupům. Tvar a souřadnice Weibullova logaritmického papíru, v němž se distribuční funkce F(t) příslušného zákona rozdělení pravděpodobnosti zobrazuje jako přímka se získají vhodnou úpravou matematického výrazu pro F(t). Tak např. pro dvouparametrické Weibullovo rozdělení je odvození vztahů a úprava následující. Pro distribuční funkci platí:   t β  F( t ) = 1 − exp  −      α  

(11.29)

Po dvojím logaritmování a po úpravě přejde rovnice (11.29) na tvar:  1  ln ln  = β ln( t ) − β ln(α)  1 − F( t ) 

(11.30)

Z formálního hlediska představuje rovnice (11.30) rovnici přímky ve tvaru: y = βt − β ln(α) v souřadnicích pro nezávislou veličinu x bude měřítko v digramu: x = ln( t )

(11.31)

(11.32)

pro závisle proměnnou y bude měřítko v diagramu:  1  y = ln ln   1 − F( t ) 

(11.33)

Takže v uvedených souřadnicích představuje každá přímka distribuční funkcí Weibullova typu. Použitím vztahů pro x a y je možné vytvořit log-log papír na němž po vynesení experimentálně zjištěných dat ze zkoušky je možné provést odhad F(t). V tomto diagramu se každá distribuční funkce Weibullova typu zobrazí jako přímka, jejíž jisté charakteristické body jsou odhadem parametrů zákona rozdělení sledované veličiny.

185 Tak např. z rovnice (11.29) snadno odvodíme podmínku pro odhad parametru α. Ten najdeme jako kvantil distribuční funkce pro podmínku t = α bez ohledu na velikost druhého parametru. Takže bude:   α β  F( t ) = 1 − exp −    = 1 − exp( −1) = 0,632   α  

(11.34)

Takže pro hodnotu distribuční funkce F(t) = 0,632, vynesené na ose y v log-log diagramu a v průsečíku této hodnoty s přímkou, představující (např. metodou lineární regrese) vyrovnaný soubor experimentálních bodů najdeme na ose x hledanou hodnotu parametru α (viz Obr. 11.2). Druhý parametr rozdělení β nalezneme z upravené rovnice (11.32): β=

(11.35)

y x / ln( α)

Podle této rovnice je v diagramu vybudována speciální stupnice pro odhad β. Její počátek (pól) je umístěn na hodnotě F(t) = 0,632 a v libovolné vzdálenosti x/ln(α) ≠ 0 je umístěna osa a na ní vytvořena stupnice pro měřítko β (viz Obr. 11.2). Pro odhad hodnoty distribuční funkce Fˆ( t ) v jednotlivých bodech a jejich parametrů se nejčastěji používá výpočtový vztah pro mediánovou hodnotu tohoto odhadu ve tvaru Me =

i − 0.3 N + 0.4

(11.36)

kde: i - je pořadí poruchy (údaje) v setříděném souboru všech pozorovaných poruch N - je celkový počet (dat) pozorovaných poruch ve zkoušce Praktické použití metody je dále demonstrováno na jednoduchém příkladu. Ve zkoušce bezporuchovosti určitého výrobku byl pozorován soubor dob do poruchy, uvedený v následující tabulce (již setříděný). Tab.11.1 Soubor údajů ze zkoušky Pořadí poruchy

Doba do poruchy

Mediánové pořadí

1 2 3 4 5 6

16 34 53 75 93 120

0,1091 0,2644 0,4214 0,5786 0,7356 0,8910

Grafické zobrazení hodnot z tabulky popsanou metodou ukazuje Obr. 11.2, v němž jsou též přímo vyznačeny odhadnuté parametry α, β rozdělení pravděpodobnosti poruchy.

186

Obr. 11.2 Grafický odhad parametrů α,β Weibullova rozdělení. Nelsonova metoda odhadu parametrů spolehlivosti Tato metoda využívá k řešení problému kumulativní intenzitu H(t) příslušného zákona rozdělení pravděpodobnosti a skutečnost, že tuto kumulativní intenzitu lze opět ve vhodných logaritmických souřadnicích znázornit jako přímku. Dále bude naznačeno řešení pro dvouparametrické Weibullovo rozdělení pravděpodobnosti. V tomto případě pro kumulativní intenzitu platí: t H( t ) =   α

β

(11.37)

Zlogaritmováním a po úpravě přejde tato rovnice do tvaru: (11.38)

ln H ( t ) = β. ln t − β. ln α kde: ln t = x

a

ln H ( t ) = y

(11.39)

187 Použitím vztahů pro x a y je potom možné vytvořit log-log papír na němž po vynesení experimentálně zjištěných dat ze zkoušky je možné provést odhad H(t). V tomto diagramu se každá kumulativní intenzita Weibullova typu zobrazí jako přímka, jejíž charakteristické body umožňují odhadnout parametry zákona rozdělení sledované veličiny. Tak z rovnice (11.37) snadno odvodíme podmínku pro odhad parametru α. Ten najdeme pro takovou hodnotu H(t) která vyhovuje podmínce pro t = α bez ohledu na velikost druhého parametru. Této podmínce vyhovuje hodnota H(t) = 1. V jejím průsečíku s přímkou, představující (např. metodou lineární regrese) vyrovnaný soubor experimentálních bodů najdeme na ose x hledanou hodnotu parametru α. Druhý parametr rozdělení β nalezneme z upravené rovnice (11.38): β=

ln H ( t ) (ln t − ln α)

(11.40)

Podle této rovnice je v diagramu vybudována speciální stupnice pro odhad β. Její počátek (pól) je umístěn na hodnotě H(t) = 1,0 a v libovolné vzdálenosti ln t/ln α ≠ 0 je umístěna osa a vytvořena stupnice pro β. ˆ ( t ) v jednotlivých bodech se nejčastěji Pro odhad hodnoty kumulativní intenzity H používá výpočtový vztah, podle kterého je kumulativní intenzita H(t) závislá pouze na celkovém rozsahu dat N a na pořadí i-tého údaje v setříděném souboru těchto dat. Dá se dokázat, že pro odhad H(t) platí vztah: ˆ (t) = H

i N − i +1

(11.41)

kde

ije pořadí poruchy (údaje) v setříděném souboru všech pozorovaných poruch Nje celkový počet (dat) pozorovaných poruch ve zkoušce Nelsonova metoda je vhodná především pro zpracování obecně cenzurovaných souborů a lze ji obecně použít pro různé typy rozdělení náhodné proměnné. Na tomto místě bude naznačeno numerické řešení pouze pro Weibullovo rozdělení. Řešení vychází z odhadu hustoty pravděpodobnosti rozdělení ve tvaru: 1 fˆ ( x i ) = N

(11.42)

Distribuční funkci potom lze vyjádřit vztahem: Fˆ( x j ) =

i = j−1

i = j−1

i =1

i =1

∑ fˆ ( x i ) =

1

∑N =

j−1 N

(11.43)

S využitím rovnic (11.42) a (11.43) lze již také vyjádřit vztah pro odhad intenzity poruch: 1 ˆf ( x ) 1 i λˆ ( x i ) = = N = 1 − Fˆ( x i ) 1 − i − 1 N − i + 1 N

(11.44)

188 a kumulativní intenzity poruch: i= j

i= j

i =1

i =1

ˆ (x ) = ∑ λˆ ( x ) = ∑ H j i

1 N − i +1

(11.45)

Výraz N – i + 1 ve výše uvedených rovnících vyjadřuje inverzní pořadí i-tého údaje v souboru a v odhadu parametrů hraje důležitou roli, protože pouze na něm a na celkovém rozsahu souboru N je závislá hodnota kumulativní intenzity. Praktický postu odhadu ukazatelů Z celkového souboru N údajů o sledované náhodné veličině je n případů ukončených intervalů (například jde v těchto případech o dobu mezi poruchami) a v N – n případech dosud k poruše nedošlo (jde o intervaly dosud bezporuchového provozu výrobku). Celý soubor N hodnot setřídíme do neklesající posloupnosti : (11.46)

x 1* ≤ x *2 ≤ x 3 ≤ x 4 ≤ ..... ≤ x *i ≤ .....x N

a získané hodnoty zapíšeme do tabulky (viz Tab. 11.2), přičemž údaje s hvězdičkou * , kterých je právě n značí údaje o dobách mezi poruchami (označují intervaly ukončené poruchou). Pouze pro případy označené * vypočítáme hodnoty : λˆ ( x *i ) =

1 N − i +1

(11.47)

*

a ˆ ( x *i ) = ∑ H

1 N − i +1

(11.48)

ˆ ( x *i ) , které s využitím příslušného Takto jsme získali n dvojic hodnot x *i a H logaritmického papíru a výše uvedených vztahů již snadno vyhodnotíme. Tab. 11.2 Hodnoty sledované náhodné veličiny Pořadí poruchy souboru i

Uspořádané hodnoty xi

Inverzní pořadí v souboru N–i+1

Intenzita poruch λˆ ( x *i ) jen pro *

Kumulativní intenzita

1

x1*

N

1/N

H(x1*)

2

N-1

1/n-1

H(x2*)

3

x *2 x3

i-1 i

x *i

N–i+1

1/N - i +1

H(xj*)

xN

2 1

i+1 N –1 N

ˆ ( x* ) H i

189 11.4 Ověřovací zkoušky spolehlivosti Ověřovací zkoušky jsou vybudovány na principu testování statistických hypotéz. K jejich provedení musíme určit konkrétní výběrový plán s těmito zadávacími veličinami : • Poměr nulové a alternativní hypotézy H0 / H1 , • Rizika α a β (riziko výrobce a odběratele) . 11.4.1 Zkouška jedním výběrem Při zkoušce se postupuje tak, že pomocí zadávacích veličin se přímo určí hodnota zamítacího počtu poruch vztažená k celkové době provozu. Tím je určeno jak velký počet poruch může nejvýše nastat, má-li výrobek ještě splnit předepsaná kritéria spolehlivosti. Dále jsou uvedeny základní vztahy, ze kterých se při určování limitních hodnot počtu poruch vychází. Exponenciální rozdělení : Mez přijetí : λ β − ln 1 m λ0 1− α + m⋅ ≤ λ0 ⋅ ∑ xi λ λ i =1 1− 1 1− 1 λ0 λ0

ln

(11.49)

Mez zamítnutí : λ 1−β − ln 1 m λ0 α + m⋅ ≥ λ0 ⋅ ∑ xi λ λ i =1 1− 1 1− 1 λ0 λ0

ln

(11.50)

Weibullovo rozdělení : Mez přijetí : b

Θ  β − ln 0  ln m  Θ1  ≤ x b 1− α + m ⋅ ∑ i b b i =1  Θ0   Θ0    1 −  1 −   Θ1   Θ1 

(11.51)

Mez zamítnutí : b

Θ  β − ln 0  ln m  Θ1  ≥ x b 1− α + m ⋅ ∑ i b b i =1  Θ0   Θ0    1 −  1 −   Θ1   Θ1 

(11.52)

190 Kde : xi mλ0,1 Θ0,1 -

je obecná náhodná veličina (např. doba do poruchy ti ), je počet poruch do okamžiku Tc , jsou intenzity poruch, jsou parametry měřítka Weibullova rozdělení (pozn.: není použit běžný symbol α protože by byl totožný s označením rizika). je parametr tvaru Weibullova rozdělení. (pozn.: není použit symbol β protože by byl totožný s označením rizika).

b-

11.4.2 Postupné zkouška spolehlivosti Je vhodnější pro výrobky, u nichž nemůžeme dopředu provést výběr požadovaného rozsahu. To je obvykle u zkoušky vývojové, typové a zkoušky jednoho nebo malého počtu výrobků. V podstatě se využívá poznatku o testování hypotéz. Před zahájením prověrky je stanoveno určité pravidlo, podle něhož se v každém okamžiku experimentu rozhoduje o přijetí jednoho ze tří řešení : • Nulová hypotéza H0 o parametrech rozdělení není zamítnuta. Podle okolností to může znamenat, že objekt je prohlášen za dostatečně spolehlivý, protože požadavky spolehlivosti byly splněny. • Nulová hypotéza H0 je zamítnuta (resp. je přijata alternativní hypotéza H1 ). Podle okolností to může znamenat, že objekt je prohlášen za nedostatečně spolehlivý, protože parametry spolehlivosti nebyly splněny. • V experimentu je nutno pokračovat, protože není možné v daném okamžiku rozhodnout o prvním nebo druhém řešení. Důležitým znakem postupné prověrky je to, že počet pokusů (pozorovaných poruch) do ukončení prověrky není dopředu znám, ale je to náhodná veličina, závislá na samotném průběhu prověrky. Většinou to má ten praktický důsledek, že zkouška může být ukončena dříve, než by tomu bylo u jiného způsobu zkoušení s pevně stanovenou dobou nebo počtem zkoušených výrobků. Tím dochází k úspoře času a nákladů vynaložených na průkaz spolehlivosti. Praktický postup sekvenční zkoušky Při dopředu zvolených hodnotách rizik α, β určíme charakteristiky přejímacího diagramu h0, h1 a s podle vztahů : β h0 = 1 − α λ 1− 0 λ1 ln

1−β α h1 = λ0 1− λ1 ln

λ0 λ1 s= λ 1− 0 λ1 − ln

(11.53)

Vztahy platí pro exponenciální rozdělení. Analogicky lze stanovit i vztahy Pro Weibullovo rozdělení, hranice oblastí jsou však zakřivené. Ve vhodném měřítku nakreslíme diagram Obr. 11.3 do něhož vynášíme průběh zkoušky. Pro posloupnost vznikajících poruch, v pořadí jak jdou po sobě, vynášíme do

191 diagramu celkovou zkušební dobu. Zkouška končí, jakmile je protnuta některá hraniční čára. Pokud je průběh zkoušky uvnitř diagramu, zkouška musí pokračovat.

Omezení dobou zkoušky tsuma Přijetí

Omezení počtem poruch Zamítnutí

h1 s 1

2

3

rmax

r

h0

Obr. 11.3 Sekvenční zkouška spolehlivosti 11.5 Zkoušky spolehlivosti prototypů Pro zkoušky prototypů je charakteristické, že se v jejich průběhu provádí na zkoušeném prototypu různé konstrukční a technologické úpravy s cílem odstranit nedostatky a problémy, které v průběhu zkoušky objevily. V případě poruch zde tedy může dojít nejen k prostému odstranění poruchového stavu opravou, kdy nedochází ke změně charakteru a vlastností výrobku, ale v některých případech vznik poruchy iniciuje změny v konstrukčním návrhu, změny použitých technologií, nebo změny ve výrobním procesu. Tyto změny však logicky ovlivňují i spolehlivost prototypu, protože jejích prioritním cílem je zbránit dalšímu výskytu daného způsobu poruchy. Z uvedeného je zřejmé, že v průběhu zkoušek prototypů tak dochází k jistému vývoji ukazatelů spolehlivosti, který je vhodné sledovat. Cílem zkoušek spolehlivosti prototypů je tedy jednak odhad dosažených hodnot ukazatelů spolehlivosti v každém okamžiku vývoje prototypu a vyhodnocení jejich trendů. Tento přístup je vhodný především proto, že umožňuje objektivně postihnout vliv předpokládaných změn v konstrukci, technologii nebo provozních aplikacích na změny ve vývoji jeho ukazatelů spolehlivosti a umožňuje přijímat odpovídající závěry a opatření.

192 11.5.1 Duanův model vývoje ukazatelů spolehlivosti Duanova metoda je grafickou technikou, která se používá při analýze vývojových tendencí ukazatelů spolehlivosti především v etapě vývoje nového výrobku, kdy se často provádí technické, technologické a jiné změny. Tyto změny mají obvykle významný vliv i na ukazatele spolehlivosti, které se také mohou podstatně měnit. K objektivizaci jejich změn slouží právě Duanova metoda. Je to metoda (technika) rychlá, jednoduchá a názorná. Duanův graf (viz Obr. 11.4) znázorňuje známou empirickou zkušenost, že po počáteční nestabilitě v průběhu sledovaného ukazatele t c se jeho další vývoj v průběhu pokračující zkoušky stabilizuje do konkrétní vývojové tendence. Od určité hodnoty doby provozu (bod D) (počáteční, startovací hodnota) lze s vysokou korelací považovat vzájemnou závislost veličin log t c a log Tc již za lineární. Na základě toho se potom dá objektivně usoudit, zda dochází ve vývoji ukazatelů spolehlivosti k tendencím růstu, stagnace nebo degradace jejich hodnot, případně zaručujícím splnění požadavku na spolehlivost či nikoliv. Grafické znázornění vývoje spolehlivosti umožňuje také předpovídat vývoj do budoucna, případně odhadnout potřebný rozsah zkoušky. Stejně tak umožňuje odhalit včas problémy se zabezpečením požadované úrovně spolehlivosti. tc t 0 - požadovaná hodnota

okamžitá hodnota MTBF - t i B

vyrovnaný průběh t c

100 D kumulativní hodnota MTBF - t c

50

počáteční nestabilita průběhu t c Tc (D)

10 10

50

100

Tc (B) 500

1000

Obr. 11.4 Typický průběh závislosti t c a T c v Duanově modelu Symboly použité v rovnicích Duanova modelu : tobecné označení pro dobu provozu, Tc - celková (kumulativní) doba trvání zkoušky, tc -

kumulativní hodnota MTBF,

ti U,S r λc,i

okamžitá hodnota MTBF, parametry Duanova modelu, počet poruch do okamžiku T c , intenzita poruch (kumulativní, okamžitá hodnota)

t = Tc

193 Základní definice a pojmy Pro potřebu přesné formulace problému a vybudování matematického modelu vývoje ukazatelů spolehlivosti je třeba zavést některé speciální pojmy a definovat jisté formální nástroje. Dále je třeba zavést specifickou kategorizaci poruch, vystihující podstatu problému. Matematický model vývoje ukazatelů spolehlivosti : Matematicky nebo graficky vyjádřená závislost mezi dobou provozu t (dobou trvání zkoušky Tc ) a vybraným ukazatelem spolehlivosti (nejčastěji MTBF - t c , t i ). Umožňuje objektivním způsobem popsat vývoj spolehlivosti ve sledovaném období (v průběhu vývojových zkoušek) a dále předpovídat tento vývoj i do budoucího období. Růst úrovně spolehlivosti : Jev, charakterizovaný postupným zvyšováním ukazatelů spolehlivosti jako důsledek prováděných změn v konstrukci výrobku, vyjádřený v závislosti na době provozu a charakteristický především pro etapu vývoje výrobku. Defekt : Nedovolená odchylka od požadovaného technického nebo fyzikálního stavu výrobku takové povahy, že buď způsobí poruchu nebo vede nepřijatelnému zvýšení rizika vzniku poruchy. Je povahy systematické nebo reziduální. Systematický defekt : Defekt známé povahy, který může být vhodným zásahem do konstrukce, technologie nebo výrobního procesu odstraněn nebo jeho nepříznivý účinek zmírněn. Systematické defekty se týkají pouze konstrukce a technologických procesů. Reziduální defekt : Defekt, který není systematické poruchy. Tento defekt je z konstrukce neodstranitelný nebo neodstraňovaný. Zdůrazňuje se pojem „reziduální“ před „náhodným“, protože lépe postihuje podstatu a důsledek. Ta spočívá v jeho neodstranitelnosti, tedy v tom, že svým účinkem působí v konstrukci trvale. Má se za to, že u dobře vyvinuté konstrukce je počet takových defektů malý a náhodný, takže mají „Poissonovský“ charakter. Objevují se s malou a konstantní intenzitou. Systematická porucha : Je porucha způsobená systematickým defektem. Příčina této poruchy je odstranitelná nápravným opatřením. Reziduální porucha : Je porucha, způsobená reziduálním defektem. Příčina této poruchy je neodstranitelná (z technických důvodů) nebo neodstraňovaná (z provozních důvodů). Nápravné opatření proti těmto poruchám nelze realizovat, nebo není nutné je realizovat.

194 Významná porucha : Je porucha, která musí být zahrnuta do hodnocení spolehlivosti podle kritérií k tomu účelu zvlášť vypracovaných. Nevýznamná porucha : Je porucha, která v souladu s dohodou partnerů může být vyloučena z hodnocení spolehlivosti. Kritéria jsou stanoveny. Časná porucha : Je porucha, jejíž příčina vznikla v období výrobního procesu a má svůj původ v náhodných odchylkách vlastností prvků, materiálů, montáže, výrobního procesu, selhání, kontrolního procesu apod. Vyskytuje se obvykle na začátku zkoušek nebo používání. Jejich intenzita se brzy zmenšuje. Na počátku provozu mají jistý vliv na změnu ukazatelů spolehlivosti. Kumulativní hodnota ukazatele spolehlivosti : Je číselná hodnota ukazatele spolehlivosti (např. t c ), stanovená pro daný okamžik doby provozu t pomocí celkové (kumulativní) doby trvání zkoušky Tc uvažované od počátku zkoušky a celkového počtu významných poruch r k nimž v průběhu zkoušky došlo. Obsahuje v sobě celou předchozí „historii“ vývoje spolehlivosti. Okamžitá hodnota ukazatele spolehlivosti : Je číselná hodnota ukazatele spolehlivosti (např. t i ), stanovená pro daný okamžik doby provozu t (zkoušky) z nekonečně malého intervalu doby provozu t; t + dt . Vyjadřuje okamžitou hodnotu ukazatele spolehlivosti v daném okamžiku provozu. Neobsahuje v sobě již žádnou informaci z předchozí „historie“ vývoje spolehlivosti, takže objektivně postihuje dopad všech změn , k nimž v průběhu vývoje u výrobku došlo. Je to nejdůležitější informace o právě dosažené úrovni ukazatelů spolehlivosti. Vztah mezi kumulativní a okamžitou hodnotou ukazatelů spolehlivosti se stanovuje pomocí vybudovaného modelu. Konstrukce Duanova grafu Graf je možné zkonstruovat postupně podle následujících bodů : Pro každou závažnou poruchu, vytříděnou podle návodu pro utřídění poruch (viz. algoritmus na •

Obr. 11.6 se vypočte hodnota t c podle výrazu (11.59).

•

•

Pro každé T c se hodnota t c vynese do grafu v log-log souřadnicích. Na vodorovnou osu Tc, na svislou osu t c (viz Obr. 11.4). Postupně se ověřuje, zda soubor vynesených bodů je možné nahradit přímkovou závislostí (některou z metod lineární regrese nebo empiricky „podle oka“). Na přímce se zvolí libovolné body : D-dolní, B-horní (viz. též Obr. 11.5).

•

Pro oba body se stanoví hodnoty : log Tc (B), log Tc (D), log t c (B), log t c (D).

•

195 • •

Tyto hodnoty se dosadí do výrazu pro S (11.56) a tím je stanoven hlavní parametr modelu. Druhý parametr U se stanoví ze vztahu (11.59).

•

Okamžitá hodnota t i ukazatele spolehlivosti MTBF se potom stanoví ze vztahu (11.63). V grafu je potom možné vývoj okamžité hodnoty ukazatele spolehlivosti zakreslit rovnoběžkou (čárkovanou čárou) (viz. Obr. 11.4 nebo Obr. 11.5). • Do grafu je vhodné vynést též hodnotu požadovaného ukazatele spolehlivosti z technických podmínek t o (viz Obr. 11.4) a oba údaje v průběhu zkoušky vzájemně kontrolovat. • Průběžně se přijímají závěry o dosažené úrovni spolehlivosti, případně se další vývoj spolehlivosti předpovídá. Uvedený postup je možné aplikovat pro celý objekt, nebo na jeho libovolný subsystém a tak předpovídat vývoj spolehlivosti v průběhu celého vývoje. Stejným postupem je možné vyhodnotit ukazatele opravitelnosti, pokud budou známy a zaznamenány přesné hodnoty trvání opravy nebo pracnosti oprav.

Obr. 11.5 Linearizovaný model závislosti t c a T c (Duanův model) Teoretické vztahy modelu. Předchozí obecně popsaný postup je třeba doplnit o potřebné výpočtové vztahy, na nichž je model vybudován. ro kumulativní hodnotu MTBF byl definován Duanem model závislosti ve tvaru : t c = U ⋅ TcS

(11.54)

resp. pro kumulativní intenzitu poruch ve tvaru : λc =

1 1 = ⋅ Tc−S tc U

(11.55)

196 V souladu s obr. Obr. 11.4 a Obr. 11.5 lze vybudovat linearizovaný model a odvodit všechny potřebné výpočtové vztahy. Z Obr. 11.5 vyplývá pro parametr S : S=

log t c ( B) − log t c ( D) log Tc ( B) − log Tc ( D)

(11.56)

a odtud : log t c ( B) = S ⋅ [log Tc ( B) − log Tc ( D)] + log t c ( D)

(11.57)

což je rovnice přímky v souřadnicích log Tc − log t c . Rovnici lze zapsat i v jiné podobě:  T ( B)   t c ( B) = log t c ( D) ⋅  c  Tc ( D) 

S

(11.58)

Úpravou vztahu (11.56) můžeme dospět k rovnici (11.54), kde U je jedním z parametrů Duanova modelu a platí pro něj vztah : U=

t c ( D) [Tc ( D)] S

nebo

U = { t c }Tc =1

(11.59)

Pro výpočet t c můžeme použít také jiný postup. Jestliže r je kumulativní počet významných (započitatelných) poruch za dobu zkoušky Tc , můžeme psát : tc =

Tc r

(11.60)

po dosazení (11.60) do (11.54) a po úpravě dostaneme : r=

1 (1−S ) ⋅ Tc U

(11.61)

derivováním podle Tc bude : dr 1−S 1− S = = dTc U ⋅ TcS tc

(11.62)

Protože platí, že dr/dt je výraz pro okamžitou intenzitu poruch λ i , je její reciproká hodnota výrazem pro okamžitou hodnotu MTBF, tj. t i . Takže platí : ti = tc ⋅

1 1− S

(11.63)

Tím je dokázáno, že okamžitá hodnota ukazatele spolehlivosti t i (kterou nelze experimentálně určit) může být zobrazena v diagramu s log Tc − log t c souřadnicemi druhou přímkovou závislostí (čárkovaně v obr. Obr. 11.4 a Obr. 11.5) stejně jako t c . Pro danou hodnotu S je poměr vzdáleností mezi oběma přímkami konstantní a roven podílu 1/(1-S).

197 Z kumulativní hodnoty t c (kterou určíme snadno experimentálně) lze určit okamžitou hodnotu t i (která nás vlastně zajímá, protože je výstupní informací ze zkoušky spolehlivosti) tak, že každou hodnotu t c vynásobíme konstantou 1/(1-S). Tím je vyhodnocení pomocí Duanova modelu v každém okamžiku (při vzniku každé poruchy) ukončeno. PORUCHA

VÝZNAMNÁ PORUCHA

NEVÝZNAMNÁ PORUCHA

Dále se uvažují

Dále se neuvažují

Analýza příčin poruch

SYSTEMATICKÁ PORUCHA Systematická porucha je důsledkem systematického defektu

REZIDUÁLNÍ PORUCHA Reziduální porucha je důsledkem reziduálního defektu

SYSTEMATICKÝ DEFEKT

REZIDUÁLNÍ DEFEKT

Bez rekonstrukcí a úprav zůstává systematický defekt neodstraněn. Opakování poruchy je velmi pravděpodobné.

Z různých důvodů není defekt odstraněn. Opakování stejných poruch je velmi pravděpodobné.

ANO

Budou provedena nápravná opatření?

NE

PROVEDENÍ ÚPRAV A REKONSTRUKCÍ

VÝMĚNA PORUŠENÉHO PRVKU ZA NOVÝ - STEJNÝ, BEZ ZÁSAHU DO KONSTRUKCE

Důsledek pro spolehlivost: dojde k redukci intenzity poruch.

Důsledek pro spolehlivost: nedojde k redukci intenzity poruch

Výsledný efekt: MÁ VLIV na růst úrovně spolehlivosti

Výsledný efekt: NEMÁ VLIV na růst úrovně spolehlivosti

Obr. 11.6 Algoritmus třídění poruch použitý v modelu Duan.

198 11.5.2 Metoda - AMSAA Je to další vhodná a často používaná metoda pro ověřování vývoje ukazatelů spolehlivosti. Její název je odvozen od původce svého vzniku: US Army Materiel Systems Analysis Activity. Také tato metoda je často citovaná ve standardech jako vhodná a akceptovatelná metoda monitorování vývoje ukazatelů spolehlivosti složitých systémů v etapě jejich vývoje, modernizace, rekonstrukce a pod. Charakteristika metody. Metoda AMSAA představuje jednu s velmi používaných metod modelování vývoje ukazatelů spolehlivosti objektů. Používá se především v etapě jejich prototypového vývoje k demonstraci a kontrole důsledků změn v úrovni spolehlivosti po provedených konstrukčních, technologických a pod. změnách ke kterým vždy v průběhu vývoje dochází. Metoda může být použita též i v jiných souvislostech, např. k demonstraci změn ukazatelů spolehlivosti v etapě záběhu nového výrobku, po rekonstrukčních změnách, po provedených modernizačních programech a pod. Metoda je postavena na jistých předpokladech a teoretickém modelu, popisujícím stochastické vlastnosti technických objektů a hodí se pro velmi různorodé technické systémy. Je aplikovatelná u systémů, jejichž provoz probíhá ve spojitém a delší dobu trvajícím provozu, měřitelném v odpovídajících jednotkách doby provozu, např. v hodinách, proběhu v km, počtu cyklů a pod. Metoda dává objektivní informace o změnách úrovně spolehlivosti objektu v průběhu jeho vývojových zkoušek, která je výsledkem konstrukčních a technologických změn případně oprav (úprav) u jedné verze objektu, zkoušeného v přesně vymezené době / etapě zkoušek. Není určena k dodatečnému stanovení úrovně ukazatelů spolehlivosti u prototypu po dodatečně provedených konstrukčních, technologických či koncepčních změnách u objektu obvykle až po ukončení jeho vývojové etapy. Teoretický model pro metodu AMSAA. • • •

•

Model je vybudován na těchto zásadách: Zkouška spolehlivosti probíhá u prototypu(-ů) v několika po sobě jdoucích vývojových a zkušebních etapách (fázích) Ei , viz. Obr. 11.7. Pro každou etapu je typické, že se v jejím průběhu shromažďují informace o poruchách a že tyto informace slouží následně k vyhodnocení úrovně zvolených ukazatelů spolehlivosti. V průběhu každé jednotlivé etapy se provádí dva druhy opravářských zásahů: ⇒ běžné opravy poruch v okamžicích vzniku běžných poruch ti , které jsou bez vlivu na změnu výsledné úrovně spolehlivosti; ⇒ opravy/úpravy/změny s významem modifikací konstrukční nebo technologické povahy v okamžicích Tzi takové, že jejich důsledky mají vliv na změnu (zlepšení / zhoršení) úrovně spolehlivosti. V intervalu mezi okamžiky Tzi závažných změn konstrukce a technologie se všeobecně předpokládá, že intenzita poruch v důsledku jejich náhodné povahy je konstantní, tj. že proces poruchovosti má Poissonovský charakter. Nechť tedy λi značí konstantní intenzitu poruch mezi modifikacemi, během i-té etapy zkoušky [Tzi-1, Tzi] viz Obr. 11.7.

199 •

Na základě předpokladu o konstantní intenzitě poruch v časovém období mezi modifikacemi má počet poruch Ni během i-té etapy doby zkoušky Poissonovo rozdělení se střední hodnotou (11.64)

Θ( t ) = λ i ⋅ t = λ i ⋅ (Tzi − Tz ( i −1) ) Takže bude: P[N i = n ] =

1 n .[λ i (Tzi − Tzi −1 )] . exp[− λ i .(Tzi − Tzi −1 )] , kde n = 0,1,2,... n!

(11.65)

Z předpokladu o konstantní intenzitě poruch během (Tzi – Tz(i –1)) vyplývá, že pro tento interval mezi postupnými poruchami platí předpoklad o exponenciálním typu rozdělení ve známém tvaru: F( t ) = 1 − exp[− λ i t ] ,

(11.66)

kde t > 0

Během vývoje a zkušebních programů se zkouší obvykle více než jeden výrobek (prototyp). Jestliže mají výrobky stejnou základní konfiguraci a liší se pouze o provedené modifikace, potom za předpokladu o konstantní intenzitě poruch doba zkoušky Ti může být uvažována jako kumulativní doba zkoušky všech zkoušených prototypů a také počet pozorovaných poruch mezi jednotlivými modifikacemi může být uvažován jako kumulativní počet poruch, pozorovaný u všech prototypů. Takže na kumulativní časové ose se uvažuje kumulativní počet poruch.

λ

ETAPA 1

ETAPA 2

ETAPA 3

λ1 λ2

λ3 λi

λn

PORUCHY

×

T Z1

ti ti × × × × × × ×× T Z2 T Zi

ti × ×

×

× T Zn

t

M O D IF IK A C E

Obr. 11.7 Obvyklé vývojové etapy projektu. Jestliže předpokládáme, že intenzita poruch je během intervalu zkoušek konstantní, potom jde o homogenní Poissonův proces s funkcí středního počtu poruch: Θ( t ) = E[N ( t )] = λ ⋅ t

(11.67)

Jestliže se ale počet poruch v jednotlivých zkušebních intervalech Ti s časem mění, potom jde o nehomogenní Poissonův proces s funkcí středního počtu poruch Weibullovského typu: Θ( t ) = E[N ( t )] = λ ⋅ t β

(11.68)

200 Hodnota okamžité intenzity poruch h(t) je proměnná a vyjadřuje v každém okamžiku doby zkoušky t změnu počtu poruch za jednotku času. Takže: h( t ) =

d E[N ( t )] = λ ⋅ β ⋅ t β −1 dt

(11.69)

Okamžitá hodnota MTBF dána funkcí m(t), je inversní funkcí k rovnici (11.69), takže bude:

[

m( t ) = λ ⋅ β ⋅ t β−1

]

−1

(11.70)

Tedy metoda růstu spolehlivosti AMSAA předpokládá, že proud poruch systému během fáze vývojových zkoušek je nehomogenním Poissovým procesem s Weibulovskou intenzitou ve tvaru rovnice (11.69), kde λ > 0, β > 0. Tento předpoklad odpovídá praktické zkušenosti, že každá provedená modifikace objektu změní následně hodnotu intenzity poruch (zvětší / zmenší). Proto je nutné předpokládat, že reálný proces je nehomogenní, což vyjadřuje právě Weibullovská intenzita poruch. Pro β=1 je h(t) = λt a jde o homogenní proces. Jestliže β < 1, h(t) se zmenšuje a dochází k růstu úrovně bezporuchovosti, pro β > 1 se h(t) zvětšuje a dochází k poklesu úrovně bezporuchovosti. Model metody AMSAA. Model metody je vybudován na těchto základních vztazích: Kumulativní počet poruch. Celkový počet poruch N(t), vzniklých u všech zkoušených objektů za celkovou kumulativní dobu zkoušky je dán Poissonovým rozdělením. Pravděpodobnost toho, že právě n poruch nastane od zahájení zkoušky do libovolného okamžiku jejího trvání t je dána vztahem: P[N ( t ) = n ] =

1 [Θ( t )]n . exp[− Θ( t )] n!

(11.71)

kde Θ( t ) je funkce středního počtu poruch, vyjádřená jako funkce kumulativní zkušební doby. Počet poruch ve sledovaném intervalu. Za předpokladu nehomogenního procesu a dále, že v libovolném okamžiku doby zkoušky může vzniknout pouze jedna nezávislá porucha bude střední počet poruch, které nastanou v libovolném intervalu (Ti ; Ti+1) lze v souladu s rovnicí (11.68) vyjádřit vztahem: Θ(Ti +1 ) − Θ(Ti ) = λ ⋅ (Tiβ+1 − Tiβ )

(11.72)

Funkce intenzity poruch. Pro nehomogenní Poissonův proces bude funkce intenzity růstu úrovně spolehlivosti dána vztahem: h( t ) = λ ⋅ β ⋅ t β−1

(11.73)

201 Parametr λ se nazývá parametr měřítka, protože závisí na jednotkách doby provozu (doby trvání zkoušky), obecně označovaném symbolem t (resp. T). Parametr β je velmi důležitý, protože charakterizuje tvar grafu funkce intenzity poruch. Jestliže je β = 1 je intenzita poruch konstantní. V tomto případě se úroveň ukazatelů spolehlivosti s dobou t nemění, takže doba mezi poruchami je nezávislá a řídí se exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 1/λ. Jestliže parametr β není roven 1, doba mezi poruchami není s dobou t konstantní a nemá proto exponenciální rozdělení. V procesu vývoje objektu, během kterého se úroveň spolehlivosti zvyšuje je parametr β < 1. V tomto případě se počet poruch v uvažovaném intervalu stejné délky snižuje s dobou trvání zkoušky. Pro případ β > 1 je tomu opačně, dochází ke snižování (degradaci) úrovně spolehlivosti. Pro samotný proces vývoje a jeho řízení to znamená, že i nevhodné zásahy do konstrukce mohou způsobit degradaci úrovně spolehlivosti, což se projeví hodnotou β > 1 po vyhodnocení výsledků vývojové zkoušky. Střední doba mezi poruchami – MTBF. Okamžitá hodnota intenzity poruch je dána rovnicí (11.69), okamžitá hodnota MTBF potom rovnicí (11.70). Takže v okamžiku t0 je intenzita poruch h ( t 0 ) = λ ⋅ β ⋅ t β0 −1 . V praxi se všeobecně předpokládá, že jestliže po době t0 nejsou u systému provedeny žádné významné konstrukční nebo technologické změny (žádné modifikace), potom náhodné poruchy vznikají dále se stejnou intenzitou h(t0). Potom se vznik poruch po

[

okamžiku t0 řídí exponenciálním zákonem se střední hodnotou m( t 0 ) = λ ⋅ β ⋅ t β0 −1

]

−1

.

Budou-li provedeny modifikace, potom se m(t) mění s dobou t a funkce m(t) podle rovnice (11.70) se interpretuje jako okamžitá hodnota MTBF systému v okamžiku doby zkoušky t a vyjadřuje (popisuje) růst úrovně bezporuchovosti systému podle popsaného modelu. Grafický postup odhadu růstu spolehlivosti. Z praktických důvodů je dále popsán pouze grafický postup odhadu změny úrovně ukazatelů spolehlivosti objektu protože je relativně snadný, rychlý, názorný a dostatečně věrohodný. Grafické metody mohou být použity k rychlému a hrubému odhadu parametrů spolehlivosti které jsou předmětem zájmu v rámci kontroly vývoje procesu zvyšování spolehlivosti objektů. Popsány budou dva typy grafů. První typ grafu vypovídá hlavně o tom, že růst úrovně spolehlivosti vyhodnocený ze souboru shromážděných dat je zřejmý a průkazný. Druhý typ grafů jde ve vývodech dále, protože poskytuje navíc hrubý odhad obou parametrů (λ, β) ve vztahu pro okamžitou intenzitu poruch, resp vztahu pro MTBF. Analytické postupy jsou zaměřeny na bodové a intervalové odhady parametrů spolehlivosti pomocí výpočtů. Jsou doplněny též o testy odlehlosti veličin a testy shody. Využívají vlastností stochastických veličin a statistických zákonů rozdělení veličin, které charakterizují vývoj ukazatelů. Podrobnosti je možné najít v odborné literatuře a standardech. Graf střední intenzity poruch. Konstrukce grafu střední intenzity poruch (viz. Obr. 11.8) vyplývající z průběhu zkoušky (shromážděných dat) poskytuje základní představu o funkci intenzity poruch podle vztahu (11.73). Zkonstruovat takový graf znamená mít k dispozici údaje z celkové zkušební doby, avšak rozdělené alespoň do tří samostatných vzájemně se nepřekrývajících

202 intervalů, oddělených zásadními modifikacemi. Tyto intervaly mohou být nestejné délky. Potom může následovat výpočet intenzity poruch, příslušné každému intervalu, jako podíl četnosti výskytu poruch v jednotlivých intervalech a to tak, že podělíme počet poruch v intervalu jeho velikostí (délkou). Potom můžeme tuto intenzitu poruch vynést jako vodorovnou úsečku nad příslušným intervalem doby provozu (viz Obr. 11.8). Každá významná tendence ve vývoji tohoto ukazatele (zvýšení / snížení) je z grafu zřejmá. λ1

λ

λ2 λ3

λ4

λ5 t

T=0 ETAPA 1

TZ1

TZ1 ETAPA 2

TZ1

TZ1 ETAPA 3

Obr. 11.8 Aproximace průběhu intenzity poruch během etapy vývoje.

Graf kumulativního počtu poruch. Graf očekávaného kumulativního počtu poruch vynesený jako funkce kumulativní doby zkoušky v grafu s log-log souřadnicemi poskytuje hrubé odhady parametrů (λ,β), které se vyskytují v rovnicích (11.69) a (11.70). Vyjdeme z rovnice (11.68), provedeme její logaritmování a obdržíme vztah: log Θ( t ) = log λ + β ⋅ log t

(11.74)

Je zřejmé, že tato rovnice představuje rovnicí přímky (pro střední hodnoty Θ(t)) v souřadnicích log Θ(t) – log t. Parametry této přímky jsou hledané parametry, vyskytující se v rovnicích (11.69) a (11.70). Pořadnice grafu na svislé ose pro hodnotu t = 1, (log t = 0) je odhadem hledaného parametru λ, směrnice přímkové závislosti je odhadem hledaného parametru β. Tato směrnice se určí z rovnice: β=

grafu.

log Θ( t ) − log λ log t

(11.75)

Příslušné hodnoty log Θ(t) a log t se odečtou ze dvou libovolně zvolených bodů

Příklad aplikace metody. K demonstraci popsaného grafického postupu odhadu růstu ukazatelů spolehlivosti poslouží následující soubor dat, získaných ze souběžné zkoušky dvou prototypů mechanických systémů shodné konstrukční konfigurace. V průběhu zkoušek se průběžně prováděly opravy poruch a v některých případech konstrukční nebo technologické úpravy,

203 které ale nezměnily v zásadě konstrukční konfiguraci. První systém byl zkoušen celkem 132.4 hodin, druhý celkem 167.6 hodin. Naměřené údaje jsou uvedeny Tab. 11.3. Tab. 11.3 Před údajů ze zkoušky Poř.č. poruchy

Doba provozu [h]

Kumulativní Poř.č. Doba provozu [h] doba provozu poruchy [h] Objekt #2 Objekt #1 Objekt #2

Objekt #1

Kumulativní doba provozu [h]

1

2,6*

0,0

2,6

16

61,9*

39,1

101,1

2

16,2*

0,0

16,2

17

76,6*

55,4

132,0

3

16,8*

0,0

16,8

18

81,1

61,1*

142,2

4

17,0*

0,0

17,0

19

84,1*

63,6

147,7

5

20,5

0,9*

21,4

20

84,7*

64,3

149,0

6

25,3

3,8*

29,1

21

94,6*

72,6

167,2

7

28,7

4,6*

33,3

22

104,8

85,9*

190,7

8

41,8*

14,7

56,5

23

105,9

87,1*

193,0

9

45,5*

17,6

63,1

24

108,8*

89,9

198,7

10

48,6

22,0*

70,6

25

132,4

119,5*

251,9

11

49,6

23,4*

73,0

26

132,4

150,1*

282,5

12

51,4*

26,3

77,7

27

132,4

153,7*

286,1

13

58,2*

35,7

93,9

Konec

132,4

167,6

300,0

14

59,0

36,5*

95,5

15

60,5

37,6*

98,1

Údaje s hvězdičkou označují objekt u kterého došlo k poruše, u druhého systému pak je uvedena okamžitá doba jeho provozu v daném okamžiku. Časová osa je rozdělena do intervalů po 50-ti hodinách provozu. Počet poruch v každém intervalu je podělen délkou intervalu, a tento údaj je odhadem střední intenzity poruch. Údaje jsou přehledně zobrazeny v Obr. 11.9.

λ

0.20

0.15

0.10

0.05

t

0.0 0

50

100

150

200

250

300

Kumulativní doba zkoušky

Obr. 11.9 Odhad průběhu (vývoje) intenzity poruch.

204 V tomto konkrétním případě je zřejmé, že funkce intenzity poruch má klesající tendenci. Graf kumulativního počtu poruch a odhad parametrů růstu úrovně spolehlivosti je možné graficky provést způsobem naznačeným v Obr. 11.10.

Obr. 11.10 Odhad parametrů růstu úrovně spolehlivosti Lineární aproximace, vycházející z rovnice (11.74), umožňuje provést odhad parametrů λ a β. V konkrétním případě (pro log t = 1) bude odhad λ = 0,49. Odhad druhého parametru β se vypočte z rovnice (11.75) dosazením hodnot, odečtených z obrázku, pro řešený případ obdržíme: (14 − 1) log 0,49 β= = 0,73 log(100 − 2,9) Popsaný postup umožňuje kvantifikovat pomocí konkrétních ukazatelů (parametrů) trendy ve vývoji ukazatelů spolehlivosti. Například odhad hodnoty intenzity poruch po 300 hodinách trvání zkoušky bude podle (11.66): h(t = 300) = (0,49) ⋅ (0,73) ⋅ (300) -0,27 = 0.077 Pokud by tedy dále nebyly prováděny žádné další modifikace prototypů, bude odhad střední doby mezi poruchami na konci zkoušky: MTBF = 1 / 0,077 = 13 hodin. Tyto odhady jsou vyhovující pro rychlou analýzu výsledků vývojové zkoušky prototypů. Avšak pro podrobnou analýzu je nutné provést statistickou analýzu výsledků zkoušky, pro kterou se používají precisnější stochastické nástroje. Jejichž součástí jsou vedle bodových odhadů parametrů také intervalové odhady na zvolené konfidenční úrovni, testy shody, odlehlosti hodnot, případně další velmi podrobné analýzy naměřených údajů. Popis těchto metod však již přesahuje rámec této publikace.

205 Kontrolní otázky k 11 kapitole: 1. Objasněte význam a cíl zkoušek spolehlivosti, uveďte základní rozdělení zkoušek. 2. Objasněte význam pojmu rozsah zkoušky a vysvětlete základní vazby mezi veličinami ovlivňujícími průběh zkoušky (s využitím regulačního diagramu zkoušky). 3. Objasněte co je to plán zkoušky spolehlivosti a uveďte základní typy zkušebních plánu. 4. Objasněte význam pojmu ekvivalentní doba zkoušky a naznačte způsob výpočtu pro základní typy zkušebních plánů. 5. Objasněte podstatu bodových a intervalových odhadů ukazatelů spolehlivosti a uveďte základní výpočtové vztahy. 6. Naznačte postup odhadu ukazatelů spolehlivosti s využitím logaritmického pravděpodobnostního papíru. 7. Vysvětlete podstatu odhadu ukazatelů spolehlivosti s využitím Nelsonovy metody, naznačte praktický postup určení ukazatelů. 8. Objasněte podstatu ověřovacích zkoušek spolehlivosti. Naznačte postupy praktického provádění (zkouška jedním výběrem, postupná zkouška). 9. Pojednejte o zvláštnostech zkoušek prototypů a objasněte cíle těchto zkoušek. 10. Vysvětlete základní principy Duanova modelu a naznačte možnosti jeho praktického využití při zkouškách prototypů. 11. Vysvětlete základní principy metody AMSAA a naznačte možnosti jejího praktického použití při zkouškách prototypů.

206

12 LETECKÉ PŘEDPISY A STANDARDY Otázkám bezpečnosti leteckého provozu je v jednotlivých zemích i na mezinárodní úrovni věnována značná pozornost, protože případné selhaní techniky nebo lidského faktoru v této oblasti může vést k velkým materiálním ztrátám i ohrožení životů a zdraví značného počtu lidí. Z tohoto důvodu jsou všechny činnosti související s leteckým provozem poměrně přísně regulovány a v podstatě každá země má pro tuto oblast vytvořen soubor zákonů, směrnic a standardů, které usměrňují všechny činnosti s touto oblastí související. Zvláštní místo v souborech těchto dokumentů mají předpisy stanovující technické požadavky na konstrukci letecké techniky a zejména požadavky na spolehlivost a bezpečnost letecké techniky. Tyto dokumenty mají zpravidla závazný charakter a každý výrobce, který chce leteckou techniku vyrábět, je musí akceptovat a jejich dodržení stanoveným způsobem prokazovat. Znalost příslušných dokumentů a požadavků, které jsou v nich specifikovány, je tedy nevyhnutným předpokladem pro úspěšnou realizaci předvýrobních etap u každého výrobků leteckého průmyslu. Dále jsou prezentovány základní informace o struktuře dokumentů souvisejících s problematikou zajišťování spolehlivosti a bezpečnosti letecké techniky a to jak na národní úrovni v rámci České republiky, tak i na mezinárodní úrovni. Stručně jsou zde také charakterizovány nejvýznamnější instituce a organizace (národní i mezinárodní), které se podílí na tvorbě a zavádění příslušných dokumentů pro oblast letectví a je zde naznačena i skladba těchto dokumentů, rozsah jejich působnosti i míra závaznosti. Názvy dokumentů, které nebyly oficiálně přeloženy do češtiny jsou zde zpravidla uváděny v originálním znění, protože případný autorský překlad by mohl být zavádějící a vhledem k účelu učebnice ani není nutný. 12.1 Předpisy a standardy pro civilní leteckou techniku v ČR 12.1.1 Zákon o civilním letectví Základním právním dokumentem, kterým je problematika civilního letectví řešena v České republice je Zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví (dále jen Zákon). Tento zákon upravuje ve věcech civilního letectví zejména: • podmínky stavby a provozování letadla; • letecké stavby; •

podmínky využívání vzdušného prostoru a poskytování leteckých služeb;

•

podmínky provozování leteckých činností;

•

ochranu letectví;

•

podmínky užívání sportovního létajícího zařízení;

•

výkon státní správy; Zákon se také vztahuje ve vymezeném rozsahu na vojenské letectví ve věcech leteckého personálu, vojenských letišť a leteckých staveb, užívání vzdušného prostoru, poskytování leteckých služeb a provozování leteckých činností. Z hlediska spolehlivosti a bezpečnosti letecké techniky jsou důležitá zejména ta ustanovení Zákona, která pojednávají o podmínkách stavby letadel, jejich částí a výrobků letecké techniky.

207 Zákon mimo jiné stanovuje že: • Státní správu ve věcech civilního letectví vykonává podle tohoto zákona a v rozsahu jím vymezeném a podle mezinárodních smluv, kterými je Česká republika vázána, Ministerstvo dopravy a spojů (MDS) a Úřad pro civilní letectví (dále jen Úřad). Státní správu ve věcech vojenského letectví vykonává podle tohoto zákona a v rozsahu jím vymezeném Ministerstvo obrany. • Ve vzdušném prostoru České republiky je zakázáno provozovat letadlo, které nemá platné osvědčení letové způsobilosti vydané Úřadem nebo pro které nebylo Úřadem uznáno osvědčení letové způsobilosti vydané jiným státem za platné. • O způsobilosti letadla k létání rozhoduje Úřad na základě žádosti výrobce, dovozce nebo jiné právnické nebo fyzické osoby, která prokáže právní zájem, jedná-li se o nově vyrobené letadlo, nebo provozovatele, jedná-li se o letadlo již provozované. O schválení letové způsobilosti vydá Úřad osvědčení letové způsobilosti. Podmínkou schválení letové způsobilosti Úřadem je shoda letadla se schváleným typem a ověření jeho letové způsobilosti. Podmínky letové způsobilosti jednotlivých druhů letadel z hlediska jejich konstrukce, technických parametrů a jejich využívání stanoví prováděcí předpis. • Typ letadla nebo jeho součástí schvaluje Úřad na základě žádosti výrobce, dovozce nebo jiné právnické nebo fyzické osoby, která prokáže právní zájem na schválení typu letadla nebo jeho součástí. Úřad pro účely schvalování typu letadla nebo jeho součástí stanoví po dohodě se žadatelem předpisy určené pro schvalování typu mezinárodní úmluvou, kterou je Česká republika vázána, na základě kterých budou typ letadla nebo jeho součásti schvalovány. • Úřad schválí typ letadla nebo jeho součástí na základě výsledků posouzení a ověření shody vlastností letadla nebo jeho součástí s požadavky stanovenými na bezpečnost letadla a jeho součástí a ekologii provozu letadla příslušnými předpisy. • Výrobce je povinen vyrábět letadla a jejich součásti podle typu schváleného Úřadem a prokázat shodnost letadla a jeho součástí se schváleným typem. Výrobce je povinen sledovat jím vyrobené letadlo nebo jeho součásti v provozu a na základě analýz poruch letadla nebo jeho součástí vydávat opatření pro udržení nebo obnovení letové způsobilosti letadla. • Výrobky letecké techniky určené prováděcím předpisem mohou být použity v civilním letectví, jen pokud byla Úřadem schválena nebo uznána jejich způsobilost k použití v civilním letectví. • Vývoj, projektování, výrobu, zkoušky, údržbu, opravy, modifikace a konstrukční změny letadel, jejich součástí a výrobků letecké techniky určených prováděcím předpisem může provádět pouze právnická osoba, která má k této činnosti oprávnění vydané Úřadem. Příslušné oprávnění Úřad udělí právnické osobě, která má technické vybavení k výrobě, opravě, zkoušení nebo údržbě letadel nebo jejich součástí nebo výrobků letecké techniky a která zajistí, aby výrobu, opravu, zkoušení nebo údržbu letadel nebo jejich součástí nebo výrobků letecké techniky prováděly odborně způsobilé fyzické osoby. Poznámka: Součástí letadla se v Zákoně rozumí letecké motory a letecké vrtule. Výrobkem letecké techniky se rozumí výrobek, s výjimkou součástí letadla, používaný v civilním letectví, který má vliv na bezpečnost a spolehlivost leteckého provozu.

208 Z výše uvedeného je zřejmé, že všechny činnosti spojené s vývojem výrobou a schvalováním letecké techniky jsou v ČR přísně regulovány a každý výrobce civilní letecké techniky se tomuto režimu musí podřídit. Na Zákon navazuje Vyhláška MDS ČR č. 108/1997 Sb., kterou se provádí zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví ve znění pozdějších předpisů (dále jen Vyhláška). V této Vyhlášce je uvedeno, že podrobnosti k provedení příslušných ustanovení Zákona obsahují předpisy, standardy a doporučení vydané na základě článku 37 Úmluvy o mezinárodním civilním letectví ve znění přijatém Českou republikou zastoupenou MDS. Z toho je zřejmé že Úřad při posuzování a schvalování způsobilosti letecké techniky vychází především z mezinárodních předpisů, doporučení a standardů. V příloze Vyhlášky je také uveden seznam výrobků letecké techniky, které mohou být použity v civilním letectví, jen pokud byla schválena nebo uznána jejich způsobilost. U všech těchto výrobků je tedy třeba zabezpečování spolehlivosti věnovat odpovídající pozornost a zajistit, aby splňovaly příslušné požadavky. 12.1.2 Úřad pro civilní letectví ČR Úřad pro civilní letectví byl zřízen ze Zákona, jako úřad pro výkon státní správy ve věcech civilního letectví. Je podřízen Ministerstvu dopravy a spojů (MDS). Základní činnosti úřadu jsou uvedeny v ustanovení § 89 Zákona, podle kterého Úřad: • vede evidenci letadel v leteckém rejstříku, přiděluje letadlu rejstříkovou značku a vydává osvědčení o zápisu letadla; • rozhoduje o schválení typu letadla a jeho součástí a posuzuje a ověřuje shodu vlastností letadla a jeho součástí; • rozhoduje o letové způsobilosti a vydává osvědčení letové způsobilosti a ověřuje letovou způsobilost; • rozhoduje o schválení letové způsobilosti individuálně vyrobeného letadla a jeho součástí a vydává osvědčení letové způsobilosti; • provádí kontroly letové způsobilosti; • zadržuje osvědčení letové způsobilosti do doby odstranění závady v letové způsobilosti; • rozhoduje o letové nezpůsobilosti letadla a odnímá osvědčení letové způsobilosti a uznává za platné osvědčení letové způsobilosti vydané jiným státem; • uděluje souhlas ke zkušebnímu létání; • pověřuje posuzováním a ověřováním shody vlastností letadla a jeho součástí, posuzováním a ověřováním letové způsobilost nebo kontrolou letové způsobilosti právnickou nebo fyzickou osobu a pozastavuje nebo odnímá toto pověření; • schvaluje nebo uznává způsobilost výrobků letecké techniky k jejich použití v civilním letectví; • vydává oprávnění k provádění vývoje, projektování, výroby, zkoušek, údržby, oprav, modifikací a konstrukčních změn letadel, jejich součástí a výrobků letecké techniky; • vede evidenci leteckého personálu; • vydává průkaz způsobilosti leteckého personálu a uznává platnost průkazu způsobilosti leteckého personálu vydaného jiným státem, zadržuje nebo odnímá průkaz způsobilosti leteckého personálu, nařizuje a provádí ověřování jeho odborné i letové způsobilosti, ověření odborné způsobilosti nebo přezkoumání zdravotní

209

• • • •

• • • • • • • • •

způsobilosti člena leteckého personálu a omezuje nebo zakazuje činnost, k níž je člen leteckého personálu oprávněn; rozhoduje o stanovení druhu letiště a o jeho změně; vydává povolení k provozování letiště, odnímá vydané povolení a rozhoduje o dočasném přerušení provozování letiště nebo jeho částí; je speciálním stavebním úřadem pro letecké stavby; uděluje souhlas ke zřizování zařízení a k provádění činností v ochranném pásmu letišť a leteckých staveb a mimo ochranné pásmo k umístění staveb a zařízení přesahujících stanovenou výšku, nebo které mohou mít rušivý účinek na stanovená letecká zařízení; v dohodě s Ministerstvem obrany omezuje nebo zakazuje užívání vzdušného prostoru k létání, nepřesáhne-li doba omezení nebo zákazu tři měsíce; vydává povolení k létání letadla bez pilota; provádí odborné zjišťování příčin letecké nehody; vydává osvědčení leteckého dopravce; vydává povolení k provozování dopravy aerotaxi, leteckých prací a leteckých činností pro vlastní potřebu; uděluje souhlas k provozování leteckých veřejných vystoupení a leteckých soutěží; pověřuje právnickou nebo fyzickou osobu ověřováním letové způsobilosti sportovních létajících zařízení, způsobilosti jejich uživatelů, včetně evidencí a vydávání příslušných dokladů; schvaluje program ochrany civilního letectví před protiprávními činy a jeho změny; vydává v situacích, které mají bezprostřední vliv na bezpečnost civilního letectví, příkazy k zachování bezpečnosti civilního letectví;

Úřad při posuzování a schvalování způsobilosti letecké techniky vychází především z následujících mezinárodních smluv a právních dokumentů: • Zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví a o změně a doplnění zákona č. 455/1991 Sb., o živnostenském podnikání, ve znění pozdějších předpisů • Vyhláška MDS ČR č. 108/1997 Sb., kterou se provádí zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví ve znění pozdějších předpisů • Úmluva o mezinárodním civilním letectví, Chicago, 7.12.1944 (č. 147/1947 Sb), ve znění pozdějších předpisů. • Standardy a doporučení Mezinárodní organizace pro civilní letectví (ICAO), vydané na základě čl. 37 Úmluvy o mezinárodním civilním letectví ve znění přijatém Českou republikou zastoupenou Ministerstvem dopravy a spojů jako závazný právní předpis. • Společné letecké předpisy (JAR) vydané Sdruženými leteckými úřady (JAA) podle předpisů Evropských společenství ve znění přijatém Českou republikou zastoupenou Ministerstvem dopravy a spojů jako závazný právní předpis. • Standardy a doporučení Evropské organizace pro bezpečnost leteckého provozu (EUROCONTROL), ve znění přijatém Českou republikou zastoupenou Ministerstvem dopravy a spojů jako závazný právní předpis.

210 Z tohoto přehledu je zřejmé, že Úřad je při posuzování a schvalování způsobilosti letecké techniky nucen respektovat mezinárodní závazky ČR a důsledně vycházet z příslušných mezinárodních předpisů, které věnují otázkám spolehlivosti a bezpečnosti letecké techniky značnou pozornost. V přehledu jsou zmiňovány některé mezinárodní instituce a jejich dokumenty. Místo a úloha těchto organizací, stejně jako struktura a přehled jimi vydaných předpisů je podrobněji popsána v kapitole 12.2. Úřad pro potřeby zajištění bezpečnosti leteckého provozu podle aktuálních potřeb připravuje a vydává další dokumenty, které usměrňují civilní letectví. Z hlediska výrobců letecké techniky jsou důležité zejména: • Příkazy k zachování letové způsobilosti (AD). Tyto dokumenty nařizují provozovatelům letadel odstranění nebezpečných nebo nežádoucích vlastností výrobku a vymezující podmínky, za nichž je možno pokračovat v provozu při zachování úrovně bezpečnosti stanovené tímto předpisem. Úřad vydává tyto příkazy na výrobky českého leteckého průmyslu, které podléhají státnímu odbornému dozoru v civilním letectví a dále na výrobky leteckého průmyslu zahraniční výroby, jejichž typová certifikace byla Úřadem uznána, na základě zjištění, že se výrobek nachází ve stavu „nebezpečný pro provoz“ a je pravděpodobné, že tento stav existuje nebo může vzniknout i na jiných výrobcích stejného typu. Za základ vydání příkazu může také sloužit příkaz k zachování letové způsobilosti leteckého úřadu jiné země. • Směrnice. Stanovují postupy provádění různých administrativních úkonů a specifikují požadavky na provádění některých činností pří výrobě a zkoušení letecké techniky a pod. . • Poradní oběžníky. Upřesňují činnosti související s některými ustanovením leteckých předpisů. . Dalšími důležitými dokumenty, které jsou pro potřeby civilního letectví vydávány, jsou Letecké oběžníky (AIC) vydávané Leteckou informační službou, která je součástí státního podniku Řízení letového provozu ČR. Tyto oběžníky zveřejňují aktuální informace o změnách předpisů, vydaných příkazech k zachování letové způsobilosti, směrnicích Úřadu, typových osvědčeních apod. Průběžné sledování oběžníků zajišťuje znalost aktuálního stavu v oblasti předpisů a směrnic týkajících se způsobilosti letecké techniky v ČR. 12.1.3 Předpisová základna pro schvalování způsobilosti civilní letecké techniky Z hlediska schvalování způsobilosti výrobků letecké techniky má zásadní význam soubor civilních leteckých předpisů ČR řady L vydaných MDS na základě čl. 37 Úmluvy o mezinárodním civilním letectví. Část těchto předpisů je totiž přímo věnována problematice schvalování způsobilosti výrobků letecké techniky počínaje vlastními letadly, přes jejich součásti a soustavy až po prostředky pozemního zabezpečení. Zvláštní místo zde má letecký předpis L 8/A – Letová způsobilost letadel, který stanovuje národní požadavky, které se používají pro osvědčování, schvalování nebo uznávání způsobilosti letadel, motorů, vrtulí a ostatních výrobků letadlové techniky, které podléhají státnímu odbornému dozoru v civilním letectví ČR. Předpis také vymezuje procedurální procesy pro plnění těchto požadavků. Tento předpis však má pouze rámcový charakter a neuvádí konkrétní požadavky na provedení konstrukce jednotlivých typů letadel, ale odvolává se na další předpisy a související dokumenty, které označuje jako „předpisovou základnu“. Přitom je zde

211 stanoveno, že předpisovou základnu, podle které bude schvalování způsobilosti provedeno navrhuje žadatel a předkládá ji ke schválení ÚCL. Podle Přílohy č.1 leteckého předpisu L 8/A navrhuje žadatel předpisovou základnu s využitím použitelných požadavků předpisů letové způsobilosti a předpisů pro ochranu životního prostředí z níže uvedených řad předpisů a s nimi souvisejících dokumentů: Řadami předpisů se rozumí: a) Společné letecké předpisy JAR vydané Sdruženými leteckými úřady (JAA). b) Civilní letecké předpisy České republiky řady L. c) V odůvodněných případech lze po schválení ÚCL použít další předpisy, v zásadě předpisy FAR. Souvisejícími dokumenty se rozumí: a) Technická příručka letové způsobilosti ICAO – Doc 9051 AN 896 b) Jednotné technické normalizační příkazy (JTSO) pro výrobky letadlové techniky vydané JAA c) Technické normalizační příkazy (TSO) pro výrobky letadlové techniky vydané FAA d) Normy minimální provozní výkonnosti vydané jako dokumenty Americké radiotechnické komise (RTCA) e) Normy minimální provozní výkonnosti vydané Evropskou organizací pro přístroje civilního letectví (EUROCAE) f) Poradní oběžníky (ACJ) vydané JAA g) Normy ČSN h) Normy Mezinárodní normalizační organizace (ISO) i) Evropské normy (EN) j) Normy branných sil Spojených států amerických (MIL) k) Oborové normy letecké (ONL) l) Letecké normy a příručky vydané Společností automobilních inženýrů Spojených států amerických (SEA) m) Normy Americké společnosti pro zkoušení a materiály (ASTM) n) Normy společnosti ARINC Z výše uvedeného přehledu je zřejmé, že se převážně jedná o předpisy a dokumenty různých mezinárodních organizací a institucí. Nejvýznamnější z těchto mezinárodních předpisů a dokumentů jsou podrobněji prezentovány dále.

12.2 Mezinárodní předpisy a standardy pro civilní leteckou techniku V této kapitole jsou prezentovány nejvýznamnější mezinárodní instituce a organizace, které se zabývají problematikou letectví a jejichž předpisy a standardy jsou využívány v předpisové základně pro schvalování způsobilosti letecké techniky v rámci ČR (viz kapitola 12.1.3). 12.2.1 ICAO - Mezinárodní organizace pro civilní letectví Mezinárodní organizace pro civilní letectví (International Civil Aviation Organization - ICAO) je specializovanou agenturou Organizace spojených národů (OSN) jejíž cílem je vývoj a prosazování obecných pravidel a předpisů pro bezpečnou, pravidelnou, dobře fungující a ekonomickou mezinárodní leteckou dopravu.

212 Jedná se o největší mezinárodní organizaci v oblasti letectví, jejímiž členy je v součastné době 185 zemí světa. Členské země mají za povinnost transformovat všechna pravidla a předpisy, které byly schváleny Shromážděním této organizace, do národní legislativy. ČR je členem této organizace. Úmluvy této organizace vytváří základní rámec pro organizaci a řízení civilního letectví ve všech členských zemích. Nejvýznamnější z těchto dokumentů je Úmluva o mezinárodním civilním letectví a její přílohy, které vytváří soubor předpisů pokrývající civilní letectví v celé jeho šíři a tvořící jádro předpisové základny každé členské země. Například v podmínkách ČR byl na základě těchto příloh vytvořen a zaveden soubor civilních leteckých předpisů řady L. Mimo tyto základní dokumenty ICAO vypracovala a zavedla celou řadu dalších dokumentů, které upravují jednotlivé oblasti civilního letectví. 12.2.2 ECAC – Evropská konference civilního letectví Evropská konference civilního letectví (European Civil Aviation Conference ECAC) je mezivládní organizací, která byla založena s cílem podporovat kontinuální vývoj bezpečného, dobře fungujícího a udržitelného systému letecké dopravy v Evropě, který by respektoval požadavky na ochranu životního prostředí. K dosažení tohoto cíle ECAC usiluje o: • vzájemné slaďování postupů a praxe mezi jeho členy; • porozumění mezi jeho členskými zeměmi a dalšími částmi světa ve věci postupů v letectví. ECAC byla založena s podporou ICAO a Rady Evropy (Council of Europe) v roce 1955 a v současné době sdružuje 37 členských zemí. Aktivity této organizace mají pouze konsultativní povahu a její rozhodnutí nemají vůči členským zemím závazný charakter. ČR je členem této organizace. Zvláštní vztahy udržuje ECAC s organizací EUROCONTROL a Sdruženými leteckými úřady (JAA), které jsou jejími přidruženými organizacemi. Cestou těchto organizaci jsou potom vydávány příslušné předpisy a doporučení (podrobnosti viz dále). 12.2.3 JAA – Sdružené letecké úřady Sdružené letecké úřady (Joint Aviation Authorities – JAA) byly založeny v roce 1990 jako přidružená organizace ECAC, která reprezentuje civilní letecké úřady členských zemí. Tyto letecké úřady se v rámci JAA zavázaly spolupracovat při vývoji a zavádění společných bezpečnostních předpisů a postupů s cílem: • zajistit cestou spolupráce na předpisech společnou vysokou úroveň letecké bezpečnosti v rámci členských zemí; • vytvořit nákladově efektivní systém bezpečnosti, • přispět jednotným používáním společných standardů k spravedlivé a rovnoprávné konkurenci v rámci členských zemí; • podporovat cestou mezinárodní spolupráce standardy a systém JAA a dosáhnout tak zlepšení bezpečnosti letectví na celém světě. K dosažení výše uvedených cílu JAA zajišťuje: • vývoj a přijímání Společných leteckých předpisů (Joint Aviation Requirements – JAR) v oblasti konstrukce a výroby letadel, provozu a údržby letadel a licencování leteckého personálu;

213 • •

vývoj administrativních a technických postupů k zavádění JAR; zavádění JAR a souvisejících administrativních a technických postupů koordinovaným a jednotným způsobem; • přijímání opatření zajišťujících, když je to možné, že sledování bezpečnostních cílů JAA nerozumně neovlivní konkurenci v leteckém průmyslu mezi členskými zemněni JAA, nebo nedostane společnosti členských zemí JAA do konkurenční nevýhody oproti společnostem z nečlenských zemí; • poskytování služeb hlavního evropského centra profesionálních analýz ve vztahu k harmonizaci leteckých bezpečnostních předpisů; • zavádění postupů pro společnou certifikaci produktů a služeb a tam kde je to považováno za vhodné provádění společné certifikace; • spolupráci při harmonizaci požadavků a postupů s jinými leteckými úřady, zvláště s Federálním úřadem civilního letectví USA (Federal Aviation Administration FAA); • spolupráci, pokud je to vhodné, se zahraničními leteckými úřady, zvláště FAA, při certifikaci výrobků a služeb. Členství v JAA má dva stupně • Kandidátem členství se národní úřad pro civilní letectví stane na základě schválené žádosti a podpisu příslušné dohody. Kandidát nemá hlasovací právo. • Plným členem se příslušný úřad může stát na základě doporučení inspekčního týmu JAA, který ověří schopnost a připravenost úřadu zajišťovat vysokou úroveň bezpečnosti letectví v souladu s předpisy a doporučeními JAA. Česká republika je plným členem. Základní formou předpisů a doporučení vydávaných JAA jsou Společné letecké předpisy JAR, které jsou v rámci Evropského společenství (European Community – EC) uznávány jako harmonizované technické standardy, jež jsou v členských zemích EC právně závazné. V zemích mimo EC jsou zpravidla soubory těchto norem zaváděny jako součást národní předpisové základny. Dalším významným typem dokumentu, který JAA vydává jsou tak zvané Jednotné technické normalizační příkazy pro výrobky letecké techniky (Joint Technical Standard Order – JTSO). Tyto dokumenty stanovují minimální akceptovatelné standardy pro jednotlivé prvky, části, materiály apod. užívané na civilních letadlech. Mají závazný charakter a poskytují výrobcům základní informace o požadavcích na provedení jednotlivých částí letounu. Každý výrobce může požádat o certifikaci svého výrobku letecké techniky u JAA podle předpisů vydaných touto organizací. Vydání příslušného certifikátu je potom uznáváno ve všech členských zemích JAA i v řadě dalších zemí. 12.2.4 EUROCONTROL - Evropská organizace pro bezpečnost leteckého provozu Evropská organizace pro bezpečnost leteckého provozu (European Organisation for the Safety of Air Navigation – EUROCONTROL) je přidružená organizace ECAC, jejímž nejdůležitějším cílem je vývoj provázaného a koordinovaného systému řízení letecké dopravy v Evropě. Ke splnění tohoto cíle organizace plní následující úkoly: • usiluje jménem členských zemí ECAC o zavedení Evropského programu řízení letecké dopravy (European Air Traffic Management Programme - EATMP) a souboru souvisejících koncepcí a strategií;

214 • •

řídí vývoj a zavádění strategie řízení leteckého provozu; provozuje Stanoviště centrálního řízení toku (Central Flow Management Unit) tak, aby byl optimálně využit evropský vzdušný prostor a zabránilo se zahlcení letecké dopravy; • zavádí krátkodobá a střednědobá opatření ke zlepšení koordinovanosti systémů řízení letecké dopravy v Evropě; • provádí výzkumné a vývojové práce zaměřené na zvýšení kapacity řízení leteckého provozu v Evropě. Kromě toho tato organizace dále usiluje o: • rozšíření dostupného vzdušného prostoru tak, aby vyhověl požadavkům a optimálně využil dostupnou kapacitu v rámci jednotného EATMP; • účinný podíl na tvorbě a zavádění globálního satelitního navigačního systému; • rozšíření spolupráce s dalšími evropskými institucemi; • vývoj harmonizovaných bezpečnostních cílů a požadavku pro systém řízení leteckého provozu; • posílení spolupráce mezi civilními a vojenskými autoritami. Ke splnění výše uvedených cílů organizace vydává předpisy a doporučení. Předmětem těchto publikací jsou zejména otázky organizace a řízení letového provozu. Požadavky na konstrukci letecké techniky z hlediska řízení letového provozu zde zpravidla nejsou uváděny a jsou prosazovány cestou JAA. 12.2.5 FAA – Federální úřad civilního letectví USA Federální úřad civilního letectví (Federal Aviation Administration – FAA) je národním leteckým úřadem USA a v souladu s tímto postavením disponuje obvyklými pravomocemi a plní běžné funkce úřadu státního dozoru nad civilním letectvím. Výjimečnost této instituce spočívá ve skutečnosti, že celá řada zemí akceptovala předpisy a požadavky tohoto úřadu jako své národní předpisy, nebo akceptuje prokazování způsobilosti letecké techniky podle těchto předpisů. Tato možnost existuje i v ČR (viz kapitola 12.1.3). Dokonce i JAA při přípravě jednotlivých JAR často vycházely z předpisů FAA a snaží se s touto organizací svoje předpisy harmonizovat. Základním typem dokumentu, který FAA vydává jsou Federální letecké předpisy (Federal Aviation Regulation – FAR). Z hlediska vývoje výroby a certifikace letecké techniky má velký význam další typ dokumentu, který vydává FAA a to jsou Technické normalizační příkazy (Technical Standard Order – TSO). Tyto dokumenty stanovují minimální akceptovatelné standardy pro jednotlivé prvky, části, materiály apod. užívané na civilních letadlech. Mají závazný charakter a poskytují výrobcům základní informace o požadavcích na provedení jednotlivých částí letounu. Dalším důležitým typem dokumentu jsou tak zvané Poradní oběžníky (Advisor Circular – AC). Cestou těchto oběžníků FAA podává vysvětlení a doporučení k některým ustanovením leteckých předpisů, upřesňuje praktické provádění administrativních postupů, specifikuje doporučená konstrukční řešení vybraných částí letecké techniky a podobně. Podobně jako jiné národní letecké úřady vydává FAA, mimo výše uvedené dokumenty, také celou řadu dalších publikací, jako jsou příkazy k zachování letové způsobilosti (Airworthiness Directive – AD), letecké oběžníky (Aeronautical Information Circular - AIC), manuály, brožury a pod. Tyto dokumenty mají význam především pro

215 subjekty bezprostředně spadající do působnosti FAA, nebo jejichž technika byla u FAA schvalována. Certifikace letecké techniky podle předpisů FAA je akceptována v naprosté většině zemí světa a v případě mimoevropských zemí je zpravidla základním způsobem prokazování způsobilosti letecké techniky. 12.2.6 EUROCAE – Evropská organizace pro přístrojové vybavení v civilním letectví Evropská organizace pro přístrojové vybavení v civilního letectví (European Organisation for Civil Aviation Equipment – EUROCAE) je organizace sdružující výrobce letecké techniky a hlavní evropské letecké úřady. Má za cíl vyvíjet a zavádět normy týkající se elektronických zařízení používaných v civilním letectví. Organizace pracuje s podporou ECAC, která doporučila svým členům akceptovat normy EUROCEA jako základní národní předpisy. EUROCAE úzce spolupracuje s JAA, která normy EUROCEA využívá pro specifikaci minimálních požadavků na provedení elektronického vybavení používaného v letectví. Běžně jsou tyto normy citovány v předpisech a dalších závazných dokumentech JAA. 12.2.7 RTCA – Americká radiotechnická komise Americká radiotechnická komise (Radio Technical Commission of America – RTCA) je soukromá nezisková organizace, která vyvíjí na shodě založená doporučení ve věcech letecké komunikace a navigace a sledování a řízení letecké dopravy. Organizace působí jako Federální poradní výbor a její doporučení jsou využívána v práci FAA. Organizace vydává celou řadu publikací, týkajících se výše uvedených oblastí. Největší význam mají Normy minimální provozní výkonnosti, které specifikují minimální požadavky, kladené na vybrané výrobky letecké techniky používané při komunikaci, navigaci, sledování a řízení leteckého provozu. Soubor těchto norem je využíván zejména v kombinaci s předpisy a příkazy FAA, které se na tyto normy často odvolávají. 12.2.8 Americká společnost ARINC Americká soukromá společnost ARINC se zabývá poskytováním služeb v oblasti letectví pro soukromé i vládní organizace. Jednou z oblastí její činnosti je i vydávání norem, které se týkají komunikačních a informačních technologií využívaných v letectví. Tyto normy jsou vydávány ve spolupráci s Výborem pro leteckou elektronickou techniku (Airlines Electronic Engineering Committee – AEEC), což je mezinárodní standardizační organizace sdružující hlavní letecké operátory. Tato organizace úzce spolupracuje s výrobci a usiluje o standardizaci leteckých elektronických systémů a vybavení. Normy ARINC jsou často využívány jako součást předpisové základny pro vývoj a certifikaci letecké techniky, zejména při implementaci moderních informačních technologií. 12.2.9 Profesní organizace SAE Society of Automotive Engineers – SEA je profesní organizací sdružující zájemce o problematiku pozemních, leteckých a kosmických dopravních prostředků. Jednou z činností, kterým se tato organizace věnuje, je také vývoj a zavádění standardů ve výše uvedených oblastech. V oblasti letectví tyto standardy pokrývají širokou škálu problémů od materiálů používaných v letectví, přes nejrůznější komponenty a

216 systémy používané v letectví až po problematiku ochrany životního prostředí. Dále SEA vydává nejrůznější příručky a další publikace související s letectvím. Celkově tento soubor publikací SEA, týkajících se letectví, představuje několik tisíc dokumentů a vzhledem k obrovskému rozsahu zde není možné uvést jejich přehled. Publikace SEA mají význam především při certifikaci letecké techniky před FAA. V evropských zemích jsou přednostně využívány Evropské normy, normy ISO a předpisy evropských organizací. Zvláštní význam mají publikace SEA pro vojenskou leteckou techniku, protože systém norem braných sil prochází v současné době reformou, kdy jsou speciální vojenské předpisy v řadě případů nahrazovány civilními ekvivalenty a tak se i pro vojenskou leteckou techniku začínají v USA využívat normy SEA. 12.3 Předpisy a standardy pro vojenskou leteckou techniku 12.3.1 Základní legislativní rámec pro vojenské letectví v ČR Ve vymezeném rozsahu se na vojenské letectví vztahuje Zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví a to ve věcech leteckého personálu, vojenských letišť a leteckých staveb, užívání vzdušného prostoru, poskytování leteckých služeb a provozování leteckých činností. Tento zákon neobsahuje žádná ustanovení, která by stanovovala požadavky, které se používají pro osvědčování, schvalování nebo uznávání způsobilosti vojenské letecké techniky. Tyto otázky řeší jiný zákon a to Zákon č. 219/1999 Sb. o ozbrojených silách České republiky, kde je v oddíle 3 nazvaném „Technická způsobilost vojenských letadel a jejich evidence“ mimo jiné stanoveno že: • Technickou způsobilost vojenských letadel schvaluje Ministerstvo obrany (MO) ČR (pokud již nebyla schválena ÚCL). • MO eviduje vojenská letadla ve vojenském leteckém rejstříku, vydává osvědčení letové způsobilosti vojenského letadla a přiděluje identifikační číslo vojenského letadla. • MO stanoví vyhláškou v dohodě s MDS schvalování technické způsobilosti vojenských letadel, provádění technických prohlídek a zkoušek technických zařízení vojenských letadel. V souladu s tímto zákonem MO v dohodě MDS vydalo Vyhlášku č. 276/1999 Sb o schvalování technické způsobilosti vojenských letadel, provádění pravidelných technických prohlídek vojenských letadel a zkoušek technických zařízení vojenských letadel. V této vyhlášce je stanoveno, že typ vojenského letadla nebo vojenské letecké techniky zaváděné do užívání v ozbrojených silách ČR schvaluje MO na základě výsledků posouzení a ověření shody vlastností letecké techniky s požadavky stanovenými technickými normami na bezpečnost letecké techniky. V příloze této vyhlášky jsou taxativně vyjmenovány kategorie výrobků vojenské letecké techniky, které podléhající výše uvedenému schválení. Pro potřeby posouzení a schválení výrobků letecké techniky musí výrobce nebo dovozce předložit tyto doklady: • dokumentaci o splnění požadavků stanovených technickými předpisy nebo normami na bezpečnost vojenské letecké techniky a na ochranu životního prostředí; • doklad o splnění technických předpisů nebo norem, podle kterých bylo při konstrukci vojenské letecké techniky nebo její části postupováno; • technické údaje o vojenské letecké technice nebo její části potřebné pro vydání osvědčení o letové způsobilosti;

217 • •

osvědčení o schválení vojenské letecké techniky nebo její části vydané ÚCL nebo jiným státem pro leteckou techniku; úplnou provozní dokumentaci vojenské letecké techniky nebo její části zaváděné do užívání v ozbrojených silách.

12.3.2 Předpisová základna pro vojenskou leteckou techniku v ČR Z výše uvedeného je zřejmé, že předpisová základna pro schvalování vojenské letecké techniky je ve vyhlášce vymezena velice vágně a v každém jednotlivém případě bude třeba předpisovou základnu stanovit individuálně s ohledem na charakter dané vojenské letecké techniky, přičemž typické jsou následující tři postupy: • U letecké techniky zaváděné do ozbrojených sil z civilního sektoru se využije předpisová základna podle které byla technika schválena u ÚCL nebo zahraničního leteckého úřadu, případně doplněná o další normy a předpisy specifikující požadavky z hlediska vojenského použití techniky. • U vojenské letecké techniky, která je již používána v ozbrojených silách jiného státu, se využije předpisová základna podle které byla technika schválena pro použití v těchto ozbrojených silách, případně doplněná o další normy a předpisy specifikující požadavky z hlediska použití techniky v podmínkách ozbrojených sil ČR. • U nové vojenské letecké techniky, která je nově vyvíjena a má být poprvé zavedena do ozbrojených sil, se předpisová základna stanoví v takticko technických požadavcích (TTP) které jsou nedílnou součástí příslušných obchodních smluv. Při stanovování předpisové základy pro vojenskou leteckou techniku hrají rozhodující roli speciální vojenské předpisy, standardy, specifikace. Vzhledem k začlenění naší země do Severoatlantické aliance jsou to především standardizační dokumenty NATO a Normy branných sil Spojených států amerických (MIL). Tyto dokumenty jsou potom v nezbytném rozsahu doplňovány i civilními standardy a předpisy (viz kapitola 12.1.3). Do budoucna lze očekávat další změny při stanovování předpisové základny v souvislosti s přijetím Zákona č. 309/2000 o obranné standardizaci, katalogizaci a státním ověřování jakosti výrobků a služeb určených k zajištění obrany státu a o změně živnostenského zákona. Tento zákon mimo jiné zřídil Úřad pro obrannou standardizaci, katalogizaci a státní ověřování jakosti, v jehož kompetenci je i vydávání Českých obranných standardů (ČOS). Tyto standardy jsou ze zákona závazné a každý dodavatel do resortu MO je musí respektovat. Z toho je zřejmé, že se postupem doby nedílnou součástí předpisové základny stanou i tyto standardy. 12.3.3 Standardy NATO pro vojenskou leteckou techniku Svůj vlastní standardizační systém si také vytváří a udržuje NATO, jako důležitý prostředek členských států k efektivnímu kolektivnímu rozvoji ozbrojených sil a k jejich případnému efektivnímu použití. Pozornost je v tomto systému věnována především těm oblastem, které nejsou v civilních standardech rozpracovány, nebo jsou rozpracovány nedostatečně s ohledem na potřeby ozbrojených sil. Standardizační dokumenty jsou v NATO vydávány ve dvojí formě. Buďto jako tak zvané Spojenecké dokumenty (Allied publications - AP), nebo jako Standardizační dohody (Standardization Agreement STANAG). Standardizační dohody jsou definovány jako záznam dohody mezi několika, nebo všemi členskými zeměmi o zavedení stejné vojenské techniky, munice a jiného materiálu, operačních, logistických a administrativních postupů. Členské země, které k jednotlivým

218 standardizačním dohodám přistoupily je zpravidla zapracovávají do národní standardizační dokumentace. Spojenecké publikace jsou oficiální standardizační dokumenty NATO, jejichž používání schválí některé nebo všechny členské země NATO. Zpravidla mají charakter prakticky použitelných pomůcek a návodů a jsou distribuovány až na uživatelskou úroveň. V celém systému standardizačních dokumentů NATO je věnována značná pozornost letecké technice. Standardy v této oblasti se zaměřují především na zajištění možností efektivního využití letecké techniky NATO při společných akcích. Standardy NATO jsou velice důležité zejména pro ty výrobce vojenské letecké techniky, kteří chtějí dodávat svoje produkty do členských zemí této aliance, protože tam, kde jsou implementovány jako národní standardy, mají závazný charakter. 12.3.4 Normy branných sil USA pro vojenskou leteckou techniku Branné síly USA mají velice dobře vybudovaný systém národní standardizace v oblasti vojenském techniky a tento systém má, mimo jiné, také značný mezinárodní význam, protože jednotlivé standardizační dokumenty z tohoto souboru jsou často využívány při organizaci a řízení mezinárodní kooperace. Soubor standardizačních dokumentů je zde tvořen jednak převzatými mezinárodními normami a jednak normami vypracovanými speciálně pro potřeby resortu obrany. V rámci standardizačního systému branných sil USA existují tématicky ucelené soubory norem, týkajících se jednotlivých oblastí letectví, ve kterých jsou více či méně závazně standardizovány požadavky na leteckou techniku a zároveň jsou zde stanoveny nebo doporučeny způsoby vyhovění těmto požadavků. Kontrolní otázky ke 12 kapitole: 1) Uveďte základní právní dokument, kterým se řídí civilní letectví v ČR a charakterizujte oblasti, které upravuje. 2) Vysvětlete místo a úlohu Úřadu pro civilní letectví ČR. 3) Vysvětlete, co se rozumí pojmem „předpisová základna pro schvalování způsobilosti civilní letecké techniky“ a uveďte jaké dokumenty zahrnuje. 4) Uveďte nejvýznamnější skupiny mezinárodních předpisů a standardů pro leteckou techniku. 5) Uveďte jakými předpisy a standardy se řídí zabezpečování spolehlivosti a bezpečnosti u vojenské letecké techniky.

219

13 SPOLEHLIVOST A BEZPEČNOST LETECKÉ TECHNIKY 13.1 Požadavky na spolehlivost a bezpečnost dopravního letounu a jeho soustav V této kapitole bude podrobněji pojednáno o požadavcích na spolehlivost a bezpečnost letecké techniky, tak jak jsou obvykle formulovány v leteckých předpisech. Celá problematika je demonstrována na příkladu dopravního letounu. U jiných kategorií letounu jsou požadavky formulovány analogicky. Požadavky na bezpečnost dopravních letounů představují poměrně rozsáhlý soubor technických specifikací, které velice podrobně vymezují kvalitativní a kvantitativní požadavky, které musí být u letounu pro zajištění jeho bezpečnosti splněny. Dále se omezíme pouze na nejvýznamnější z těchto požadavků, přičemž budeme vycházet z požadavků předpisů FAR. Dále je uvedeno plné znění paragrafu, specifikujícího požadavky na spolehlivost a bezpečnost dopravních letounů v předpisu FAR 25. Federal Aviation Regulations §25.1309 (a) Zařízení, systémy, jejich instalace a příslušenství, na něž se vztahují ustanovení této subkapitoly, musí být navrženy a zhotoveny tak, aby bylo zajištěno, že budou plnit všechny požadované funkce ve všech předvídatelných podmínkách provozu. (b) Prvky a letadlové systémy z nich vytvořené, uvažovány jednotlivě, ve vzájemném spojení a ve spojení s ostatními systémy musí být navrženy a zhotoveny tak, že: (1) vznik jakéhokoliv typu poruchy, nebo podmínek umožňujících vznik poruchy, která by mohla znemožnit pokračování bezpečného letu a přistání letounu je extrémně nepravděpodobný; (2) vznik jakéhokoliv jiného typu poruchy nebo podmínek pro vznik poruchy, která by mohla omezit (snížit, redukovat) schopnost posádky letounu zvládnout nepříznivé provozní podmínky je nepravděpodobný; (c) Informace výstražného charakteru musí být schopny posádku včas varovat a upozornit na vznik nebezpečných provozních podmínek a tím umožnit posádce přijmout odpovídající nápravná opatření. Prostředky, použité pro ovládání, monitorování funkcí a výstražná zařízení musí být navrženy a zhotoveny tak, aby minimalizovaly chyby posádky, jež by následně mohly mít za následek dodatečné zvýšení rizika pro let. Výše uvedené požadavky jsou vymezeny poměrně vágním způsobem, proto byl k praktické realizaci požadavků, vyplývajících z tohoto paragrafu, vydán poradní oběžník (Advisory Circular 25.1309-1A: System Design and Analysis), který požadavky konkretizuje a poskytuje i praktický návod k tomu, jak splnění požadavků prokázat (před leteckým úřadem). Závažnost poruchových stavů se hodnotí podle tří hledisek: • •

důsledků pro letoun – snížení rezerv bezpečnosti, zhoršení výkonnosti, ztráta schopnosti provádět určité činnost, případně následky pro integritu letounu; důsledků pro členy osádky – zvýšení pracovního zatížení, ovlivňující schopnost posádky zvládnout nepříznivé podmínky provozu, vnějšího prostředí, popřípadě následné poruchy;

220 •

důsledků pro osazenstvo – tj. pro cestující a členy posádky.

V souladu s těmito hledisky se potom rozlišují tři kategorie poruchových stavů s ohledem na závažnost jejich důsledků. Druhy poruchových stavů: •

Nezávažné (MINOR) - poruchové stavy, které nesníží významně bezpečnost letounu, zahrnující úkony posádky nenáročné na jejich schopnosti. Nezávažné poruchové stavy zahrnují například malé snížení rezerv bezpečnosti nebo funkčních schopností, malé zvýšení pracovního zatížení posádky (běžná změna letového plánu) nebo určité nepohodlí pro osazenstvo. • Závažné (MAJOR) - poruchové stavy, snižující schopnost letounu nebo posádky zvládat nepříznivé provozní podmínky v takové míře, že by mohlo dojít například: • k významnému snížení rezerv bezpečnosti nebo funkčních schopností, k významnému zvětšení pracovního zatížení posádky nebo k podmínkám zhoršujícím výkonnost posádky nebo vedoucí ke značnému nepohodlí osazenstva. • v závažných případech k velkému snížení rezerv bezpečnosti nebo funkčních schopností, popřípadě k takovému zvýšení pracovního zatížení a fyzické tísni, že nelze spoléhat na přesné a úplné plnění úkolů posádkou nebo vedoucí k nepříznivým účinkům na osazenstvo. • Katastrofické (CATASTROPHIC) - poruchové stavy bránící bezpečnému dokončení letu a přistání. V souladu s požadavky předpisu tedy musí být zajištěno, aby katastrofické poruchy byly extrémně nepravděpodobné a závažné poruchy byly nepravděpodobné (nezávažné poruchy smí být pravděpodobné). Při třídění poruch musí být vždy přihlédnuto ke všem závažným činitelům, jako jsou funkční vlastnosti soustavy, vliv lidského činitele, podmínky provozu či vnějšího prostředí. Zvláště důležité je brát v úvahu ty činitele, které snižují, nebo zvyšují závažnost poruchového stavu. Příkladem činitele snižujícího závažnost poruchového stavu je pokračující výkon totožných nebo provozně podobných funkcí jinými systémy, které nejsou dotčeny zkoumaným poruchovým stavem. Příkladem činitelů zvyšujících závažnost poruchového stavu mohou být povětrnostní nebo jiné nepříznivé podmínky provozu a vnějšího prostředí, případně poruchy jiných nesouvisejících systémů nebo funkcí, které by snižovaly schopnost posádky zvládnout poruchový stav. Kvalitativní vymezení pravděpodobnosti poruchových stavů: • • •

Pravděpodobné poruchové stavy jsou stavy s předvídaným výskytem jednou nebo vícekrát v průběhu celé životnosti každého letounu. Nepravděpodobné poruchové stavy jsou stavy, u nichž se nepředvídá výskyt v průběhu celé životnosti namátkově vybraného letounu. Mohou se však vyskytnout příležitostně v průběhu celé životnosti všech letounů téhož typu. Extrémně nepravděpodobné poruchové stavy jsou stavy tak nepravděpodobné, že se nepředvídá jejich výskyt v průběhu celé životnosti všech letounů téhož typu.

221 Kvantitativní vymezení pravděpodobnosti poruchových stavů: Pravděpodobné poruchové stavy jsou ty, jejichž pravděpodobnost je větší než 1⋅10-5 na jednu hodinu letu. • Nepravděpodobné poruchové stavy jsou ty, jejichž pravděpodobnost je menší než 1⋅10-5, ale současně větší než 1⋅10-9 na jednu hodinu letu. • Extrémně nepravděpodobné poruchové stavy jsou ty, jejich pravděpodobnost je menší než 1⋅10-9 na jednu hodinu letu. Z uvedeného je patrné, že základním požadavkem předpisu je, aby každý poruchový stav měl pravděpodobnost nepřímo úměrnou jeho závažnosti. Grafické vyjádření tohoto požadavku – viz Obr. 13.1.

Catastrophic

Nepřijatelná Oblast

Přijatelná Oblast

Minor

Major

Záva žnost poruchy

•

10-9

10-5

Pravděpodobnost poruchy [h-1]

Obr. 13.1 Vztah mezi závažností poruchových stavů a jejich přípustnou pravděpodobností Obecně nelze přijímat poruchový stav, který je důsledkem jediného druhu poruchy, jako extrémně nepravděpodobný. Jinak řečeno – je nepřijatelné, aby jednotlivá porucha některého z prvků letadlových systémů vedla ke katastrofickým důsledkům. Pouze ve velmi neobvyklých případech však může kvalifikovaný technický posudek vést k odhadu, že takový druh poruchy není prakticky možný. Takový odhad však musí vzít v úvahu všechny možné a významné zřetele, včetně významných vlastností zařízení. 13.2 Postup analýzy bezpečnosti letounu a jeho soustav Splnění výše uvedených požadavků musí být podle leteckých předpisů prokázáno analýzou bezpečnosti a tam, kde je to nezbytně nutné, odpovídajícími pozemními, letovými nebo simulačními zkouškami. Za prioritní a hlavní metodu průkazu splnění požadavků je tedy považována analýza bezpečnosti, přičemž se požaduje aby tato analýza obsahovala: • přehled všech možných způsobů poruch, včetně způsobů selhání funkce a možných způsobů poškození z vnějších příčin a zdrojů;

222 • • •

odhad (výpočet) pravděpodobnosti vzniku poruch prvků a kombinací poruch včetně, skrytých poruch; analýzu výsledného důsledku poruch na systém, na letoun a na posádku a cestující ve všech jednotlivých fázích letu a převídatelných provozních podmínkách; přehledný výčet výstražných a varovných signálů a pokynů pro posádku, požadovaných nápravných opatření a prostředků pro včasnou identifikaci poruchy. Vstupní informace pro analýzu spolehlivosti soustavy letounu Předběžná analýza rizik Definice poruchových stavů soustav letounu

Určení závažnosti důsledků poruch soustav letounu

Kvalitativní analýza FMEA jednotlivých prvků soustav

Vyhovují jednotlivé prvky požadavkům ?

Ne

Změny konstrukce

Ano Ne

Byly identifikovány závažné nebo katastrofické poruchové stavy ?

Kvantitativní analýza

Ano

Blokové diagramy bezporuchovosti

Stromy poruchových stavů

Výpočet pravděpodobnosti poruchových stavů

Vyhovuje pravděpodobnost požadavkům ?

Ne

Ano

KONEC

Obr. 13.2 Postup analýzy bezpečnosti letadlové soustavy

223 Celý postup analýzy je vhodné uspořádat do logicky navazujících kroků, které zajistí splnění požadovaných cílů analýzy. Letecké předpisy striktně nevymezují jaké metody a postupy mají být při analýze použity a případ od případu se způsob provádění analýzy může lišit. Prvním krokem postupu je zpravidla provedení tzv. hodnocení funkční nebezpečností každé soustavy letounu. Jedná se v podstatě o modifikovanou předběžnou analýzu rizik (Preliminary Hazard Analysis), jejímž cílem je určení a klasifikace nebezpečných poruchových stavů letadlových soustav. V rámci této části analýzy by měly být identifikovány všechny závažné a katastrofické poruchové stavy každé soustavy. Vychází se přitom z analýzy funkcí soustavy a posouzení důsledků selhání těchto funkcí. Výsledky této analýzy vždy mají předběžný charakter a je třeba je doplňovat a verifikovat na základě výsledků dalších kroků analýzy. Na hodnocení funkční nebezpečnosti navazuje kvalitativní analýza spolehlivosti prvků soustavy, kde se posuzuje zda jednotlivé prvky soustavy splňují příslušné požadavky. K realizaci tohoto kroku se využívá metody FMEA. Ta umožňuje identifikaci všech způsobů poruch jednotlivých prvků a posouzení jejich důsledků na jednotlivé subsystémy, systémy i letoun jako celek. Dalším krokem postupu je kvantitativní analýza. Při ní se vychází z výsledků kvalitativní analýzy a s využitím takových metod, jako jsou metoda analýzy stromu poruchových stavů nebo metoda blokového diagramu bezporuchovosti se určí pravděpodobnosti všech závažných a katastrofických poruchových stavů soustavy a posoudí se zda tyto číselné hodnoty splňují příslušné požadavky. Analýza každé letadlové soustavy může dospět k jednomu z následujících závěrů: • letadlová soustava splňuje všechny požadavky na bezpečnost – potom se analýza může předložit jako průkaz splnění příslušných požadavků; • letadlová soustava nesplňuje požadavky – potom se na základě výsledků analýzy navrhnou příslušné konstrukční úpravy k odstranění zjištěných nedostatků (po realizaci změn je třeba celý postup analýzy opakovat). Logický postup analýzy a vzájemná návaznost jednotlivých kroků je zřejmá z vývojového diagramu na Obr. 13.2. 13.3 Kvalitativní analýza Základní metodou používanou k provádění kvalitativní analýzy spolehlivosti a bezpečnosti letounu je metoda FMEA, jejíž místo a úloha je zřejmá z Obr. 13.2. Metoda zde slouží k provedení kvalitativní analýzy soustavy s cílem: • identifikovat všechny možné způsoby poruch prvků; • posoudit důsledky a posloupnosti jevů pro každý zjištěný způsob poruchy prvků a to na různých úrovních soustavy; • určit závažnosti každého způsobu poruchy s ohledem na bezpečnost soustavy a letounu; • zpracovat vstupní podklady k provedení kvantitativní analýzy. Vlastní analýza se provádí standardním způsobem popsaným v kapitole 8, proto zde celá procedura nebude podrobně popisována a vysvětlována. Dále budou zmíněny pouze některé zvláštnosti aplikace metody, které se při analýze bezpečnosti letounu objevují a nejsou zcela běžné.

224 Zvláštní pozornost je třeba při analýze například věnovat poruchám skrytým a poruchám se společnou příčinou. Skrytou poruchou rozumíme takovou poruchu, která nebude zjištěna v okamžiku kdy se vyskytne. Za významnou skrytou poruchu je považována porucha, která ve spojení s dalšími poruchami, případně událostmi bude mít za následek závažný nebo katastrofický poruchový stav. V případě identifikace takových poruch je třeba navrhnout vhodná opatření v oblasti kontrol a inspekcí, které by snížily pravděpodobnost existence takové poruchy, navrhnout vhodný způsob monitorování a signalizace, případně doporučit změnu konstrukce. Poruchami (událostmi) se společnou příčinou rozumíme takové poruchy (události) které mohou poškodit nebo jinak nepříznivě ovlivnit více než jeden ze vzájemně se zálohujících kanálů systému nebo více než jeden systém plnicí provozně podobné funkce. Mezi takové potencionální poruchy (událostí) se společnou příčinou můžeme například zahrnout rychlé uvolnění energie z koncentrovaných zdrojů, jakými jsou nezachycené poruchy rotačních částí a tlakových nádob, ztráta ochrany proti vnějšímu prostředí, poškození ohraničenými požáry, ztráta zdrojů energie, chyby lidského činitele, podmínky vnějšího prostředí apod. Z uvedeného je patrné, že se v tomto případě nepožaduje pouze zkoumání důsledku poruchy jednotlivých prvků jako takových, ale je nezbytné zkoumat důsledky poruch prvků i v kombinaci s poruchami jiných prvků. Výsledky analýzy se průběžně zaznamenávají do pracovního formuláře, který by měl zahrnovat následující položky u každého prvku systému: označení prvku a jeho jednoznačná identifikace, název prvku, popis funkce, možné způsoby poruchy, fáze letu, důsledek poruchy pro systém a letoun, hodnocení závažnosti poruchy a další potřebné údaje. Pro potřeby následné kvantitativní analýzy je vhodné do formuláře uvést i příslušné číselné hodnoty ukazatelů bezporuchovosti. Příklad aplikace metody FMEA Podrobněji bude aplikace metody FMEA při analýze bezpečnosti dopravního letounu ukázána na příkladu brzdové soustavy letounu. Na Obr. 13.3 je znázorněna část této soustavy a to hydraulický systém ovládání brzd letounu. V rámci předběžné analýzy rizik byly u této části soustavy identifikovány, mimo jiné, dva následující poruchové stavy: • přistání letounu se zabržděnými koly; • selhání brzdové soustavy při pohybu letounu po zemi. Další poruchové stavy, které byly u soustavy identifikovány zde nejsou uváděny, protože jejich znalost není pro uváděný příklad podstatná. K přiblížení vlastního řešení je nezbytné alespoň základní objasnění funkce systému. Hydraulická kapalina je do systému přiváděna přes elektromagnetický rozvaděč 1, který je otevřen pokud je podvozek letounu zatížen (letoun se pohybuje po zemi). Vlastní brždění je řízeno buď prvním pilotem brzdovými ventily 2 a 3, nebo druhým pilotem brzdovými ventily 4 a 5. Při ovládání brzdových ventilů má prioritu první pilot. Z brzdových ventilů kapalina proudí do brzdových válců 8 a 9, které přímo ovládají kotoučové brzdy hlavního podvozku letounu. Mezi brzdové ventily a brzdové válce jsou vloženy elektromagnetické ventily 6 a 7, které plní funkci akčních členů systému ABS a které zajišťují krátkodobé přerušování brždění v případě zablokování a prokluzu kol. Pro hodnocení závažnosti poruchových stavů jsou důležité také následující informace. Přistání se zabržděnými koly je považováno za katastrofický poruchový stav a

225 selhání brzd při pohybu letounu po zemi za nezávažný poruchový stav (u letounu existují jiné možnosti brždění). Vhledem k omezenému prostoru zde nebude ukázána analýza všech prvků systému, ale jen jednoho z nich. Z hlediska bezpečnosti se v popisovaném systému jako kritický prvek jeví elektromagnetický rozvaděče 1. Proto bude postup analýzy demonstrován právě pro tento prvek.

Obr. 13.3 Zjednodušené schéma hydraulického ovládání brzd letounu Záznamy zachycující průběh analýzy prvku zde budou účelově pojaty poněkud podrobněji, aby z nich byl dobře patrný postup analýzy i úvahy, které ji provází. Výsledky analýzy proto nebudou zaznamenávány do pracovního formuláře, jak je to obvyklé, ale formou volného textu. 1) Funkce prvku •

Pokud je na svorkách elektromagnetu rozvaděče napětí, rozvaděč propouští tlakovou kapalinu do brzdového systému. • Pokud na svorkách elektromagnetu rozvaděče není napětí, rozvaděč uzavírá přívod tlakové kapaliny do brzdového systému. (Do otevřené polohy je rozvaděč přestavován silou elektromagnetu, do uzavřené polohy se vrací působením síly pružiny. Elektrický signál, který řídí otevírání a zavírání rozvaděče je generován v jiném systému letounu a na kontakty rozvaděče je přiváděn vždy, když jsou zatíženy podvozkové nohy letounu, tj, po celou dobu, kdy se letoun pohybuje po zemi.) 2) Způsoby poruchy a) Rozvaděč po přivedení napětí na jeho svorky neotevře přívod tlakové kapaliny do brzdového systému, nebo v době kdy je napětí na jeho svorky přiváděno se samovolně uzavře.

226 b) Rozvaděč po přerušení přívodu napětí na jeho svorky neuzavře přívod tlakové kapaliny do brzdového systému, nebo v době kdy na jeho svorkách není napětí se samovolně otevře. 3) Důsledky poruchy pro soustavu: ad a) V brzdovém systému není tlak v době kdy je to požadováno. ad b) V brzdovém systému je tlak v době kdy je to nežádoucí. 4) Důsledky poruchy pro letoun ad a) Nelze brzdit letoun provozními brzdami. (Nedotčena zůstává možnost brzdit nouzovou brzdou a reverzací tahu motorů) ad b) Potenciální možnost přistání se zabržděnými koly. Tato možnost může nastat pouze v kombinaci s jinými poruchami nebo událostmi. Letoun přistane se zabržděnými koly jestliže současně s analyzovaným poruchovým stavem: • nastane porucha způsobující vnitřní netěsnost některého z brzdových ventilů 2, 3, 4 nebo 5; • některý z pilotů během přistání otevře brzdové ventily před tím, než dojde k plnému zatížení podvozků letounu. Svým charakterem se jedná o skrytý poruchový stav, který se nijak navenek neprojeví (pokud nedojde k souběhu výše popsaných událostí). 5) Závažnost poruchového stavu ad a) Jedná se o poruchový stav nezávažný. Situaci je posádka schopna vyřešit při využití běžných postupů. Letoun je možno zabrzdit s využitím nouzové brzdy a reverzací tahu motorů. ad b) Sám o sobě je tento poruchový stav nezávažný, protože bezprostředně nevede k žádným závažným důsledkům. Avšak při souběhu s jinými událostmi může vyústit až do katastrofického poruchového stavu. Při hodnocení závažnosti je nutné vzít v úvahu, že se jedná o skrytý poruchový stav, který se projeví právě až v okamžiku souběhu s událostmi vedoucími k potenciální letecké katastrofě. S ohledem na to je nutné tento poruchový stav označit jako katastrofický a naznačené konstrukční řešení soustavy klasifikovat jako nevyhovující. 6) Závěr analýzy Z výledků analýzy elektromagnetického rozvaděče je patrné, že analyzovaná konstrukce brzdového systému nesplňuje požadavky leteckých předpisů. V tomto konkrétním případě lze situaci vyřešit poměrně jednoduchou konstrukční změnou. Do soustavy bude zabudována výstražná signalizace, která bude piloty informovat o existenci příslušného poruchového stavu, tedy o tom, že v době kdy nejsou podvozkové nohy zatíženy (za letu) je brzdový systém pod tlakem. Realizací tohoto opatření zkoumaný poruchový stav ztratí skrytý charakter a je možné ho považovat za nezávažný. Po této úpravě již soustava bude splňovat požadavky leteckých předpisů. Zde je třeba podotknout, že poruchový stav se stejnými důsledky (tlak v brzdové soustavě za letu) může být způsoben také poruchou řady dalších prvků, které se podílí na řízení elektromagnetického rozvaděče (generují a přenáší signál o zatížení podvozků). Zavedením výstražné signalizace se tak sníží závažnost i všech těchto dalších poruchových stavů.

227 13.4 Kvantitativní analýza Provedení kvantitativní analýzy se zpravidla požaduje u těch soustav, kde byla při hodnocení funkční nebezpečnosti identifikována možnost výskytu závažných a katastrofických poruchových stavů. Cílem analýzy potom je určení pravděpodobnosti s jakou výskyt příslušného poruchového stavu lze očekávat. K tomu lze použít celou řadu metod a postupů, které jsou prezentovány v této učebnici. V zásadě však lze postupovat dvojím způsobem: a) Přímým definováním a popisem požadovaných - správných funkcí prvků a systému. Následuje sestavení logického modelu pro správnou funkci systému jako výslednice posloupnosti správných funkcí těch prvků, které se na funkci systému podílí a výpočet pravděpodobnosti stavu správné funkce. Porucha funkce je potom komplementem ke stavu správné funkce. Tento postup se realizuje především s využitím blokových diagramů bezporuchovosti. b) Přímým popisem, definováním a modelováním logické struktury funkční poruchy jako výslednice poruch (poruchových stavů) těch prvků systému, které se na jeho poruše podílí. Následuje sestavení logického modelu pro stav poruchy systému a výpočet pravděpodobnosti jejího vzniku. Nejčastěji používanou metodou je v tomto případě analýza stromu poruchových stavů. Podrobněji metody a postupy kvantitativní analýzy soustav letounu zde nebudou objasňovány, protože jsou podrobně popsány na jiném místě této učebnice. Kontrolní otázky ke 13 kapitole: 1) Zformulujte základní požadavky na spolehlivost a bezpečnost letecké techniky vyplývající z leteckých předpisů. 2) Vysvětlete podle jakých hledisek se hodnotí závažnost poruchových stavů letecké techniky. 3) Charakterizujte druhy poruchových stavů letecké techniky z hlediska závažnosti jejich důsledků. 4) Uveďte kvalitativní a kvantitativní pravděpodobnosti poruchových stavů letecké techniky. 5) Charakterizujte postup analýzy spolehlivosti a bezpečnosti letounu a jeho soustav. 6) Objasněte místo a úlohu analýzy FMEA při posuzování spolehlivosti a bezpečnosti letounu a jeho soustav.

228

POUŽITÁ LITERATURA Odborné publikace [1]

BLISCHKE, W. R. and MURTHY D. N. P.: Reliability: Modeling, Prediction, and Optimization. New York: John Wiley 2000.

[2]

DODSON, B. and NOLAN D.: Reliability Engineering Handbook. New York: Marcel Dekker 1999.

[3]

ELSAYED, A. E.: Reliability Engineering. New York: Addison-Wesley Publishing Co. 1996.

[4]

HÁTLE, J. a LIKEŠ, J.: Základy počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. Praha: SNTL 1972.

[5]

HAVLÍČEK, J. aj.: Provozní spolehlivost strojů. Praha: SZN 1989.

[6]

HOLUB, R. a VINTR, Z.: Základy spolehlivosti. Brno: Vojenská akademie v Brně 2002.

[7]

HOLUB, R. a VINTR, Z.: Aplikované techniky spolehlivosti. Část 1. – Specifikace požadavků na spolehlivost. Brno: Vojenská akademie v Brně 2002

[8]

HOLUB, R.: Zkoušky spolehlivosti (Stochastické metody). Brno: Vojenská akademie 1992.

[9]

HOLUB, R.: Zkoušky spolehlivosti vojenské techniky (Metodika). Brno: Vojenská akademie 1994.

[10]

HOLUB, R.: Zkoušky spolehlivosti vojenské techniky (Metodika). Brno: Vojenská akademie 1994.

[11]

KAPUR, K. C., LAMBERSON, L. R.: Reliability in Engineering Design. New York: John Wiley & Sons 1977.

[12]

KECECIOGLU, D.: Maintainability, Availability and Operational Readiness Engineering Handbook, Volume 1. New York: Prentice Hall1995.

[13]

KECECIOGLU, D.: Reliability Engineering Handbook, Vol. 1 & 2. New York: Prentice Hall 1991.

[14]

LEGÁT, V.: Zabezpečování spolehlivosti strojů v provozu. Praha: Česká společnost pro jakost 1994.

[15]

MEEKER, W. Q. and ESCOBAR, L. A.: Statistical Methods for Reliability Data. New York: Wiley & Sons 1998.

[16]

MODARRES, M., KAMINSKIY, M. and KRIVTSOV, V.: Reliability Engineering and Risk Analysis. A Practical Guide. New York: Marcel Dekker 1999.

[17]

MYKISKA, A.: Spolehlivost technických systémů. Praha: Vydavatelství ČVUT 2000.

[18]

O'CONNOR, P.D.T.: Practical Reliability Engineering. New York: John Wiley & Sons 1995.

[19]

RIGDON, S. E. and BASU, A. P.: Statistical Methods for the Reliability of Repairable Systems. New York: John Wiley 2000.

229 [20]

STODOLA, J.: Spolehlivost a diagnostika. Brno: Vojenská akademie 1995.

[21]

USHAKOV, I. A.: Handbook of Reliability Engineering. New York: John Wiley 1994.

[22]

VILLEMEUR, A.: Reliability, Availability, Maintainability and Safety Assessment. New York: John Wiley & Sons 1992.

České technické normy z oblasti spolehlivosti [23]

ČSN 01 0601 Spolehlivost v technice. Technické objekty. Pravidla pro stanovení kritérií poruch a mezních stavů

[24]

ČSN 01 0602 Spolehlivost v technice. Hlediska třídění poruch a mezních stavů objektů

[25]

ČSN 01 0606 Spolehlivost v technice. Postup volby nomenklatury normovaných ukazatelů spolehlivosti

[26]

ČSN 01 0631 Spolehlivost v technice. Systém sběru provozních informací. Základní ustanovení

[27]

ČSN 01 0641 Spoľahlivosť v technike. Plánovanie pozorovaní

[28]

ČSN 01 0642 Spolehlivost v technice. Metody určování a ověřování normalizovaných ukazatelů spolehlivosti. Všeobecné požadavky

[29]

ČSN 01 0643 Spoľahlivosť v technike. Plány skúšok spoľahlivosti. Charakteristiky

[30]

ČSN 01 0651 Spolehlivost v technice. Přejímací plány jedním výběrem založené na exponenciálním rozdělení doby bezporuchového provozu

[31]

ČSN 01 0652 Spolehlivost v technice. Přejímací plány srovnáváním jedním výběrem založené na Weibullově rozdělení doby bezporuchového provozu

[32]

ČSN 01 0680 Spoľahlivosť v technike. Technologické systémy. Všeobecné požiadavky na metódy odhadu spoľahlivosti

[33]

ČSN IEC 50(191) Mezinárodní elektrotechnický slovník – Kapitola 191: Spolehlivost a jakost služeb.

[34]

ČSN EN 13306 Terminologie údržby.

[35]

ČSN ISO 9000-4/ IEC 300-1 Normy pro řízení a zabezpečování jakosti. Část 4: Pokyny pro řízení spolehlivosti/Řízení spolehlivosti. Část 1: Řízení programu spolehlivosti.

[36]

ČSN EN 60300-2 Managment spolehlivosti – Část 2: Prvky a úkoly programu spolehlivosti.

[37]

ČSN IEC 300-3-1 Řízení spolehlivosti – Část 3: Návod k použití – Oddíl 1: Metody analýzy spolehlivosti: Metodický návod.

[38]

ČSN IEC 300-3-2 Řízení spolehlivosti. Část 3: Návod k použití. Oddíl 2: Sběr dat o spolehlivosti z provozu.

[39]

ČSN IEC 300-3-3 Management spolehlivosti - Část 3: Návod k použití - Oddíl 3: Analýza nákladů životního cyklu.

230 [40]

ČSN IEC 300-3-4 Management spolehlivosti - Část 3: Návod k použití - Oddíl 4: Pokyny ke specifikaci požadavků na spolehlivost.

[41]

ČSN IEC 60300-3-5 Management spolehlivosti – Část 3-5: Návod k použití – Podmínky při zkouškách bezporuchovosti a principy statistických testů.

[42]

ČSN IEC 60300-3-7 Management spolehlivosti - Část 3-7: Návod k použití Třídění namáháním pro zlepšení bezporuchovosti elektronického hardwaru.

[43]

ČSN IEC 300-3-9 Management spolehlivosti. Část 3: Návod k použití. Oddíl 9 : Analýza rizika technologických systémů.

[44]

ČSN IEC 300-3-10 Management spolehlivosti - Část 3-10: Návod k použití – Udržovatelnost.

[45]

ČSN IEC 60300-3-11 Management spolehlivosti. Část 3-11: Návod na použití – Údržba zaměřená na bezporuchovost.

[46]

ČSN IEC 60319 Prezentace a specifikace dat o bezporuchovosti elektronických součástek.

[47]

IEC 605-1 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 1: Všeobecné požadavky.

[48]

IEC 605-2 Zkoušení bezporuchovosti zařízení. Část 2: Návrh zkušebních cyklů.

[49]

ČSN IEC 605-3-1 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 3-1: Doporučené zkušební podmínky. Přenosné zařízení pro vnitřní použití – nízký stupeň simulace.

[50]

ČSN IEC 605-3-2 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 3-2: Doporučené zkušební podmínky. Zařízení pro stacionární použití na místech chráněných proti povětrnosti – vysoký stupeň simulace.

[51]

ČSN IEC 605-3-3 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 3-3: Doporučené zkušební podmínky. Zařízení pro stacionární použití na místech částečně chráněných proti povětrnosti - nízký stupeň simulace.

[52]

ČSN IEC 605-3-4 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 3-4: Doporučené zkušební podmínky. Přenosná a nestacionární zařízení - nízký stupeň simulace.

[53]

ČSN IEC 605-3-5 Zkoušky bezporuchovosti zařízení - Část 3: Doporučené zkušební podmínky - Oddíl 5: Zkušební cyklus 5: Pozemní pohyblivá zařízení Nízký stupeň simulace.

[54]

ČSN IEC 605-3-6 Zkoušky bezporuchovosti zařízení - Část 3: Doporučené zkušební podmínky - Oddíl 6: Zkušební cyklus 6: Přenosná zařízení pro vnější použití - Nízký stupeň simulace.

[55]

ČSN IEC 605-4 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 4: Postupy pro stanovení bodových odhadů a konfidenčních mezí z určovacích zkoušek bezporuchovosti zařízení.

[56]

ČSN IEC 605-6 Zkoušky bezporuchovosti zařízení. Část 6: Testy platnosti předpokladu konstantní intenzity poruch.

[57]

ČSN IEC 706-1 Pokyny k udržovatelnosti zařízení – Část 1: Oddíl 1,2 a 3 – Úvod, požadavky a program udržovatelnosti.

[58]

ČSN IEC 706-2 Pokyny k udržovatelnosti zařízení – Část 2: Oddíl 5 – Studie o udržovatelnosti v etapě návrhu.

231 [59]

ČSN IEC 706-3 Pokyny k udržovatelnosti zařízení – Část 3: Oddíl 6 a 7 – Ověřování a sběr, analýza a prezentace údajů.

[60]

ČSN IEC 706-4 Pokyny k udržovatelnosti zařízení. Část 4: Oddíl 8: Plánování údržby a jejího zajištění.

[61]

ČSN IEC 706-5 Pokyny k udržovatelnosti zařízení – Část 5: Oddíl 4 – Diagnostické zařízení.

[62]

ČSN IEC 706-6 Pokyny k udržovatelnosti zařízení – Část 6: Oddíl 9 – Statistické metody pro hodnocení udržovatelnosti.

[63]

ČSN IEC 812 Metody analýzy spolehlivosti systémů – Postup analýzy způsobů a důsledků poruch (FMEA).

[64]

ČSN IEC 863 Prezentace předpovědí bezporuchovosti, udržovatelnosti a pohotovosti.

[65]

ČSN IEC 1014 Programy růstu bezporuchovosti.

[66]

ČSN IEC 1025 Analýza stromu poruchových stavů.

[67]

ČSN IEC 1070 Postupy ověřovacích zkoušek pro součinitele ustálené pohotovosti.

[68]

ČSN IEC 1078 Metody analýzy spolehlivosti – Metoda blokového diagramu bezporuchovosti.

[69]

ČSN IEC 1123 Zkoušení bezporuchovosti – Plány ověřovacích zkoušek pro podíl úspěšných pokusů.

[70]

ČSN IEC 1124 Zkoušení bezporuchovosti - Ověřovací zkoušky pro konstantní intenzitu poruch a konstantní parametr proudu poruch.

[71]

ČSN IEC 1160 Oficiální přezkoumání návrhu.

[72]

ČSN IEC 1163-1 Třídění namáhání pro zlepšení bezporuchovosti – Část 1: Opravitelné objekty vyráběné v dávkách.

[73]

ČSN IEC 61163-2 Třídění namáháním pro zlepšení bezporuchovosti. Část 2: Elektronické součástky.

[74]

ČSN IEC 1164 Růst bezporuchovosti – Metody statistických testů a odhadů.

[75]

ČSN IEC 61165 Použití Markovových metod.

[76]

ČSN IEC 61649 Testy dobré shody, konfidenční intervaly a dolní konfidenční meze pro data s Weibullovým rozdělením.

[77]

ČSN IEC 61650 Techniky analýzy dat o bezporuchovosti – Postupy porovnání dvou konstantních intenzit poruch a dvou konstantních parametrů proudu poruch (událostí).

[78]

ČSN EN 61709 Elektronické součástky. Bezporuchovost. Referenční podmínky pro intenzity poruch a modely namáhání pro přepočty.

[79]

ČSN IEC 61710 Mocninový model – Testy dobré shody a metody odhadu parametrů.

[80]

ČSN IEC 61713 Zajištění spolehlivosti softwaru pomocí procesů jeho životního cyklu - Návod k použití.

[81]

ČSN 61882 Studie nebezpečí a provozuschopnosti (studie HAZOP) – Návod k použití.

232 [82]

ČSN IEC 62198 Management rizika projektu – Směrnice pro použití.

Americké vojenské normy pro oblast spolehlivosti [83]

MIL-HDBK-189 - Reliability Growth Management

[84]

MIL-HDBK-2155 - Failure Reporting, Analysis and Corrective Action Taken

[85]

MIL-HDBK-2164A - Environmental Stress Screening Process for Electronic Equipment

[86]

MIL-HDBK-217F - Reliability Prediction of Electronic Equipment

[87]

MIL-HDBK-251 - Reliability/Design Thermal Applications

[88]

MIL-HDBK-263B - Electrostatic Discharge Control Handbook for Protection of Electrical and Electronic Parts, Assemblies and Equipment (Excluding Electrically Initiated Explosive Devices)

[89]

MIL-HDBK-338B - Electronic Reliability Design Handbook

[90]

MIL-HDBK-344A - Environmental Stress Screening of Electronic Equipment

[91]

MIL-HDBK-781A - Reliability Test Methods, Plans and Environments for Engineering Development, Qualification and Production

[92]

MIL-STD-1686C - Electrostatic Discharge Control Program for Protection of Electrical and Electronic Parts, Assemblies and Equipment (Excluding Electrically Initiated Explosive Devices)

[93]

MIL-STD-690C - Failure Rate Sampling Plans and Procedures

[94]

MIL-HDBK-470A - Designing and Developing Maintainable products and Systems (Volume I & II)

[95]

MIL-HDBK-472 -Maintainability Prediction

Spojenecké publikace pro bezporuchovost a udržovatelnost [96] ARMP-1 NATO requirements for reliability and maintainability [97] ARMP-2 General application guidance on the use of ARMP 1 [98] ARMP-3 List and source of national and international R & M documents [99] ARMP-4 Guidance for writing NATO reliability and maintainability requirements documents [100] ARMP-5 Guidance on reliability and maintainability training [101] ARMP-6 In service reliability and maintainability [102] ARMP-7 NATO R & M terminology Applicable to ARMPs [103] ARMP-8 Reliability and maintainability in procurement of off-the-shelf (OTS) equipment

233 Zákony, vyhlášky a letecké předpisy [104] Zákon č. 219/1999 Sb. o ozbrojených silách České republiky [105] Zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví a o změně a doplnění zákona č. 455/1991 Sb., o živnostenském podnikání [106] Zákona č. 309/200 o obranné standardizaci, katalogizaci a státním ověřování jakosti výrobků a služeb určených k zajištění obrany státu a o změně živnostenského zákona. [107] Zákonem 22/1997 Sb. o technických požadavcích na výrobky. [108] Vyhláška MDS ČR č. 108/1997 Sb., kterou se provádí zákon č. 49/1997 Sb., o civilním letectví [109] Vyhlášku MO ČR č. 276/1999 Sb o schvalování technické způsobilosti vojenských letadel, provádění pravidelných technických prohlídek vojenských letadel a zkoušek technických zařízení vojenských letadel [110] Letecký předpis L8/A - Letová způsobilost letadel (Opatření MDS č.j. 1.426-220 ze dne 14.1.200). Praha: MDS 2000. [111] Federal Aviation Regulations – FAR Part 25. Washington: Federal Aviation Administration 1988. [112] Advisory Circular 25.1309-1A: System Design and Analysis. Washington: Federal Aviation Administration 1988.

Spolehlivost letadlové techniky

Recommend Documents