Sestaven´ı pohybov´e rovnosti jednoduch´eho mechanismu pomoc´ı Lagrangeov´ych rovnost´ı druh´eho druhu ˇ V´aclav Cibera 12. u ´nora 2009
1
Motivace
Na obr´ azku 1 m´ ame zn´ azornˇen´ y mechanick´ y syst´em, kter´ y m˚ uˇze pˇredstavovat napˇr´ıklad souˇc´ astku nˇejak´eho stroje. Abychom stroj mohli l´epe ovl´adat, pˇredpov´ıdat jeho chov´ an´ı, sestrojit ho atp.... , potˇrebujeme zn´at, jak se tento mechanick´ y syst´em - souˇc´ astka chov´ a v kaˇzd´em okamˇziku pˇri zmˇen´ach polohy a rychlosti jednotliv´ ych souˇc´ ast´ı.
Obr´ azek 1: Obr´azek popisovan´eho mechanismu
Pro n´ aˇs konkr´etn´ı pˇr´ıklad pˇredpokl´ad´ame n´asleduj´ıc´ı moˇzn´e chov´an´ı mechanick´eho syst´emu:
1
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
2
Tyˇ c a kotouˇ c jsou spolu v trval´ em kontaktu, v m´ıstˇ e jejich dotyku se tyˇ c pohybuje bez tˇ ren´ı. Tyˇ c m˚ uˇ ze konat pouze ot´ aˇ civ´ y pohyb podle osy ot´ aˇ cen´ı um´ıstˇ en´ e v jednom z jejich konc˚ u, ot´ aˇ cen´ı uvaˇ zujeme bez tˇ ren´ı. Kotouˇ c se po rovinˇ e pohybuje bez prokluzu, kotouˇ c se pohybuje pouze v takov´ em intervalu, aby z nˇ ej tyˇ c nespadla a aby ji nepˇ revalil. viz obr´ azky 2 a 3 .
Obr´ azek 2: Maxim´aln´ı moˇzn´ y posun kotouˇce doleva
Obr´ azek 3: Maxim´ aln´ı moˇzn´ y posun kotouˇce doprava, tyˇc nespadne
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
2
3
Matematick´ y model
ˇ sen´ı naˇseho probl´emu doc´ıl´ıme tak, ˇze sestroj´ıme pohybovou rovnost syst´emu, Reˇ ze kter´e si m˚ uˇzeme posl´eze dopoˇc´ıtat potˇrebn´a data a celkovˇe analyzovat chov´an´ı uv´ adˇen´eho mechanick´eho syst´emu - souˇc´astky. Jedn´ım z nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ıch a nejefiktivnˇejˇs´ıch n´astroj˚ u pro sestrojen´ı pohybov´e rovnosti mechanick´eho syst´emu jsou Lagrangeovy rovnosti II. druhu. (Lagrangeovy rovnice II. druhu)1
2.1
Lagrangeovy rovnosti II. druhu
Cesta odvozen´ı Lagrangeov´ ych rovnic II. druhu je velice zdlouhav´a. Proto zde akor´ at uvedu, ˇze jsou odvozeny pomoc´ı D‘Alembertova principu, Lagrangeov´ ych rovnost´ı I. druhu a Centr´ aln´ı Lagrangeovy rovnosti. Konkr´etn´ı tvar Lagrangeov´ ych rovnost´ı II. druhu: ∂L ∂L )− =0 dt ∂ q˙k ∂q k d
(
(1)
, kde L je tzv. Lagrangeova funkce ve tvaru: L = Ek − Ep
(2)
, kde Ek je kinetick´ a energie mechanismu, v tomto pˇr´ıpadˇe souˇcet energi´ı z´ıskan´e vlivem rotaˇcn´ıch a posuvn´ ych pohyb˚ u jednotliv´ ych souˇc´ast´ı mechanismu. Ep je potenci´ aln´ı energie, v tomto pˇr´ıpadˇe souˇcet potenci´aln´ıch energi´ı jednotliv´ ych souˇc´ ast´ı mechanismu. Symbol q k zde neznaˇc´ı mocninu q, ale naznaˇcuje, ˇze se jedn´a zobecnˇen´e souˇradnice. Lagrangeovy rovnosti II. druhu ve tvaru (1) jsou obecnˇe soustavou k diferenci´ aln´ıch rovnost´ı, kde k je poˇcet promˇen´ ych(souˇradnic). Z uveden´ ych rovnost´ı (1) a (2) vypl´ yv´a, ˇze potˇrebujeme: a) Sestrojit Lagrangeovu funkci (2), tj. urˇcit Ek a Ep . b) Um´ıstit mechanismus do nˇejak´eho souˇradnicov´eho syst´emu, ve kter´em budeme schopni pro jednotliv´e komponenty mechanismu zav´est souˇradnice. 1 zmiˇ nuji zde slovo ”rovnice” schv´ alnˇ e, protoˇ ze v literatuˇre pˇrevl´ ad´ a n´ azev ”Lagrangeovy rovnice”
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
2.2
4
Zachycen´ı mechanismu do souˇ radnic, popis syst´ emu
Abychom mohli mechanismus analyzovat za pomoc´ı matematiky,mus´ıme mechanick´ y syst´em vhodnˇe zachytit do nˇejak´eho souˇradnicov´eho syst´emu. Zvolen´ı souˇradnicov´eho syst´emu v´ıcem´enˇe z´aleˇz´ı na ˇreˇsiteli a z´avis´ı na vhodnosti pro konkr´etn´ı pˇr´ıklad. Pro zachycen´ı tohoto modelu jsem zvolil kart´ezsk´y syst´em. Zachycen´ı modelu do souˇradnicov´eho syst´emu je zobrazeno na obr´azku 4.
Obr´ azek 4: Obr´azek popisovan´eho mechanismu
m1 ... hmotnost kotouˇce R ... polomˇer kotouˇce ϕ1 ... u ´hel pootoˇcen´ı kotouˇce x1 ... x-sov´ a souˇradnice stˇredu kotouˇce [x1 , R] ... souˇradnice stˇredu kotouˇce, stˇred je z´aroveˇ n tˇeˇzistˇe kotouˇce l .... d´elka tyˇce ϕ2 ... u ´hel pootoˇcen´ı tyˇce m2 ... hmotnost tyˇce T [xT ; yT ] ... souˇradnice tˇeˇzistˇe tyˇce,je uprostˇred tyˇce
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
2.3
5
Sestrojen´ı Lagrangeovy funkce L = Ek − Ep (2)
K sestrojen´ı Lagrangeovy funkce potˇrebujeme zn´at kinetickou energii Ek a potenci´ anln´ı energii Ep jednotliv´ ych komponent mechanismu. Vyj´adˇren´ı pro kinetickou energii z´ısk´ ame ze skuteˇcnosti, ˇze Ek = pohybov´ a energie tˇelesa + rotaˇcn´ı energie tˇelesa. Ek =
1 2
mx˙2 +
1 2
I ϕ˙2
(3)
, kde I je moment setrvaˇcnosti. Momenty setvaˇcnoti pro bˇeˇzn´e tvary tˇeles jsou lehce k nalezn´ı v literatuˇre. Moment setrvaˇcnosti kotouˇce : 1
m1 R2 (4) 2 Moment setrvaˇcnosti tyˇce, jej´ıˇz osa ot´aˇcen´ı proch´az´ı jedn´ım z konc˚ u tyˇce: I1 =
1
m2 l2 (5) 3 Pro n´ aˇs pˇr´ıpad bude m´ıt celkov´a kinetick´a energie vˇsech souˇc´ast´ı n´asleduj´ıc´ı tvar: Ek = pohybov´ a energie kotouˇce + rotaˇcn´ı energie kotouˇce + rotaˇcn´ı energie tyˇce = 1 1 1 Ek = m1 x˙21 + I1 ϕ˙21 + I2 ϕ˙22 (6) 2 2 2 Po dosazen´ı (4) a (5) dostaneme vztah: I2 =
1
1 1 m1 x˙21 + m1 R2 ϕ˙21 + m2 l2 ϕ˙22 (7) 2 4 6 Vyj´ adˇren´ı potenci´ aln´ı energie Ep je v naˇsem pˇr´ıpadˇe jednoduch´e. Jedin´e tˇeleso, kter´e mˇen´ı v naˇsem mechanismu potenci´aln´ı energii je je tyˇc. Tˇeˇziˇstˇe tyˇce se m˚ uˇze podle zad´ an´ı pohybovat pouze v intervalu < 12 R, 2l > na ose y, kde krajn´ı hodnoty intervalu pˇredstavuj´ı nulovou resp. maxim´aln´ı hladinu potenci´ aln´ı energie. Ek =
l 1 Ep = m2 g sinϕ2 − m2 g R 2 2 Lagrangeova funkce m´ a tedy tvar: L = Ek −Ep =
1 2
(8)
1 1 l 1 m1 x˙21 + m1 R2 ϕ˙21 + m2 l2 ϕ˙22 −m2 g sinϕ2 +m2 g R 4 6 2 2 (9)
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
2.4
6
Vazby, syst´ em s jedn´ım stupnˇ em volnosti
Jak jiˇz bylo v´ yˇse uvedeno v´ yraz (1) pˇredstavuje soustavu k diferenci´aln´ıch rovnost´ı. V naˇsem pˇr´ıpadˇe si m˚ uˇzeme situaci zjednoduˇsit a z´ıskat pouze jednu rovnici. Uvaˇzovan´ y mechanick´ y syst´em je syst´em s jedn´ım stupnˇem volnosti . Jednoduˇse ˇreˇceno: pokud hnu s jakoukoli souˇc´ast´ı syst´emu, hnu i s ostatn´ımi souˇc´astmi syst´emu, nebo jeˇstˇe jinak : pokud zmˇen´ım jednu souˇradnici v syst´emu, zmˇen´ı se mi i v jist´e z´ avislosti ostatn´ı souˇradnice v syt´emu. Jako v´ ychoz´ı souˇradnici si zvol´ıme napˇr´ıklad souˇradnici ϕ1 , pomoc´ı t´eto souˇradnice si vyj´ adˇr´ıme vˇsechny ostatn´ı souˇradnice ve vztahu (9), tj. x1 , ϕ2 . Z´ aroveˇ n si urˇc´ıme i jejich derivace podle ˇcasu. Je zˇrejm´e, ˇze plat´ı: x1 = Rϕ1
(10)
x˙1 = Rϕ˙1
(11)
Vazbu mezi ϕ1 a ϕ2 urˇc´ıme z geometrick´ ych vztah˚ u zobrazen´ ych na obr. 5.
Obr´ azek 5: Odvozen´ı vazby mezi ϕ1 a ϕ2 Z obr. 5 se d´ a vyˇc´ıst, ˇze:
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
tg
ϕ2 2
=
R
2.5
(12)
R + Rϕ1
ϕ2 = 2 arctan( ϕ˙2 =
7
R
)
(13)
.ϕ˙1
(14)
R + Rϕ1
−2R2 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21
Sestaven´ı pohybov´ e rovnosti pomoc´ı Lagrangeov´ ych rovnost´ı II. druhu
V pˇredeˇsl´e ˇc´ asti jsme si vˇsechny souˇradnice vyj´adˇrily pomoc´ı jedin´e souˇradnice ϕ1 . Lagrangeovu funkci ve tvaru (9) nyn´ı po dozasezen´ı vztah˚ u (11) a (14) m˚ uˇzeme vyj´ adˇrit ve tvaru : L=
1 1 −2R2 m1 R2 ϕ˙21 + m1 R2 ϕ˙21 + m2 l2 ( )2 .ϕ˙21 − 2 4 6 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 1
−m2 g
l 2
sin[2 arctan(
R
1 )] + m2 g R R + Rϕ1 2
(15)
Po zjednoduˇsen´ı: 3 1 −2R2 R l 1 L = [ m1 R2 + m2 l2 ( )2 ].ϕ˙21 −m2 g[ sin{2 arctan( )}− R] 2 2 2 4 6 2R + 2R ϕ1 + ϕ1 2 R + Rϕ1 2 (16) ∂L d ∂L ( ˙k ) a ∂q Nyn´ı uˇz potˇrebujeme ”pouze” vyj´adˇrit dt k z rovnosti (1) , tj. z ∂q
rovnosti
d ∂L ( ) dt ∂ q˙k
−
∂L ∂q k
= 0, kde q k = q 1 = ϕ1 = ϕ1 (t)
Radˇeji zopakujme, ˇze se nejedn´a o mocniny q, ale o oznaˇcen´ı souˇradnice. 3 1 −2R2 )2 ].ϕ˙1 = [ m1 R 2 − m2 l 2 ( ∂ ϕ˙1 2 3 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 ∂L
(17)
3 1 −2R2 8 m2 l2 R4 (2R2 + 2ϕ1 ) 2 ) = [ m1 R2 − m2 l2 ( ) ]. ϕ ¨ +[ ].ϕ˙21 1 dt ∂ ϕ˙1 2 3 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 3 (2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 )3 (18) d
(
∂L
R 2 4 R4 (2R2 + 2ϕ1 ) l 2R cos{2 arctan( R+Rϕ1 )} = − m2 l2 +m g 2 ∂ϕ1 3 (2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 )3 2 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 (19)
∂L
prezentace KMA/MM-Matematick´e modelov´an´ı
8
Nyn´ı uˇz m´ ame vˇse pˇripraveno. Staˇc´ı pouze dosadit v´ yrazy (18) a (19) do v´ ychoz´ı rovnosti (1): 1 −2R2 8 m2 l2 R4 (2R2 + 2ϕ1 ) 3 2 ].ϕ˙21 + ) ]. ϕ ¨ +[ [ m1 R2 − m2 l2 ( 1 2 3 2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 3 (2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 )3 4
2
R4 (2R2 + 2ϕ1 )
R 2 l 2R cos{2 arctan( R+Rϕ1 )}
+ m2 l − m2 g 3 (2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21 )3 2
2R2 + 2R2 ϕ1 + ϕ21
=0 (20)
Nebo v pˇrehlednˇejˇs´ı formˇe: a(ϕ1 ).ϕ¨1 + b(ϕ1 ).ϕ˙21 + c(ϕ1 ) = 0
(21)
Rovnost (20), resp. (21) jeˇstˇe m˚ uˇzeme doplnit okrajov´ ymi podm´ınkami pro ϕ1 , kter´e by z´ avisely na zvolen´ı hodnot l, R.
2.6
Z´ avˇ er
Sestavili jsme pohybovou rovnost (20), kterou vyˇreˇs´ıme v matlabu, nebo odneseme na KMA. Ze sestaven´e rovnosti je vidˇet, ˇze i zd´anlivˇe jednoduch´ y mechanismus popisuje pomˇernˇe sloˇzit´ a diferenci´aln´ı rovnice II. ˇr´adu. ˇ sen´ım dosaˇzen´e rovnosti je fce ϕ1 (t), kter´a popisuje polohu tˇelesa v dan´em Reˇ prostˇred´ı. Parametr t m˚ uˇze pˇredstavovat ˇcas.
2.7
Pouˇ zit´ a literatura
Teoretick´ a mechanika; Rosenberg, Josef; Plzeˇ n 2003 Dˇ ekuji za pozornost