ROZMANITOST ŘEŠENÍ ŽÁKŮ JAKO DIAGNOSTICKÝ NÁSTROJ EDUKAČNÍHO STYLU

ROZMANITOST ŘEŠENÍ ŽÁKŮ JAKO DIAGNOSTICKÝ NÁSTROJ EDUKAČNÍHO STYLU Milan Hejný, Karlova Univerzita v Praze, Pedagogická fakulta Abstract: A word problem was solved by Grade 3 pupils. Each solution was characterized by a vector of more than 100 parameters divided into 6 phenomena: Grasping, Strategy, Answer, Interpretation, Language, and Visualization. The latter three were deeply analyzed and put together to make a characterization of the whole class and hence the educational style of the teacher. A comparison of such class characterizations of 29 classes from the Czech Republic, the Slovak Republic and Poland is presented. The goal of our on-going research is to create a diagnostic tool for the characterization of the educational style of a teacher. Poděkování Autor děkuje kolegům, učitelům ZŠ (resp. Škol podstawowych), za žákovská řešení, která mu laskavě poskytli jako výzkumný materiál k této studii. Jmenovitě: sestra Adriana, M. Antolíková, L. Antonínová, E. Bartošová, K. Basista, V. Boudová, Š. Brožová, A. Bukvičková, D. Černá, D. Floretová, M. Grucmalová, V. Hamrová, J. Hlaváčová, I. Chalupníková, I. Kročáková, M. Lacinová, R. Němcová, J. Pejšman, M. Pírková, D. Polívková, H. Ptáčniková, J. Romowicz, D. Skawińska, D. Svatoňová, K. Šalátová, E. Štefániková, H. Vajdlová. Děkujeme též kolegům, kteří se podíleli na získávání uvedených materiálů: J. Hanušové, J. Kurucovi a A. Urbanské. Děkujeme i těm sedmi kolegům, učitelům, kteří nám materiály zaslali, ale jejichž jména nám zůstala neznámá. Děkuji manželce Evě za trpělivou pomoc při organizačně náročné práci, kterou výzkum vyžaduje. 1. Úvod V polovině osmdesátých let autor se spolupracovníky uskutečnil výzkum řešitelských strategií slovních úloh žáků prvního stupně. Evidovali jsme, že v některých třídách byla rozmanitost žákovských řešení bohatší, v jiných chudší. Přitom jsme nabyli dojmu, že rozmanitější řešení jsou z těch tříd v nichž edukační styl učitele byl tvořivější a mílo rozmanité z těch tříd, v nichž edukační styl učitele je transmisivní. Zajímavou studii o rozmanitosti myšlení žáka publikoval Gray, E., et al. v roce 1999. V ní ukázal, že pestrost žákovy reakce na náhodný podnět je v korelaci s jeho intelektuálními abilitami. V poslední době je fenomén rozmanitosti (diversity) zkoumán z mnoha pohledů. Například dvě ze čtyř plenárních přednášek na PME 28 se týkaly tohoto fenoménu (Hershkowitz R. a Powell A.B.). Druhý z uvedených autorů ve své studii píše “Diversity or rather the lack of diversity is an aspect of the instructional crisis in US mathematics education.” (Rozmanitost, lépe nedostatek rozmanitosti, svědčí o krizi instruktivního vyučování v USA.) U nás se jevu rozmanitosti věnuje probíhající výzkum D. Jirotkové a J. Kratochvílové (2005). Bezprostředním impulsem k našemu výzkumu byla seminární práce V. Boudové (ZŠ Sokolov). V ní autorka analyzuje řešení žáků své třetí třídy jedné slovní úlohy. Žákovská řešení žáků třídy kolegyně Boudové byla tak rozmanitá, že mne motivovala k uskutečnění sondy v několika dalších třídách. Byl jsem zvědav, zda ve všech třídách bude rozmanitost žákovských řešení tak bohatá. Ukázalo se, že rozmanitost značně kolísá a že analýza žákovských řešení dává možnost říct mnohé o edukačním stylu učitele dané třídy a upozornit jej na možnosti zlepšení vyučování. Tedy zmíněná úloha může být použita jako diagnostický nástroj edukačního stylu učitele, bude-li k ní vypracován diagnostický klíč. Právě tento cíl sleduje náš výzkum, který se teprve rozbíhá. Následující studie prezentuje současný stav (srpen 2005) výzkumu. Terminologická poznámka. Anglické slovo „diversity“, které se v didaktice matematiky používá na označení rozmanitosti, pochází z latinského dīversitās = různost, nestejnost, rozdíl. 19

V češtině existují blízká slova diverzant a diverzifikace, ale slovo „diverzita“ ve slovníku zatím není. Kdyby bylo, vyhovovalo by české terminologii nejlépe. 2. Metoda Nástrojem výzkumu je následující úloha Úloha. Tatínek měl 20 koleček. Chtěl z nich sestavovat koloběžky a tříkolky. Kolik čeho mohl sestavit? Komentář. Matematickým modelem úlohy je diofantická rovnice 2k + 3t = 20, kde k je počet koloběžek a t je počet tříkolek. Tato úloha má 4 řešení: (k;t) = (10;0), (7;2), (4;4) a (1;6). Bližší pohled na úlohu vyvolává jisté otazníky, které nutno diskutovat: 1.Je řešení (10;0) korektní, když zde není žádná tříkolka? 2. Musel tatínek použít všechna kolečka? To text úlohy nevyžaduje. Proto musíme připustit i taková řešení u nichž je místo čísla 20 číslo n < 20. Rovnice 2k + 3t = n má 44 řešení, jestliže i (k;t) = (0;0) považujeme za řešení. Sedmnáct řešení, pro která je n > 15, je uvedeno v tabulce: k 10 7 4 1 8 5 2 9 6 3 0 7 4 1 8 5 2 Atd. t 0 2 4 6 1 3 5 0 2 4 6 1 3 5 0 2 4 Atd. n 20 19 18 17 16 Atd. 3. Mohl tatínek sestrojovat koloběžky a tříkolky, když měl jenom kolečka a neměl další součástky? Nic o tom se v úloze nepraví. 4. Co když tatínek kromě tříkolek a koloběžek chtěl z koleček sestrojovat i další vehikly? Všechny čtyři uvedené poznámky jsou z hlediska výzkumu relevantní, o každé z nich se někteří žáci zmiňovali. O spolupráci bylo požádáno asi 50 učitelů a od 34 jsme obdrželi žákovská řešení. Žel v 5 případech nebyly dodrženy požadované podmínky experimentu a proto do analýz bylo zahrnuto jen 29 tříd. Z nich 3 jsou z Polska, 8 ze Slovenska, 7 z Prahy a 11 z mimopražských českých škol. Počet žáků ve třídě kolísal od 9 do 31. Celkem je analyzováno 568 žákovských řešení (278 dívek a 290 hochů). Žákovská řešení jsou číslována od 001 do 866. Každá třída je číslována od čísla 10n + 1 kde n je přirozené číslo od 0 do 84. Nejprve jsou evidovány všechny dívky dané třídy, pak hoši. Například žáci jedné třídy jsou číslování čísly 041-060, žáci jiné třídy 301-329, další třídy 551-579 atd. Příslušné třídy jsou pak číslovány dvojčíslím 04, nebo 30, nebo 55 atd. Tedy číslem třídy je první dvojčíslí prvního žáka této třídy. Ne všechny čísla jsou obsazena, protože jsme se snažili (tam, kde to bylo možné) hochy číslovat od nejbližší celé desítky. Z důvodů utajení citlivých informací jsou všechna řešení žáků uváděna v českém jazyce a jména žáků jsou smyšlená. V první etapě výzkumu, do března 2005 bylo analyzováno jen 7 českých tříd a byla rozpracována technika analýzy. U každého řešení žáka bylo zkoumáno pět různých fenoménů: 1. Uchopení úlohy, 2. Interpretace úlohy, 3. Jazyk řešení, 4. Vizualizace, 5. Řešitelská strategie, 6. Odpověď. Výsledek zde získaný byl prezentován na mezinárodní konferenci SEMT, v srpnu 2005 v Praze. Bližší charakteristika těchto fenoménů je v následující kapitole. Podrobněji rozebereme pouze druhý fenomén: interpretace úlohy. Žádný jiný fenomén není v současnosti ještě detailně zpracován. Další analýzy ukázaly, že je třeba zkoumat další fenomény: 7. Kalkulativní postupy, 8. Architekturu rozvržení zápisů na papíře, 9. Práci žáka s chybou a 10. Emoční otevřenost/uzavřenost žáka. Pokud jde o kalkulace je podivuhodné, že v některých třídách výrazně převládalo odčítání (od čísla 20 se odebírala čísla 2 a 3), v jiných dopočítávání do 20. Některé třídy byly ale v tomto směru vyvážené. Způsob jakým někteří žáci pokryli papír čísly a písmeny zasluhuje 20

speciální zkoumání. Zejména dva momenty jsou zde pozoruhodné: u některých žáků byly odděleny výpočty pomocné od výpočtů nosných – ty byly nahoře uprostřed; někteří žáci tak výrazně šetřili místem, že nahustili mnoho čísel a písmen na malý prostor tak, že luštění těchto nápisů vyžaduje lupu; přitom 80% papíru zůstalo prázdného. U práce žáka s chybou i u emoční otevřenosti bude zřejmě možné nejprůkazněji sledovat přítomnost strachu, až frustrace u některých žáků. 3. Diagnostické fenomény 3.1 Uchopení úlohy (Grasping) Matematická úloha je výzva. Řešitel může na ni reagovat trojím způsobem: 1. Přímo - výzvu příjme a zahájí řešitelský proces. 2. Úhybně - zahájí náhradní proces, například snaží se řešení opsat od souseda. 3. Rezignací - výzvu odmítne, úlohu neřeší. Reaguje-li řešitel přímo, musí úlohu nejprve uchopit. Uchopováním úlohy nazýváme proces, který probíhá ve vědomí řešitele při vnímání textu úlohy. Začíná okamžikem, kdy žák začne úlohu číst a končí okamžikem, když žák úlohu interpretuje – ujasní si co je jeho cílem, co chce dosáhnout. Někdy se řešitel k textu úlohy vrací, aby si upřesnil, co prve neviděl jasně, nebo aby hledal jinou interpretaci, aby úlohu reinterpretoval. U několika málo tříd se fenomén uchopování úlohy ukázal jako významný diagnostický faktor. Jestliže více než 20 % žáků třídy právě uchopování věnovalo velikou péči a vlastní řešení úlohy u nich bylo chudé, pak to svědčí o nepřiměřeném důrazu, který vyučující v této třídě klade na vnější jevy na úkor matematického myšlení žáků. (Dovolte privátní tragikomickou vsuvku. Když jsem se dávněji vnuka, prváka, ptal, kdo v jejich třídě umí nejlépe matematiku, řekl že Mirka a dodal „kdybys, dědo, viděl, jak krásně ona umí napsat trojku“.) Reaguje-li řešitel na výzvu úlohy úhybně, nebo rezignací, pak k procesu uchopování dochází jen v omezeném rozsahu, nebo vůbec ne. Závěry. Z předběžné analýzy fenoménu uchopování lze formulovat tuto radu pro učitele. Pro žáka, který ihned po přečtení úlohy vidí cestu k řešení je uchopování úlohy nepotřebné a je-li učitele vyžadováno, působí nemotivačně. Pro žáka, který má s porozuměním úlohy potíže, může uchopování úlohy pomoci najít porozumění. Zejména, když se nejedná o uchopování mechanické, ale když žák ví, že si má ujasnit celou situaci, objekty i vazby, které jsou známé, a objekt, který je hledaný. 3.2 Interpretace úlohy V komentáři k úloze jsme ukázali, že zadání úlohy není jednoznačné, že připouští více dobře hájitelných interpretací. Žáci ale vytvořili i interpretace, které již dobře hájit nelze, ale které jsou, z diagnostického hlediska neméně důležité jako interpretace korektní. Vzhledem k tomu, že problematice interpretace jsou věnovány následující dvě kapitoly, dále toto téma zde nediskutujeme. Pouze uvedeme, že byl evidován více než tucet rozmanitých interpretací. 3.3 Jazyk (Language) V žákovských řešeních jsme evidovali značnou rozmanitost jazyků. Původně jsme je rozdělili do šesti kategorií: a) slova, b) písmena, c) ordinální čísla, d) kalkulace, e) vizualizace (grafy, obrázky, schémata) f) ilustrace (výtvarné artefakty). Poslední dvě z těchto kategorií se ukázaly tak rozsáhlé, že jsme je vzali jako zvláštní fenomén. Výjimečně žákovo řešení použije pouze jeden jazyk. Ve většině řešení nacházíme více jazyků. a) Slova mateřského jazyka, stejně jako d) kalkulace, jsou použita skoro ve všech řešeních.

21

b) Písmena (nejfrekventovanější je písmeno x) jsou používána buď pro označení neznámého čísla, nebo jako ikonka pro: tatínek … 20 koleček x = 5.2 x = 3.3 x = 10 + 9 toto číslo hledám. kolik …. x x = 10 x=9 x = 19 Například v řešení Dany Tatínek mohl sestavit 5 koloběžek a 3 tříkolky. Dívka (225) (225) se písmeno x vyskytuje 7krát. Poprvé tak, jak jej používá učitel: písmenem si označíme neznámé číslo. V dané úloze máme ale dvě neznámá čísla. To si Dana neuvědomí. V dalším řešení znak x dívka používá ve smyslu toto číslo právě počítám. Je to zcela zbytečné. Každý ze tří jednoduchých zápisů 5.2 = 10, 3.3 = 9 a 10 + 9 = 19. rozkládá do dalších dvou zápisů pomocí písmene x. Nakonec nachází správné řešení, ale použití písmene x ji k úspěchu stěží pomohlo. Spíše ji práci komplikovalo, i když ji nespletlo. Kamila (145a) dopadla hůře. Na rozdíl od Dany, Kamila je si vědoma, že neznámá čísla jsou dvě. Pro obě použije stejný znak x. Podobně jako Dana i Kamila řešení uvidí: bude-li tatínek dělat jen koloběžky, udělá jich 10, bude-li dělat jen tříkolky, udělá jich 6. (Danina interpretace úlohy se od Kamiliny liší.) Kamila tedy řešení zná, ale jak jej zapsat? Co je to x? Kamila se rozhodne za x vzít součet všech tří čísel: vstupního 20 a výstupních 10 a 6. Pak ale ji ale výsledek x = 36 přestane líbit (důvody nevíme) a rozhodne se k radikálnímu kroku. Změní interpretaci úlohy (na tu, kterou použila Dana) a co je nejdůležitější, změní jazyk. Situaci vizualizuje: nakreslí 7 koloběžek a 2 tříkolky a pod to napíše řešení Tatínek postavil 7 koloběžek a 2 tříkolky. c) Ordinální čísla jsou pokaždé spojena s dalšími jazyky. Například Eduard (278), jehož řešení je typickým příkladem použití ordinálních čísel, používá kromě těchto i slova a vizualizaci. Závěry. Z předběžné analýzy žáky použitých jazyků lze uvést radu učiteli: povzbuzujte snahu žáků vidět problémovou situaci pomocí znázornění; nedávejte jim předčasně jazyk písmen. Pro většinu žáků je obrázek nejúčinnějším jazykem jak pro nabytí vhledu, tak i pro řešení úlohy. Naopak, snaha žáka použít písmen, často vede žáka do slepé uličky. Tento jazyk není pro žáka 3. ročníku přirozený a jeho používání řešitele zavádí a bere mu energii. Tabulka jako jazyk uchopení více než jednoho řešení se neobjevil u žádného žáka a tak i na tento jazyk je třeba učitele upozornit. 3.4 Vizualizace a ilustrace Vizualizací nazýváme ten graficko-výtvarný produkt žáka, který byl vytvořen s cílem porozumět úloze, najít její řešení, nebo napomoci formulovat výsledek. Výtvarný produkt žáka, který neplní žádnou z výše uvedených funkcí a má jen estetický význam, nebo je veden jinou než matematickou snahou o seberealizaci považujeme za ilustraci. Hranice mezi vizualizací a ilustrací je neostrá a někdy je nemožné žákův produkt jednoznačně zařadit. Například Pavlína (383) si nejprve nakreslila schéma tříkolky a schéma koloběžky, aby si vizualizovala čísla 2 a 3 (kolečka). Pak ale schémata dokreslila a ke koloběžce dokonce přikreslila zvoneček z něhož jde citoslovce „cink“ provázeno notami. Takový produkt jsme klasifikovali i jako vizualizaci i jako ilustraci. Typickou vizualizaci vidíme na řešení Eduarda (278). Zde jsou na znázornění tatínkových koleček použita skutečně kolečka. Někdy jsou to čárky, výjimečně jiné znaky. Více o tomto fenoménu uvedeme v kapitole 4. 22

3.5 Řešitelská strategie (Solving strategy) Žák, který úlohu uchopil a interpretoval, ví co od něj zadání žádá a hledá způsob jak této žádosti vyhovět, jak úlohu vyřešit. Hledá cestu od známých údajů k údajům neznámým. Tyto údaje si vytvořil na základě interpretace. V tomto okamžiku nás nezajímá jakou interpretaci si žák vytvořil, ani zda byla správná. Zajímá nás jakou strategii použil. Vzhledem k značnému počtu interpretací této úlohy je i její varieta řešitelských strategií velice bohatá. Analýza strategií zatím systematicky dělána nebyla. V rámci analýz jiných fenoménů byly získány některé dílčí výsledky. Jeden zde uvedeme. Vztahuje se k práci Marie (116). Celkové řešení dívky se skládá ze dvou částí. Grafické umístěné v dolní části papíru a horní, početní. Dívka si nejprve v dolní části papíru nakreslila 20 čárek a ty kroužkovala po skupinách : 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2. Pak nad každou skupinu napsala její pořadové číslo a písmeno T resp. K podle toho zda ve skupině byly 3 nebo 2 čárky. Očíslovala tak 4 skupiny T a 4 skupiny K. V této chvíli byla úloha vyřešena, a asi teď dívka napsala odpověď, která je zcela nahoře, hned pod zadáním. Práce dívky zdaleka ale nekončí. Proč? Nevěří svému výsledku? Potřebuje jej prověřit i jiným jazykem? Domníváme se, že toto není příčinou další práce Marie. Podle našeho názoru, Marie je situací oslovena a má radost, že si s ní může hrát. Upravuje ji ještě čtyřmi různými způsoby. Nejprve si grafické řešení přepíše do numerického zápisu; ten vidíme v pravém horním rohu foto-kopie 116: 352 + 352 +352 +352 = 20. Pod čísly 3 a 2 jsou jejich pořadová čísla: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. V této chvíli je výsledek již formulován jak graficky, tak číselně, ale Marie nekončí. Nachází další možné vylepšení: uspořádání. Vrací se na spodní část K K1 T papíru a pod již nakreslené čárkové řešení kreslí kolečkové T1 řešení. Je zde přepsáno s tím rozdílem, že v řešení Marie jsou ooo . oo ooo . oo kolečka balena nikoli do obdélníků, jako na obrázku A, ale do K2 T T K „brambor“. Všimněme si, že tento obrázek není dokončen – ooo . oo pořadová čísla jsou jen u tří vehiklů a u pěti schází – vidíme, že oo . ooo grafické řešení chápala Marie pouze jako pomocné řešení, „na Obr. A nečisto“ a za „čisté“ řešení považovala pouze řešení početní. Zde dívka objevila, že uspořádání čtyř pětic do tvaru čtverce je i esteticky pěkné a tak se vrací na horní polovinu listu, kde uvádí numerická řešení. Při přepisu grafického záznamu do numerického si všimne, že pořadí T a K není dobře organizováno: ve třech případech je první písmeno T v jednom je první K. Při přepisu do čísel chce Marie uspořádání vylepšit. Úhledně zapíše obrázek B. 5 2 53 I v tomto zápisu je ale nedokonalost. Klastr 253 v pravém horním rohu je jiný než 3 2 5 2 53 tři zbylé klastry. Marie to vidí a objeví dokonalejší zápis: bude souměrný jak 3 2 podle svislé, tak i podle vodorovné osy. Proto zápis (obr. B) nechá bez dalších úprav a píše, Obr. B závěrečný zápis. Jeho dominance je dána velikostí písma. Zápis vidíme v levé časti fotografie, nahoře. Až tato prezentace se Marii jeví jako dokonalá. Nejen matematicky, ale i esteticky. Estetika spočívá ve vyváženosti zápisu. To má nejen estetickou, ale i matematickou hodnotu, protože čtveřice klastrů na obr. B je souměrná jak podle vodorovné, tak i horizontální osy. Konečně pořadové čísla jednotlivých klastrů výsledného obrázku 116 dokumentují, že koloběžek i tříkolek je čtvero. Pohled na strategii jediného řešení naznačil bohatství pod-fenoménů, které bude nutno analyzovat. á bude paleta parametrů, které při zkoumání tohoto fenoménu vstoupí do hry. Za zvláště významný zde považujeme proces hledání vyváženého zápisu. Velice často právě přehledný zápis je inspirátorem objevu důležitého vztahu nebo zákonitosti. Snaha řešitele o 23

strukturovaný zápis tedy směřuje nikoli k danému problému, ale k problémům následujícím, protože hledáním jasnější struktury výsledku si Marie rozvíjí schopnost strukturace souboru jevů, schopnost, kterou využije v budoucnu. Dodejme, že tato neleží v kognitivní, ale v metakognitivní oblasti. Závěry. Z předcházejících výzkumů víme, že schopnost žáka hledat účinné řešitelské strategie je založena na třech fenoménech na: 1) zkušenosti žáka se situacemi analogickými jako je ta, právě zkoumaná, 2) jeho schopnosti vzájemně propojovat různé myšlenky a 3) jeho schopnosti výstižně a srozumitelně artikulovat své vlastní myšlenky. Rozvoji žákových schopností, které jsou uvedeny v posledních dvou bodech, můžeme napomoci povzbuzováním žáků k diskusím. V diskusi člověk formuluje vlastní postupy (tím je zvědomuje) a myšlenky diskusních partnerů interpretuje a vkládá je do vlastních mentálních schémat (tím dochází k tvorbě nových spojů v jeho kognitivní a někdy i meta-kognitivní struktuře). 3.6 Odpověď (Answer) Podobně jako u uchopování i zde se do práce žáka promítá edukační styl učitele, zejména míra jeho instruktivnosti. Žáci vedeni instruktivně odpovídají celou větou a dají si záležet na úhlednosti písma i gramatické správnosti. Například ve třídě (461-480) z 21 žáků jen 5 udělalo gramatickou chybu – například v slově „koloběžek“ dva žáci opomněli napsat poslední písmeno „k“. Protipólem přepečlivých žáků jsou žáci, kteří úlohu řeší pouze „pro sebe“. Když řešení najdou, necítí potřebu výsledek formulovat i pro jiného člověka. Například ve třídě (671-699) ze 26 žáků jich 11 odpověď pouze nakreslilo – např. 10 koloběžek – a nic k tomu nepřipsalo. U těchto řešení je obrázek dosti výmluvný a slov ani není netřeba. Podobně není nutno psát odpověď u obrázku na němž jsou jen dva vehikly, koloběžka a tříkolka a u každého z těchto vehiklů je připsáno číslo 4. U jiných řešení považujeme absenci odpovědi za závažný nedostatek. Například Venda (594) napsal jen sérii sedmi rovností: 20 – 3 = 17

17 – 2 = 15

15 – 3 = 12

12 – 2 = 10

10 – 3 = 7

7 – 2 = 5,

5 – 3 = 2.

Střídavě odčítá 3 a 2, což zřejmě chápe jako tatínek udělal tříkolku (resp. koloběžku) a ze zásoby jeho koleček mu ubyla 3 (resp. 2) kolečka. Je tedy pravděpodobné, že Venda řešení (k = t = 4) viděl. Původně jsme toto řešení klasifikovali jako „správné, bez formulované odpovědi“. Jenže pak se objevilo řešení Bořivoje, které vypadalo velice podobně: 20 – 218 – 315 – 213 – 310 – 28 – 35 – 23 – 3 = 0. I toto řešení jsme původně klasifikovali jako „správné, bez formulované odpovědi“. Bořivoj ale měl u řešení další obrázky, kterým jsme nerozuměli a tak jsme s hochem udělali rozhovor. Zde překvapivě vyšlo najevo, že hoch vůbec nevěděl, co počítá. Někdo ve třídě řekl, že tato úloha je na odčítání. (Rozhovory s dalšími žáky třídy ukázaly, že ono sdělení, že se jedná o úlohu na odčítání ovlivnilo větší počet žáků a nakonec to vedlo k vyloučení dané třídy z výzkumného materiálu). Proto Bořivoj nasadil postup, který s pani učitelkou žáci trénují: Od daného čísla se postupně odčítají jiná menší čísla, až se dojde k nule. S Vendou rozhovor uskutečněn nebyl a již ani nebude. Hoch by si již nepamatoval jak k řešení došel. Dodejme, že v této třídě se 14 žáky podobné řešení odevzdali ještě 3 další žáci. Konečně jsou některá řešení, kde zápis řešení je tak úsporný, že u případné chybné odpovědi nelze rozhodnout, zda se jedná o chybu podstatnou, nebo o přepis. Například žák Honza (499) napsal 20:5 = 4 a odpověděl Sestavit mohl 5 tříkolek a 4 koloběžky. Není vyloučeno, že jeho původní úvaha byla dobrá. Byla založena na vztazích 5 = 3 + 2 a 20:5 = 4, jejichž interpretace je stejná jako jsme to viděli u Marie (116). Jsou zde 4 dvojice koloběžka + tříkolka. Ale o této úvaze není v Honzově řešení žádná stopa a proto hochovo řešení učitel nemůže akceptovat jako správné. Podobných nejasností je v žákovských řešeních poměrně hodně (určitě více než 10%). Tam, kde se jedná o žáka pražské školy, nebo školy ležící blízko 24

Prahy, bylo následné interview se žákem možné. Žel u jiných tříd – a těch je většina – to možné není. Ve větším počtu tříd (asi 18) se objevilo opisování výsledků. Skoro pokaždé bylo možné přesnější analýzou určit žáka, který byl autorem a který opisoval. V jediném případě jsme našli spolupráci: jeden žák našel případ k = 7, t = 2 a druhý případ k = 4, t = 4. Oba žáci uvedli obě řešení. Jejich spolupráci prozradily zcela stejné obrázky, které výpočty provázely. Zřídka se objevilo opisování bez porozumění. To, že se jedná o opisování s porozuměním bylo možné poznat na určitých prvcích samostatnosti žáka opisujícího. Zatím jsme ve výzkumu k opisování nepřihlédli, ale v několika případech to asi bude potřebné udělat. Nedomníváme se, že se tyto změny výrazněji projeví na statistických ukazatelích výzkumu. Závěry. Jestliže učitel důsledně vyžaduje, aby žák odpověděl celou větou, snižuje některým žákům autonomii projevu. Naopak, když učitel neupozorní žáka na nutnost odpověď jasně prezentovat, nevede jeho myšlení k potřebné přesnosti a málo přispívá k rozvoji jeho komunikačních schopností. Doporučujeme zde individuální přístup: žádat od žáka takovou formulaci výsledku, kterou pochopí i žáci z jiné třídy. Nejen výsledek, ale i postup práce. Pro nás, učitele, je důležité uvědomit si, že schopnost řešit problém a schopnost artikulovat vlastní myšlenkové postupy a výsledky těchto postupů, jsou odlišné schopnosti a že jednotliví žáci je mají rozvinuty různě. Rozvoji schopnosti artikulovat vlastní myšlenky můžeme u žáků napomáhat speciálně volenými úlohami. Jedná se o úlohy, které nejsou matematicky náročné, ale kde formulace výsledku vyžaduje zvýšené úsilí žáka. Například slovní popis obrázku, nebo procesu. 4. Vizualizace a ilustrace Jak bylo řečeno výše, žák danou situaci vizualizuje, aby (i) porozuměl úloze, (ii) našel její řešení, nebo (iii) formuloval výsledek. Například Eduardův (278) obrázek plní všechny tři uvedené funkce. Častější je případ, že obrázek je použit pouze pro potřeby (ii), tedy pro nalezení řešení. Dvacet koleček, nebo čárek je děleno do skupin po dvou nebo třech a počet těchto skupin je pak uveden jako řešení. Existuje ale i několik prací na nichž kromě obrázku není uvedeno nic a přesto obrázek jasně formuluje správné řešení. Zmiňovali jsme to na začátku předchozí kapitoly. Následující tabulka přehledně uvádí, jak často se vizualizace vyskytla v řešení žáků. Překvapilo nás zjištění, že vizualizaci použilo jen 152 žáků (což je 27%) a že převahu měly dívky. Těch je zde 87, což z celkového počtu 278 dívek představuje 31 %; hochů je jen 65, což je z počtu 290 jen 22%. Domnívali jsme se, že třídy, ve kterých je silně zastoupena vizualizace, budou z hlediska dalších ukazatelů (přesnost interpretace, bohatost řešení, jasnost řešitelské strategie) úspěšnější. Zda se, že tato domněnka se nepotvrdí, ale jasné závěry zde bude možné dát, až po další důkladné analýze. Naopak se potvrdilo, že vizualizace podporuje strategii; ani jednou nebyla vizualizace příčinou strategického bloudění, nebo pomýlené interpretace.

25

Z tabulky dále vidíme, že vizualizace se objevila jen v 18 třídách a v 11 třídách (z celkového počtu 29 tříd je to 38%) ji ani jeden žák nepoužil. Domníváme se, že jestliže ve třídě s více než 15 žáky ani jeden žák u této úlohy nepoužije grafické znázornění, je to důsledek edukačního stylu učitele, který tento způsob prezentace myšlenek používá velice skrovně. Těmto učitelům pak doporučujeme zvýšit přítomnost grafické reprezentace ve své třídě, protože jejich žáci, jejichž kognitivní styl je otevřen právě tomuto jazyku, nemají cestu k získávání matematických myšlenek dosti otevřenou. Představme si, že by Betka (102) byla žákem učitele, který nepodporuje grafickou práci žáků. Pak by asi ztěží došla k tak zajímavému řešení, ve kterém se vizualizace objevuje ve dvou zcela různých formách: jednak v jinak častém kreslení vehiklů, jednak ve zcela ojedinělém použití číselné osy. Na ni si dívka ujasňuje ono jedno kolečko, které tvoří zbitek po sestrojení 5 koloběžek a 3 tříkolek. Podobných příkladů, ve kterých je zřejmá žákova závislost na grafickém projevu, je mezi zkoumanými pracemi aspoň 15%. V dalším šetření budeme hledat korelaci mezi jevem vizualizace a jinými zkoumanými fenomény. Zajímavé výsledky očekáváme zejména od korelace vizualizace a strategie. Několik žákovských řešení naznačuje, že úspěšný byl zejména posun od početní strategie k vizualizované. Viděli jsme to u Kamily (145).

Tří da 63 26 67 20 35 38 10 44 50 55 24 30 14 33 60 82 52 58

Počty žáků ž d h 26 13 13 17 9 8 26 12 14 15 8 7 22 15 7 22 10 12 31 19 12 21 10 11 20 12 8 29 21 8 12 7 5 21 12 9 18 7 11 18 10 8 9 4 5 19 12 7 24 14 10 14 7 7

Vizualizov. ž d h 20 10 10 13 8 5 18 9 9 10 3 7 12 9 3 12 6 6 15 7 8 9 5 4 8 5 3 10 7 3 4 4 0 7 5 2 4 2 2 4 2 2 2 2 0 2 2 0 1 0 1 1 1 0

S % 77 76 69 67 55 55 48 43 40 34 33 33 22 22 22 11 4 7

Podobně jako u vizualizace, dělíme i ilustrace, které se v řešeních vyskytují, do tří typů. Jsou to: (i) ilustrace výsledku (například obrázek čtyř koloběžek a čtyř tříkolek u Marty (671) ) (ii) produkt výtvarné činnosti žáka, který již úlohu vyřešil a teď si kreslí (například obrázek smějícího se sluníčka u Dana (578)), (iii) jako produkt protetické činnosti žáka, který na řešení rezignoval. Ilustrace se objevily v 15 třídách (52%). Tento jev nás nepřekvapil. Očekávané bylo i silné zastoupení obrázků ve třídách, jejichž učitelé jsou výtvarně orientováni. Sem lze řadit učitele tříd 38, 30, 24, 35, 50 a 57. V jejich třídách aspoň polovina žáků malovala. Nutno dodat, že mnohdy velice pěkně. Není lehké kreslit tříkolku a některé obrázky tříkolek jsou i z hlediska geometrie velice zdařilé. Očekávali jsme, že mezi ilustrátory budou častěji dívky než hoši. To se potvrdilo: dívky byly mezi ilustrátory zastoupne dvakrát více než hoši. Přesně: 70 dívek (25% všech dívek) a 36 hochů (12% všech hochů).

26

Tří Počty žáků ilustrovali S Potvrdilo se i to, že děti, které kreslí obrázek, budou používat i vizualizaci. Jen 3 da ž d h d h % ž ze 106 žáků, kteří kreslili, nepoužili 19 10 9 86 vizualizaci. Tito žáci neuvedli žádné řešení, na 38 22 10 12 matematiku rezignovali. 30 21 12 9 16 12 4 76 Tři jevy, které odhalila analýza ilustrací 24 12 7 5 8 5 3 67 budou vyžadovat další šetření: 35 22 15 7 14 10 4 64 1) V několika případech bylo pozorováno, že 50 20 12 8 10 9 1 50 žák, který úspěšně našel jedno řešení, začal 67 26 12 14 13 7 6 50 hledat i další řešení, ale svoji práci zřejmě přerušil, protože měl větší potřebu realizovat 10 31 19 12 8 5 3 26 se výtvarně, než hledat další řešení. Z hlediska 55 29 21 8 7 5 2 24 matematika je to nežádoucí jev. Ale z hlediska 60 9 4 5 2 1 1 22 rozvoje žákovy osobnosti je to asi dobré. 33 18 10 8 3 3 0 17 Tato domněnka budou předmětem dalšího 58 14 7 7 1 1 0 14 výzkumu. Zatím neznáme metodu jak na položenou otázku hledat odpověď. 14 18 7 11 2 0 2 11 2) Někteří žáci po nakreslení schématického 82 19 12 7 1 1 0 5 obrázku vehiklu, začali jej objekt kreslit 04 19 7 12 1 0 1 5 v různých pohledech a na jejich práci bylo 41 21 12 9 1 1 0 5 vidět, jak je nová úloha zaujala. To, že žák 106 70 36 Sumárně: sám si formuluje vlastní zadání, považujeme za velice pozitivní jev, neboť zde dochází k nárůstu autokoncepce žáka, což je jeden z hlavních cílů výchovy vůbec. Nový problémem leží na překrytí výtvarné výchovy a geometrie a i tato skutečnost zasluhuje výraznou podporu učitele. Podpora je zcela jednoduchá: učitel projeví o práci žáka zájem a žákovu práci ukáže třídě. Vyzve třídu k podobné aktivitě. 3) Některé obrázky byly provázené texty. Drobnou, ale zajímavou textaci jsme uvedli již u dívky (383), Pavlíny výše. Ta se vztahuje ke koloběžce. Podobně ke koloběžce se vztahuje konstatování, že na ni mohou jezdit i dvě holky, když nejsou moc tlustý. Vyskytují se obrázky i jiných vehiklů jako skejbord, kolečkové brusle, cirkusová jedno-kolka apod. Dosti často provázené textem. Jiným typem obrázků jsou sdělení adresovaná učiteli. Příkladem je Gábina (118), která popsala výpočty a pokreslila obrázky obě strany papíru a k obrázkům připsala Snažila jsem se. Na jiném místě pak Gábina napsala Sama se ohodnotila na 1-. Matylda (243) zdaleka nebyla tak sebevědomá. Ke dvěma obrázkům, které jsou nelichotivé autoportréty vyjadřující roztrpčení dívky je připsáno Nevím pani učitelko, nezlobte se prosím, já Máta jsem rozlobená na sebe. Závěry. Z předběžné analýzy vizualizace a ilustrace lze vyvodit, že poměrně značný počet učitelů nedoceňuje vizualizaci jako jazyk matematiky. Žáci, jejichž kognitivní styl je otevřen právě tomuto jazyku, nejsou k získávání matematických myšlenek vedeni cestou pro ně nejschůdnější. Na druhé straně učitelé, kteří podporují výtvarné projevy žáků, napomáhají nejen geometrickému myšlení, ale často i rozvoji autonomie žáka. Další analýzy odhalí zřejmě nová a hlubší zjištění. 5. Interpretace úlohy Na analýze fenoménu interpretace úlohy ilustrujeme pracovní metodu, kterou jsou zpracovávány i další fenomény. Stručně popisuje i cestu, kterou jsme k současnému stavu poznání dospěli.

27

Nejprve jsme zkoumali řešení asi 50-60 žáků z různých tříd a u každého řešení jsme si kladli tři otázky: 1) jak žák pochopil úlohu Charakteristika dané kategorie a případu ve Kate po jejím přečtení? (jak ji gorie vnitřní řeči žáka resp. jazykem opisu (kategorie interpretoval?), 2) vrátil se žák M a N) kód ještě k interpretaci s tím, aby ji 1 1 řešení upřesnil, nebo měnil?, 3) jestliže mám použít všech 20 I 2 více řešení ano, jak ji měnil (re-interpretoval)? koleček a mám najít všechna řešení 3 Tříděním žákovských řešení na 1 mám použít všech 20 1 řešení základě uvedených otázek jsme koleček nebo 19 více řešení dospěli k 8 kategoriím (viz tabulka J 2 3 koleček a mám najít všechna řešení níže), z nichž většina byla dále 1 z 20 koleček vyrábím to jde dělena. K 2 vehikly, dokud mám chuť Během druhé etapy práce 1 řeším zvlášť úlohu o mám 20 koleček doznala tato tabulka změny. Byla L 2 k-ách a zvlášť o t-ách mám 20 + 20 koleč. upravována celkem 3krát a najdu více dobrých řešení, uvedu jediné současný seznam kategorií má 12 O 1 jinou úlohu položek. Prvních 6 pokrývá navíc i tuto úlohu případy kde jsme si skoro jisti, že P 2 to, jak to řeším, není dobře; musím řešit 3 pozměněnou úlohu žák interpretuje základní myšlenku 4 nevím jakou úlohu úlohy smysluplně (psána je ve vnitřním jazyce žáka): 1 odevzdá prázdný list A) mám sestrojit několik koloběžek k žádnému řešení 2 píše/kreslí něco odtažité a/nebo několik tříkolek a nesmím M 3 nedojde a náznak pokusu o řešení použít více než předepsaný počet 4 práce s číslem 20 koleček. 1 zdůvodňuje svůj neúspěch žák Druhých 6 pokrývá případy, kde N 2 omlouvá si žák řekne: B) není mi jasné co úloha ode mne chce. Kategorie interpretací, u nichž je těžké určit zda patří do A), nebo do B) je řazena do B) a je nadepsána „nejistá“. Do ní spadlo 24 řešení, co představuje něco málo přes 4% všech řešení. Domníváme se, že tento počet, který představuje hranici mezi interpretací smysluplnou a vágní je únosně malý a významněji neovlivní případné statistické úvahy. Kategorie spadajících do části A) jsou v levé a kategorie části B) v pravé části této tabulky: Charakteristika popsána vnitřním jazykem žáka: Hledám

Všech na více jedno

všechna řešení, pro která je n = 20, nebo 19 aspoň 2 řešení, pro která k.t ≠ 0 řešení, pro které je k.t ≠ 0

k.t = 0 t=0 k=0

řešení pro které je i řešení pro které je

k = 0, t = 0.

jedno řešení, pro které je t = 0 řešení, pro které je k=0

Jméno kateg. nejistá Problema tic.

Jméno kateg.

A B C

deformo vaná nic

Charakteristika Smysluplný postup bez výsledku, nebo výsledek a nic víc hodně píše a/nebo kreslí; nelze najít nic, co ukáže, že žák průměr skrovn věděl, že má hledat počet vehiklů ě Žákova činnost je zcela mimoběžná se zadáním úlohy Žák odevzdal prázdný papír

Uvedených 12 kategorií zde redukujeme na 8, protože analýzy vztahující se k podrobnějšímu prozkoumání odlišnosti kategorií k.t = 0, t = 0 i k = 0 i k prozkoumání odlišnosti tří podkategorií kategorie „problematická“ zatím nebyly udělány. Kategorie redukovaného souboru není nutno uvádět, protože jsou vypsány v tabulkách níže, ve kterých se díváme na jednotlivé třídy. 28

třída dívek hochů

00 7 11

02 9 10

04 7 12

10 19 12

14 7 11

20 8 7

22 7 8

24 7 5

26 9 8

28 6 9

30 12 9

33 10 8

35 15 7

38 10 12

41 12 9

44 8 13

46 10 11

48 9 11

všechna více jedno k.t = 0 %

0 1 9 0 56

0 2 8 1 58

0 1 5 9 79

2 9 16 1 90

0 1 14 2 94

0 0 5 8 87

0 1 7 7 93

0 0 7 1 67

0 0 12 2 82

1 0 6 5 80

2 5 7 6 95

0 1 10 2 72

0 2 10 3 68

0 1 8 1 45

0 2 5 6 62

2 11 4 2 90

0 3 9 7 90

0 0 7 8 75

nejistá proble. defor. nic %

2 2 2 2 44

2 6 0 0 42

2 0 2 0 21

1 1 1 0 10

0 1 0 0 6

0 0 2 0 13

0 1 0 0 7

1 0 3 0 33

2 0 0 1 18

3 0 0 0 20

0 1 0 0 5

1 2 2 0 28

2 3 2 0 32

2 7 3 0 55

0 7 1 0 38

0 0 0 2 10

0 2 0 0 10

1 3 0 1 25

třída dívek hochů

50 12 8

52 14 10

55 8 21

58 7 7

60 4 5

61 7 9

63 13 13

67 12 14

80 10 7

82 12 7

84 7 16

568 278 290

% 49 51

všechna více jedno k.t = 0 %

0 1 10 4 75

4 4 1 4 54

1 8 13 5 93

0 0 5 0 36

0 1 6 0 89

0 0 3 7 63

0 3 16 3 85

0 2 15 1 69

0 1 9 5 88

0 2 11 4 89

2 2 14 3 91

14 64 253 109

2.5 11.3 44.5 19.2

nejistá proble. defor. nic %

0 3 2 0 25

3 2 6 0 46

0 2 0 0 7

0 3 5 1 64

1 0 1 0 11

1 5 0 0 37

0 4 0 0 15

2 6 0 0 31

0 2 0 0 12

1 1 0 0 11

0 1 1 0 9

24 64 33 7

4.2 11.3 5.8 1.2

440 77.5 %

128 22.5%

Z tabulky ihned vidíme, že do kategorií typu A (žáci interpretují úlohu smysluplně) náleží 77.5 % všech žáků a do kategorií typu B jen 22.5% žáků. Jistě by bylo zajímavé analyzovat další globální ukazatele. Náš zájem je ale orientován na sledování rozmanitostí, v tomto případě rozmanitosti mezi jednotlivými třídami, kterou tabulka ukazuje. Můžeme například začít hledáním extrémů. Jaké jsou extrémy v jednotlivých řádcích? V prvním řádku, který ukazuje, kolik žáků ze třídy systematicky hledalo všechna řešení, je výrazné maximu u třídy 52. Je to číslo 4 a žádná další třída nemá zde číslo 3; jen čtyři třídy (10, 30, 44 a 84) zde mají číslo 2. V procentech je to 17% žáků třídy co je oproti průměru 2,5% značný skok. Minimum 0% dosáhlo 22 tříd a tedy tento extrém neukazuje na žádnou třídu jednotlivě. Když se podíváme na další řádky zjistíme, že • ve druhém řádku („více“) je to třída 44, u které toto číslo představuje 52% (průměr je 11.3%); • ve třetím řádku („jedno“) minimum dosáhla třída 52 (4% oproti průměru 44.5%); • ve čtvrtém, pátém ani šestém řádku není extrém u žádné třídy výjimečný;. • v sedmém řádku („deformovaná“ ) jsou maximem zajímavé dvě třídy“ 52 a 58. Podíváme-li se nakonec na sumární řádky, ve kterých je uvedeno, jaká část žáků interpretovala úlohu smysluplně jaká část pomýleně, nacházíme maximum smysluplné interpretace u tříd 30, 14, 22, 55 a další spojitě následují. U pomýlené interpretace výrazněji vystupuje třída 58, která jediná má zde více než 60%; následuje třída 38 s 55%. Třída 52 se v tomto prvním šetření extrémů objevovala opakovaně. V kapitole 6. ji věnujeme zvláštní péči.

29

6. Třída číslo 52 Podrobnější pohled na třídu naznačí, k jak bude možné využít výsledky výzkumu v praxi. Pokud jde o počet žáků ve třídě (24), jedná se o třídu mírně nadprůměrnou a dívky zde mají převahu v poměru (14:10). Z hlediska fenoménů vizualizace a ilustrace třída patří do početné skupiny těch tříd, v nichž kreslení použilo méně než 5% žáků. Tedy ani zde se nejedná o třídu výjimečnou. Výjimečnost třídy se projeví v ukazatelích, o nichž jsme se již zmínili, a které přehledně rekapituluje následující tabulka: Sledovaný fenomén

Třída 52

Průměr všech

Hledám všechna řešení, pro která je n = 20, nebo 19 Hledám více řešení, pro která k.t ≠ 0 Hledám jedno řešení, pro které je k.t ≠ 0 Žák nemá vůbec žádnou představu o úloze

17% 17% 4% 25%

2.5% 11.3% 44.5% 7%

Žáky třídy 52 lze rozdělit do tří skupin podle toho jak kvalitně úlohu pochopili a jak na výzvu úlohy reagovali. Nevšímáme si zde chyb, kterých se případně při řešení dopustili – to bude předmětem zkoumání u fenoménů „strategie“, „chyba“ a „odpověď“. Shodou okolností do každé ze tří těchto skupin padne přesně 8 žáků, tedy třetina třídy. Do první skupiny patří 4 dívky a 4 hoši, kteří úlohu pochopili jako výzvu a snažili se najít více, nebo dokonce všechna řešení. Do druhé skupiny patří žáci, kteří úlohu aspoň částečně pochopili, nějaké řešení našli, a pak jej, ve většině případů, dále rozvíjeli. I do této skupiny je zařazeno 8 žáků, z toho 5 dívek a 3 hoši. Typickým reprezentantem této skupiny je Lenka (522), jejíž řešení uvádíme a komentujeme níže. Do třetí skupiny patří žáci, kteří úlohu nepochopili. Sem opět bylo zařazeno 5 dívek a 3 hoši. Tito žáci neměli žádnou, nebo jen vágní představu o tom, co úloha od nich žádá. Typickým reprezentantem této skupiny je Ladislav (543). Jeho řešení neobsahuje žádné slovo, ani písmeno. Jsou to pouze výpočty typu: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 5 = 20, 2.7 + 6 = 20, 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 + 2 = 20. Je jich 40 a celá strana je jimi zcela zaplněna. Všechny končí znaky „ = 20“ a některé z nich by bylo možné použít na řešení úlohy. Všech 40 výpočtu je bezchybných. Vrátíme se ještě do druhé skupiny, abychom se podívali na řešení Lenky (522) podrobněji. Dívka popsala obě strany archu papíru. Do prvních dvou řádek první strany napsala 20:2 = 10 Mohl sestavit 10 koloběžek. Tím mohla končit, případně napsat to, co uvedla nahoře na opačné straně (viz níže). Dívka ale pokračovala a napsala: 20 – 2 = 18 Mohl sestavit 18 koloběžek. Pokračovala ještě devíti řádky: 20 – 6 = 14, 20 – 4 = 16, 20 – 8 = 12, 20 – 18 = 2, 20 – 12 = 8, 20 – 16 = 4, 20 – 20 = 0, 20 – 18 = 2 a pokaždé připsala Mohl sestavit … koloběžek. Na druhé straně listu Lenka napsala 20:3 = 6 Mohl sestavit 6 koloběžek. Pod to napsala ještě 7 řádek kde uváděla čísla menší než 18, analogicky k předchozímu seznamu výsledků. Komentář k Lenčině počínání má čtyři body. 1) Chyba, které se Lenka houfně dopouští, že totiž místo o 9 koloběžkách, nebo o 18 kolečkách potřebných na koloběžky, mluví o 18 koloběžkách je velice častá chyba artikulace výsledku, která se vyskytla ve 21 třídách. 2) Mnohé psaní bylo možné zkrátit konstatováním, že jestliže tatínek mohl sestavit 10 koloběžek, mohl sestavit i 9 koloběžek, i 8 koloběžek, i 7 koloběžek,… (takový seznam uvedl Aleš (542)). Proč Lenka jednoduchou ideu rozvádí tak doširoka? 3) Soubor devíti výsledků, které uvádí (18, 14, 16, 12, 2, 8, 4, 0, 2) je na přeskáčku, nemá žádný systém. 4) Výrok „Mohl sestavit 0 koloběžek“ se vyskytuje snad jen asi ve dvou jiných žákovských řešeních a může svědčit o 30

mimořádném matematickém myšlení žáka. Zde ale jde zřejmě pouze o další, a ani ne poslední řádek, v seznamu skoro všech možností. Sémantický význam tohoto řádku si Lenka neuvědomuje. Z analýzy žákovských řešení a z komparace několika sledovaných parametrů třídy 52 s třídami dalšími lze charakterizovat nejen edukační styl učitelky, která tuto třídu vede, ale i její pedagogické přesvědčení. Po další analýze bude možné následující charakteristiku doplnit, možná i korigovat. Vyučující, nazvěme ji Jitka, dělí žáky na ty, kteří mají matematické nadání a na ty, kteří jej nemají. Těm prvním dává dostatečný počet impulsu i potřebný prostor pro autonomní rozvoj. Od žáků, kteří podle Jitky matematické nadání nemají, žádá pracovitost. Vede je k nabytí spolehlivých počtářských zručností. I když je vede instruktivně, vede je ke kalkulativní tvořivosti. Úlohu, kterou většina žáků třetí skupiny řešila místo úlohy původní (tj. „napiš číslo 20 co nejrůznějšími způsoby“) řešili tito žáci tvořivě. Asi jen tři doporučení bychom mohli Jitce nabídnout k zvážení: 1) na hodinách matematiky (a možná nejen matematiky) více používat obrázky a 2) se slabšími žáky diskutovat sémantiku různých situací, 3) vést žáky k přehlednému zápisu souboru podobných výsledků (například pomocí tabulek). 7. Závěry Poslední kapitola naznačila, jak bude možné výsledky výzkumu využít v praxi. Čtenáři je jistě jasné, že výzkum zatím není ani v polovině cesty a bude trvat ještě několik měsíců, než budou všechny fenomény zanalyzovány. Po jeho ukončení výzkumu budou výsledky poskytnuty učitelům, jejichž třídy byly do výzkumu pojaty. Tato sdělení budou důvěrná a každý učitel, dostane úplnou dokumentaci výzkumu a informaci o tom, která je ta jeho třída. Teoretické využití výzkumu lze dnes stěží dohlédnout, ale určitě tu bude snaha o vytvoření metodologie na konstrukci podobných diagnostických nástrojů jakým je rozpracovávaná úloha. Možná bude nalezena cesta k propojení již v úvodu zmiňovaného výzkumu D. Jirotkové aj. Kratochvílové, který zkoumá rozmanitost konstruktivistických přístupů učitele na vysoké škole, s našim výzkumem. Je dosti pravděpodobné, že když zde uvedenou diagnostiku v oblasti aritmetiky budeme přenášet do oblasti geometrie, objeví se překážky, které si vyžádají novou metodologii práce. Studie vznikla s podporou grantu GAČR 406/05/2444. Literatura Gray, E., Pitta, D., Pinto, M., Tall, D. (1999) Knowledge construction and diverging thinking in elementary and advanced mathematics, Educational Studies in Mathematics, 38 (1/3), 111133 Hershkowitz R. (2004) From diversity to inclusion and back: lenses on learning. Proceedings of the PME 28, Bergen University College, Vol. I pp 55-68 Jirotková D., Kratochvílová J. Diversity of constructivist educational approachers. in: Proceedings of SEMT, Prague, 2005, pp. 171-179 Powell A.B. (2004) The diversity backlash and the mathematical agency of students of color. Proceedings of the PME 28, Bergen University College, Vol. I pp 37-54

31