Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice

Radiologická fyzika základy diferenciálního počtu derivace a tečny, integrály a plochy diferenciální rovnice podzim 2008, pátá přednáška

Derivace a tečny aneb matematika „libovolně malých“ změn

Nejen velké, ale i malé změny „jsou život“ aneb opravdu potřebujeme diferenciální počet? Zkuste si představit situaci: Sedíte v místnosti, kde tikají hodiny. Za chvíli je nevnímáte. Ale hned si uvědomíte, kdyby se zastavily.

Nebo: Máte dlaň položenou na stole v klidu. Za chvíli nic nehmatáte. Abyste hmat „oživili“, musíte prsty po stole posunout. Organismus reaguje na časovou změnu. Abychom jeho chování (a další jevy související se změnami) pochopili, potřebujeme aparát k počítání s malými změnami.

Batesonův pokus se žábou rychlé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu pozná a vyskočí

? pomalé zahřívání nádoby s vodou a žábou: žába změnu nepozná a uvaří se

Batesonův zákon Bateson – Ehrenberg Organismus reaguje na časovou změnu (derivaci) vnímaných počitků. „Matematizace“: P … signál, podnět (vnímaný počitek) R … odezva, reakce Δy

P R  t

dP R dt

Δx

Rozpad jader t N ~ 4,81022 na 1 cm3 238 92

U  90234Th  24 He

t+Δt

N + ΔN

ΔN ~ –2,4105 na 1 cm3 Δt = 1 s

N dN (t ) ln 2   N ,   N (t ),   , 1/ 2  4,47 109 let t dt 1/ 2

Absorpce záření

Δx

I + ΔI

I x

x + Δx

I dI ( x)   I ,    I ( x) x dx ln 2  , d1/ 2  polotlouštka d1/ 2 1 I (d1/ 2 )  I (0) 2

Přírodní zákony - příklady Klasická mechanika – Newtonův druhý pohybový zákon

ma  F (r , v , t ),

dv a , dt

dr v dt

Klasická elektrodynamika – zákon elektromagnetické indukce

U indukované

d  , ... indukční tok dt

Kvantová mechanika – časový vývoj systému

 i  H , t

H ... operátor energie,  ... stav

Příroda nás informuje o změnách. Zákony přírody nejčastěji představují chování časových a prostorových změn veličin. Je tedy dobré umět se změnami počítat?

Jak se dělí nula nulou Gf

2 x 2  6 x  4 f ( x)  , D f  \{1} x 1 f ( x)  2 x  4 pro x  D f

y

4

„Pokus“ o dělení nulou

2

x –1

1 2

x

1,200

1,100

1,050

1,020

1,110

1,005

1,002

1,001

f(x)

1,600

1,800

1,900

1,960

1,980

1,990

1,996

1,998

x

0,800

0,900

0,950

0,980

0,990

0,995

0,998

0,999

f(x)

2,400

2,200

2,100

2,040

2,020

2,010

2,004

2,002

3 4

Co si myslíte o možnosti dělení nulou? Jde to provést, nebo se tomu lze za určitých podmínek „přiblížit“?

Limitní chod Nulou dělit nelze. Je-li například funkce h(x), jmenovatelem podílu p(x) = g(x) / h(x), a h(x) pro určitou hodnotu a proměnné x nabývá nuly, nelze hodnotu a do zlomku dosadit (nedal by se vyčíslit). Viděli jsme ale, že když se ve zlomku p(x) blíží k nule jak čitatel, tak jmenovatel, může se stát, že se hodnota zlomku blíží k jistému definovanému číslu L. Číslo L se pak nazývá limitou funkce p(x) a píšeme

g ( x) lim p( x)  lim  L, obecně lim f ( x)  L x a x  a h( x ) x a

Jedna důležitá limita sin x  x  tan x  R=1 Δx

1 1 cos x   sin x x sin x sin x x  0 1  cos x   1 x sin x x  0   1 x sin x lim 1 x  0 x

Problém tečny a derivace f ( x)  2 x 2  4 x  3, a  2 s t

y = f(x)

( s, x )   ,

[4, 19]

Δy

[2, 3]

sečna: y  8 x  13 tečna: y  4 x  5

x

(t , x)   ,   lim  x  0

y f ( x  x)  f ( x) tan    x x f ( x  x)  f ( x) tan   lim  f '( x) x  0 x

Δx Hodnota f /(x) určená předchozí limitou, je derivace funkce f (x) v bodě x. Chápeme-li x jako proměnnou, je f /(x) funkce. Směrnice tečny ke grafu závisí na bodu dotyku.

Výpočet směrnice a rovnice přímky A   xA , yA  , B   xB , yB  , X  [ x, y ]

X y

B

směrnice yB – yA

A

β x xB – xA

yB  yA y  y A tan    , xB  xA x  xA

yB  yA y  yA  ( x  xA ) xB  xA pro sečnu z předchozího obrázku: A  [2,3], B=[4,19] 19  3 y 3  ( x  2)  y  8 x  13 42

Výpočet směrnice a rovnice tečny A  [x, f ( x)], B  [ x  x, f ( x  x)] yB  yA f ( x  x)  f ( x)   xB  xA x

y = f(x) [4, 19]

[2, 3]

Δx

[2( x  x)2  4( x  x)  3]  [2 x 2  4 x  3]   x 4 xx  4x  2(x) 2 x(4 x  4  2x) Δy   x x x f ( x  x)  f ( x) tan   lim  4x  4 x x 0 pro x  2 je tan   4

Sami dokončete výpočet rovnice tečny, když nyní znáte směrnici.

Derivace a fyzika Příklad: S rovnoměrným pohybem po kružnici se již každý jistě setkal, třeba na řetízkovém kolotoči. Takový pohyb koná například i odstředivka používaná ve zdravotnických zařízeních. Řekněme, že nějaké tělísko obíhá ve vzdálenosti R = 1,0 m od osy kolotoče a že jeden oběh trvá T = 4,0 s. Závislost polohy tělíska na čase pak lze vyjádřit například takto: y

x(t )  R cos t , y (t )  R sin t , 2    , v   R  1, 57 m s 1 T 2 v obvodová rychlost

y(t)

v(0) r(t) ωt x x(t)

Je získaná hodnota obvodové rychlosti shodná s velikostí vektoru rychlosti daného bodu? Co je to vlastně rychlost?

Průměrná rychlost za dobu Δt v 

r r (t  t )  r (t )   t t

      cos ( t   t )  cos t sin ( t   t )  sin 2 2t   2 2  ,   t  t     | v |

vx

2

 vy

2

, tan  

t  0 s, t je postupně 1 1 1 1 1 s, s, s, s, s 2 4 8 16

vy

y r(t + Δt)

vx

Δr

r(t) x

Úkol: Zkuste si sami velikosti průměrných rychlostí a jejich úhly α s osou x vypočítat a seřadit do tabulky. Všimněte si, k jakým hodnotám se blíží, když se interval Δt neustále zmenšuje.

Průměrná rychlost ve zmenšujícím se intervalu

A tady jsou výsledky řešení Vašeho úkolu.

Okamžitá rychlost jako limita Pohyb hmotného bodu po prostorové křivce

poloha … r(t)

rychlost … v(t)

r (t  t )  r (t ) dr rychlost v (t )  lim   r (t ) t 0 t dt v (t  t )  v (t ) d 2 r zrychlení a (t )  lim  2  r (t ) t 0 t dt

Příklady odvození derivací Příklad 1: f (x) = x3 Metoda vykrácení nepohodlného výrazu

( x  x)3  x3 x3  3x 2 x  3x(x) 2  (x)3  x3   x x x [3x 2  3xx  (x) 2 ] x 0 2    3x x

Příklad 2: f (x) = sin x

sin( x  x)  sin x 2sin( 2x ) cos( x  2x )   x x sin( 2x ) x 0 x  cos( x  )   cos x 2 x 2

Derivace elementárních funkcí

Pravidla pro derivování

Pravidlo pro složenou funkci F(x) = g(u) = g[f(x)]

x

Df

u = f(x)

Dg Hf

HF

F ( x  x)  F ( x) g (u  u )  g (u ) u    x u x f ( x  x)  f ( x) / / / g (u )   g [ f ( x)]  f ( x) x

Odhady změn hodnot funkce f ( x)  2 x 2  4 x  3, x  2,

(t , x)   , tan   f '(a)  4

y  f ( x  x)  f ( x) 

y = f(x)

f ( x) x  chyba odhadu x dx, dy  f '( x) dx /

[4, 19] [2, 3]

dy

Δy úplný diferenciál

funkce v bodě x Δx

x

Lepší odhady : Taylorův rozvoj 1 // 1 (n) / 2 f ( x  x)  f ( x)  f ( x)x  f ( x)x   f ( x)x n  2 n!

Dva příklady na odhady Příklad 1. Určete přibližnou hodnotu čísla 2,035 .

f ( x)  x5 , x  2, x  0, 03, f / ( x)  5 x 4 |x 2  80, f // ( x)  20 x 3 |x 2  160 1 // f ( x  x) f ( x)  f ( x)x  f ( x)x 2  2 25  80  0, 03  160  0, 0009  32  2, 4  0,144 34,5 /

Příklad 2. Určete přibližnou hodnotu sin 3o.

f ( x)  sin x, x  0, x  3o  0, 052 rad f / ( x)  cos x |x 0  1, f // ( x)  sin x |x 0  0, f /// ( x)   cos x |x 0  1 sin x

1 3 1 5 x  x  x  3! 5!

Několik úloh na derivace a tečny Úloha 1. Odvoďte pravidlo pro derivaci funkcí x4, x5, xn. Pro xn použijte binomickou větu. Úloha 2. Vypočtěte derivace následujících funkcí

F ( x) 

cos 2

F ( x)  ln[cos 2

x 2  1  sin 2 x2 1

x2  1

x 2  1]

Úloha 3. Určete rovnici tečny ke grafu funkce f (x) = sin2 x v bodě t = π/4.

Integrály a plochy aneb jak zjistit funkci z její derivace

Obrácená úloha mechaniky aneb od zrychlení k trajektorii Základní zákon mechaniky – druhý Newtonův zákon – umožňuje vyjádřit zrychlení hmotného bodu na základě sil, jimiž na hmotný bod působí okolní objekty. Zrychlení je však derivací rychlosti, a ta je derivací polohy. Abychom zjistili funkci, která popisuje závislosti polohy hmotného bodu na čase, musíme nějakou zpětnou procedurou najít, jak vypadala funkce, než jsme ji zderivovali. Opačná procedura k derivování, tj. nalézání původní (primitivní) funkce, se nazývá integrování.

Primitivní funkce (neurčitý integrál) Předpokládejme, že na intervalu [a, b] je definována funkce f(x), která je spojitá (její limita v každém bodě existuje a je rovna funkční hodnotě, graf funkce není „potrhaný“). Funkce F(x) definovaná na intervalu (c, d) obsahujícím [a, b], a taková, že její derivace na intervalu [a, b] je rovna F/(x) = f(x), je primitivní funkcí (neurčitým integrálem) k funkci f(x) na [a, b]. Příklad: Funkce f(x) = 4x3 – 2x + 1 je definována na R. Funkce F(x) = x4 – x 2 + x je k ní funkcí primitivní, ale také všechny funkce tvaru F(x) + libovolná konstanta C. Jak je to možné, že jedna a táž funkce má nekonečně mnoho primitivních funkcí lišících se navzájem o konstantu?

Tabulka primitivních funkcí – I

Tabulka primitivních funkcí – II

Problém plochy dělení D intervalu [a, b]

určit plochu P y pod grafem

a  x0  x1 

 xn  b

norma dělení:

 (D)  min{xi 1  xi | i  0,1, n

P

S ( D)   f (i )( xi 1  xi ) i 0

ξi a

xi

x xi+1

b

b

lim F (b)  F (a )   f ( x ) dx

 ( D ) 0

určitý integrál

a

, n}

Diferenciální rovnice aneb

jak z rovnice pro změnu určit funkci

Rozpad jader – ještě jednou t N ~ 4,81022 na 1 cm3 238 92

U  90234Th  24 He

t+Δt

N + ΔN

ΔN ~ –2,4105 na 1 cm3 Δt = 1 s

N dN (t ) ln 2   N ,   N (t ),   , 1/ 2  4,47 109 let t dt 1/ 2

Rozpad jader - řešení dN (t ) /   N (t ) f ( x)   f ( x) dt f / ( x)   f ( x)  0, ? f ( x)  exp( x)

  exp( x)  .exp( x)  0     f ( x)  K exp ( x), K libovolná konst. počáteční podmínka: f (0)  f 0  K  f 0 f ( x)  f 0 exp ( x)

N (t )  N 0 exp (t )

Úkol: Použijte uvedený postup pro řešení problému s absorpcí záření. Počáteční podmínka zde má charakter zadání intenzity záření na povrchu.

Ještě jednou mechanika N 0 0 Fp

ma  mg  N  Fp

mx   kx

x

k x   x  0,   ? x  exp ( t ) m x  2   2  0,   i 2

mg

2

x(t )  C1 exp (it )  C2 exp ( it ) x(t )  A cos t  B sin t počáteční podmínky x(0)  x0 , x(0)  v0

Dokončete řešení na základě znalosti počátečních podmínek. Předchozí rovnice jsou ukázkou obyčejných diferenciálních rovnic prvého a druhého řádu, lineárních, s konstantními koeficienty a homogenních.

Příště:

Radiologická fyzika pravděpodobnost měření a zpracování dat

podzim 2008, šestá přednáška