PROBLÉM KRÁTKODOBÉ A DLOUHODOBÉ MÍRY INFLACE

Politická ekonomie 46: (5), str. 667-674, VŠE Praha, 1998. ISSN 0032-3233 (Rukopis)

PROBLÉM KRÁTKODOBÉ A DLOUHODOBÉ MÍRY INFLACE Josef ARLT, Vysoká škola ekonomická, Praha

Úvod Inflace je v současnosti v České republice jedním z nejpoužívanějších ekonomických pojmů. Používají jej často nejen lidé z odborných ekonomických kruhů, ale také ekonomickou teorií sice nedotčení, v ekonomické realitě však žijící „obyčejní“ lidé. Tito lidé dobře vědí, že inflace je jev negativní. Odborná ekonomická veřejnost má skvěle nastudováno, jaké mohou být důsledky jejího nepřiměřeného růstu. A jak se zdá, tito lidé, nebo alespoň většina z nich je přesvědčena, že inflační statistiky jsou nejméně problémovou nebo alespoň málo problémovou partií tématu „inflace“. Způsob měření inflace a jejího vývoje se automaticky považuje za jasně a zřetelně danou konstantu, na které již není dále co vylepšovat a měnit. Opak je však pravdou, problém inflace nespočívá pouze v nalezení cesty jak ji snížit, bohužel se musíme potýkat i s obrovským problémem, jak ji změřit. A když se konečně vytvoří kompromisní, nejméně špatná dohoda, jak tuto obtížnou operaci provést, tak se objeví problém interpretace získaných čísel. Předkládaný článek se zabývá pouze jedním aspektem otázky měření inflace, problémem konstrukce a zejména pak interpretace krátkodobých časových řad roční míry inflace. Rozbor je proveden jednak z hlediska klasické indexní teorie a jednak z hlediska teorie stochastického modelování sezónnosti v ekonomických časových řadách. Je zajímavé, že oba typy rozborů vedou ke stejnému závěru. Celá problematika je dokumentována na empirické analýze vývoje inflace v České republice v letech 1991-1997. Čtvrtletní a roční míra inflace Výpočet indexu spotřebitelských cen se provádí na základě Laspeyresova vzorce Ih/0 = kde

∑ ph q 0 , ∑ p0q 0

(1)

ph je cena zboží (služby) ve sledovaném (běžném) měsíci, p0 je cena zboží (služby) v základním období, p0q0 jsou výdaje domácností za zboží (službu) v základním období.

Z měsíční časové řady indexů spotřebitelských cen lze snadno konstruovat čtvrtletní časovou řadu, a to tak, že se bere v úvahu pouze třetí, šestý, devátý, dvanáctý měsíc v roce. Na základě indexu spotřebitelských cen se počítá čtvrtletní míra inflace jako relativní přírůstek indexu spotřebitelských cen. Vzhledem k tomu, že relativní přírůstek je roven koeficientu růstu minus jedna, je možné míru inflace počítat také jako koeficient růstu. Jestliže časová proměnná t = 1, 2, ..., T vyjadřuje jednotlivá čtvrtletí, má čtvrtletní míra inflace počítaná ve čtvrtletí t tvar pq MIc = ∑ t 0 .

∑ p t −1q 0

(2)

Roční míra míra inflace ve čtvrtletí t se počítá na základě následujícího vzorce pq MIr = ∑ t 0 .

(3)

∑ p t q 0 = ∑ p t −3 q 0 . ∑ p t −2q 0 . ∑ p t −1q 0 . ∑ p t q 0 . ∑ p t −4 q 0 ∑ p t −4 q 0 ∑ p t −3 q 0 ∑ p t −2q 0 ∑ p t −1q 0

(4)

∑ p t −4 q 0

Je zřejmé, že platí vztah

Roční míra inflace tedy vzniká jako součin čtvrtletních měr inflace. Tento součin vyjadřuje roční úhrn čtvrtletních měr inflace. Pro roční míru inflace počítanou ve čtvrtletí t+1 platí následující identita

∑ p t +1q 0 = ∑ p t −2q 0 . ∑ p t −1q 0 . ∑ p t q 0 . ∑ p t +1q 0 . ∑ p t −3 q 0 ∑ p t −3 q 0 ∑ p t −2q 0 ∑ p t −1q 0 ∑ pt q 0

(5)

Ze vztahů (4) a (5) lze snadno pochopit, jak se od sebe tyto roční míry inflace liší. Roční míra inflace ve čtvrtletí t+1 se z roční míry inflace ve čtvrtletí t vypočte tak, že se tato míra vydělí čtvrtletní mírou inflace ve čtvrtletí t-3 a vynásobí se čtvrtletní mírou inflace ve čtvrtletí t+1. Změna roční míry inflace ve čtvrtletí t+1 ve srovnání s roční mírou inflace ve čtvrtletí t závisí na poměru čtvrtletní míry inflace ve čtvrtletí t+1 a ve čtvrtletí t-3. Čtvrtletní časovou řadu ročních měr inflace je třeba chápat jako klouzavý úhrn čtvrtletních měr inflace. Neustále se v čase měnící poměr vyřazené a nově zařazené čtvrtletní míry inflace určuje průběh časové řady ročních měr inflace. Pokud se k této řadě přistupuje jako k prostředku měřícímu vývoj inflace v daném čtvrtletí (což je v naší praxi zcela obvyklé a běžné), jsou její pohyby velmi obtížně vysvětlitelné a interpretovatelné. Mohou nastat velmi paradoxní situace, např. index spotřebitelských cen několik čtvrtletí velmi intenzivně roste, zatímco časová řada ročních měr inflace vykazuje klesající trend, samozřejmě je možná i opačná situace. Obrázek č. 1 ukazuje jednu z těchto situací. Základní časová řada (SI) je uměle vytvořena. Nejprve se vyvíjí lineárně (prvních 12 hodnot), potom exponenciálně (dalších 12 hodnot), konec časové řady má opět lineární vývoj (poslední 4 hodnoty). Tato řada může budit dojem, že po celou dobu exponenciálně roste. Koeficient růstu v posunutí čtyři (SI4) má však takový průběh, že jej nelze využít pro tvorbu úsudků o základní časové řadě. Obrázek č. 1

V této souvislosti je třeba připomenout, že ukazatel míry inflace se konstruuje právě proto, aby podával srozumitelnou a jasnou informaci o dynamice pohybu cenové úrovně, tato skutečnost ostatně vyplývá již z názvu tohoto ukazatele.

2

Roční míru inflace je přirozeně možné konstruovat rovněž jako součin měsíčních měr inflace. V tomto případě je však situace ještě komplikovanější, neboť součin tvoří dvanáct činitelů. Změna roční míry inflace v měsíci t +1 ve srovnání s roční mírou inflace v měsíci t závisí na poměru měsíční míry inflace v měsíci t +1 a v měsíci t-11. Ze vztahů (4) a (5) je zřejmá ještě následující skutečnost. Čtvrtá odmocnina roční míry inflace, tj. 4

∑ pt q 0 ∑ p t −4 q 0

=4

∑ p t −3 q 0 . ∑ p t −2q 0 . ∑ p t −1q 0 . ∑ p t q 0 , ∑ p t −4 q 0 ∑ p t −3 q 0 ∑ p t −2 q 0 ∑ p t −1q 0

(6)

je prostý geometrický průměr příslušných čtvrtletních měr inflace. Časová řada tohoto ukazatele je tedy řadou prostých klouzavých geometrických průměrů délky čtyři čtvrtletních měr inflace. Měsíční časová řada dvanáctých odmocnin ročních měr inflace je řadou prostých klouzavých geometrických průměrů délky dvanáct měsíčních měr inflace. Interpretace vývoje těchto časových řad je zcela zřejmá a jasná. Meziroční koeficienty růstu Na uvedenou problematiku se lze také podívat z jiného zorného úhlu. Uvažujme čtvrtletní časovou řadu. Uvažujme dále, že chceme vypočítat tzv. meziroční koeficient růstu, tj. kt4 =

xt . x t −4

(7)

Jeho logaritmováním se získá vztah ln kt4 = ln xt - ln xt-4. (8) Je tedy zřejmé, že logaritmus meziročních koeficientů růstu získáme tak, že diferencujeme v posunutí čtyři logaritmus původní časové řady. Podívejme se nyní, jaký má smysl tento typ diference. Při stochastickém modelování sezónních čtvrtletních časových řad je možné vycházet z procesu SAR(1), která má tvar yt = ρ yt-4 + ut, kde ut~IID(0,σ2) (9) V případě, že ρ< 1, jedná se o stacionární sezónní stochastický proces. V dané situaci je však zajímavá situace, kdy ρ = 1, tj. proces má tvar yt = yt-4 + ut. (10) Na tento proces je možné pohlížet jako na stochastickou diferenční rovnici. Její řešení se skládá z homogenního a partikulárního řešení [např. Enders (1995)]. Homogenní část této diferenční rovnice má formu yt - yt-4 = 0. (11) t Homogenní řešení má tvar yt = Aα . Po jeho dosazení do rovnice (11) a po jednoduché úpravě se získá charakteristická rovnice tvaru h

α4- 1 = 0. (12) Jejím řešením jsou potom čtyři charakteristické kořeny: α1 = 1, α2 = -1, α3 = i, α4 = - i. Homogenním řešením je jejich lineární kombinace, tj. yth = A1(1)t + A2(-1)t + A3(i)t + A4(- i)t. (13) Význam charakteristických kořenů lze převést do „řeči“ časových řad. V prvním případě se jedná o jednotkový kořen v nulové frekvenci. Tento kořen udává

3

přítomnost stochastického trendu v daném procesu [Arlt (1997)]. Druhý kořen je jednotkový kořen ve frekvenci π. Jeho přítomnost znamená, že za jeden rok proběhnou dva cykly. Jedná se o stochastickou sezónnost v dané frekvenci. Třetí kořen je jednotkový kořen ve frekvenci π/2 a jeho přítomnost znamená, že za jeden rok proběhne jeden cyklus. Jedná se o další typ stochastické sezónnosti. Poslední kořen je jednotkový kořen ve frekvenci 3π/2, ve čtvrtletní řadě je tento kořen v nerozlišitelné frekvenci, jeho přítomnost je interpretována stejně jako přítomnost kořene i. Proces (10) je možné vyjádřit pomocí operátoru zpětného posunutí B také následujícím způsobem (1 - B4) yt = ut. (14) 4 Polynom (1 - B ) lze rozložit do tvaru S(B) = (1 - B)( 1 + B)(1 + B2). (15) Na základě tohoto rozkladu lze na jedné straně dojít k výše uvedenému homogennímu řešení, na druhé straně je možné na jeho základě získat partikulární řešení dané stochastické diferenční rovnice. Toto řešení má tvar ytp = [S(B)]-1ut, (16) kde [S(B)]-1 =

1 1 1 1− B  + +  . 2 2  (1 − B)(1 + B ) 2(1 + B) 2(1 + B 2 ) 

(17)

Z tohoto řešení lze po jeho dalších algebraických úpravách dojít k závěru, že vlastnosti procesu (10), který se nazývá sezónně integrovaným procesem jsou obdobné s vlastnostmi procesu I(1) [Arlt (1997)]. Třída procesů tohoto typu má „dlouhou paměť“, takže šok, který se odehraje v minulosti se objevuje v nezměněné podobě neustále a může permanentně měnit charakter sezónnosti. Sezónně integrované procesy mají v čase rostoucí rozptyl. V dané souvislosti je podstatnou skutečností, že sezónně integrovaný proces (10), kde {ut} je proces bílého šumu nebo stacionární a invertibilní proces SARMA, lze transformovat na proces stacionární (může být nesezónní či sezónní) transformací ∆4 = yt - yt-4, (13) tj. diferencí v posunutí čtyři. Z výše uvedeného je tedy vidět, a to je třeba zdůraznit, že tento typ diference odstraňuje stochastický trend a stochastickou sezónnost ve frekvenci π a π/2. Vlastnosti sezónně integrovaných procesů jsou známé, stejně tak i vlastnosti stacionárních procesů. Tato transformace tedy znamená převod procesů známého typu na procesy známého typu. Není-li však známo o jaký typ transformované časové řady (její generující proces) se jedná, tj. zda obsahuje všechny jednotkové kořeny či pouze některé z nich, nebo dokonce žádné, a přesto je provedena tato transformace, potom není možné ze statistického hlediska znát ani typ výsledné časové řady (její generující proces). Z tohoto důvodu mohou nastat interpretačně velmi složité situace. V transformované časové řadě mohou vzniknout pohyby, které nemají nic společného s vývojem původní časové řady. Analogická je situace v případě meziročních koeficientů růstu (meziročních temp růstu). Také touto operací se provádí stacionarizace. Stacionarizovaný proces však musí mít formu zt = e y t , yt = yt-4 + ut,

4

(14)

kde {ut} je proces bílého šumu nebo stacionární a invertibilní proces SARMA. Tento typ procesu lze označit jako sezónní logaritmicko-integrovaný proces. Pokud transformovaný proces tuto formu nemá, je výsledek transformace z výše uvedených důvodů velmi obtížně interpretovatelný. Obdobná, ale značně složitější situace nastane, pracujeme-li s měsíčními časovými řadami. Charakteristická rovnice procesu yt = yt-12 + ut (15) má dvanáct charakteristických kořenů, z toho pět v nerozlišitelných frekvencích. V úvahu tedy přichází sedm kořenů: 1 ve frekvenci 0, -1 ve frekvenci π, i ve frekvenci π/2, 1/2( 3 + i) ve frekvenci π/6, 1/2(1 + i 3 ) ve frekvenci π/3, -1/2(1 - i 3 ) ve frekvenci 2/3π a -1/2( 3 - i) ve frekvenci 5/6π. Vývoj indexů spotřebitelských cen a míry inflace v České republice v letech 1991 - 1997 Obrázek č. 2 ukazuje vývoj čtvrtletní časové řady indexu spotřebitelských cen (ISC) a čtvrtletní míry inflace ve formě koeficientu růstu v posunutí jedna (MI1). Je především třeba poznamenat, že z hlediska možnosti použití statistických a ekonometrických metod jsou čtvrtletní časové řady od roku 1991 do roku 1997 stále krátké. Je proto obtížné o nich činit nějaké statisticky spolehlivé závěry. Nicméně v časové řadě indexu spotřebitelských cen se nepodařilo odhalit žádný typ sezónnosti, a to ani pomocí periodogramu, ani pomocí autokorelační či parciální autokorelační funkce. Aby bylo koneckonců možné dojít k tomuto závěru, není třeba používat složitých metod, stačí prostě posoudit graf této časové řady. Obrázek č. 2

Časová řada čtvrtletních měr inflace má především v letech 1991 - 1993 velmi měnlivý vývoj. Nejvyšší hodnoty bylo dosaženo v prvním čtvrtletí roku 1993, poté ve druhém čtvrtletí míra inflace výrazně klesla a od tohoto období se až do druhého čtvrtletí roku 1997 pohybovala okolo 2 %, klesala jen nepatrně. Ve třetím čtvrtletí roku 1997 míra inflace opět výrazně vzrostla. Diference v posunutí jedna (DISC), jejichž vývoj je zachycen na obrázku č. 3, od druhého čtvrtletí roku 1993 do druhého čtvrtletí roku 1997 kolísaly okolo konstanty. Z těchto měr dynamiky lze vypozorovat, že od druhého čtvrtletí roku 1993 až do druhého čtvrtletí roku 1997 měla časová řada indexů spotřebitelských cen tendenci přibližně lineárního růstu (což je zřejmé ze samotného grafu této řady). Pravděpodobná je však přítomnost stochastického trendu.

5

Obrázek č. 3

Na obrázku č. 4 je zachycena časová řada indexů spotřebitelských cen, čtvrtletní míry inflace a koeficientů růstu v posunutí čtyři, tj. čtvrtletní řada roční míry inflace (MI4). Tato časová řada vykazuje velmi zajímavý vývoj. Ve druhém čtvrtletí roku 1992 tato roční míra prudce poklesla, zatímco index spotřebitelských cen v tomto období nevykazoval žádný výrazný výkyv, což je ostatně také vidět na hodnotě čtvrtletní míry inflace. Prudký růst indexu spotřebitelských cen v prvním čtvrtletí roku 1993 způsobil růst jak čtvrtletní, tak i roční míry inflace. Po tomto skoku však index spotřebitelských cen začal růst pomaleji, což se projevilo přirozeně ve vývoji čtvrtletní míry inflace, avšak roční míra inflace vykazovala stále velmi vysoké hodnoty. Její výrazný pokles nastal až v prvním čtvrtletí roku 1994, to se však ve vývoji indexu spotřebitelských cen a čtvrtletní míry inflace nic zvláštního nestalo, k zásadnímu poklesu dynamiky vývoje cen ve skutečnosti vůbec nedošlo. Od této doby byla časová řada roční míry inflace charakteristická relativně výrazným klesajícím trendem. Obrázek č. 4

Tento vývoj roční míry inflace se za situace, kdy čtvrtletní míra inflace vykazovala velmi mírný pokles interpretuje obtížně, i když z hlediska konstrukce daného ukazatele se zdá být logický a vysvětlitelný (viz část 1). Pokud je tato časová řada publikována samostatně, vyvolává dojem, jako by se dynamika vývoje indexu spotřebitelských cen vyvíjela stejným způsobem. Zatímco z vývoje čtvrtletních měr inflace si lze vytvořit představu o vývoji indexu spotřebitelských cen, z vývoje ročních měr inflace to lze učinit jen s velkými obtížemi a pro běžného „spotřebitele“ informací tohoto typu je to téměř nemožné. Protože to tento „spotřebitel“ neví, dochází obvykle k velkým nedorozuměním. To dále prohlubuje často uváděný důvod použití ročních měr inflace, totiž snaha zbavit se sezónnosti v časové řadě indexu spotřebitelských cen. Téměř pravidelně se touto transformací odstraňuje typ sezónnosti, který v ní vůbec není. Přitom se nebere ohled na skutečnost, že se jejím prostřednictvím odstraňuje i stochastický trend (viz část 2).

6

Velmi zajímavý pohled na danou problematiku dává obrázek č. 5, na kterém je zachycen vývoj čtvrtletních měr inflace a čtvrtých odmocnin ročních měr inflace, tedy klouzavých geometrických průměrů čtvrtletních měr inflace (PMI1). Tento obrázek potvrzuje výše uvedenou tendenci vývoje indexu spotřebitelských cen, neboť řada klouzavých průměrů se od prvního čtvrtletí roku 1994 pohybuje ve velmi mírném poklesu okolo 2 % (což je z definice jejích hodnot ostatně samozřejmé). Obrázek č. 5

Literatura: Arlt, J.: Regresní analýza nestacionárních ekonomických časových řad, Politická ekonomie, 1997, č. 2 Arlt, J.: Kointegrace v jednorovnicových modelech. Politická ekonomie, 1997, č. 5 Arltová, M.: Sezónní jednotkové kořeny a jejich testování, Vědecký sborník KSTP, VŠE Praha, (v tisku) Enders, W.: Applied Econometric Time Series. John Wiley & Sons, Inc., 1995 Hylleberg, S. - Engle, R. F. - Granger, C. W. J. - Yoo, B. S.: Seasonal Integration and Cointegration. Journal of Econometrics, 44, 1990

7