Primitivn´ı funkce, urˇ cit´ y integr´ al, nevlastn´ı integr´ aly Program Maple m˚ uˇze b´ yt velmi dobr´ ym pomocn´ıkem pˇri hled´an´ı primitivn´ıch funkc´ı i pˇri v´ ypoˇctu urˇcit´ ych integr´al˚ u. Pˇresto se neobejdeme bez dobr´e znalosti teorie v´ ypoˇct˚ u primitivn´ıch funkc´ı a urˇcit´ ych integr´al˚ u. Bez tˇechto znalost´ı m˚ uˇze doj´ıt ke ˇspatn´e interpretaci v´ ysledk˚ u, nebo se n´am nepodaˇr´ı z´ıskat v´ ysledek, i kdyˇz po urˇcit´ ych u ´prav´ach lze v´ ysledek z´ıskat. Pˇr´ıkaz pro v´ ypoˇcet primitivn´ı funkce v Maple m´a tvar: int(f(x),x); Rb Pˇr´ıkaz pro v´ ypoˇcet urˇcit´eho integr´alu f (x)dx v Maple m´a tvar: a
int(f(x),x=a..b); • Pˇ r´ıklad 1: Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci f (x) = x5 int(x^5,x); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek x6 6
• Pˇ r´ıklad 2: Vypoˇctˇete urˇcit´ y integr´al
R1
x5 dx
0
int(x^5,x=0..1); Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek 1 6 Ted’ vyzkouˇs´ıme sloˇzitˇejˇs´ı pˇr´ıklad. • Pˇ r´ıklad 3: Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci f (x) = p
1 p (x)(2 + 2 (x) + x)
int(1/(sqrt(x)*(2+2*sqrt(x)+x)),x); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek √ 2 arctan( x + 1) O spr´avnosti v´ ysledku se m˚ uˇzeme pˇresvˇedˇcit derivac´ı: diff(%,x); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek 1 p (x)(2 + 2 (x) + x)
p
Chceme-li zapsat v´ ysledek i se zad´an´ım, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇr´ıkaz Int n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem: Int(1/(sqrt(x)*(2+2*sqrt(x)+x)),x)=int(1/(sqrt(x)*(2+2*sqrt(x)+x)),x); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek Z
√ 1 p dx = 2 arctan( x + 1) (x)(2 + 2 (x) + x)
p
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
D´ale si uk´aˇzeme integr´aly, na kter´e si mus´ıme d´at pozor. • Pˇ r´ıklad 4: Vypoˇctete primitivn´ı funkci a k funkci f (x) = xn a urˇcit´ y integr´al
R1
xn dx
0
int(x^n,x); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek x(n+1) n+1 int(x^n,x=0..1); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek lim −
x−>0+
x(n+1) − 1 n+1
Mus´ıte si uvˇedomit, ˇze v´ ysledek plat´ı pouze pro n 6= −1. Posledn´ı v´ ysledek m˚ uˇzeme zlepˇsit, jestliˇze pouˇzijeme podm´ınku pro n. assume(n>-1); int(x^n,x=0..1); Maple n´am tentokr´at vr´at´ı v´ ysledek 1 n +1 nebo Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
assume(n<-1); int(x^n,x=0..1); Maple n´am tentokr´at vr´at´ı v´ ysledek ∞ Ale ani v´ ypoˇcet primitivn´ı funkce k funkci f (x) = poˇc´ıt´a v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel.
1 x
nen´ı bez probl´em˚ u. Mus´ıme si uvˇedomit, ˇze Maple
int(1/x,x); Maple n´am vr´at´ı (poˇc´ıt´ame-li v oboru re´aln´ ych ˇc´ısel) ˇspatn´ y v´ ysledek ln(x) Spr´avn´ y v´ ysledek dostaneme aˇz pˇr´ıkazem Re (re´aln´a ˇc´ast): Re(int(1/x,x;)) ln(|x|) Ted’ si uk´aˇzeme, jak si poradit, kdyˇz n´am Maple primitivn´ı funkci nevypoˇcte. x arcsin(x) • Pˇ r´ıklad 5: Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci f (x) = √ 1 − x2 int(x*arcsin(x)/sqrt((1-x^2)),x); Maple n´am nevr´at´ı uspokojiv´ y v´ ysledek Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Z
x arcsin(x) p dx (1 − x2 )
Zde m˚ uˇzeme pouˇzit pˇr´ıkaz pro v´ ypoˇcet primitivn´ı funkce pomoc´ı metody per partes. Pˇr´ıkaz m´a tvar: student[intparts](Int(f(x),x),u(x));, kde f(x) je integrovan´a funkce a u(x) je funkce, kterou chceme v metodˇe per partes derivovat. V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy pouˇzijeme pˇr´ıkaz: student[intparts](Int(x*arcsin(x)/sqrt((1-x^2),x),arcsin(x)); Jako funkci, kterou budu derivovat jsme zvolili arcsin(x). Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek √ R − arcsin(x) 1 − x2 − −1 dx Zde je integr´al ve v´ ysledku jednoduch´ y a lehce jej vypoˇcteme. Pokud’ je integr´al sloˇzitˇejˇs´ı, mus´ıme pokraˇcovat ve v´ ypoˇctech d´ılˇc´ıch integr´al˚ u. Nyn´ı si uk´aˇzeme dalˇs´ı funkci, pro kterou n´am Maple ned´a primitivn´ı funkci, i kdyˇz ji lze lehce spoˇc´ıtat. • Pˇ r´ıklad 6: Vypoˇctˇete primitivn´ı funkci k funkci f (x) =
1 2x + 2 √ x √ ; (x2 + x)2 + 1
int((2*x+1/(2*sqrt(x)))/((x^2+sqrt(x))^2+1),x);
√ Maple tuto primitivn´ı funkci nespoˇcte. My vˇsak vid´ıme, ˇze m˚ uˇzeme pouˇz´ıt substituci y = x. Pouˇzijeme tedy substituci a zkus´ıme primitivn´ı funkci znova spoˇc´ıtat pomoc´ı Maple. Pro substituci m˚ uˇzeme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz student[changevar](s,Int(f(x),x),y), kde s je substituce y = ϕ(x), f(x) je p˚ uvodn´ı integrovan´a funkce a y je nov´a promˇenn´a. Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
V naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy nap´ıˇseme: F:=student[changevar](y=sqrt(x),Int((2*x+1/(2*sqrt(x)))/((x^2+sqrt(x))^2+1),x),y); Dostaneme integr´al po substituci: F :=
Z
4y 3 + 1 dy y 8 + 2y 5 + y 2 + 1
Nyn´ı mus´ıme jeˇstˇe integr´al vypoˇc´ıtat: value(F); Dostaneme n´asleduj´ıc´ı v´ ysledek: arctan(y 4 + y) Nakonec vr´at´ıme substituci: subs(y=sqrt(x),%); Maple n´am d´a jiˇz spr´avn´ y v´ ysledek arctan(x2 +
p
(x))
O spr´avnosti se pˇresvˇedˇc´ıme derivac´ı: diff(%,x); 1 2x + √ 2 x √ 2 2 (x + x) + 1 Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
√ Pozorn´ y ˇcten´aˇr si zde vˇsimne, ˇze jsme mohli pouˇz´ıt√lepˇs´ı substituci a to y = x2 + x a v´ ypoˇcet by byl jeˇstˇe jednoduˇsˇs´ı. Z´amˇernˇe jsme zvolili substituci y = x, protoˇze ta by mˇela napadnout kaˇzd´eho studenta, kter´ y proˇsel z´akladn´ım kurzem v´ ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı pomoc´ı substituce. Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak z´ısk´ame pˇribliˇznou hodnotu urˇcit´eho integr´alu v pˇr´ıpadˇe, ˇze Maple integr´al nevypoˇc´ıt´a analyticky. Pouˇzijeme pˇr´ıkaz, kter´ y vyuˇz´ıv´a k v´ ypoˇctu urˇcit´eho integr´alu pˇr´ıbliˇzn´e numerick´e metody . • Pˇ r´ıklad 7: Vypoˇctˇete urˇcit´ y integr´al
Z1
e
x2 x2 +1
dx
0
int(exp(x^2/(x^2+1)),x=0..1); Maple n´am vr´at´ı pouze opis integr´alu: Z1
e
x2 x2 +1
dx
0
Pouˇzijeme tedy pˇr´ıkaz pro v´ ypoˇcet urˇcit´eho integr´alu, kter´ y vyuˇz´ıv´a pˇribliˇzn´ ych numerick´ ych metod. Bohuˇzel, jak´e metody pˇresnˇe pouˇz´ıv´a se nedozv´ıme. Pˇr´ıkaz m´a tvar evalf(Int(f(x),x=a..b). Implicitnˇe Maple poˇc´ıt´a s pˇresnosti ε = 0.5 101−digits , kde digits je hodnota promˇenn´e Digits, coˇz je poˇcet m´ıst, na kter´e Maple poˇc´ıt´a. Uˇzivatel si tuto promˇennou m˚ uˇze nastavit. Pouˇzijeme tedy pˇribliˇzn´ y numerick´ y v´ ypoˇcet: evalf(Int(exp(x^2/(x^2+1)),x=0..1)); Maple n´am vr´at´ı v´ ysledek: 1.255621168 Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Maple si pomˇernˇe dobˇre porad´ı i s nevlastn´ımi integr´aly. • Pˇ r´ıklad 8: Vypoˇctˇete urˇcit´ y integr´al
R∞ 1
Tento integr´al konverguje, protoˇze 0 ≤
1 t2 +2+sin(t)
1 t2 +2+sin(t)
≤
1 t2
dx
a
R∞ 1 1
t2
dt = 1, tedy konverguje. Protoˇze primitivn´ı
funkci k integrovan´e funkci neum´ıme ani my ani Maple vypoˇc´ıtat, pouˇzijeme hned pˇribliˇzn´ y numerick´ y v´ ypoˇcet. evalf(Int(1/(t^2+2+sin(t)),t=1..infinity)); Maple n´am vr´at´ı n´asleduj´ıc´ı v´ ysledek: .6241667108 Pozor nesm´ıte pouˇz´ıt pˇr´ıkaz: evalf(Int(1/(t^2+2+sin(t)),t=1..100000000)); Maple n´am vr´at´ı n´asleduj´ıc´ı v´ ysledek: 40296.74067 coˇz je samozˇrejmˇe ˇspatn´ y v´ ysledek. Pouˇzijeme-li pˇr´ıkaz: evalf(Int(1/(t^2+2+sin(t)),t=1..100000100)); dostaneme v´ ysledek: 40297.14364 Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
Rozd´ıl posledn´ıch dvou v´ ysledk˚ u je 0.40297 ale n´asleduj´ıc´ı pˇr´ıkaz n´am d´a jin´ y v´ ysledek: evalf(Int(1/(t^2+2+sin(t)),t=100000000..100000100)); dostaneme v´ ysledek: -.8999900001e-7 Vˇse je zp˚ usobeno t´ım, ˇze pracujeme s pˇresnost´ı na deset desetinn´ ych m´ıst a pˇredchoz´ı v´ ysledky jsou zat´ıˇzeny chybou poˇc´ıtaˇce. Nyn´ı pouˇzijeme stejn´ y pˇr´ıkaz pro urˇcit´ y integr´al, kter´ y nekonverguje.
• Pˇ r´ıklad 9: Vypoˇctˇete urˇcit´ y integr´al
R∞ 1
Tento integr´al diverguje, protoˇze
1 t+2+sin(t)
1 t+2+sin(t)
≥
1 t+3
dt
(pro t > 1) a
R∞ 1
1 t+3
dx = ∞, tedy diverguje. Protoˇze
primitivn´ı funkci k integrovan´e funkci neum´ıme opˇet urˇcit, pouˇzijeme pˇribliˇzn´ y numerick´ y v´ ypoˇcet. evalf(Int(1/(t+2+sin(t)),t=1..infinity)); Maple n´am vr´at´ı n´asleduj´ıc´ı v´ ysledek: Float(∞)
Contents
First
Last
Prev
Next
Back
Close
Quit
