Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK
PRAKTIKUM II. úloha č. p p19 ppppppppppppp Název: p Měření p p p p p p p p p p p p sp p p torzním p p p p p p p p p p p p p pmagnetometrem ppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Pracoval: p Lukáš p p p p p p p p p p pLedvina p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p stud. skup. p 14 p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne: p16.10.2009 pppppppppppppppppppppppppppppppppppppppp Odevzdal dne: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Možný počet bodů Práce při měření
0–5
Teoretická část
0–1
Výsledky měření
0–8
Diskuse výsledků
0–4
Závěr
0–1
Seznam použité literatury
0–1 max. 20
Posuzoval: p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p dne p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p
Udělený počet bodů
1
Pracovní úkol 1. Změřte závislost výchylky magnetometru na proudu protékajícím cívkou. Měření proveďte pro obě cívky a různé počty závitů (5 a 10). Maximální povolený proud obvodem je 4 A. 2. Výsledky měření znázorněte graficky. 3. Diskutujte výsledky měření z hlediska platnosti Biot-Savartova zákona. 4. Změřte direkční moment vlákna metodou torzních kmitů. 5. Určete magnetický moment magnetu užívaného při měření (v Coulombových i Ampérových jednotkách).
2
Teorie
Vložíme-li magnetický dipól p do magnetického pole o intenzitě H,úhel mezi vektory je θ, toto na něj působí momentem Mm: Mm = p × H = pH sin θ. V našem případě, však je p ⊥ H, tedy: Mm = pH.
(1)
Aby byla soustava v klidu, moment Mm je vyvažován direkčním silovým momentem vlákna Md . Úhel vychýlení vlákna je α a direkční moment vlákna je D. Platí: Md = Dα. (2) My však neměříme přímo odchylku α, ale změnu polohy odlesku zrcátka na stupnici. Označíme-li l0 bod opoziční ke zdroji, L vzdálenost zrcátka od stupnice a l měřenou hodnotu, platí: α=
l0 − l 1 arctan 2 L
(3)
Značíme-li N počet závitů cívky, I proud, pro intenzitu pole uprostřed kruhové cívky, podle Biotova-Savartova zákona, platí: H=
1 N I. 2r
2
(4)
Dosazením (4) do rovnosti (1) a (2) a vyjádřením p dostáváme: p = δp =
2rDα . rN I
(5)
³ α ´2 (δr) + (δD) + δ I 2
2
(6)
Direkční moment D měříme metodou torzních kmitů. J značí moment vložené tyčky, T je perioda malých kmitů s tyčí, T ′ je perioda kmitů aparatury. Platí: r J T = 2π D 2 4π Jt (7) D = 2 − T ′2 T p δD = (δJ)2 + (2δT )2 . (8)
3 3.1
Měření Měření závislostí výchylky magnetometru na proudu procházejícím cívkami
Sestavil jsem aparaturu podle zadání. Umístil jsem permanentní magnet do magnetometru. Cívku jsem umístil, tak aby magnet byl v jejím středu. Proud cívkou jsem postupně měnil v rozsahu 0 A až 4 A s krokem 0, 5 A. Měřil jsem polohu paprsku odraženého od zrcátka. Pro výpočet úhlu odchýlení α podle vztahu (3) jsem použil l0 = −7 cm. Tuto hodnotu jsem odhadl podle polohy zdroje světla a zrcátka. Za vzdálenost zrcátka od stínítka jsem dosazoval L = (1025±10) mm. Chyba této hodnoty je způsobena především nesnadným měřením této vzdálenosti. Změřené hodnoty pro obě cívky, pro 5 i 10 závitů jsou v tabulce 1. Změřená data jsou graficky zaneseny do grafu na obrázku 1. Měřenou závislost úhlu na proudu jsem fitoval závislostí α = a · I + b, kde a, b jsou konstanty určené fitem. Dále pro možnost porovnávání jsem přičetl konstantu b, což je výchylka odpovídající nulovému proudu.
3.2
Měření direkčního momentu
Měřil jsem desetkrát 10T , 10T ′ . Pro magnetometr s tyčkou, bez tyčky. Výsledky jsem zapsal do tabulky 2.
3
4 3,5 0
20
40
60
80 α mrad
100
120
140
0
L1 10z L1 5z L2 10z L2 5z
0,5
1
1,5
2
I A
2,5
3
Závislost výchylky magnetometru na proudu
Obrázek 1: Závislost výchylky magnetometru na proudu cívkou. L1 je menší cívka d1 = 20 cm. L2 je větší cívka d2 = 40 cm.
4
Tabulka 1: Změřená data na magnetometru. L1, 10z
L1, 5z
L2, 10z
L2, 5z
I A
l cm
α mrad
l cm
α mrad
l cm
α mrad
l cm
α mrad
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
−18,8 −15,1 −11,5 −7,9 −4,2 −0,7 3,1 6,6 10,1
−57,31 −39,43 −21,94 −4,39 13,66 30,69 49,11 65,96 82,65
−18,5 −16,8 −15,0 −13,2 −11,4 −9,6 −7,7 −5,9 −4,2
−55,86 −47,66 −38,95 −30,21 −21,45 −12,68 −3,41 5,37 13,66
−18,9 −17,0 −15,2 −13,3 −11,5 −9,7 −7,8 −6,0 −4,1
−57,79 −48,63 −39,91 −30,69 −21,94 −13,17 −3,90 4,88 14,14
−18,8 −17,9 −17,0 −16,1 −15,1 −14,2 −13,3 −12,3 −11,4
−57,31 −52,97 −48,63 −44,27 −39,43 −35,06 −30,69 −25,83 −21,45
L1 menší cívka d = 200 mm L2 větší cívka d = 400 mm
Tabulka 2: Změřené periody oscilací. 10T s
10T ′ s
40,35 40,28 40,41 40,32 40,25 40,35 40,37 40,37 40,37 40,37
4,22 4,16 4,28 4,09 4,25 4,32 4,22 4,25 4,22 4,18
Dále jsem tyto data standardně zpracoval. K statistické chybě jsem kvadraticky přičetl chybu stopek 5 ms. T = (4, 034 ± 0, 002) s T ′ = (0, 422 ± 0, 002) s Vím, že Jt = (2, 72 ± 0, 01) × 10−4 kg m2 . Ze vztahu (7) vypočtu direkční moment vlákna. Chybu vypočtu podle vztahu (8): D = (6, 67 ± 0, 03) × 10−4 Nm 5
Tabulka 3: Vypočtené koeficienty fitu, viz obrázek 1 α/I mrad/ A α0 mrad
3.3
L1, 10z 35, 1 ± 0, 1 −57, 0 ± 0, 3
L1, 5z 17, 5 ± 0, 1 −56, 3 ± 0, 2
L2, 10z 17, 9 ± 0, 1 −57, 7 ± 0, 1
L2, 5z 9, 0 ± 0, 1 −57, 5 ± 0, 1
Určení magnetického momentu používaného magnetu
Magnetický moment jsem určil ze vztahu (5), chybu jsem určil podle (6). Zanedbal jsem chybu určení poloměru cívky. Dosazované hodnoty a chyby fitu jsou v tabulce 3. Coulombovy jednotky pokládají µ0 = 4π · 10−7 , Ampérovy jednotky pokládají µ0 = 1. pL1;10z pL1;5z pL2;10z pL2;5z
= = = =
(4, 68 ± 0, 02) × 10−7 kg m3 s−2 A−1 (4, 70 ± 0, 03) × 10−7 kg m3 s−2 A−1 (4, 78 ± 0, 03) × 10−7 kg m3 s−2 A−1 (4, 80 ± 0, 06) × 10−7 kg m3 s−2 A−1
pc = (4, 74 ± 0, 06) × 10−7 kg m3 s−2 A−1 pa = (0, 377 ± 0, 005) A m2
4
Diskuse
Měření magnetometrem bylo v tomto případě relativně přesné, však do tohoto měření byla vnesena mnohem větší chyba okolními vlivy: cívka nebyla úplně kruhová, magnet nebyl umístěn přesně na ose, ani v rovině cívky. Odečítání bylo však již přesné. Měření direkčního momentu je především závislé na přesnosti měření periody oscilací. Jak je vidět ze změřených dat, byl rozptyl měřených časů minimální. Do tohoto měření není nutné připočítávat systematickou chybu. Měření probíhalo mezi dvěma událostmi stejného typu, veškeré systematické chyby na počátku a konci se vzájemně odečtou. 6
Chyba způsobená nenulovým momentem setrvačnosti aparatury byla vykompenzována měřením periody kmitů soustavy bez tyčky se známým momentem setrvačnosti. Určení magnetického momentu vzorku bylo pouze dosazení do vzorců dávajících v souvislost mechanické a elektrické síly. Chybu i hodnotu regresních koeficientů určoval program GNU-plot. Zde odchylky výsledků pro různé cívky a počty závitů jsou způsobeny nekruhovitostí cívek, dále také může být ovlivněn přívodními kabely k cívce, i když byly umístěné souběžně. Biotův-Savartův zákon Z tohoto měření je vidět, že B.-S. zákon není porušen. Byl splněn jeho důsledek: magnetická indukce pro 5 závitů menší cívky odpovídala magnetické indukci cívky s dvojnásobným poloměrem a dvojnásobným počtem závitů.
5
Závěr
Závislost velikosti magnetické indukce na proudu ve středu cívky vyšla lineární, viz graf na obrázku 1. Důsledky Biotova-Savartova zákona odpovídají výsledkům experimentu. Změřil jsem direkční moment vlákna: D = (6, 67 ± 0, 03) × 10−4 N m Vypočetl jsem magnetický moment vzorku v Coulombových i Ampérových jednotkách: pc = (4, 74 ± 0, 06) × 10−7 kg m3 s−2 A−1 pa = (0, 377 ± 0, 005) A m2
Reference [1] http://physics.mff.cuni.cz/vyuka/zfp/txt 219.htm
7