Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Miroslav Miler Atmosférická duha – jemná struktura Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 59 (2014), No. 2, 105--116

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/143891

Terms of use: © Jednota českých matematiků a fyziků, 2014 Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access to digitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document must contain these Terms of use. This paper has been digitized, optimized for electronic delivery and stamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library http://project.dml.cz

Atmosférická duha – jemná struktura Miroslav Miler, Praha ´ Uvod Jedn´ım z nejpozoruhodnˇejˇs´ıch jev˚ u v atmosférické optice je duha [4], [8]. Kaˇzd´ y se s n´ı setkal mnohokr´ at v ˇzivotˇe. Oded´ avna uˇcenci usilovali o jej´ı popis a vysvˇetlen´ı. K fyzik´ aln´ımu vysvˇetlen´ı se obvykle uˇz´ıv´ a geometrická optika a je vˇseobecné m´ınˇen´ı, ˇze tento jednoduch´ y problém byl d´ avno vyˇreˇsen a dnes uˇz k nˇemu nen´ı co dodat. Geometrick´ a optika vˇsak je pouze prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ım, a jak je známo napˇr. z teorie optického zobrazen´ı, vlnovˇe optick´ y pˇr´ıstup poskytne dalˇs´ı podrobnˇejˇs´ı vhled do podstaty optick´ ych jev˚ u. ´ celem tohoto ˇcl´ Uˇ anku je pr´ avˇe uplatnit pˇri popisu duhy vlnovou optiku, která vede k objasnˇen´ı jemné struktury duhy. Protoˇze vˇsak nelze vkroˇcit pˇr´ımo do jemné struktury jevu, aniˇz by se pˇripomnˇelo z´ akladn´ı pˇribl´ıˇzen´ı, bude nejprve popis smˇeˇrovat ke geometrické optice. K tomu se nepouˇzij´ı jen obr´ azky pˇrevzaté z literatury, ale bude podrobnˇe vyˇsetˇren dopad paprsk˚ u na kulovou kapku, ˇs´ıˇren´ı paprsk˚ u v n´ı a v´ ystup z n´ı. Teprve potom se pˇristoup´ı k aplikaci vlnové optiky. Pˇres optickou difrakci jako vˇseobecnou metodu pro v´ ypoˇcty ˇs´ıˇren´ı optick´ ych vln se dospˇeje k Airyovˇe funkci jako ˇ anek je urˇcen vˇsem zájemc˚ ˇreˇsen´ı problému jemné struktury duhy [9]. Cl´ um o optické jevy v atmosféˇre a neklade si za c´ıl nach´ azet v oboru absolutnˇe nové poznatky. Autor tohoto ˇcl´ anku se zaˇcal ponˇekud podrobnˇeji zab´ yvat duhou potom, co ji nafotografoval ze svého okna v Praze-Vrˇsovic´ıch, jak se klene od kostela sv. Václava (obr. 1). Uved’me pro informaci, ˇze tento kostel je vynikaj´ıc´ım d´ılem architekta prof. J. Goˇcára ˇ z r. 1929, kdy se slavilo milénium smrti uvedeného ˇceského svˇetce. Zelezobetonov´ y skelet stavby a ˇreˇsen´ı stropu nad vedlejˇs´ımi lodˇemi vystavˇeného jako mostn´ı konstrukce vylouˇcily nutnost podp˚ urn´ ych sloup˚ u stˇen hlavn´ı lodˇe a umoˇznily pr˚ ubˇeˇzná okna bez sloupk˚ u na boˇcn´ıch stˇen´ ach vedlejˇs´ıch lod´ı. Historii v´ yzkumu duhy lze naj´ıt napˇr. v pr´ aci [8] nebo v ˇradˇe odkaz˚ u na internetu, a proto se j´ı zde nebudeme zaob´ırat. Z´ akladn´ı pˇ r´ıstup podle geometrick´ e optiky Duha se vyznaˇcuje pˇredevˇs´ım rozkladem b´ılého sluneˇcn´ıho svˇetla na barevné sloˇzky, kter´ y se uskuteˇcn ˇuje lomem svˇetla na rozhran´ı dvou optick´ ych prostˇred´ı oznaˇcovan´ ych indexy 1 a 2 podle Snellova z´ akona n1 sin α1 = n2 sin α2 ,

(1)

kde symbolem nj je znaˇcen index lomu a symbolem αj u ´hel mezi paprskem a kolmic´ı dopadu. V naˇsem pˇr´ıpadˇe jde o rozhran´ı mezi vodn´ı kapkou a vzduchem. Protoˇze index

´ ˇ Doc. RNDr. Miroslav Miler, DrSc., Ustav fotoniky a elektroniky AV CR, v. v. i., Chabersk´ a 57, 182 51 Praha 8, e-mail: [email protected]

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

105

(a)

(b)

Obr. 1. Duha nafotografovan´ a z okna pobl´ıˇz kostela sv. V´ aclava v Praze-Vrˇsovic´ıch dne 28. 6. 2007

lomu je z´ avisl´ y na barvˇe svˇetla, budou se u ´hly lomu pro r˚ uzné barvy navzájem liˇsit, a tak doch´ az´ı k rozkladu svˇetla: r˚ uzné barvy se ˇs´ıˇr´ı pod odliˇsn´ ymi u ´hly. Protoˇze duhov´ y oblouk se vytv´ aˇr´ı na stranˇe odvr´ acené od Slunce, kdyˇz pozorovatel je z´ ady k nˇemu, mus´ı v kapce vody nastat alespoˇ n jeden odraz svˇetla. Spoleˇcnˇe s dvˇema lomy paprsku, jedn´ım na vstupu a jedn´ım na v´ ystupu, jde pˇri jednom odrazu uvnitˇr o duhu hlavn´ı (prim´ arn´ı) a pˇri dvou odrazech o duhu vedlejˇs´ı (sekundárn´ı), která je um´ıstˇena nad duhou hlavn´ı (viz obr. 1a). Protoˇze pˇri odrazu nastává otoˇcen´ı poˇrad´ı paprsk˚ u, bude také poˇrad´ı barev navz´ ajem opaˇcné. Pˇri kaˇzdém odrazu se ˇcást svˇetla lom´ı ven z kapky, proto vedlejˇs´ı duha, kter´ a m´ a nav´ıc dalˇs´ı lom, je oproti hlavn´ı duze slabˇs´ı. Odrazy uvnitˇr kapky totiˇz nejsou u ´plné vnitˇrn´ı odrazy, jak se nˇekteˇr´ı domn´ıvaj´ı, a autor k nim také zprvu patˇril. Vytvoˇren´ı hlavn´ı duhy je zobrazeno na obr. 2a. Pro snazˇs´ı odvozen´ı se pˇredpokládá vodorovné ˇs´ıˇren´ı dopadaj´ıc´ıho paprsku. Polomˇer kapky je oznaˇcen p´ısmenem r a v´ yˇska paprsku nad vodorovnou osou p´ısmenem y. Relativn´ı v´ yˇska vzhledem k polomˇeru je tedy y/r s hodnotami mezi 0 a 1. Index lomu vzduchu je pro vˇsechny barvy roven pˇribliˇznˇe 1,00. Vodn´ı kapka m´ a index lomu n, kter´ y se pohybuje kolem hodnoty 1,33. Jestliˇze u ´hel dopadu oznaˇc´ıme α a u ´hel lomu β, pak hodnota posledn´ıho bude dána ´ uveden´ ym Snellov´ ym z´ akonem (1) jako sin β = (1/n) sin α. Uhlov´ y polomˇer duhového oblouku mus´ı b´ yt roven ostrému u ´hlu mezi pˇr´ımkou dopadaj´ıc´ıho paprsku a pˇr´ımkou paprsku vystupuj´ıc´ıho. Z u ´hl˚ u troj´ uheln´ıku P CT pak plyne γ/2 = 2β − α a u ´hlov´ y polomˇer duhového oblouku pak se pak d´ a s pouˇzit´ım Snellova zákona napsat jako 106


C

P a

y

n

T2

g /2 b

T

P’

S

n S

r

r y b

P’

C

g /2

T1

a

P

(a)

(b)

Obr. 2. Obecn´ y paprsek (a) hlavn´ı duhy a (b) vedlejˇs´ı duhy

γ1 = 2 (2 arcsin [(1/n) sin α] − α). Protoˇze sin α = y/r, je koneˇcn´ y vztah pro u ´hlov´ y polomˇer h y i 1 y − arcsin γ1 = 2 2 arcsin , (2) n r r kde index 1 znamen´ a, ˇze jde o hlavn´ı duhu. Polohov´ y (elevaˇcn´ı) u ´hel vrcholu (nejvyˇsˇs´ıho bodu) duhového oblouku je pˇri vodorovném dopadaj´ıc´ım paprsku roven u ´hlovému polomˇeru duhového oblouku. Jestliˇze Slunce je v´ yˇse nad obzorem a jeho polohov´ yu ´hel je θ, pak dopadaj´ıc´ı paprsek sv´ırá s vodorovnou rovinou u ´hel −θ a vrchol duhy m´ a polohov´ yu ´hel γ − θ. Vytvoˇren´ı vedlejˇs´ı duhy je zobrazeno na obr. 2b. Aby v´ ysledn´ y paprsek smˇeˇroval opˇet shora dol˚ u, musej´ı se vz´ıt v u ´vahu paprsky dopadaj´ıc´ı do spodn´ı poloviny kapky. Opˇet stejnˇe jako u duhy hlavn´ı uˇzit´ım poznatk˚ uou ´hlech v troj´ uheln´ıc´ıch lze odvodit vztah pro u ´hel γ = 2(α − 3β + 90◦ ), odkud plyne h y i 1 y γ2 = 180◦ − 2 3 arcsin − arcsin . (3) n r r

Oba vztahy (2) a (3) jsou zn´ azornˇeny jako funkce promˇenné y/r pro zelené svˇetlo na obr. 3a. Pˇritom vystupuj´ıc´ı paprsek s nulov´ ym polohov´ ym u ´hlem je nam´ıˇren proti paprsku dopadaj´ıc´ımu a pomˇerné v´ yˇsky paprsk˚ u pro vedlejˇs´ı duhu maj´ı kladné hodnoty. Obˇe kˇrivky maj´ı pro pomˇerné v´ yˇsky paprsk˚ u bl´ızké jednotce své extrémy: hlavn´ı duha maximum a vedlejˇs´ı duha minimum. Hlavn´ı duha má maximum povlovnˇejˇs´ı a vedlejˇs´ı duha minimum ostˇrejˇs´ı. V tˇechto oblastech se duhy zaˇcnou projevovat; jinde se jednotlivé barvy navz´ ajem sm´ıs´ı a smyj´ı. Hlavn´ı duha je v d˚ usledku ploˇsˇs´ıho maxima ˇsirˇs´ı neˇz duha vedlejˇs´ı, kter´ a m´ a maximum ostˇrejˇs´ı. Krajn´ı paprsek na v´ ystupu (tj. ten, kter´ y m´ a nejvˇetˇs´ı odchylku) se naz´ yvá Descart˚ uv. Dopadové v´ yˇsky Descartov´ ych paprsk˚ u se pro obˇe duhy samozˇrejmˇe vypoˇc´ıtaj´ı jako extrémy ztotoˇznˇen´ım prvn´ıch derivac´ı funkc´ı (2) a (3) s nulou. Po jednoduchém v´ ypoˇctu (viz dodatek I) se dospˇeje ke vztah˚ um, které je moˇzno sjednotit do spoleˇcného vztahu s y (m + 1)2 − n2 = (4) r um (m + 1)2 − 1 Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

107

ú

40 20 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

poměrná výška paprsku y / r

150

180 160

145

úhel změny směru d


140

120 100 80 60

140

135

130

40

125 20

120

0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


0.7

0.8

0.9


(a)

(b)


150

´ Obr. 3. (a) Uhlov´ y polomˇer duhového oblouku jako funkce y/r pro zelenou barvu svˇetla 145 a (b) jej´ı detail pro tˇri barvy v u ´vrat´ıch 140

135

130

125

120 0.7

0.8

0.9

1


(a)

(b)

Obr. 4. Pr˚ uchod mnoˇziny paprsk˚ u kapkou a v´ ystup z n´ı pro (a) hlavn´ı a (b) vedlejˇs´ı duhu

pro m = 1, 2 vyjadˇruj´ıc´ıho hlavn´ı resp. vedlejˇs´ı duhu. Veliˇcina n je index lomu kapky pro poˇc´ıtanou vlnovou délku. Tak napˇr. pro zelené svˇetlo je index lomu n = 1, 334 a v´ yˇsky paprsk˚ u v u ´vrat´ıch jsou 0,860 a 0,950, coˇz odpov´ıdá u ´hlov´ ym polomˇer˚ um duhov´ ych oblouk˚ u 41, 93◦ a 51, 15◦ . Pro jiné vlnové délky se v´ yˇsky paprsk˚ uvu ´vrat´ıch mˇen´ı jen nepatrnˇe, u ´hlové polomˇery duhového oblouku maj´ı rozd´ıly znatelnˇejˇs´ı, jak je to zˇrejmé z obr. 3b, kter´ y je detailem obr. 3a pro tˇri vlnové délky (ˇcervené svˇetlo n = 1, 330, zelené svˇetlo n = 1, 334 a modré svˇetlo n = 1, 337). Protoˇze do oblasti mezi obˇema duhami se nerozptyluj´ı ˇzádné paprsky, jev´ı se tato oblast tmavˇs´ı. Tato oblast se naz´ yv´ a Alexandr˚ uv tmavý p´ as. ˇ S´ıˇren´ı obecného paprsku v kapce pro hlavn´ı a vedlejˇs´ı duhu jiˇz bylo popsáno, ale pro n´ azornost je vhodné vyj´ adˇrit graficky celou mnoˇzinu paprsk˚ u. Pro hlavn´ı duhu je mnoˇzina paprsk˚ u zn´ azornˇena na obr. 4a, pro vedlejˇs´ı duhu na obr. 4b. Je zˇrejmé, ˇze paprsky vytv´ aˇrej´ı po lomech a odrazech uskupen´ı s obálkami, které 108


1

se v optice naz´ yvaj´ı kaustické kˇrivky a jsou objektem podrobného zkoumán´ı [10]. Teoreticky, pouˇzit´ım jak paprskové teorie, tak i vlnové teorie, byla vyˇsetˇrována kaustická struktura ve vodn´ı kapce nejen pro jeden a dva, ale i v´ıce odraz˚ u v ˇclánku [7]. Jak je vidˇet z chodu paprsk˚ u, vznikaj´ı po odrazu (u hlavn´ı a po druhém odrazu u vedlejˇs´ı duhy) dvˇe kaustické kˇrivky: jedna se t´ yk´ a paprsk˚ u vnitˇrn´ıch od jiˇz zm´ınˇeného krajn´ıho Descartova paprsku a druh´ a paprsk˚ u vnˇejˇs´ıch. Ty vnˇejˇs´ı se pak vracej´ı do prostoru vystupuj´ıc´ıch vnitˇrn´ıch paprsk˚ u a kˇriˇzuj´ı se s nimi pod r˚ uzn´ ymi u ´hly. Z toho vypl´ yvá, ˇze mus´ı doj´ıt ke skl´ adán´ı vln a vzniku difrakˇcn´ıch prouˇzk˚ u. To bude pˇredmˇetem dalˇs´ı ˇc´ asti ˇcl´ anku. Obr. 4 byl vytvoˇren tak, ˇze byly vypoˇcteny souˇradnice pr˚ useˇc´ık˚ u paprsk˚ u s kruˇznic´ı, kter´ a pˇredstavuje meridi´ aln´ı ˇrez kulovou kapkou, a ty byly pospojovány. Mnoˇzina pr˚ useˇc´ık˚ u pro hlavn´ı a vedlejˇs´ı duhu je shrnuta v dodatku II. Jak je zˇrejmé, kaustické kˇrivky jsou rozs´ ahlejˇs´ı a zejména po druhém odrazu je kˇrivka také silnˇe zakˇrivena. Vnˇejˇs´ı paprsky se také vracej´ı do prostoru vnitˇrn´ıch paprsk˚ u, coˇz je podm´ınkou vzniku difrakˇcn´ıch prouˇzk˚ u. Pˇ r´ıstup na z´ akladˇ e vlnov´ e optiky Jak jiˇz bylo uvedeno, je ve vlnové optice ˇs´ıˇren´ı optick´ ych vln popsáno obecnˇe difrakc´ı. Vyhnˇeme se ˇcasto v uˇcebnic´ıch pouˇz´ıvanému term´ınu ohyb“, kter´ y vznikl otrock´ ym ” pˇrekladem z nˇemeckého die Beugung. Term´ın ohyb je zavádˇej´ıc´ı, protoˇze sp´ıˇse jde o odchylov´ an´ı svˇetelného paprsku neˇz jeho oh´ yb´ an´ı. Bohuˇzel, slova s koˇrenem ohyb jsou nˇejak zadˇren´ a pod k˚ uˇz´ı ˇcesk´ ych mluvˇc´ıch, protoˇze i ve vlaku se nemáme z oken vykl´ anˇet, ale nah´ ybat!? Popis difrakce optick´ ych vln vych´ az´ı z Huygensova principu, kter´ y tvrd´ı, ˇze pˇri ˇs´ıˇren´ı svˇetla je vlnoplocha d´ ana ob´ alkou kulov´ ych vlnoploch elementárn´ıch vln vycházej´ıc´ıch z jednotliv´ ych bod˚ u pˇredeˇslé vlnoplochy. Jestliˇze chápeme obálku jako sumu vlnoploch, pak lze tento princip zapsat jako U0 =

X j

Uj

exp[ikj l] , l

(5)

kde U 0 je amplituda nové vlny, Uj je amplituda elementárn´ıch vlnoploch, které se ˇs´ıˇr´ı od staré vlny, exponenci´ aln´ı funkce exp[ikj l] vyjadˇruje kulové elementárn´ı vlny a l je polomˇer kˇrivosti vlnoplochy. Veliˇcina kj = 2π/λ se naz´ yvá u ´hlov´ y vlnoˇcet vlny. Polomˇer l se vyskytuje ve jmenovateli, protoˇze je známo, ˇze intenzita vlnˇen´ı klesá se ˇctvercem vzd´ alenosti, a protoˇze intenzita je u ´mˇern´ a ˇctverci amplitudy, klesá amplituda nepˇr´ımo u ´mˇernˇe se vzd´ alenost´ı. Po pˇrechodu ke kontinu´ aln´ım souˇradnic´ım ze vztahu (5) vypl´ yvá Z Z k exp[ikl] U 0 [x0 , y 0 , ζ] = −i U [ξ, η, 0] dσ , (6) 2π l Σ kde p´ısmenem U jsou obecnˇe znaˇceny komplexn´ı amplitudy s reálnou ˇcást´ı jako reálnou amplitudou a exponenci´ aln´ı ˇc´ ast´ı jako f´ az´ı vlnˇen´ı: U [x, y, z] = u[x, y, z] exp[−iφ[x, y, z]]. Pˇredpokl´ ad´ a se nemˇenn´ a vlnov´ a délka, ˇc´ımˇz vypadává z u ´vah ˇcasová závislost a t´ım rychlé zmˇeny charakterizuj´ıc´ı vlnˇen´ı. Integr´ al se bere pˇres p˚ uvodn´ı vlnoplochu Σ Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

109

x

x’

P(x’,y’, z )

l

P (x,h, 0) z

h

y’ Obr. 5. Funkce optické dr´ ahy

a plat´ı pro malé u ´hly ˇs´ıˇren´ı svˇetla v˚ uˇci ose z. Koeficient pˇred integrálem −ik/(2π) vypl´ yv´ a z pˇresného odvozen´ı tohoto vztahu, které se vˇetˇsinou prob´ırá zdlouhavˇe ve vysokoˇskolsk´ ych uˇcebnic´ıch. Vzd´ alenost l se obvykle naz´ yv´ a funkce optické dr´ ahy (OPF – z angl. optical path function) a vypoˇc´ıt´ a se podle obr. 5 na z´ akladˇe Pythagorovy vˇety jako p (x0 − ξ)2 + (y 0 − η)2 + ζ 2 .

(7)

x0 2 + y 0 2 ξ2 + η2 x0 ξ + y 0 η + − . 2ζ 2ζ ζ

(8)

l=

S iracion´ aln´ım v´ yrazem nelze v naˇsem pˇr´ıpadˇe d´ al pracovat, a proto je tˇreba uˇcinit nˇejak´ a pˇribl´ıˇzen´ı pro jeho odstranˇen´ı. Samozˇrejm´ y je pˇredpoklad, ˇze pˇr´ıˇcné souˇradnice jsou mnohem menˇs´ı neˇz souˇradnice podéln´ a, (x0 , y 0 , ξ, η) ζ, a pak je moˇzno odmocninu rozvést v Taylor˚ uv rozvoj, v nˇemˇz uplatn´ıme ˇcleny pouze do druhého stupnˇe, l≈ζ+

Na z´ akladˇe pˇredchoz´ı nerovnosti lze funkci optické dráhy ve jmenovateli nahradit vzd´ alenost´ı mezi difrakˇcn´ı a pozorovac´ı rovinou l ≈ ζ. Difrakˇcn´ı vztah pak obecnˇe bude k 1 x0 2 + y 0 2 U 0 [x0 , y 0 , ζ] = − i exp ik ζ + 2π ζ 2ζ 2 Z ξmax Z ηmax ξ + η2 x0 ξ + y 0 η − dξdη , (9) × U [ξ, η] exp ik 2ζ ζ ξmin ηmin coˇz je vyj´ adˇren´ı pro obecnou difrakci zvanou Fresnelova. Jestliˇze vzd´ alenost ζ roviny pozorov´ an´ı je znaˇcná, je moˇzno kvadratick´ y ˇclen zanedbat a difrakce se naz´ yv´ a Fraunhoferova. Je vyj´ adˇrena integrálem (kter´ y je vlastnˇe Fourierovou transformac´ı) k 1 exp [ik] U [x , y , ζ] = −i 2π ζ 0

110

0

0

Z

ξmax

ξmin

Z

ηmax

ηmin

0 x ξ + y0 η U [ξ, η] exp −ik dξdη (10) ζ


3.0 3.0 2.0 2.0 1.0

1.0 0.0

F{x}

0.0 -1.0

F{x}

-1.0 -2.0 -2.0 -2-3.0 -1 -2-3.0

-1 -1

-0.5 0 -0.5 x 0 x

0 -1 10 b 21 b 1 2 1

0.5 0.5 (a)

1.0

a = 1, b = a = 1, b = 0.4 0.4 0 0

F{x1.0 } F{x} 0.5 0.5

-1.0 -1.0

x

x

-0.5 -0.5

0.0 0.00.0 0.0 -0.5 -0.5

0.5 0.5

1.0 - 0.4 1.0 - 0.4 -1 -1

-1.0 -1.0

(b) Obr. 6. Vhodn´ a funkce pro vyj´ adˇren´ı f´ aze (a) jako povrchov´ y graf a (b) pro nˇekolik souˇcinitel˚ ub

a v naˇsem pˇr´ıpadˇe malého zakˇriven´ı duhy proti velikosti kapek bude integrál pouze jednorozmˇern´ y 0 Z ξmax k 1 xξ U 0 [x0 , ζ] = −i exp [ikζ] U [ξ] exp −ik dξ . (11) 2π ζ ζ ξmin Pro urˇcen´ı vstupn´ı komplexn´ı amplitudy nebudeme brát v u ´vahu nepatrné zmˇeny re´ alné amplitudy u[ξ] z´ avisej´ıc´ı na u ´hlech dopadu a poloˇz´ıme ji rovnou jednotce. Jinak je to s f´ az´ı φ[ξ] ˇcili jinak ˇreˇceno s tvarem vlnoplochy. To, ˇze se paprsky nejprve rozv´ıjej´ı vˇej´ıˇrovitˇe dopˇredu a potom se zase od Descartova paprsku vˇej´ıˇrovitˇe navracej´ı, je moˇzno vyj´ adˇrit f´ az´ı ve tvaru φ[ξ] = 13 aξ 3 + bξ , (12) kter´ a je zn´ azornˇena jako povrchov´ y graf pro souˇcinitel a = 1 u kubického ˇclenu a pro souˇcinitel b u line´ arn´ıho ˇclenu v rozmez´ı b ∈ h−2, +2i na obr. 6a a pro nˇekolik souˇcinitel˚ u b na obr. 6b. Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

111

Je zˇrejmé, ˇze jestliˇze si pˇredstav´ıme paprsky jako kolmice v kaˇzdém m´ıstˇe ˇcáry grafu, pak se opravdu paprsky navz´ ajem pˇrekˇriˇzuj´ı v ˇcástech nˇekter´ ych kvadrant˚ u. Jestliˇze se dosad´ı vyj´ adˇren´ı pro f´ azi (12) do difrakˇcn´ıho integrálu (11), obdrˇz´ı se difrakˇcn´ı integr´ al (bez koeficientu pˇred integr´ alem) ve tvaru Z ∞ 1 3 x0 ξ 0 0 aξ + bξ exp −ik dξ , (13) U [x , ζ] = exp −ik 3 ζ −∞ kde nam´ısto ostˇre ohraniˇcen´ ych mez´ı integr´ alu zvoleny nekoneˇcné meze (nejde o otvor v clonˇe). Dopadaj´ıc´ı vlna m´ a re´ alnou amplitudu u[ξ] = 1. Integrál (13) je moˇzno po zaveden´ı u ´hlu difrakce x0 /ζ = sin θ ps´ at jako Z ∞ 1 3 0 aξ + (b + sin θ)ξ dξ , (14) U [k sin θ] = exp −ik 3 −∞ kde argument na levé stranˇe je souhrnnˇe vpraven do u ´hlu difrakce. ˇ sen´ım tohoto integr´ Reˇ alu nen´ı ˇz´ adn´ a z bˇeˇzn´ ych funkc´ı nebo jejich superpozice, ale tzv. Airyova funkce [2], [12], kter´ a je definov´ ana pro reálné hodnoty x jako nevlastn´ı integr´ al Z 1 ∞ 1 3 Ai[x] = cos t + xt dt . (15) π 0 3 Funkce Ai[x] vykazuje rychlé oscilace a konverguje, protoˇze kladné a záporné ˇcásti oscilac´ı se navz´ ajem ruˇs´ı. Airyova funkce splˇ nuje diferenciáln´ı rovnici y 00 − xy = 0 .

(16)

Tato rovnice m´ a dvˇe na sobˇe nez´ avisl´ a ˇreˇsen´ı. Druhé ˇreˇsen´ı je Airyova funkce druhého druhu oznaˇcovan´ a jako Bi[x]. Je definov´ ana jako ˇreˇsen´ı se stejnou amplitudou oscilac´ı jako Ai[x], kdyˇz x jde do −∞, a liˇs´ı se o rozd´ıl f´ az´ı π/2: Z 1 ∞ 1 1 Bi[x] = exp − t3 + xt + sin t3 + xt dt . (17) π 0 3 3 Pr˚ ubˇehy obou funkc´ı v rozsahu x ∈ h−10, 2i jsou na obr. 7a. Modul Airyovy funkce |Ai[x]|2 re´ alné promˇenné ud´ av´ a rozloˇzen´ı intenzity svˇetla: v duze vznikaj´ı difrakˇcn´ı prouˇzky (obr. 7b). Vyznaˇcuj´ı se t´ım, ˇze se vzdalov´ an´ım se od kaustické ˇcáry se zaprvé postupnˇe zmenˇsuje amplituda intenzity svˇetla a zadruhé zmenˇsuje perioda prouˇzk˚ u (roste jejich hustota). Difrakˇcn´ı prouˇzky jsou vˇsak v duze viditelné pouze zˇr´ıdka a viditelnost je závislá na velikosti kapek. Vˇetˇsinou se prouˇzky pro jednotlivé barvy tak pˇrekr´ yvaj´ı, ˇze se smaz´ avaj´ı. Pˇri velikosti kapek kolem 25 µm a menˇs´ıch, které se vyskytuj´ı pˇredevˇs´ım v mlze, se duha jev´ı b´ıl´ a. Uveden´ a difrakce se t´ yk´ a skal´ arn´ıho pˇr´ıstupu, kdy se vzhledem k mal´ ym u ´hl˚ um difrakce zanedb´ av´ a vektorov´ y charakter svˇetla, a tedy jeho polarizace. Z numerického v´ ypoˇctu vych´ azej´ıc´ıho pˇr´ımo z Maxwellov´ ych rovnic se dojde k závˇeru, ˇze uveden´ y v´ ysledek difrakce se velmi dobˇre shoduje s polarizac´ı kolmou k rovinˇe dopadu. Polarizace v rovinˇe dopadu je zt´ıˇzena Brewsterov´ ym u ´hlem, pˇri kterém je odraz svˇetla 112


1.5

1.5 1

1 0.5

Ai{x} Bi{x}

Ai{x} Bi{x}

0.5 0

-10

-8

-6

-4

-2

-10

-8

-6

-4

-2

0 -0.5

0

2

0

2

0

2

0

2

(a) 0.3 -0.5

|Ai{x}|2 0.3 0.2

|Ai{x}|2

0.2 0.1

0.1 0 -10

-8

-6

-4

-2

-10

-8

-6

-4

-2

0

(b) Obr. 7. (a) Pr˚ ubˇehy obou Airyov´ ych funkc´ı a (b) intenzita v difrakˇcn´ıch prouˇzc´ıch duhy

nulov´ y. Pˇri difrakci se pak pro tuto polarizaci nevytváˇrej´ı kontrastn´ı difrakˇcn´ı prouˇzky n´ ybrˇz pouze m´ırn´ a zvlnˇen´ı s minimy v m´ıstech maxim pro difrakci s pˇredchoz´ı polarizac´ı [5], [8]. Zaj´ımavé je uplatnˇen´ı Airyov´ ych funkc´ı v dneˇsn´ı optice, kdy se vyˇsetˇruj´ı optické svazky koherentn´ıho svˇetla s r˚ uzn´ ymi pˇr´ıˇcn´ ymi pr˚ ubˇehy komplexn´ı amplitudy. Nejjednoduˇsˇs´ı je ovˇsem Gauss˚ uv svazek, kter´ y je z´ akladn´ım vyzaˇrovac´ım videm laser˚ u. Rovinn´ y svazek s Airyov´ ym rozloˇzen´ım se vyznaˇcuje pˇredevˇs´ım parabolickou trajektori´ı ˇs´ıˇren´ı. V literatuˇre jsou pro ilustraci uvedeny ˇctyˇri z ˇrady nedávn´ ych prac´ı publikovan´ ych v zahraniˇcn´ıch odborn´ ych ˇcasopisech [11], [3], [13], [14]. Z´ avˇ er Zat´ımco paprskov´ a optika poskytuje z´ akladn´ı v´ yklad tvorby atmosférické duhy, vlnov´ y pˇr´ıstup pod´ av´ a podrobnˇejˇs´ı vysvˇetlen´ı vzniku difrakˇcn´ıch prouˇzk˚ u, které se nˇekdy Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

113

v duze pozoruj´ı. Difrakˇcn´ı prouˇzky se zhuˇst’uj´ı se vzdálenost´ı od okraje duhy a souˇcasnˇe se zmenˇsuje jejich viditelnost. Jejich v´ yskyt je z´ avisl´ y na velikosti kapek, ale tato z´ avislost nen´ı v ˇcl´ anku kvantitativnˇe uvedena. Airyova funkce, která je v´ ysledkem anal´ yzy difrakˇcn´ıch prouˇzk˚ u, m´ a dalˇs´ı uplatnˇen´ı ve fyzice, jako je napˇr. ˇreˇsen´ı chován´ı ˇc´ astice v troj´ uheln´ıkové potenci´ aln´ı j´ amˇe. M´ a vˇsak také v´ yznam i v technice napˇr. pro ˇreˇsen´ı u ´loh o stabilitˇe visk´ ozn´ıch kapalin nebo ˇs´ıˇren´ı radiov´ ych vln ˇci radiaˇcn´ım pˇrenosu. Podˇ ekov´ an´ı. Autor dˇekuje odpovˇednému redaktorovi za fyzikáln´ı ˇcást Pokrok˚ u doc. RNDr. Miloˇsi Rotterovi, CSc., za upozornˇen´ı na dvˇe práce, které autorovi nebyly zn´ amy [6], [1]. Poskytuj´ı dalˇs´ı poznatky, které nejsou v ˇclánku obsaˇzeny, zejména napˇr. o z´ avislosti periody Airyov´ ych difrakˇcn´ıch prouˇzk˚ u na velikosti kapiˇcek a podm´ınkách pro vznik duhy v b´ılé barvˇe.

Dodatek I. V´ ypoˇ cet bod˚ uu ´ vrat´ı Hlavn´ı duha

Vedlejˇs´ı duha

V´ ypoˇcet prvn´ı derivace a jej´ı anulov´ an´ı hxi d dγ1 = 2 2 arcsin − arcsin[x] dx dx n   1 1  = 0, = 2 2 q −√ n 1 − x2 1 − (x/n)2

kde x = y/r

hxi dγ2 d = 180−2 3 arcsin − arcsin[x] dx dx  n  1 1  = 0, = −2 3 q −√ n 1 − x2 1 − (x/n)2

´ Upravy rovnice p 2

r n

1 − x2 −

1−

x 2

= 0,

n 4(1 − x2 ) − (n2 − x2 ) = 0, 3x2 + n2 − 4 = 0

p 3

1 − x2 −

r n

1−

x 2

= 0, n 9(1 − x2 ) − (n2 − x2 ) = 0, 8x2 + n2 − 9 = 0

Koneˇcn´ y vztah y r

114

u1

=±

r

4 − n2 3

y r

u2

r

=±

9 − n2 8


Dodatek IIa. Pr˚ useˇ c´ıky mnoˇ ziny paprsk˚ u s obvodem meridi´ aln´ıho ˇ rezu kulov´ e kapky hlavn´ı duhy Vodorovn´ y paprsek dopadaj´ıc´ı do bodu na kruˇznici (y/r)2 + ((z/r) + 1)2 = 1 má souˇradnice z1 y1 = sin α, = −1 − cos α , r r kde α je u ´hel dopadu a plat´ı z´ akon lomu sin β = (1/n) sin α. Lomen´ y paprsek prot´ın´ a kruˇznici v bodˇe, jehoˇz souˇradnice jsou y2 = r sin[180 − (α + 180 − 2β)],

z2 = r(−1 + cos[180 − (α + 180 − 2β)]) ,

tedy h hy i h y ii y2 = sin 2 arcsin − arcsin , r rn r

h hy i h y ii z2 = −1 + cos 2 arcsin − arcsin . r rn r

Odraˇzen´ y paprsek prot´ın´ a kruˇznici v bodˇe, jehoˇz souˇradnice jsou y3 = r sin[270 − (α + 2(180 − 2β),

z3 = r(−1 + cos[270 − (α + 2(180 − 2β))]) ,

tedy h hy i h y ii z h hy i h y ii y3 3 = − cos 4 arcsin − arcsin , = −1 + sin 4 arcsin + arcsin . r rn r r rn r

Prodlouˇzen´ y lomen´ y paprsek prot´ın´ a kruˇznici v bodˇe, jehoˇz souˇradnice jsou y4 = r sin[90 − ((90 + 4β − α) + (180 − 2α),

z4 = r(−1 + cos[90 − ((−90 + 4β − α) + (180 − 2α))]) ,

a tedy h hy i h y ii y4 = sin −4 arcsin + 3 arcsin , r rn h i r h h y ii z4 y = −1 + cos −4 arcsin + 3 arcsin . r rn r Dodatek IIb. Pr˚ useˇ c´ıky mnoˇ ziny paprsk˚ u s obvodem meridi´ aln´ıho ˇ rezu kulov´ e kapky vedlejˇ s´ı duhy Vztahy aˇz po prvn´ı odraz vˇcetnˇe jsou stejné jako u hlavn´ı duhy. Znovu odraˇzen´ y paprsek prot´ın´ a kruˇznici v bodˇe, jehoˇz souˇradnice jsou y4 = r sin[360 − (α + 3(180 − 2β))],

z4 = r(−1 + cos[360 − (α + 3(180 − 2β))]) ,

tedy h hy i h y ii z h hy i h y ii y4 4 = − sin 6 arcsin − arcsin , = −1 − cos 6 arcsin + arcsin . r rn r r rn r Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, roˇcn´ık 59 (2014), ˇc. 2

115

Prodlouˇzen´ y lomen´ y paprsek prot´ın´ a kruˇznici v bodˇe, jehoˇz souˇradnice jsou y5 = r sin[360 − (α + 3(180 − 2β)) + (180 − 2α)],

z5 = r(−1 + cos[360 − (α + 3(180 − 2β)) + (180 − 2α)]) ,

a tedy h y ii h hy i y5 − 3 arcsin , = − sin 6 arcsin r rnh i r h ii h z5 y y − 3 arcsin . = −1 − cos 6 arcsin r rn r

Literatura [1] Adams J. A.: The mathematical physics of rainbows and glories. Phys. Rep. 356 (4–5) (2002), 229–356. [2] Airy, G. B.: On the intensity of light in the neighborhood of a caustic. Trans. Cambridge Philos. Soc. 6 (1838) 379–402. ´rrez-Vega, J. C.: Airy-Gauss beams and their transformation [3] Bandres, M. A., Gutie by paraxial optical systems. Optics Express 15 (25) (2007) 16719–16728. ´r ˇ, J.: Pozoruhodné jevy v atmosféˇre: atmosférick´ [4] Bedna a optika, akustika a elektˇrina. Academia, Praha, 1989. [5] Khare, V., Nussenzweig, H. M.: Theory of the rainbow. Phys. Rev. Lett. 33 (16) (1974), 576–580. [6] Lee, R. L., Jr.: Mie theory, Airy theory, and the natural rainbow. Appl. Optics 37 (9) (1998), 1506–1519. [7] Lock, J. A., Hovenac, E. A.: Internal caustic structure of illuminated liquid droplets. J. Opt. Soc. Amer. A8 (10) (1991), 1541–1553. ´s Nussenzweig, H.: The theory of the rainbow. Scientific American 236 (4) [8] Mozse ˇ ˇ ˇcas. fyz. A29 (1979), 567–586.) (1977), 116–127. (Cesk´ y pˇreklad: Teorie duhy. Cs. ´s Nussenzweig, H.: Diffraction effects in semiclassical scattering. Cambridge [9] Mozse University Press, Cambridge, 1992. [10] Nye, J. F.: Natural focusing and fine structure of light. IOP Publishing, Bristol, 1999. Chapter 6, Diffraction, 123–153. [11] Siviloglou, G. A., Christodoulides, D. N.: Accelerating finite energy Airy beams. Optics Lett. 32 (8) (2007), 979–981. é, O., Soares, M.: Airy functions and applications to physics. Imperial College [12] Valle Press, London, 2004. [13] Wang, J., Bu, J., Wang, M., Yuan, X.: Generation of high quality Airy beams with blazed micro-optical cubic phase plates. Appl. Optics 50 (36) (2011), 6627–6631. [14] Zapata-Rodriguez, C. J., Pastor, D., Miret, J. J.: Consideration on the electromagnetic flow in Airy beams based on the Guy phase. Optics Express 20 (21) (2012), 23553–23580.

116


Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Recommend Documents