Přímá a nepřímá úměrnost
přímá úměrnost - rovnice: y = k.x + c - graf: přímka - platí: „čím víc, tím víc“ - př.: spotřeba benzínu motorovým vozidlem a vzdálenost, kterou vozidlo urazí při stejném výkonu nepřímá úměrnost k - rovnice: y c x - graf: hyperbola - platí: „čím víc, tím méně“ - př.: doba potřebná k zorání určitého pozemku a počet traktorů se stejnými pluhy
Řešené příklady: 1) Rozhodněte, mezi kterými veličinami platí vztah přímé úměrnosti, nebo nepřímé úměrnosti. Pokuste se vysledovat i podstatu jiné závislosti. a) Doba, po kterou svítí žárovka, a cena za spotřebovanou elektrickou energii. přímá úměrnost b) Obsah čtverce a délka jeho strany. jiná závislost, S = a2 c) Délka dráhy, kterou ujede auto v daném čase, a jeho rychlost. přímá úměrnost d) Objem krychle a délka její hrany. jiná závislost, V = a3 e) Rychlost cyklisty a čas potřebný k překonání dané vzdálenosti. nepřímá úměrnost f) Stáří člověka a jeho hmotnost. jiná závislost 2) Pokladní vybrala za vstup na krytý plavecký stadión 944 Kč od 118 osob. Kolik vybere, bude-li stadión plně obsazen? (Kapacita je 190 osob.) Řešení: 118 osob ………………944 Kč 190 osob………………. x Kč 190 x Jedná se o přímou úměrnost a platí: 118 944 190 x 944 1520 118 Pokladní vybere 1520 Kč. 1 3) Skupina instalatérů v počtu šesti členů je hotova s danou prací za 3 dne. Za jak 2 dlouho bude s touž prací hotovo sedm stejně výkonných instalatérů? Řešení:
1 6 instalatérů …………………. 3 dne 2 7 instalatérů ………………….. x dnů
Jedná se o nepřímou úměrnost a platí
6 x 1 7 3 2
6 1 3 3 7 2 Sedm instalatérů bude s prací hotovo za 3 dny. x
Poměr Řešené příklady: 1) Obdélníkový pozemek má na plánu rozměry 2,4 cm a 3,6 cm. a) Zmenšete je v poměru 2: 3 b) zvětšete je v poměru 5 : 3 Řešení: 2 a) 2,4 0,8 2 1,6 3 2 3,6 1,2 2 2,4 3 Zmenšené rozměry jsou 1,2 cm a 1,6 cm. 5 b) 2,4 0,8 5 4 3 5 3,6 1,2 5 6 3 Zvětšené rozměry jsou 3 cm a 4 cm. 2) Na mapě zhotovené v měřítku 1 : 25 000 je vzdušná vzdálenost dvou měst 3,5 cm. Jaká je skutečná vzdušná vzdálenost těchto měst? Řešení: Měřítko znamená: 1cm na mapě odpovídá 25 000 cm ve skutečnosti. Tedy: 3,5 25000 87500 . Skutečná vzdušná vzdálenost těchto měst je 875 m. 3) Kláda délky 145 cm byla rozřezána na 3 kusy, jejichž délky jsou v poměru 12 : 9 : 8. Vypočítejte délky jednotlivých kusů. Řešení: 1 díl ……. 145 : (12 + 9 + 8) = 5 1. kus: 12 5 60 2. kus: 9 5 45 3. kus: 8 5 40 Délky jednotlivých kusů jsou 60 cm, 45 cm a 40 cm.
Další řešené příklady: 1) Čerpadlem o výkonu 25 l/s se nádrž naplní za 1 h 12 min. Za jakou dobu se nádrž naplní čerpadlem o výkonu 10 l/s? 25 l/s……… 1,2 h 10 l/s ……... 25 . 1,2 : 10 = 3 h (nepřímá úměrnost) Čerpadlem o výkonu 10 l/s se nádrž naplní za 3 hodiny. 2) Z nádrže vyteče 120 hl vody 4 rourami za 6 hodin. Kolik vody vyteče 5 rourami se stejným průměrem za 14 hodin? 6 hod ….. 120 hl 4 roury …… 280 14 hod … 14.120:6=280 hl 5 rour …….. 5.280:4=350 hl (2x přímá úměrnost) Pěti rourami vyteče za 14 hodin 350 hl vody. 3) V sudu je 80 l vody. Voda sahá do výšky 45 cm. Kolik litrů vody bude v sudu, bude-li voda sahat do výšky 72 cm? 45 cm …… 80 l 72 cm …… 80.72:45= 128 l V sudu bude 128 litrů vody. 4) Měřítko mapy je 1 : 100 000. Kolik kilometrů je dlouhá ve skutečnosti cesta, která je na mapě dlouhá 4,7 cm? 1 cm na mapě…….. 100 000 cm ve skutečnosti 4,7 cm …………… 470 000 cm = 4,7 km ve skutečnosti Ve skutečnosti je cesta dlouhá 4,7 km. 5) Zvuk se šíří rychlostí 330 m/s. Sestavte tabulku závislosti vzdálenosti, kterou zvuk urazí za daný čas (pro 1 až 10 s, po jedné sekundě). Napište rovnici příslušné závislosti. t (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 s (m) 330 660 990 1320 1650 1980 2310 2640 2970 3300 rovnice: s = 330 . t 6) Mostní pilíř je zčásti zapuštěn do země, část je pod vodou a nad vodou vyčnívá 55 cm. Délka části nad vodou k délce části ve vodě je v poměru 1 : 2. Délka části nad vodou k délce části zapuštěné v zemi je v poměru 5 : 7. Určete délku pilíře. část ve vodě ….. x 1:2 = 55:x 5:7 = 55:y část v zemi ……. y x = 2.55 = 110 y = 7.55 = 77 Délka pilíře: 55 + 110 + 77 = 242 cm. 7) Tři dělníci vyhloubí příkop za 8 dní. Za jak dlouho vykoná tuto práci 6 dělníků? 3 dělníci …… 8 dní 6 dělníků …… 8.3:6 = 4 (nepřímá úměrnost) Šest dělníků vykoná tuto práci na 4 dny. 8) Z řepy uložené na hromadě se ztrácí denně 16 g cukru na každých 100kg řepy. a) Kolik kilogramů cukru se ztratilo z hromady 328 tun cukrové řepy, když byla odvezena až za 8 dní? b) Ztrátu cukru vyjádřete v korunách, jestliže 1 kg cukru stojí 18 Kč. a) 1 den: 100 kg řepy ……………….. 16 g cukru 328 t = 328 000 kg ………..328 000 . 16 : 100 = 52 480 g = 52,48 kg Za 8 dní se ztratilo 419,84 kg cukru. b) 18 . 419,84 = 7557,12 Ztráta cukru činí asi 7557 Kč. 9) 10 dlaždičů mělo předláždit vozovku ulice za 22 pracovních dní. Po čtyřech dnech byli pro urychlení práce doplněni o další dva stejně výkonné dlaždiče. a) Za kolik pracovních dnů dokončí nyní předláždění vozovky?
b) Kolik pracovních dnů celkem trvalo předláždění vozovky? a) 10 dlaždičů ……. 22 – 4 = 18 dní 12 dlaždičů …….. 18 . 10 : 12 = 15 Nyní dokončí předláždění vozovky za 15 dní. b) 15 + 4 = 19 Předláždění vozovky trvalo celkem 19 dní. 1 1) Půl litru vody naplní hrnec do jeho objemu. 6 a) Kolik litrů vody je třeba k tomu, aby byl hrnec naplněn do
2 svého objemu? 3
b) Vypočítejte objem hrnce. 1 1 a) l .......... objemu 2 6 2 x l ……… objemu 3 1 2 1 jedná se o přímou úměrnost: x : : 2 3 6 2 1 1 x= 2 3 6 2 Je potřeba 2 litry vody. 1 1 b) l ……… objemu 2 6 x l ………. 1 objem 1 1 jedná se opět o přímou úměrnost: x : 1 : 2 6 x=3 Hrnec má objem 3 litry. 2) Pan Donát vozí nákladním autem cihly na stavbu zdravotního střediska. Kdyby jel denně třikrát, navozil by požadované množství cihel za 8 dní. Kolikrát denně by musel jet, aby byl s navážením cihel hotov o 2 dny dříve? 3krát …………. 8 dní xkrát …………. 6 dní jedná se o nepřímou úměrnost, proto: x : 3 = 8 : 6 x = 8.3:6 = 4 Aby byl hotov o 2 dny dříve, musel by jet 4krát. 3) Výkony dvou bagrů jsou v poměru 5 : 4. Méně výkonný bagr vybagruje zeminu pro stavbu za 10 hodin. Jak dlouho by toto bagrování trvalo výkonnějšímu bagru? Jedná se o nepřímou úměrnost – výkonnější bagr musí pracovat kratší dobu. Méně výkonný bagr odpovídá 4 dílkům. Z toho 1 díl je 10.4 = 40 Druhý bagr: 40:5 = 8 Výkonnější bagr bude pracovat 8 hodin. 4) Vzdušná vzdálenost mezi dvěma chatami na témže břehu jezera se rovná 2,7 km. Na mapě je tato vzdálenost vyjádřena úsečkou délky 36 mm. Určete měřítko mapy. Musíme si uvědomit, co znamená měřítko mapy: (1 cm na mapě odpovídá x cm ve skutečnosti). Dané rozměry tedy musíme vyjádřit v cm.
3,6 cm ……….. 270 000 cm 1 cm ………….. 75 000 cm Měřítko mapy je tedy 1 : 75 00. 5) V trojúhelníku ABC se velikost vnějšího úhlu při vrcholu C rovná 126°. Velikost vnitřních úhlů α, β při vrcholech A, B jsou v poměru 5:9. Vypočítejte velikosti vnitřních úhlů α, β, γ v trojúhelníku ABC. α:β=5:9 (5:9)β +β + 126 = 180 α = (5 : 9) . β 5 β + β = 486 α = 45° β = 81° Velikosti vnitřních úhlů jsou 45°,81°a 126°. 6) Jirka se rozhodl, že výhru ze sázky ve Velké pardubické rozdělí mezi sebe a tři své mladší bratry podle věku v poměru 2 : 3 : 5 : 7. Každá částka byla vyplacena v celých korunách. Jedna z částek činila 679 Kč. a) Kolik korun dostal každý z bratrů? b) Jak velká byla Jirkova výhra? Musíme zjistit, kterému číslu v daném poměru odpovídá částka 679 Kč. Protože částka byla vyplacena v celých korunách, zjistíme kterým z čísel 2, 3, 5, 7 je číslo 679 dělitelné. Číslo 679 je dělitelné pouze 7, z toho zjistíme 1 díl: 679 : 7 = 97, pak dopočítáme dále: 2 . 97 = 194 3 . 97 = 291 5 . 97 = 485 Jirka dostal 679 Kč, mladší bratři postupně 194 Kč, 291 Kč a 485 Kč. Celková výhra byla 1649 Kč.
