Příčíme. Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy. Příčíme. Jiří Přibyl UJEP

Příčíme

Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy

Příčíme Jiří Přibyl UJEP

Příčíme

Úloha první

Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy

Úkol Určete příčku mimoběžek p a q, která je dána vektorem w (1, 1, −2), a napište její parametrické rovnice. p = gen{[2, 3, 1], (5, −7, 2)} q = gen{[2, 3, 7], (3, −1, 5)} Co se po nás chce? Návod Výsledky Řešení

Příčíme

Úloha druhá

Příčíme Zadání první úlohy Zadání druhé úlohy

Úkol Určete příčku mimoběžek p a q, která je dána bodem M[−2, −3, 1], a napište její parametrické rovnice. p = gen{[2, 3, 1], (5, −7, 2)} q = gen{[2, 3, 7], (3, −1, 5)} Co se po nás chce? Návod Výsledky Řešení

Příčíme

Návod k úloze

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Nejprve je rozumné určit, jaká je vzájemná poloha dvou přímek. Co vyplývá ze vzájemné polohy?

Pokud je to nutné, sestavit příslušnou soustavu rovnic, která řeší danou problematiku. úloha 01

úloha 02

Příčíme

Co se po nás chce?

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02 1

2

Máme určit příčku. Příčka dvou přímek je taková přímka, která je s každou z nich různoběžná. Vzhledem k tomu, že příčka je přímkou, pak pro její určení potřebujeme dva elementy. Bod a vektor. Máme napsat parametrické rovnice. Tento úkol už je snadný, pokud známe dva generátory přímky.

úloha 01

úloha 02

Příčíme

Co vyplývá ze vzájemné polohy?

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Ze vzájemné polohy vyplývá, zda vůbec taková příčka existuje, a také obtížnost nalezení takové příčky. Ve třírozměrném prostoru mohou přímky nabývat pouze čtyř vzájemně různých poloh.

přímky jsou totožné rovnoběžné různoběžné mimobežné

zpět

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Pokud jsou příčky totožné, pak se příčka hledá snadno. Je jí libovolná přímka, která je generována jedním z daných elementů, a je s danou (dvojnásobnou) přímkou různoběžná. zpět

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Pokud jsou příčky rovnoběžné, pak příčka už nemusí vždy existovat. Záleží na postavení vstupního elementu a rovnoběžných přímek.

vstupní element – bod Aby příčka existovala, pak bod musí ležet v rovině určené rovnoběžnými přímkami.

vstupní element – vektor Aby příčka existovala, pak musí vektor ležet ve vektorovém prostoru Z2 = gen{AB, u}, kde AB je vektor, jehož počáteční a koncový bod leží každý na jiné přímce (z daných rovnoběžných) a u je jejich směrový vektor a nesmí být LZ s u. zpět

dále

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

vstupní element – bod Pro určení příčky nám chybí vektor, který volíme z vektorového prostoru Z2 = gen{AB, u}, který je LN s u.

vstupní element – vektor Pro určení příčky stačí zvolit libovolný bod libovolné (z daných dvou) přímky. zpět

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Vzhledem k tomu, že přímky jsou různoběžné, pak každá přímka, která prochází jejich společným bodem, je s nimi také různoběžná.

vstupní element – bod Příčka je dána dvěma body ⇒je snadné určit chybějící vektor.

vstupní element – vektor Příčka je rovnou dána. zpět

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

vstupní element – bod Příčka existuje právě jedna, pokud daný bod není bodem žádné (dané) přímky. Pokud je bodem některé přímky, pak jich existuje mnoho.

vstupní element – vektor Příčka existuje právě jedna a to za podmínky, že dim Z3 = 3, kde Z3 = gen{u, v , w } a u, v jsou směrové vektory přímek a w je směrový vektor příčky. zpět

Příčíme

Výsledky

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Nejprve zjistíme, zda řešení existuje. 1 určíme vzájemnou polohu přímek – pokud víme co počítat, s úspěchem můžeme užít programu Derive – přímky jsou mimoběžné 2 určíme, zda příčka existuje či nikoliv – existuje právě jedna 3 sestavíme příslušnou soustavu rovnic 0 = k + 5t − 3s 0 = k − 7t + s 6 = −2k + 2t − 5s 4 5

dále

rozřešíme k = − 78 ∧ s = − 67 ∧ t = − 27 určíme průsečíky příčky s přímkami P[ 47 , 5, 37 ], Q[− 47 , 3 67 , −2 57 ]

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

6

7

příčka je dána libovolným bodem, který leží na přímce PQ a zadaným vektorem; zvolme například bod P, potom příčka je generována elementy [− 47 , 5, 37 ], (1, 1, −2) parametrické rovnice příčky pak mohou vypadat například takto 4 +l 7 y =5+l 3 z = − 2l 7 x=

zpět

Příčíme

Řešení

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Jako první krok je třeba určit vzájemnou polohu přímek p, q. p = gen{A[2, 3, 1], u(5, −7, 2)} q = gen{B[2, 3, 7], v (3, −1, 5)} AB(0, 0, 6)  5 −7 A = 3 −1 0 0 h(A) = 3 Přímky jsou mimoběžné. další krok

 2 5 6

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Druhým krokem je ověření, zda příčka existuje.     u 5 −7 2 B =  v  = 3 −1 5  w 1 1 −2 h(B) = 3 Existuje právě jedna příčka daným směrem. další krok

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Sestavení příslušné soustavy rovnic. Předpokládejme, že tato příčka r již existuje a prochází body P a Q, o kterých víme:

P ∈p∧P ∈r Q ∈q∧Q ∈r Existují tedy taková reálná čísla t a s, že P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, −7, 2) = = [2 + 5t, 3 − 7t, 2 + 2t] Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, −1, 5) = = [2 + 3s, 3 − s, 7 + 5s] Vzhledem k tomu, že body P a Q leží na příčce a w je směrový vektor příčky, pak platí: dále

Příčíme

PQ = kw Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Tedy PQ = kw Q − P = kw

[2 + 3s, 3 − s, 7 + 5s] − [2 + 5t, 3 − 7t, 1 + 2t] = = k(1, 1, −2) (3s − 5t, −s + 7t, 5 + 5s − 2t) = (k, k, −2k) Dva vektory se sobě rovnají, rovnají-li se příslušné souřadnice. (upravíme) k − 3s + 5t = 0 k + s − 7t = 0 −2k − 5s + 2t = 5 další krok

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Rozřešíme. (K řešení použijeme např. Cramera a program Derive.) 7 6 2 k =− ∧s =− ∧t =− 8 7 7 další krok

Příčíme

Dodatky

Pro určení příčky nám stačí jeden bod – vektor už máme. S úspěchem můžeme tedy užít bodu P.

Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, −7, 2) = = [2 + 5t, 3 − 7t, 1 + 2t] 2 2 2 = [2 + 5 · − , 3 − 7 · − , 1 + 2 · − ] 7 7 7 4 3 = [ , 5, ] 7 7 Příčka má parametrické rovnice 4 +l 7 y =5+l 3 z = − 2l 7 x=

zadání

Příčíme

Výsledky

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Nejprve zjistíme, zda řešení existuje. 1 určíme vzájemnou polohu přímek – pokud víme co počítat, s úspěchem můžeme užít programu Derive – přímky jsou mimoběžné 2 určíme, zda příčka existuje či nikoliv – existuje právě jedna 3 sestavíme příslušnou soustavu rovnic 4 = −5t − 4k − 3ks 6 = 7t − 6k + ks 0 = −2t − 6k − 5ks 4 5

dále

58 22 rozřešíme k = − 41 25 ∧ s = − 41 ∧ t = − 25 určíme průsečíky příčky s přímkami 229 19 92 181 3 P[− 12 5 , 25 , − 25 ], Q[− 41 , 41 , − 41 ]

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

6 7

32 704 příčka je dána bodem a vektorem PQ( 205 , − 4864 1025 , 1025 ) parametrické rovnice příčky pak mohou vypadat například takto

x = −2 + 5l y = −3 − 152l z = 1 + 22l zpět

Příčíme

Řešení

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Jako první krok je třeba určit vzájemnou polohu přímek p, q. p = gen{A[2, 3, 1], u(5, −7, 2)} q = gen{B[2, 3, 7], v (3, −1, 5)} AB(0, 0, 6)  5 −7 A = 3 −1 0 0 h(A) = 3 Přímky jsou mimoběžné. další krok

 2 5 6

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Druhým krokem je ověření, zda příčka existuje. ?

M∈p ?∃t; [−2, −3, 1] = [2 + 5t, 3 − 7t, 1 + 2t] takové t neexistuje ?

M∈q ?∃s; [−2, −3, 1] = [2 + 3s, 3 − s, 7 + 5s] takové s neexistuje

Existuje právě jedna příčka daným směrem. další krok

Příčíme

Sestavení příslušné soustavy rovnic. Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Předpokládejme, že tato příčka r již existuje a prochází body P a Q, o kterých víme:

P ∈p∧P ∈r Q ∈q∧Q ∈r Existují tedy taková reálná čísla t a s, že P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, −7, 2) = = [2 + 5t, 3 − 7t, 2 + 2t] Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, −1, 5) = = [2 + 3s, 3 − s, 7 + 5s] Vzhledem k tomu, že body P, Q, ? leží na příčce, pak platí: dále

Příčíme

MP = kQM Dodatky

Tedy

Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

P − M = k(M − Q) A + tu − M = k(M − (B + sv )) A − M = k(M − B) − ksv − tu

[2, 3, 1] − [−2, −3, 1] = = k([−2, −3, 1] − [2, 3, 7]) − ks(3, −1, 5) − t(5, −7, 2) (4, 6, 0) = (−4k − 3ks − 5t, −6k + ks + 7t, −6k − 5ks − 2t) Dva vektory se sobě rovnají, rovnají-li se příslušné souřadnice. (upravíme) 4 = −5t − 4k − 3ks 6 = 7t − 6k + ks 0 = −2t − 6k − 5ks další krok

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

Rozřešíme. (K řešení použijeme např. Cramera a program Derive.)

k =− další krok

41 58 22 ∧s =− ∧t =− 25 41 25

Příčíme

Pro určení příčky nám stačí určit vektor např. PQ, bod už máme. Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

P = A + tu = [2, 3, 1] + t(5, −7, 2) = = [2 + 5t, 3 − 7t, 1 + 2t] 22 22 22 = [2 + 5 · − , 3 − 7 · − , 1 + 2 · − ] 25 25 25 12 229 19 = [− , ,− ] 5 25 25

Q = B + sv = [2, 3, 7] + s(3, −1, 5) = = [2 + 3s, 3 − s, 7 + 5s] 58 58 58 = [2 + 3 · − , 3 − , 1 + 5 · − ] 41 41 41 92 181 3 = [− , ,− ] 41 41 41 dále

Příčíme

Dodatky Návod Co se chce? Výsledky 01 Řešení 01 Výsledky 02 Řešení 02

32 704 Určíme vektor PQ jako Q − P. PQ( 205 , − 4864 1025 , 1025 ). (upravíme) Příčka má parametrické rovnice

x = −2 + 5l y = −3 − 152l z = 1 + 22l zadání