PENÍZE, BANKY, FINANČNÍ TRHY
Úročení
2
1. Jednoduché úročení Kapitál, Jistina označení pro peněžní částku Úrok odměna věřitele, u dlužníka je to cena za úvěr = CENA PENĚZ Doba splatnosti doba, po kterou je peněžní částka uložena nebo zapůjčena Úroková sazba (míra) úrok vyjádřený v % z hodnoty kapitálu za časové období, (podíl z vypůjčené částky) 3
Úročení - Základní pojmy Druhy úrokových sazeb 1. Nominální
– je uvedená v úvěrové smlouvě – vytištěna na plášti dluhopisu
2. Efektivní
– uměle vypočtená úroková míra. Umožňuje porovnat různé nominální úrokové míry, poměřované sice za stejné období, ale s různou četností připisování úroků.
3. Požadovaná – použití pro diskontování, resp.akumulování peněžních toků. V podstatě představuje ztrátu našich potenciálních výnosů (realizací určité investice se vzdávám možnosti investovat jinde) 4. Vnitřní výnos. procento – je to úroková míra, při níž se cena investice rovná současné (diskontované) hodnotě budoucích výnosů. 4
Úročení - Základní pojmy Úroková období – jak často, s jakou frekvencí jsou úroky k jistině pravidelně připisovány.
Z hlediska času rozlišujeme pět základních úrokovacích období:
p.a. (per annum) ………………. roční p.s. (per semestre) …................pololetní p.q. (per quartale) ………………čtvrtletní p.m. (per mensem) …................měsíční p.sept. (per septimanam)………týdenní p.d. (per diem) ………………….denní 5
Úročení - Základní pojmy Délka období / doba, po kterou byla úročená jistina Anglická metoda ACT/365 je založená na skutečném počtu dnů úrokovacího období a délce roku, tj. 365 Francouzská metoda ACT/360 (mezinárodní metoda) také skutečný počet dnů, ale délka roku je 360 dnů Německá metoda 30E/360 (obchodní metoda) celé měsíce počítány jako 30 dnů a rok jako 360 dnů
6
Typy úročení Jednoduché vyplácené úroky se nepřičítají k jistině, tj. úroky se počítají z původního kapitálu
Složené úročení úroky se přičítají k jistině a spolu s ní se úročí Kapitál (Kč)
vklad
úroky
K0 * i …úročitel
Čas (t) 7
Úrokový trend u jednoduchého úročení (vklad)
Kapitál (Kč)
Počáteční kapitál
Čas (t)
8
Úrokový trend u jednoduchého úročení (půjčka)
Kapitál (Kč)
Půjčka jistina
úroky Čas (t)
K0 * i Splátka jistiny
9
Podle placení úroků Polhůtní úročení k placení úroků dochází až na konci úrokového období, tj. tzv. dekurzivní úročení období zúčtování úroku bankou
Předlhůtní úročení k placení dochází na začátku úrokového období tj. tzv. anticipativní úročení období zúčtování úroku bankou 10
Jednoduché úročení polhůtní
u=K*i*n
u = K* p* t 100 * 360
u - je výše úroku v peněžním vyjádření K - je kapitál v peněžním vyjádření
u - je výše úroku v peněžním vyjádření K - je kapitál v peněžním vyjádření
i - index úrokové míry = p/100 n - je poměrná část úrokového období v letech
p - roční úroková sazba v % t - doba splatnosti kapitálu ve dnech
11
Jednoduché úročení polhůtní Příklad č.1 Jaké jsou úrokové náklady úvěru ve výši 200 000,- Kč, jednorázově splatného za 8 měsíců (240 dnů) je-li úroková sazba 9 % p.a.
Řešení:
12
Jednoduché úročení polhůtní Příklad č.2 Úvěr byl poskytnut 15. 1. 2008 ve výši 50 000 Kč. Úvěr je jednorázově splatný, a to dne 7.9. 2008. Úroková sazba byla stanovena na 12% p.a. Kolik budeme muset zaplatit na úrokách? a) anglickou metodou, b) francouzskou metodou, c) německou metodou Řešení: u – úrokový náklad K – výše úvěru i – 0,12 u-?
u=K*i*t 13
Jednoduché úročení polhůtní ŘEŠENÍ:
14
Základní rovnice pro jednoduché polhůtní úročení Pro zjištění celkové výše zúročeného kapitálu včetně úroků platí vztah:
K 1 = K0 + u Využijeme tedy vztah pro výpočet úroku u = K * i * n (resp.u = K * i * t ).
K1 = K0 * (1 + i * n) resp. K1 = K0 * (1 + i * t)
K1 …. celková výše kapitálu (budoucí hodnota kapitálu) K0 …. počáteční výše kapitálu i …… index úrokové míry
n …… doba splatnosti kapitálu v letech t ……. doba splatnost ve dnech 15
Příklad č. 3
Jaký je stav vkladu 1 420 000 Kč za sedm měsíců (210 dnů) při úrokové sazbě 1,5 %
16
Výpočet počáteční výše kapitálu při JÚ Využijeme vztah K1 = K0 * (1 + i * n) K0 =
K1 1 + i*n
Příklad č. 4 Jakou sumu se splatností čtyři měsíce si můžeme půjčit, máme-li možnost po této době použít na splacení úvěru a úroků 100 000,- Kč? Úroková sazba činí 7 %p.a.
17
Výpočet současné a budoucí hodnoty při jednoduchém úročení rozhodování o investičních variantách pomocí metody časové hodnoty peněz Příklad č. 4 Co je pro nás výhodnější při koupi daru: dát za něj nyní hotově 48 000,- Kč nebo zaplatit za rok 51 000,- Kč? Uvedenou hotovost máme možnost investovat při úrokové míře 4,2 % p.a.
18
Jednoduché úročení předlhůtní Dochází k placení úroků již na začátku období. V praxi se s ním můžeme setkat jako s diskontem u eskontu směnek.
Kob = Kn ( 1- d * n ) Kob =částka k vyplacení Kn = nominální hodnota pohledávky splatná za dobu n d = roční diskontní sazba vyjádřená jako desetinné číslo n = délka období v letech 19
Jednoduché úročení předlhůtní Příklad č. 5 Banka eskontuje směnku v hodnotě 1 000 000 Kč, 35 dní před dobou splatnosti při diskontní sazbě 4% p.a. Neuvažujeme další provize a poplatky.
20
Vztah mezi polhůtním a předlhůtním úročením V praxi jde o možnost srovnání výhodnosti úvěru a diskontu směnky jako možných forem financování chodu podniku. Jde o převádění polhůtní úrokové sazby na předlhůtní a naopak pomocí vzorců:
i =
d 1-d*n
d=
i 1+ i * n
i = úroková sazba d = diskontní sazba 21
Příklad č. 6 Podnik se rozhoduje mezi klasickým úvěrem a eskontem směnky. Banka nabízí: - Úrokovou sazbu úvěru ve výši 6,3 % p.a. (polhůtní platba) - Diskont (předlhůtní sazbu) při eskontu směnky ve výši 6 % p.a. Která varianta je pro podnik výhodnější ? Existují dvě možností řešení, stačí vždy jedna z nich.
22
2. Složené úročení
úrok za další období se počítá z kapitálu zvýšeného
o úrok za předcházející období
vyplácené úroky se připočítávají k původnímu kapitálu a v následujícím období se jako základ pro výpočet bere hodnota kapitálu zvýšená o úrok
23
Složené úročení Kapitál (Kč)
Čas (t)
24
Úrok v případě jednoduchého úročení roste lineárně a u složeného úročení exponenciálně kapitál exp
K1
K0 *(1+i)
lin
K0 čas 1
25
Základní vzorec složeného úročení a) Úrokové období roční úroky jsou připisovány na konci roku
k n k 0. .(1 i)
n
(1 + i)n ….. úročitel složeného úročení (exponenciální závislost) (1 + i * t) …úročitel jednoduchého úročení (lineární závislost)
b) Období kratší než jeden rok úroky jsou připisovány častěji než jednou za rok
i n*m kn k0 .(1 ) m
Kn = budoucí hodnota kapitálu za dobu n K0 =počáteční peněžní částka i = roční úroková sazba vyjádřená jako desetinné číslo n = doba splatnosti kapitálu v letech m = počet kolikrát do roka dochází k placení úroků
26
27
28
29
30
31
32
33
Příklad Na kolik Kč vzroste vklad 150 000,- Kč, uložený tři roky a pět měsíců při 1,5 % p.a. úrokové sazbě a ) s ročním připisováním úroků b ) s pololetním připisováním úroku a) Kn = K0 * ( 1 + i )no * ( 1 + l * i ) Kn = 150 000 * ( 1 + 0,015 )3 * ( 1 + 5/12 * 0,015 ) Kn = 157 832,- Kč b) Kn = K0 * ( 1 + i )nm * ( 1 + l * i ) m Kn = 150 000 * ( 1 + 0,015/ 2 )6 * ( 1 + 5/12 * 0,015 ) Kn = 157 858,30 Kč
34
Faktor času Diskont
Akumulace
K0
K1 -1
K0 = K1 * (1 + i ) Diskontní faktor (odúročitel) K0 = Kn * (1 + i )-n
K2 1
K2 = K1 * (1 + i) Akumulační faktor (úročitel) Kn = K0 * (1 + i)
n
Dnešní (diskontovaná ) hodnota kapitálu je částka, která se při dané úrokové míře zvětší za danou dobu na danou konečnou hodnotu.
35
Současná hodnota při složeném úročení Využití: při hodnocení výhodnosti investice k dnešnímu dni znám-li její výnos v budoucnosti. Jedná se v podstatě o využití již známých výpočtů:
Současná hodnota SH = K0 36
Příklad Máme možnost koupit za 4 700 Kč investici ( obligaci ), která nám umožní získat za dva roky částku 5 000 Kč. Je to výhodná investice, uvažujeme-li úrokovou sazbu 3 % p.a. a roční připisování úroků? Musíme vypočíst současnou hodnotu 5 000 Kč a porovnat ji s požadovanými 4 700 Kč
Ko = Kn / ( 1 + i ) n
Ko = 5 000 / ( 1 + 0,03 )2 = 4 712, 98 Abychom za dva roky měli 5 000 Kč museli bychom investovat nyní 4 712,98 Kč. Za obligaci zaplatíme dnes jenom 4 700 Kč - investice je výhodná. 37
Příklad: Porovnejte mezi sebou dva možné způsoby plateb: a) Platba v hotovosti ve výši 240 000 Kč b) Záloha 120 000 Kč v hotovosti s doplatkem 160 000 Kč za 3 roky
Kn = K0 + u = K0 * (1+i/m)n*m K0 = Kn / (1 + i/m)n*m Kn – 160 000 i – 8%
160 000 Kč investuji s výnosem 8%, kde se bude složeně úročit a úroky se budou připisovat dvakrát ročně
n – 3 roky m–2
K0 = 160 000 / (1+0,08/2)6 = 126 450,32 Kč 120 000 + 126 450.32 = 246 450,32 Kč Výhodnější je varianta A, protože investujeme jen 240 000 Kč. U varianty B by jsme investovali až 246 450 32 Kč. 38
Efektivní úroková sazba - uměle vypočtená roční úroková sazba - umožňuje porovnat různé nominální úrokové míry, poměřované sice za stejné období,ale s různou četností připisování úroků. - označujeme ji ie
Odvození vzorce: efektivní úroková sazba ie = úrokové sazbě s častější kapitalizací úroků
K0 * ( 1 + ie ) = K0 * ( 1 + i/m )m 1 + ie = ( 1 + i/m)m
ie = (1 + i/m )m - 1 39
Příklad Spočítejte efektivní úrokovou sazbu odpovídající 4 % p.a. jestliže a) jsou úroky kapitalizovány pololetně b) jsou úroky kapitalizovány čtvrtletně c) jsou úroky kapitalizovány měsíčně
ie = ( 1 + i/m )m - 1 a) ie = ( 1 + 0,04/2)2 – 1 = 0,0404 = 4,04 % b) ie = ( 1 + 0,04/4)4 – 1 = 0,0406 = 4,06 % c) ie = ( 1 + 0,04/12)12 – 1 = 0,0407 = 4,07 % Z uvedeného příkladu je vidět, že čím častěji se během roku připisují úroky, tím je to pro vkladatele výhodnější. 40
Nominální a reálná úroková míra V předcházejících kapitolách jsme se nezabývali vlivem inflace na zhodnocení investic, a proto jsme se bavili o nominální úrokové míře. Jestliže budeme do této míry zahrnovat inflační vlivy budeme se bavit o reálné úrokové míře.
ir = i – ii
ir = reálná úroková míra; i = nominální úroková míra; ii = míra inflace Postup: Počáteční kapitál nejprve úročíme nominální úrokovou mírou a potom diskontujeme inflační mírou.
Kr = K0 * (1+ir) / (1+ ii) ir = Kr/K0 – 1
Kr – reálná výše kapitálu na konci úrokovacího období K0 – kapitál na počátku úrokovacího období i – nominální úroková míra v setinách ir – reálná úroková míra v setinách ii – míra inflace
41
Příklad Zjistěte míru inflace jestliže nominální úroková míra je 5 % a reálná úroková míra je 3 %.
ir = i – ii 3% = 5% – i i=2%
42