MATRIKS a. Konsep Matriks
definisi
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang dan diletakkan di dalam kurung biasa ā( )ā atau kurung siku ā[ ]ā
Pelabelan matriks menggunakan huruf kapital.
š“š Ć š
š11 š21 š31 = ā® š ( š1
š12 š22 š32 ā® šš2
š13 š23 š33 ā® šš3
. . . š1š . . . š2š . . . š3š ā® . . . ššš )
baris ke-1 baris ke-2 baris ke-3 baris ke-m
kolom ke-n
kolom ke-3 kolom ke-1
kolom ke-2
Ordo (ukuran atau dimensi) suatu matriks adalah bilangan asli yang menyatakan banyaknya baris dan kolom. Misalkan matriks š“ terdiri atas š baris dan š kolom, maka matriks š“ dikatakan berordo š Ć š dan ditulis š“š Ć š b. Jenis-Jenis Matriks ļ§ Matriks Baris Suatu matriks dikatakan matriks baris jika terdiri dari satu baris saja. ļ§
Matriks Kolom Suatu matriks dikatakan matriks kolom jika terdiri dari kolom saja.
ļ§
Matriks Persegipanjang Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo š Ć š
ļ§
Matriks Persegi Sebuah matriks dinamakan matriks persegi jika banyaknya baris dan banyaknya kolom sama. Jika banyak baris matriks persegi adalah š maka banyaknya kolom juga š , sehingga ordo matriks š“ adalah š Ć š . Sering kali matriks disebut dengan matriks ordo-š.
š11 š“ = (š21 š31
š12 š22 š32
š13 š23 ) š33
diagonal samping
diagonal utama
ļ§
Matriks Segitiga Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0. Contoh: 6 2 š = (0 3 0 0
10 4) ā1
Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang semua elemen di atas diagonal utamanya 0 dan elemen yang lainnya selain 0, contoh: 2 0 0 š = ( 10 4 0) ā3 2 5 ļ§
Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan elemen-elemen diagonal utamanya tidak nol dan semua elemen lainnya nol. Contoh: 11 4 0 š¾= ( ) atau šæ = ( 0 0 10 0
ļ§
Matriks Identitas Matriks identitas atau matriks satuan adalah matriks persegi dengan semua elemen pada diagonal utama adalah 1 dan elemen lain semuanya 0. 1 š¼= ( 0
ļ§
0 0 ā1 0) 0 7
1 0 0 ) atau š¼ = (0 1 1 0 0
0 0) 1
Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah bilangan nol.
c. Transpose Matriks Transpose dari suatu matriks š“ = (ššš )š Ćš dilambangkan dengan š“š atau š“ā² adalah suatu matriks yang diperoleh dari matriks š“š Ć š dengan menukarkan letak baris dan kolom dari matriks tersebut. Contoh:
ā4 3 š·= (7 0) 5 ā9
ā4 7 3 0
š·š = (
5 ) ā9
d. Kesamaan Matriks
definisi
Dua buah matriks š“ dan šµ dikatakan sama, ditulis š“ = šµ jika syarat berikut dipenuhi : 1. Matriks š“ dan šµ mempunyai ordo yang sama 2. Setiap elemen yang seletak pada matriks š“ dan šµ adalah sama
e. Operasi Aljabar pada Matriks ļ§ Penjumlahan
definisi
ļ§
definisi
Misalkan š“ dan šµ adalah dua matriks yang berordo sama. Jumlah dari š“ dan šµ ditulis š“ + šµ adalah suatu matriks yang berordo yang diperoleh dengan cara menjumlahkan setiap elemen matriks yang seletak.
Pengurangan Misalkan š“ dan šµ adalah dua matriks yang berordo sama. Selisih š“ dan šµ ditulis š“ ā šµ adalah jumlah dari matriks š“ dengan lawan dari matriks šµ . š“ ā šµ = š“ + (āšµ)
Lawan suatu matriks
š“ adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara mengambil lawan bilangan dari setiap elemen matriks . Lawan dari matriks š“šĆš = (ššš ) adalah āš“šĆš = (āššš )
Untuk setiap matriks š“, šµ, dan š¶ yang berordo sama berlaku: 1. š“ + šµ = šµ + š“ sifat komutatif 2. š“ + (šµ + š¶) = (š“ + šµ) + š¶ sifat asosiatif 3. š“ + 0 = 0 + š“ = š“ sifat matriks 0 4. Untuk setiap matriks š“ terdapat matriks šµ yang berordo sama, sehingga š“ + šµ = 0 dengan 0 adalah matriks nol yang berord sama dengan matriks š“ . Matriks šµ ditulis sebagai šµ = āš“, dengan elemen-elemen matriks šµšĆš = (ššš ) 5. š“ ā šµ = š“ + (āšµ) 6. š“ + (āš“) = (āš“) + š“ = 0 sifat lawan matriks A 7. Terdapat matriks š sedemikian sehingga š“ + š = šµ š =šµāš“ 8. Jika š“š adalah transpose matriks š“ dan šµš adalah transpose Perkalian skalar/bilangan matriks šµ , makareal : terhadap Matriks š a. (š“ + šµ) = š“š + šµš b. (š“ ā šµ)š = š“š ā šµš
teorema
ļ§
definisi
Perkalian bilangan real atau skalar š dengan matriks , ditulis šš“ adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen di š“ dengan bilangan real atau skalar š
Sifat-sifat perkalian bilangan real terhadap matriks
teorema
ļ§
definisi
Untuk setiap matriks š“ dan šµ yang berordo sama dan untuk setiap bilangan-bilangan š1 dan š2 berlaku: 1. (š1 š2 )š“ = š1 ( š2 šµ) = š2 (š1 š“) 2. š1 (š“ + šµ) = š1 š“ + š1 šµ sifat distributif 3. (š1 + š2 )š“ = š1 š“ + š2 š“ sifat distributif 4. 0 . A = 0 (matriks nol) 5. 1 . A = A 6. (-1) A = -A 7. A + A = 2A A + A + A = 3A ā¦
Perkalian Dua Matriks Misalnya A adalah matriks berordo š“ dan šµ adalah š Ć š matriks š Ć š (banyak kolom matriks š“ = banyak baris matriks šµ). Hasilkali dari š“ dan šµ ditulis š“šµ adalah suatu matriks berordo š Ć š
Sifat-sifat perkalian matriks terhadap matriks
teorema
Jika penjumlahan dan perkalian dari setiap matriks berikut terdefinisi, maka: 1. (š“šµ )š¶ = š“(šµš¶) sifat asosiatif 2. š“(šµ + š¶) = š“šµ + š“š¶ sifat distributif kiri 3. (šµ + š¶)š“ = šµš“ + š¶š“ sifat distributif kanan 4. š(š“šµ) = (šš“)šµ = š“(ššµ) dengan k skalar 5. Jika A adalah suatu matriks persegi berordo š Ć š dan I adalah matriks identitas š Ć š , maka A Ć I = I Ć A = A 6. Perkalian matriks pada umumnya tidak komutatif. AB ā BA (kecuali matriks-matriks khusus) 7. a. Jika AB = 0 belum tentuk A = 0 atau B = 0 b. Jika AB = AC, belum tentu B = C 8. Jika AT dan BT berturut-turut adalah transpose dari matriks A dan B, maka (AB)T = BT AT 9. Jika 0 adalah matriks nol berordo sama dengan matriks A, maka AĆ0=0ĆA= 0
ļ§
Perpangkatan š“2 = š“ . š“ š“3 = š“2 . š“ š“4 = š“3 . š“
ā¦. dst
š“š = š“šā1 . š“ = š“ . š“šā1