1
1. Milyen sz´ amjegyet kell ´ırni az u ¨res n´egyzetekbe, hogy az 52¤2¤ o ¨tjegy˝ u sz´ am oszthat´ o legyen 36-tal? (Mind a k´et n´egyzetbe ugyanazt a sz´ amot kell ´ırni!) 2. Egy 8 × 8-as n´egyzet oldalainak negyedel˝ o pontjait az a ´bra szerint o ¨sszek¨ otve egy kisebb n´egyzetet kapunk. Ebb˝ ol az el˝ oz˝ o elj´ ar´ assal egy u ´jabb n´egyzethez jutottunk. Mekkora az azonos m´ odon jel¨ olt idomok ? ter¨ ulete, ha ezzel m´er¨ unk: ´ 3. Az Allami Biztos´ıt´ o 1979-ben 2016 milli´ o Ft-ot fizetett ki 1276 ezer k´ areset´ert a lakoss´ ag r´esz´ere. Az el˝ oz˝ o ´evhez k´epest 14%-kal n˝ ott a k´ aresetek sz´ ama ´es 20%-kal a kifizetett o ¨sszeg. Mennyit fizettek ki a ´tlagosan egy-egy lakoss´ agi k´ arra 1979-ben ´es mennyit 1978-ban? 4. Szorozd meg az oszt´ alyotok l´etsz´ am´ at 2-vel ´es adj az eredm´enyhez 39-et, majd ezt az o ¨sszeget ism´et szorozd meg 50-nel, adj hozz´ a 31-et ´es vond le bel˝ ole sz¨ ulet´esi ´evsz´ amodat. A kapott sz´ am utols´ o k´et jegye ´eppen ´eletkoroddal egyenl˝ o. Magyar´ azd meg, mi´ert! am? 5. Oszthat´ o-e 10-zel a 7373 + 3737 sz´
1981. ´ evi verseny
1. P´eternek ma (a verseny napj´ an) van a sz¨ ulet´esnapja. Arra a k´erd´esre, hogy mikor sz¨ uletett, ezt v´ alaszolja: ha sz¨ ulet´esi ´evemnek elhagyom az utols´ o jegy´et, akkor ´eletkorom n´egyzet´et kapom. Mikor sz¨ uletett P´eter? 2. Egy a ´llatkeresked˝ o 100 arany´ert teheneket, juhokat ´es nyulakat akar v´ as´ arolni, o ¨sszesen 100 darabot. Egy teh´en a ´ra 10 arany, egy juh´e 3 ´es egy arany´ert k´et nyulat adnak. H´ any tehenet, h´ any juhot ´es h´ any nyulat v´ as´ arol, ha mindegyikb˝ ol vesz legal´ abb egyet. 3. Az 1-t˝ ol 10 000-ig terjed˝ o eg´esz sz´ amokat ´ırjuk fel egy pap´ırra ´es h´ uzzuk ki k¨ oz¨ ul¨ uk azokat, amelyekben a 0 vagy az 1-es el˝ ofordul. T¨ obb vagy kevesebb sz´ am maradt meg, mint a fel´ırt sz´ amok fele? 4. Az o ´kori keleten a vil´ agmindens´eget egy k¨ orrel szimboliz´ alt´ ak ´es a k¨ ort egyik a ´tm´er˝ oj´enek k´et oldal´ ara rajzolt, egyenl˝ o sugar´ u f´elk¨ or¨ okb˝ ol o ¨ssze´ all´ o g¨ orb´evel k´et egyenl˝ o ter¨ ulet˝ u r´eszre osztott´ ak. Az egyik a Vil´ agoss´ agot, a m´ asik a S¨ ot´ets´eget szimboliz´ alta. Oszd fel egy-egy vonallal mindegyik r´eszt k´et egyenl˝ o ter¨ ulet˝ u r´eszre!
1. Kilenc egyforma k¨ onyv m´eg nem ker¨ ul 100 Ft-n´ al t¨ obbe, de t´ız ilyen k¨ onyv m´ ar 110 Ft-n´ al is t¨ obbe ker¨ ul. Mennyi az a ´ra egy k¨ onyvnek? (A k¨ onyvek a ´r´ at 10 fill´erre kerek´ıtve adj´ ak meg.) ucsokon 2. Szerkeszd meg az ABCD deltoidot, ha adott az A ´es C cs´ ucspontja, az AD oldal egy a ´thalad´ o szimmetriatengely´enek egyenese, a B cs´ ucsn´ al lev˝ o sz¨ oge 90◦ -os! pontja ´es tudjuk, hogy a C cs´ 3. Okos Berci 7. oszt´ alyos tanul´ o k´et u ´j t´etelt gondolt ki: a) Ha egy term´eszetes sz´ am oszthat´ o 27-tel, akkor sz´ amjegyeinek o ¨sszege is oszthat´ o 27-tel; b) Ha egy term´eszetes sz´ am sz´ amjegyeinek o ¨sszege oszthat´ o 27-tel, akkor a sz´ am is oszthat´ o 27-tel. Be tudja-e bizony´ıtani Berci ezeket a t´eteleket? ´ 4. Az Allami Biztos´ıt´ o a g´epkocsi k´ arokra a k¨ otelez˝ o biztos´ıt´ as, vagy a CASCO alapj´ an fizet k´ art´er´ıt´est. 1978-ban a CASCO alapj´ an kifizetett o ¨sszeg 58%-a volt annak, amit a k¨ otelez˝ o biztos´ıt´ as alapj´ an fizettek ki. Ugyanakkor a CASCO alapj´ an t´er´ıtett k´ arok sz´ ama 65%-a volt a k¨ otelez˝ o biztos´ıt´ as alapj´ an t´er´ıtett k´ arok sz´ am´ anak. A k¨ otelez˝ o biztos´ıt´ as alapj´ an a ´tlagosan 4635 Ft-ot fizettek egy-egy k´ arra. Mennyit fizettek ki a CASCO alapj´ an a ´tlagosan egy-egy k´ arra? 5. Egy paralelogramm´ at az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon lehet egyenl˝ o sz´ ar´ u h´ aromsz¨ ogekre bontani. Mekkor´ ak a paralelogramma sz¨ ogei?
5.
Helyettes´ıtsd sz´ amjegyekkel a szorz´ asban az jel¨ olnek!) Indokolj is!
x-eket! (Az x-ek nem felt´etlen¨ul azonos sz´amjegyeket
xxx · x2x x8x xx7x xxx xxx42x 2
1. Hat´ arozd meg mindazokat az a ´es b term´eszetes sz´ amokat, amelyekre oz¨ os oszt´ oja 15. igaz, hogy a · b = 7875 ´es a ´es b legnagyobb k¨ 2. Rajzolj n´egy egyenest u ´gy, hogy az egyeneseknek o ¨sszesen a) 1; b) 3; c) 4; d) 5; e) 6 metsz´espontja legyen. Lehet-e o ¨sszesen 2 metsz´espont, vagy 6-n´ al t¨ obb? V´ alaszaidat indokold! 3. Albrecht D¨ urer ,,Melank´ olia” c. metszet´en egy 16 3 2 13 b˝ uv¨ os n´egyzet is szerepel, amelyben minden sorban ´es 5 a b 8 minden oszlopban ´es a k´et a ´tl´ oban a sz´ amok o ¨sszege 9 c d 12 azonos. A b˝ uv¨ os n´egyzet egy r´eszlete ilyen: 4 e f 1 Az als´ o sor k´et k¨ oz´eps˝ o n´egyzet´eben l´ev˝ o sz´ amok egybeolvasva a metszet keletkez´es´enek d´ atum´ at mutatj´ ak. Milyen t¨ ort´enelmi esem´eny f˝ uz˝ odik ehhez a d´ atumhoz haz´ ankban? 4. A vonalk´ azott r´esz ter¨ ulete h´ anyad r´esze a n´egyzet ter¨ ulet´enek?
1983. ´ evi verseny
5. Az ABC h´ aromsz¨ ogben a B cs´ ucsn´ al lev˝ o sz¨ oget a BD ´es BE szakaszok h´ arom egyenl˝ o r´eszre bontj´ ak. Hasonl´ oan a C cs´ ucsn´ al lev˝ o sz¨ oget a CD ´es CE szakaszok h´ arom egyenl˝ o r´eszre bontj´ ak. Az E pont a BC oldalhoz van k¨ ozelebb. Igazold, hogy a BDE ´es EDC sz¨ ogek egyenl˝ ok!
1982. ´ evi verseny
Kalm´ ar L´ aszl´ o verseny (KMBK) megyei fordul´ o
1980. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
+
2 20
+ ··· +
19 20 )
+
1 ( 21
+
2 21
+ ··· +
1. Sz´ am´ıtsd ki a k¨ ovetkez˝ oo ¨sszeget! 20 21 )
1 2 ( 19 + 19 + · · · + 18 19 )+ 1 2 + ( 22 + 22 + · · · + 21 22 ) =?
3
2. Egy kocka ´eleinek hossza 10 cm. Minden lapj´ anak k¨ ozep´ere r´ aragasztunk egy-egy 5 cm ´elhossz´ us´ ag´ u kock´ at ´es a kapott testet k´ekre festj¨ uk. H´ any cm2 -t kell befesten¨ unk? ´ 3. Az Allami Biztos´ıt´ o az 1984. ´ev els˝ o fel´eben t˝ uzk´ arokra, bet¨ or´esb˝ ol ´es cs˝ oreped´esb˝ ol sz´ armaz´ o k´ arokra o ¨sszesen 56 ezer esetben fizetett k´ art´er´ıt´est. A bet¨ or´esb˝ ol sz´ armaz´ o k´ aresetek sz´ ama 3/5 r´esze volt a t˝ uzk´ aresetek sz´ am´ anak, m´ıg a cs˝ oreped´esb˝ ol annyi k´ art´er´ıt´esi eset sz´ armazott, mint a m´ asik ´ kett˝ o o ¨sszeg´enek az 1/3-szorosa. H´ any esetben fizetett az Allami Biztos´ıt´ o t˝ uzk´ art´er´ıt´est, bet¨ or´esb˝ ol, illetve cs˝ oreped´esb˝ ol sz´ armaz´ o k´ art´er´ıt´est? 4. H´ any olyan k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o h´ aromsz¨ og van, amelynek minden oldala eg´esz hossz´ us´ ag´ u ´es a legnagyobb oldal hossza 9 egys´eg? 5. Egy h´ aromjegy˝ u p´ aratlan sz´ amr´ ol meg kell a ´llap´ıtani, hogy pr´ımsz´ am-e vagy o ¨sszetett. Okos Berci 3-t´ ol 31-ig nem tal´ alt oszt´ ot. Ezek ut´ an azt mondta, hogy a sz´ am biztosan pr´ımsz´ am. Igaza volt? Mi´ert?
1 +( 20
1985. ´ evi verseny
5. Egy 8 cm oldal´ u n´egyzetbe tal´ alomra berajzolunk 260 pontot. Bizony´ıtsd be, hogy a pontok k¨ oz¨ ott biztosan lesz kett˝ o, amelyek egym´ ast´ ol m´ert t´ avols´ aga 1 cm-n´el kisebb!
´ ıt´ 1. Milyen sz´ amjegyre v´egz˝ odik 21986 ? All´ asodat indokold meg!
1. Egy gyuf´ asdobozban n´eh´ any gyufasz´ al van. Ha sz´ amukat megk´etszerezz¨ uk, majd elvesz¨ unk bel˝ ol¨ uk 8-at, ezut´ an a marad´ek gyufasz´ alak sz´ am´ at u ´jra megk´etszerezz¨ uk, ism´et elvesz¨ unk k¨ oz¨ ul¨ uk 8-at, v´eg¨ ul harmadszor is megism´etelj¨ uk ezt, u ¨res lesz a gyuf´ asdoboz. H´ any gyufasz´ al volt a dobozban eredetileg? 2. Egy 4 cm oldal´ u n´egyzetet 3 egyenl˝ o ter¨ ulet˝ u r´eszre osztottunk az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon. Milyen hossz´ u az ABC t¨ or¨ ottvonal? 3. Kati szob´ aja t´eglalap alak´ u ´es a m´ereteir˝ ol annyit a ´rult el, hogy hossza ´es sz´eless´ege m´eterekben kifejezve eg´esz sz´ am, ter¨ ulete pedig m 2 ben m´erve 1-gyel kisebb, mint a ker¨ ulete m´eterekben m´erve. Mekkora Kati szob´ aj´ anak sz´eless´ege ´es hossz´ us´ aga? 4. Igazold, hogy az a ´br´ an l´ athat´ o szab´ alyos o ¨t´ ag´ u csillag ter¨ ulet´enek pontosan a fel´et festett¨ uk be!
4
5. Egy konvex t´ızsz¨ ogben megh´ uzzuk az o ¨sszes a ´tl´ ot. H´ any a ´tl´ oja van a t´ızsz¨ ognek? H´ any metsz´espontja van az a ´tl´ oknak a t´ızsz¨ og belsej´eben, ha feltessz¨ uk, hogy nincs h´ arom olyan a ´tl´ o, amely egy pontban metszi egym´ ast a t´ızsz¨ og belsej´eben?
4. Ebben az egyenl˝ o sz´ ar´ u h´ aromsz¨ ogben a vastagon rajzolt szakaszok egyenl˝ oek. Mekkor´ ak a h´ aromsz¨ og sz¨ ogei?
´ 3. 1986 els˝ o fel´eben az Allami Biztos´ıt´ o tetemes o ¨sszeget ford´ıtott a tanul´ obiztos´ıt´ asokra, ennek egy r´esz´et baleset ´es betegs´eg eset´en k´ art´er´ıt´esekre fizette ki. Ha a baleseti k´ art´er´ıt´es o ¨sszege is ugyanannyi lett volna, mint a betegs´egekre kifizetett o ¨sszeg, akkor az o ¨sszes tanul´ oi k´ art´er´ıt´esnek nem a 90%-´ at, hanem csak 10%-´ at kellett volna erre a kett˝ ore kifizetni. H´ any ´ milli´ o forintot fizetett ki ebben a f´el´evben az Allami Biztos´ıt´ o a tanul´ oi biztos´ıt´ asokra o ¨sszesen, ha a baleseti k´ art´er´ıt´es o ¨sszege 14,5 milli´ o forinttal volt t¨ obb, mint amennyit betegs´egek eset´en fizettek ki?
2. Sz´ am´ıtsd ki az a ´br´ an l´ athat´ oo ¨t egym´ asba rajzolt n´egyzet ter¨ ulet´enek o ¨sszeg´et, ha a ,,legbels˝ o” kis n´egyzet oldala 1 egys´eg!
1. Melyik az a h´ aromjegy˝ u sz´ am, amelyik egyenl˝ o sz´ amjegyei o ¨sszeg´enek 12-szeres´evel?
1987. ´ evi verseny
5. Egy h´ aromsz¨ ogben megh´ uztuk az egyik cs´ ucsb´ ol indul´ o magass´ agvonalat ´es s´ ulyvonalat. Ez a k´et egyenes a cs´ ucshoz tartoz´ o sz¨ oget h´ arom egyenl˝ o r´eszre osztja. H´ any fokosak a h´ aromsz¨ og sz¨ ogei?
4. Bizony´ıtsd be, hogy a h´ aromsz¨ og egy bels˝ o pontj´ at a cs´ ucsokkal o ¨sszek¨ ot˝ o szakaszok o ¨sszege nagyobb a ker¨ ulet fel´en´el!
333331 2. Melyik sz´ am a nagyobb ´es mi´ert: 222221 222223 vagy 333334 ? ´ 3. Az Allami Biztos´ıt´ o az 1985. ´ev els˝ o 9 h´ onapj´ aban k¨ ozel 21,5 milli´ o forintot fizetett ki tanul´ oi balesetek k´ art´er´ıt´es´ere. Ez 18,6-szerese volt annak az o ¨sszegnek, amit betegs´egek miatt fizettek ki a biztos´ıtott tanul´ oknak. A baleseti k´ art´er´ıt´esek sz´ ama 21,3-szerese volt a betegs´eg c´ım´en fizetett k´ art´er´ıt´esek sz´ am´ anak. V´ alaszd ki a k¨ ovetkez˝ o n´egy sz´ am k¨ oz¨ ul a baleseti k´ art´er´ıt´esek egy-egy esetre jut´ oa ´tlag´ at ´es a betegs´egekre fizetett a ´tlagot: 378 Ft; 524 Ft; 532 Ft; 609 Ft !
1986. ´ evi verseny
Kalm´ ar L´ aszl´ o verseny (KMBK) megyei fordul´ o
1984. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
5
5. A β sz¨ og cs´ ucsa k¨ or¨ ul az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon egy 3 cm sugar´ u f´elk¨ ort rajzoltunk, majd a vonalz´ onkat az a ´bra szerint illesztett¨ uk a k¨ orh¨ oz ´es a sz¨ ogsz´ arakhoz. Bizony´ıtsd be, hogy az α-val jel¨olt sz¨og ´eppen harmadr´esze a β sz¨ognek.
4. A 0, 1, 2, . . . , 9 sz´ amjegyek mindegyik´et pontosan egyszer felhaszn´ alva a ´ll´ıts o ¨ssze h´ arom olyan (t´ızes sz´ amrendszerben fel´ırt) pozit´ıv eg´esz sz´ amot, amelyek k¨ oz¨ ul az egyik h´ aromszorosa, a m´ asik o ¨tsz¨ or¨ ose a legkisebbiknek!
3. Hat´ arozd meg az o ¨sszes olyan pozit´ıv eg´esz p, q , r sz´ amh´ armast, amelyre igaz, hogy p1 + 1q + 1r = 12 .
2. Az o ¨t egybev´ ag´ o n´egyzetb˝ ol o ¨sszerakott keresztn´el az A ´es B pontok t´ avols´ aga 10 cm. Mekkora ter¨ uletet fed le a kereszt?
1. Az 1, 2, 3, . . . , 8 sz´ amjegyeket helyezz¨ uk el az a ´br´ an l´ athat´ o kis k¨ or¨ okbe u ´gy, hogy b´ armelyik nagyobb k¨ orvonal ment´en a sz´ amok o ¨sszege ugyanannyi legyen!
1989. ´ evi verseny
5. Melyek azok a p´ aros sz´ amok, amelyek el˝ oa ´ll´ıthat´ ok k´et n´egyzetsz´ am k¨ ul¨ onbs´egek´ent?
4. Egy k¨ ort 7 egyenessel metsz¨ unk el, ezek a k¨ ort kisebb darabokra v´ agj´ ak sz´et. Legfeljebb h´ any ilyen r´esz keletkezett? Indokold meg az a ´ll´ıt´ asodat!
2. Egy szab´ alyos hatsz¨ og mindegyik oldal´ at meghosszabb´ıtottuk a hatsz¨ og oldal´ anak hossz´ aval az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon, majd a v´egpontokat o ¨sszek¨ ot¨ ott¨ uk. H´ anyszorosa a kapott hatsz¨ og ter¨ ulete az eredeti hatsz¨ og ter¨ ulet´enek? 3. Egy a ´ltal´ anos iskol´ aban a 40, 30, 20 ´es 10 Ft-os tanul´ obiztos´ıt´ ast fizet˝ ok ar´ anya 5:8:10:2 volt. Az iskola tanul´ oi o ¨sszesen 15 840 Ft-ot fizettek. H´ any tanul´ o fizette ezt az o ¨sszeget?
1. Igazoljuk, hogy h´ arom egym´ ast k¨ ovetkez˝ o eg´esz szorzata, ha a k¨ oz´eps˝ o n´egyzetsz´ am, mindig oszthat´ o 10-zel!
1988. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
6
5. Egy szob´ aban 10 sz´ek van sorban egym´ as mellett. A sz´ekek kezdetben u ¨resek. Id˝ onk´ent valaki bej¨ on a szob´ aba, le¨ ul egy u ¨res sz´ekre, ´es ugyanekkor egyik szomsz´edja (ha van) f¨ ol´ all ´es kimegy. Legfeljebb h´ any sz´ek lehet foglalt egyszerre a szob´ aban?
3. Egy n´egyzet belsej´ebe egy kisebb n´egyzetet rajzoltunk u ´gy, hogy a k´et n´egyzet megfelel˝ o oldalai p´ arhuzamosak. Ezut´ an o ¨sszek¨ ot¨ ott¨ uk a k´et n´egyzet cs´ ucsait az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon. Mutasd meg, hogy a bevonalk´ azott k´et trap´ez ter¨ ulet´enek o ¨sszege egyenl˝ o a k´et feh´er trap´ez ter¨ ulet´enek o ¨sszeg´evel! 4. Fel´ırtuk a t´ abl´ ara 1-t˝ ol 1991-ig az eg´esz sz´ amokat, majd valamelyik kett˝ ot let¨ or¨ olt¨ uk ´es helyett¨ uk fel´ırtuk a k¨ ul¨ onbs´eg¨ uket. Ezt az elj´ ar´ ast addig ism´etelgett¨ uk, am´ıg v´eg¨ ul m´ ar csak egy sz´ am maradt a t´ abl´ an. P´ aros vagy p´ aratlan sz´ am volt ez?
amok, amelyekre 3p + 4q 2. Tudjuk, hogy p ´es q olyan pozit´ıv eg´esz sz´ oszthat´ o 11-gyel. Igaz-e, hogy ekkor p + 5q is oszthat´ o 11-gyel?
1. Egy 60◦ -os sz¨ og k´et sz´ ar´ at ´erinti egy 4 egys´eg sugar´ u k¨ or. Ez a k¨ or a sz¨ ogfelez˝ ot k´et pontban metszi. Milyen messze vannak ezek a metsz´espontok a sz¨ og cs´ ucs´ at´ ol?
1991. ´ evi verseny
5. 1-t˝ ol 20-ig o ¨sszeszorozzuk az eg´esz sz´ amokat. A kapott szorzatnak h´ any k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o pozit´ıv eg´esz oszt´ oja van?
any (legal´ abb kett˝ o) egym´ ast k¨ ovet˝ o pozit´ıv 4. El˝ oa ´ll´ıthat´ o-e 220 n´eh´ eg´esz sz´ am o ¨sszegek´ent?
3. Bizony´ıtsd be, hogy ha egy der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og egyik sz¨ oge 15 ◦ , akkor az a ´tfog´ o n´egyszerese az a ´tfog´ ohoz tartoz´ o magass´ ag´ anak!
2. A szab´ alyos h´ aromsz¨ og egy bels˝ o pontj´ at o ¨sszek¨ otj¨ uk a cs´ ucsokkal ´es a pontb´ ol mer˝ olegeseket a ´ll´ıtunk az oldalakra. Bizony´ıtsd be, hogy a vonalk´ azott ter¨ uletek o ¨sszege a h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´enek fele!
1. Melyik sz´ am a nagyobb ´es mi´ert: 9920 vagy 999910 ?
1990. ´ evi verseny
Kalm´ ar L´ aszl´ o verseny (KMBK) megyei fordul´ o
3 4,
1 1+3 2 , 2+4
=
4 6
= 23 ,
1+3+5 2+4+6
=
7
= . . . A sorozatot olyan t¨ortekb˝ol k´epezz¨uk, amelyek sz´aml´al´oj´aban aratlan sz´ am, nevez˝ oj´eben az els˝ o n p´ aros sz´ am o ¨sszege a ´ll. Igaz-e, az els˝ o n p´ n ´ ıt´ hogy a sorozat n-edik eleme n+1 ? All´ asodat indokold!
=
9 12
5. Fel´ırtuk egy sorozat els˝ o n´eh´ any tagj´ at:
4. Egy szimmetrikus (egyenl˝ o sz´ ar´ u) trap´ez hosszabbik alapja k´etszerese a r¨ ovidebb alapnak. Tudjuk m´eg, hogy a trap´ez a ´tl´ oja felezi a trap´ez hegyessz¨ og´et. Mekkor´ ak a trap´ez sz¨ ogei?
3. Igaz-e, hogy a k¨ ovetkez˝ o alak´ u, t´ızes sz´ amrendszerben fel´ırt sz´ amok mind n´egyzetsz´ amok: 49, 4489, 444889, 44448889, . . . ?
2. Egy szab´ alyos hatsz¨ ogben megh´ uztuk a hosszabbik a ´tl´ okat, ezek a hatsz¨ oget h´ aromsz¨ ogekre bontott´ ak. Ezut´ an megjel¨ olt¨ uk a hatsz¨ ogben azokat a pontokat, amelyek k¨ ozelebb vannak a hozz´ ajuk legk¨ ozelebb es˝ o oldalhoz, mint a hozz´ ajuk legk¨ ozelebb es˝ o hosszabbik a ´tl´ ohoz. H´ anyad r´esze a hatsz¨ og ter¨ ulet´enek a megjel¨ olt pontok a ´ltal alkotott s´ıkr´esz ter¨ ulete?
1. K´es˝ o este egy aut´ obuszon heten utaztak, mindenki a v´eg´ allom´ ason sz´ allt le. A j´ at´ekos kedv˝ u sof˝ or mindegyik utast´ ol megk´erdezte, h´ any embert ismer utast´ arsai k¨ oz¨ ul. Sorra a k¨ ovetkez˝ o v´ alaszokat kapta: 1, 2, 3, 6, 5, 3, 1. A sof˝ or r¨ ovid gondolkod´ as ut´ an r´ aj¨ ott, valaki nem mondott igazat. Hogyan okoskodott a sof˝ or? (Az ismerets´eg k¨ olcs¨ on¨ os!)
1993. ´ evi verseny
5. Egy h´ aromsz¨ og oldalait az a ´br´ an l´ athat´ o m´ odon meghosszabb´ıtottuk ugyanannyival, amekkora az oldal. H´ anyszorosa a kapott h´ aromsz¨ og ter¨ ulete az eredeti h´ aromsz¨ og ter¨ ulet´enek?
4. Egy k¨ orm´erk˝ oz´eses versenyen (mindenki mindenkivel j´ atszik) eddig 65 m´erk˝ oz´est j´ atszottak le ´es m´eg mindenkinek 2 m´erk˝ oz´ese van h´ atra. H´ anyan indultak a versenyen?
3. Milyen p pr´ımekre lesz 2p + 1, 3p + 2, 4p + 3 ´es 6p + 1 mindegyike pr´ım?
2. Melyik az a sz´ am, amit 20-hoz, 50-hez ´es 100-hoz hozz´ aadva h´ arom olyan sz´ amot kapunk, amelyek k¨ oz¨ ul az els˝ ou ´gy ar´ anylik a m´ asodikhoz, mint a m´ asodik a harmadikhoz?
1. Egy adott paralelogramm´ at bonts fel egy cs´ ucs´ ab´ ol kiindul´ o h´ arom egyenessel n´egy egyenl˝ o ter¨ ulet˝ u r´eszre!
1992. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
8
1. Mennyi azoknak a csupa k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o sz´ amjegyekb˝ ol a ´ll´ o 4-jegy˝ u sz´ amoknak az o ¨sszege, amelyeknek sz´ amjegyei k¨ ozt csak az 1, 2, 3, 4 szerepelnek? 2. A s´ıkon felrajzolunk egy k¨ ort ´es egy n´egyzetet. Legfeljebb ´es legal´ abb h´ any r´eszre bonthatja fel a s´ıkot a n´egyzet ´es a k¨ orvonal? Vizsg´ ald meg az o ¨sszes esetet! 3. B´ela azt a ´ll´ıtja, hogy a hatjegy˝ u sz´ amokra ismer egy 37-tel val´ o oszthat´ os´ agi szab´ alyt. P´ed´ aul: 413 364 oszthat´ o 37-tel, mert 413 + 364 = 777 oszthat´ o 37-tel. Ugyanakkor 113 231 nem oszthat´ o 37-tel, mert 113 + 231 = = 344 nem oszthat´ o 37-tel. Fogalmazd meg a szab´ alyt ´es bizony´ıtsd be, hogy a szab´ aly helyes! 4. Egy deltoid hosszabb a ´tl´ oja egyenl˝ o az egyik oldal´ aval ´es a sz¨ ogfelez˝ ok a deltoidot n´egy egyenl˝ osz´ ar´ u h´ aromsz¨ ogre bontj´ ak. Mekkor´ ak a deltoid sz¨ ogei? 5. Egy n´egyzet alak´ u 3×3-as t´ abl´ azat mind a 9 mez˝ oj´ebe be´ırjuk a 7, 8, 9 sz´ amok valamelyik´et. Kit¨ olthet˝ o-e a t´ abl´ azat u ´gy, hogy minden sorban ´es minden oszlopban ´es a k´et a ´tl´ oban is csupa k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o eredm´enyt adjon a be´ırt sz´ amok o ¨sszege?
1995. ´ evi verseny
1. H´ any olyan o ¨ttag´ u sorozat van, amelynek minden eleme 0, 1 vagy 2 ´es a sorozat elemeinek o ¨sszege 6? 2. Valaki egy n´egyzetet a k¨ ovetkez˝ o m´ odon ,,d´ısz´ıtett” ki. El˝ osz¨ or 9 egybev´ ag´ o kis n´egyzetre osztotta, majd els˝ o l´ep´esk´ent besz´ınezte a k¨ oz´eps˝ o n´egyzetet. Ezut´ an a megmarad´ o 8 kis n´egyzet mindegyik´et u ´jra 9 egybev´ ag´ o, m´eg kisebb n´egyzetre osztotta, ´es m´ asodik l´ep´esk´ent mindegyikben besz´ınezte a k¨ oz´eps˝ o kis n´egyzetet. Ezt o ¨sszesen o ¨t l´ep´esben folytatta. H´ anyad r´esz´et sz´ınezte be az eredeti n´egyzetnek? 3. Az ABC der´eksz¨ og˝ u h´ aromsz¨ og a ´tfog´ oja AB ´es hosszabbik befog´ oja AC . Az a´tfog´on kijel¨ol¨unk k´et pontot: AE = AC ´es BD = BC . Mekkora a DCE∠? 4. Van 8 k¨ uls˝ ore egyforma, de csupa k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o s´ uly´ u goly´ onk. ´Irj le olyan m´ odszert, hogy egy k´etkar´ u (s´ ulyok n´elk¨ uli) m´erlegen 9 m´er´essel ki tudjuk v´ alasztani ennek alapj´ an a k´et legnehezebb goly´ ot! 5. Van-e a 7, 13, 19, 25, . . . sorozat (minden tag 6-tal nagyobb, mint az el˝ oz˝ o) tagjai k¨ oz¨ ott olyan sz´ am, ami el˝ oa ´ll´ıthat´ o k´et pr´ımsz´ am k¨ ul¨ onbs´egek´ent?
1994. ´ evi verseny
Kalm´ ar L´ aszl´ o verseny (KMBK) megyei fordul´ o
9
5. Az els˝o 100 pozit´ıv eg´esz sz´am k¨oz¨ ul v´alasszuk ki a lehet˝o legt¨obb sz´amot u ´gy, hogy a kiv´alasztottak k¨oz¨ ul b´armelyik k´et sz´am osszege oszthat´o legyen 26-tal! ¨
4. H´any oldal´ u lehet egy olyan g´ ula, amelynek alaplapja szab´alyos soksz¨og ´es az oldallapjai szab´alyos h´aromsz¨ogek?
3. Igaz-e, hogy b´armely hatjegy˝ u sz´amban ´ at lehet rendezni a sz´amjegyeket u ´gy, hogy az els˝o h´arom sz´amjegy ¨ osszege legal´abb akkora legyen, mint a m´asodik h´arom ¨ osszege, de a k´et ¨ osszeg k¨ ul¨onbs´ege legfeljebb 9 legyen?
2. H´arom embernek 3 ´ ora alatt kell A-b´ol egy 60 km t´avols´agra lev˝o B helys´egbe eljutni. Gyalog 5 km/´ora sebess´eggel tud haladni b´armelyik¨ uk, ´es rendelkez´es¨ ukre ´ all egy motorker´ekp´ar is, amely 50 km/´ora sebess´eggel tud menni ´es legfeljebb 2 ember utazhat vele. Meg tudj´ak-e szervezni az utaz´ast u ´gy, hogy mindh´arman 3 ´ora alatt eljussanak A-b´ol B-be?
1. H´any olyan legfeljebb h´aromjegy˝ u pozit´ıv eg´esz sz´am van, amelynek le´ır´as´ahoz legal´abb egy 9-es sz´amjegy kell?
1997. ´ evi verseny
5. H´any olyan k¨ ul¨onb¨oz˝o h´aromsz¨og van, amelyben mindegyik oldal hossza a k¨ovetkez˝o ´ert´ekek k¨oz¨ ul ker¨ ul ki: 4, 5, 6, 7 cm?
4. Az ABCD konvex n´egysz¨og melyik bels˝o pontj´ara igaz, hogy ´ ıt´asodat a n´egy cs´ ucst´ol m´ert t´avols´ag´anak ¨ osszege a legkisebb? All´ indokold!
3. Egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨ogben az ´ atfog´ohoz tartoz´o magass´agvonal ´es s´ ulyvonal az ´ atfog´oval szemk¨ozti sz¨oget h´arom egyenl˝o r´eszre osztja. Mekkor´ak a h´aromsz¨og hegyessz¨ogei?
2. Egy 4 tonna teherb´ır´as´ u teheraut´ot kell megrakni olyan kont´enerekkel, amelyek egyenk´ent 170 kg, illetve 190 kg s´ uly´ uak. Ki lehet-e haszn´alni a teheraut´o teljes terhel´es´et?
1. H´any olyan n´egyjegy˝ u sz´am van, amelyben van ism´etl˝od˝o sz´amjegy (pl.: 2213, 4142, 1100)?
1996. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
10
1. Sorban egym´as mell´e ´ırtuk a pozit´ıv eg´esz sz´amokat 1-t˝ol eg´eszen 1999-ig. Mennyi lesz az ´ıgy kapott t´ızes sz´amrendszerbeli sz´am sz´amjegyeinek sz´ama? 2. Egy der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og ´atfog´oj´an hat´arozzuk meg azt a P pontot, amelyre teljes¨ ul, hogy P -t k´et befog´ora mer˝olegesen vet´ıtve, a vet¨ uletek t´avols´aga a lehet˝o legkisebb! uk a 3. Kiv´alasztunk egy h´aromjegy˝ u sz´amot: abc. Ezut´an k´epezz¨ cab, majd a bca sz´amokat, majd elv´egezz¨ uk az ¨osszead´ast: abc + cab + bca. Melyik k´et egym´as ut´ani pozit´ıv eg´esz sz´am szorzata lehet ez az ¨osszeg? 4. Az A pozit´ıv eg´esz sz´am t´ızes sz´amrendszerbeli alakja 1999 darab 2-es ´es n´eh´any 0 sz´amjegyet tartalmaz. Lehet-e ez a sz´am n´egyzetsz´am? 5. H´anyszor fordul el˝o a 2 pr´ımsz´am t´enyez˝ok´ent a k¨ovetkez˝o szorzatban: 101 · 102 · 103 · 104 · . . . · 200?
1999. ´ evi verseny
1. Barnab´as arra a k´erd´esre, hogy h´any ´ora van, cselesen v´alaszolt: ,,Az ´ejf´elt˝ol eddig eltelt id˝o fele pontosan annyi, mint a d´elig m´eg h´atral´ev˝o id˝o h´aromnegyede.” H´any ´ora van most? 2. Az ABC der´eksz¨og˝ u h´aromsz¨og AB ´atfog´oj´anak P pontj´at mer˝olegesen vet´ıtj¨ uk az AC befog´ora, ´ıgy a Q pontot kapjuk, ha pedig mer˝olegesen vet´ıtj¨ uk a BC befog´ora, u ´gy az R pontot kapjuk. Melyik P pontra igaz, hogy a QR t´avols´ag a lehet˝o legkisebb? 3. Lehet-e egy pozit´ıv eg´esz sz´am n´egyzete a k¨ovetkez˝o sz´am: ´ ıt´asodat indokold! 199815 + 2? All´ 4. Hogyan lehet elhelyezni a s´ıkon 6 pontot u ´gy, hogy ezek k¨oz¨ ul b´armelyik h´armat v´alasztjuk is ki, egyenl˝osz´ar´ u h´aromsz¨oget alkotnak? 5. A pozit´ıv eg´esz sz´amokat a k¨ovetkez˝o ,,h´arom17 . . . sz¨og-t´abl´azatba” ´ırjuk fel: 10 18 . . . 5 11 19 . . . 2 6 12 20 . . . 1 3 7 13 21 . . . 4 8 14 22 . . . 9 15 23 . . . 16 24 . . . 25 . . . A t´abl´azat k¨oz´eps˝o sora ´ıgy kezd˝odik: 1, 3, 7, 13, 21, . . . Mi lesz ennek a k¨oz´eps˝o sornak a 100. eleme?
1998. ´ evi verseny
Kalm´ ar L´ aszl´ o verseny (KMBK) megyei fordul´ o
11
1. Egy els´argult pap´ıron egy r´egi matematika feladat olvashat´o: ,,A 1234 . . hatjegy˝ u t´ızes sz´amrendszerbeli sz´am oszthat´o 4-gyel ´es 9-cel.” A k´et pont hely´en ´ all´o sz´amjegyek olvashatatlanok. Mi ´allhatott itt? 2. Melyek azok a h´aromjegy˝ u t´ızes sz´amrendszerbeli sz´amok, amelyek egyenl˝ok sz´amjegyeik ¨ osszeg´enek 34-szeres´evel? 3. Egy h´arom egys´eg oldal´ u szab´alyos h´aromsz¨oget a k¨oz´eppontj´ara t¨ ukr¨oz¨ unk. Sz´am´ıtsuk ki az eredeti ´es a t¨ uk¨ork´ep h´aromsz¨og k¨oz¨os r´esz´et alkot´o hatsz¨og ker¨ ulet´et! 4. Egy haj´o a tavon a parttal p´arhuzamosan halad, gyorsabban, mint ahogy mi a parton s´et´alunk. Ha a haj´o elej´evel egy vonalban vagyunk, ´es elindulunk a haj´oval egyir´anyban, akkor 200 l´ep´es¨ unk ut´an a haj´o teljes hossz´aval elhalad mellett¨ unk. Ha a haj´o elej´evel egyvonalban vagyunk, ´es a haj´oval ellenkez˝o ir´anyban s´et´alunk, akkor m´ar 40 l´ep´es ut´an a haj´o v´eg´evel lesz¨ unk egy vonalban. H´any l´ep´es a haj´o hossza? (L´ep´eseink hossza ´es ideje mindk´et esetben ugyanakkora.) 5. Van n´egy darab egybev´ag´o, egys´egnyi oldal´ u szab´alyos hatsz¨og alak´ u lapunk. Ezekb˝ol h´ezag ´es ´ atfed´es n´elk¨ ul egy 2 egys´eg oldal´ u szab´alyos hatsz¨oglapot kell ¨ ossze´all´ıtani u ´gy, hogy min´el kevesebb v´ag´asra legyen sz¨ uks´eg. Hogyan lehet a nagyobb hatsz¨oget ¨ossze´all´ıtani? H´any lapot kell sz´etv´agni? Mekkora lesz a v´ag´asok egy¨ uttes hossza?
2001. ´ evi verseny
1. Van-e olyan eg´esz sz´am, amelynek n´egyzete ´ıgy ´ırhat´o: 19992000 + 1? 2. Egy h´aromjegy˝ u t´ızes sz´amrendszerbeli sz´am egyenl˝o a sz´amjegyei ¨ osszeg´enek 15-sz¨or¨os´evel. Melyik lehet ez a sz´am? 3. Egy paralelogramma egyik sz¨oge 60◦ , k´et szomsz´edos oldala pedig 2 ´es 6 egys´eg hossz´ us´ag´ u. Egy szab´alyos hatsz¨og oldala 2 egys´eg hossz´ u. Mekkora a hatsz¨og ´es a paralelogramma ter¨ ulet´enek ar´anya? 4. H´any 10-jegy˝ u sz´am k´esz´ıthet˝o csupa 1-es ´es 2-es sz´amjegyekb˝ol, ha kik¨otj¨ uk, hogy k´et 2-es sz´amjegy nem lehet szomsz´edos? 5. Az AB szakaszt a C ´es D pontok h´arom egyenl˝o r´eszre bontj´ak. A CD szakasz f¨ol´e egy CDO szab´alyos h´aromsz¨oget szerkesztett¨ unk. Az O k¨oz´eppont´ u, OA = OB sugar´ u k¨or az OC f´elegyenest a P pontban metszi. Sz´am´ıtsuk ki az AP B h´aromsz¨og sz¨ogeit!
2000. ´ evi verseny
7. oszt´ alyosok versenye
