Notasi Sigma Fadjar Shadiq, M.App.Sc (
[email protected] & www.fadjarp3g.wordpress.com) Notasi sigma memang jarang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, tetapi notasi tersebut akan banyak dijumpai pada bagian matematika yang lain, paling sering ditemui di Statistika. Jika Anda mempelajari Statistika maka Anda akan menjumpai banyak rumus-rumus yang digunakan memakai lambang notasi sigma; misalnya rumus mean, simpangan baku, ragam, korelasi, dan lain-lain. Di Kalkulus, pada waktu membicarakan luas daerah yang dibatasi oleh kurva dan sumbu-sumbu koordinat, Anda akan menemui Jumlahan Riemann yang menggunakan notasi sigma untuk menyingkat penjumlahan yang relatif banyak. Ketika mempelajari Kombinatorik, Anda akan menemui bentuk notasi sigma dalam koefisien binomial. Notasi Sigma “” Matematikawan akan mencari cara untuk menyingkat atau menyederhanakan penulisan. Daripada menulis 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 matematikawan lalu mengenalkan notasi 6 5 yang lebih singkat. Daripada menulis 5 5 5 5 5 5 matematikawan lalu mengenalkan notasi
yang lebih singkat.
Daripada menulis 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 matematikawan lalu mengenalkan n 6
notasi
∑(2i 1).
yang lebih singkat. Jelaslah bahwa notasi sigma “”
i 1
digunakan untuk menyingkat penjumlahan berulang yang memiliki beberapa kesamaan dan panjang. Simbol “” (dibaca “sigma”) adalah notasi yang merupakan huruf kapital (huruf besar) Yunani untuk “S”. Huruf “S” sendiri merupakan huruf 1
awal kata “sum” yang berarti “jumlah”. Dengan demikian, jelas kiranya bahwa notasi yang yang diperkenalkan pertama kali oleh Leonhard Euler pada n 6
tahun 1755 ini berarti “jumlah dari”. Notasi
∑(2i 1)
dibaca “sigma dari 2i+1
i 1
untuk i=1 sampai dengan i=6.” Dengan demikian jelaslah bahwa notasi n 6
∑(2i 1)
berarti (21 + 1) + (22 + 1) + (23 + 1) + (24 + 1) + (25 + 1) + (26 +
i 1
1). Sehingga jika disajikan dalam formula matematika menjadi n 6
∑(2i 1)
(2 1 1) (2 2 1) (2 3 1) (2 4 1) (2 5 1) (2 6 1)
i 1
3 5 7 9 11 13
Perhatikan notasi yang di bawah dan di atas, yaitu i = 1 dan n= 6. n
Contoh lain adalah
∑X
i
X1 + X2 + X3 + … + Xn dan
n
∑X Y i
i
X1Y1 + X2Y2 +
i 1
i 1
X3Y3+ … + XnYn. Meskipun demikian banyak siswa yang lalu mengalami kesulitan ketika mempelajari matematika. Salah satunya karena proses penyederhanaan tadi. Contohnya,
(x n
para
guru
dan
siswa
akan
mengalami
kesulitan
bahwa:
( x)2 ) x 2 n
x 2
Tiga Teorema Dasar Berdasar penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa:
n
∑5X
i
5X1 + 5X2 + 5X3 + … + 5Xn
i 1
= 5 (X1 + X2 + X3 + … + Xn)
2
n
= 5 Xi i 1 n
∑5 = 5 + 5 + 5 + 5 + … + 5
….. sebanyak n suku
i 1
= 5n Berdasar dua hal di atas, akan mudah difahami pembuktian yang berkait dengan notasi sigma berikut ini, paling tidak ada tiga teorema penting yang harus dikuasai Bapak dan Ibu Guru Matematika, yaitu: n
1.
∑cX
n
i
c ∑X i
i 1
i 1
Bukti:
n
cX i 1
i
cX1 + cX2 + cX3 + … + cXn
= c (X1 + X2 + X3 + … + Xn)
N
= c Xi i 1 Teorema 1 di atas menunjukkan bahwa bilangan konstan c dapat dikeluarkan dari tanda sigma.
n
2.
∑c nc i1
Bukti:
n
c=c+c+c+c+…+c
….. sebanyak n suku
i 1
= nc Teorema 2 di atas menunjukkan bahwa jumlah (sigma) dari suatu konstanta sama dengan konstanta tersebut dikalikan n.
n
3.
∑(X i 1
i
n
n
i 1
i 1
Yi ) ∑X i ∑Yi 3
n
∑(X
i
Yi ) (X 1 Y1 ) (X 2 Y2 ) (X 3 Y3 ) . . . (X n Yn )
i 1
Bukti:
n
n
∑X ∑Y i
i
i 1
i 1
Teorema 3 di atas menunjukkan bahwa penjumlahan (sigma) dari jumlah dua peubah atau lebih sama dengan penjumlahan dari sigma masingmasing peubahnya. Beberapa contoh di atas menunjukkan bahwa pembelajaran matematika hendaknya dimulai dari hal-hal yang mudah, ke hal-hal yang sedang, dan diakhiri dengan hal-hal yang sulit. Di samping itu, pembelajan matematika hendaknya dimulai dari hal-hal yang sederhana, ke hal-hal yang menengah, dan diakhiri dengan hal-hal yang kompleks. Untuk melatih keterampilan Bapak dan Ibu Guru Matematika, berikut ini adalah beberapa soal yang berkait dengan notasi sigma. Cobalah untuk memecahkannya secara mandiri lebih dahulu. Jika mengalami kesulitan, cobalah untuk menanyakannya ke teman guru lain di sekolah maupun MGMP, Dosen, maupun Widyaiswara.
Untuk
memperkuat
pemahaman,
beberapa
latihan
berikut
dapat
dikerjakan 1. Buktikan. n
n
i 1
i 1
n
a. . (X i Yi )(X i Yi ) X i Yi b.
n
(X i 1
n
i
2
i 1
n
c)2 X i 2c X i nc i 1
2
2
2
i 1
4
2. Tentukan pernyataan yang benar dan pernyataan yang salah di bawah ini. n
a.( X i ) 2 i 1
n
X i 1
2 i
n
n
b. (X i c) (X i c)
X
i 1
n
n
i 1
i 1
nc 2
n
c. (X i Yi ) X i
n
i 1
2 i
Y
i
i 1
n
n
n
d. (X i Yi ) 2 X i 2 X i Yi i 1
3. Jika
2
i 1
n
im
Y
i 1
2
i
i 1
n
∑(2 + x
x i 4 , nyatakan bentuk
k
) dalam m dan n.
k =m
4. Buktikan :
(x
( x)2 ) x 2 n
x 2
n
Petunjuk Jika Anda mengalami kesulitan, untuk memecahkan masalah di atas, cobalah untuk menggunakan beberapa petunjuk ini. 1. Mulai
dari
yang
n
mudah.
n
. ∑(X i Yi )(X i
Yi ) ∑X i
i 1
i 1
Daripada
∑Y
2
i
, mulailah dengan mempelajari notasi yang
i 1 n 3
n
dari
2
yang n
i 1
sederhana. n
∑Y
i 1
i 1
2
i 1
2
i 1
Daripada
menggunakan
notasi
n
∑(X i Yi ) 2 ∑X i 2∑X i Yi i 1
n 3
∑(X i Yi )(X i - Yi ) ∑X i -∑Yi i 1
2. Mulai
notasi
n
2
n 3
lebih mudah seperti
menggunakan
i
2
, mulailah dengan mempelajari notasi
5
n
yang lebih sederhana seperti
∑(X
i
Yi ) 2 Misalnya dengan mempelajari
i 1 n
atau mengutak atik bentuk
∑(X
i
Yi ) 2
i 1
6