Neumann János és a kvantum bitek Petz Dénes
A téma
Neumann János (érdekes történetek)
Valószinűség, információ, mátrixok, kvantumelmélet, kvantum-információ, ... (sok új és nehéz matematikai fogalom)
Neumann János (1903-1957)
A XX. század legnagyobb hatású matematikusa
Neumann János rendkivüli képességekkel rendelkező zseniális matematikus volt. A matematika majd minden ágához hozzájárult, és új matematikai diszciplinákat hozott létre.
A világ számára a matematikán kivüli tevékenységéről lett ismert. A Financial Times a XX. század emberének deklarálta 1999. december 24-i számában.
Életrajza Normann Macrae Neumann-életrajzának alcíme: „A tudós-zseni, aki úttörőként foglalkozott a modern számítógéppel, a játékelmélettel, a nukleáris elrettentéssel és sok minden mással.” A matematika itt a „sok mindem más” cimke mögé tartozik.
A Bajcsy-Zsilinszky út 62. szám alatti ház, ahol a Neumann-család lakott, mai formájában.
Fiatalkori évek Neumann János 1903 december 28.-án született egy bankár család legidősebb gyermeként. Kiemelkedő képességei már gyermekkorában megjelentek. Fantasztikus emlékező tehetsége volt, és 8 jegyű számokat fejben osztott. Általános iskolába nem járt, magántanárai voltak. Franciául és németül tanult. Egyik kedvenc olvasmánya a családi könyvtár 44 kötetes német nyelvű világtörténelme volt. 11 évesen iratkozott be a fasori Evangélikus Gimnáziumba.
A fasori Evangélikus Gimnázium Ide járt Neumann barátja, Wigner Jenő is.
Tanárai Rácz László volt a matematika tanára az iskolában, Kürschák Józseffel és Szegő Gáborral is kapcsolatba került. (Szegő maga is csodagyerek volt ifjú korában, és a matematikai analízis világhírű kutatója lett.)
Neumann 1925-ben így írt Fejér Lipóthoz Zürichből: "Itt csak az az újság van, hogy Hilbert itt volt, és egy előadást tartott „Über das Unendliche", azaz, lényegében a Widerspruchfreiheit-ról. Weyl bemutatott neki, és Hilbert hívott pünkösdre Göttingenbe. Valószínűleg odamegyek.''
Göttingen (1926-1929) Heisenberg előadásai a kvantumelméletről, Neumann János matematikai formába önti a fogalmakat. 1932-ben jelenik meg könyve:
Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Springer.
A kvantumelmélet A nagyon kis távolságok fizikája. (Messze van a hétköznapi tapasztaltainktól.) Az energiának van egy legkisebb adagja, minden mennyiség ennek az egész számú többszöröse. A mérés durva beavatkozás a rendszerbe, és a mérés eredménye véletlenszerű.
Kétállapotú kvantumrendszer Állapotát megadja egy 2 x 2-es mátrix:
a és d pozitívak és az összegük 1, b komplex szám, a determináns, ad − bb , pozitív.
Kitérő a mátrixokról mátrix hatása vektoron
Példa egy mátrix hatására a síkon
Az alfa szöggel való forgatás mátrixa (0, 1) (-sin α, cos α) (cos α, sin α)
α α
(1, 0)
Vissza az állapotmátrixhoz
(x,y,z) egy pont az egységgömbben
2003: Neumann születésének 100. évfordulója
Marina von Neumann-Whitman
Balról: Arthur Jaffe (Harvard Egyetem) az Amerikai Matematikai Társulat képviselője, jobbról: Kovács Kálmán, informatikai és távközlési miniszter (2003-ban), középen: jómagam.
Arthur Jaffe professzor a frissen felavatott emléktáblával.
A tábla
Információ Ha megtudjuk, hogy n lehetőség közül melyik következik be, akkor információhoz jutunk. Ha n nagyobb, akkor több információt kapunk. Ha az 1,2,...,n számokat 0-1 sorozatokkal írjuk, le akkor log 2 n számjegyre van szükség.
Információegység: bit Egy kétállapotú rendszer által hordozott információmennyiség az egy bit.
1. Példa Négy darab pénzérménk van, három egyforma súlyú, a negyedik különböző, nem tudjuk, hogy könnyebb, vagy nehezebb. 2 bit az információ mennyisége annak, hogy melyik a különböző. Egy mérés legfeljebb egy bit információt szolgáltat. Tehát legalabb két mérés kell !
2. Példa 21 darab pénzérménk van, 20 egyforma súlyú, a 21. pedig nehezebb. Hány összehasonlító mérésre van szükségünk egy kétkarú mérleggel, hogy kiválasszuk a legnehezebb érmét?
Barkochba Az 1,2,..., 16 számok valamelyikére gondolok. Igen-nemmel megválaszolható kérdéseket lehet nekem feltenni. Mi a jó kérdezési taktika?
Barkochba Az 1,2,..., 16 számok valamelyikére gondolok. Igen-nemmel megválaszolható kérdéseket lehet nekem feltenni. Mi a jó kérdezési taktika? És ha lehet tudni, hogy a kedvenc számom a 7? Adva vannak bizonyos valószínűségek minden egyes számhoz.
Claude Shannon
− ∑ pi log pi i
Shannon-entrópia
H = -p log p – (1-p) log (1-p)
Kódolás Nyolc ló vesz részt egy versenyen. A valószínűsége a nyerésüknek 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/64, 1/64, 1/64, 1/64. Három hosszúságú 0-1 sorozattal értesíteni tudunk valakit, hogy melyik ló nyert. Ha minden eleme egy 0-1 sorozatnak ezer forintért továbbítható, akkor az informálás 3 ezer forintba kerül. Olcsóbban nem lehet továbbítani az információt?
Ügyes kódolás Adjuk a következő kódszavakat: 0, 10, 110, 1110, 111100, 111101, 111110, 111111
Ekkor a várható értéke a információ továb-bítás költsége 2 ezer forint. Kódolni azért is érdemes, hogy az információ továbbítás olcsóbb legyen.
Még olcsóbban? Nem lehet! A Shannon-entrópia egy alsó korlátot jelent: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/64, 1/64, 1/64, 1/64 Shannon-entrópiája 2, ezért átlagosan legalább két bit információra van szükség. (Ez tétel.)
Zajos információs csatorna Zajos írógép: Az egyszerűség kedvéért a,b,c,d betűket tartalmaz. Ha a-t ütünk 50% valószínűséggel a-t ír, de 50% valószínűséggel b-t. Ha b-t ütünk 50% valószínűséggel b-t ír, de 50% valószínűséggel c-t, és így tovább. Megoldás: kódolás.
Kvantum bit A legegyszerűbb, kétszintű, kvantum rendszer által hordozható információmennyisége. z
(x0, y0, z0)
x y
Mérés végrehajtása Legyen (x,y,z) a rendszer állapota. 1.
2.
Az x-tengely írányába mérve (1+x)/2 valószínűséggel +1-et kapunk, (1-x)/2 valószínűséggel pedig -1-et. Hasonlóan az y-tengely és a z-tengely irányába végrehajtott mérésnél.
Összefonódott állapot (entanglement) Két kvantum bit leírására 4x4-es mátrix szolgál, ami 15 valós paraméterrel adható meg. Egy kvantum bithez 3 paraméter kell, miért igényel akkor két kvantum bit 15 paramétert? A viszonya két kvantum bitnek nagyon komplikált lehet, 9 paraméter a kapcsolatot adja meg! A képen Ruth Bloch 71 cm-es bronz szobra. Címe: Entanglement.
Teleportálás Alíz és Bob messze vannak egymástól. Mindegyiküknél van egy-egy kvantum bit, amik összefonódott állapotban vannak. Ezek A és B. Aliznál van egy X bit. Egy speciális mérés hajt végre az X és A bitekből álló rendszeren. A mérés eredménye 1,2,3 vagy 4. Amit véletlenszerűen kap, megtelefonálja Bobnak. Bob a kapott számnak megfelelő eljárást hajtja végre a nála lévő B biten.
Neumann feleségével és kutyájával
Hány kilométert repül a méhecske?
20 km/h
100 km 10 km/h
10 km/h 20 x 100/30 + ... = ?
Lovász László is Neumann-díjat kapott
