Metode Deret Berkala Box Jenkins

METODE BOX JENKINS

Metode Deret Berkala Box – Jenkins Suatu metode peramalan yang sistematis, yang tidak mengasumsikan suatu model tertentu, tetapi menganalisa deret berkala sehingga diperoleh suatu model yang cocok dengan data tersebut.

•  Model → Autoregressive Integrated Moving Average ( ARIMA ) •  Model Autoregressive : nilai data sekarang tergantung nilai data masa lalu. Persamaan : Yt = a + b1Yt – 1 + b2Yt – 2 + … + bkYt – k + et

•  Model Moving Average : nilai data sekarang tergantung dari forecast error periode sebelumnya. Persamaan : Yt = a + b1et – 1 + b2et – 2 + …+ bkYt – k + et

Metodologi membentuk model ARIMA •  •  •  • 

Analisa data deret berkala Identifikasi model peramalan sementara Estimasi parameter Diagnosa model

5/25/2006

Skema Pendekatan Box Jenkins Subtitle

Rumuskan kelompok model-model yang umum

Penetapan model yang sementara

Penaksiran parameter pada model sementara

Tidak Pemeriksaan diagnosis (apakah model memadai)

Ya

Gunakan model untuk peramalan

Analisa data deret berkala q Plot data q Koefisien autokorelasi : suatu ukuran statistik untuk mengukur hubungan linier antara nilai-nilai suatu deret berkala yang sama pada periode waktu yang berlainan. n−k (Y t−Y )(Yt + k − Y ) ∑ Rumus : t =1 r = n (utk data stasioner) k 2 ( Y − Y ) ∑ t t =1

q Distribusi sampling autokolelasi : untuk menilai tingkat kebetulan koefisien autokorelasi dari suatu data random dan menentukan bagaimana hubungannya dengan signifikansi.

Analisa data deret berkala (cont d) q  Periodogram dan analisa spektral : suatu cara untuk menganalisa data deret berkala dengan cara menguraikan data kedalam himpunan gelombang sinus pada frekuensi yang berbeda-beda. Data random → hampir semua frekuensi mempunyai amplitudo sama. (white noise) Persamaan gelombang sinus : Yt = A sin [(ft/n) 2π + Ø] A = amplitudo n = jumlah periode data F = frekuensi Ø = sdt. Fase ( radian) T = index waktu

Analisa data deret berkala (cont d) q  Koefisien autokorelasi parsial : untuk mengukur tingkat keeratan antara Xt dan Xt – k, apabila pengaruh dari time lag 1,2,...,k – 1 dianggap terpisah.

Identifikasi Model Peramalan Sementara 1.ARIMA (0,0,0) Nilai Yt terbentuk dari nilai tengah (µ) dan kesalahan random (et) yang bersifat bebas (independent) dari waktu ke waktu. Yt = µ + et

Identifikasi Model Peramalan Sementara (cont d) 2.

ARIMA (0,d,0) Data asli mengalami pembedaan orde ke-d ( 1 – B) d Xt = et BXt – 1 = Xt – 1 BdXt = Xt – d d = orde perbedaan

Identifikasi Model Peramalan Sementara (cont d) 3.

ARIMA (p,0,0) Model autoregresif orde ke- p, nilai peramalan sekarang merupakan fungsi dari data sebelumnya. Xt = µ' + ØjXt – 1 + … + Øqet – q µ' = nilai konstan Øj = parameter autoregresif ke- j Et = nilai kesalahan pada saat t

Identifikasi Model Peramalan Sementara (cont d) 4.

ARIMA (0,0,q) Model moving average orde ke- q, nilai deret berkala pada waktu t dipengaruhi unsur kesalahan saat ini dan unsur kesalahan terbobot pada masa lalu sampai p[eriode ke- q Xt = µ' + et – Ø1et -1 - … - Øqet-q dimana : Øq = parameter moving average ke- q Et – k = nilai kesalahan pada saat t – k µ' = konstanta

Identifikasi Model Peramalan Sementara (cont d) 5.

ARIMA (p,d,q) → model umum ARIMA Model autoregresif orde ke- p, mengalami pembedaan orde ke- d, dan proses moving average orde ke- q ARIMA (I,I,I,) : ( 1 – B) (1 – Ø1B) Xt = µ' + (1 – Ø1B) et

Identifikasi Model Peramalan Sementara (cont d) 6.

ARIMA (p,d,q) (P,D,Q)s → model umum ARIMA dengan aspek musiman (p,d,q) = bagian model yang tidak musiman (P,D,Q) = bagian model yang musiman S = jumlah periode per musim

•  Dalam tahap identifikasi dilakukan analisa terhadap data untuk mengetahui stasioneritas, proses yang membangkitkan data (AR, MA, ARIMA), dan ada atau tidaknya faktor musiman.

Analisa Stasioneritas •  Data yang stasioner : autokorelasinya akan berbeda dari nol atau akan menurun mendekati nol secara eksponensial sesudah time lag kedua atau ketiga. •  D a t a y a n g t i d a k s t a s i o n e r : autokorelasinya akan mengikuti pola tren yang menurun.

q Proses Autoregresif (AR) ARIMA (1,0,0) : Xt = µ' + Ø1Xt – 1 + e2 Ciri-ciri : - terdapat satu autokorelasi parsial yang berbeda dari nol secara signifikan autokorelasi menurun secara eksponensial q GAMBAR :

3.5

0.35

3

0.3

2.5

0.25

2

nilai

nilai

0.4

0.2 0.15

1.5 1

0.1

0.5

0.05

0

0 0

2

4

6 waktu

8

10

0

1

2

3 w aktu

4

5

ARIMA (2,0,0) Xt = µ' + Ø1Xt – 1 + Ø2Xt – 2 + e2 Ciri-ciri : - terdapat dua buah autokorelasi parsial yang berbeda dari nol secara signifikan. - autokorelasi mengecil mengikuti bentuk gelombang sinus. GAMBAR :

nilai 4 3

nilai

2 1 0 -1 0

1

2

3

4

5

-2 -3 waktu

4 3

nilai

2 1 0 -1 0

1

2

3

4

5

-2 -3 -4 w aktu

6

7

8

9

Proses Moving Average (MA) ARIMA (0,0,1) : Xt = µ + et - Ø1 et – 1 Ciri-ciri : terdapat satu autokorelasi yang berbeda dari nol. autokorelasi parsial menurun secara eksponensial. GAMBAR :

0 -0.5

0

2

4

6

8

10

nilai

-1 -1.5 -2 -2.5 -3 -3.5 waktu

0 -0.05 0

2

4

6

-0.1

nilai

-0.15 -0.2 -0.25 -0.3 -0.35 -0.4 waktu

8

10

ARIMA (0,0,2) Xt = µ + et - Ø1 et – 1 - Ø2 et – 2 Ciri-ciri : terdapat dua autokorelasi yang berbeda dari nol. - autokorelasi parsial mendekati nol mengikuti bentuk gelombang sinus yang teredam. GAMBAR :

4 3 2 1 0 -1

0

2

4

6

0.5

1

1.5

8

10

-2 -3 -4

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4

0

2

2.5

Estimasi Parameter •  Metode Trial dan Eror yang menimumkan jumlah kuadrat nilai sisa. •  Penafsiran secara Iteratif → alogaritma marquadt

Parameter Autoregresif Persamaan Yule Walker untuk proses autoregresif orde ke- p P1 = Ø1 + Ø2P1 + … + ØpPp – 1 P2 = Ø1P1 + Ø2 + … + ØpPp – 2 . . . Pp = Ø1Pp – 1 + Ø2Pp – 2 + … + Øp Pada proses AR (1) persamaan di atas disederhanakan menjadi : P1 = Ø1, di mana P1 diduga oleh r1 Pada proses AR (2) : P1 = Ø1 + Ø2P1, di mana P1 diduga oleh r1 P1 = Ø1 + Ø2P1, di mana P1 diduga oleh r1

•  Parameter Moving Average : •  Rumus ⎧⎪ − θ k + θ1θ k + • • • + θ q − kθ q ⎫⎪ +1 ρ k = ⎨ ⎬, k = 1,2,..., q 2 2 1+θ 1 + • • • +θ q ⎪⎩ ⎪⎭ ρ k = {0}, k > q

•  Nilai ρ k diduga dengan autokorelasi empiris rk, sehingga awal dari koefisien-koefisien θq dapat dihitung.

•  Pada proses MA(1)

⎧ − θ1 ⎫ ρ1 = ⎨ ,k =1 2 ⎬ ⎩1 + θ1 ⎭ ρ1 = {0}, k > 1

•  Pada proses MA(2)

− θ1 (1 − θ 2 ) ρ1 = 2 2 1 + θ1 + θ 2 −θ2 ρ2 = 2 2 1 + θ1 + θ 2

ρ 3 = 0, k >= 3

Diagnosa Model •  Uji signifikasi parameter : untuk memastikan bahwa nilai-nilai parameter model signifikan terhadap nol. •  Uji pola residual hasil peramalan nilai sisa yang tertinggal sesudah dilakukan pencocokan model diharapkan hanya merupakan gangguan random → tidak memiliki autokorelasi dan autokorelasi parsial yang signifikan.

Untuk menguji signifikasi autokorelasi dan autokorelasi parsial digunakan rumus kesalahan standar ( pada tiap nilai rk) dan atau uji BOX – PIERCE ( pada sekumpulan nilai rk)

•  Rumus kesalahan standar autokorelasi Barlett : -½

k -1

2

1/2

S ( ρ k ) = N [1 + 2∑ rj ] j=1

•  Rumus kesalahan standar autokorelasi Quenoville : S (ǿkk) = N- ½ •  Limit batas nilai non signifikasi pada tiap nilai ± 2 S (ρk) dan ± 2 S (ǿkk)

•  Uji Box Pierce Portmanteau : dilakukan pada kumpulan nilai rk untuk menetapkan signifikasi nilai-nilai rk terhadap nol. m

Q = ( N – d – sd )∑ r 2 k k =1

Di mana : N = jumlah pengamatan asli S = jumlah pengamatan per musim d = derajat pembedaan non musiman D = derajat pembedaan musiman m = lag maksimum •  Jika nilai Q < X2m–p–q, maka nilai-nilai rk tidak signifikan terhadap. nol