MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
TESIS
Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi
: MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH : Dewi Suryani Hanum Nasution : 117021014 : Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua
Ketua Program Studi,
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota
Dekan,
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 5 Juni 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS Ketua Anggota
: :
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
TESIS
Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak dapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka.
Medan, Penulis,
Dewi Suryani Hanum Nasution
i Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK Suatu graf kovariansi merupakan suatu graf tak berarah dengan adanya suatu distribusi probabilitas multivariat pada vektor acak dimana tiap verteks menunjukkan komponen yang berbeda dari vektor acak. Model graf merupakan kerangka kerja yang digunakan untuk merepresentasikan suatu struktur saling bebas kondisional dengan distribusi dengan menggunakan graf G. Dalam penelitian ini dikaji estimasi distribusi dalam menentukan dekomposisi matriks kovariansi pada model graf Gauss tak berarah yang berkaitan dengan invers kovariansi (matriks konsentrasi). Sehingga diperoleh estimasi dekomposisi kovariansi dengan kompleksitas komputasi yang lebih baik. Hasil penelitian menunjukkan diperolehnya korelasi antar komponen yang berbeda dalam suatu vektor acak yang diberikan yang diperoleh dari hasil penaksiran dekomposisi kovariansi matriks. Kata kunci: Saling bebas kondisional, Dekomposisi kovariansi, Model graf Gauss, Konsentrasi graf.
ii Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT A covariance graph is an undirected graph associated with a multivariate probability multivariate of a given random vektor where each vertex represents of the different components of the random vector. Graphical models are framework for representing and conditional independence structures within distributions using graph G. This research discusses distribution estimation in determining decomposable covariance matrix in an undirected Gauss graphical model related to sparsity of invers convarince (concentration matrix). It showed decomposable covariance estimation with lower computational complexity. The result showed the correlation each different components in a given random vector that determined from decomposition covariance matrix estimation. Keyword: Conditional independence, Covariance decomposition, Gauss graphical model, Concentration graph.
iii Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Syukur Alhamdulillah kehadirat ALLAH SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan KaruniaNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: ”Matriks Kovariansi Dekomposisi Dalam Model Graf Gauss Tak Berarah”. Selawat dan salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat sekalian. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan bantuan dan dorongan dalam penulisan tesis ini hingga selesai. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA Universitas Sumatera Utara serta selaku ketua komisi
iv Universitas Sumatera Utara
pembimbing dalam penulisan tesis ini, atas saran dan bantuan dari beliau hingga penulisan ini dapat diselesaikan. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku anggota komisi pembimbing yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini. Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Ucapan terima kasih yang tak terhingga dan penghargaan setinggi-tingginya penulis ucapkan kepada Ibunda tercinta Syamsuarti yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Selain itu, terima kasih juga kepada suami tercinta Banda Satria dan Ananda tersayang Suci Widana serta seluruh keluarga yang telah membantu, memberikan semangat dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai. Tak lupa juga penulis mengucapkan terimakasih kepada Kepala Sekolah dan seluruh guru SMP N 1 Karang Baru yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi hingga penulisan ini selesai. Seluruh sahabat serta rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2011 ganjil atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung. Terima kasih juga kepada sahabat dan rekan-rekan lainnya yang tidak
v Universitas Sumatera Utara
dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan memberikan semangat untuk penulis hingga tesis ini selesai. Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lainnya yang memerlukannya.
Medan,
Juni 2013
Penulis,
Dewi Suryani Hanum Nasution
vi Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Penulis di lahirkan di Karang Baru Kabupaten Aceh Tamiang Pada tanggal 12 Oktober 1968 dan merupakan anak ke 3 dari 5 bersaudara, dari ayah Palitan Nasution dan ibu syamsuarni. Penulis menamatkan Sekolah dasar SD Negeri No 2 Karang Baru lulus tahun 1981. Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Karang Baru lulus tahun 1984. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kuala Simpang lulus Tahun 1987. Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan diploma III di Universitas Abulyatama Banda Aceh pada Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan (FKIP) Jurusan Matematika dan lulus tahun 1982. Selanjutnya pada tahun 1994 penulis berkesempatan untuk diangkat menjadi pegawai negeri sipil yang bertugas di SMP N 1 Karang Baru Aceh Tamiang sampai sekarang. Penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas syiahkuala di Banda Aceh pendidikan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan alam (MIPA) jurusan matematika dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun 2011 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program Master pada program studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara Medan.
vii Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vii
DAFTAR ISI
viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
3
1.4 Manfaat Penelitian
3
BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
4
2.1 Graf Tak Berarah
4
2.2 Distribusi Gauss
7
2.3 Model Graf Gauss Tak Berarah
15
2.4 Kovariansi Dekomposisi dalam Graf
16
BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN
18
3.1 Model Graf Gauss
18
3.2 Matriks Kovariansi Dekomposisi dalam Model Graf Gauss Tak Berarah
21
BAB 4 HASIL PERHITUNGAN
25
4.1 Matriks Dimensi m × m
25 viii Universitas Sumatera Utara
4.2 Matriks Dimensi m × n
26
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
28
5.1 Kesimpulan
28
5.2 Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
29
ix Universitas Sumatera Utara
