MATEMATIKA II Turunan dan Aplikasinya Rudi Prihandoko March 9, 2017 ver 0.6
KUIS I
KUIS Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula (Ax2 + Bx + C)2 f(x) = Ax2 + Dx + E adalah suatu fungsi rasional. Tentukan nilai dari f′ (x).
3
4
Definisi Untuk suatu fungsi f, jika nilai f(x + h) − f(x) h h→0
lim
ada, maka nilai ini disebut turunan dari f atau dinotasikan dengan f′ (x).
5
Definisi Untuk suatu fungsi f, jika nilai lim x→c
f(x) − f(c) x−c
ada, maka nilai ini disebut turunan dari f di titik c atau dinotasikan dengan f′ (c).
6
Notasi
Turunan dari f (terhadap x) biasa dinotasikan dengan beberapa lambang berikut: f′ ,
df , dx
Dx (f)
7
HALAMAN INI SEHARUSNYA BERISI LATIHAN
MUNGKINKAH TIDAK PUNYA TURUNAN??
Tidak punya turunan Fungsi f tidak punya turunan di titik-titik berikut → titik dimana f diskontinu → titik sudut → titik dengan garis singgung vertikal
10
GAMBAR
12
ATURAN TURUNAN
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Notasi Turunan ke-2, ke-3, dan ke-n dari f (terhadap x) biasa dinotasikan dengan beberapa lambang berikut: f′′ , d2 f , dx2
f′′′ , · · · , f(n) d3 f dn f ,··· , n dx3 dx
15
TURUNAN IMPLISIT 16
17
18
19
Notasi
Salah satu notasi turunan adalah ini disebut Notasi Leibniz.
dy dx .
Notasi
dy ∆y f(x + ∆x) − f(x) ≈ = dx ∆x ∆x
20
Apakah dy dx adalah pecahan?
Persoalan Diketahui persamaan lingkaran (x − 1)2 + y2 = 25 Tentukan persamaan garis singgung di titik (4, 4).
22
TURUNAN IMPLISIT
24
25
?
26
KUIS II
KUIS II Misalkan ABCDE adalah NIM Anda. Misalkan pula Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey − (A + B + C + D + E) = 0 adalah suatu persamaan kurva. Tentukan dy bentuk palilng sederhana dari dx . (Anggaplah pembilang tidak nol.) NB: Jangan lupa substitusi ABCDE dengan NIM Anda! 28
LAJU BERKAITAN 29
Aturan Rantai Misalkan f dan g adalah fungsi sehingga f ◦ g terdefinisi. Maka turunan dari f ◦ g adalah (f ◦ g)′ (x) =
d f(g(x)) = f′ (g(x)) · g′ (x) dx
30
Aturan Rantai Misalkan f dan g adalah fungsi sehingga f ◦ g terdefinisi. Maka turunan dari f ◦ g adalah (f ◦ g)′ (x) =
d f(g(x)) = f′ (g(x)) · g′ (x) dx
(f ◦ g) d(f ◦ g) dg = · dx dg dx
30
Aturan Rantai → Jika y bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan y, yaitu dy dt → Jika x bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan x, yaitu dx dt
31
Aturan Rantai → Jika y bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan y, yaitu dy dt → Jika x bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan x, yaitu dx dt → Jika x, y keduanya bergantung terhadap waktu (t), serta kedua saling berkaitan,
31
Aturan Rantai → Jika y bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan y, yaitu dy dt → Jika x bergantung terhadap waktu (t), maka turunannya adalah laju perubahan x, yaitu dx dt → Jika x, y keduanya bergantung terhadap waktu (t), serta kedua saling berkaitan, maka berlaku dy dy dx = · dt dx dt 31
KELAJUAN ̸=
KECEPATAN
CONTOH
34
Contoh 1 Pada suatu acara pelepasan lampion, semua lampion dilepaskan secara vertikal. Satu lampion terakhir dilepaskan dengan laju konstan 4m/s. Seorang pengamat melihat pelepasan lampion tersebut dari jarak 60m. Berapa laju perubahan jarak lampion ke lampion saat ketinggian lampion 45m?
35
36
Contoh 2
Pada suatu tangki air berbentuk kerucut terbalik, dimasukkan air dengan debit 5 liter kubik per detik. Jika diameter tangki 6m dan tingginya 4m, tentukan laju perubahan ketinggian air saat tinggi air 2m.
37
PERTANYAAN?
LATIHAN
ugm.id/mat2latihan
Latihan 1
Suatu balon (bulat) ditiup dengan laju 50 cc per detik sehingga mengembang. Berapa laju perubahan diameter balon saat diameternya 10 cm?
41
Latihan 2 Pada reklamasi teluk Jakarta, pasir ‘dituang’ melalui suatu pipa dengan laju 15 meter kubik per detik dan membentuk gundukan pasir berbentuk kerucut sehingga tingginya selalu 1/4 dari diameter. Berapa cepat kerucut pasir ini bertambah tinggi saat tingginya tepat mencapai 4m?
42
Latihan 3 Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang 10m x 20m memiliki kedalaman yang berbeda antara satu sisi pendek dengan sisi pendek di seberangnya (sepasang sisi yang lain mengikuti kedalaman yang berubah). Sisi dangkal berkedalaman 125cm sedangkan sisi di seberangnya berkedalaman 250cm. Jika kolam renang ini diisi air dengan debit 20 000 liter per detik, berapa cepat tinggi muka air naik saat ketinggian air 125cm? 43
Latihan 4 Seorang pengamat naik ke mercu suar di tepi pantai dan melihat suatu kapal mendekat ke arah mercu suar dengan kecepatan 5m/s. Jika mata pengamat berada di ketinggian 72m diatas muka air laut, tentukan perubahan sudut pengamatan saat kapal berada sejauh 72m dari kaki mercu suar.
44
Latihan 5 Pada tengah hari suatu pesawat terbang tepat di atas Tugu Yogyakarta dengan kecepatan 300km/jam ke arah utara. Lima belas menit kemudian, pesawat lain kembali melewati Tugu dengan kecepatan 350km/jam ke arah timur. Asumsikan kedua pesawat terbang di ketinggian yang sama. Tentukan laju perubahan jarak kedua pesawat tersebut pada pukul 1 siang.
45
KUIS III
KUIS III Pada suatu sore, panjang bayangan tiang bendera sama dengan tinggi tiang tersebut. Berapakah kecepatan bertambahnya bayangan saat itu, jika diketahui tinggi tiang tersebut 6m? Diketahui 1 hari = 24 jam = 86 400 detik
47
MAKSIMUM
MINIMUM
48
Definisi Misalkan S adalah daerah asal dari fungsi f, dan c adalah titik di S. → f(c) disebut nilai maksimum f di S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S. → f(c) disebut nilai minimum f di S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S.
49
Definisi Misalkan S adalah daerah asal dari fungsi f, dan c adalah titik di S. → f(c) disebut nilai ekstrim f di S jika nilai tersebut merupakan nilai maksimum atau nilai minimum. → Fungsi yang ingin di maksimalkan atau diminimumkan disebut fungsi objektif.
50
Teorema (Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim) Jika f adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a, b], maka fungsi f memiliki nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tersebut.
51
Kriteria Titik Kritis Misalkan fungsi f terdefinisi di interval I = [a, b] yang memuat titik c Jika c adalah titik kritis maka c harus memenuhi salah satu kriteria berikut → titik ujung interval, yaitu c = a atau c = b → titik stasioner, yaitu f′ (c) = 0 → titik singular, yaitu f′ (c) tidak terdefinisi
52
CONTOH
LATIHAN
Latihan
55
Latihan
56
KUIS IV
KUIS IV Tentukan nilai maksimum dan minumum fungsi berikut pada selang [−π, 2π]: f(x) = A(Bx + C)(Dx + E)(cos θ) jika diketahui bahwa ABCDE adalah NIM Anda. (Fungsi polinom tidak punya titik singular. Demikian pula dengan fungsi trigonometri)
58
TITIK SINGULAR
Titik Singular: Definisi
Misalkan fungsi f terdefinisi di interval I. Titik c pada interval I dikatakan sebagai titik singular jika f′ (c) tidak ada.
60
Titik Singular: Jenis-jenis
Titik singular bisa dibedakan menjadi beberapa yaitu → titik diskontinu → titik sudut → titik dengan garis singgung vertikal
61
Titik Singular: Catatan
Pada titik singular kedua dan ketiga, fungsi f kontinu namun tidak dapat diturunkan
62
Titik Singular: Contoh → f(x) =
1 x
di titik x = 0
→ f(x) = |x| di titik x = 1 → f(x) =
ϕ(x) ψ(x)
di titik pembuat nol ψ(x)
63
Titik Singular: Contoh → f(x) =
1 x
di titik x = 0
→ f(x) = |x| di titik x = 1 → f(x) =
ϕ(x) ψ(x)
di titik pembuat nol ψ(x)
→ f(x) =
ϕ(x) x−a
di x = a
→ f(x) =
ϕ(x) (x−a)(x−b)
→ f(x) =
ϕ(x) x2 −1
di x = a dan x = b
di x = 1 dan x = −1
63
MONOTON
Monoton Misalkan f adalah suatu fungsi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tidak keduanya). → Fungsi f naik di interval I jika untuk x1 dan x2 di I berlaku x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < f(x2 ). → Fungsi f turun di interval I jika untuk x1 dan x2 di I berlaku x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > f(x2 ). → Fungsi f dikatakan monoton jika f naik atau f turun. 65
Teorema Kemonotonan
Misalkan f fungsi kontinu pada interval I dan dapat diturunkan di setiap titik di I. → Jika f′ > 0 untuk x di I, maka f naik di I. → Jika f′ < 0 untuk x di I, maka f turun di I.
66
CONTOH
CONCAVITY
Concavity Misalkan f fungsi yang dapat diturunkan di interval terbuka I. → Fungsi f dikatakan konkaf ke atas jika f′ naik di I. → Fungsi f dikatakan konkaf ke bawah jika f′ turun di I.
69
Concavity Theorem Misalkan f fungsi pada interval I yang dapat diturunkan dua kali di setiap titik di I. → Jika f′′ > 0 untuk setiap x di I, maka f konkaf ke atas di I. → Jika f′′ < 0 untuk setiap x di I, maka f konkaf ke bawah di I.
70
Titik Infleksi Misalkan f kontinu di titik c. Titik (c, f(x)) disebut titik infleksi pada grafik f jika pada satu sisi fungsi f konkaf ke atas dan di sisi lain fungsi f konkaf ke bawah.
71
CONTOH
LATIHAN
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan interval-interval saat f naik dan saat f turun.
74
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan interval-interval saat f konkaf ke atas dan saat f konkaf ke bawah.
75
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan interval-interval saat f: naik, turun, konkaf ke atas, dan saat f konkaf ke bawah.
76
MONOTON CONCAVITY
Teorema Kemonotonan
Misalkan f fungsi kontinu pada interval I dan dapat diturunkan di setiap titik di I. → Jika f′ > 0 untuk x di I, maka f naik di I. → Jika f′ < 0 untuk x di I, maka f turun di I.
78
Concavity Theorem Misalkan f fungsi pada interval I yang dapat diturunkan dua kali di setiap titik di I. → Jika f′′ > 0 untuk setiap x di I, maka f konkaf ke atas di I. → Jika f′′ < 0 untuk setiap x di I, maka f konkaf ke bawah di I.
79
LOCALLY ROOTED GLOBALLY RESPECTED
81
Ekstrim Lokal Misalkan S adalah domain fungsi f yang memuat titik x. → f(c) disebut maksimum lokal jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sehingga f(c) nilai maksimum pada interval tersebut. → f(c) disebut minimum lokal jika terdapat interval (a, b) yang memuat c sehingga f(c) nilai minimum pada interval tersebut. → f(c) disebut ekstrim lokal jika f(c) minimum lokal atau maksimum lokal. 82
83
EKSTRIM LOKAL, KAPAN?
Tes Turunan Pertama Misalkan f kontinu di interval buka (a, b) yang memuat c → Jika f′ (c) > 0 di (a, c) dan f′ (c) < 0 di (c, b), maka f(c) maksimum lokal. → Jika f′ (c) < 0 di (a, c) dan f′ (c) > 0 di (c, b), maka f(c) minimum lokal. → Jika f′ (c) mempunyai tanda yang sama di (a, c) dan (c, b) maka f(c) bukan ekstrim lokal. 85
Tes Turunan Kedua Misalkan f′ dan f′′ selalu ada di interval buka (a, b) yang memuat c. Misalkan f′ (c) = 0 → Jika f′′ (c) < 0 maka f(c) maksimum lokal. → Jika f′′ (c) > 0 maka f(c) minimum lokal.
86
LATIHAN (MINGGU LALU)
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan interval-interval saat f konkaf ke atas dan saat f konkaf ke bawah.
88
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan interval-interval saat f: naik, turun, konkaf ke atas, dan saat f konkaf ke bawah.
89
LATIHAN
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan nilai maksimum dan minimum lokal, maksimum dan minimum global (jika ada).
91
Latihan Pada fungsi-fungsi berikut tentukan nilai maksimum dan minimum lokal, maksimum dan minimum global (jika ada).
92
KUIS
KUIS V
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = Ax2 + Bx + C dengan A > 0. Jelaskan dengan bahasa Anda, mengapa jika B2 − 4AC < 0 maka f(x) > 0.
94
