Logika Matematika Rukmono Budi Utomo 30115301 Pengampu: Prof. Dr. Taufiq Hidayat March 16, 2016
1 Logika Logika berasal dari kata Yunani kuno (logos) yang berarti hasil pertimbangan akal pikiran yang diutarakan lewat kata dan dinyatakan dalam bahasa. Logika merupakan salah satu cabang dalam ilmu filsafat yang merupakan cabang ilmu yang mempelajari filosofi terhadap sesuatu hal. Sebagai ilmu, logika disebut dengan logike episteme atau dalam bahasa Latin(logica scientia) atau ilmu ilmu pengetahuan yang mempelajari kecakapan untuk berpikir secara lurus, tepat, dan teratur. Ilmu di sini mengacu pada kemampuan rasional untuk mengetahui dan kecakapan mengacu pada kesanggupan akal budi untuk mewujudkan pengetahuan ke dalam tindakan. Kata logis yang dipergunakan tersebut bisa juga diartikan dengan masuk akal. Selain sebagai ilmu pengetahuan, logika juga dapat dipandang sebagai cabang filsafat yang praktis. Makna dari Praktis di sini memberi arti bahwa logika dapat dipraktikkan dalam kehidupan sehari-hari. Logika digunakan untuk melakukan pembuktian. Logika mengatakan yang bentuk inferensi yang berlaku dan yang tidak. Secara tradisional, logika dipelajari sebagai cabang filosofi, tetapi juga bisa dianggap sebagai cabang matematika. Logika tidak bisa dihindarkan dalam proses hidup mencari kebenaran. Logika sebagai matematika murni, matematika adalah logika yang tersistimatisasi, matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur menggunakan simbolsimbol matematik (logika simbolik). Logika tersistimatisasi dikenalkan oleh Galenus dan Sextus Empiricus.
2 Asal-Usul Logika Asal-Usul Perkembangan Logika dapat dikelompokkan dalam beberapa masa di bawah ini:
1
• Masa Yunani Kuno Logika dimulai sejak Thales (624 SM - 548 SM), filsuf Yunani pertama yang meninggalkan segala dongeng, takhayul, dan cerita-cerita isapan jempol dan berpaling kepada akal budi untuk memecahkan rahasia alam semesta.Thales mengatakan bahwa air adalah arkhe (Yunani) yang berarti prinsip atau asas utama alam semesta. Saat itu Thales telah mengenalkan logika induktif. Aristoteles kemudian mengenalkan logika sebagai ilmu, yang kemudian disebut logica scientica. Aristoteles mengatakan bahwa Thales menarik kesimpulan bahwa air adalah arkhe alam semesta dengan alasan bahwa air adalah jiwa segala sesuatu. Dalam logika Thales, air adalah arkhe alam semesta, yang menurut Aristoteles disimpulkan dari: *Air adalah jiwa tumbuh-tumbuhan *Air adalah jiwa hewan dan jiwa manusia *Air jugalah uap *Air jugalah es Dengan demikian menurut Thales, air adalah jiwa dari segala sesuatu, yang berarti, air adalah arkhe alam semesta. • Abad pertengahan dan logika modern Pada abad 9 hingga abad 15, buku-buku Aristoteles seperti De Interpretatione, Eisagoge oleh Porphyus dan karya Boethius masih digunakan.Thomas Aquinas 12241274 dan kawan-kawannya berusaha mengadakan sistematisasi logika. Lahirlah logika modern dengan tokoh-tokoh seperti Petrus Hispanus (1210 - 1278), Roger Bacon (1214-1292),Raymundus Lullus (1232 -1315) yang menemukan metode logika baru yang dinamakan Ars Magna, yang merupakan semacam aljabar pengertian, William Ocham (1295 - 1349). Pengembangan dan penggunaan logika Aristoteles secara murni diteruskan oleh Thomas Hobbes (1588 - 1679) dengan karyanya Leviatan dan John Locke (16321704) dalam An Essay Concerning Human Understanding, Francis Bacon (1561 1626) mengembangkan logika induktif yang diperkenalkan dalam bukunya Novum Organum Scientiarum dan J.S. Mills (1806 - 1873) dalam bukunya System of Logic
3 Manfaat Berfikir Dengan Logika Beberapa manfaat atau kegunaan apabila dapat berfikir secara logika antara lain: • Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren. • Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif. • Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri. 2
• Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asasasas sistematis • Apabila sudah mampu berpikir rasional, kritis ,lurus, metodis dan analitis sebagaimana tersebut pada butir pertama maka akan meningkatkan citra diri seseorang
4 Logika Matematika Logika matematika merupakan salah satu cabang logika yang mengandung kajian matematis logika. Secara matematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran. Logika matematika termasuk salah satu ilmu matematika yang banyak diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari seperti kepolisian, pengadilan, jaksa, hakim yang menggunakan logika matematika untuk menganalisis suatu kasus atau permasalahan. Dalam logika matematika akan dibahas bagaimana nilai kebenaran dari suatu pernyataan, ingkaran atau negasi, kesetaraan hingga penarikan kesimpulan yang sah dari beberapa pernyataan atau keadaan.
5 Pernyataan Dalam Matematika Dalam logika matematika, pernyataan-pernyataan kemudian disajikan dalam bentuk simbol. Berikut ini pernyataan-pernyataan yang terdapat dalam logika matematika : • Negasi Negasi atau ingkaran adalah suatu pernyataan yang isinya mengingkari suatu nilai pernyataan. Negasi biasa disimbolkan dengan lambang ∼ yang berarti tidak atau bukan. Jika suatu pernyataan menyatakan sapi adalah hewan berkaki empat maka negasinya adalah sapi bukan hewan berkaki empat. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P B S
∼P S B
Tabel 1: kebenaran Matematika Negasi P : Sapi adalah hewan berkaki empat (B) ∼ P : Sapi bukanlah hewan berkaki empat (S) • Konjungsi Konjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung dan atau disimbolkan dengan ∧. Pernyataan konjungsi hanya akan bernilai benar jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah. Dalam 3
tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P B B S S
Q B S B S
P ∧Q B S S S
Tabel 1: kebenaran Matematika Konjungsi Dalam konjungsi, dua buah pernyataan P dan Q bernilai benar (B) apabila baik pernyataan P dan Q keduanya bernilai benar. Apabila ada salah satu dari P atau Q bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q bernilai salah. Contoh konjungsi dari dua pernyataan yang benar adalah: P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B) Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B) P ∧ Q : Sapi adalah hewan herbivora dan sapi adalah pemakan rumput Untuk contoh konjungsi dua buah pernyataan P dan Q yang tidak benar (Salah) cukup diberikan salah satu atau kedua pernyataan dari P dan Q • Disjungsi Disjungsi merupakan pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung atau yang disimbolkan dengan ∨. Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat di dalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P B B S S
Q B S B S
P ∨Q B B B S
Tabel 2: kebenaran Matematika Disjungsi Dalam disjungsi, dua buah pernyataan P atau Q bernilai salah (S) apabila baik pernyataan P dan Q keduanya bernilai Salah. Apabila ada salah satu dari P atau Q bernilai salah (S), maka konjungsi dari P dan Q tetap bernilai Benar, apalagi 4
baik P dan Q keduanya bernilai Benar, maka konjungsi P dan Q pastilah bernilai benar. Contoh disjungsi dari dua pernyataan yang bernilai benar adalah: Contoh 1. P dan Q benar P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B) Q :Hewan Herbivora adalah pemakan rumput (B) P ∨ Q : Sapi adalah hewan herbivora atau sapi adalah pemakan rumput (B) Contoh 2. Salah satu P atau Q bernilai benar Misal hanya P benar P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B) Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S) P ∨ Q : Sapi adalah hewan Herbivora atau sapi hewan yang dapat terbang (B) Perlu diperhatikan bahwa untuk contoh 1, karena P dan Q keduanya bernilai benar, maka tidak perlu diragukan lagi bahwa konjungsi P dan Q tentulah bernilai benar. Untuk contoh 2, meskipun pernyataan Q bernilai salah, sedangkan P adalah pernyataan yang benar, tetap saja konjungsi P dan Q dalam contoh ini tetap bernilai benar, hal ini dikarenakan sifat atau yang memberikan beberapa pilihan kebenaran atas beberapa pernyataan. Apabila ada salah satu dari pilihan dalam pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai benar, maka tentu saja disjungsi dari pernyataan-pernyataan yang diberikan adalah benar. Apabila pilihan dari pernyataan-pernyataan yang diberikan semuanya salah, tentu saja tidak mungkin menghasilkan disjungsi yang benar, untuk itu dua buah pernyataan P dan Q yang salah tentu saja menghasilkan disjungsi yang salah. • Implikasi Implikasi adalah pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung makayang disimbolkan dengan →. Misal P → Q dibaca Jika P maka Q. Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut
P B B S S
Q B S B S
P →Q B S B B
Tabel 3: kebenaran Matematika Implikasi
5
Dalam implikasi, dua buah pernyataan Jika P maka Q bernilai salah (S) apabila Pernyataan pertama (P ) (anteseden) bernilai benar dan pernyataan kedua (Q) (konsekuen) bernilai salah. Selain dari kondisi di atas, maka implikasi dari P maka Q bernilai benar. Contoh implikasi dari dua pernyataan yang bernilai salah adalah: Contoh1 P :Sapi adalah Hewan Herbivora(B) Q :Hewan Sapi Hewan yang dapat terbang (S) P ∨ Q : Jika Sapi adalah hewan Herbivora maka sapi hewan yang dapat terbang (B) Implikasi dari dua buah pernyataan di atas benilai salah, karena anteseden (P ) bernilai benar, konsekuen(Q) bernilai salah yang tentu saja menghasilkan pernyataan implikasi yang salah. Berdeda dengan kebalikannya, apabila anteseden bernilai salah, namun konsekuen bernilai benar, maka menghasilkan implikasi yang benar. Hal demikian dapat terjadi karena terlepas apapun nilai kebenaran dari anteseden apabila menghasilkan konsekuen yang benar, maka implikasinya adalah benar. Contoh 2 P :Sapi adalah Hewaninvertebrata(B) Q :Sapi adalah Hewan pemakan rumput (S) P ∨ Q : Jika Sapi adalah hewan invertebrata maka sapi adalah hewan pemakan rumput (B) Selanjutnya untuk kondisi yang lain, dengan penalaran yang baik, kita akan dapat menerima bahwa meski pernyataan P dan Q salah, implikasinya benar. • Biimplikasi Biimplikasi merupakan bentuk kompleks dari implikasi yang berarti jika dan hanya jika dan disimbolkan dengan ↔ . P ↔ Q dibaca P jika dan hanya jika Q.Dalam tabel kebenaran matematika, negasi dapat disajikan sebagai berikut P B B S S
Q B S B S
P ↔Q B S S B
Dalam biimplikasi, dua buah pernyataan P jika dan hanya jika Q bernilai salah (S) apabila ada salah satu dari pernyataan-pernyataan tersebut yang bernilai salah, hal demikian dapat kita terima dalam logika. Apabila baik P dan Q keduanya bernilai benar maka biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut tentulah bernilai benar dan ini pun dapat kita terima secara logika, namun yang menjadi perhatian adalah apabila baik P dan Q keduanya bernilai salah justru nilai biimpikasinya benar. Bagimana penjelasannya?.
6
Hakikat biimpikasi dari P jika dan hanya jika Q sejatinya adalah merupakan gabungan dua implikasi yakni Jika P maka Q dan Jika Q maka P . Menurut impikasi jika kedua pernyataan salah, maka nilai implikasinya benar, dan menurut konjungsi dua pernyataan yang benar adalah benar, denan demikian jelaslah alasan mengapa dua pernyataan salah P dan Q, maka biimplikasinya adalah benar.
6 Ekuivalensi Dalam Logika Matematika Dalam Logika Matematika antara satu pernyataan dengan pernyataan lain dapat memiliki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini disebut sebagai nilai kesetaraan atau ekuivalensi yang merupakan pernyataan-pernyataan bernilai sama atau bermakna sama. Kesetaraan atauekuivalensi dilambangkan dengan ≡. Beberapa pernyataan dalam logika matematika yang sama atau saling ekuivalensi antara lan adalah: • ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q • ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q • P →Q≡∼Q→∼P • ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) • ∼ (P ↔ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P ) Pembuktian kesamaan atau ekuivalensi di atas dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran matematika P B B S S
Q B S B S
∼P S S B B
∼P ∧∼Q S S S B
∼Q S B S B
P ∧Q B S S S
∼Q→∼P B S B B
P ∨Q B B B S
∼ (P ∧ Q) S B B B
∼ (P ∨ Q) S S S B
P ∧∼Q S B S S
∼ (P → Q) S B S S
∼ (P ↔ Q) S B B S
P →Q B S B B
P ↔Q B S S B
∼P ∨∼Q S B B B
(P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P ) S B B S
Dalam tabel kebenaran logika matematika di atas, terbukti sifat kesamaan atau ekuivalensi yang beberapa pernyataan matematika yakni ∼ (P ∧ Q) ≡∼ P ∨ ∼ Q, ∼ (P ∨ Q) ≡∼ P ∧ ∼ Q, P → Q ≡ ∼ Q → ∼ P , ∼ (P → Q) ≡ (P ∧ ∼ Q), dan ∼ (P ↔ Q) ≡ (P ∧ ∼ Q) ∨ (Q ∧ ∼ P )
7
7 Penarikan Kesimpulan Dalam Logika matematika terdapat beberapa cara untuk menarik kesimpulan dari premispremis yang diketahui. Macam cara penarikan kesimpulan tersebut antara lain: • Modus Ponen Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 ) adalah P , maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan Q, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut P1 : P → Q P2 : P KesimpulanQ Contoh P1 : Jika hari libur tiba, maka Rani akan berlibur ke Bandung P2 : Hari libur tiba Kesimpulan: Rani akan berlibur ke Bandung • Modus Tollen Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 ) adalah ∼ Q, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan ∼ P , atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut P1 : P → Q P2 :∼ Q Kesimpulan∼ P Contoh P1 : Jika hari ini hujan, maka Rani tidak berlibur ke Bandung P2 : Rani berlibur ke Bandung Kesimpulan: Hari ini tidak hujan • Silogisme Jika diketahui Premis pertama (P1 ) adalah jika P maka Q dan premis kedua (P2 ) adalah jika Q maka R, maka dengan modus ponen menghasilkan kesimpulan jika P maka R, atau secara matematis dapat disajikan sebagai berikut P1 : P → Q P2 : Q → R KesimpulanP → R Contoh P1 : Jika hari ini tidak hujan hujan, maka Rani berlibur ke Bandung P2 : Jika Rani berlibur ke Bandung, maka ia akan mengunjungi Gedung Sate Kesimpulan: Jika Hari ini tidak Hujan, maka Rani akan mengunjungi Gedung Sate
8 Referensi • https://id.wikipedia.org/wiki/Logika dikutip 16 maret 2015 pukul 11.15 wib 8
• http://wahid-hambali.blogspot.co.id/2013/04/sejarah-perkembangan-logika-pengantar.html dikutip 16 maret 2015 pukul 11.20 wib • http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/11/rumus-logika-matematika.html dikutip 16 maret 2015 pukul 11.40 wib
9
