SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2003
Bidang Matematika
Waktu : 90 Menit
DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH UMUM TAHUN 2002
1
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2002
Bagian Pertama 1. Bilangan
24
8
48
2
sama dengan
A. ¼
B. ½
C. 1
D. 2
E. 8
2. Bando selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Andi : “Paling tidak salah satu diantara kita tidak pernah berbohong.” Dari informasi ini kita merasa pasti bahwa A. Andi selalu berbohong D. Andi sesekali berkata benar B. Andi sesekali berbohong E. Andi tidak pernah berkata apa pun C. Andi selalu berkata benar 3. Bilangan n terbesar sehingga 8n membagi 4444 adalah B. 22 A. 8 C. 29 D. 44 4. Pernyataan manakah yang benar ? A. Jika x < 0 maka x2 > x C. Jika x2 > x maka x > 0 2 B. Jika x > 0 maka x > 0 D. Jika x2 > x maka x < 0 5. Misalkan x n sama dengan 1
n
E. 88 E. Jika x < 1 maka x2 < x
untuk setiap bilangan real x. Maka a3
a
3
sama dengan
x
A. a
1 a
a2
1 a
a
a2
B.
1 a2 1 1 a2
1
C. a
1 a
a2
2
1 a
a
1 a2
1 a2
D.
1 a2
E. bukan diantara A, B, C dan D
6. Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6 7. Jika untuk setiap x, y bilangan real berlaku x$y = xy A. x2 y2 + 2x C. x2 y2 + 2y 2 2 B. x y 2x D. x2 y2 2y
x + y maka (x + y)$(x E. x2 y2
8. Berapa banyak pasang bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2
1 a
1 b
y) sama dengan
1 ? 6
E. 5
9. Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y = x2 + a tepat di satu titik? A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 E. 11 10. Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara tahun A. 2500 dan 2700 C. 2901 dan 3100 E. 9901 dan 9999 B. 2701 dan 2900 D. 3101 dan 9900
2
Bagian Kedua 11. Pada suatu segitiga ABC, sudut C tiga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC ? 12. Bando dan Bandi ingin mengecat pagar, Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam 4 jam. Pada pukul 12:00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu ketika mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menit dan dalam masa itu tidak satupun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut Bandi pergi dan Bando meyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14:25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai ? 13. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 22002 52003 ? 14. Berapa banyak bilangan positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x8 + y8 untuk suatu bilangan bulat x > 0 dan y > 0 ? 15. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap subhimpunan dari {1, 2, 3, beranggotakan n unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya 8.
, 20} yang
16. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan AD memotong BC di titik P diantara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD = 12, berapa jauh P dari garis CD ? 17. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga
a b Tentukan nilai
a b
10b 10a
2
a . b
18. Bilangan bulat positif p 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat : satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.
3
19. Misalkan
a
12 1
22 3
32 5
10012 2001
b
12 3
22 5
32 7
10012 2003
dan
Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a
b.
20. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali 2 2 mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut ?
4
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA 2002 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2003
Prestasi itu diraih bukan didapat !!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika
Disusun oleh : Eddy Hermanto, ST
5
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002 BAGIAN PERTAMA 1. (Jawaban : C)
24
8
2 32
2 32
48
2
416
2 32
1
2. (Jawaban : B) Ingkaran dari : paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong adalah : Kedua-duanya pernah berbohong 3. (Jawaban : C) 4444 = 444 1144 = 1622 1144 = 822 222 1144 = 822 (23)7 2 1144 = 829 2 1144 Karena 8 tidak membagi (2 1144) , maka : nmaks = 29 4. (Jawaban : A) Dasar teori : Jika x<0 maka x2 > x Jika 0 < x < 1 maka x2 < x Jika x>1 maka x2 > x A. Benar B. Salah karena jika x2 > 0 dimungkinkan x < 0 atau x > 0 C. Salah. Karena x2 > x maka x (x 1) > 0 sehingga x < 0 atau x > 1 D. Salah karena jika x2 > x dimungkinkan x < 0 atau x > 1 E. Salah karena untuk x < 0 maka x2 > x Pernyataan yang benar adalah : jika x < 0 maka x2 > x 5. (Jawaban : A) (a3 b3) = (a b)(a2 +ab + b2) a3
a
3
a3
a
3
a3
a
a3
1 a
a
1 a
3
a
3
a2
1 a
a
1 a
a2
1 a
1
2
1 a2
6. (Jawaban : D) Kecepatan makan untuk 1 ekor kambing, vk = 1 lap. bola/ 5 hari / 5 kambing. Vk = 1/5 lap bola/hari/kambing Banyaknya rumput yang dimakan, nr dirumuskan dengan : SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 6
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002 Nr = vk nhari nkambing 3 = 1/5 nhari 3 nhari = 5 hari 7. (Jawaban : D) (x + y) $ (x y) = (x + y) (x y) (x + y) + (x y) (x + y) $ (x y) = x2 y2 2y 8. (Jawaban : ?) Karena b > 0 maka Karena a a
1 a
6b
1 b 6
b 6
1 6
1 sehingga a > 6 6 a b 1 maka ab 6
(1)
36 6
36 b
1 a
(2) 6
Karena a > 6 maka (b 6) > 0 (3) Karena a bilangan bulat maka (b 6) adalah faktor dari 36 dan karena (b 6) > 0 maka nilai (b 6) yang memenuhi adalah 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18 atau 36. Untuk b 6 = 1 b 6=2 b 6=3 b 6=4 b 6=6 b=7 b=8 b=9 b = 10 b = 12 a = 42 a = 24 a = 18 a = 15 a = 12 b 6=9 b 6 = 12 b 6 = 18 b 6 = 36 b = 15 b = 18 b = 24 b = 42 a = 10 a=9 a=8 a=7 Pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi adalah : { (7,42) ; (8,24) ; (9,18) ; (10,15) ; (12,12) ; (15,10) ; (18,9) ; (24,8) ; (42,7) } Maka banyaknya pasangan (a, b) yang memenuhi adalah 9 9. (Jawaban : C) Karena 6x = x2 + a maka x2 6x + a = 0 Disk = 62 4(1)(a) = 36 4a Syarat agar y = 6x memotong parabola y = x2 + a di satu titik adalah Disk = 0 36 4a = 0 a=9 10. (Jawaban : B) Misal bilangan selanjutnya adalah ABCD, maka A = 2 karena 1 + 9 + 9 + 9 27. B + C + D = 25 Karena diinginkan B sekecil-kecilnya, maka (C + D) harus sebesar-besarnya dan karena B 9; C 9 dan D 9 maka (C + D)maks = 18 sehingga Bmin = 25 18 = 7. Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 adalah 2799 Maka tahun berikutnya yang digitnya berjumlah 27 terjadi di antara tahun 2701 dan 2900 SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 7
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002 BAGIAN KEDUA 11. C = 3 A dan B = 2 A Karena A + B + C = 180o maka C = 3 A = 90o
AB sin C AB BC
A + 2 A + 3 A = 180o sehingga
A = 30o
BC sin A sin 90 2 sin 30
12. Misal kecepatan Bando mengecat vo = 1 pagar / 3 jam = 1/3 pagar/jam Kecepatan Bandi mengecat vi = 1 pagar / 4 jam = 1/4 pagar/jam t1 adalah lamanya waktu Bando dan Bandi mengecat bersama (dalam jam) Maka banyaknya pagar yang dicat oleh mereka np1 adalah : np1 = vo t1 + v1 t1
1 t1 3
n p1
1 t1 4
7 t1 12
t2 adalah lamanya waktu Bando mengecat pagar sendirian setelah pertengkaran (dalam jam) np2 = vo t2
1 t2 3
np2
Karena ttotal adalah waktu dari 12.00 sampai 14.25 maka ttotal = Lama pertengkaran 10 menit atau
29 jam 12
1 jam 6
ttotal = t1 + lama pertengkaran + t2
29 12 t1 n p1
t1 t2 np2
1 t2 6 9 . Maka t 2 4 1
7 t1 12
9 4
t1
1 t2 3
7 1 9 t1 t1 12 3 4 12 = 7t1 + 9 4t1 sehingga t1 = 1 jam Maka pertengkaran dimulai 1 jam setelah pukul 12.00 Pertengkaran dimulai pukul 13.00 1
13. N = 22002 52003 = 5 (2 5)2002 = 5 102002 N = 500000 ( Sebuah bilangan yang terdiri dari 2003 digit dengan digit pertama 5 diikuti digit 0 sebanyak 2002 kali) Jumlah digit N = 5 + 0 + 0 + 0 + = 5 SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 8
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002 14. Misal P = x8 + y8 ; maka P < 104 Karena x8 > 0 dan y8 > 0 maka
x8 < 104 dan y8 < 104 2 x < 10 dan y2 < 10 Maka x = 1; 2; atau 3 dan y = 1; 2; atau 3 Untuk x = 1 dan y = 1 maka P = 18 + 18 = 2 < 10000 (memenuhi) Untuk x = 1 dan y = 2 atau x = 2 dan y = 1 maka P = 18 + 28 = 257 < 10000 (memenuhi) Untuk x = 1 dan y = 3 atau x = 3 dan y = 1 maka P = 18 + 38 = 6562 < 10000 (memenuhi) Untuk x = 2 dan y = 2 maka P = 28 + 28 = 512 < 10000 (memenuhi) Untuk x = 2 dan y = 3 atau x = 3 dan y = 2 maka P = 28 + 38 = 6817 < 10000 (memenuhi) Untuk x = 3 dan y = 3 maka P = 38 + 38 = 13122 > 10000 (tidak memenuhi) Maka nilai P yang memenuhi adalah 2; 257; 6562; 512; 6817 Banyaknya nilai yang berbentuk x8 + y8 dengan x, y bilangan bulat adalah 5
15. Misal a
b = 8. Kemungkinan 2 nilai yang berselisih 8 adalah : 20 12 18 10 16 8 14 6 12 4 10 2 19 11 17 9 15 7 13 5 11 3 9 1 Bilangan 9; 10; 11; 12 berperan 2 baik sebagai a maupun b. Jika kedelapan bilangan berikut : a. 9 c. 11 e. 5 atau 13 g. 7 atau 15 b. 10 d. 12 f. 6 atau 14 h. 8 atau 16 tidak termasuk dalam nunsur, maka tidak akan ada 2 unsur dari nunsur yang berselisih 8. Maka untuk n = 20 8, masih dimungkinkan tidak ada 2 unsur dari nunsur yang berselisih 8. nminimal = 13
16. Dibuat garis EF tegak lurus AB maupun CD serta melalui titik P.
Karena
EP PF PF
CPD =
APB dan AB sejajar dengan CD, maka APB sebangun dengan CPD.
12 CD 4 AB 1 EP 3
3 (1)
EP + PF = 4
EP
1 EP 3
4
EP = 3 satuan SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 9
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002
a 17. Karena b Misal
a b
a b
10b 10a
x , maka
a b
2 maka a b x 10 1 10x
10
1 10
a b
2
x
2
x + 10 = 2 10x2 + 19x (5x 4) (x 1) = 0
4 5
x = 1 atau x Karena a
b, maka x
1 maka
a b
4 5
18. 1 < p < 100 Dari pernyataan selanjutnya, maka : p = 1 + 5x dengan x adalah bilangan bulat. Karena 1 < 1 + 5x < 100 maka 0 < 5x < 99 0 < x < 20 (1) p = 6y 1 dengan y adalah bilangan bulat. Karena 1 < 6y 1 < 100 maka 2 < 6y < 101 0 < y < 17 (2) 1 + 5x = 6y 1 5x = 2(3y 1) (3) 3y 1 = 5t dan x = 2t dengan t adalah bilangan bulat
t
3y
1
(4)
5
Karena t adalah bilangan bulat, maka 5 membagi (3y 1) sehingga (3y 1) adalah bilangan dengan angka satuan 0 atau 5. Maka y harus suatu bilangan dengan angka satuan 2 atau 7. Karena 0 < y < 17, maka y = 2 atau 7 atau 12. Jika y = 2 maka p = 6(2) 1 = 11 (bilangan pima) Jika y = 7 maka p = 6(7) 1 = 41 (bilangan pima) Jika y = 12 maka p = 6(12) 1 = 71 (bilangan pima) Maka jumlah seluruh bilangan prima = 11 + 41 + 71 = 123
19. a
b
12 1
22 3
12 3
32 5
Mengingat (x2
y2) = (x + y) (x
a
b
1 (1)
(1)
a
b
1001 1
(1)
22 5
42 7
32 7
10012 2001
1000 2 2001
10012 2003
y), maka persamaan di atas menjadi :
(1)
10012 2003
10012 2003
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 10
Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 2002 a
b
a
b
a
b a
1001 2003 1001 2003 1001 1002 2003 1002 dengan mengingat 2003 2 b
2 1001
501
20.
Dari soal diketahui bahwa DE = 8 dan EF = 2 2 OA = OB = 2
OC cos
1 EF 2 OC OA
AOB = 90o
1 2 2 2 2 . Maka 2
Luas juring OAB =
90 360
= 45o
r
2
1 4
22
=
1 2 2 sin 90 2
= 2
Luas tembereng AB = Luas juring OAB Luas OAB = Luas arsir = Luas lingkaran 2 Luas tembereng AB Luas arsir = (r)2 2 ( 2) Luas arsir = 4 2 +4 Luas arsir = 2 + 4
2
Luas OAB =
1 OA OB 2
2
sin
AOB
SMA Negeri 5 Bengkulu
Eddy Hermanto, ST 11
