1
Kenapa Data Harus Diringkas? Agar data berguna, pengamatan yang
diperoleh harus disusun dalam bentuk yang lebih terorganisir. Peringkasan data akan memudahkan pengambilan kesimpulan Peringkasan data dapat menggunakan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran data 2
Ukuran Pemusatan Ukuran
pemusatan merupakan nilai tengah dari sebuah distribusi data Ukuran pemusatan sering juga disebut sebagai ukuran lokasi pusat 3
Perbandingan Ukuran Pemusatan Kurva A
Kurva B
Kurva C
4
Rata-rata Aritmetika Perhitungan rata-rata yang paling umum digunakan adalah
rata-rata aritmetika Rata-rata aritmetika merupakan penjumlahan semua nilai pengamatan dibagi secara langsung dengan jumlah pengamatannya Umumnya perhitungan dilakukan dari sampel, dan bukan dari populasi. Sehingga hasil perhitungan merupakan statistik. Bila rata-rata aritmetika dihitung dari sampel, disimbolkan sebagai x-bar Bila dihitung dari populasi, disimbolkan sebagai μ (dibaca: myu) 5
Formula Perhitungan Rata-rata Aritmatika Dari data yang tidak dikelompokkan :
X-bar = ∑ xi / n Dari data yang dikelompokkan : Formula
Di mana :
( f .x ) x n
x – bar = rata-rata sampel ∑ = jumlah dari… f = frekuensi dari tiap kelas interval x = nilai tengah tiap kelas interval n = jumlah observasi dalam sampel 6
Contoh Perhitungan Rata-rata Aritmetika dari Data Tidak Terkelompok Dari 10 buah generator, diamati jumlah hari di mana
generator tersebut harus diperbaiki. Data terdapat dalam tabel di bawah. Hitunglah rata-rata aritmetikanya. Generator
1
3
4
5
Jumlah hari perbaikan
7 23 4
8
2 12 6 13 9
x-bar
2
6
7
8
9 10 4
= (7+23+4+8+2+12+6+13+9+4)/10 = 8,8 7
Perhitungan Rata-rata Aritmatika dari Data Terkelompok Rata-rata aritmatika dari data yang dikelompokkan :
Kelas 1,5 - 1,9 2,0 - 2,4 2,5 - 2,9 3,0 - 3,4 3,5 - 3,9 4,0 - 4,4 4,5 - 4,9
Frekuensi Nilai Tengah (f) (X) 2 1,7 1 2,2 4 2,7 15 3,2 10 3,7 5 4,2 3 4,7 40
x-bar = 136,5/40 = 3,4125 8
f.X 3,4 2,2 10,8 48 37 21 14,1 136,5
Kelebihan dan Kelemahan Ratarata Aritmatika Kelebihan : Perhitungannya familiar dan jelas Setiap set data hanya memiliki satu buah nilai rata-rata Dapat digunakan untuk membandingkan beberapa buah set data Kelemahan : Dipengaruhi oleh nilai ekstrim Tidak dapat dioperasikan, bila terdapat open-ended class group 9
Modus Modus adalah nilai observasi yang memiliki frekuensi terbesar atau nilai observasi yang paling sering muncul dalam sebuah data set Terdapat resiko menggunakan ukuran modus dari data tidak terkelompok, terutama bila dalam distribusi data diketahui bahwa rata-rata hitungnya bernilai jauh di bawah modusnya Hal ini menimbulkan pertanyaan, apakah benar nilai modus mencerminkan ukuran pemusatan distribusi data tersebut? 10
Modus dari Data Tidak Terkelompok a.Buat data array b.Tentukan Mo dari frekuensi data terbanyak Observasi
0
2
5
7
15
0
2
5
7
15
1
4
6
8
15
1
4
6
12
19
Modus
11
Modus dari Data Terkelompok a. Tentukan Kelas Modus b. Hitung Mo = Lmo + [ d1 / (d1 + d2) ] w Lmo = Batas bawah kelas yg mengandung modus w
= interval kelas
d1
= selisih frek kelas modus dgn frek kelas sebelumnya
d2
= selisih frek kelas modus dgn kelas sesudahnya
12
Perhitungan Modus dari Data Terkelompok (1) Kelas Interval
Frekuensi Kumulatif
Frekuensi
0.00 - 49.99
78
78
50.00 - 99.99
123
201
100.00 - 149.99
187
388
150.00 - 199.99
82
470
200.00 - 249.99
51
521
250.00 - 299.99
47
568
300.00 - 349.99
13
581
350.00 - 399.99
9
590
400.00 - 449.99
6
596
450.00 - 499.99
4
600
Jumlah Observasi
600 13
Perhitungan Modus dari Data Terkelompok (2) Diketahui :
𝐿𝑀𝑂 =99,95 d1= 187 – 123 = 64 d2= 187 – 82 = 105 w = 50
Perhitungan Modus:
d1 w Mo LMO d1 d 2 64 Mo 99,95 50 64 105 Mo 99,95 (0.38)(50) Mo 99,95 19 Mo 118,95 14
Multimodal Distributions Sebuah
distribusi data dimungkinkan memiliki lebih dari satu modus, yaitu bila terdapat lebih dari satu buah pengamatan yang muncul dalam frekuensi yang sama Bimodal adalah distribusi data yang memiliki dua buah nilai modus Frekuensi modus dalam bimodal dapat sama atau tidak sama 15
Kelebihan dan Kelemahan Modus Kelebihan : Dapat digunakan untuk data kualitatif Tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrim Dapat diaplikasikan untuk data yang memiliki open ended class group Kelemahan : Bila terdapat lebih dari 1 modus Bila tidak terdapat pengamatan muncul lebih dari 1 kali
yang 16
Median Median
merupakan sebuah nilai tunggal dari sebuah data set yang mengukur titik tengah data setelah data dibuat dalam bentuk array Separuh pengamatan terletak sebelum titik tengah, dan separuh sisanya terletak sesudah titik tengah 17
Median Data Tidak Terkelompok Tentukan posisi median terlebih dahulu Posisi median terletak pada : (n+1)/2 dari seluruh urutan data Nilai median adalah nilai pengamatan pada posisi
median Bila jumlah pengamatan genap, maka nilai median merupakan pembagian dari dua pengamatan di titik tengah tersebut dibagi dua.
18
Median dari Data Tidak Terkelompok Item data dalam data array Nilai observasi
Item data dalam data array Nilai observasi
1
2
3
4
5
6
7
4.2
4.3
4.7
4.8
5.0
5.1
9.0
1
2
3
4
5
6
7
8
86
52
49
43
35
31
30
11
Median = (43+35)/2 = 39
19
Median Data Terkelompok Langkah perhitungan median untuk
data terkelompok :
Tentukan posisi median Buat frekuensi kumulatifnya
untuk median
menentukan kelas di mana terdapat Tentukan besarnya interval kelas Hitung median dengan menggunakan formula median 20
Formulasi Median Data Terkelompok n / 2 F ~ w L m m f m m n F fm w Lm
= median sampel = total observasi (jumlah item) = jumlah frekuensi tiap kelas sampai dengan kelas sebelum median (kelas median tidak termasuk) = Frekuensi kelas median = lebar interval kelas = Batas bawah dari kelas yang mengandung median 21
Perhitungan Median Data Terkelompok (1) Kelas Interval
Frekuensi Kumulatif
Frekuensi
0.00 - 49.99
78
78
50.00 - 99.99
123
201
100.00 - 149.99
187
388
150.00 - 199.99
82
470
200.00 - 249.99
51
521
250.00 - 299.99
47
568
300.00 - 349.99
13
581
350.00 - 399.99
9
590
400.00 - 449.99
6
596
450.00 - 499.99
4
600
Jumlah Observasi
600 22
Perhitungan Median Data Terkelompok (2) 600 / 2 201 ~ m 50 99,95 187 99 ~ m 50 99 , 95 187 ~ m (0,529)(50) 99,95 ~ 126.42 m 23
Kelebihan dan Kelemahan Median Kelebihan : Nilai ekstrim tidak berpengaruh terhadap perhitungan Mudah dimengerti dan mudah pula untuk dihitung Dapat diaplikasikan meskipun terdapat open-ended class group (kecuali
bila median terdapat dalam kelas tersebut) Dapat diterapkan pada data kualitatif Kelemahan : Karena median merupakan titik tengah data array, maka distribusi data
harus diurutkan terlebih dahulu. Akan menyulitkan bila melakukan hal ini untuk data yang besar, tanpa bantuan komputer Untuk mengestimasi pemusatan data, penggunaan rata-rata hitung akan lebih mudah diaplikasikan dibandingkan dengan median 24
Pilihan Penggunaan Ukuran Pemusatan Bila distribusi data simetris gunakan rata-rata hitung Bila data menggunakan timbangan tertentu gunakan rata-rata tertimbang
Bila distribusi data memiliki skewness positif atau negatif gunakan median Bila terdapat banyak modus jangan gunakan ukuran ini 25
Kuartil Membagi sederatan data 9yang sudah dikelompokkan)
terurut menjadi empat bagian yang sama. Kelas kuartil Q1 = n/4 → kuartil pertama Q2 = 2n/4 = n/2 = Me → kuartil kedua Q3 = 3n/4 → kuartil ketiga Nilai kuartil
Bq = tepi batas kelas bawah pada kelas kuartil P = interval kelas f kq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
fq = frekuensi pada kelas kuartil n = ukuran/jumlah sampel
Contoh Soal Hasil Produksi
fi
30 – 34
2
35 - 39
8
40 - 44
20
45 - 49
10
50 - 54
4
Jumlah
44
Nilai Kuartil
Penentuan kelas Q1 = n/4 = 44/4 = 11 Q2 = n/2 = 44/2 = 22 Q3 = 3n/4 = 3(44)/4 = 33
Q2 = Me = 42,5
Desil Membagi deretan data menjadi 10 bagian yang sama. Rumus desil
Desil ke 1 = n/10 Desil ke 2 = 2n/10 Desil ke 3 = 3n/10 Desil ke 4 = 4n/10 Desil ke 5 = 5n/10 → Median Desil ke 6 = 6n/10 Desil ke 7 = 7n/10 Desil ke 8 = 8n/10 Desil ke 9 = 9n/10
Dimana: Di = D1, D2, …., D9 Bd = Tepi batas kelas bawah kelas desil P = Interval kelas f kd = Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil fd = frekuensi kelas desil n = jumlah sampel
Contoh Soal Hasil Produksi
fi
30 – 34
2
35 - 39
8
40 - 44
20
45 - 49
10
50 - 54
4
Jumlah
44
Nilai desil ke 7 adalah ……
Titik desil ke 7 = 7n/10 = 7(44)/10 = 30,8
Persentil Membagi deretan data menjadi 100 bagian yang sama. Rumus persentil
Persentil ke 1 = n/100 Persentil ke 2 = 2n/100 Persentil ke 3 = 3n/100 ………… Persentil ke 99 = 99n/100
Dimana: Pi = P1, P2, …., P99 Bp = Tepi batas kelas bawah kelas persentil P = Interval kelas f kp = Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil fp = frekuensi kelas persentil n = jumlah sampel
Contoh Soal Hasil Produksi
fi
30 – 34 35 - 39
2 8
40 - 44 45 - 49 50 - 54
20 10 4
Jumlah
44
Nilai persentil ke 1 & 99 adalah ……
Titik persentil ke 1 = n/100 = 44/100 = 0,44
Titik persentil ke 99 = 99n/100 =99(44)/100 = 43,56
Kasus Di bawah ini terdapat kelompok data umur
penduduk sebuah kota dan frekuensinya untuk tiap kelas. Berdasarkan data tersebut, hitunglah : Modus Median Rata-rata Hitung 33
Kasus - Lanjutan Kelompok Umur 47.0 – 51.9 52.0 – 56.9 57.0 – 61.9 62.0 – 66.9 67.0 – 71.9 72.0 – 76.9 77.0 – 81.9
Frekuensi 4 9 13 42 39 20 9 34
