Barsi Árpád:
Integrált és mobil térképezés (BMEEOFTML10)
Elektronikus segédlet az MSc-képzéshez
Budapest, 2011
1
Bevezetés................................................................................................................................................. 4 Általános bevezetés............................................................................................................................. 4 Első vízió a mobil térképezésről .......................................................................................................... 5 Statisztika és kiegyenlítő számítások felfrissítése ................................................................................... 7 Statisztikai ismétlés ............................................................................................................................. 7 Kiegyenlítő számítások ismétlés .......................................................................................................... 8 További alapfogalmak ....................................................................................................................... 10 Méréstechnikai alapok .......................................................................................................................... 13 Analóg jel, digitális jel, átalakítások (ADC, DAC), mintavételezés ..................................................... 13 Az idő, az idő szerepe és időmérés.................................................................................................... 15 Elektronikai megoldások ................................................................................................................... 16 A Kalman-szűrő és alkalmazása a navigációs feladatokban .................................................................. 17 Bevezetés, a rendszer általában ........................................................................................................ 17 A Kalman-szűrő.................................................................................................................................. 19 Az optimális Kalman-tényező levezetése .......................................................................................... 21 Első navigációs példa ......................................................................................................................... 21 A kovariancia mátrix és a Kalman-tényező változása a frissítés alatt ............................................... 23 A rendszer megfigyelhetősége .......................................................................................................... 24 Második navigációs példa.................................................................................................................. 25 Időfüggő Kalman-szűrő...................................................................................................................... 29 Harmadik navigációs példa................................................................................................................ 30 Különböző mérések egyesítése Kalman-szűrővel ............................................................................. 30 A kiterjesztett Kalman-szűrő ............................................................................................................. 32 Negyedik navigációs példa ................................................................................................................ 33 A Kalman-szűrés kitekintése.............................................................................................................. 38 Koordináták, koordinátarendszerek, koordináta transzformációk ....................................................... 39 Koordináták, koordinátarendszerek .................................................................................................. 39 Tengelyelnevezési konvenciók .......................................................................................................... 40 Koordináta transzformációk .............................................................................................................. 40 Eltolás ............................................................................................................................................ 41 Forgatás ......................................................................................................................................... 41 Rendszerkomponensek ......................................................................................................................... 46 Áttekintés .......................................................................................................................................... 46 A helymeghatározó komponens ....................................................................................................... 46 2
A képalkotó komponens .................................................................................................................... 48 A lézeres komponens ........................................................................................................................ 51 Az egyéb szenzoros komponensek .................................................................................................... 53 Felhasznált irodalom ............................................................................................................................. 54
3
Bevezetés Általános bevezetés A modern felmérések idejében a mobil és integrált térképező rendszerek alkotják a legfontosabb mérési eszköztárat. Ahhoz, hogy megismerhessük ezeket a megoldásokat, néhány alapvető fogalmat célszerű tisztázni. Elsőként vegyük a mobil térképezést nagyító alá. A kifejezés két részből tevődik össze: mobil és térképezés. A második komponens, a térképezés magába foglal minden mérési megoldást, adatgyűjtési algoritmust, eszközhasználatot és számítást, amelynek eredményeként a napjainkban használt térinformatikai rendszerek adatbázisát lehet részben vagy teljes egészében feltölteni. Természetszerűleg ezekkel a térképező rendszerekkel lehetséges a hagyományos szóhasználatban megszokott grafikus térképeket is létrehozni. Jelen tananyagban a térképezés szó alatt tehát a geodéziában, fotogrammetriában, távérzékelésben és más tanult szakterületről származó eljárásokat értjük, persze ki fogjuk egészíteni új módszerekkel is. A mobil szó mozgót jelent, vagyis a szóösszetételben szereplő felmérő rendszer mozgását hangsúlyozza. A felmérő rendszer tehát a mérés végrehajtásakor mozgásban van; mondhatnánk úgy is, hogy a mozgása ellenére is képes mérést végezni. A mozgás persze a mobil térképezésben kifejezetten előny, hiszen a megoldás lényege éppen az, hogy a helyhez kötött mérőeszközhöz képest jóval nagyobb területre terjedhet ki hatósugara. Az integrált kifejezés pedig azt jelenti, hogy a mérőrendszer több komponensből, sőt akár több mérőkomponensből áll. A mérőrendszer így többféle szenzor mérését gyűjti és dolgozza fel, ezáltal nagyobb pontosságot, többféle attribútumot képes a terepről rögzíteni. Vonatkozhat az integráció a helymeghatározásra, de a szakadatok gyűjtésére is. Természetszerűen az integráció összetettebb és bonyolultabb modellt, így matematikai hátteret igényel. Az integráció kapcsán másik idegen szóval a fúziót is szokás említeni, ez az egyesítésnek a szinonímája. A mozgásban üzemelő rendszer következménye, hogy a mozgó mérőegyüttes helyét és helyzetét ismerni kell, azaz külön megfigyeléseket kell végezni a mozgás leírásához. Emiatt fontos sajátosság minden mobil térképező rendszerben, hogy helymeghatározó komponenssel rendelkezik, amelynek feladata a mozgó műszerek méréskor elfoglalt térbeli helyének és tájolásának, helyzetének meghatározása. A helymeghatározó rendszerrel szembeni elvárás, hogy képes legyen a mérőműszerek „sebességének”, azaz a mérés frekvenciájának ütemében helyet és helyzetet számítani – ha nem is mindig közvetlen mérésekkel, de legalább jól közelítő interpolációs megoldással. Érdekes és inkább filozófiai kérdés, hogy mennyiben tekinthetők a mobil térképező rendszerek automatikusnak. A megoldások természetesen a minél nagyobb automatizáltságot célozzák meg, így a kevesebb emberi beavatkozással használatuk könnyebbé, kényelmesebbé, esetleg pontosabbá válik, de nem feltétlen csak az ilyen lehetőséggel rendelkező műszeregyüttest lehet mobil térképezőnek nevezni. Az automatizálás lehetséges a terepi felmérést követő irodai (utó)feldolgozási fázisban is. Amennyiben a méréskor a mozgó jármű is „önműködő”, autonóm mérőrendszerről lehet beszélni. Nyilvánvalóan egyfajta törekvés tapasztalható ebben az irányba is. A jövő mérőrendszerétől azt várjuk, hogy autonóm módon járja be a felmérendő területet, végzi el önműködően a méréseket, 4
majd a szükségletnek megfelelően automatikusan állítja elő az eredményeket, a felhasználó által megkívánt adatokat. Az angol nyelvű szakirodalomban (tehát a szakterület írásaiban általában) a mobil térképezést mobile mapping-nek, a technológiát pedig mobile mapping technology-nek (röviden MMT-nek) hívják.
Első vízió a mobil térképezésről Első víziónkban kísérletet teszünk arra, hogy a térképező rendszereket néhány szempont szerint csoportosítsuk. Az 1. ábra egy mindmap formájában mutatja be a csoportosítás egy lehetséges módját.
tetszőleges
ferdetengelyű
alkalmazás szerint
orientáció szerint drága
függőlegesen lefelé (nadír)
költség szerint
közepes olcsó
radar
bringa
infrahang gyalogos
hang
Mobil térképezés
ultrahang
kamion teherautó
autó furgon
pontlézer csíklézer felületi lézer
személyautó
lézeres hordozók szerint szenzorok szerint
ballon
kamerasorozat vezető nélkül dupla kamera
optikai
repülőgép vezetővel
egyes kamera Hajó
1. ábra: Két- és háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerek
Az ábra alapján a fő kategóriák az alábbiak: hordozók (platform) szerint: lehetnek felszínen mozgó közúti, vasúti és vízi járművek, vagyis autók, motorok, kerékpárok, vasúti kocsik, csónakok és hajók stb., továbbá lehetnek repülő eszközök, például repülőgépek, helikopterek, ballonok stb. szenzorok szerint: lehetnek aktív és passzív működésű érzékelők, pl. optikai eszközök, mint a kamerák, lézeres eszközök, mint a lézerszkennerek, vagy ultrahangos, infravörös esetleg radar tartományban működő távolságmérők, lehetnek a mágneses tér érzékelésére, rádiós jelek erősségére, anyagok főként gázok, gőzök, füstök koncentrációjának mérésére szolgáló eszközök, hőmérsékleti és más időjárási paraméterek érzékelésére szolgáló berendezések, stb. orientáció szerint: léteznek függőlegesen lefelé irányuló (nadír irányú), attól eltérő, ún. ferdetengelyű vagy akár vízszintes irányban mérést végző horizontális rendszerek alkalmazás szerint rendkívül sokféle megoldás lehetséges, pl. vasúti űrszelvény felmérése, útburkolati állapotfelmérő, közúti táblakataszter stb. rendszerek költség szerint léteznek olcsó, közepesen és nagyon drágán forgalmazott megoldások.
5
A fentieken túl megemlíthetők még a kereskedelmi forgalomban kapható és a kísérleti stádiumban lévő, esetleg egy-egy egyetemi vagy más kutatóhelyen kifejlesztett rendszereket.
6
Statisztika és kiegyenlítő számítások felfrissítése Statisztikai ismétlés A különböző mérőeszközeinkkel, műszereinkkel végzett mérések során valószínűségi változónak tekinthető mennyiségeket kapunk. A kiegyenlítő számítások jelölése szerint n darab , , …, valószínűségi változók mérési eredményei az , , …, értékek, amelyek mérési hibával terheltek. A fenti mérési sorozat jellemzésére normális eloszlást feltételezve alkalmas a számtani közép (átlag) ̅
∑ (1)
és a becsült szórásnégyzet (variancia, vagy másként az átlagtól vett átlagos eltérés): ̅)
∑(
(2)
(Feltételeztük, hogy egynél több mérésünk van.) Az irodalomban n-1 helyett n is szokott szerepelni a nevezőben, azonban a gyakorlat szempontjából a nagyszámú mérések miatt ennek szinte nincs jelentősége. A varianciából a szórás gyökvonással számítható: √
√ (3)
A méréseink terjedelmét (range) a legkisebb és legnagyobb érték közötti különbséggel határozhatjuk meg: ( )
( ) (4)
Több valószínűségi változóra végzett mérések közötti kapcsolat jellemzésére a kovarianciát lehet bevezetni: ∑(
̅ )(
̅ ) (5)
ahol a két mennyiségre végzett megfigyelések az
és
értékek. Ez esetben is szokás a nevezőben
n szerepeltetése. 7
Belátható, hogy ugyanannak a mérésnek a behelyettesítésével (x=y) a fenti összefüggés a variancia összefüggését adja ( ). Több mennyiségre végzett mérések esetén az átlagok átalakulnak átlag vektorrá, a szórások pedig az alábbiak szerint kovariancia mátrixot képeznek.
[
] (6)
A kovariancia mátrix szimmetrikus, mivel
.
A kovariancia felhasználásával a korrelációs összefüggések is felírhatók, vagyis
(7)
A kovariancia mátrixhoz hasonlóan képezhető a korrelációs mátrix is. Példaként tekintsük a következő hőmérsékleti idősort, amelyet 2008. szeptember 25-én a déli órákban rögzítettünk. A hőmérsékleti értékek az alábbi grafikonon láthatók: 26
24
hőmérséklet
22
20
18
16
14
12 0
20
40
60
80 100 mérésszám
120
140
160
180
2. ábra: Hőmérséklet-megfigyelések idősora
A hőmérsékletek legfontosabb statisztikai jellemzői a következők: a mérések darabszáma 175, minimumhőmérséklet 12.75 °C, maximumhőmérséklet 24.75 °C, hőmérséklet-terjedelem 11.50 °C, átlaghőmérséklet 17.6429 °C, szórás 4.3082 °C.
Kiegyenlítő számítások ismétlés Ha elvégezzük a kiegyenlítést, a kapott kiegyenlített mérési eredmények az alábbiak szerint számíthatók:
8
(8)
ahol U a kiegyenlített érték, L a mért érték és v a hozzá tartozó javítás, melyet a kiegyenlítésben használt matematikai modell szerint számítottunk ki. Mátrixos jelöléssel
(9)
ahol a fenti mennyiségek vektorok (U a kiegyenlített értékekkel, L a mérésekkel és v a javításokkal). A leggyakrabban a legkisebb négyzetek módszerét használjuk. A későbbiekben még látni fogjuk, hogy hogyan kell ezt érteni a javítások kapcsán. A méréseket azért végezzük, hogy valamely jelenség leírására használt matematikai modell paramétereit meghatározzuk. Ha r darab paraméter meghatározására vállalkozunk, azok előzetes értékeihez a kiegyenlítéssel optimális módon változásokat rendelünk:
(10)
vagy vektoros jelöléssel
(11)
ahol a kiegyenlített paraméter értéke, tartalmazza az ún. változásokat.
az előzetes értékeket tartalmazó vektor, melyekhez
A paraméterek és mérési eredmények közötti kapcsolatot a közvetítő egyenletek jelentik; matematikai jelöléssel ( ) (12)
ahol F() függvény jelenti a kapcsolatot, A együttható mátrix felhasználásával. Folytatva a gondolatmenetet, átalakíthatjuk a fenti kifejezést: (
) (13)
A fenti összefüggéshez gyakran sorbafejtéssel kell élni, mivel a függvényünk nemlineáris, tehát (
)
(
)
(
) (14)
A javítást kifejezhetjük (13)-ből 9
(15)
amire
feltétellel, mint a legkisebb javításnégyzetekkel
(
) (16)
majd így a kiegyenlített paraméter
(17)
A javítások most már számíthatók
(18)
továbbá a kiegyenlített mérési eredmények ( ) a (9) összefüggésbe visszahelyettesítve kapható meg. Ezután a megbízhatóság jellemzéséhez a kiegyenlített paraméter (X), a kiegyenlített mérési eredmény (U), a javítások (v) és a mért értékek (L) kovariancia mátrixai (levezetés nélkül) (
) (19)
(
) (20)
(
) (21)
(22)
Az imént röviden összefoglalt, a magyar nyelvű szakirodalomban ún. II. kiegyenlítési csoport, valamint a többi csoport részletes leírása megtalálható például Detrekői könyvében.
További alapfogalmak A mérőrendszerek kapcsán további fogalmakat kell tisztázni. Említettük már, hogy a mérési eredmények valószínűségi változók. A mérések feldolgozásakor egy kettős modellt alkalmazunk, amelynek első része egy ún. funkcionális, a második pedig egy sztochasztikus modell. Előbbi gyakori elnevezése a determinisztikus is, mivel előre ismert, így függvénykapcsolatokkal leírható. A 10
sztochasztikus jelleget véletlen jellegnek is nevezhetjük. A mérés feldolgozásakor ennek a sztochasztikus jellegnek fogunk majd kitüntetett szerepet tulajdonítani. Az integrált és mobil mérések világában a mért mennyiségek időben folyamatosan változnak, jelölhetjük tehát azokat ( ) , ( ), ( ) vagy röviden vektorosan ( ). Ezeket a folyamatosan változó mennyiségeket felfoghatjuk úgy is, mint három összetevő együttesét ( )
( )
( )
( ) (23)
ahol a mért mennyiséget d(t) trendre, s(t) jelre és h(t) zajra bontottuk. A jel és a zaj jelentik a kettős modellben a sztochasztikus részt, ezeket és kovariancia mátrixaikkal jellemezhetjük. A trend a determinisztikus (funkcionális) összetevő, melynek kovariancia mátrixát nem értelmezzük. A mérések elvégzésekor gyakori cél, hogy az alapfolyamatról leválasszuk a zajt, ezt nevezzük szűrésnek. A szűréssel a későbbiekben még részletesen foglalkozunk. Ha a jelet olyan pontban kell meghatároznunk, ahol nem végeztünk mérést, interpolációt használunk. Az interpolációs módszerekről is fogunk még az elkövetkezőkben beszélni. Gyakori, hogy a mérések elvégzését követően gyorsan, függvényszerűen kell jellemezni a kapott eredményeket. Ekkor a függvénymeghatározás vagy illesztés következik. A feladat lényege, hogy az helyeken mérési eredményeket kaptuk, melyekkel egyenest (kiegyenlítő egyenest) kell meghatározni függvényalak a és b paramétereinek kiszámításával. Hasonló módon illeszthetünk exponenciális függvényt alakban, vagy logaritmikus függvényt alakban. A szakirodalomban a regresszió vagy általános regresszió címszó alatt találjuk meg ennek részletes ismertetését további lehetséges függvényalakokkal. Megjegyezzük, hogy az eljárásnak többváltozós változatai is vannak. A korábbi hőmérséklet-példánkon keresztül nagyszerűen lehet illusztrálni a függvényillesztést. A következő ábra felső része lineáris és harmadfokú polinom illesztését mutatja, az alsó rész a maradékokat ábrázolja.
11
hőmérséklet
25 data 1 linear cubic
20
15
10
0
20
40
60
80 100 mérésszám residuals
120
140
160
180
0
20
40
60
80
120
140
160
180
10
5
0
-5
-10
100
3. ábra: Lineáris és harmadfokú függvényillesztés a hőmérsékleti idősorra
A lineáris függvénykapcsolat parametrikus egyenlete: . A függvény illeszkedésének mértéke 29.16 (a reziduálok összege). A harmadfokú polinom alakja pedig . A harmadfokú polinom illeszkedésére 9.1552 reziduálösszeget kaptunk, vagyis jobb illeszkedés figyelhető meg. A maradékok ábrája felfogható úgy is, mint a lineáris vagy harmadfokú függvény, vagyis a trend eltávolítása után kapott jelsorozat. Mivel a harmadfokú függvény jobban illeszkedik, így a trend leválasztása után kapott jelek is kisebb értékűek.
12
Méréstechnikai alapok Analóg jel, digitális jel, átalakítások (ADC, DAC), mintavételezés A folytonos (idejű) jel az időben folyamatosan, folytonosan változó mennyiség. Matematikailag folytonos értelmezésű, folytonos értékkészletű egy- vagy többváltozós függvény. Ha grafikonon ábrázoljuk, folytonos görbét rajzolunk (4. ábra).
4. ábra: Folytonos jel
A diszkrét (idejű) jel ezzel szemben csak meghatározott értelmezésű tartományon vett függvény, melynek értékkészlete még folytonos. A diszkrét jel előállításához meghatározott időpillanatokban „olvassuk” le a folytonos jelet; ez a mintavételezés (sampling).
5. ábra: Diszkrét mintavételezésű jel
A mintavételezés megadásához az időközt kell definiálni (pl. s-ban, ekkor Sa/s) vagy a másodpercben elvégzett mintavételezés számát adjuk meg frekvenciaként (fs). Jól ismert példa, hogy a hagyományos zenei CD-k mintavételezése 44.1 kHz, vagyis a folytonos jelet másodpercenként 44100szor „tapogatták le”. A Nyquist-Shannon mintavételezési elv azt mondja ki, hogy a jel tökéletes visszaállítása akkor lehetséges, ha a mintavételezési frekvencia nagyobb, mint a jel maximális frekvenciájának kétszerese. Az emberi hallás felső frekvenciahatára nagyjából 20 kHz, ennek duplájánál egy kicsit többre lett a CD-k mintavételezésének frekvenciája meghatározva, éppen a nevezett elv szem előtt tartásával. Az alacsonyabb frekvencia használatával (alulmintavételezett jel esetén) lép fel az alias-effektus, aminek tipikus megnyilvánulása a TV-adásokban ismert Moiré-jelenség. Lehetséges a túlmintavételezés is, ez azonban kisebb hátránnyal jár.
13
A mintavételezés mellett a jelet az értékkészletében is diszkrétté kell alakítani, ekkor válik a szokásos számítógépes ábrázolásnak megfelelő digitális számsorozattá.
6. ábra: A diszkrét mintavételezésből teljesen digitális jel előállítása
A fenti átalakításnak az elnevezése az analóg-digitális átalakítás (A/D átalakítás), más néven ADkonverzió. Az angol elnevezés is meglehetősen gyakori: analog-(to)-digital conversion (ADC). Az átalakító tipikusan egy elektronikai komponens, amely a beérkező folytonos pl. feszültségértékből digitális számértéket állít elő. A kijövő jelnek különböző kódolásai lehetségesek, különböző megoldással lehetséges az átalakítás elvégzése is. A konverzió legfontosabb paramétere a felbontás, vagyis a megkülönböztetett állapotok számának megadása. Mivel a digitális jel alapvetően a 2 hatványaihoz igazodik, így a felbontást is bitekben mérjük. A 8-bites konverter ennek megfelelően 28 lehetséges kimenetet tud produkálni, vagyis összesen 256-féle digitális számot ad eredményül. Ez persze alkalmazástól függően 0 és 255, vagy -128 és +127 közötti számokat jelentheti. Ha például az elektronikában gyakran használt 0 és 5 V közötti feszültséget válaszul adó eszközt vesszük példának, az iménti 8-bites átalakító az 5 V-nyi folytonos jelterjedelmet így 256 részre, 19.5 mV-nyi egységekre osztja. Ez pedig annyit tesz, hogy ennél a feszültségnél nagyobb különbség már a kimeneti kódban változást okoz. Ezt a feszültséget szokás a legkisebb szignifikáns bit (angolul least significant bit – LSB) feszültségének nevezni. Megjegyezzük, hogy a folytonos-diszkrét átalakítás szempontjából a folytonos idő és diszkrét jel előállítása a kvantálásnak nevezett folyamattal történik. Ennek kiváló ábrázolása látható a következő ábrán.
7. ábra: A kvantálással előállított jel
A digitalizálás gyakorlati megvalósításakor nem csak a lineáris (egyenközű), hanem a nemlineáris megoldások is ismertek. Az ellenkező irányú átalakítást digitál-analóg konverziónak nevezzük. A méréstechnikában ennek jóval csekélyebb szerepe van.
14
A nagyobb mérésterjedelmű műszerek számértékeit több bájton keresztül továbbítják. Ekkor az egymás mögé helyezett bájtok bitjei helyiértékükön értelmezendők. A legkisebb értéknél található az LSB (least significant bit, illetve byte), a legmagasabb helyiértéknél pedig a MSB (most significant bit, illetve byte). A digitálisan kódolt mérési eredmény így bitműveletekkel állítható elő. A következő ábrán egy 12-bites kódolású Texas Instruments hőmérő chip két bájtjában értelmezemdő biteket lehet látni. A nulla értékek csak helykitöltésnek vannak; a D-vel jelzett oszlopok a helyiértékek, a T-vel jelzett számok a hőmérséklet tizedesei.
8. ábra: A Texas TMP102-es hőmérőjének regisztráló bitjei
A 9. ábra illusztrálja, amint a szenzor órajele továbbítja a fenti hőmérsékleti biteket.
9. ábra: Jeltovábbításnál látható bitek a TMP102-es szenzornál
Az idő, az idő szerepe és időmérés A mobil térképező rendszerek „matematikai csengésű” leírása a következő lehetne. Két jelentős komponens található minden mobil térképező rendszerben: szakmai adatokat mérő egységek és helymeghatározást végző egység. Előbbi előállítja az f(t) függvényt, ami gyakorlatilag az idő függvényében meghatározott szakmai jellemzők vektora, vagy mátrixa (akár többdimenziós mátrixa). Nevezhetnénk ezt a mért szakmai jellemzők idősorának is.
15
A második komponens előállítja a hely megadását jelentő adatokat, vagyis s(t) függvényt. A helymegadás módjától függően ezen függvény két (2D) vagy háromelemű (3D) vektort ad. Ekkor a hely vagy a koordináták idősoráról beszélhetünk. A mobil térképezés lényege pedig, hogy az időn keresztül, mint egyfajta kulcson keresztül összekapcsoljuk a szakmai és helymeghatározó méréseket, vagyis előállítsuk f(s(t)) függvényt. Ez az eredmény ugyanis nem más, mint a hely függvényében leírt szakmai adatok rendezett, strukturált halmaza. Az időt természetesen nem lehet elhanyagolni az egyesítés után sem, szerepét azonban rendkívül fontosnak tartjuk. Az idő a mindennapokban az események sorát jelenti; a tudományos definíció szerint a megfigyelt rendszer entrópia-változását, növekedését értjük alatta. Másként megfogalmazva a megfigyelt rendszer két egymás utáni állapota alapján a múlttól a jövő felé való haladás irányát és mértékét lehet érzékelni. Az idő nemzetközi alapmértékegysége a másodperc (secundum – s), ami az elfogadott definíció szerint a cézium 133 atom alapállapotában a két hiperfinom szint közötti átmenetnek megfelelő sugárzás 9 192 631 770 periódusa. A mértékegységek között a másodperc alegységei a millisecundum (ms), aminek nagyságrendjében a szempillantás található (50-80 ms), a mikrosecundum (µs), ami az egymilliomod részt jelenti. A másodperc 10-9 s nagyságú alegysége a nanosecundum (ns), ami például 1GHz-es processzor egyetlen gépi ciklusának végrehajtási ideje. Ennek ezredrésze a picosecundum (ps), majd egymilliomod része a femtosecundum (fs), ami a 390 nm-es hullámhosszú fény ciklusideje. Ezt használják ma a szélső pontosságú lézeres eszközökben. A jelenlegi legpontosabb időméréssel pedig az attosecundum nagyságrendjében (10-15 s) tudnak a kutatók időt mérni. Az idő mérésére az egyik legősibb mérőeszközök az órák szolgálnak. Vannak mechanikus, ingás, oszcillátoron alapuló, pl. kvarc változataik; a legpontosabbak pedig az atomórák (elsődleges standardok). A legszélesebb körben alkalmazott kvarc megoldásokban egy kvarc-kristály szabályozza a nagyon pontos frekvenciájú elektronikus rezgéseket. Általában 32.768 Hz-es frekvenciával működnek, ami kettőnek éppen a 15. hatványa, vagyis egy 15 bites számláló. Ez az oka annak, hogy a legtöbb mérőeszközben az időmérés eredményét digitálisan 15 biten ábrázolják.
Elektronikai megoldások A mérő- és térképező rendszerekben talán a leggyakoribb elektronikai logika típus a tranzisztortranzisztor logika, a TTL. Ennek a szabvány szerint két feszültségtartományt kell kezelnie a logikai 0 és 1 reprezentálásához, mégpedig az előbbihez 0 és 2 V közötti feszültséggel, utóbbit 3 és 5 V közötti feszültséggel. A maximális feszültség tehát 5 V. A 2 és 3 V közötti érték érvénytelen, sokszor az ilyen értékek miatt jelentkezik a mérőeszközben zavar, vagy téves mérés. 5V-os feszültséget lehet mérni pl. az USB-csatlakozókon is. Szintén alkalmazzák a CMOS-rendszert (Complementary Metal-Oxide Semiconductor) az érzékelőknél, ez a komplementer fémoxidos félvezetőt jelenti. Ennek a rendszernek a jeleinél azonban a tápfeszültség szint feléig ábrázolják a logikai nullát, felette pedig az egyet. A képalkotó rendszerek előszeretettel használják ezt a megoldást számos előnyös tulajdonsága miatt, de építenek már szuperszámítógépet is ilyen logikával. Érdemes még említeni a teljesítményoptimalizált alacsonyfeszültségű pozitív emitter-csatolt logikát (LVPECL), ami maximális 3.3 V-al üzemelteti az eszközöket. Az igen elemkímélő rendszerekben ezt a megoldást építik be.
16
A Kalman-szűrő és alkalmazása a navigációs feladatokban Bevezetés, a rendszer általában A Kalman-szűrő (Kalman-filter1)(magyaros írásmóddal Kálmán-szűrő) feltételezi, hogy adott egy dinamikus rendszer (dynamic system), amelynek időben változó bemenetei (gerjesztései) és működésének megfelelő kimenetei (válaszai) vannak. Az angol elnevezés szerint inputok és outputok adottak. Ha a rendszer egy input és egy output vezetékből áll, a neve SISO-rendszer (single input – single output). A több bemenet és több kimenet rendszere MIMO (multiple input – multiple output). Több bemenet-több kimenetes rendszert mutat az 4. ábra. u1 u2 u3
y1 y2
10. ábra: MIMO rendszer sémája
(Jelen dolgozatban az egyszerűbbtől a bonyolult felé való haladás elvét követjük; így először a könnyebben érthető egyszerűbb, lineáris SISO rendszereket tárgyaljuk, majd jutunk el a nemlineáris, MIMO rendszerekhez. Természetesen a SIMO és a MISO kombinációk is lehetségesek.) A bemeneteket és a kimeneteket is szokás vektoros formában megadni. P számú bemenet esetén az input vektor (24)
míg Q számú kimenet esetén az output vektor (25)
A dinamikus rendszerben az idő megadása kétféle lehet: folytonos (continuous time) vagy diszkrét (discrete time). Folytonos idő esetében egyetlen gerjesztés jelölése ( ) lehet, ahol t jelenti az időpillanatot, míg a diszkrét megközelítésnél ( ), esetleg , ahol k a diszkrét időpont sorszáma (indexe vagy üteme). A dinamikus viselkedés pontos vektoros leírása szerint ( ) és ( ), illetve ( ) vagy lenne a helyes, az egyszerűbb jelölés miatt az időindexet elhagyjuk. A rendszer a bemenetre az alábbi kifejezés alapján számítja a választ: (26)
ahol x a rendszer állapotvektora (state vector, vagy state variable), mérete N, C és D mátrixok méretei rendre Q × N, Q × P. Az iménti kifejezés a rendszer válaszegyenlete (observation model). A rendszer megfigyelését azonban zaj (mérési zaj – measurement noise) zavarja, amelyről feltételezzük, hogy normális eloszlású, zérus átlaggal és Q × Q méretű kovariancia mátrix-szal: ( ) (27)
A szakirodalomban 1
kovariancia mátrixot szokás R mátrixnak is jelölni.
A dokumentumban a kifejezéseknek dőlt betűvel megadjuk az angol megfelelőjét. 17
A hibával terhelt válaszegyenlet tehát általánosítva (28)
A rendszer az állapotvektor felhasználásával képezi a kimenetét. Az állapotvektor felhasználásával továbbá fel lehet írni a következő ún. állapotegyenletet (state space model): (29)
Az egyenletben tehát az állapotvektor változása ( , más jelöléssel ̇ ) is szerepel. A mátrix a rendszer állapotátmeneti mátrixa (state transition matrix), más néven rendszermátrixa, mérete pedig N × N. B mátrix mérete ekkor N × P. Természetesen az állapotegyenletet is terheli zaj (ez a rendszerzaj – process noise), amelyről szintén feltételezzük a normális eloszlást, zérus átlaggal és N × N méretű kovariancia mátrix-szal: ( ) (30)
A szakirodalomban kovariancia mátrixot szokás Q mátrixnak is jelölni – természetesen összhangban a többi változó mátrixos jelölésével! Az állapotegyenlet teljes alakja így (31)
Így tehát az állapotvektor változása már érthető, folytonos idő esetén ezúttal kiírva az időt () ( ) (32)
A fenti egyenletek alapján a rendszer hatásvázlatát is elkészíthetjük:
D
u(t)
B
x’
+ +
∫
x
+
C
+
y(t)
A
11. ábra: A dinamikus rendszer hatásvázlata
Az A, B, C együttható mátrixok helyett használnak F, G, H jelöléseket is – általában a folytonos esetre, Φ, Γ, H jelöléseket pedig diszkrét esetre. A rendszer működése szempontjából megemlíthető még, hogy a bemenetek és a kimenetek közötti közvetlen kapcsolat is felírható: ( ) (33)
18
A kifejezésben szereplő W() függvény az átviteli függvény (transfer function), amely a korábbi állapotés válaszegyenlet mátrixainak felhasználásával is kiszámítható. A Kalman-szűrő szempontjából azonban nincs jelentősége, ezért a további részletekkel nem foglalkozunk. A rendszer leírása analóg a rejtett Markov-folyamatokkal (hidden Markov model – HMM), viszonylag szemléletes a következő ábrázolás:
u
D
y látható
v
x
k-1
B
C
A
x
k
w
rejtett
k+1
12. ábra: A dinamikus rendszer alternatív leírási módja
Az (28) és (31) egyenletek alapján megállapíthatjuk, hogy a rendszer lineáris (linear system), mivel a rendszer működését leíró együttható mátrixokkal képzett kifejezések lineárisak. A másik lényeges megállapítás, hogy a nevezett együtthatók nem függenek az időtől, időinvariáns (time invariant) a rendszer. A lineáris időtől független rendszereket szokás LTI (linear time invariant) rendszernek nevezni.
A Kalman-szűrő A Kalman-szűrő a szabályozástechnika szóhasználatával élve lineáris négyzetes becslő (linear quadratic estimator – LQE), mely hatékony iteratív megoldás a lineáris kvadratikus Gauss-féle (linear quadratic Gaussian – LQG) szabályozási problémára. Az iteratív becslés azt jelenti, hogy az előző időpillanatban becsült állapot és az aktuális mérések alapján határozza meg a jelen állapot leírását. A szűrőhöz a hiba kovariancia mátrixát ( ) is meg kell határozni, illetve a kezdeti állapotra a rendszerváltozók mellett ezt is ismerni kell. A Kalman-szűrőnek két jól elkülöníthető lépése van: becslés (predikció – prediction) és frissítés (korrekció – update/correction). Más megközelítésben a két fő lépés az időbeli és mérés szerinti frissítés (time update és measurement update). A becslés során először az állapotváltozókat határozzuk meg (predicted state): ̂ (34)
19
ahol ̂ az állapotvektor becslése, mérete N × 1, az indexek a diszkrét esetre vonatkoznak egyértelműen. A második lépésben a becslés hibájának kovariancia mátrixát (predicted estimate covariance) számítjuk: ̂ (35)
ahol a rendszerzaj kovariancia mátrixa (esetünkben időinvariáns), míg a becslés hibájának kovariancia mátrixa időfüggő (ezt jelzi az indexe is)! A kovariancia mátrix mérete N × N. A frissítéskor először a mérés reziduálját (measurement residual, másnéven innovation) kell számítani (mérete Q × 1): ̂ (36)
majd ennek kovariancia mátrixát (residual covariance) képezzük (Q × Q): ̂ (37)
Az optimális Kalman-tényező (optimal Kalman-gain) (N × Q) ezek felhasználásával ̂ (38)
A korrigált állapotvektor (updated state estimate) most már számítható (N × 1) ̂ (39)
Ehhez hasonlóan a korrigált becslés kovariancia mátrixa (updated estimate covariance) (N × N) is kifejezhető ( )̂ (40)
A számításban eredményül kapott kovariancia mátrixot szokás a posteriori, az iterációba bemenő kovariancia mátrixot pedig a priori-nak nevezni. Az iterációhoz kezdeti állapotvektor (initial state) és ehhez tartozó kovariancia mátrix (initial covariance) kell. A Kalman-szűrés feltételezi, hogy a mérési zaj és a rendszer zaj nulla várható értékűek, továbbá a rendszer és a megfigyelések hibái függetlenek, vagyis ( ) (41)
( ) (42)
(
) (43)
ahol E() a várható érték függvény.
20
Az optimális Kalman-tényező levezetése A Kalman-szűrő olyan becslő eljárás, amely az átlagos hiba négyzetét minimalizálja (minimum meansquare error – MMSE), vagyis (| ̂ | ) (44)
ahol ̂ jelenti becslését. A fenti kifejezés azonos azzal, hogy a becsléssel kapott kovariancia mátrix nyoma minimális. A részletek mellőzésével ez tehát a következőt jelenti: ( ) ( ) (45)
A (45) egyenlet -ra történő megoldásával kapható meg az optimális Kalman-tényező (38) egyenletben leírt alakja.
Első navigációs példa Tételezzünk fel egy súrlódásmentes közegben, egyenes mentén mozgó kocsit, aminek helyzetét időközönként megfigyeljük. A kezdeti pozíciója és sebessége 0, ezt pontosan ismerjük, így a kezdeti kovariancia mátrix zérusmátrix. A pozíciómérés szórása . Mérjük továbbá a kocsi pillanatnyi gyorsulását is; a mérés szórása . A BME központi épületének hosszú folyosóján végzett gyorsulásmérés2 alapján példánk konkrétan a következő. A mért gyorsulás a folyosó tengelyének irányában értendő. A mérés 100 Hz-en történt, így az időközt 0.01 s-nak vesszük. A fizikából ismertek a gyorsulás, a sebesség és az elmozdulás közötti összefüggések: ∫ (46)
és ∫
∬ (47)
A jelöléseinkkel összhangban az előző időpillanathoz tartozó állapotot tekintjük a (46) és (47) egyenletekben nullás indexűeknek, diszkrét esetre indexelve tehát a fenti két egyenlet: (48)
és
(49)
A (48) és (49) segítségével felírhatjuk az állapotegyenletet, ha az állapotvektorunk az sebességből áll, B a gyorsulások együttható mátrixa:
pozícióból és
2
A műszer Crossbow NAV420CA típusú IMU volt, amelyet angle üzemmódban használtunk. Rögzítettük a mérés idejét, a három gyorsulás-komponens és a három szög-, illetve szögváltozás-komponens értékét. 21
(50)
ami kifejtve a konstans időközzel és behelyettesítve [
]
[
] [
]
[
]
[
] [
]
[
] (51)
Gyakorlatilag a mért gyorsulásokat a műszerünkre, mint testre ható gerjesztéseknek fogjuk fel. A válaszegyenlet pedig (52)
ami kifejtve [
] (53)
A kezdeti pozíció és sebesség felhasználásával [ ] (54)
továbbá az állapotvektor kovariancia mátrixa [
] (55)
A rendszerzajt jelentő kovariancia mátrixot felírhatjuk az elmozdulás és sebességek szórásnégyzeteire felvett értékekkel [
] (56)
Láthatóan x és x’ függetlennek feltételezett mennyiségek. Majd a pozíciómérés szórásával kovariancia mátrixot is létrehozhatjuk (57)
A 13. ábrán látható a gyorsulás-sebesség-elmozdulás idő szerinti diagramja.
22
a-v-s diagram Kalman-szűréssel
a [m/s/s]
10 0 -10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
100
120
140
160
180
100
120
140
160
180
t [s]
v [m/s]
4 2 0
0
20
40
60
80 t [s]
s [m]
200 100 0
0
20
40
60
80 t [s]
13. ábra: Folyosói gyorsulásmérés, Kalman-szűrt sebesség és elmozdulás-ábra
A kovariancia mátrix és a Kalman-tényező változása a frissítés alatt A következőkben bemutatjuk, amint a rendszert jellemző paraméterek „továbbterjednek”. Kezdetben az állapotvektor és a rendszer kovariancia mátrixa csupa zérusokkal van feltöltve, jelezvén, hogy az állapotvektor elemei kezdetben nullák és azokat pontosan annak tekintjük. Az első lépésben a rendszer becsült ̂ kovariancia mátrixa (35) alapján már -ből vesz fel értéket, mivel azzal lesz egyenlő. A reziduálok kovariancia mátrixa ( ) szintén tartalmaz értékes elemet, esetünkben egyetlen skalárból áll értékkel. A Kalman-tényező (amely vektor!) szintén értékeket kap, mégpedig az alábbiakat: [
] (58)
A szűréssel a rendszer kovariancia mátrixát is korrigálhatjuk: [
(
)
] (59)
Az analítikus kifejezések látható módon egyre bonyolultabbakká válnak. A példánkban numerikusan számított Kalman-tényező és rendszer kovarianciák alakulását a következő ábrán mutatjuk be.
23
Kalman-gain változása (logaritmikus skálán) 0.4
0.35
0.38 0.36
K-s
K-s
Kalman-gain változása 0.4
0.3
0.34
0.25 0.2
0.32 0
50
100 t [s]
150
-2
200
-1
10
10
0
1
10
10
2
10
3
10
t [s]
0.02
0.02
K-v
0.03
K-v
0.03
0.01
0
0.01
0
50
100 t [s]
150
0 -2 10
200
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
t [s]
14. ábra: A Kalman-tényezők időbeli alakulása
Kovarianciák változása
-3
4
x 10
-3
4
x 10
Kovarianciák változása (logaritmikus skálán)
Q-s
Q-s
3.5 3
3.5
2.5
0
50
100 t [s]
150
3 -2 10
200
0.02
0.02
0.015
0.015
0.01 0.005 0
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
t [s]
Q-v
Q-v
2
0.01 0.005
0
50
100 t [s]
150
200
0 -2 10
-1
10
0
1
10
10
2
10
3
10
t [s]
15. ábra: Az állapotvektor elemeinek variancia-változása az időben
Megállapítható, hogy a két utóbbi ábrán látható függvények jellege igen hasonló. A jobboldali grafikonokon logaritmikus skálán mutattuk be a tényezők illetve a varianciák alakulását, mivel az első elemre meglehetősen gyorsan ugrik fel a később megtartott szintre.
A rendszer megfigyelhetősége A szűrések elvégzése előtt a modellt ellenőrizni kell. Ennek első lépése a megfigyelhetőség vizsgálata, vagyis annak tesztelése, hogy a rendszer egyenletei alapján megállapíthatók-e az állapotváltozók. A rendszerek megfigyelhetősége (observability) igen lényeges szempont, melyet matematikai eszközökkel ellenőrizni lehet. A modell leírásakor megadott paraméterek felhasználásával A és C mátrixok kitöltésre kerülnek, segítségükkel a következő módon számítható a megfigyelhetőségi mátrix: [
(
)
(
)
] (60)
24
majd annak ( ) rangja. A vizsgálatban az x állapotvektor N méretével kell összevetni, s amennyiben ( ) , a rendszer nem megfigyelhető. Ideális esetben tehát a rang az állapotvektor tagjainak számával egyezik meg. Az első példánk kapcsán M mátrix tehát [
] (61)
ebből a rang 2, ez megegyezik az állapotvektor dimenziójával, tehát a rendszerünk megfigyelhető. A fentiekhez hasonlóan a rendszer szabályozhatóságát (controllability) is vizsgálni lehet, ekkor A és B mátrixokat felhasználva S szabályhatósági mátrix levezetésével, majd annak rangjának számításával ellenőrizhető e tulajdonság.
Második navigációs példa
y
φ
au
A második szintű megközelítésnél a műszerünk által mért gyorsulásokból a két vízszintes összetevőt, az előre mutató és a rá merőleges , valamint azimútját ( ) használjuk fel. A linearitás megőrzése érdekében tekintsük a következő ábrát:
av φ
x
16. ábra: Lokális és globális rendszer közötti kapcsolat
Az állapotvektor immár négy értéket tartalmaz: [
] (62)
ahol már két pozíció és két sebesség összetevő van. A kimenet-vektor is nagyobb, immár kételemű: [ ] (63)
Az állapotegyenlet most a következő képet mutatja
25
[
]
[
] [
]
[ [
]
] (64)
A kifejezésben látható tengelymenti gyorsulások levezethetők a mért gyorsulásokból; értékei indexekkel a következők (65)
valamint (66)
A válaszegyenlet pedig az alábbi lesz [ ]
[
] [
] (67)
A rendszerünk megfigyelhetőségét az alábbiak szerint ellenőrizzük; M mátrix a következő: [
(
)
(
)
]
[
] (68)
Most ( ) értéke 4, az állapotvektor hossza szintén 4, ezért ez a rendszer is megfigyelhető. A kezdeti állapotvektor négyelemű zérus oszlopvektor (mind a kezdeti pozíció, mind a kezdeti sebességek nullák), a hozzá tartozó kovariancia mátrix 4 × 4-es zérusmátrix. (Ennek leírásától eltekintünk.) A rendszerzaj jellemzése ebben az esetben kicsit bonyolultabb:
[
] (69)
A mérési zaj leírása szintén kovariancia mátrix-szal történik; hasonlóképp függetlenséget feltételezünk a két koordináta tengely mentén: [
] (70)
A folyosón ezúttal egy hurok bejárása során rögzítettük a mérési eredményeket. A következő ábra mutatja a beltéri gyorsulásmérés során a BME központi épületében bejárt útvonalat:
26
17. ábra: A BME központi épületében bejárt mérési útvonal (a feltüntetett távolságok méterben adottak)
A nyers mérések a következők: Nyers mérések
au [m/s/s]
10 0 -10
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
av [m/s/s]
10 0 -10
fi [fok]
200 0 -200
18. ábra: Folyosói nyers mérések
A (65) és (66) segítségével számított tengelymenti gyorsulások:
27
ax-ay diagram
ax [m/s/s]
10 5 0 -5 -10
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
ay [m/s/s]
10 5 0 -5 -10
19. ábra: A koordináta tengelyek mentén tapasztalt (számított) gyorsulások
A Kalman-szűrővel számított tengelymenti sebességek a következők: vx-vy diagram 2
vx [m/s]
1 0 -1 -2
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
0
50
100
150
200 t [s]
250
300
350
400
2
vy [m/s]
1 0 -1 -2
20. ábra: Tengelymenti sebességek
A pozíciókat a külön ábrázolás helyett trajektória-szerűen is be tudjuk mutatni:
28
Trajektória Kalman-szűréssel 50 40 30 20
y [m]
10 0 -10 -20 -30 -40 -50 -10
0
10
20
30
40 x [m]
50
60
70
80
90
21. ábra: A mérés során bejárt trajektória Kalman-szűréssel számítva
Időfüggő Kalman-szűrő A gyakorlatban gyakori az az eset, hogy az állapotegyenlet és a válaszegyenlet együtthatói is a mérések következtében változnak. Eddigi példáinkban a műszernél állandónak vettük a mérési frekvenciát, s ebből adódóan a mérés időközét. Amennyiben viszont a valóság pontosabb leírására törekszünk, figyelembe kell vennünk az időfüggést. Ekkor az állapotegyenlet a (31) helyett a következő alakot ölti: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (71)
A válaszegyenlet is hasonlóképp időfüggővé alakul: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (72)
Az időfüggés miatt a Kalman-szűrő predikciós összefüggései (34) és (35) képletek is átalakulnak: ̂ () ( ) (73)
és ̂
( )
( ) (74)
A korrekciós kifejezések is módosulnak: ( )̂ (75)
( )̂
( ) (76)
̂
( ) (77)
29
̂ (78)
(
( )) ̂ (79)
Elméletileg és kovariancia mátrixok is lehetnek időfüggők, például az előbbi a mérés közben folyamatosan képzett megfigyelések alapján számítva.
Harmadik navigációs példa A második példában szereplő méréseknél az időfüggő változat figyelembe veszi, hogy a gyorsulásmérő ingadozó frekvenciával mér, így az A és B együttható mátrixokban szereplő időközök változnak. C együtthatómátrix ebben a példában állandó marad. Az időfüggő összefüggések felhasználásával igen hasonló trajektória képezhető (mivel műszerünk nagyjából jól tartja a frekvenciát). A különbözőség érzékeltetésére az egyik folyosói forduló nagyított képét láthatjuk a 22. ábrán. trajektória Kalman-szűréssel 3.3 3.2 3.1
x [m]
3 2.9 2.8 2.7 2.6 2.5 2.4 51.3
51.4
51.5
51.6 y [m]
51.7
51.8
51.9
22. ábra: Az időfüggő és –független számítás különbsége folyosói fordulónál (piros az időfüggő trajektória, kék az időinvariáns változat)
Különböző mérések egyesítése Kalman-szűrővel A GPS és INS mérések talán a leggyakoribb Kalman-szűrővel együttesen számított navigációs adatok. A kétféle mérési elvet követő rendszerből kétféle mérési eredmény, kétféle pontossággal nyerhető; ezek együttes felhasználása az egyik legszebb Kalman-szűrési feladat. Az egyszerűség kedvéért korlátozódjunk a kétdimenziós (azaz síkbeli) navigációra. Példánkban két Crossbow eszközt használtunk, a már említett NAV420CA jelűt GPS-vevőként és egy AHRS400CB-t, amely (IMU műszerként) a gyorsulás- és szögméréssel szolgáltatott adatot. Előbbi műszer kétszeres frekvenciával képes mérni. Az eltérő mérési frekvencia miatt (AHRS400: 57 Hz, NAV420: 4 Hz) a mérések különböző sorrendben „érkeznek”, s ezek figyelembe vétele is azok sorrendjétől függ. 30
Az állapotvektor a következő felépítésű ekkor a helyzet, a sebesség és a gyorsulás értékeivel:
[
] (80)
Az állapotegyenlet ennek megfelelően a következők szerint alakul:
[
]
[
]
[
] (81)
A rendszerzaj leírására a függetlennek feltételezett állapotvektor elemekhez tartozó zaj szerint egy 6×6-os mátrix főátlóját kell kitölteni, más szóval egy hatelemű diagonálmátrixot kell megadni. 〈 〉 (82)
A GPS-mérésekhez tartozó válaszegyenlet a következő: [
]
[
] (83)
Az INS-mérésekhez pedig a következő válaszegyenletet rendeljük: [
]
[
] (84)
A fentiekből látható, hogy a két válaszegyenlet együttható mátrixa egyszerű kifejezések. A válaszegyenletben is szerepel zaj, a mérési zaj. A két mérőeszköz viselkedéséhez tartozó zaj egy-egy kételemű, szintén diagonálmátrix felírásával adható meg. [
] (85)
[
] (86)
-mátrix -hoz hasonlóan 6×6-os lesz. Minden bejövő megfigyelés előtt számítani kell az állapotvektor becsült értékét a mérés időpillanatára (predikció). A két mérőműszer frekvenciájának megfelelően a beérkező megfigyelések a saját válaszegyenletüket „hívják meg” (korrekció).
31
trajektória KF-vel
5
2.3718
x 10
GPS/INS együttes mérés nyers GPS-mérés
2.3716 2.3714 2.3712 2.371 2.3708 2.3706 2.3704 2.3702 2.37 2.3698 6.501
6.502
6.503
6.504
6.505
6.506
6.507
6.508 5
x 10
23. ábra: GPS és INS mérések egyesítése Kalman-szűréssel, valamint a nyers GPS mérések (zavart belvárosi mérési körülmények között)
A kiterjesztett Kalman-szűrő Az (28) és (31) egyenletek, illetve időfüggés esetén a (71) és (72) egyenletek a bemenetek és válaszok, valamint a rendszerváltozó lineáris összefüggésekor igazak. Sajnos a navigációs gyakorlatban ez nem teljesül, ezért az ún. kiterjesztett Kalman-szűrőt (extended Kalman filter – EKF) kell használni. A nemlineáris állapotegyenlet a következő általános alakot ölti: ( ) ( ) ( ) (87)
valamint a válaszegyenlet a következő lesz: ( ) ( ) ( ) (88)
Belátható, hogy az (87) és (88) kifejezésekben F() és G() függvények vektor-vektor leképezések. A nemlineáris esetre linearizálással (Taylor-sorral) képezhetők az együttható mátrixok, rendre ( ( ) ( )) ( ) ( ) (89)
( )
( ( ) ( )) ( ) (90)
( )
( ( ) ( )) ( ) (91)
( )
( ( ) ( )) ( ) (92)
32
( ) ( ) és ( ) ( ) függvényeinek Jacobi-mátrixai (az egyszerűbb Az (89)-(92) kifejezések jelölés érdekében az időindexeket elhagyjuk) ( ) ( ) (
)
(
[
) ] (93)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
] (94)
(
)
(
)
(
)
(
) ]
[
(95)
(
)
(
)
(
)
(
) ]
[
(96)
A fenti kifejezéseknél feltételezzük, hogy ( ) (97)
valamint (
) (98)
A (97) és (98) kifejezésekben , , és változásokról feltesszük továbbá, hogy kicsinyek. A nullás index a mérések környezetére vonatkozik, (93)-(96) képletekben is a mérések helyein értelmezzük a parciális deriváltakat.
Negyedik navigációs példa A kiterjesztett Kalman-szűrőt elkészíthetjük az iménti GPS/INS mérések egyesítésére. A gyorsulássebesség-elmozdulás összefüggéseinek felhasználásával felírhatjuk, hogy (99)
és
33
(100)
A fenti két összefüggést természetesen mindkét koordináta irányában fel kell írnunk, tehát (101)
(102)
valamint
(103)
(104)
A két gyorsuláskomponensre pedig a (65) és (66) egyenletekben már felírt összefüggések behelyettesítésével kapjuk, hogy (
) (105)
és (
) (106)
továbbá (
) (107)
és (
) (108)
Az iménti összefüggésekben tehát megjelenik a jármű ϕ irányszöge, tehát a megfigyelések (gyorsulások) köre bővül egy szöggel. Most már fel tudjuk írni az állapotvektort
[
] (109)
és az állapotegyenletet, melynek együttható mátrixa (állapotátmeneti mátrixa)
34
[
] (110)
A rendszerzaj ekkor már eggyel több elemű diagonálmátrix 〈 〉 (111)
A GPS-válaszegyenlet csak a megnövelt állapotvektor miatt módosul [
]
[
] (112)
A GPS-mérések zaja a következő kovariancia mátrix-szal adható meg [
] (113)
Az INS-válaszegyenlethez először írjuk fel (65) és (66) egyenleteket mátrixos formában: [
]
[
] [
] (114)
A válaszegyenlethez azonban a megfigyelésekre rendezett formára van szükségünk, ami pedig a következő [
]
[
]
[
]
[
] [
] (115)
Az iménti egyenlet „furcsasága”, hogy a forgatási mátrix inverze éppen megegyezik a transzponáltjával, ami az ortogonális jellegéből fakad, jelen esetben az meg éppen ugyanaz, mint az eredeti mátrix! A válaszegyenlethez tehát minden rendelkezésre áll; írjuk fel: [
]
[
] (116)
Az INS-mérések mérési zaját az alábbi kovariancia mátrix írja le [
] (117)
Amint az látható, a rendszer nemlinearitása csak a válaszegyenletekben, közöttük is csupán az INSméréseknél jelentkezik. 35
A Szentendrei úton végzett együttes mérés alatt az AHRS400-as műszer közel 57 Hz-cel, a NAV420-as műszer pedig közel 4 Hz-es frekvenciával mért. A kiterjesztett Kalman-szűrővel kapott trajektória a következő: trajektória KF-vel
5
x 10 2.521
2.5208
2.5206
2.5204
2.5202 nyers GPS-mérés GPS/INS együttes mérés
2.52
6.5122
6.5124
6.5126
6.5128
6.513
6.5132
6.5134
6.5136 5
x 10
24. ábra: Kiterjesztett Kalman-szűrővel egyesített GPS/INS mérések feldolgozása
A számítás során igen látványos volt a mérések – különösen az INS-mérések – kovarianciáinak, valamint a Kalman-gain értékeinek alakulása.
kovariancia INS u 120 100 80 60 4300
4350
4400
4450 4500 kovariancia INS v
4550
4600
4650
200 100 0
0
1000
2000
3000
4000 5000 6000 kovariancia GPS x
300 400 kovariancia GPS y
7000
8000
9000
100 50 0
0
100
200
0
100
200
500
600
500
600
100 50 0
300
400
25. ábra: A szenzorfúzió során tapasztalt kovariancia-változás, az inerciális mérés egyikének belenagyításával
A fenti ábrához hasonlóan izgalmas a Kalman-gain lefolyása a mérés során:
36
Kalman-gain INS u 0.02 0 -0.02
0
1000
2000
3000
4000 5000 6000 Kalman-gain INS v
7000
8000
9000
0
1000
2000
3000 4000 5000 6000 Kalman-gain GPS x
7000
8000
9000
0.02 0 -0.02 1 0.5 0 1
0 -18 x 10
100
200
0
100
200
300 400 Kalman-gain GPS y
500
600
500
600
0 -1
300
400
26. ábra: A Kalman-gain változása jól tükrözi a körforgalom szabályosságát
A jelkimaradás esetét is érdemes megvizsgálni. A mérésekből szimuláltan kihagytunk néhány másodperc GPS-mérést, vagyis csak INS-re támaszkodó egyszerű rendszer viselkedését lehet így tanulmányozni. A következő ábrákon a módosuló trajektória egy részlete látható, valamint a fokozatosan „elmászó” hely miatt növekvő kovarianciák diagramja. A GPS ismételt belépése a kovariancia-változást erőteljesen helyesbíti. trajektória KF-vel
5
x 10 2.5214 2.5212 2.521 2.5208 2.5206 2.5204 2.5202 2.52
nyers GPS-mérés GPS/INS együttes mérés
2.5198 2.5196 2.5194 6.5115
6.512
6.5125
6.513
6.5135 5
x 10
27. ábra: A kimaradó GPS-mérések miatt az útról lecsúszó járműtrajektória képe
37
4
10
kovariancia INS u
x 10
5 0 10
0 1000 4 x 10
2000
3000
4000 5000 6000 kovariancia INS v
7000
8000
9000
0
2000
3000
4000 5000 6000 kovariancia GPS x
7000
8000
9000
300 400 kovariancia GPS y
5 0
1000
100 50 0
0
100
200
0
100
200
500
600
500
600
100 50 0
300
400
28. ábra: Fokozatosan romló kovariancia-értékek, majd a GPS újbóli korrekciós hatása
A Kalman-szűrés kitekintése A (nemlineáris) modell számításával végzett szenzorfúziónál láthattuk, hogy a Kalman-szűrő nagyszerűen egyesíti a különböző bonyolultságú mérési modellel, eltérő pontossággal és frekvenciával rendelkező műszerek megfigyeléseit. Grewal (2008) példát hoz a gyorsulásmérők modellezésére, ahol az állapotvektor 12-elemű (torzítások, tengely nem-merőlegességek, stb), a giroszkópos mérés modellezésére, ahol 51 paraméter írja le az állapotvektort (többek között drift-értékek, skálatényezők, nyomatékhibák, tengely nem-merőlegességek stb.). A GPS és INS rendszerek együttes használatánál szokás még a kapcsolat erősségét is jellemezni. A leglazábban (loosely coupled GPS/INS integration) kapcsolódnak akkor a rendszerek, ha a függetlenül működő két mérőberendezés megfigyeléseinek egyesítésére alkalmazzák a Kalman-szűrőt. A GNSSaided INS esetében a helyzeti bizonytalanságok csökkentésére kapcsolják a rendszerhez a GPSmérést. Az INS-aided GNSS használatakor pedig az inerciális megfigyelések bevonásával valósítják meg a GNSS jel fáziskövetését. A legszorosabb kapcsolat (tightly coupled GPS/INS integration) során tehát a két rendszer egymás belső működését módosítja. A GNSS rendszer teljes működése szempontjából szintén Grewal (2008) állapítja meg, hogy „a GPS szoftver infrastruktúrát egyetlen óriási Kalman-szűrőnek szokták nevezni, mivel az állapotvektor elemeinek százaival számítják a műhold trajektóriák, időkorrekciók, ionoszféra hatások stb. pontossági mérőszámait”.
38
Koordináták, koordinátarendszerek, koordináta transzformációk Koordináták, koordinátarendszerek A koordináták definíciószerűen „pontok vagy más geometriai objektumok helyének, pozíciójának egyértelmű megadására szolgáló számértékek”. A koordinátarendszerek között megkülönböztetünk többek között síkbeli (2D-s) és térbeli (3D-s) rendszereket (1. ábra). A koordinátarendszerek főbb dimenziót a koordináta tengelyek jelölik ki. Ezek elrendeződése szerint lehetnek derékszögű vagy poláris rendszerek. A térbeli poláris rendszerek között kiemelt figyelmet érdemelnek a henger- és gömbi koordinátarendszerek. Utóbbiak a geodézia gyakorlatában is rendkívül fontosak. A derékszögű vagy ortogonális rendszerek az euklideszi térben tetszőleges dimenziószámban alkalmazhatók, erre azonban jelen anyagban nem térünk ki.
29. ábra: Két- és háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerek
30. ábra: Két- és háromdimenziós poláris koordinátarendszerek
A kiválasztott rendszerben az egyes koordinátákat vagy listaként, vagy vektorként szokás megadni. Előbbi szerint lehetséges: {14.6, -38.9, 4.5}, utóbbi szerint . Természetesen a polárkoordinátákat is lehet vektorosan megadni. A számítógépes grafikában és a rokon számítógépes tudományokban, mint a gépi látás, előszeretettel használják a fentiek mellett a homogén3 koordinátás jelölést. Ekkor a nevezett pont vektora a következő lesz:
3
A homogén koordinátás jelölést először A.F. Möbius alkalmazta 1827-ben. 39
[ ]
[
] (118)
Tengelyelnevezési konvenciók A koordinátatengelyek elnevezései az egyértelműség okán fontosak. A matematikában használt X,Y,Z jelölés mellett a geodéziai és navigációs gyakorlatban megtalálható az égtájak/irányok szerinti megadási mód, mégpedig kétféleképpen. A NED-rendszerben az észak-kelet-lefelé (North-East-Down) irányok szerepelnek, az ENUrendszerben a kelet-észak-felfelé (East-North-Up) irányok találhatók:
31. ábra: ENU koordinátarendszer
A járművekhez köthető koordinátarendszerekben pedig a lokális forgástengelyek jelölik ki az irányokat: RPY, azaz Roll-Pitch-Yaw (orsózás-bólintás-oldalazás) a tengely megnevezése.
32. ábra: Járműfedélzeti koordinátarendszer
Koordináta transzformációk Az euklideszi értelemben vett alapvető transzformációk a következők: eltolás (transzláció) méretarány-változtatás (skálázás) forgatás (rotáció) 40
tükrözés. A fentiek mellett használatos alapművelet még a nyírás, valamint felírhatók az általánosabb polinomiális transzformációk. Az elemi transzformációkból képezhetők az összetett transzformációk. A következőkben a fontosabb elemi eljárásokat ismertetjük.
Eltolás A hagyományos mátrixos jelöléssel az eltolás térbeli derékszögű rendszerben a következő: [ ]
[
]
[ ]
[
] (119)
A rövid mátrixos jelölés ekkor (120)
Az eltolás megfordítása, azaz az inverze negatív előjelű eltolásvektorral (-Δx) valósul meg. Egymás után több eltolás az egyes eltolásvektorok összegével adható meg: Δx1+Δx2. A homogén koordinátás jelölés egyszerűen képezhető, mindössze egy transzformációs mátrixot kell definiálni: [ ]
[
] [ ] (121)
Vagyis, ebben az esetben a transzformáció mátrixosan (122)
A fenti homogén koordináták alkalmazásakor a fordított irányú eltolás a transzformációs mátrix inverzét jelenti, amiről belátható, hogy (123)
Az egymás utáni eltolás alkalmazása a homogén koordináták használatakor a transzformációs mátrixok konkatenációja, tehát egymás utáni szorzása: (124)
Forgatás A forgatás leírása igen sokféleképpen megoldható. Jelen anyagban csak a mobil térképezés gyakorlatában alkalmazott megoldásokat fogjuk részletezni. Ezek a forgatási szögekkel, illetve a forgástengely és forgatási szög megadásával működő megoldások.
41
Forgatás szögekkel A forgatás szögekkel történő leírása a fotogrammetria irodalmából ismert. Emlékeztetőül a három koordinátatengely körül értelmezett szögek rendre a következők: ω, ϕ, κ. Az elemi forgatási mátrixok a következők: ( )
[
] (125)
( )
[
] (126)
( )
[
] (127)
A fenti elemi forgatásokból a forgatási sorrend előzetes rögzítésével kapható a teljes vagy összetett forgatási mátrix. Az egyszerűbb leírás érdekében vezessük be a következő jelölést: (128)
(129)
A fentiekhez hasonlóan a többi szögre is értelmezhetjük a sin és cos függvényeket. Ekkor tehát a teljes forgatási mátrix a következő: (
)
( )
( )
( )
[
] (130)
Az iménti sorrendtől eltérő, ϕ,ω,κ sorrend is gyakori a fotogrammetriában. Ennek a forgatási mátrixának felírásától most eltekintünk. Forgatás Euler-szögekkel A forgatást leírhatjuk az ún. Euler-szögek segítségével is. Ekkor a következő ábrán látható α, β, γ szögeket értelmezzük.
42
33. ábra: Az Euler-féle szögek értelmezése
Ezen szögek segítségével a forgatási mátrix a következő összefüggés szerint számítható: ( ) ( ) ( ) (131)
Alternatív megoldásként definiálhatjuk a teljes forgatási mátrixot így is: ( ) ( ) ( ) (132)
Az Euler-féle szögek felhasználásával a korábban már definiált elemi forgatási mátrixokat alkalmazzuk. Ügyelni kell arra azonban, hogy az R3 típusú forgatási mátrix kétszer szerepel! A mobil térképező rendszerekben alkalmazott inerciális mérőegységek (IMU-k) gyakorta Eulerelemeket adnak ki, fontos azt is ellenőrizni, hogy melyik változatában. Megjegyezzük, hogy más forgatási szögekkel operáló forgatás is ismert (még ritkán a fotogrammetriában is). Ilyen az azimut-tilt-swing megadási mód. Ezeket a módokat azonban nem tárgyaljuk. Forgatás forgástengellyel és forgatási szögekkel Az első, szintén az IMU-k által szolgáltatott adatok miatt tárgyalandó megadási mód a kvaterniókon alapszik. A kvaterniók4 a komplex számok kiterjesztései, mégpedig egy skalár és egy vektor kombinálásával. A következők szerint jelölhetjük őket: (
)
[ ]
[ ] (133)
ahol q jelenti a kvaternió skalár részét, q pedig a vektor részét. A legutolsó jelölés szerint q0 a skalár és q1, q2, q3 pedig a vektorrész komponensei. A vektorrész komponensei rendre az i,j,k koordinátatengelyek mentén mért vetületeknek foghatók fel. A kvaterniókra is definálták az alapműveleteket. Az összeadás gyakorlatilag az elemenkénti összegzést jelenti, a kivonás ebből levezethető. A szorzás szabálya q és r kvaterniókra a következő: 4
W.R.Hamilton közölte először a kvaterniókat 1843-ban mechanikai témájú dolgozatában. 43
(134)
ami két részben számítható: (135)
(136)
A fenti kifejezésben skaláris és vektoriális szorzás egyaránt megtalálható. Az iménti összetett szorzás elvégezhető úgy is, hogy q kvaternióra definiálunk egy mátrixot: [
] (137)
majd a szorzást ezzel írjuk le: (138)
A kvaternió konjugáltja a vektorrészének negatív értékeivel definiálható: [
]
[
] (139)
A négyzetes normája pedig | | (140)
A konjugált és norma felhasználásával az inverz is számítható: | | (141)
A forgatás a kvaterniókkal a következők szerint néz ki: p kvaternió elforgatása q kvaternióval megadott módon balról és jobbról inverzzel végzett szorzás: (142)
A forgatás során p skalárja nem változik meg, tehát p’=p, a forgatási mátrix pedig a következő: ( ) ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( ) (143)
A fotogrammetriában az imént bemutatott kvaterniós megoldásnak alkalmazzák az ún. Rodriguesféle reprezentációját is. Ennek részleteibe azonban nem kívánunk belemenni. A kvaterniós jelölés rendkívüli előnye, hogy az egymás utáni forgatások összefűzhetők, konkatenálhatók:
44
(144)
A forgatási mátrixok is összefűzhetők: (145)
Ez azonban a forgatási szögekre sajnos nem mondható el. Forgatás kis szögekkel Kicsiny szögekkel történő forgatáskor a jól bevált közelítés alkalmazható: ( ) (146)
(
) (147)
A (130) forgatási mátrix ekkor jócskán elegyszerűsödik: (
)
[
] (148)
ahol dr jelöli a szögek kicsiny megváltozását.
45
Rendszerkomponensek Áttekintés A következőkben vegyük sorra a mobil térképező rendszerekben leggyakrabban használt összetevőket. Tárgyalásunk során a nagyobb fejezetek lesznek: 1. helymeghatározó komponens 2. képalkotó (kamera) komponens 3. lézeres komponens 4. egyéb szenzoros komponens.
A helymeghatározó komponens A mobil térképező rendszer egyik kulcsfontosságú része, mivel minden elvégzett ún. attribútummérés kizárólag a helymeghatározás végrehajtása után kerül be a megfelelő adatbázisba, térinformatikai rendszerbe. A helymeghatározás szinonimája a pozícionálás (angolul positioning, néha georeferencing). Feladata nagyrészt műholdas megoldások segítségével a földfelszínen mozgó műszeregyüttes helyének és helyzetének megállapítása. A műholdas megoldás a GNSS (Global Navigation Satellite System), tehát a globális kiterjedésű műholdas navigációs rendszerre támaszkodik. Megjegyezzük, hogy a navigáció talán ebben a környezetben pontatlan megnevezés, mivel a hely megállapítása és legfeljebb digitális térkép használata mellett útvonalmeghatározást, -számítást, főleg utasításokat nem tartalmaz és nem használ. (Az ellentmondások elkerülése érdekében tehát a navigáció szót mellőzzük a továbbiakban.) A GNSS rendszerek között természetesen megemlíthetők a mostanra ismert amerikai GPS, az orosz Glonass, de akár a kínai Beidou, a francia DORIS, a tervezett japán QZSS, a kínai Compass, az európai Galileo vagy más országok rendszerei. A GNSS részleteiről másik tárgy keretei között lehet további ismereteket megtalálni. A mobil térképezés számára a a GNSS-világból lényeges, hogy milyen gyártóktól lehet termékeket vásárolni. Itt említhetők a Trimble, Topcon, Javad, Novatel, Leica, Garmin és még megannyi gyártó termékei. Lényeges lehet, hogy milyen kiszerelésben érhetők el a megoldások: chip vagy kártya/integrált áramkör formájában, ilyen pl. a µblox, JTI, GlobalSat, Sparkfun, Trimble stb. OEM (Original Equipment Manufacturer – azaz eredeti eszközgyártói kivitelben, vagyis egyszerű dobozolásban), ilyen a nagyobb gyártóktól is elérhető, pl. Trimble, Garmin, Thales stb. felhasználói dobozolású (azaz a normál PDA-szerű, műanyagházas stb. kivitel), pl. Garmin, Leica stb. A GNSS megoldások egyik lényeges korlátja a mérési pontosság és sebesség. Előbbi javítása érdekében az ún. augmentációs rendszerek használhatók, amik lehetnek műholdas alapú augmentációs rendszerek (SBAS – Satellite Based Augmentation System), mint pl. az amerikai WAAS (Wide Area Augmentation System), az európai Egnos (European Geostationary Navigation Overlay Service) stb.
46
földi augmentációs rendszerek (GBAS – Ground Based Augmentation System), pl. a VHF/UHF csatornájú rádióadók segítségével terjesztett korrekciós rendszerek. Az augmentációs megoldásban kiválóan használhatók a permanens állomások és azok hálózata, mint amilyen például a német SAPOS (Satellitenpositionierungsdienst der deutschen Landesvermessung) vagy az amerikai CORS (Continuously Operating Reference Stations). Segítségükkel mód nyílik a differenciális GPS (DGPS) mérések elvégzésére, ami jelentős pontosság növelést jelent szinte valósidejűen. (Az említett rendszerekről és megoldásokról is további részletek találhatók pl. a Műholdas helymeghatározás tárgyban.) A műholdas megoldás mellett a mérési sebesség növelése érdekében (is) használnak kiegészítő rendszereket is. Ezek között a jelentősebbek a dead reckoning (DR) rendszerek, köztük talán a kerékfordulatszám-mérő (DMI – Distance Measuring Instrument) a legismertebb
34. ábra: Az Applanix POS-LV rendszerében működő DMI-egység láthatón kódolt jeladó
inerciális mérőrendszerek (IMU – Inertial Measurement Unit), vagyis a mérőrendszer és annak felhasználásával, szoftverrel ellátott változata az INS (Inertial Navigation System). Ez utóbbi (tehát az inerciális mérőegység) megoldására számos bonyolult fizikai jelenség és megfigyelés kihasználásával készítettek műszereket. A legfontosabbak a következők: mechanikus egységek, amelyek lassan történelmi tárgyakká válnak, MEMS (Microelectromechanical Systems) rendszerek, amelyek ma már a modern rendszerek alapjait jelentik és különféle változatban kaphatók. Nevesebb gyártók a Honeywell, Litton, Crossbow, iMAR, IGI, OxTS, FOG (Fibre Optic Gyro) rendszerek, amelyek üvegszáloptikai kiszerelésben lézer felhasználásával működnek. Jelentősebb gyártók a Honeywell, Ixsea, KVH vagy a OceanTools. RLG (Ring Laser Gyro) rendszerek, mint példul a Honeywell, Litton, Marconi termékei, amelyek szintén lézeres mérésekkel jutnak a nagyobb pontosságú megfigyelésekhez. A nagyobb gyártók integrált megoldást kínálnak a GNSS, IMU és DMI megfigyelések együttes feldolgozására, és a megfelelő hely- és helyzetadatok szolgáltatására. Itt a jelentősebb rendszereket az Applanix, az IGI, au iMar és a Crossbow gyártja.
47
35. ábra: Az Applanix POS-LV és az IGI CCNS4 rendszerei
A képalkotó komponens A mobil térképezés szinte összes kereskedelmi rendszerében megtalálható komponens. A képalkotás állóképes (still image camera) és mozgóképes (moving image camera) kamerákkal történhet. A kamerák képalkotásra használt hullámhossztartománya különböző lehet: látható (400-800 nm), infravörös (>800 nm), néha ultraibolya (<400 nm) tartomány. A leggyakoribbak a látható fény tartományában működő kamerák. A kamerák további jellemzői a geometriai felbontás, azaz a kamerák által leképzett legkisebb elem, vagyis a pixel mérete. Gyakrabban nem a pixel terepi méretét adják meg valamely hosszúságegységben, hanem a sokkal egyszerűbb jellemzést használják, nevezetesen az érzékelőn elhelyezett különálló szenzorcellák számát. Így a képet alkotó pixelek össz-száma a megadott jellemző: a közel egymillió pixelt szokás 1 megapixelnek hívni (pontosabban 1024 × 1024 db pixel adja ki az 1 megapixelt). A mobil térképezés kamerái a rendkívül nagy adatmennyiség miatt a néhány megapixeles tartományban helyezkednek el: pl. 2048 × 2048 pixel. A készült képek lehetnek spektrálisan egy vagy többsávosak; az egysávos képek a monokróm felvételek, melyeket fekete-fehér képként szoktunk meg. A többsávos felvételek a mobil térképezés világában (a távérzékeléssel ellentétben) mindössze három csatornával rendelkeznek, ezek pedig rendre a vörös (R), a zöld (G) és a kék (B) csatornák. Az így rögzített képeket szoktuk színes képnek nevezni. A radiometriai felbontás szempontjából a képeket sávonkénti színek számával (a színmélységgel) adjuk meg, esetleg a tároláshoz szükséges bájtok számát közöljük. Ennek megfelelően a leggyakoribb képek sávonként 256 árnyalatot tartalmaznak 1 bájt memória használatával. A képek folyamatos készítése esetén is lényeges az ismétlési ráta megadása. Ezt a mérőszámot nevezik frame rate-nek és a másodpercenként készített képek számát adja meg. A tipikus kamera közel 30 képet készít másodpercenként, vagyis 30 fps (frame per second) jellemzi. A kamerák – a kézi kamerákhoz hasonlóan – a képalkotás elvét tekintve egyaránt lehetnek CCD-vel és CMOS-szal szerelt berendezések. Érdemes egy kicsit megállni és számolni az adatmennyiséggel! Egyetlen kamera esetén a színes, tehát 3 sávos kép, amely a fenti 2048 × 2048 pixelt rögzít sávonként 1 bájton, a fenti másodpercenkénti ismétlési számmal figyelembe véve egyetlen másodperc alatt 2048 × 2048 × 3 × 30 bájtot, azaz 360 MB-t jelent tömörítés nélkül. Ezzel a paraméterkészlettel továbbgondolva egy órányi munka során a tömörítetlen adatmennyiség 1.2 TB! S ezt az adatmennyiséget ki kell tudni olvasni a kamerából, azt továbbítani, majd alkalmas tárolóegységen archiválni. Ezután pedig fel is kell dolgozni, mivel nem önmagáért az adatokért, hanem azok hasznosításáért gyűjtjük őket. 48
A kamerák lehetnek egyedül álló kamerák, vagy kamera-együttesek. A kamera-együttesek esetében is többféle megoldással találkozhatunk. Mivel a mobil térképezésnél kétféle főbb feldolgozási irány látszik, így a kamerák elrendezése is ennek szegődik a szolgálatába. Az első a mozgó platform teljes környezetének folyamatos leképzése. Ekkor a kamera összetett lencserendszerrel kialakított panoráma kamera. Erre kiváló példa a szabályos ötszög alakban elrendezett, minden oldalán egy objektívvel, s a tetején egy további objektívvel felszerelt Ladybug kamera (36. ábra).
36. ábra: Színes 8 bites 15 fps Ladybug3 kamera 1600 × 1200 pixel felbontással (PointGrey)
37. ábra: Ladybug kamerával készült panorámakép
A másik megoldás a térbeli térképezés céljait szolgálja ki. Ennek érdekében legalább két kamerapárt kell ugyanarra az irányra állítani, így sztereokamera jön létre. Lehetséges, hogy a platform több ilyen sztereokamerát hordoz, többször két kamera van a járműre felszerelve. A legérdekesebb esetben a kamerákat a jármű tetején körben helyezik el úgy, hogy képeik részben átfednek, így az utólagos feldolgozás során lehet a kamerák képeit összerendelni és térbeli kiértékelésre használni. Néhány lehetséges kamera-elrendezést mutat be az 38. ábra.
49
38. ábra: Lehetséges kamera-együttes elrendezések a mérőjárművön
A sztereokamerák rendkívüli előnye, hogy a fotogrammetriában definiált formulák segítségével térbeli objektumkoordináták számíthatók. A rögzített elrendezés kalibrálásával az ún. külső tájékozási adatok megállapíthatók, majd a számításhoz rögzíthetők. Ennek köszönhetően azonos alakú matematikai képletekkel beágyazottan lehet számításokat végezni, amelyek akár a terepen biztosítják a kiválasztott (rámutatott) pont teljes térbeli koordinátahármasát. A következő ábra egy mérőjármű tetején elrendezett kamera-együttest mutat.
39. ábra: Kamera-együttes a mérőjármű tetején
50
A lézeres komponens A lézert a mobil térképezésben kétféleképp szokás használni. Az első használati mód nagyon egyszerű: a lézert mutatónak (marker-nak) használják. A mobil térképezés ugyanis gyakran a mintázat nélküli, vagy nehezen azonosítható mintázattal rendelkező útburkolatot hivatott mérni, amelynek megoldásában nagy segítség, ha struktúrát vetítünk az útra. Ez a struktúra lehet egyszerű pont, lehet vonal, de akár vonalsereg is. Ilyenkor párhuzamos vonalakat vetítenek a burkolatra, de alkalmaznak kifejezetten projektorokat is, amelyek random mintázatot képesek vetíteni. A kivetített mintázat, pl. pont egyértelműen azonosítható a burkolatról készült képeken, így a különböző helyzetű kamerák képein megmért egyazon pont koordinátáiból a burkolat felületén leképződött pont térbeli koordinátái számíthatók. Ilyen megoldást egyébként az ipari kamerás méréstechnikában gyakran alkalmaznak, de találunk rá példát a mobil térképezésben is. A BME-n fejlesztett PHORMS rendszer szintén vetített lézerpontok azonosítását követően számítja a felületi pontok koordinátáit. A lézer másik alkalmazása a távolságmérésben látható. Már régi felismerés, hogy a lézerrel kiválóan lehet távmérőket készíteni. Ezt a tulajdonságot használja ki a pontszerű lézeres távmérő. Különböző változatokban készülnek ezek a berendezések. A mobil felmérésben használt pontszerű távmérő alkalmas felerősítéssel kerül a burkolat fölé, így a például a burkolat fölött mozgatott vízszintes rúdra erősített távmérőkkel a rúd és a burkolat távolsága folyamatosan mérhető. Végső soron pedig a lézer helyzetének megfelelően a burkolat hosszirányú magassági profilja mérhető meg. Minél nagyobb frekvenciával képes a távmérő a méréseket elvégezni, annál részletesebb hosszirányú profil készíthető. A nagyobb pontosság elérése érdekében újabban a visszaverődő lézer érzékelésére kis távolságra excentrikusan helyeznek el detektort. Az ilyen megoldást néhol lézerkamerának is nevezik. Ezt az elvet kihasználva építették meg a svéd RST felmérő járművet, amelynek első lökhárítójánál helyezték el a lézer(kamerákat) tartó gerendát. Az ipari lézerkamerák gyártói közül az egyik legjobb a japán Keyence.
40. ábra: Keyence lézerkamera
51
A képen látható lézerkamera 20 és 100 cm távolság mérésére alkalmas akár 0.33 ms-onként (~3kHz) 50 µm-es pontossággal. Ez a pontosság az út érdességének igen pontos mérésére is kiváló. Természetesen léteznek nagyobb frekvenciával és kisebb pontossággal rendelkező megoldások is. A távmérő egyik komoly hátránya, hogy csak egyetlen maga alatt elhaladó pont mérésére képes. Ezért gyorsan adódott az ötlet, hogy letapogató módban kell használni a távmérőt. Ez a törekvés vezetett sok fejlesztői munka után a lézerszkennerek megjelenéséhez. (Eleinte a légi lézerszkennereket, később a mobil lézerszkennereket is szokássá vált lidar-nak nevezni.) A lézerszkennerben a lézer eltérítésére különböző megoldásokat használnak, a mobil térképezésben többnyire a sugár útjába helyezett forgó prizmát használják. Segítségével a gyorsan forgó prizma egyes diszkrét helyzeteiben történik meg a távolságmérés, vagyis minden prizmaállással megcélzott pont távolságát lehet mérni. Amennyiben ismerjük a prizmaállást és mérjük a távolságot, a forgási síkban számítani lehet a visszaverő pont koordinátáit. Ezzel a megoldással működnek a profilozó (2D) lézerszkennerek. Az ipari gyakorlatban az egyik leggyakrabban használt profilozó lézerszkenner a Sick gyártmánya, az LMS291. A ma piacon kapható mobil térképező rendszer legtöbbjében is ilyen profilozó lézerszkenner működik.
41. ábra: Sick LMS511 kültéri profilozó lézerszkenner
Az ábrán látható szkenner a cég legújabb fejlesztései közé tartozik. Képes 5 visszaverődés detektálására 100 Hz-es frekvencia mellett 0.166° szögfelbontás mellett. A berendezés hatótávolsága mintegy 80 méter, pontossága 7 mm körüli. Mivel a mobil térképező platform (felmérő jármű) folyamatosan mozog, ezért az állandóan körbeforgó lézer valódi térbeli alakzata egy spirális. Ennek a spirálnak az emelkedése a mérőjármű sebességétől függ. Mivel azonban a lézer forgása jóval nagyobb sebességű, mint a jármű mozgása, ezért a profil meglehetősen sűrűn szerepel a mérési eredményekben. Tulajdonképpen így spirálisan mozgó lézerrel készül a legtöbb lézerszkenneres felmérés. Gyakran a profilozó lézerszkennerből két eszközt építenek fel egy mobil térképező rendszerre úgy, hogy a profilsíkok nem függőlegesek, hanem ferdék, továbbá egymással szöget zárnak be. A két szkenner a mérőjármű egy-egy oldalára „koncentrál”, azaz a jármű egy-egy oldalán képes nagyobb 52
pontfelhőt megmérni. Ennek az elrendezésnek az ugyanis az előnye, hogy javul a kitakarás-kezelés, egyben nagyobb részletességgel lehet a járművel a felmérést elvégezni.
42. ábra: Két profilszkenner a Dynascan mérőjárművén
Ha a lézerszkenner profilsíkja is mozgatható, már teljes térbeli (3D) szkennelésre alkalmas. Ezt a megoldást azonban jóval ritkábban használják a mobil térképezésben.
Az egyéb szenzoros komponensek A mobil térképezésben a már bemutatott érzékelők mellett továbbiak is lehetnek. Ezeknek a körét nehéz pontosan meghatározni, mivel a kereskedelmi rendszerekben a leírt komponensek fordulnak elő, a kutatóhelyeken fejlesztett rendszerekből meglehetősen sok létezik. Az említendő szenzorok között ezért az alábbiak az érdekesebbek: navigációs érzékelők: o magnetométer o kompassz (elektronikus iránytű) burkolati érzékelők: o lehajlásmérő rádiós érzékelők: o RFID-érzékelő (rádiófrekvenciás azonosító) o WIFI-érzékelő (vezetéknélküli hálózat érzékelő)
53
Felhasznált irodalom Bronstein, IN – Szemengyajev, KA – Musiol, G – Mühlig, H (2000): Matematikai kézikönyv, Typotex Kiadó, Budapest Detrekői, Á (1991): Kiegyenlítő számítások, Tankönyvkiadó, Budapest Fodor, Gy. (2006): Jelek és rendszerek, Műegyetemi Kiadó, Budapest Grewal, M.S. – Andrews, A.P. (2008): Kalman Filtering. Theory and Practice Using Matlab, Wiley, Hoboken, New Jersey, p. 575 Lantos, B. (2005): Irányítási rendszerek elmélete és tervezése I-II., Akadémiai Kiadó, Budapest Orderud, F. (2005): Comparison of Kalman Filter Estimation Approaches for State Space Models with Nonlinear Measurements, Proceedings of Scandinavian Conference on Simulation and Modeling SIMS 2005, Trondheim, p. 8 Wikipedia: Extended Kalman filter Wikipedia: Kalman filter Wikipedia: Linear-quadratic-Gaussian control
54
