Prˇedna´sˇka 4
I. termodynamicky´ za´kon I. termodynamicky´ za´kon jakozˇto nejobecneˇjsˇ´ı za´kon zachova´nı´ energie je jednı´m ze za´kladnı´ch stavebnı´ch kamenu˚ termodynamiky. V te´to prˇedna´sˇce zopakujeme zneˇnı´ tohoto za´kona a na jeho za´kladeˇ potom pomocı´ metod termodynamiky odvodı´me celou rˇadu velmi obecny´ch a uzˇitecˇny´ch vztahu˚ jako je vztah mezi tepeny´mi kapacitami soustavy, obecne´ rovnice adiabat a polytrop syste´mu˚ a vztah mezi adiabaticky´m a izotermicky´m koeficientem pruzˇnosti a Poissonovy´m koeficientem syste´mu.
4.1
I. termodynamicky´ za´kon a jeho du˚sledky
Jak jsme jizˇ uvedli, I. termodynamicky´ za´kon je za´konem zachova´nı´ energie a lze jej formulovat takto: Teplo dodane´ soustaveˇ se rovna´ soucˇtu prˇ´ıru˚stku vnitrˇnı´ energie a pra´ce kterou soustava vykona´. I. termodynamicky´ za´kon mu˚zˇeme napsat v diferencia´lnı´m tvaru pro nekonecˇneˇ male´ zmeˇny odpovı´dajı´cı´ch velicˇin, prˇicˇemzˇ za symbolem d¯ vystupujı´ velicˇiny, ktere´ nejsou u´plny´mi diferencia´ly neˇjake´ funkce, za symbolem d naopak vystupujı´ velicˇiny, ktere´ jsou u´plny´mi diferencia´ly neˇjake´ funkce, tedy stavove´ velicˇiny, nebo-li termodynamicke´ potencia´ly. Prvnı´ termodynamicky´ za´kon zapsany´ v diferencia´lnı´m tvaru ma´ prˇi respektova´nı´ vy´sˇe uvedeny´ch zname´nkovy´ch konvencı´ pro pra´ci a teplo tvar d¯Q = dU + d¯W
(4.1)
Q = U2 − U1 + W = ∆U + W .
(4.2)
a po jeho integraci
Vsˇimneˇme si zˇe rozdı´l dvou velicˇin, ktere´ nejsou u´plny´mi diferencia´ly mu˚zˇe da´t u´plny´ diferencia´l. Prˇepisem I. termodynamicke´ho za´kona v diferencia´lnı´m tvaru dostaneme dU = d¯Q − d¯W . 4 – 43
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady
Z I. termodynamicke´ho za´kona je okamzˇiteˇ mozˇne´ odvodit neˇkolik nejzrˇejmeˇjsˇ´ıch du˚sledku˚ pro neˇkolik specia´lnı´ch prˇ´ıpadu˚ soustav a deˇju˚: 1. Pro izolovanou soustavu: Izolovana´ soustava si s okolı´m nevymeˇnˇuje ani teplo ani pra´ci, tedy Q=0 ,
W =0
=⇒
∆U = 0 ,
takzˇe v izolovane´ soustaveˇ zu˚sta´va´ vnitrˇnı´ energie konstantnı´ bez ohledu na to zda v nı´ probı´hajı´ neˇjake´ deˇje. 2. Pro adiabaticky izolovanou soustavu: Adiabaticky izolovana´ soustava si s okolı´m nevymeˇnˇuje teplo, ale mu˚zˇe konat pra´ci. Okamzˇiteˇ dosta´va´me Q=0 =⇒ W = −∆U , takzˇe pra´ce v adiabaticky izolovane´ soustaveˇ je rovna za´porneˇ vzate´ zmeˇneˇ vnitrˇnı´ energie.
3. Pro kruhove´ deˇje Prˇi kruhovy´ch deˇjı´ch se soustava vzˇdy vracı´ do sve´ho pu˚vodnı´ho stavu, tedy pro uzavrˇeny´ cyklus platı´ � dU = 0
=⇒
∆U = 0
=⇒
Q=W ,
takzˇe celkove´ teplo, ktere´ soustava prˇijala beˇhem jednoho cyklu je rovno pra´ci, kterou soustava beˇhem cyklu vykona´. Pokud soustava beˇhem cyklu prˇijme teplo Q1 a odevzda´ teplo Q2 potom vy´sledne´ teplo prˇijate´ soustavou beˇhem cyklu je samozrˇejmeˇ rovno pra´ci, kterou soustava beˇhem cyklu vykona´, tedy Q = Q1 − Q2 = W .
4.1.1
Vztah mezi tepelny´mi kapacitami soustavy
Jizˇ ze studia termiky vı´me, zˇe tepelna´ kapacita soustavy za´visı´ na zpu˚sobu jaky´m probı´ha´ jejı´ ohrˇev cˇi chladnutı´. Ukazˇme si nynı´ jaky´m zpu˚sobem lze z I. termodynamicke´ho za´kona urcˇit rozdı´l tepelny´ch kapacit soustavy prˇi konstantnı´ zobecneˇne´ sı´le a sourˇadnici, tedy CA − Ca . Toto odvozenı´ velmi peˇkneˇ demonstruje metody termodynamiky. Vy´sˇe uvedeny´ vztah odvodı´me bez jaky´chkoli prˇedpokladu˚ o vnitrˇnı´ strukturˇe la´tek, pouze na za´kladeˇ definic tepelny´ch kapacit CA ≡
�
Ca ≡
∂Q ∂T
�
�
∂Q ∂T
,
(4.3)
A
�
(4.4) a
a II. postula´tu termodynamiky aplikovane´ho na vnitrˇnı´ energii U = U (a, T ) 4 – 44
(4.5)
I. termodynamicky´ za´kon a jeho du˚sledky
Michal Varady
a za´kona zachova´nı´ energie, tedy I. termodynamicke´ho za´kona d¯Q = dU + A da .
(4.6)
Nejprve zjednodusˇ´ıme vy´raz pro Ca . Z I. termodynamicke´ho za´kona vyply´va´, zˇe je-li a = konst a tedy da = 0, potom d¯Q = dU . Vztah (4.4), lze prˇepsat takto � � � � ∂Q ∂U Ca ≡ = . (4.7) ∂T a ∂T a S vyuzˇitı´m vztahu (4.5) vyja´drˇ´ıme u´plny´ diferencia´l vnitrˇnı´ energie � � � � ∂U ∂U dU = dT + da , ∂T a ∂a T
(4.8)
ktery´ dosadı´me–li za dU do I. termodynamicke´ho za´kona. Po jednoduche´ u´praveˇ dosta´va´me � � �� � � �� � � ∂U ∂U ∂U d¯Q = dT + + A da = Ca dT + + A da . ∂T a ∂a T ∂a T
(4.9)
Toto je teplo prˇijate´ soustavou, meˇnı´–li se beˇhem ohrˇevu jak teplota, tak i zobecneˇna´ sourˇadnice a. Vydeˇlı´me–li poslednı´ vztah dT a nove´ derivace provedeme prˇi konstantnı´ zobecneˇne´ sı´le, dostaneme vztah pro CA � � �� � �� � ∂Q ∂U ∂a CA = = Ca + +A . (4.10) ∂T A ∂a T ∂T A Snadnou u´pravou zı´ska´me vy´sledny´ hledany´ vztah pro CA − Ca CA − Ca =
��
∂U ∂a
�
+A T
��
∂a ∂T
�
.
(4.11)
A
Prvnı´ cˇlen na prave´ straneˇ rovnice vyjadrˇuje zmeˇnu vnitrˇnı´ energie soustavy se zmeˇnou jejı´ho objemu prˇi konstantnı´ teploteˇ a zı´ska´me ho z kaloricke´ stavove´ rovnice zkoumane´ho syste´mu. Druhy´ cˇlen prˇedstavuje zobecneˇnou sı´lu v dane´m syste´mu a poslednı´ cˇlen na prave´ straneˇ rovnice ma´ vy´znam zmeˇny objemu soustavy s teplotou prˇi sta´le´m tlaku. Z tohoto vztahu je jasneˇ patrna´ prˇ´ıcˇina toho, procˇ pro kapaliny a pevne´ la´tky jsou tepelne´ kapacity Cp a Cv te´meˇrˇ stejne´, zatı´mco pro plyny se podstatneˇ lisˇ´ı. Prˇ´ıcˇina je v derivaci � � ∂V , (4.12) ∂T P vystupujı´cı´ ve vztahu (4.11) jako poslednı´ cˇlen na prave´ straneˇ. Tato derivace vpodstateˇ vyjadrˇuje koeficient teplotnı´ objemove´ roztazˇnosti, ktery´ je u pevny´ch la´tek a kapalin velmi maly´ a tedy take´ rozdı´ly CP − CV jsou male´. Na druhou stranu pro plyny ma´ koeficient teplotnı´ objemove´ roztazˇnosti pomeˇrneˇ znacˇnou velikost a proto take´ CP − CV naby´va´ nezanedbatelny´ch hodnot. Fyzika´lnı´ du˚vod nerovnosti tepelny´ch kapacit CA a Ca spocˇ´ıva´ v tom, zˇe prˇi ohrˇevu za sta´le´ zobecneˇne´ sı´ly roste jednak vnitrˇnı´ energie soustavy, ale take´ se meˇnı´ odpovı´dajı´cı´ zobecneˇna´ sourˇadnice, takzˇe soustava navı´c kona´ 4 – 45
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady
jesˇteˇ pra´ci A da na okolı´. Probı´ha´–li ohrˇev soustavy prˇi konstantnı´ zobecneˇne´ sourˇadnici, roste pouze vnitrˇnı´ energie soustavy, ale pra´ce se nekona´, protozˇe da = 0. Poznamenejme jesˇteˇ, zˇe vztah pro CA − Ca lze jesˇteˇ da´le upravit pomocı´ rovnice urcˇujı´cı´ vztah mezi kalorickou a termickou stavovou rovnicı´, kterou odvodı´me pozdeˇji pomocı´ entropie � � � � ∂U ∂A =T −A. (4.13) ∂a T ∂T a Dosadı´me–li tuto rovnici do (4.11) dostaneme CA − Ca = T
�
∂A ∂T
� � a
∂a ∂T
�
.
(4.14)
A
Vidı´me tedy, zˇe k urcˇenı´ rozdı´lu tepelny´ch kapacit syste´mu zcela postacˇuje znalost pouze termicke´ stavove´ rovnice.
4.1.2
Mayeru˚v vztah
Urcˇeme nynı´ CP m − CV m , tedy rozdı´l mola´rnı´ch tepelny´ch kapacit pro idea´lnı´ plyn. Prˇepı´sˇeme–li vztah (4.11) pro syste´m, kde zobecneˇnou silou je tlak, tedy A = P , zobecneˇnou sourˇadnicı´ objem, tedy a = V , pro jeden mol plynu dostaneme �� � �� � 1 ∂U ∂V CP m − CV m = +P . (4.15) n ∂V T ∂T P Abychom mohli do tohoto vztahu dosadit hodnoty jednotlivy´ch derivacı´, potrˇebujeme nejprve kalorickou stavovou rovnici. Jak jizˇ vı´me (viz cˇl. 1.3.3), ta je pro idea´lnı´ plyn dana´ definitoricky � � ∂U ≡0. (4.16) ∂V T Z termicke´ stavove´ rovnice pro jeden mol plynu P V = RT dostaneme derivaci � � � � �� ∂V ∂ nRT nR = = . ∂T P ∂T P P P
(4.17)
Po dosazenı´ do rovnice (4.15) okamzˇiteˇ dostaneme CP m − CV m =
1 R [0 + P ] = R , n P
(4.18)
tedy zna´my´ Mayeru˚v vztah CP m − CV m = R . Odvod’me nynı´ stejny´ vzorec jesˇteˇ jednou, ale pomocı´ vztahu (4.14) � � � � ∂P ∂V CP m − CV m = T . ∂T V ∂T P 4 – 46
(4.19)
(4.20)
Za´kladnı´ termodynamicke´ deˇje a jejich rovnice
Michal Varady
K dosazenı´ do tohoto vztahu potrˇebujeme pouze termickou stavovou rovnici pro jeden mol plynu. Pro prvnı´ derivaci dostaneme � � � � �� ∂P ∂ nRT nR = = , (4.21) ∂T V ∂T V V V zatı´mco derivaci druhou v porˇadı´ ma´me jizˇ spocˇtenou (4.17). Dosadı´me tedy do obecne´ho vztahu (4.20) CP m − CV m =
1 nR nR T =R n V P
(4.22)
a protozˇe nRT /V = P dosta´va´me stejny´ vy´sledek, tedy zna´my´ Mayeru˚v vztah.
4.2
Za´kladnı´ termodynamicke´ deˇje a jejich rovnice
Nynı´ se budeme zaby´vat termodynamicky´mi vratny´mi deˇji, prˇi nichzˇ je neˇktera´ stavova´ velicˇina nebo funkce konstantnı´ nebo nulova´ a odvodı´me jejich obecne´ rovnice.
4.2.1
Izotermicke´, izochoricke´ a izobaricke´ deˇje
Obecne´ rovnice izotermicky´ch, izochoricky´ch a izobaricky´ch deˇju˚ dostaneme z termicke´ stavove´ rovnice P = P (V, T ), kterou prˇepı´sˇeme do tvaru f (V, P, T ) = 0, drzˇ´ıme–li vzˇdy jednu deˇji odpovı´dajı´cı´ch stavovy´ch velicˇin konstantnı´. Dosta´va´me tak pro izotermicky´ deˇj 0 = fT =konst (P, V, T ) ,
(4.23)
0 = fV =konst (P, V, T )
(4.24)
0 = fP =konst (P, V, T ) .
(4.25)
pro izochoricky´ deˇj a pro izobaricky´ deˇj Zde jsme napsali obecne´ rovnice teˇchto deˇju˚ pro soustavy v nichzˇ roli zobecneˇne´ sı´ly hraje tlak a zobecneˇne´ sourˇadnice objem. Pro soustavy s jiny´mi zobecneˇny´mi silami a sourˇadnicemi jen nahradı´me patrˇicˇne´ velicˇiny. Aplikujeme-li uvedene´ vztahy na idea´lnı´ plyn dostaneme s vyuzˇitı´m termicke´ stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu P V = RnT pro izotermicky´ deˇj P V = RnT = konst ,
(4.26)
tedy Boyle–Marriotteu˚v za´kon, pro izochoricky´ deˇj P Rn = = konst , T V 4 – 47
(4.27)
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady tedy Charlesu˚v za´kon a pro izobaricky´ deˇj V Rn = = konst , T P
(4.28)
tedy Gay–Lussacu˚v za´kon. Zdu˚razneˇme jesˇteˇ, zˇe obdobne´ za´konitosti lze ze znalosti termicke´ stavove´ rovnice zı´skat pro libovolny´ syste´m, drzˇ´ıme–li konstantnı´ teplotu, zobecneˇnou sourˇadnici nebo zobecneˇnou sı´lu.
4.2.2
Adiabaticke´ a polytropicke´ deˇje
Adiabaticke´ deˇje Adiabaticke´ deˇje jsou charakterizova´ny podmı´nkou d¯Q = 0. Odvod’me nynı´ obecnou rovnici adiabaty. Vyjdeme z I. termodynamicke´ho za´kona pro adiabaticke´ deˇje 0 = dU + A da .
(4.29)
Tento vztah upravı´me dosazenı´m za u´plny´ diferencia´l vnitrˇnı´ energie � � � � ∂U ∂U dU = dT + da . ∂T a ∂a T Dostaneme 0=
�
∂U ∂T
�
dT + a
��
∂U ∂a
�
�
+ A da = Ca dT + T
��
(4.30)
∂U ∂a
�
T
� + A da ,
(4.31)
kde za Ca jsme dosadili ze vztahu (4.7). Za vy´raz v hranate´ za´vorce lze dosadit ze vztahu (4.11) �� � � ∂U CA − Ca + A = � ∂a � . (4.32) ∂a T ∂T A
Dosazenı´m tohoto vztahu do rovnice (4.31) dostaneme
CA − Ca 0 = Ca dT + � ∂a � da ,
(4.33)
∂T A
cozˇ lze upravit jako
� � ∂T 0 = Ca dT + (CA − Ca ) da . ∂a A
(4.34)
Tı´m jsme dostali obecnou rovnici adiabaty syste´mu v promeˇnny´ch a a T . Z uvedene´ho vztahu je patrne´, zˇe k odvozenı´ rovnice adiabaty pro konkre´tnı´ syste´m stacˇ´ı zna´t termickou stavovou rovnici syste´mu. Chceme-li obecnou rovnici adiabaty v promeˇnny´ch A a a, je nutno vyuzˇ´ıt termickou stavovou rovnici syste´mu A = A(a, T ), vyja´drˇit z nı´ teplotu T = T (A, a), napsat jejı´ u´plny´ diferencia´l � � � � ∂T ∂T dT = dA + da (4.35) ∂A a ∂a A 4 – 48
Za´kladnı´ termodynamicke´ deˇje a jejich rovnice
Michal Varady
a dosadit do vztahu (4.34). Po jednoduche´ u´praveˇ dostaneme � � � � � � ∂T ∂T ∂T 0 = Ca dA + Ca da + (CA − Ca ) da = ∂A a ∂a A ∂a A � � � � � � � � ∂T ∂T ∂T ∂T = Ca dA + Ca da + CA da − Ca da = ∂A a ∂a A ∂a A ∂a A � � � � ∂T ∂T = Ca dA + CA da . ∂A a ∂a A
(4.36) (4.37) (4.38)
Dostali jsme tak hledany´ vztah pro adiabatu v promeˇnny´ch A a a 0=
�
∂T ∂A
�
a
�
∂T dA + κ ∂a
�
da ,
(4.39)
A
kde κ≡
CA , Ca
(4.40)
je tzv. Poissonu˚v koeficient.
Polytropicke´ deˇje Polytropicke´ deˇje jsou charakterizova´ny podmı´nkou C = konst, tedy tepelna´ kapacita syste´mu je konstantnı´. Prˇi polytropicky´ch deˇjı´ch si syste´m s okolı´m vymeˇnˇuje teplo d¯Q = C dT . Odvod’me obecnou rovnici polytropy. Postup bude velmi podobny´ jako u odvozenı´ obecne´ rovnice adiabaty. Opeˇt vyjdeme z I. termodynamicke´ho za´kona, tentokra´t pro polytropicke´ deˇje C dT = dU + A da .
(4.41)
Tento vztah upravı´me dosazenı´m za u´plny´ diferencia´l vnitrˇnı´ energie � � � � ∂U ∂U dU = dT + da . ∂T a ∂a T
(4.42)
Dostaneme C dT =
�
∂U ∂T
�
dT + a
��
∂U ∂a
�
�
+ A da = Ca dT + T
��
∂U ∂a
�
�
+ A da , T
(4.43)
kde za Ca jsme dosadili ze vztahu (4.7). Vy´raz v hranate´ za´vorce lze opeˇt prˇepsat pomocı´ vztahu (4.32) CA − Ca C dT = Ca dT + � ∂a � da ,
(4.44)
∂T A
cozˇ lze upravit jako
0 = dT +
CA − Ca Ca − C 4 – 49
�
∂T ∂a
�
da . A
(4.45)
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady
Tı´m jsme dostali obecnou rovnici polytropy syste´mu v promeˇnny´ch a a T . Opeˇt je patrne´, zˇe k odvozenı´ polytropy pro konkre´tnı´ syste´m stacˇ´ı zna´t termickou stavovou rovnici syste´mu. Chceme-li obecnou rovnici polytropy v promeˇnny´ch A a a, je opeˇt nutno vyuzˇ´ıt termickou stavovou rovnici syste´mu A = A(a, T ), vyja´drˇit z nı´ teplotu T = T (A, a) a napsat jejı´ u´plny´ diferencia´l, viz rovnice (4.35). Dosazenı´m tohoto vztahu do rovnice (4.45) dostaneme � � � � � � ∂T ∂T CA − Ca ∂T 0 = dA + da + da = (4.46) ∂A a ∂a A Ca − C ∂a A � � � �� � ∂T CA − Ca ∂T = dA + 1 + da = (4.47) ∂A a Ca − C ∂a A � � � � ∂T CA − C ∂T = dA + da . (4.48) ∂A a Ca − C ∂a A Dostali jsme tak hledany´ vztah pro polytropu v promeˇnny´ch A a a 0=
�
�
∂T ∂A
�
∂T dA + γ ∂a
a
�
da ,
(4.49)
A
kde γ≡ je tzv. polytropicky´ koeficient.
CA − C , Ca − C
(4.50)
Adiabaticky´ a polytropicky´ deˇj s idea´lnı´ plyn Ze znalosti obecne´ rovnice adiabaticke´ho je deˇje a z termicke´ stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu lze nynı´ jizˇ velmi jednodusˇe urcˇit rovnici adiabaty v libovolne´ dvojici stavovy´ch velicˇin. Naprˇ´ıklad ve stavovy´ch velicˇina´ch P a V dostaneme adiabatu dosazenı´m do rovnice (4.39), kde za zobecneˇnou sı´lu dosadı´me tlak a za zobecneˇnou sourˇadnici objem � � � � ∂T ∂T 0= dP + κ dV . (4.51) ∂P V ∂V P Zby´va´ ze stavove´ rovnice idea´lnı´ho plynu P V = RT vyja´drˇit derivace � � � � �� ∂T ∂ PV V = = ∂P V ∂P R R V a
�
∂T ∂V
�
= P
�
∂ ∂V
�
PV R
Dosazenı´m do (4.54) dostaneme diferencia´lnı´ rovnici 0=
��
= P
V P dP + κ dV , R R 4 – 50
P . R
(4.52)
(4.53)
(4.54)
Vztah mezi koeficienty pruzˇnosti a tepelny´mi kapacitami
Michal Varady
kterou po jednoduche´ u´praveˇ mu˚zˇeme integrovat � � 1 1 0= dP + κ dV = ln P + κ ln V − ln konst , P V
(4.55)
tedy
P V κ = konst ,
(4.56)
cozˇ je hledana´ rovnice adiabaty pro idea´lnı´ plyn, tzv. Poissonu˚v za´kon ve stavovy´ch promeˇnny´ch P a V , kde CP κ≡ >1, (4.57) CV je tzv. Poissonu˚v koeficient. Prˇechod k jine´ dvojici stavovy´ch promeˇnny´ch lze uskutecˇnit snadno bud’ zkombinova´nı´m vy´sˇe uvedene´ho vztahu se stavovou rovnicı´, nebo prˇepsa´nı´m obecne´ rovnice adiabaty do novy´ch promeˇnny´ch pomocı´ obecne´ termicke´ stavove´ rovnice. Dostali bychom tak rovnici adiabaty v promeˇnny´ch T a V T V κ−1 = konst
(4.58)
T κ P 1−κ = konst .
(4.59)
a v promeˇnny´ch P , T
Rovnici polytropy idea´lnı´ho plynu dostaneme obdobny´m zpu˚sobem z obecne´ rovnice polytropy v promeˇnny´ch P , V � � � � ∂T ∂T 0= dP + γ dV . (4.60) ∂P V ∂V P a z termicke´ rovnice idea´lnı´ho plynu. Vzhledem k tomu, zˇe tato rovnice je azˇ na koeficient γ zcela obdobna´ jako obecna´ rovnice adiabaty, je zrˇejme´, zˇe dostaneme P V γ = konst ,
(4.61)
cozˇ je hledana´ rovnice polytropy pro idea´lnı´ plyn ve stavovy´ch promeˇnny´ch P a V , kde γ≡
CP − C , CV − C
(4.62)
je tzv. polytropicky´ koeficient. Pro C = 0 je zrˇejme´, zˇe γ = κ a polytropa prˇecha´zı´ v adiabatu. Pro C → ∞ je γ = 1 a polytropa prˇecha´zı´ v izotermu. Prˇi prˇechodu k jine´ dvojici stavovy´ch promeˇnny´ch majı´ rovnice polytropy obdobny´ tvar jako rovnice (4.58) a (4.59), kde koeficient κ nahradı´me γ.
4.3
Vztah mezi koeficienty pruzˇnosti a tepelny´mi kapacitami
Izotermicky´ a adiabaticky´ koeficient pruzˇnosti definujeme takto εT ≡ −V
�
∂P ∂V
4 – 51
�
(4.63) T
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady a εS ≡ −V
�
∂P ∂V
�
,
(4.64)
S
prˇicˇemzˇ zname´nko minus zajisˇt’uje kladnost koeficientu˚, vzhledem k tomu, zˇe prˇi stlacˇova´nı´ (zmensˇova´nı´ objemu syste´mu) musı´ ru˚st tlak. I. termodynamicky´ za´kon na´m umozˇnˇuje najı´t vztah mezi pomeˇrem teˇchto koeficientu˚ a tepelny´mi kapacitami soustavy. Tento vztah nynı´ odvodı´me. Nejprve vyja´drˇ´ıme pomeˇr obou velicˇin � ∂P � εS ∂V S � . = � ∂P (4.65) εT ∂V T
Nynı´ pouzˇijeme obecnou rovnici adiabaty (4.39) � � � � ∂T ∂T 0= dP + κ dV ∂P V ∂V P � ∂P � a vyja´drˇ´ıme z nı´ derivaci ∂V S � ∂T � � � ∂P �P . = −κ � ∂V ∂T ∂V S ∂P
(4.66)
(4.67)
V
Z rovnice izotermy dT = 0 a termicke´ stavove´ rovnice z nı´zˇ vyja´drˇ´ıme teplotu T = T (V, P ) dostaneme � � � � ∂T ∂T dT = dP + dV = 0 (4.68) ∂P V ∂V P � ∂P � a tedy derivace ∂V je T � ∂T � � � ∂P �P . = − � ∂V (4.69) ∂T ∂V T ∂P V
Nynı´ dosadı´me za obeˇ tyto derivace do (4.65). Dostaneme
∂T ( ∂V )P ∂T ( ) εS ∂V S V � = κ ∂P = � ∂P =κ. ∂T ( εT ∂V )P ∂V T ∂T ( ∂P )V
� ∂P �
(4.70)
Dostali jsme tak jednoduchy´ vztah, ktery´ musı´ by´t splneˇn mezi adiabaticky´m a izotermicky´m koeficientem pruzˇnosti a Poissonovy´m koeficientem κ ≡ CP /CV soustavy εS =κ. εT
(4.71)
Prˇipomenˇme jesˇteˇ jednou, zˇe tento, opeˇt velmi obecny´ vztah, je du˚sledkem I. termodynamicke´ho za´kona.
4.4
Prˇ´ıklady k procvicˇenı´
1. Pro idea´lnı´ izotropnı´ paramagnetikum je vnitrˇnı´ energie funkcı´ pouze teploty U = U (T ) a jeho termicka´ stavova´ rovnice je da´na Curiovy´m za´konem CH , T kde C je Curieho konstanta, H intenzita magneticke´ho pole v paramagnetiku a T je jeho teplota. M=
4 – 52
Prˇ´ıklady k procvicˇenı´
Michal Varady
(a) Urcˇete rozdı´l tepelny´ch kapacit CH − CM , prˇi konstantnı´ intenziteˇ magneticke´ho pole H a magnetizaci M . (b) Odvod’te rovnici adiabaty izotropnı´ho idea´lnı´ho paramagnetika. 2. Urcˇete cP m − cV m pro van der Waalsu˚v plyn. 3. Urcˇete rovnici adiabaty pro fotonovy´ plyn v dutineˇ absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa (tedy v termodynamicke´ rovnova´ze se steˇnami absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa) je-li jeho kaloricka´ stavova´ rovnice da´na Stefan–Boltzmannovy´m za´konem U = σT 4 V a termicka´ stavova´ rovnice vztahem
1 P = σT 4 . 3 σ je konstanta Stefan–Boltzmannova za´kona, T teplota steˇn absolutneˇ cˇerne´ho teˇlesa a V objem dutiny. 4. Uvazˇte adiabatickou expanzi idea´lnı´ho plynu ze stavu P1 , V1 , T1 do stavu P2 , V2 , T2 . (a) Dokazˇte, zˇe pra´ce vykonana´ prˇi expanzi plynu je rovna W =
�V2
P dV =
V1
P1 V 1 − P2 V 2 . κ−1
(b) Ukazˇte, zˇe tato pra´ce je rovna za´porneˇ vzate´ zmeˇneˇ vnitrˇnı´ enrgie plynu prˇi expanzi, a zˇe je tedy splneˇn I. termodynamicky´ za´kon. 5. Urcˇete podmı´nku kdy adiabata dQ = 0 sply´va´ s izotermou dT = 0. 6. Kaloricka´ stavova´ rovnice pro 1 mol van der Walsova plynu je 3 a U = RT − . 2 V Prˇedpokla´dejte, zˇe pocˇa´tecˇnı´ stav 1 molu tohoto plynu ma´ teplotu T1 a je uzavrˇen v objemu V1 . V urcˇite´m okamzˇiku umozˇnı´me plynu expandovat do vakua, takzˇe po expanzi zabı´ra´ plyn celkovy´ objem V2 . Jakou vy´slednou teplotu T2 bude mı´t plyn? 7. Jak by se zmeˇnila teplota idea´lnı´ho plynu, kdybychom s nı´m provedli stejnou expanzi do vakua jako v prˇedsˇle´m prˇ´ıkladu? 8. Entalpie H je definova´na vztahem H = U + P V . Vyja´drˇete tepelnou kapacitu syste´mu prˇi konstantnı´m tlaku CP pomocı´ entalpie. 9. Dle termodynamicke´ definice idea´lnı´ho plynu za´visı´ jeho vnitrˇnı´ energie pouze na teploteˇ. Dokazˇte, zˇe teplo d¯Q dodane´ idea´lnı´mu plynu se stane u´plny´m diferencia´lem vydeˇlı´me-li jej teplotou T .
4 – 53
Prˇedna´sˇka 4: I. termodynamicky´ za´kon
Michal Varady
4 – 54
