Speciale
rela*viteit
Hoogtepunten
uit
de
‘Speciale
Rela2viteit
theorie’
van
Einstein
Stan
Bentvelsen
[email protected]
Albert
Einstein
(1879
–
1955)
Einstein’s
grensverleggende
papers
(1905):
– De
speciale
rela*viteitstheorie
• Ruimte
en
*jd,
E=mc2
– Het
foto‐elektrisch
effect
• Start
kwantumtheorie
– ‘Brownse’
beweging
• Aantonen
bestaan
moleculen
• Deze
publica*es
hebben
verstrekkende
gevolgen!
– Leven
is
ingrijpend
veranderd
• TV,
computer,
WWW,
magnetron,…
• Gezondheidszorg,
communica*e,
militair,
...
– Veel
veranderingen
zijn
terug
te
voeren
op
de
ontwikkeling
van
de
fundamentele
natuurkunde.
Met
name
de
invloed
van
Einstein
is
enorm.
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P2
De
Klassieke
Mechanica
• Wetenschappelijke
revolu*e
*jdens
de
‘gouden’
17e
eeuw
– Klassieke
mechanica
gee\
kwan*ta*ef
‘recept’
voor
de
beschrijving
van
bewegende
objecten.
• Ik
gooi
een
steen
omhoog
met
snelheid
van
10
m/s.
Hoe
hoog
komt
de
steen?
• Hoe
is
de
beweging
van
planeten
en
manen
in
het
zonnestelsel?
Galilei (1564 - 1642)
‘Helden’ van de klassieke mechanica: Galileo Galilei, Isaac Newton UvA Mastercourse - 12 maart 2009
Newton (1643 - 1727) P3
Galilei‐transforma*es
• Bekijk
een
kogel
die
wordt
afgeschoten
vanuit
een
rijdende
trein.
– Wat
is
de
snelheid
van
de
kogel
t.o.v.
• De
rijdende
trein?
• Uw
vriend
op
het
perron
die
de
trein
voorbij
ziet
komen?
• Stel
de
kogel
vliegt
met
snelheid
V’kogel
weg
tov
trein
• Rela*e
tussen
de
snelheden
is
vanzelfsprekend:
Vkogel=V’kogel+vtrein
Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P4
Principe
van
rela*viteit
• De
grooce
van
je
snelheid
kun
je
niet
voelen
– Een
rijdende
trein,
of
sta
je
s*l
en
de
rest
van
de
wereld
beweegt?
– Astronauten
in
het
ISS
voelen
niet
dat
zij
met
29000
km/uur
rond
de
aarde
razen
• Alle
natuurwe(en
(ook
die
van
de
mechanica)
zijn
hetzelfde
in
coördinatenstelsels
die
een
constante
snelheid
tov
elkaar
hebben.
– In
de
Klassieke
Mechanica
wordt
dit
beschreven
door
de
3
hoofdwecen
van
Newton
Voor
versnelde
coördinatenstelsels
hee\
Einstein
de
‘Algemene
Rela*viteitstheorie’
ontwikkeld
(Einstein
1915)
Gevolg:
Zwarte
gaten,
Big
Bang,
etcetera!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P5
Snelheid
van
het
licht
• Eind
19e
eeuw
stelt
Maxwell
de
theorie
van
elektriciteit
en
magne*sme
op.
– Licht
(fotonen)
is
een
con*nue
‘buiteling’
van
elektrische
en
magne*sche
velden
Maxwell
(1831–
1879)
• Maxwell
vergelijkingen:
de
lichtsnelheid
is
een
natuurconstante,
ona.ankelijk
van
het
coördinatenstelsel!
– Snelheid
van
het
licht,
c,
in
vacuüm
is
c=299792458
m/s
• Ongeveer
300000
km/s
=
3∙108
m/s
• Hoe
kan
dit
nu?
– We
hadden
gezien
dat
de
snelheid
van
dingen
amankelijk
is
van
hoe
je
observeert?
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
Poincare
(1854
–
1912)
Lorentz
(1853
–
1928)
P6
Perplex
met
licht…
• Sta
even
s*l
bij
de
consequen*e
hiervan
• Stel
u
ontsteekt
een
zaklantaarn
in
een
rijdende
trein.
– De
snelheid
waarmee
het
licht
zich
beweegt
tov
de
zaklamp
is
c,
dwz,
~300000
km/s.
– Uw
vriend
bevind
zich
op
het
perron
en
ziet
de
voorbijsnellende
trein.
Hij
kan
de
snelheid
van
het
licht
uit
de
zaklamp
bepalen,
tov
het
perron:
Uw
vriend
op
het
perron
zal
dezelfde
snelheid
c
meten!
Duidelijke
tegenspraak
met
de
Galilei‐transforma@es.
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P7
Gelijk*jdigheid
• Volgende
gedachten
experiment:
– Neem
lange
trein
–
sta
in
het
midden
en
ontsteek
een
lampje
A
B
– Het
duurt
een
*jdje
en
dan
komt
het
licht
aan
bij
de
voor‐
en
achterkant
van
de
trein
(A
en
B)
A
B
– Licht
bereikt
voor‐
en
achterkant
van
de
trein
tegelijker*jd
• Het
licht
bereikt
A
en
B
gelijk*jdig
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P8
Gelijk*jdig,
of
niet?
• Nu
gaat
de
trein
rijden
en
bekijkt
uw
vriend
op
het
perron
dit
alles:
A
B
– In
de
*jd
dat
het
licht
nodig
hee\
om
de
uiteinden
te
bereiken,
is
de
trein
een
stukje
opgeschoven.
– De
lichtsnelheid
naar
links
en
naar
rechts
is
hetzelfde
(konstant!)
A
B
– Het
licht
bereikt
nu
uiteinde
A
eerder
dan
B!
• Het
licht
bereikt
A
en
B
niet
gelijk*jdig
voor
de
vriend
op
perron.
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P9
De
lichtklok
• Stel
u
maakt
een
klok
op
de
volgende
manier:
– Lampje
en
spiegel
–
en
elke
keer
dat
licht
heen
en
weer
gaat
een
volgende
‘*k’
van
de
klok
spiegel L0
lampje
– De
*jdsduur
ΔT’
tussen
twee
‘*kken’
is
hiermee
gelijk
aan:
• Deze
klok
gee\
uiterst
regelma*g
*kken.
Hoewel
prak*sch
gezien
het
maken
van
de
klok
best
las*g
is.
– Hiermee
wordt
de
voortgang
van
de
*jd
bekeken
– Het
is
gemakkelijk
te
analyseren!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009P 10
P 11
De
lichtklok
op
de
trein
• Zet
nu
de
lichtklok
op
een
trein.
De
waarnemer
op
het
perron
ziet
de
klok
*kken
met
snelheid
Δt
B
L0
Snelheid van de trein v A
C
• De
afstand
AB
wordt
gegeven
door
Pythagoras
–
De
snelheid
van
het
licht
is
constant,
! en
de
totale
afstand
ABC
wordt
afgelegd
in
een
*jd
cΔt
2
"
∆t 2 L0 + v 2
#2
= ABC = c∆t
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 12
Tijds‐uitrekking
(dilata*e)
• We
hebben
nu
een
vergelijking
met
Δt,
die
kunnen
we
oplossen:
• Voor
de
s*lstaande
klok
(in
de
trein
dus)
hadden
we
Δt’:
4
• Hiermee
zijn
de
*kken
niet
meer
gelijk
voor
de
man
in
de
trein
en
de
vriend
op
het
perron:
!
∆t = !
∆t
1−
v2 c2
– De
man
op
het
perron
ziet
de
*jd
in
de
trein
anders
verlopen!
– Gevolg
van
constante
lichtsnelheid…
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
Tijdsdilata*e
• We
hebben
nu
laten
zien
dat:
– Δt’
:
‘s*lstaande’
klok:
*jd
in
de
trein
zelf
– Δt
:
Tijd
in
de
voorbijsnellende
trein,
gezien
vanaf
het
perron
• Stel
een
ruimteschip
beweegt
met
een
snelheid
v
=
0.8c
=
(4/5)c
– Een
seconde
voor
een
reiziger
het
ruimteschip
ziet
de
vriend
vanaf
de
aarde
als
– Man
op
aarde
ziet
alle
bewegingen
‘trager’
verlopen
in
het
ruimteschip,
met
een
factor
1.66!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
Dilata*e
• Bij
lage
snelheden
is
het
effect
van
*jdsvertraging
klein
– Voor
een
trein
met
v=100
km/uur
zijn
de
*jden
Δt
en
Δt’
hetzelfde
tot
op
99.999994%
nauwkeurig
– Toch
blij\
u
iets
jonger
in
de
rijdende
trein
tov
de
thuisblijver!
• Bij
snelheden
in
de
buurt
van
de
lichtsnelheid
is
*jdsdilata*e
heel
groot
– Lichtsnelheid
v=c
is
de
maximum
snelheid
– Tijd
kan
wel
langzamer
lopen,
maar
niet
terug‐lopen
• Gelukkig!
Anders
problemen
met
oorzaak
en
gevolg
• Bv:
U
kunt
niet
uw
eigen
ouders
vermoorden
voordat
u
geboren
bent!
– Effect
in
elementaire
deeltjes
onmiskenbaar
– Voor
posi*e
bepaling
met
GPS
systeem
is
rela*viteit
onmisbaar
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 14
‘Invariant’
interval
• Een
ruimteschip
met
lichtklok
van
3m
hoog
beweegt
met
snelheid
0.8c
tov
de
aarde
– Tov
aarde:
Klok
*kt
anders,
maar
hee\
ook
een
afstand
afgelegd
– Is
er
een
grootheid
invariant?
• ‘Interval’
tussen
twee
gebeurtenissen
– Onamankelijk
van
de
beweging‐
snelheid
van
de
klok!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
15
Bewegende
coördinatenstelsels
• Hoe
kun
je
coördinaten
beschrijven
tov
twee
bewegende
stelsels
Naar
links
bewegend
– Galilei
transforma*es
coördinatenstelsel
• Klassieke
mechanica
– Vergelijk
beschrijving
vanuit
trein
en
vanuit
het
perron
– Gebruik
schrijfwijze
– Lorentz
transforma*es
(geen
afleiding
hier)
• Enige
mogelijkheid
die
interval
s
‘invariant’
laat
– Modifica*e
van
Galilei
bij
hoge
snelheden
• ‘Mixen’
van
ruimte
en
*jd
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
16
Opdracht
• Laat
zien
dat
de
Lorentztransforma*es
de
grootheid
invariant
laat.
Maw,
laat
zien
dat
geldt:
gebruik
de
defini*es:
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 17
Optellen
van
snelheden
• Optellen
van
snelheden
– Stel
trein
beweegt
met
snelheid
v1
– Kogel
in
de
trein
beweegt
met
snelheid
v2
tov
de
trein
• Wat
is
de
snelheid
van
de
kogel
tov
het
perron?
– Klassiek:
– Met
Lorentz
transforma*es
• Hierdoor
kan
snelheid
niet
groter
worden
dan
c
• Voorbeeld:
snelheid
licht
op
trein,
bezien
vanaf
perron:
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
v1 + v2 v= 1 + v1c2v2
18
‘Invariant’
interval
• Invariante
interval
speelt
centrale
rol
in
rela*viteitstheorie
– Interval
tussen
twee
gebeurtenissen
bepaalt
of
deze
causaal
verbonden
zijn
• Kunnen
zij
elkaar
beinvloeden?
• Voortgang
in
*jd
beschrijven
mbv
(ct,x)
diagram:
ct
Stilstaand object
x
ct
Konstant bewegend object
x UvA Mastercourse P 19- 12 maart 2009
ct
Bewegend object
x
Visualisa*e
Lorentz
transforma*e
www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html
http://www.nikhef.nl/~stanb/Minkowski.html
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 20
Vier
dimensionale
vectoren
• Gebeurtenis
wordt
beschreven
door
vier‐vector
– Vergelijk
drie‐
en
vier
vectoren
• Klassieke
drie‐vector:
• Vier‐vector
– Tijd
coördinaat,
uitgedrukt
in
[m]:
ct
– Lengte
van
de
vectoren
• Lengte
van
drie‐vector:
– De
lengte
is
invariant
onder
rota*es
van
het
coördinatenstelsel
• Lengte
van
vier
vector:
– Deze
lengte
is
invariant
onder
3d
rota*es
van
het
‘ruimtelijk’
coördinatenstelsel
– Maar
bovendien
is
deze
lengte
invariant
voor
bewegende
coördinatenstelsels
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
21
De
vier‐impuls
vector
• Voor
de
Klassieke
Mechanica
– Impuls
wordt
gegeven
door
– Impuls
is
behouden
–
gebruik
analyse
van
bv
botsingen
• Vier
dimensionale
equivalent:
– Kunt
niet
differen*ëren
naar
de
*jd
t
• In
plaats
daarvan
gebruik
‘eigen*jd’
t
–
*jd
van
eigen
horloge
– Voor
s*lstaande
waarnemer
is
*kken
van
klok
gelijk
aan
eigen*jd
– Verder
is
eigen*jd
‘invariant’,
dwz
hetzelfde
tov
iedere
waarnemer
– Enige
mogelijke
vier‐vector:
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
22
Rela*vis*sche
impuls
– De
eigen*jd
t
kan
worden
geschreven
als
• Vergelijk
de
situa*e
met
s*lstaande
en
bewegende
klok,
eigen*jd
werd
daar
t’
genoemd.
• Bekijk
het
‘ruimtelijk’
gedeelte
van
vier‐impuls
– De
rela*vis*sche
impuls
wordt
nu
– De
wiskundige
expansie
van
γ
rond
kleine
snelheden
– Hiermee
vinden
we
terug
voor
lage
snelheden
v2 3 v4 γ ∼1+ 2 − + ··· 4 2c 8c px
vx3 ∼ mvx + m 2 + · · · 2c ∼ mvx
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 23
Rela*vis*sche
energie
• Impuls
vier‐vector
componenten
– De
ruimtelijke
componenten
zijn
de
rela*vis*sche
impuls
– De
nul‐component
kunnen
we
met
de
energie
iden*ficeren.
• Dimensies
zijn
correct
als
vier‐vector
gelijk
is
aan
• Hiermee
is
de
rela*vis*sche
energie
gelijk
aan
– Met
de
ontwikkeling
van
γ
wordt
dit
− − UvA Mastercourse - 12 maart 2009
Rela*vis*sche
energie
gee\
klassieke
uitdrukking
voor
kine*sche
energie,
plus
‘rust’
energie,
plus
‘kleine’
correc*es
P 24
Energie‐impuls
vergelijking
• We
hebben
nu
een
vier‐impuls
– De
componenten
voldoen
aan
de
Lorentz
transforma*es
– Uit
de
eerdere
discussie
volgt:
• De
lengte
van
de
vier‐impuls
is
invariant:
– Waarmee
we
uiteindelijk
vinden
• Een
vergelijking
voor
op
je
t‐shirt!
• Aanzet
tot
bestaan
an*‐materie
als
nega*eve
energie
oplossing
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 25
Verstrooiingstheorie
Voor
Na
• Analyse
van
verstrooiing:
– Teken
een
diagram
met
alle
deeltjes
voor
en
na
de
botsing
• Schrijf
behoud
van
energie
op
• Schrijf
behoud
van
impuls
op
– Probeer
dit
systeem
op
te
lossen
2 4 2 2 p|2 • Gebruik
m c = E − c |!
• Gebruik
niet
de
snelheid
v
want
die
ligt
vaak
heel
dicht
bij
lichtsnelheid
c
– Vul
zo
laat
mogelijk
de
getallen
in
de
uitdrukkingen
in
• Check
resultaat
en
de
dimensie
van
je
antwoord!
– Kun
je
een
algemene
conclusie
uit
het
resultaat
trekken?
26
Behouden
*jdens
botsingen
• Botsingen
tussen
(willekeurig
aantal)
deeltjes:
Toestand ‘in’
?
Toestand ‘uit’
– Alle
componenten
van
de
vier‐impuls
zijn
behouden
bij
de
botsing
• Invariante
massa
van
de
botsing
–
ook
behouden
–
en
bovendien
hetzelfde
in
elk
coördinatenstelsel
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 27
Voorbeeld
van
deeltjesversneller
• In
LEP
deeltjesversneller
werden
elektronen
en
an*‐ elektronen
op
elkaar
geschoten
– Elk
met
energie
E=45.5
GeV
• verwaarloos
de
massa
van
elektron,
die
is
– De
invariante
energie
van
dit
systeem
wordt
dan:
– O\ewel:
precies
genoeg
voor
de
produc*e
van
het
Z0
deeltje!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 28
Waarom
‘botsende
bundels’?
• Stel
je
wilt
het
Z
deeltje
maken
met
botsingen
op
een
trefplaatje:
• Welke
energie
moet
bundel
an*‐elektronen
hebben
om
Z
deeltje
te
creëren?
– De
massa
van
het
systeem
wordt
nu:
– Om
Z
deeltje
te
maken
hebben
we
een
bundelenergie
nodig
van
• Dit
is
heel
ver
buiten
technologische
mogelijkheden!
UvA Mastercourse - 12 maart 2009
P 29
Vergelijk
LEP
met
LHC
• Twee
grote
versnellers
op
Cern,
bij
Geneve:
– LEP
(1984‐2000)
• Versnellen
van
elektronen
op
positronen,
elk
met
een
energie
van
maximaal
105000
MeV.
Rustmassa
van
deze
deeltjes
is
0.511
MeV/c2
• Hiermee
is
de
Lorentzfactor
γ
E 105000 γ = = ∼ 205000 2 mc 0.511 • Invariante
massa
2 M = 205 GeV/c inv • Limiet
van
de
bundelenergie
wordt
gegeven
door
de
synchrotron
straling:
– Hoeveel
energie
kun
je
per
‘rondje’
maximaal
in
de
bundel
inpompen
– LHC
(2009‐2020)
• Versnellen
van
protonen
op
protonen,
elk
met
een
energie
van
maximaal
7000000
MeV.
Rustmassa
van
deze
deeltjes
is
plm
938
MeV/c2
• Hiermee
is
de
Lorentzfactor
γ
E 7000000 γ = = ∼ 7460 mc2 938 • Invariante
massa
2 M = 14000 GeV/c inv • Limiet
van
de
bundelenergie
wordt
gegeven
door
de
sterkte
van
de
a{uigingsmagneten
– Bij
hogere
energie
‘schieten’
de
protonen
hun
baan
uit
– Synchrotron
straling
bij
protonen
verwaarloosbaar
30
Produc*e
van
nieuwe
deeltjes
(E1,p1) ma a Voor
mb b
(E4,p4)
mH H Tussen
(E2,p2) Na
(E3,p3)
• Of
een
deeltje
H
wordt
gemaakt
hangt
af
van
de
natuurwecen
– Het
deeltje
H
zal
vrijwel
al*jd
weer
onmiddellijk
uiteen
vallen
in
een
serie
andere
deeltjes
met
kleinere
massa
– Als
je
de
energie
en
impulsen
van
al
deze
‘vervalsproducten’
meet,
kun
je
de
massa
van
deeltje
H
bepalen.
– De
invariante
massa
van
dit
systeem
kun
je
uitrekenen:
M 2 c4 = (Ea + Eb )2 − c2 |! pa + p!b |2 = (2E)2
• Hiermee
kun
je
de
massa
van
deeltje
H
bepalen
– De
massa
van
dit
deeltje
H
is
maximaal
mH = 2E/c2
• Hoe
groter
de
energie
van
de
versneller,
hoe
zwaarder
het
nieuwe
deeltje
31
Een
Higgs
deeltje
• Higgs→Z0Z0→
µ+µ- µ+µ-
– Heel
duidelijk
signaal:
4
muonen
in
detector
Erg
kleine
kans
Veel
storing
van
extra
deeltjes
Maar
weinig
‘gebeurtenissen’
die
hierop
lijken
Dit
kan
alleen
van
een
Higgs
deeltje
a|oms*g
zijn!
P 32
Ontdekking
en
massa
van
het
Higgs
• Invariante
massa
Higgs:
– Gelijk
aan
invariante
massa
4
muonen
mµµµµ
Na een paar jaar LHC (100 fb-1)
Ongeacht
de
Higgs
massa:
Atlas
gaat
het
vinden
P 33
