Gravitatie en kosmologie FEW cursus
Jo van den Brand Variatierekening
Twee voorbeelden • •
De calculus van variaties betreft het vinden van een extreme waarde (maximum of minimum) van een grootheid die in integraalvorm kan worden uitgedrukt. We kekijken twee voorbeelden: – Het kortste pad tussen twee punten – Het principe van Fermat (licht neemt de kortste weg)
• • •
•
Wat is het kortste pad tussen twee punten in een vlak? Je weet het antwoord – een rechte lijn – maar je hebt waarschijnlijk nooit het bewijs gezien. Beschouw twee punten in het x-y vlak, zoals getoond in de figuur. Een willekeurig pad dat deze punten verbindt volgt de algemene curve y = y(x), en een element van lengte langs deze curve is y 2 2 y = y(x) y2 ds dx dy 2 1 2 ds dx 2 dy 2 y We kunnen dit herschrijven als ds 1 y ( x) dx, 1 x dy x1 x2 en dat is geldig want dy dx y( x)dx
dx
•
De lengte is dus 2
L ds 1
x2
x1
1 y( x)2 dx
Kortste pad tussen 2 punten •
Merk op dat we het probleem hebben omgezet van een integraal langs een pad, tot een integraal over x: 2
L ds 1
•
x2
x1
1 y( x) 2 dx.
We zijn er dus in geslaagd om het probleem op te schrijven. Nu hebben we nog wat extra wiskundekennis nodig om het pad te vinden waarvoor L extremaal is (een minimum in dit geval).
Principe van Fermat: •
Een gelijksoortig maar wellicht interessanter probleem is het vinden van het pad dat licht door een medium met een bepaalde brekingsindex n 1 zal nemen. Je weet misschien dat licht door een dergelijk medium langzamer beweegt en we definieren de brekingsindex als n = c/v, met c de snelheid van het licht in vacuum, en v de lichtsnelheid in het medium. De reistijd bedraagt 2
dt 1
•
2
1
ds 1 2 1 x2 n ds n( x, y) 1 y( x) 2 dx. v c 1 c x1
De brekingsindex mag willekeurig afhangen van x en y.
Variatieprincipes • •
•
•
•
Dergelijke problemen zijn gelijksoortig en komen vaak voor. Als we een minimum of maximum van een functie f(x) zoeken, nemen we de afgeleide en vinden haar nulpunten (d.w.z. de x waarden waarvoor de helling van de functie gelijk is aan nul). Analoog hieraan willen we in staat zijn oplossing van deze integralen te vinden die stationair zijn (extremaal) voor kleine veranderingen in het pad. Dat wordt variatierekening genoemd. De methode die we ontwikkelen heet de variatiemethode, een principes zoals het principe van Fermat heten variatieprincipes. Deze principes worden veel gebruikt en zijn van groot belang in de natuurkunde (zoals in quantummechanica en algemene relativiteitstheorie).
Euler-Lagrangevergelijking •
We bespreken nu de variatiemethode van Euler en Lagrange, waarmee we een extremaal (laten we een minimum beschouwen) vinden voor een vooralsnog onbekende curve die twee punten x1 en x2, verbindt die voldoet aan de integraalvergelijking x2
S f [ y( x), y' ( x), x]dx. x1
•
•
•
De functie f is een functie van drie variabelen, maar omdat het integratiepad y = y(x) is, reduceert de integrand tot een functie van x. Beschouw twee curven die punten 1 en 2 verbinden, de `correcte’ curve y(x), en de `verkeerde’ curve Y(x) met kleine verplaatsing van de `goede’ curve. We schrijven het verschil tussen beide curven als een functie h(x).
Y ( x) y( x) h ( x);
h ( x1 ) h ( x2 ) 0.
y2 y1
y 1
Y ( x) y( x)h ( x) (fout)
2 y = y(x) (correct)
x1
x x2
Euler-Lagrangevergelijking •
Er zijn oneindig veel functies h(x), die `fout’ kunnen zijn, maar we eisen dat ze allemaal langer zijn dat het `correcte’ pad. Om te kwantificeren hoe dicht de `foute’ paden bij het `goede’ pad zijn, schrijven we Y = y + ah, zodat x2
S (a ) f [Y , Y ' ( x), x]dx x1
x2
f [ y ah , y 'ah , x]dx. x1
•
Dit staat ons toe om het kortste pad te karakteriseren als het pad waarvoor de afgeleide dS/da = 0 als a = 0. Om de bovenstaande uitdrukking te kunnen differentieren naar a, moeten we de partiele afgeleide S / a uitrekenen met de kettingregel
f ( y ah, y ah , x) f f h h , a y y
dus dS/da = 0 levert
x2 f x2 f dS f dx h h dx 0 x1 da x1 a y y
Euler-Lagrangevergelijking •
We integreren de tweede term partieel: x2
x2 f f d f x1 h y dx h ( x) y x1 h ( x) dx y dx, x1 x2
•
maar de eerste term van deze relatie is gelijk aan nul, omdat h(x) gelijk is aan nul is op de eindpunten. We vinden dan x
•
Dit geeft de Euler-Lagrangevergelijking
f d f dS 2 dx 0. h ( x) x 1 da y dx y
f d f 0 y dx y want de variatie moet nul zijn voor elke h(x).
Euler-Lagrangevergelijking •
Samenvatting: we kunnen een minimum (of meer algemeen een extreme waarde) voor het pad S vinden als we een functie voor het pad vinden die voldoet aan
f d f 0 y dx y
•
De procedure is het opzetten van het probleem zodanig dat de grootheid x waarvoor je het stationaire pad zoekt voldoet aan S 2 f [ y ( x), y( x), x]dx,
x1
•
met f [ y( x), y( x), x] de geschikte functie. Schrijf nu de Euler-Lagrangevergelijking op, en los deze op naar de functie y(x) die het stationaire pad definieert. Laten we een voorbeeld behandelen.
Kortste pad tussen twee punten •
We hebben eerder laten zien dat we het kortste pad tussen twee punten kunnen uitdrukken als 2
L ds 1
• •
x2
x1
1 y( x) 2 dx.
De integrand bevat onze functie f ( y, y, x) 1 y( x) . De twee partiele afgeleiden in de Euler-Lagrangevergelijking zijn: 2
f 0 y
and
f y . 2 y 1 y
d f d y 0. 2 dx y dx 1 y
•
De Euler-Lagrangevergelijking geeft ons
•
Dit stelt dat
•
Herschikken geeft het antwoord: y2 = constant (noem dat m2), dus y(x) = mx + b. Met andere woorden: een rechte lijn is het kortste pad!
y 1 y 2
C,
of
y2 C 2 (1 y2 ).
Brachistochroon •
Beroemd probleem uit de variatierekening: – Gegeven twee punten 1 en 2, met 1 hoger boven de grond. Welke vorm moet een wrijvingsloze achtbaan hebben, zodat een karretje losgelaten op punt 1, punt 2 in de kortst mogelijke tijd bereikt? Zie de figuur: neem punt 1 als oorsprong, met y positief naar beneden.
•
Oplossing:
2
ds
– De tijd om van punt 1 naar 2 te reizen is , met v 2 gy , vanwege 1 v kinetische energie. – Dit hangt van y af, we nemen y als de onafhankelijke variabele, dus
ds dx 2 dy 2 x( y) 2 1 dy. – Onze integraal wordt
1 2g
– De Euler-Lagrangevergelijking:
1
y2
0
x
x 2 1 dy. y
f d f . x dy x
2 y
Merk op dat we y als onafhankelijke variabele nemen. We wisselen x en y om.
Brachistochroon
1 2a
a
•
2
Oplossing:
3
x 2 1 f f – Omdat f , dus 0, en daarom. constant. x y x x2 1 constant – Uitrekenen van de afgeleide en kwadrateren geeft 2 1) y ( x 2a waar we de constante 1/2a noemen. – Oplossen naar x geeft x
y . Om x te vinden, integreren we x 2a y
y dy. 2a y
– Dit kan opgelost worden met de substitutie y = a(1 cos q), waarmee x a (1 cos q ) dq a(q sin q ) const.
– Deze twee vergelijkingen geven het pad x a(q sin q ) in termen van q.
y a(1 cos q ) – Deze curve is een cycloide. Het is het pad van een wiel dat (ondersteboven) langs de x as beweegt. – De tijd die het karretje nodig heeft om van 23 te reizen hangt niet af waar 2 zich bevindt tussen 1 en 3!.
De Lagrangiaan •
In onze discussie over de Lagrangiaan gebruiken we andere notatie. De integrand wordt
f [ x1 , x2 ,, xN , x1 , x2 ,, x N , t ],
en de Lagrangiaan
L L[ x1 , x2 ,, xN , x1 , x2 ,, x N , t ]. • •
De onafhankelijke variabele is t. De snelheid wordt xi We make de actie stationair
S L[ x1 , x2 ,, xN , x1 , x2 ,, x N , t ] dt , en dit vereist dat L voldoet aan
L d L L d L L d L ; ; ; . x1 dt x1 x2 dt x2 xN dt x N