Grafické zobrazení frekvenčních závislostí

Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e

Grafické zobrazení frekvenčních závislostí • Z minulých přednášek již víme, že impedance / admitance kapacitoru a induktoru jsou frekvenčně závislé • Nyní se budeme zabývat tím, jak tato frekvenční závislost ovlivní velikost impedance, proudy a napětí v obvodu a především, jak tuto závislost na frekvenci znázornit graficky

• Jaký smysl má kreslit frekvenční charakteristiky obvodů?

 Chceme vybrat vhodné komponenty do nového domácího kina – jakou frekvenční charakteristiku má AV receiver, reproduktory a další komponenty – tedy jak hluboké a jak vysoké tóny je soustava schopna zahrát?  Naším úkolem je postavit zesilovač k vychylovacím obvodům osciloskopu – pokud má zesilovač přenést pilovitý signál bez nepřijatelného zkreslení, musí mít správnou frekvenční charakteristiku.  Potřebujeme navrhnout filtr, který odstraní síťové rušení – i tady vycházíme ze znalosti frekvenčních charakteristik.  Může sběrnice pracovat na určité frekvenci? – i to souvisí s její frekvenční charakteristikou…  Pro jaké signály můžeme použít určitý měřící přístroj (voltmetr, ampérmetr, wattmetr)

©

 … a mnoho dalších důvodů…

1/20

Pavel Máša - Základy elektrických obvodů, 2011

Uvažujme sériový RC obvod (integrační článek): R = 1 kΩ, C = 1 µF, U1m = 1V


R

C

u1(t)

u2(t)

Frekvence f se bude měnit od 0 k ∞

• Impedance obvodu je:

• Zatímco reálná část impedance je v tomto případě konstantní, imaginární část se s frekvencí mění, a to od -∞ k 0

• Pro různé frekvence dostaneme různá komplexní čísla, které můžeme přirozeně nakreslit jako body v komplexní rovině: 500

ϕ -500j

1000 1500 ∞ 4000 Re 2000 1000

-1000j |Z |

-1500j

500

© Z

ω

Im

• Na této křivce musí být vynesena stupnice frekvence od 0 do ∞ • Velikost impedance odečteme jako vzdálenost vybraného bodu křivky (pro určitou frekvenci) od počátku • Fáze impedance je úhel mezi kladnou reálnou poloosou a spojnicí vybraného frekvenčního bodu s počátkem

-2000j -2500j

• V tomto konkrétním případě je impedance vyznačena jako červená úsečka v komplexní rovině (obecně křivka)

• Toto grafické znázornění se nazývá hodograf, používá se zejména v řídící technice, neboť je možné z této křivky (pro přenos) zjistit, zda je obvod stabilní, obecně je ale čtení tohoto grafu … poněkud obtížné

0

Z toho důvodu se obvykle frekvenční charakteristiky kreslí dvojrozměrně zvlášť pro modul komplexního čísla – tato charakteristika se pak nazývá modulová frekvenční charakteristika, a zvlášť pro fázi – ta se pak nazývá fázová frekvenční charakteristika 2/20



Modulová frekvenční charakteristika impedance

©

Fázová frekvenční charakteristika impedance

Frekvenční osa je vždy logaritmická

Modulová osa je logaritmická, u impedance je zobrazena její skutečný modul; osa fázového posunu je lineární Na rozdíl od hodografu jsou zřetelně vidět dvě oblasti frekvencí, s výrazným zlomem na kruhové frekvenci 1000 s-1 – na nízkých frekvencích převažuje vliv impedance kapacitoru, na vysokých frekvencích je jeho impedance zanedbatelná vůči odporu rezistoru 3/20


Nejčastěji se ale frekvenční charakteristiky kreslí pro přenos obvodu:


Přenos obvodu udává poměr mezi napětím na výstupu obvodu a na jeho vstupu – popisuje tedy vlastnosti obvodu, jeho hodnota ale nezávisí ani na amplitudě, ani na fázovém posunu vstupního napětí Přenos může být definován pouze pro obrazy – fázory, Fourierovu transformaci, Laplaceovu transformaci, …, ale nikdy nemůžeme definovat přenos pro časovou oblast!!! V našem RC článku je výstupní napětí:

Přenos obvodu je pak:

Uvažujme ω << 1000. Pak ω ∙ 0.001<< 1 a

©

Uvažujme ω >> 1000. Pak ω ∙ 0.001 >> 1 a

• Jak se mění modul? Pokud kruhová frekvence vzroste desetkrát, modul přenosu desetkrát klesne; v logaritmických souřadnicích jsou ale desetinásobné hodnoty vždy stejně vzdálené – výsledkem je lineárně klesající úsečka 10

100

1 000

10 000

100 000

• Hodnoty na svislé ose modulové charakteristiky jsou násobeny 20 a jednotkou jsou decibely [dB] 4/20


Frekvenční charakteristika bude rozdělena na dva grafy jako modulová a fázová frekvenční charakteristika 0

20

[dB]

30 40

0

10

1

10

2

10 w

3

10

4

10

5

10

Strmost -20dB/dekádu


10

dekáda = desetinásobek frekvence

Modulová charakteristika je vynášena jako

Obě osy modulové charakteristiky jsou logaritmické Jednotkou je decibel [dB] 0

0

10

0,5 1 1,5

2

10 w

3

10

4

10

5

10

Strmost –π/4 /dekádu

Fázová charakteristika je vynášena jako

Osa x fázové charakteristiky je logaritmická, osa y je lineární

©

[rad]

1

10

Jednotkou je radián [rad]

Jak bylo ukázáno na minulém slidu, zlom charakteristiky je pro podmínku ωRC = 1, tedy při kmitočtu:

5/20


Tento obvod se nazývá integrační RC článek – proč? Obrazem integrálu ve frekvenční oblasti je dělení jω Z

t

I


1 q(t) Připomeňme pro kapacitor: u( t) = = C C

Přenos obvodu je

0

ale pro

i ( ¿ ) d¿

!

U =

j! C

lze ve jmenovateli zanedbat 1, takže

Časový průběh napětí na výstupu je tedy integrálem vstupního napětí; obvod ale není ideální, protože toto tvrzení platí pouze pro (ideální integrační obvod by musel být realizován s operačním zesilovačem) Uvažujme sériový RC obvod (derivační článek):

R = 1 kΩ, C = 1 µF, U1m = 1V

C

u1(t)

u2(t)

Frekvence f se bude měnit od 0 k ∞

©

R

• Impedance obvodu je:

Impedance obvodu je tedy stejná, jako v případě integračního obvodu, stejný bude i protékající proud Frekvenční charakteristika přenosu, vzhledem k tomu, že musí platit 2. (napěťový) Kirchhoffův zákon, bude inverzní k frekvenční charakteristice integračního článku. 6/20


20 log |P| C Farg(P) ac ze ul ch © ty T of ec Fa Če El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e

Výstupní napětí a přenos obvodu budou:

Modulová frekvenční charakteristika derivačního RC článku 0

-20 -40 -60

1

10

100

1000

10k

ω

100k

©

Fázová frekvenční charakteristika derivačního RC článku

7/20

1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

10

100

1000

10k

ω

100k


Proč se tento obvod nazývá derivační RC obvod? Obrazem derivace ve frekvenční oblasti je násobení jω du( t) dt


Připomeňme pro kapacitor: i (t) = C Přenos obvodu je

)

I = j! C U

ale pro

lze ve jmenovateli zanedbat jωRC, takže

Časový průběh napětí na výstupu je tedy derivací vstupního napětí; obvod ale není ideální, protože toto tvrzení platí pouze pro jak je zřejmé z frekvenční charakteristiky obvodu (ideální derivační obvod by musel být realizován s operačním zesilovačem) Integrační a derivační LR obvod

L

u1(t)

R

u2(t) u1(t)

L

©

R

R = 1 kΩ, L = 1 H, U1m = 1V, frekvence f se bude měnit od 0 k ∞

8/20


u2(t)

Modulová a fázová frekvenční charakteristika integračního a derivačního LR článku 0

1

10

20

2

10 w

3

10

4

10

5

10


10

10

20 log |P|

0

0

-20 -40

30

-60

40

1

10

100

1000

10k

ω

100k

1

10

100

1000

10k

ω

100k

1.6 1.4

0

10 0,5 1 1,5

1

10

2

10 w

3

10

4

10

5

10

arg(P)

0

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

Pokud normujeme jmenovatel tak, abychom dostali výraz 1 + jω…, bude:

©

Dostali jsme tak výraz ekvivalentní RC článkům, vzhledem ke zvolené hodnotě odporu a indukčnosti je zlomová frekvence:

9/20


BODEHO ASYMPTOTICKÉ CHARAKTERISTIKY

• RL:

Fa Cz cu ec lty h T © of ec Fa Če 20 log |P| El hn ku sk ec ic lta é v al t r y el s ic U al n ek ok En ive tro é te uč gi rsi ne ty ch en ni í t er in ck ec in P g ra á hn gu ic ké e v Pr az e

• V předchozí části jsme prostudovali frekvenční charakteristiky obvodu s jedním reaktančním prvkem; z grafů bylo zřejmé, že takový obvod má v logaritmických souřadnicích modulovou frekvenční charakteristiku, kterou je možné dobře aproximovat dvěma úsečkami, které se setkají v tzv. zlomové frekvenci. ek d / B • Připomeňme si derivační článek: 0d 2 + ~3 dB • RC: 0

-20

-20

dB/

dek

-40 -60

1

10

100

1000

10k

ω

100k

• V čitateli je výraz : s rostoucí frekvencí jeho amplituda roste; pokud frekvence vzroste 10x, jeho amplituda vzroste rovněž 10x, neboli o 20 dB v logaritmických souřadnicích: tomuto výrazu odpovídá tmavě modrá přímka, která protíná osu ve frekvenci ω0

©

• Ve jmenovateli je výraz : pro frekvence lze imaginární část zanedbat, výsledkem je vodorovná úsečka; pro frekvence lze naopak zanedbat reálnou část, výsledkem je rostoucí (pokud je výraz v čitateli), nebo klesající (ve jmenovateli) úsečka se sklonem 20 dB / dekádu největší chyba, které se dopustíme:

10/20


Podobně můžeme nakreslit asymptoticky fázovou charakteristiku: : s rostoucí frekvencí se jeho fáze nemění, je stále


• V čitateli je výraz

©

• Ve jmenovateli je výraz : pro velmi malé frekvence se výraz blíží reálnému číslu, fázový posun je nula; pro vysoké frekvence se výraz blíží výrazu s fázovým posunem Tentokrát ale nestačí jeden zlomový kmitočet – výsledkem by byla schodovitá charakteristika ⇒ fázová charakteristika má 2 zlomy. Dá se dokázat, že nejmenší odchylku bude mít asymptotická charakteristika se zlomy v 0.1 ω0 a 10 ω0.

Obě části charakteristiky – čitatele a jmenovatele graficky sečteme

11/20



Frekvenční charakteristika obvodu 2. řádu: Mějme úplný model transformátoru: R1

u1(t)

L1

L2

R2 n = 9

u2(t)

Hodnoty obvodových prvků jsou: R1 = 2 kΩ, L1 = 1.9 mH, L2 = 8.1 mH, R2 = 8.1 kΩ

(modelovaný transformátor měl odpor primáru 2 kΩ, sekundáru 100 Ω, indukčnost primáru 10 mH a sekundáru 0.1 mH a koeficient vazby 0.9)

Nás zajímá frekvenční charakteristika tohoto obvodu, musíme proto vyjádřit přenos:

©

• Oproti elementárním RC / RL obvodům se v tomto přenosu objevily další dva prvky: • Násobná konstanta • Jmenovatel přenosu je polynom 2. řádu (kvadratická rovnice)

• Frekvenční charakteristiku je samozřejmě možné nakreslit přímo z uvedeného přenosu (Maple, Matlab, …) • Jaká je ale zákonitost pro jednotlivé zlomové frekvence?

12/20


Ve 30. létech minulého století navrhl Hendrik Wade Bode jednoduchou metodu kreslení amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik

•

Touto metodou je možné nakreslit velmi přesné charakteristiky bez grafiky počítače

•

Frekvenční charakteristiky nám dávají informaci o časových konstantách obvodu (v přechodných dějích), činiteli jakosti rezonančního obvodu a pod.


•

 Přenos obvodu je obecně

zk jsou kořeny polynomu v čitateli – nuly pk jsou kořeny polynomu ve jmenovateli – póly – zde jsou ukryty časové konstanty obvodu

©

Pozn.: obecně bychom přenos obvodu mohli zapsat pomocí Laplaceovy transformace:

•

Proměnnou nebude frekvence ω, ale komplexní frekvence jω!!! 13/20


•


Podstatou Bodeho charakteristik jsou vlastnosti logaritmu, jmenovitě: Logaritmus součinu je součet logaritmů Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů log1 = 0

Vzhledem ke třetí uvedené vlastnosti je potřeba normovat závorky v rozkladu kořenových činitelů:

Potom, pokud

Graficky – úsečka se sklonem 20 db / dekádu

©

Modulová charakteristika:

Fázová charakteristika:

14/20



Tím se dostáváme zpět k našemu příkladu – ve jmenovateli musíme najít kořeny kvadratické rovnice a jmenovatel zapsat jako součin kořenových činitelů:

• Nyní již známe zlomové kmitočty – póly přenosu 1.71·105, resp. 6.144·106, neznáme ale ještě amplitudu přenosu – obě závorky ve jmenovateli musíme normovat:

©

• Amplituda je ukryta v čitateli – tato přímka nám posune celou charakteristiku směrem dolů:

15/20


©


Výsledná fázová charakteristika se skládá ze tří částí – čitatel jω posouvá fázi o , člen 1 + jω ve jmenovateli má opět dvě zlomové frekvence – na 0.1 a 10-ti násobku zlomové frekvence amplitudové charakteristiky; vzhledem k tomu, že tento výraz je ve jmenovateli, je fázový posun záporný

16/20


Nyní budeme zkoumat frekvenční charakteristiku RLC obvodu L

C

R = 4 kΩ

©

1.

L=1H C = 1 µF R = 4 kΩ, 2 kΩ a 1 kΩ


R

17/20


2. R = 2 kΩ p

10002 ¡ 106 = ¡ 1000


(j ! ) 1; 2 = ¡ 1000 §

!!!!!

©

S klesajícím odporem se oba dva kořeny kvadratické rovnice přibližují na frekvenční ose, až při určité kritické frekvenci spolu splynou – amplitudová i fázová charakteristika připomínají frekvenční charakteristiku integračního článku, ale hodnoty jsou dvojnásobné – 40 dB/dekádu u amplitudové charakteristiky, -π u charakteristiky fázové U přechodných dějů budeme v tomto případě hovořit o mezi aperiodicity 18/20


3. R = 1 kΩ p

5002 ¡ 106 = ¡ 500 § 866j


(j ! ) 1; 2 = ¡ 500 §

Pokud odpor dále klesá, budou kořeny kvadratické rovnice komplexně sdružené Na amplitudové frekvenční charakteristice se to projeví rezonančním převýšením nad (pro kvadratickou rovnici ve jmenovateli), nebo (teoreticky) pod osou

©

V tomto případě budeme hovořit o napěťové rezonanci RLC obvodu

19/20

V časové oblasti se totéž projeví harmonicky tlumenou odezvou přechodného děje, jak brzy uvidíme



S využitím elementárních (Ohmův zákon, dělič napětí / proudu, metoda postupného zjednodušování, ekvivalence - transformace zdrojů napětí a proudu, …) nebo obecných (MUN / MSP) metod analýzy vyjádříme přenos obvodu

Vypočítáme kořeny polynomů v čitateli a jmenovateli jω (případně p) Polynomy zapíšeme jako součin kořenových činitelů ve tvaru

Ze všech závorek čitatele i jmenovatele vytkneme kořeny –zk, resp. – pk, takže dostaneme upravený přenos

©

Pro konstantu K’, stejně jako každou závorku v čitateli a jmenovateli nakreslíme příslušné asymptoty a graficky je sečteme

20/20


Grafické zobrazení frekvenčních závislostí

Recommend Documents