George J. Klir. State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA

POSSIBILISTIC INFORMATION: A Tutorial Referát o článku: Goguen, J.A., “The logic of inexact concepts”. Synthese 19(3/4):325–373, 1969

George J. Klir Jan Konečný (UPOL) State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA [email protected] Palacky University, Olomouc, Czech Republic

!

prepared for International Centre for Information and Uncertainty, Palacky University, Olomouc

! ! Konečný J. (DAMOL)

!

Goguen: The logic of inexact concepts

16. března 2012

1 / 19

J. A. Goguen – The Logic of Inexact Concepts

I Introduction II A paradox III Resolution of the paradox IV Representing inexact concepts V Algebra of inexact predicates VI Optimization and the truth set VII Implication and negation VIII The logic of inexact concepts

Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

2 / 19

I. Introduction

hard sciences vs. přirozený jazyk navrhuje metodu, jak konstruovat a studovat modely tak, jak používáme slova. podobné teorie – pravděpodobnost a intuicionistická logika We approach philosophy as an applied mathematician might approach magnetohydrodynamics or operations research: we do not assume there is some unique best theory, much less that we know it. We give general (but vague) method for modelling, clarifying and criticizing sufficiently well-codified ‘language games’. The models are subject to the process of experimental verification and subsequent modification usual in specific scientific research.



16. března 2012

3 / 19

II. Paradox Paradox sorites (resp. falakros): „Pokud přidám jeden kámen na malou hromadu, hromada bude pořád malá. Hromada o jednom kameni je malá. Takže (indukcí) každá hromada je malá.“ Matematická forma – malý muž: X – množina mužů; S ⊆ X – množina malých mužů; h(x) – výška muže x ve stopách. Ukážeme, že S = X, tedy všichni muži jsou malí. Tři předpoklady S 6= ∅ Pro x ∈ S, y ∈ X t.ž. 0 ≤ h(y) − h(x) ≤ 10−3 , pak y ∈ S (H) Pro x ∈ S, y ∈ X t.ž. h(y) ≤ h(x) pak y ∈ S Mějme x ∈ S, y ∈ X. Opakovanou aplikací modus ponens ukážeme, že y ∈ S x1 = x ∈ S najdeme x2 ∈ X t.ž. h(x2 ) − h(x1 ) = 10−3 , a tedy x2 ∈ S najdeme x3 ∈ X t.ž. h(x3 ) − h(x2 ) = 10−3 , a tedy x3 ∈ S ... Až k xk , pro které platí h(xk ) ≥ h(y) Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

4 / 19

It seems, that we must abadon some cruical part of traditional logic, modus ponens, or else the Law of the Excluded Middle; or more precisely, that we are forced to abandon the idea that these parts of traditional logic apply to inexact concepts such as ‘short’. (. . . ) The conclusion we wish to draw from all this is merely that representing concepts by sets and deduction by methods of traditional logic does not yield an adequate model of our customary use of inexact concepts and deductions. (. . . ) We propose a different representation of ’short’ which avoids the paradox by rendering the deduction on which it is based invalid. In fact, we suggest a measure of validity for the deduction which actually decreases as the number of applications of modus ponens increases.



16. března 2012

5 / 19

III. Resolution of the paradox J – jednotkový interval Def. J-množina (J-set) je funkce S : X → J Def. J-relace je funkce R : D → J, kde D je nějaká podmnožina X × Y Měli jsme H(x, y) = [x ∈ S ⇒ y ∈ S] = 1 pokud 0 ≤ h(y) − h(x) ≤ 10−3 Když je S fuzzy, (H) by mělo poskytovat pravdivostní hodnotou S(y) z pravdivostní hodnoty S(x). Např. f (h(y)) S(y) = H(x, y) = S(x) f (h(x)) Dostáváme základní deduktivní vztah: S(y) = H(x, y) · S(x) Vezměme x, t.ž. S(x) = 1. Stejně jako předtím můžeme zkonstruovat posloupnost x1 , x2 , . . . , xN , t.ž. (xi , xi+1 ) ∈ D pro 1 ≤ i < n. Konečný J. (DAMOL)

n Y


16. března 2012

6 / 19

We certainly do not want to claim there is some absolute J-set representing ‘short’. We expect variation with user and context. But we do show that any not identically zero function which is continuous decreasing and asymptotic to zero yields a representation of ‘short’ which avoids the paradox. It appears that many arguments about fuzzy sets to not depend on particular values of function, but only on such general properties. (. . . ) We believe that this phenomenon corresponds to our feeling that the deductive process of Section II is ‘fairly valid’ for x and y of similar height, but becomes less and less valid as the number of applications of modus ponens incresases. In fact, the validity of the deductive process is measured by H(x, y). (. . . ) J-set theory is very different from probability theory, even thought both use functions with values in J. We are not concerned with the likelihood that a man is short, after many trials; we are concerned with the shortness of one observation. The variation of the function in J measures the inherent vagueness or ambiguity of the word; it makes possible ‘fuzzy boundaries’ for concepts. Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

7 / 19

IV. Representing inexact concepts

věta o reprezentaci paradoxy bohatost J-množin Despise these arguments and promises, one must not expect too much of fuzzy sets and logic. Ordinary set theory and logic have been of greatest importance in providing a convenient language for mathematical thought. They have not made the exercise of creative intelligence unnecessary either in mathematics or its applications. Similarly we should not expect more of fuzzy sets and logic than that they facilitate the development and study of models in the inexact sciences, and that they be an interesting area for pure mathematical investigation.



16. března 2012

8 / 19

Definice průniku a sjednocení J-množin

A(z) = 0.7, B(z) = 0.6 Vlastnosti průniku a sjednocení J-množin (idempotence, komutativita, asociativita, absorpce, distributivita, prázdná množina). Zatímco zákon vyloučeného třetího nefunguje a podmnožiny nemají komplementy.



16. března 2012

9 / 19

Notice how different situation really is from probability theory. Certainly all the properties of Theorem 1 are shared by events in a probability space; but before thought that J-sets looked more like density functions. And furthermore, there is no rule in probability anything like (A ∩ B)(x) = A(x) ∧ B(x); the allowable operations upon distributions do not include minimum, since A ∩ B cannot in general have total probability one.



16. března 2012

10 / 19

V. Algebra of inexact predicates Def. Fuzzy množina je funkce A : X → L. Max Black rozlišuje tři druhy nepřesnosti obecnost (generality) – slovo se aplikuje na různé situace, nejednoznačnost (ambiguity) – popisuje více než jeden rozpoznatelný pojem, vágnost (vagueness) – nejsou přesné hranice pojmu. Všechny tyto druhy nepřesnosti jsou reprezentovány fuzzy množinami: obecnost – když je univerzum nebo část univerza, kde stupeň příslušnosti velká, není jen jeden bod; nejednoznačnost – když je vice než jedno lokální maximum funkce příslušnosti; vágnost – funkce příslušnosti nabírá i jiných hodnot než 0,1. We use the word fuzzy in such a way as to include both ambiguity and vagueness, which is any case slide graually into each other; and we assume generality already taken for granted. Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

11 / 19

Def. n-ární predikát na X je funkce P : X n → L pro nějakou částečně uspořádanou množinu L. Příklad: X - množina mužů, příslušnost do J-množiny S malých mužů je unární predikát. „vypadá jako“ (podobnost dvou mužů) je binární J-predikát R na X. Pokud L má binární operaci ∗ získáme binární operaci ~ nad unárními L-predikáty jako (P ~ Q)(x) = P (x) ∗ Q(x) ~ má stejné vlastnosti jako ∗; Proto je vhodnější značit operace nad unárními L-predikáty přímo ∗ namísto ~. Theorem: The set of all unary L-predicates over a fixed universe admits the same operations L does, and these satisfy the same equations as in L.



16. března 2012

12 / 19

Příklad: Predikát P (y): „být malý a vypadat jako x“ . . . S(y) ∧ R(x, y) It might actually be more desirable to model ‘and’ by multiplication on J, since then both the shortness of y and his similarity to x efect the truth of P (y), rather than just the smallest of these two when ‘and’ is modelled by ∧. In this sense, · is a context operation allowing each J-predicates to take account of the context set by the other. Pokud R a S jsou J-relace na X, složení R ◦ S je definováno _ R ◦ S(x, y) = S(x, z) · R(z, y) z∈X

kde · je násobení v J. Příklad: Predikát K(y): „vypadat jako muž, který žije blízko x“ Predikát „žije blízko“ : pomocí J-relace N (x, y) = f (d(x, y)), kde d(x, y) je vzdálenost mezi x a y – domovy x a y. f je nějaká rozumné klesající zobrazení. Predikát K(y) můžeme modelovat relací N ◦ R(x, y) (pro fixní x) Vlastnosti skládání; Definice symetrie, reflexivity, tranzitivity Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

13 / 19

Optimalization anA the truth set Optimalizační úlohy jako argument pro nelineární struktury. Úplný distributivní svaz a Booleovská algebra Pokud chceme mít sjednocení a průniky splňující základní zákony musí být množina pravdivostních hodnot svaz. Pokud chceme mít sjednocení a průniky nekonečných kolekcí, musí to být úplný svaz. Pokud chceme úplný distributivní zákon, musí to být úplný distributivní svaz. Intuicionistická implikace → charakterizovaná ajdunkcí a → b ≥ c p.k. a ∧ c ≤ b Pomocí úplnsti a uplné distributivity a→b=


_

c|a ∧ c ≤ b


16. března 2012

14 / 19

U rozřešení paradoxu se používalo násobení pri aplikaci modus ponens Konkrétně [P ] · [R ⇒ Q] = [Q] když [P ] ≥ [Q], t.j. [P ⇒ Q] = [Q]/[P ]předp. [P ] ≥ [Q] Tento způsob ohodnocování implikace měl tu vlastnost, že platnost řetězu téměř platných dedukcí klesala, jak rostla délka řetězu. Implikace v CLD tuto vlastnost ale nemá. . . platnost by zůstávala konstantní. Užitečnost násobení v J navádí k zavedení nové binární operace ∗ nad L. Musí být vztažena k implikaci nerovností a ∗ (a → b) ≤ b We want algebraic formalism for the logic of inexact concepts similar to that cdl’s give intuicionistic logic. This formalism must include the properties of implications used in Section III, and ought to include cdl’s and Boolean algebras as special cases. Theorem 3 suggests we do this through the truth set: it should have the same structure as the algebra of inexact predicates. Implication in this system must become division for the truth set J when [P ] ≥ [Q]; and we would also like a general definition which omits this condition. Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

15 / 19

All this is possible. Def. closg je úplný svaz s dodatečnou asociativní binární operací ∗ t.ž. _ _ a∗I =I ∗a=a a ∗ bi = a ∗ bi i

i

pro všechna a, bi W Def. Nechť L je closg a a, b ∈ L. Pak pravé residuum a → b je {x | a ∗ x ≤ b}. (Duálně levé residuum) closg = complete lattice ordered semigroup It is interesting, but less simple, to consider non-conplete residuated partially ordered semigroups, in which for each a, b is an element a → b satisfying the adjointness condition. This generalizes Brouwerian semilattices. Příklady: J, J n , 2J closg’s neposkytují ten nejobecnější zajímavý formalismus; možnosti residuované svazově uspořádané pologrupy (s vhodnými dodatečnými podmínkami) třídy, které nějsou množiny (třída všech J-množin) kategorie jako pravdivostní hodnoty, topologické prostory, posety . . . Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

16 / 19

VII. Implication and negation dedukce závěru Q z dat P je platná p.k. tvrzení P ⇒ Q je platné. residuum je přirozená volba pro implikaci v closg. přirozenost na příkladu algebraické vlastnosti pseudo-komplement U J-množin, negace 1 − a se dost liší od pseudo-komplementu, který je ( 1 pokud a = 0 a= 0 jinak Tato operace je je anti-isomorfismus. Pojem komplementu ve fuzzy logice je poněkud nejednoznačný. Každý closg má pseudo-komplement; některé mají více přijatelných operací komplementu. Vyhovující možnost je uvažovat closg s negací, dodatečnou operací N : L → L, která obrací uspořádání v L, a může splňovat nějaké dodatečné podmínky. Konečný J. (DAMOL)


16. března 2012

17 / 19

The Law of the Excluded Middle will probably fail in all interesting cases. (. . . ) Thus any reasoning in everyday life which depends on the Law of Excluded Middle (’Either you’re with us or you’re not’) is of extremely doubtful validity, and any reasoning depending on contradiction (a00 = a) is at least somewhat suspect. It would be difficult to overestimate the practical importance of this observation. How often have politicians and used-car salesmen used twisted logic to win our consent to their doubtful conclusions?



16. března 2012

18 / 19

The Logic of Inexact concepts Jazyk: symboly A, B, C . . . log. spojky ∧, ∨, ¬, ⇒, někdy ∗ Pravdivostní hodnoty z clog s negací N . Pravidla: [A ∧ B] = [A] ∧ [B]

(1)

[A ∨ B] = [A] ∨ [B]

(2)

[A ⇒ B] = [A] → [B]

(3)

[¬A] = N ([A])

(4)

Kvantifikátory [∃xP ] =

_

[P (x)]

^

P (x)

[∀xP ] =

x∈X Konečný J. (DAMOL)

N ([P (x)])

(5)

x∈X

x∈X

[∀xP ] =

Y

[∃xP ] = N ( Y

(6)

[P (x)]

x∈X Goguen: The logic of inexact concepts

16. března 2012

19 / 19

George J. Klir. State University of New York (SUNY) Binghamton, New York 13902, USA

Recommend Documents