Bab 7 Kolom 7.1.
Stabilitas Kolom
Dalam bab sebelumnya telah dibicarakan bahwa agar struktur dan elemen-elemennya dapat berfungsi mendukung beban harus memenuhi persyaratan keku-atan, kekakuan dan
stabilitas.
Pembahasan
mengenai
analisis
maupun
perancang-an
yang
mempertimbangkan kekuatan dan kekakuan telah dibahas, di mana struktur dan elemen-eJemennya selalu dianggap dalam kondisi stabil. Pada bab ini akan dibahas mengenai stabiiltas struktur khususnya batang yang menerima beban aksial tekan atau kolom. Sebagai gambaran tentang stabilitas, lihatlah sebuah benda berbentuk bola seperti pada Gambar 7.1, yang terletak di atas bidang cekung, datar dan cembung. Dan gambar tersebut dapat dipastikan bahwa bola pada Gambar 7.1 (a) dalam keadaan stabil, pada Gambar 7.1 (b) stabil narnun dengan adanya dorongan atau tiupan angin yang kecil sudah menjadi tidak stabil, sedangkan pada Gambar 7.1 (c) kondisinya tidak stabil.
Gambar 7.1. Stabilitas benda di atas berbagai permukaan Baiklah sekarang diberikan contoh problem stabilitas sebuah batang vertikal dengan ujung bawah diberi pegas dengan kekakuan puntir k seperti diperlihatkan pada Gambar
7.2.
Batang
tersebut
dibebani
gaya
tekan
vertikal.
Jika
akibat
ketidaksempurnaan batang, misalnya batang tidak lurus sempurna atau karena sesuatu, ujung atas atang terjacli penggeseran yang sangat kecil dengan sudut putar 6, maka akan terjadi beberapa kemungkinan mengenai stabilitas batang. Akibat perputaran ini akan terjadi momen yang membuat batang tidak stabil yang besarnya PLsin θ
P18 (untuk sudut Okecil).
Ada tiga kemungkinan yang dapat terjadi: 1. Jika k θ > P θ , batang akan stabil
Universitas Gadjah Mada
2. Jika k θ > P θ , batang tidak stabil 3. Jika k θ = P θ , terjadi peralihan antara kondisi stabil dan labil
Gambar 7.2. Batang yang dibebani tekan Pada kemungkinan ke tiga merupakan kondisi yang diperoleh beban kritis Pcr atau beban tekuk. Jika beban ini dinaikkan sedikit saja, maka batang menjadi tidak stabil. Sedangkan besamya Pcr ini adalah:
kθ = P θ k Pcr = 7.1.
(7.1)
Rumus Euler
Tinjaulah sebuah kolom dengan kedua ujungnya dapat berputar bebas seperti diperlihatkan pada Gambar 7.3.
Gambar 7.3. Kolom dengan ujung bebas berputar dibebani gaya tekan
Universitas Gadjah Mada
Tinjaulah sebuah titik pada batang yang berjarak x dan ujung atas. Pada titik ini mengalami momen lentur sebesar M = Py(x). Pada setiap titik pada batang terjadi kelengkungan yang berbanding lurus dengan besarnya momen lentur pada titik tersebut.
Dengan mengambil nilai λ2 =
P akan didapatkan: El
Persamaan (7.3) merupakan persamaan yang bentuknya sama dengan gerak selaras sederhana, yang penyelesaian secara umum adalah:
y = A sin λx + B cos λx
(7.4)
dengan A dan B adalah konstanta yang dapat dicari dari syarat-syarat batas sebagai berikut:
x = 0 → y = 0 → 0 = B cos 0 → B = 0 x = 0 → y = → 0 = A sin λL Untuk penyelesaian A sin λL = 0 diperoleh dua nilai, yaitu: (a) A = 0
penyelesaian trivial (kurang berarti)
(b) λL = nπ dengan n : bilangan bulat Dengan memasukkan λ =
P didapatkan beban kritis kolom sebesar : El Pcr =
n 2π 2 El
(7.5)
2
Nilai terkecil dari Pcr didapat jika n = 1, yang disebut sebagai rumus Euler untuk beban kritis:
Pcr =
π 2 El
(7.6)
2
dengan I adalah momen inersia terkecil dari penampang kolom. Untuk n = 1, 2 , 3 ,..., maka didapatkan bentuk kelengkungan kolom y = A sin λx dan beban kritis masing-masing seperti tampak pada Gambar 7.4.
Universitas Gadjah Mada
Gambar 7.4. Bentuk kelengkungan dan beban kritis kolom dengan kedua ujungnya bebas berputar 7.3.
Modifikasi Rumus Euler untuk Kolom dengan Ujung yang Berlainan
Dari bahasan di atas terlihat bahwa beban kritis kolom dipengaruhi oleh persamaan kelengkungan kolom. Kolom yang kedua ujungiya tidak berupa sendi tentunya akan mempunyai bentuk/persamaan kelengkungan yang berbeda. Berikut diberikan sebuah contoh untuk kolom dengan salah satu ujungnya berupa sendi ujung yag lain jepit seperti tenlihat pada Gambar 7.5. Akibat beban, akan terjadi kelengkungan yang mengakibatkan terjadinya momen lentur Mo pada perletakan yang terjepit yang besarnya tidak diketahui.
Universitas Gadjah Mada
Gambar 7.5. Kolom dengan ujung-ujung jepit dan rol Persamaan kelengkungan batang:
Dengan mengambil λ2 =
P didapatkan: El
Penyelesaian persamaan tersebut adalah:
Syarat-syarat batas:
Universitas Gadjah Mada
Persamaan (7.9) rnenjadi:
Untuk x =
→ y=0
Dengan mensubstitusikan λ2 =
P didapatkan: El
Rumus umum untuk menghitung beban kritis dapat dituliskan sebagai berikut:
dengan: k: koefisien/faktor panjang efektif Dengan demikian faktor panjang efektif kolom untuk ujung-ujungnya jepit-sendi dari Persamaan (7.10) didapatkan nilai k = 0,7. Koefisien tekuk k untuk berbagai macam ujung kolom dapat dilihat pada Gambar 7.6.
Universitas Gadjah Mada
Gambar 7.6. Faktor tekuk kolom dengan berbagai macam pengekang ujung Jika I = r2A, dimana r adalah jari-jari inersia dan A luas penampang kolom, maka Persamaan (7.11) dapat dituliskan:
Dan tegangan rata-rata
cr
pada beban kritis sebesar : (7.12)
Dengan : Angka kelangsingan (slenderness ratio) kolom r 7.4.
: jari-jari inersia terkecil
Pembatasan Rumus Euler
Perlu dicatat bahwa rumus Euler yang dibahas di atas berlaku jika bahan masih dalam kondisi linier elastik. Oleh karena itu tegangan kritis rata-rata
cr
yang terjadi tidak
boleh melebihi batas proporsional bahan. Sebagai contoh pada Gambar 7.7
Universitas Gadjah Mada
diperlihatkan garis hiperbola dari rumus Euler dengan berbagai nilai
k untuk kolom r
kayu dengan modulus elastisitas E = 12500 MPa, dengan tegangan batas proporsional e
= 15 MPa. Batas angka kelangsingan berlakunya rumus Euler adalah sebagai
berikut:
Gambar 7.7. Batas berlakunya rumus Euler untuk kolom kayu Kolom yang mempunyai angka kelangsingan Iebih besar dari λe = 90,69 akan terjadi tekuk secara elastis. Garis yang terputus-putus pada kurva tidak berlaku rumus Euler karena pada bagian ini bahan sudah berperilaku tidak elastis lagi (untuk
k < 90,69). r
Tegangan kritis rata-rata untuk angka kelangsingan kurang dari λe
biasanya
didapatkan dari hasil-hasil eksperimen atau didekati dengan rumus:
dimana Et = modulus garis singgung pada kurva tegangan - regangan seperti diperlihatkan pada Gambar 7.8 (a). Tegangan ini yang sudah melampaui batas proporsional.
Universitas Gadjah Mada
Gambar 7.8. Daerah berlakunya rumus Euler dan modifikasinya Hasil pengujian laboratorium biasanya cukup dekat dengan nilai yang di dapat dari Persamaan (7.13). Sedangkan nilai tegangan kritis pada
k = 0 adalah sama dengan r
tegangan maksimum (o) yang dapat dicapai oleh bahan. 7.5.
Kolom dengan Beban Eksentris
Dalam praktek tidak ada kolom yang benar-benar lurus sempurna demikian pula tidak dapat membuat gaya yang bekerja henar-benar sentnis. Bahkan dalam perancangan kolom, biasanya peraturan-peraturan mengharuskan untuk diperhitungkan adanya eksentnsitas minimum. Untuk mengetahui perilaku kolom yang dibebani eksentris, tinjaulah kolom dengan beban eksentris pada kedua ujungnya, seperti diperlihatkan pada Gambar 7.9.
Universitas Gadjah Mada
Momen lentur sembarang titik pada kolom adalah
M = P (e + y )
(7.14)
Seperti dalam Persarnaan (7.2), di sini berlaku
Jika diambil
P = λ2 , maka didapatkan : El
Penyelesaian secara umum:
e + y = e cos λx + e tan y = e tan
λ 2
λ 2
sin λ
. sin λx + cos λx + cos λx − 1
Lendutan maksimum ymaks terjadi di tengah bentang dengan x =
2
, diperoleh:
Universitas Gadjah Mada
Dari Persamaan (7.18) dapat dibuat kurva hubungan antara ymaks dan P, seperti diperlihatkan pada Gambar 7.10.
Gambar 7.10. Hubungan antaraymaA dengan P Jika P <
Universitas Gadjah Mada
Dengan kemiringan kurva
P
δ
=
8 El e 2
Besarnya Mmaks :
M maks = P(e + δ ) = Pe sec
λ
(7.19)
2
Gambar 7.11. Hubungan antara Mmaks dengan beban eksentris Per Tegangan normal yang terjadi pada batang merupakan gabungan akibat gaya aksial dan momen lentur, sedangkan tegangan terbesar δ maks adalah
Universitas Gadjah Mada
Dengan r =
7.6.
I P dan λ2 = A El
maka didapatkan:
Rangkuman
Berdasarkan bahasan mengenai stabilitas batang tekan, ada beberapa catatan penting, yaitu: 1. Batang yang dibebani tekan ada suatu beban kritis jika beban ini dilampaui batang menjadi tidak stabil 2. Besarnya tegangan kritis menunit Euler adalah
σ cr =
π 2E k r
Rumus Euler ini hanya berlaku sampai pada batas proporsional. 3. Nilal k dari rumus di atas dipengaruhi oleh jenis perletakan
4. Jika tegangan kritis sudah melampaui batas proporsional, nilai modulus elastisitas E dapat diganti dengan nilai modulus elastisitas yang didapat dari garis singgung E, dari kurva tegangan-regangan.
Universitas Gadjah Mada