♠ Ocelov´a deska o ploˇse 0,2 m2 se pohybuje rovnomˇern´ym pˇr´ımoˇcar´ym pohybem na tenk´em olejov´em filmu rychlost´ı 0,1 m s−1 . Tlouˇst’ka filmu je 2 mm. Vypoˇctˇete s´ılu F , kterou mus´ıte p˚usobit na desku, abyste pˇrekonali s´ıly vazk´eho tˇren´ı. V´ysledky porovnejte se silou potˇrebnou k taˇzen´ı desky pˇri such´em tˇren´ı, je-li souˇcinitel smykov´eho tˇren´ı f za pohybu (ocel – ocel) roven 0,15 a deska je zat´ızˇ ena silou 10 kN. Fyzik´aln´ı parametry oleje: dynamick´a viskozita pˇri teplotˇe 20◦ C je 306 mPa s a pˇri teplotˇe 60◦ C je 30 mPa s. ♠ Jak´e mnoˇzstv´ı tlakov´eho oleje unik´a sˇtˇerbinou do voln´eho prostˇred´ı, jestliˇze vzd´alenost ploch tvoˇr´ıc´ıch sˇtˇerbinu je 0,6 mm, sˇ´ıˇrka sˇtˇerbiny je 50 mm a d´elka sˇtˇerbiny je 20 mm. Pˇretlak oleje v˚ucˇ i vnˇejˇs´ımu prostˇred´ı je 40 kPa. D´ale vypoˇctˇete stˇredn´ı a maxim´aln´ı rychlost vyt´ekaj´ıc´ıho oleje. Ovˇeˇrte pˇredpoklady v´ypoˇctu. Fyzik´aln´ı parametry oleje: dynamick´a viskozita je 8 mPa s a hustota 850 kg m−3 . ♠ Roztok glycerinu o koncentraci 85 % a teplotˇe 20◦ C st´ek´a v tenk´e vrstvˇe po stˇenˇe o sˇ´ırˇce 0,5 m sv´ıraj´ıc´ı s vodorovnou rovinnou u´ hel 30◦ . Urˇcete, kolik glycerinu m˚uzˇ eme pˇriv´adˇet na stˇenu, aby tlouˇst’ka st´ekaj´ıc´ı vrstvy nepˇres´ahla 2 mm. Vypoˇctˇete rychlost povrchu st´ekaj´ıc´ı vrstvy. Fyzik´aln´ı parametry 85% glycerinu: dynamick´a viskozita pˇri teplotˇe 20◦ C je 112,9 mPa s a hustota 1221,8 kg m−3 . ♠ Prostorem mezi dvˇema souos´ymi v´alci prot´ek´a ve smˇeru osy roztok sˇkrobov´eho sirupu. Vnitˇrn´ı pr˚umˇer vnˇejˇs´ıho v´alce je 150 mm a vnˇejˇs´ı pr˚umˇer vnitˇrn´ıho v´alce je 50 mm. Vypoˇctˇete objemov´y pr˚utok sirupu mezikruˇz´ım, je-li tlakov´a ztr´ata vztaˇzen´a na jednotku d´elky 10,5 kPa m−1 . D´ale vypoˇctˇete stˇredn´ı a maxim´aln´ı rychlost sˇkrobov´eho sirupu a polohu maxima rychlosti. Ovˇeˇrte pˇredpoklady v´ypoˇctu. Fyzik´aln´ı parametry sˇkrobov´eho sirupu: dynamick´a viskozita je 30 Pa s a hustota 1425 kg m−3 . ∆pR22 r 1− uz = − 4µL R2 "
2
1 − κ2 r + 1 ln R2 ln κ
#
π∆pR24 (1 − κ2 )2 R1 ; V˙ = − 1 − κ4 − ; κ= 1 8µL R2 ln κ "
#
♠ Hˇr´ıdel o pr˚umˇeru 25 mm je uloˇzen v kluzn´em loˇzisku s radi´aln´ı v˚ul´ı 0,03 mm v d´elce 40 mm. Ot´acˇ ky hˇr´ıdele jsou 200 min−1 . Vypoˇctˇete kroutic´ı moment hˇr´ıdele v loˇzisku potˇrebn´y k pˇrekon´an´ı vazk´eho tˇren´ı (ztr´atov´y kroutic´ı moment) a v´ykon zmaˇren´y v loˇzisku visk´ozn´ı disipac´ı. V´ypoˇcet proved’te pomoc´ı pˇribliˇzn´eho a pˇresn´eho ˇreˇsen´ı a v´ysledky mezi sebou porovnejte. Zanedbejte koncov´e efekty a ovˇeˇrte pˇredpoklady v´ypoˇctu. Fyzik´aln´ı parametry maziva: kinematick´a viskozita je 170 · 10−6 m2 s−1 a hustota 900 kg m−3 . R1 4πµωR12 L ; κ = Mk = 1 − κ2 R2 ♠ Porovnejte kroutic´ı moment potˇrebn´y k pˇrekon´an´ı vazk´ych sil a ztr´atov´y v´ykon zmaˇren´y visk´ozn´ımi silami hˇr´ıdele uloˇzen´eho v patn´ım axi´aln´ım loˇzisku o pr˚umˇeru 50 mm bez a se stˇredov´ym vybr´an´ım o pr˚umˇeru 30 mm. Hˇr´ıdel se ot´acˇ´ı na olejov´em filmu tlouˇst’ky 1,5 mm ot´acˇ kami 200 min−1 . Fyzik´aln´ı parametry maziva: dynamick´a viskozita je 0,6 Pa s. ♠ Kuˇzelov´y cˇ ep o pr˚umˇeru 100 mm se ot´acˇ´ı na olejov´em filmu tlouˇst’ky 1,5 mm ot´acˇ kami 200 min−1 . Urˇcete kroutic´ı moment potˇrebn´y k pˇrekon´an´ı vazk´eho tˇren´ı a velikost v´ykonu disipovan´eho v kapalinˇe vazkou disipac´ı. Vrcholov´y u´ hel kuˇzelov´eho cˇ epu je 120◦ . V´ypoˇcet proved’te pomoc´ı pˇribliˇzn´eho ˇreˇsen´ı. Fyzik´aln´ı parametry maziva: dynamick´a viskozita je 0,6 Pa s. ♠ S pomoc´ı rotaˇcn´ıho viskozimetru s uspoˇra´ d´an´ım kuˇzel–deska byla mˇerˇena dynamick´a viskozita medu pˇri teplotˇe 20◦ C. Jak´a byla dynamick´a viskozita medu pˇri t´eto teplotˇe, byl-li pˇri pouˇzit´ı kuˇzele o pr˚umˇeru 36 mm a vrcholov´em u´ hlu 178◦ , kter´y se ot´acˇ el ot´acˇ kami 0,5 min−1 , namˇeˇren kroutic´ı moment 2,169 N mm. Vypoˇc´ıtejte t´ezˇ objem vzorku, kter´y potˇrebujete, abyste mohli mˇeˇren´ı prov´est a d´ale vypoˇc´ıtejte velikost disipovan´eho v´ykonu v kapalinˇe. V´ypoˇcet proved’te s pomoc´ı pˇribliˇzn´eho ˇreˇsen´ı.
♣ Stˇena pece se skl´ad´a z vrstvy zˇ a´ ruvzdorn´ych sˇamotov´ych cihel, vrstvy izolace a vnˇejˇs´ıho kryc´ıho ocelov´eho plechu tlouˇst’ky 1 mm. Teplota uvnitˇr pece je 900◦ C. Teplota okoln´ıho prostˇred´ı 30◦ C. Souˇcinitel pˇrestupu tepla uvnitˇr pece je 50 W m−2 K−1 , souˇcinitel pˇrestupu tepla na povrchu pece je 15 W m−2 K−1 . Maxim´aln´ı teplota izolace nesm´ı pˇres´ahnout 700◦ C. Maxim´aln´ı teplota vnˇejˇs´ıho povrchu pece nesm´ı pˇrekroˇcit 60◦ C. Vypoˇctˇete tlouˇst’ku zˇ a´ ruvzdorn´e vyzd´ıvky, tlouˇst’ku vrstvy izolace, tepeln´e ztr´aty na 1 m2 plochy pece a tepeln´e ztr´aty cel´e pece, jsou - li jej´ı rozmˇery 4 × 3 × 3 m3 . Termofyzik´aln´ı vlastnosti: souˇcinitel tepeln´e vodivosti pro zˇ a´ ruvzdorn´e cihly je 1,28 W m−1 K−1 , struskovou vlnu je 0,07 W m−1 K−1 a ocelov´y plech je 48 W m−1 K−1 . ♣ Stanovte maxim´aln´ı pˇr´ıpustn´y proud, kter´y m˚uzˇ e prot´ekat mˇedˇen´ym vodiˇcem, nesm´ı-li povrchov´a teplota vodiˇce kv˚uli izolaci pˇrekroˇcit 60◦ C. Pr˚umˇer vodiˇce je 1 mm, tlouˇst’ka izolace 0,3 mm. Uvolnˇen´e teplo m˚uzˇ e b´yt odvedeno pouze konvekc´ı do okoln´ıho klidn´eho vzduchu. Souˇcinitel pˇrestupu tepla volnou konvekc´ı do okoln´ıho prostˇred´ı je 5 W m−2 K−1 . Teplota okoln´ıho vzduchu 20◦ C. Parametry mˇedˇen´eho vodiˇce Mˇern´y elektrick´y odpor 1,7 · 10−8 Ω m Souˇcinitel tepeln´e vodivosti 393 W m−1 K−1 Mˇern´a tepeln´a kapacita za konstantn´ıho tlaku 0,396 kJ kg−1 K−1 Hustota 8930 kg m−3
Parametry izolace 0,406 W m−1 K−1 2,82 kJ kg−1 K−1 906 kg m−3
2 Q˙ (g) 2 4 r αR T − Tf = R 1+ − ; kde Bi = 2 4λ Bi R λ "
#
♣ Stanovte mnoˇzstv´ı topn´e p´ary o teplotˇe 120◦ C potˇrebn´e k ohˇrevu 900 kg h−1 anilinu z teploty 20◦ C na 110◦ C ve v´ymˇen´ıku typu trubka v trubce. Anilin proud´ı vnitˇrn´ı trubkou o vnˇejˇs´ım pr˚umˇeru 20 mm s tlouˇst’kou stˇeny 1 mm. P´ara kondenzuje vnˇe. D´ale stanovte potˇrebnou teplosmˇennou plochu a d´elku v´ymˇen´ıku (d´elku na v´yvin profilu neuvaˇzujte). Souˇcinitel tepeln´e vodivosti trubky je 393 W m−1 K−1 . Fyzik´aln´ı vlastnosti anilinu: souˇcinitel tepeln´e vodivosti 0,169 W m−1 K−1 , mˇern´a tepeln´a kapacita za konstantn´ıho tlaku 2,19 kJ kg−1 K−1 , hustota 955 kg m−3 a dynamick´a viskozita 0,8 mPa s. V´yparn´e teplo vody pˇri teplotˇe 120◦ C je 2202 kJ kg−1 . ♣ V protiproud´em v´ymˇen´ıku typu trubka v trubce se chlad´ı 11880 kg h−1 metanolu z teploty 64◦ C na teplotu 30◦ C chlad´ıc´ı vodou o teplotˇe 25◦ C. Metanol proud´ı ve vnitˇrn´ı trubce o vnˇejˇs´ım pr˚umˇeru 54 mm s tlouˇst’kou stˇeny 2 mm. Chlad´ıc´ı voda proud´ı v mezikruˇz´ı jehoˇz vnitˇrn´ı pr˚umˇer je 75 mm. Stanovte spotˇrebu chlad´ıc´ı vody, nem´a-li ohˇra´ t´ı chlad´ıc´ı vody b´yt vyˇssˇ´ı neˇz 15◦ C. D´ale stanovte souˇcinitel prostupu tepla vztaˇzen´y na 1 m d´elky, souˇcinitel prostupu tepla vztaˇzen´y na 1 m2 vnˇejˇs´ıho povrchu, potˇrebnou teplosmˇennou plochu a potˇrebnou d´elku trubek. Pˇredpokl´adejte vyvinut´y rychlostn´ı a teplotn´ı profil. Pro pˇrestup tepla pˇri turbulentn´ım proudˇen´ı mezikruhovou sˇtˇerbinou (dle Kutatˇeladze, Boriˇsanskij) m˚uzˇ ete pouˇz´ıt korelaci Nu = 0,015 · Re0,8 · Pr0,4 · (D2 /D1 )0,25 , kde D2 je vnˇejˇs´ı pr˚umˇer mezikruˇz´ı a D1 vnitˇrn´ı pr˚umˇer mezikruˇz´ı. Souˇcinitel tepeln´e vodivosti Mˇern´a tepeln´a kapacita za konstantn´ıho tlaku Hustota Dynamick´a viskozita
Parametry metanolu 0,314 W m−1 K−1 2,74 kJ kg−1 K−1 850 kg m−3 1,24 mPa s
Parametry chladic´ı vody 0,618 W m−1 K−1 4,18 kJ kg−1 K−1 995 kg m−3 0,8 mPa s
♣ Za jak dlouho se ohˇreje ocelov´a tyˇc o pr˚umˇeru 40 mm a d´elce 300 mm v komorov´e peci na teplotu 350◦ C, je-li teplota v peci 450◦ C a poˇca´ teˇcn´ı teplota tyˇce 20◦ C? Stanovte tak´e mnoˇzstv´ı tepla dodan´e za dan´y cˇ as. Souˇcinitel pˇrestupu tepla mezi tyˇc´ı a prostˇred´ım v peci stanovte dle empirick´eho vztahu (Macek, Zuna, Janovec) α = 15 + 0,105 · (T /100)3 , kde α (W m−2 K−1 ) je souˇcinitel pˇrestupu tepla pˇri teplotˇe T (K) v peci. Termofyzik´aln´ı vlastnosti oceli: souˇcinitel tepeln´e vodivosti 48 W m−1 K−1 , mˇern´a tepeln´a kapacita za konstantn´ıho tlaku 0,5 kJ kg−1 K−1 a hustota 7790 kg m−3 . ♣ Jedn´ım z modern´ıch zp˚usob˚u konzervace je zmrazov´an´ı ve vypaˇruj´ıc´ım se chladivu (nejˇcastˇeji N2 nebo CO2 ). Jak dlouho mus´ı b´yt hr´asˇek ve styku s parami vypaˇruj´ıc´ıho se dus´ıku o teplotˇe −190◦ C, aby maxim´aln´ı teplota v hr´asˇku byla −18◦ C? Jak´a bude povrchov´a teplota v tomto cˇ ase? D´ale vypoˇctˇete v jak´em cˇ ase bude dosaˇzena v hr´asˇku teplota 0◦ C. Poˇca´ teˇcn´ı teplota konzervovan´eho hr´asˇku je 20◦ C a jeho pr˚umˇer 8 mm. [Stˇredn´ı souˇcinitel pˇrestupu tepla na povrchu hr´asˇku je 15 W m−2 K−1 .|Hr´asˇek je ochlazov´an proud´ıc´ımi parami chladiva o rychlosti 5 m s−1 .] Zanedbejte zmˇeny fyzik´aln´ıch vlastnost´ı hr´asˇku vlivem jeho zmrznut´ı i zmˇeny fyzik´aln´ıch vlastnost´ı dus´ıku vlivem jeho oteplen´ı v bl´ızkosti hr´asˇku. Termofyzik´aln´ı vlastnosti hr´asˇku: souˇcinitel tepeln´e vodivosti 0,37 W m−1 K−1 , souˇcinitel teplotn´ı vodivosti 9,1 · 10−8 m2 s−1 a hustota 1062 kg m−3 . Termofyzik´aln´ı vlastnosti dus´ıkov´ych par pˇri tlaku 101325 Pa a teplotˇe −190◦ C: souˇcinitel tepeln´e vodivosti 0,00809 W m−1 K−1 , mˇern´a tepeln´a kapacita za konstantn´ıho tlaku 1102,7 J kg−1 K−1 , dynamick´a viskozita 5,834 · 10−6 Pa s a hustota 4,253 kg m−3 (dle http://webbok.nist.gov/chemistry). —————
Koule
X=
T − Tf λ 1 at = Fo, Y = = T ∗, Z = = 2 R T0 − Tf αR Bi
♥ V z´asobn´ıku, kter´y m´a tvar svisl´eho v´alce o vnitˇrn´ım pr˚umˇeru 2 m se skladuje benzen. Pˇri opravˇe bylo sˇnato v´ıko, takˇze z´asobn´ık z˚ustal po dobu opravy otevˇren. Odhadnˇete, kolik benzenu se odpaˇrilo (jak´y byl pokles hladiny v n´adrˇzi bˇehem opravy), kdyˇz oprava trvala 36 h. Teplota benzenu byla 15◦ C a hladina benzenu byla p˚uvodnˇe vzd´alena od horn´ıho okraje z´asobn´ıku 10 cm. Pˇredpokl´adejte, zˇ e vrstva plynu uvnitˇr z´asobn´ıku je nehybn´a a zˇ e koncentrace benzenov´ych par nad z´asobn´ıkem je zanedbateln´a. Pˇri v´ypoˇctu pouˇzijte n´asleduj´ıc´ı fyzik´aln´ı parametry benzenu pro teplotu 15◦ C: hustota 882,44 kg m−3 , mol´arn´ı hmotnost 78,114 kg kmol−1 a difuzn´ı souˇcinitel benzenu ve vzduchu 86,63 · 10−3 cm2 s−1 . Konstanty Antoineovy rovnice log p00 = A − B/ (T + C) jsou: A = 6,01907, B = 1204,682, C = 220,078 (v tomto pˇr´ıpadˇe mus´ı b´yt do rovnice dosazov´any hodnoty ve ◦ C a kPa). ♥ Vlhk´y materi´al je uzavˇren v obalu z polyethylenov´e folie o tlouˇst’ce 0,1 mm a ploˇse povrchu 5 dm2 . Z vnˇejˇs´ı strany obalu je vzduch o teplotˇe 25 ◦ C a relativn´ı vlhkosti 50 %. Odhadnˇete cˇ asov´y u´ bytek hmotnosti materi´alu difuz´ı vodn´ı p´ary foli´ı. Permeabilita f´olie je 1,25 · 10−15 kg m−1 s−1 Pa−1 . Konstanty Antoineovy rovnice log p00 = A − B/ (T + C) pro vodu jsou: A = 7,19621, B = 1730,63, C = 233,426 (v tomto pˇr´ıpadˇe mus´ı b´yt do rovnice dosazov´any hodnoty ve ◦ C a kPa). Z hlediska vnitˇrn´ı struktury lze polymery rˇadit mezi tzv. tuh´e l´atky s mikrostrukturou. Hnac´ı silou pro pˇrenos hmoty je v tomto pˇr´ıpadˇe rozd´ıl rovnov´azˇ n´ych koncentrac´ı sloˇzky na povrchu tuh´e l´atky, kter´e jsou vˇsak obt´ızˇ nˇe mˇerˇiteln´e. V pˇr´ıpadˇe pevn´ych nekovov´ych l´atek rozpustnost (koncentrace) sloˇzky v tuh´e l´atce z´avis´ı line´arnˇe na parci´aln´ım tlaku sloˇzky (obdoba Henryho z´akona pro rozpustnost plyn˚u v kapalin´ach) a tak se pro vyj´adˇren´ı hnac´ı s´ıly vyuˇz´ıv´a sn´aze zjistiteln´y parci´aln´ı tlak a m´ısto vyhodnocen´ı dvou parametr˚u, souˇcinitele difuze a konstanty rozpustnosti, se definuje a mˇerˇ´ı pouze jeden souhrnn´y parametr, tzv. propustnost neboli permeabilita P (kg m−1 s−1 Pa−1 ), kter´y v sobˇe zahrnuje obˇe d´ılˇc´ı veliˇciny. ♥ Pˇri hav´arii cisternov´eho vozu se na rovinn´y povrch p˚udy rozlije pˇrev´azˇ en´a agresivn´ı tˇekav´a kapalina. Kapalina se zaˇcne okamˇzitˇe vsakovat (difundovat) do p˚udy, ale souˇcasnˇe tak´e odpaˇrovat do voln´eho prostoru. Veˇsker´a kapalina z povrchu p˚udy zmiz´ı (at’ jiˇz difuz´ı nebo odparem) za 30 minut od rozlit´ı. Do jak´e hloubky budou usmrceny zˇ iv´e organismy v p˚udˇe, pˇredpokl´ad´ame-li, zˇ e smrt´ıc´ı koncentrace, vyj´adˇren´a pomoc´ı hmotnost´ıho pod´ılu, je 0,1 %? Efektivn´ı souˇcinitel difuze kapaliny p˚udou je 9,81 · 10−8 m2 s−1 . 1.0
2 Z −η2 x T − T0 =1− √ e dη = 1 − erf √ TS − T0 π 2 at 0
!
0.9
√2 x π
0.8 0.7 0.6
erf(x)
x √ 2 at
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.0
0.5
1.0
1.5
x
2.0
2.5
3.0
♥ Kofein je vyluhov´an z k´avov´ych zrn organick´ym rozpouˇstˇedlem. Vypoˇctˇete dobu potˇrebnou k tomu, aby se obsah kofeinu sn´ızˇ il na 10 % p˚uvodn´ı hodnoty, jestliˇze efektivn´ı difuzn´ı souˇcinitel je 1,8 · 10−10 m2 s−1 a k´avov´a zrna maj´ı tvar koule s pr˚umˇerem 3 mm. Efektivn´ı souˇcinitel pˇrestupu hmoty na povrchu k´avov´ych zrn je 9 · 10−7 m s−1 . Pˇri v´ypoˇctu uvaˇzujte zjednoduˇsen´y model vyluhov´an´ı kofeinu kdy dojde k okamˇzit´emu vytvoˇren´ı poˇca´ teˇcn´ıho spojit´eho konstantn´ıho profilu kofeinu v rozpouˇstˇedle v cel´em zrnu (toto lze pˇredpokl´adat v pˇr´ıpadˇe rychl´eho nasycen´ı zrna rozpouˇstˇedlem a rychl´eho rozpuˇstˇen´ı kofeinu v rozpouˇstˇedle). N´aslednˇe pak doch´az´ı k nestacion´arn´ı difuzi kofeinu rozpouˇstˇedlem ze zrna do voln´eho proudu rozpouˇstˇedla (v pˇr´ıpadˇe re´aln´eho procesu zm´ınˇen´e f´aze prob´ıhaj´ı souˇcasnˇe). Vzhledem k tomu, zˇ e rˇeˇsen´ı nestacion´arn´ıho pˇrenosu hmoty je vyj´adˇreno v bezrozmˇern´e formˇe pomoc´ı bezrozmˇern´ych cˇ´ısel, nen´ı nutn´e zn´at absolutn´ı hodnoty koncentrac´ı, ale staˇc´ı zn´at relativn´ı zmˇenu koncentrace. ♥ Pˇri neopatrn´e manipulaci s pˇripojovac´ı trubkou doˇslo pˇri doplˇnov´an´ı paliva do z´asobn´ıku benzinov´e stanice k u´ niku benzinu a jeho rozlit´ı na rovinnou plochu pˇribliˇznˇe cˇ tvercov´eho tvaru o d´elce strany 8 m. V´ysˇka vrstvy rozlit´eho benzinu byla 5 mm. Rovnobˇezˇ nˇe s d´elkou strany cˇ tvercov´e plochy v´al v´anek o rychlosti 3 km h−1 . Urˇcete rychlost odpaˇrov´an´ı z hladiny pˇri teplotˇe vzduchu i benzinu 20◦ C a tak´e dobu potˇrebou k u´ pln´emu odpaˇren´ı benzinu. Pˇri v´ypoˇctu pouˇzijte n´asleduj´ıc´ı vlastnosti benzinu (smˇes uhlovod´ık˚u tvoˇr´ıc´ı benzin nahrad’te vlastnostmi isooktanu C8 H18 ): mol´arn´ı hmotnost 114,2 kg kmol−1 , tlak nasycen´ych par pˇri teplotˇe 20◦ C je 5150 Pa, hustota syt´e kapaliny pˇri t´eto teplotˇe je 692,4 kg m−3 a souˇcinitel difuze do vzduchu 5,76 · 10−6 m2 s−1 . Kinematick´a viskozita vzduchu pˇri t´ezˇ e teplotˇe je 1,53 · 10−5 m2 s−1 .
