FRAKTÁLOK A FÖLDRAJZBAN

FRAKTÁLOK A FÖLDRAJZBAN 2004

BACSOSZ SZTAVROSZ ELTE Regionális Földrajzi Tanszék

2 Tartalomjegyzék Bevezetés................................................................................................................................... 3 1. Mik is azok a fraktálok?.........................................................................................................3 2. A fraktáldimenzió és annak értelmezése................................................................................4 3. Fraktálok előállítása............................................................................................................... 7 4. Természetben is vannak fraktálok!...................................................................................... 10 5. Box counting eljárás............................................................................................................ 13 6. Véletlenszerű fraktálok alkalmazása egy földrajzi példában...............................................16 7. Fraktálvizsgálataim célja a Magyarországi úthálózatokon.................................................. 19 8. Vizsgálati módszer...............................................................................................................20 9. Vizsgálat eredményei...........................................................................................................21 10. Városnövekedés-vizsgálatának módszere fraktálelemzéssel.............................................26 Összegzés.................................................................................................................................29 Felhasznált irodalom................................................................................................................30

3 Bevezetés A lengyel származású Benoit Mandelbrot – aki az IBM-nél és a Harvard egyetemen dolgozott illetve tanított – a hetvenes évek közepén publikálta első könyvét a fraktálokról (Les objets fractals, form, hasard et dimension, 1975), ezekről a már évtizedek óta ismert, de mindezidáig matematikailag kezelhetetlennek tartott objektumokról. Maga a fraktál szó is tőle származik; a latin fractus (jelentése: szabálytalan, tört) szóból képezte a tört dimenziók megjelölésére. Mind a mai napig joggal tekintik a fraktálok atyjának, még akkor is, ha a matematikusok, ezen alakzatokat és jellemzésüket már jóval Mandelbrot előtt ismerték. Csupán az érdekesség kedvéért említem meg, hogy pont a Mandelbrotról elnevezett halmaz nem igazi fraktál, csak ún. kvázifraktál, ami leegyszerűsítve annyit jelent, hogy a Mandelbrot halmaz nem önhasonló, csak majdnem. 1. Mik is azok a fraktálok? A fraktálok egészen rendkívüli képződmények: első ránézésre rendkívül rendezetlen alakzatnak tűnnek, ezzel szemben mégis szigorú matematikai törvényszerűségeket követnek. E jellemvonásuk miatt új területet nyitottak a tudomány világában, másfelől pedig - a számítógépek nagyfokú fejlődésének illetve a bonyolultabbnál bonyolultabb matematikai egyenleteket megoldó programok és a speciálisan fraktálokat generáló programoknak köszönhetően (pl. Fractal Explorer, Fractal eXtreme, ChaosPro) – milliók fantáziáját mozgatták meg. A fraktálok olyan alakzatok, amelyek valamiképpen önhasonlóak, azaz valamely kisebb részük kinagyítva (és esetleg elforgatva) megegyezik az eredeti alakzattal. Legfontosabb tulajdonságuk, hogy sem a hosszúságuk, sem az általuk beborított terület vagy az általuk kitöltött tér pontosan nem adható meg, mivel ezek a mértékek a mérési alapegység függvényei. Erre az egyik legevidensebb példa a nevezetes Sierpinski-háromszög (1. ábra). Az ábrán három kisebb háromszöget láthatunk (középen meg üres), amelyek hasonlóak az egészhez.

4

SIERPINSKI HÁROMSZÖG

1. ábra Forrás: http://www.sztlaszlo-baja.sulinet.hu/wwwkl/kozepisk/DiakWebNew/fraktalok/sierp.gif

A fraktálok tehát sajátos, a lépték megváltoztatására nem érzékeny, kicsiben és nagyban ugyanolyan szerkezetű, úgynevezett önhasonló alakzatok. 2. A fraktáldimenzió és annak értelmezése A 20. század elején a matematikusok meghatározták a dimenzió általánosabb (topológiai) definícióját, amelynek segítségével tetszőleges alakzathoz hozzárendelhető egy-egy nem negatív szám – a dimenzió –, amely nem mindig egész szám. A hétköznapi tapasztalattól sem idegen ez a megállapítás, mivel a mindennapi életben is találkozhatunk olyan komplex alakzatokkal, melyekről első ránézésre nehezen dönthető el, hogy egydimenziós, kétdimenziós, vagy háromdimenziós alakzatok. Létezik egy dimenzió kontinuum, amelybe ezek az alakzatok is beilleszthetőek. (Nemes Nagy J. 1998) Háromdimenziós világban élünk, ami azt jelenti, hogy három számra van szükségünk egy pont meghatározásához. Ez a három lehet a földrajzi hosszúság, a földrajzi szélesség és a magasság. A három dimenziót úgy képzeljük el, mint egymással bezáró irányokat. Ez még az euklideszi geometria öröksége. Az Eukleidészi hagyományok, lépten-nyomon felbukkannak a mindennapok gyakorlatában. Az autóstérképek is lényegében kétdimenziós valamik. Ezt a két dimenziót kihasználva pontosan kétdimenziós típusú információt hordoz. A valóságban persze az autóstérképek is ugyanúgy háromdimenziósak, mint bármi más, de a vastagságuk annyira elenyésző, hogy gyakorlatilag elfelejthető. Mandelbrot a relativitáselméletre hivatkozott:

5 „Hogy egy számszerű eredmény függhet a tárgy és a megfigyelő viszonyától, az tökéletesen összeegyeztethető az e századi fizika szellemével, sőt annak példaszerű megnyilatkozása”. Azonban egy tárgy gyakorlati dimenziója eltérhet a hétköznapok három dimenziójától. A Mandelbrot-féle gondolat legproblémásabb része, hogy olyan zavaros és bizonytalan fogalmakra támaszkodik, mint a „messziről” meg a „kicsit közelebbről”. Nincsen pontosan jól meghúzható határ, ez a probléma vezetett a dimenzió fogalmához. Mandelbrot túllépett a 0,1,2,3... dimenziókon, mégpedig egy látszólag lehetetlennek tűnő irányba, a tört dimenzió felé. Ennek köszönhetően olyan érdekes tulajdonságok váltak mérhetővé, mint a töredezettség, érdesség, szabálytalanság. A fraktálok atyja feltárta a világ előtt azt is, hogyan számíthatjuk ki a valóságos objektumok dimenzióját. Mandelbrot rájött arra is, hogy a természetben előforduló és az általa is vizsgált jelenségek szabálytalanságának mértéke ugyanakkora marad a különböző mérettartományokban. (Koren 2001) Nézzünk egy triviálisnak mondható példát a fraktáldimenziókra! Mekkora a dimenziója egy városnak? Attól függ, honnan nézzük. Űrhajóról vizsgálódva azt mondhatjuk, hogy csupán egy 0 dimenziós pont, közelebbről szemlélve azonban azt mondanánk, hogy 3 dimenziós, mivel egy térrészt tölt ki. Ezek után megfogalmazódhat bennünk egyből az a kérdés, hogyan lehet vizsgálni ezeket a törtdimenziójú alakzatokat, melyeket fraktálnak neveznek. Az egyik legismertebb földrajzos példa erre Nagy-Britannia tagolt, csipkézett partvonala. Ha jobban belegondolunk, erről is hamar megállapíthatjuk, hogy ez is egy fraktál. A partvonal hossza nem mérhető pontosan. Miért is? Hiszen első pillantásra ez a kérdés roppant egyszerűnek és könnyen megválaszolhatónak tűnik. Egy térkép és egy körző segítségével bárki hamar meg tudná adni a választ (2. ábra). A probléma ott van, hogy egy részletesebb térképpel megismételve a mérést, akkor Nagy-Britannia partvonalának hossza még nagyobb lenne. Minél inkább kisebb skálán végezzük a mérést, annál nagyobb eredményt kapunk, és ennek a növekedésnek nincs felső határa. Véleményem szerint ez a példa rendkívül jól szemlélteti azt a problémát is, amit a légifotók véges felbontása, a felszíni mérőpontok távolsága vagy a térképrajzolásnál használt toll vastagsága okoz.

6

2. ábra Partvonal L hosszának becslése, S hosszúságú körzőnyílás (Forrás: David E. Green 1993)

Mellékesen megjegyzem, hogy a neves fraktálkutató Peitgen, 1992-ben valóban lemérte különböző körzőnyílással Nagy-Britannia tengerpartjának hosszát (1. táblázat). Az általa készített táblázat is megerősíti a fent leírtakat, azaz minél kisebb a körzőnyílás, annál nagyobb Nagy-Britannia tengerpartjának hossza.

Körzőnyílás mérete (km) 500 100 54 17

Nagy-Britannia tengerpartjának hossza (km) 2600 3800 5770 8640

1. táblázat Forrás: Peitgen 1992

Az

előbbi

gondolatomat

tovább

folytatva,

hogyha

például

Magyarország

államhatárának teljes hossza után vizsgálódunk, könnyen előfordulhat velünk, hogy a határhossz eltérő lehet a különböző forrásokban. Nem kellett hozzá sok kutatómunka, hogy ezt példával is alá tudjam támasztani. A http://www.magyarorszag.hu kormányzati portálon hazánk államhatárának teljes hosszát 2216,8 km-ben állapítja meg, míg egy másik állami internetes portálon – a Földművelésügyi és Vidékfejlesztési Minisztérium honlapján – a http://www.fvm.hu -n az ország határhosszát 2246 km-re becsüli. Csak a tréfa kedvéért akár

7 azt is mondhatnánk, hogy Magyarország teljes államhatárának hosszának megállapításánál a Földművelésügyi és Vidékfejlesztési Minisztérium volt a precízebb, ők használtak kisebb „körzőnyílást”. Fontosnak vélem megjegyezni, hogy a part hosszáról nem csupán időtöltés céljából kell beszélnünk. Ennek igen is fontos gyakorlati jelentősége van. Olyan adat ez, melyet másmás célokra, de igényel a vámőrség, a közlekedésügy és a földrajztudomány és még hosszasan sorolhatnám. Mint ahogy már egyszer megemlítettem a fraktáldimenzióra azért van szükségünk, mert annak segítségével határozhatjuk meg, hogy mennyire szabálytalan egy fraktál görbe. A vonalakat nagy általánosságban egydimenziósnak, a felületeket kétdimenziósnak, a testeket pedig háromdimenziósnak tartjuk. Azonban egy nagyon szabálytalan vonal ide-oda vándorolhat a felületen, olyannyira, hogy akár teljesen ki is töltheti azt. Erre a szabálytalanságra, egyenetlenségre úgy tekinthetünk, mint a dimenzió növelésére: egy szabálytalan görbe dimenziója 1 és 2 között lesz, ehhez hasonlóan a térbeli fraktálok dimenziója 2 és 3 között is lehet. Egy fraktálgörbe dimenziója az a szám, amely azt mutatja meg, hogy a görbe két kiválasztott pontja között hogyan nő a távolság, miközben növeljük a felbontást. Tehát amíg a vonal és a felület topológiai (általános) dimenziója mindig 1, illetve 2, addig a fraktáldimenzió lehet egy ezek közti érték is. A fraktáldimenzió kiszámításának képlete az alábbi:

L1 és L2 a görbén mért hosszúságok, S1 és S2 pedig a használt mérték nagysága (azaz nem más, mint a felbontás). Összességében elmondhatjuk, hogy a fraktál-geometria egyik legsajátosabb fogalma a dimenzió, amely szakítva Eukleidészi hagyományokkal, akár egy tört érték is lehet. 3. Fraktálok előállítása A legegyszerűbben megkonstruálható fraktál a német Georg Cantorról elnevezett Cantorhalmaz (3. ábra). Az általa elsőként 1883-ban publikált halmaz előállításakor a [0, 1] intervallumban indulunk ki, melyből első lépésben kivágjuk a középső harmadban fekvő nyílt intervallumot. Ezzel két egyharmad hosszúságú szakaszhoz jutunk, amelyekkel a fenti

8 művelet megismételhető. A most már négy darab egykilenced hosszúságú intervallum szintén tovább szeletelhető, és így tovább. (Fokasz Nikosz 2000) A Cantor-halmaz azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek végtelen sok lépés után is megmaradnak. A Cantor-halmaz egy intervallum, amelyet megtámadtak az egerek; végtelen sok, egyre kisebb egér, amelyek egyre kisebbet és kisebbet harapnak. (Szabó L. 1997) A fraktálokat elvileg már az ókorban is felfedezhették volna, mert mint láthattuk az (itt most csak az egyszerűbbekre gondolok) előállításuk nem valami bonyolult, mégis erre egészen a 19-20. századig várni kellett, addig csupán elvétve egyes matematikai munkákban, inkább mint érdekességek vagy ellenpéldákként szerepeltek.

3. ábra Cantor-halmaz

Egy egyszerű Euklideszi értelemben vett vonal egyáltalán nem tölt ki teret. A Kochgörbe azonban, végtelen hosszúságot zsúfolt véges területbe. A Koch-görbe több mint egy vonal, de még is kevesebb, mint egy sík, azaz több mint egydimenziós, de még is kevesebb, mint kétdimenziós forma. Hogyan kaphatunk egy ilyen speciálisnak mondható alakzatot? Vegyünk egy háromszöget, amelynek mindegyik oldala 1 egységnyi hosszúsággal rendelkezik. Ezek után vegyük a háromszög minden egyes oldalának középső harmadát és emeljünk rá egy ugyanilyen oldalhosszúságú egyenlő oldalú háromszöget. Az első lépés után egy Dávid-csillagot kapunk eredményül (4. ábra).

9 4. ábra A Koch-görbe

Ennek a körvonala az eredeti három 1 egységnyi szakasz helyett tizenkét 1/3 méteres szakaszból áll, és három helyett hat csúcsa van. Ha iteráltatjuk (megismételjük) az átalakítást és a tizenkét oldalra ismét háromszögeket emelünk az oldalak középső harmadára, akkor egyre részletgazdagabb körvonalat kapunk eredményül. Ezt akár a végtelenségig is játszhatjuk, miközben azt vesszük észre, hogy ábránk egyre inkább hasonlít egy mintaszerű hópehelyhez. Ezt a vonalat hívják Koch-görbének, melyet feltalálójáról, Helge von Koch svéd matematikusról neveztek el. Alaposan belegondolva beláthatjuk, hogy a Koch-görbe számos lenyűgöző tulajdonsággal rendelkezik. Például az, hogy folytonos hurok, amely sosem metszi önmagát: az oldalak közepére szerkesztett háromszögek ugyanis kisebbek, semhogy egymásba érhetnének. Minden átalakítás megnöveli valamennyivel a görbe által körülfogott területet, ugyanakkor a Koch-görbe soha nem fog túlnyúlni az eredeti háromszög köré rajzolható körön. A görbe másik érdekes tulajdonsága, hogy végtelenül hosszú. További furcsaság, hogy minden átalakítás négyharmadszorosra növeli a tejes hosszat. A görbe eme sajátosságai miatt, azaz véges területen végtelen hossz, sokáig megoldhatatlannak tűnő feladatként könyvelték el a rajta gondolkodó matematikusok. Néhány matematikus kitalált egyéb olyan alakzatokat is, amelyek szintén magukon viselték a Koch-görbe egyik másik különös jellemvonását. (Koren 2001) Ezek közül talán a legbizarrabb a Menger-szivacs (5. ábra), ami több mint egy egyenes, de mégis kevesebb, mint egy síkidom.

5. ábra Forrás: http://mathe.ssa-ggmt.net

10 4. A természetben is vannak fraktálok! Az önhasonlóság könnyen észrevehető tulajdonság. Nap mint nap találkozunk vele: elég ha csak a két tükör közé álló emberre gondolunk, aki végtelenül sok tükröződésben látható, vagy arra a rajzra, amelyen egy hal megeszik egy kisebb halat, az megeszik egy még kisebbet, az egy még kisebbet stb. (Koren 2001) A természettudós Jonathan Swiftre maga a fraktálfogalom

szülőatyja,

Mandelbrot

is

előszeretettel

hivatkozik.

A

természettudós

megfigyelésének tárgya egy bolha volt, amelyen kisebb bolhák élősködnek, és ezeket kisebb bolhák csipkedik, és így tovább a végtelenségig. A mandelbroti fordulat előtt a kutatók a természetben található tárgyak geometriai leírásához kizárólag az euklideszi vonalakat, téglalapokat, kockákat, gömböket, stb. használták. De a természetben nemcsak euklideszi idomok vannak. Mandelbrot 1975-ben kimondta, hogy „A felhők nem gömbök, a hegyek nem kúpok, a partvonalak nem körívek, a fakéreg nem sima, és a villám sem terjed egyenes vonalban.” A legtöbb természeti objektum olyannyira bonyolult alakzattal rendelkezik, hogy egyszerűen képtelenségnek tűnt a matematikai leírásuk, ezért a "matematika szörnyetegeinek" nevezték őket. A kezdeti időkben a fraktálokat vizsgáló matematikusok azt mondták, hogy ezek nem lehetnek a természet részei, azonban Beniot Mandelbrot bebizonyította a világnak, hogy a fraktálok mindenütt ott vannak, a test szerveitől kezdve egészen a fizikáig és a művészetekig Később matematikai modellvizsgálatok, illetve konkrét empirikus tesztek is igazolták, hogy a természetben igen sok a fraktálnak tekinthető bonyolult alakzat. Sőt, számos olyan vizsgálat született a közelmúltban, ami igazolta, hogy nemcsak a természet alakzatai, hanem olyan összetett társadalmi folyamatok, jelenségek mint a vasúthálózat, a közúthálózat illetve a városnövekedés jól leírható fraktálmodellek segítségével. (Nemes Nagy J. 1998) Bár a való életben nem olyan szabályosak, mint pl. a Sierpinski-háromszög, de ettől függetlenül megállapíthatjuk, hogy szinte mindenütt fraktálokba botlunk. Elég csak a lombjavesztett fákra gondolnunk: a gallyak hasonlítanak a kis ágakra, az ágak pedig együtt adják a fa jellegzetes, „ágas-bogas” szerkezetét. Ha egy kis részt felnagyítunk, akkor meghökkentő hasonlóságot vélhetünk felfedezni ahhoz a nagyobb részhez, amelyből származik. Erre az egyik legszemléletesebb példa a fa, illetve annak ága, levele (6. ábra), de talán még ennél szellemesebb bizonyítéka a természet önhasonlóságáról, az ötlet gazdájáról elnevezett Barnsley-páfrány (7. ábra). FAÁGRA EMLÉKEZTETŐ FRAKTÁL

11

6. ábra Forrás: http://www.sztlaszlo-baja.sulinet.hu/wwwkl/kozepisk/DiakWebNew/fraktalok/faag.gif

BARNSLEY-PÁFRÁNY

7. ábra Forrás: Peitgen 1992

De egy sziget partvonala, egy folyórendszer, a káposzta vagy a brokkoli szerkezete, vagy az erek és az idegek hálózata az emberi retinában - mind-mind leírhatók fraktálként. Azonban azt is tudnunk kell, hogy lassan harminc évvel a fogalom bevezetése után még mindig nincs általánosan elfogadott fraktál-definíció (sem James Taylor, Falconer, sem B. Mandelbrot nem tudott teljességében elfogadható fraktál-definícióval előrukkolni, Szabó L. 1997), bár azt azért kijelenthetjük, hogy a fraktálok olyan alakzatok, amelyek valamiképpen hasonló részekből épülnek fel. Jó pár hollywoodi sci-fi filmben láthattunk olyan jeleneteket, amelyben egy idegen bolygóra való leszállást követhetünk nyomon. Ahogy ereszkedik lefelé az űrjármű újabb és újabb részek tűnnek elő. Egy tehetséges grafikus rendkívül hosszas és drága munkával, kézzel is meg tudná rajzolni az életszerűnek látszó bolygófelszínt, de ebben az esetben az összes apró

12 részletet, különböző távolságokból el kellene készítenie. Ennél sokkal egyszerűbb módszer az, ha megadjuk a szárazföldek alakját, majd ezután a számítógéppel véletlenszerű fraktálokat rajzoltatunk (erre még a későbbiek során visszatérünk). Ha ügyesek vagyunk, akkor az eredmény rendkívül valósághűre sikeredhet. (Soponyai György 2000) Egy korszerű „mezei” PC-vel és egy jobbfajta 3 dimenziós fraktálkészítő szoftver segítségével, könnyedén rajzolhatunk akár egy valóságszerű hegyet is, csupán annyit kell tennünk, hogy megadjuk a hegy magasságát, szélességét és dimenziószámát. Ugyanakkor a fraktálokkal sok más, a való világunkban előforduló természeti formát is jól modellezhettünk, mint például abráziós fülkék, felhők, hegyek, hullámzó vizek, partszakaszok stb. Véleményem szerint ez hatalmas, eddig kiaknázatlan lehetőségeket rejt magában, mely a későbbiekben, nagyban hozzájárulhat akár a természetföldrajz fejlődéséhez is. Abból a célból, hogy demonstráljam milyen nagy jövő előtt áll a fraktálokkal történő modellezés, én magam is próbálkoztam ilyen-olyan természeti tájképek számítógépes generálására. Akármennyire is hihetetlennek tűnik, de a munkám során megalkotott már-már fotorealisztikusnak látszó tájkép (8. ábra), kizárólag fraktálokból készült, ehhez a feladathoz a Terragen 0.9-es verziószámú szoftvert használtam fel.

13 8. ábra A kép Terragen v0.9 alatt készült (a program letölthető: http://www.planetside.co.uk)

Bár a fraktálok matematikailag megkonstruálhatóak, szimulálhatóak, és az élet legkülönbözőbb területéről hozható példák jelzik a fraktálok elterjedtségét, ma még nem ismertek azok a mechanizmusok, amelyek kiváltják ezeket. A fraktálmodellezés földrajzban történő alkalmazása természetesen számos kérdést vet fel. Az önhasonlóság kritériuma a társadalmi rendszerekben csak nagyon formálisan értelmezhető. (Nemes Nagy J. 1998) Hiszen bármennyire is csodálatos fraktálok világa, nem szabad elfelejtenünk, hogy a valóság a fraktáloknál lényegesen bonyolultabb. 5. Box counting eljárás Mivel a dolgozatomnak nem fő célja a különböző fraktáldimenzió mérésére szolgáló eljárások ismertetése, ezért kizárólag csak a legfontosabb módszereket írom le, ezek közül az egyik a box counting (de ezenkívül még létezik: Mass Radius, Cumulative Intersections, Vectorized Intersections, Convex Hull Intersections, Convex Hull Mass Radius stb.). A különféle szakirodalmakban ezt az eljárást többféleképpen próbálták magyarosítani, hol cellaszámláló, hol dobozszámláló eljárásnak nevezték. Én egyik fordítást sem tartom túl szerencsésnek, úgyhogy dolgozatomban többnyire ragaszkodtam a box counting elnevezéshez. A módszer lényege az, hogy egy alakzatot egyre sűrűbb (egyre kisebb élhosszúságú) négyzetráccsal fedik le, majd megszámolják az alakzat részeit tartalmazó cellákat, tehát azokat, amelyek a mérendő halmaznak legalább egy pontját tartalmazzák. Ha „kétdimenziós” síkidom a vizsgálatunk tárgya, akkor a rácsban (cellában), a négyzet élhossza 1/n-ed részére csökken, ebben az esetben az alakzatot tartalmazó cellák száma n négyzetével növekszik. A növekmény hatványkitevője a fraktáldimenzió, mely „kétdimenziós” síkidom vizsgálata esetén 1 és 2 közötti értéket vesz fel. Nézzünk a fent leírtakra egy konkrét példát. Vegyünk egy megfelelően össze-visszás síkbeli alakzatot, legyen ez mondjuk Magyarország főúthálózata. Szerkesszünk erre egy 6x9es rácsot az alakzatra, és számoljuk meg a lefedéshez szükséges cellák számát (9. ábra). Az ábrán jól látszik, hogy az 54 cellából 38-ra feltétlenül szükség van a hálózat lefedéséhez.

MAGYARORSZÁG FŐÚTJAI (1998)

14

(9. ábra)

Finomítsuk a rács felbontását úgy, hogy az előbb használt cellaméretet a felére csökkentjük, azaz 12x18-re növeljük (10. ábra). Evidens, hogy nő a hálózat lefedéséhez szükséges cellák száma. Most már csak arra a kérdésre kell választ kapnunk, hogy mennyivel. Ha a rácsunk csupán szimpla vonalakat tartalmazna, akkor feleakkorából kétszer annyi, azaz 76-ra lenne szükségünk, de ha egy négyzetlap lenne a rácson, akkor négyszer annyi cella lenne szükséges a lefedéshez, azaz 152.

MAGYARORSZÁG FŐÚTJAI (1998)

15

(10. ábra)

A 12x18-ra finomított rácsunkból 125 cellára volt szükség ahhoz, hogy teljes egészében lefedje hazánk közúthálózatát. Most már elégséges információ áll rendelkezésünkre, hogy Magyarország közúthálózatára fraktáldimenziót számoljunk. Megállapíthatjuk azt is, hogy legalább

két

különböző

élhosszúságú

cellával

kell

mérést

végeznünk,

hogy

a

fraktáldimenziónkat kifejezhessük. Esetünkben a kapott eredményeket és a kiindulási méretadatokat az alapegyenletbe behelyettesítve a fraktáldimenzióra 1,7178-as értéket kapunk.

(Az 1,7178-as dimenziószám arra is utal, hogy az alakzat nem tisztán vonalas jellegű, hanem már síkidomba hajló tendenciákat is mutat.)

16 Ha tovább finomítanánk a rácsunk felbontását (24x36), hamar arra a megállapításra jutnánk, hogy az országos főúthálózat lefedéshez szükséges cellák száma, a lineáris illetve a kétdimenziós alakzatoknál várható 152 és 304 érték közé esik. A lefedéshez szükséges cellák N száma, valamint az r cellaméret között N=r-D kapjuk, ahol a kitevő hasonlósági dimenzió, azaz D. Ezzel bármilyen alakzat fraktáljellegét is ellenőrizhetjük. Az előzővel ekvivalens log N = -D * log r formula alapján ugyanis nem kell mást tennünk, mint logaritmikus beosztású tengelyeken ábrázolnunk a lefedéshez szükséges cellák N számának az r cellamérettől való függését. (Koren 2001) Összességében elmondhatjuk, hogy a box counting eljárás a fraktáljelleg ellenőrzésére és a dimenzió megállapításának egyik legtriviálisabb és legszélesebb körben használt módja. 6. Véletlenszerű fraktálok alkalmazása egy földrajzi példában Az önhasonló matematikai objektumok vizsgálatát olyan természeti formák látványa serkentette, mint valamely hegylánc, tengerpart, fakorona vagy éppenséggel a Hold felszíne. Sajnos azonban a klasszikus fraktálok jellemzésére ajánlott hasonlósági dimenzió e természeti formák esetében nem megfelelő. Egy tengerpart – miközben különböző skálákon ugyanolyan benyomást tehet ránk – váratlan kanyarulataival, előre nem sejthető öbleivel és kiszögelléseivel nehezen kiismerhető bonyolult változatosságot is mutathat. Ugyanakkor a partvonalszerkesztésre gyakran javasolt Koch-görbe szinte unalmasan áttekinthető. Felvetődik bennünk egyből a kérdés, mit kell ahhoz tennünk, hogy a tengerpart látványa realisztikusabbá váljon. Mi sem egyszerűbb ennél, mindössze annyit kell csinálnunk, hogy csökkentenünk kell a Koch-görbe szabályosságát, persze úgy, hogy közben önhasonlósága a lehető legkevésbé csorbuljon. (Fokasz Nikosz 2000) Módosítsunk egy picit a Koch-görbe konstrukciós eljárásán! Első lépésben kivágott egyharmad hosszúságú intervallumot ugyanis fölfelé vagy lefelé megtoldhatjuk egy háromszöggel (11. ábra). VÉLETLENSZERŰ FRAKTÁL ELŐÁLLÍTÁSÁNAK LÉPÉSEI

17

(11. ábra)

18 Ha két alternatíva közül a fraktál készítés minden lépését véletlenszerűen változtatjuk, akkor kapjuk a Koch-görbe véletlenszerű, ún. randomizált változatát. A randomizálás egy pozitív tulajdonsága közé tartozik, hogy szinte valamennyi klasszikus fraktálra kivitelezhető, gondolok itt olyanokra, mint a Sierpinski-szőnyeg, Nem lehet vitás, hogy az így készített alakzatok sokkal jobban közelítik a természet szeszélyességét. Ennek azonban ára is van, ugyanis ezeknél az alakzatoknál már nem igazán alkalmazhatjuk a hasonlósági dimenzió fogalmát. Fokasz Nikosz a Káosz és fraktálok c. munkájában fraktálokkal elemezgette Európa vasúthálózatát (box counting módszert alkalmazta). Megemlítette, hogy az európai vasúthálózat (12. ábra) nagy mérettartományban – mintegy 4000 kilométertől 40 kilométerig – 1.74 dimenziójú fraktálnak tekinthető. EURÓPA VASÚTHÁLÓZATA 2000-ben

12. ábra Forrás: Fokasz Nikosz 2000

Azt is megállapította, hogy a vasúthálózat ebben a mérettartományban, szinte mindig ugyanannyira tölti ki a rendelkezésre álló teret. Éppen ezért, ha nem is minden értelemben, de statisztikailag (nem szigorú értelemben véve), ugyanazzal a szerkezetiséggel rendelkezik,

19 tehát akár önhasonlónak is vehetjük. Egyébként a kutatásában 40 kilométernél kisebb méretre 1.23-as értéket kapott dimenzióértéknek, ez pedig arra utal, hogy a hálózat strukturális tulajdonságai megváltoznak, kevésbé sík-, inkább vonalas jelleget mutat. Én ugyanebben a mérettartományban (tehát 4000-től 40 kilométerig) megpróbáltam összevetni Európa vízhálózatát Fokasz vasúthálózatával. Ekkor a vízfolyások hálózatára 1.61es értéket kaptam, és megpróbáltam a különbségre magyarázatot találni. Bár a fraktálvizsgálódással kapcsolatos múltam nem sok időre vezethető vissza, mégis igyekeztem bizonyos következtetéseket levonni. Én a különbség okát abban véltem megtalálni, hogy a vasúthálózat elsősorban egy antropogén, mesterséges képződmény, míg a vízfolyások hálózata többnyire a természet játékszere maradt. Ez persze így nem teljesen igaz, mert van vízszabályozás, csatornaépítés és egyéb emberi beavatkozás, ami azért a vízhálózat struktúráját valamilyen mértékben módosítja. Úgy vélem nem szorul magyarázatra az a tény, hogy a vasúthálózatnak kevésbé kellett alkalmazkodnia a természetes földrajzi elemekhez, míg a folyóhálózatnál jóval csekélyebb az emberi beavatkozás mértéke. 7. Fraktál vizsgálataim célja a magyarországi úthálózatokon A Közlekedéstudományi Szemle 2001/5. számában Dr. Koren Csaba bemutatatta a magyarországi közúthálózat fraktálgeometriai vizsgálatait. Az „Úthálózatok és fraktálok” című cikk bebizonyítja az olvasóközönségnek, hogy nem alaptalan az a hipotézis, hogy az úthálózatok is fraktáljelleggel bírnak. A vizsgálat tárgyát képezte az a kérdés is, hogy milyen léptékhatárok között tartják meg a fraktáltulajdonságaikat a hálózatok. A nagyon szellemes eljárás valóban alkalmasnak tűnt arra, hogy egy hálózat szerkezetéről újfajta, korábban nem értelmezett információkat szolgáltasson. (Fleischer Tamás 2001) Én magam is igyekeztem hasonló utat bejárni a fraktálgeometriai vizsgálataimnál, akárcsak Dr. Koren Csaba. A dolgozatom célja között is szerepelt Koren nyomán: - a magyarországi közúthálózatok térbeli szerkezeti jellemzőinek meghatározása; - összefüggések feltárása az úthálózatok jellemzői között; - hálózatszerkezeti hiányosságok feltárása; - javaslatok megfogalmazása hálózatfejlesztési szempontokra.

20 8. Vizsgálati módszer Miután nagy érdeklődéssel és figyelemmel elolvastam Jakobi Ákos: „A digitális képfeldolgozási módszerek néhány alkalmazási lehetősége a társadalomföldrajzban„ című tanulmányát, hamar megvilágosodott bennem, hogy a digitális képfeldolgozás jókora segítséget nyújthat a fraktálvizsgálatok egyes kérdéseinek megválaszolásához és hasonló könnyítést érhetünk el a fraktáldimenziók meghatározásának esetében is. Kötelességemnek éreztem, hogy megemlítsem, a számítástechnikai munkámban közreműködött: Kárász Tamás grafikus, Jakobi Ákos egyetemi tanársegéd, valamint Végh Tamás az ELTE egyik negyedéves programtervező matematikus hallgatója. Roppant meghökkentő élmény volt számomra, hogy az egyik legprofibbnak tartott rajzolószerkesztésre alkalmas képfeldolgozó szoftver az Adobe Photoshop 7.0 nem képes a képfájlokat automatikusan rácsokra bontani (vagy saját magunknak kell manuálisan megrajzolnunk). A világhálón történő hosszas kereső munka végül is meghozta a gyümölcsét. Richard

Rosenman

honlapján

(http://www.richardrosenman.com),

ugyanis

szabadon

letölthető, egy az Adobe Photoshop-hoz telepíthető plug-in. Elsőre megoldottnak tűnt a rácsfelbontás számítógépes generálása, de mint később kiderült ez csak is fehér színű cellákat volt hajlandó készíteni a képfájlainkra és ez sajnos nagyban korlátozta alkalmazásának lehetőségét. A másik, de ez sem tökéletesnek tűnő megoldást a PhotoPhiltre 5.5 ingyenesen letölthető grafikai szoftver szolgáltatta (a program letölthető: http://www.photofiltre.com). Itt a limitáló tényezőt az jelentette, hogy a cellák maximális méretét 100x100 pixelben maximalizálta. A vizsgálódásomhoz ezért a két grafikai program együttes használatára kényszerültem. Az útvonalak és a térképek dimenzió számításánál, a már-már klasszikusnak mondható

Fractop

3.0-ás

változatát

használtam

(a

program

letölthető:

http://www.csu.edu.au/fractop). Itt is fontosnak vélem, hogy megosszam az olvasóval gyakorlati tapasztalataimat.

A program sajnos csak is 2 vagy 4 színű képfájlokat tudd

értelmezni (és ebből is csak a tömörített változatokat: gif, jpg, png stb.). Nem árt azt is tudni, hogy a Fractopban a cellák számításának minimum pixelértéke 2, míg a maximum nem lehet nagyobb az aktuálisan vizsgált képfájlunk rövidebb oldalának felbontásának felénél. Bár elképzelhető, hogy triviálisnak tűnik, de jó azt tudni, hogy egy 400x400 pixel felbontású térkép maximum 200x200 pixeles cellákra bontható (ebben az esetben egy 2x2-es mátrixot kapunk), és ugyanúgy értelmetlen eredményt kapunk, ha a cellánkat 1 pixelnek vesszük.

21 Dr. Koren Csaba az úthálózatok fraktál-geometria vizsgálatához OTEB adatbázist használta (a részletes szint 1:100000), sajnálatos módon ez nekem nem állt a rendelkezésemre, ezért alternatív megoldások után kutattam. A WANDOR-BOOT 2.0-ás digitális Magyarország Autótérképet használtam erre a célra, egész kielégítőnek mondható eredménnyel. A beállítások, megjelenítés attribútumai menüpontnál kikapcsoltam azokat az objektumokat, melyekre nem volt szükségem pl. útszámozás, vízfelületek, kompátkelés jel stb. Csakis kizárólag az úthálózat elemeit hagytam kirajzolódni, azonos vonalvastagsággal, fekete színnel. Ebbe a kategóriába tartozott az autópálya, a főút, az egyéb út és az átvonuló út. 9. Vizsgálat eredményei Mivel Koren, az „Úthálózatok és fraktálok” című tanulmányában kizárólag teljes Magyarországra végezte méréseit, úgy véltem kisebb egységekben is lehet fraktálkutatást végezni a közúthálózatra. Miután egy saját fejlesztésű, Mega Cutternek keresztelt, Borland C++ Builder alatt programozott szoftver segítségével elhatároltuk az úthálózatunkat megyénként (a programot letölthetővé tettük: www.freewebs.com/sztavrosz/mcutter.rar), azonos méretarányban, nem maradt más hátra, minthogy megosszam olvasóim számára tapasztalataimat és következtetéseimet. Az úthálózatokat tartalmazó fájlok képfelbontása más és más volt (méretarány végig egyforma), de tízzel, hússzal, valamint negyvennel oszthatóvá kellett tennem. Erre a műveletre azért volt szükség, mert a dimenziószámításomat 10x10, 20x20 illetve 40 pixeles cellákban végeztem. Ez nem jelentet mást a gyakorlatban, hogy egy eredetileg 589x779-es felbontású bitmapet meg kellett toldani 11x21 pixellel, azért hogy megkapjuk a kívánt 600x800-as felbontást, mely már osztható tízzel, hússzal és negyvennel is. Ez persze a későbbiekben valamelyest módosítani fogja a dimenziónkat, hiszen nem mindegy mennyivel kell kiegészíteni a képet üres képpontokkal (azaz a színkódja hexadecimálisan kifejezve: FF FF FF). 13. ábrával kívánom szemléltetni, hogyan is történt munkám során a közúthálózatok megyénkénti lehatárolása illetve annak rácsfelosztása.

22

KOMÁROM ESZTERGOM MEGYE KÖZÚTHÁLÓZATA EGY 60x40-ES RÁCSBAN (10x10 pixel)

13. ábra

A 40x40 pixeles cellák elkészítése után, meg kellett számolni a lefedéshez szükséges négyzetek számát. Ekkora felbontás esetén a számítógép használata rendkívül célszerű (főleg azért, mert a későbbiekben még tovább finomítunk). Nézzük, hogy mit is kaptunk először eredményül.

23 A megyei közúthálózat érintett négyzeteinek száma 40x40 pixeles rácsméretnél Megyék BÁCS BARANYA BÉKÉS BORSOD CSONGRÁD FEJÉR GYŐR-MOSON-SOPRON HAJDÚ HEVES JÁSZ-NAGYKUN KOMÁROM-ESZTERGOM NÓGRÁD PEST SOMOGY SZABOLCS-SZATMÁR BEREG TOLNA VAS VESZPRÉM ZALA

A hálózattal érintett négyzetek száma 296 155 199 266 146 163 142 215 117 197 91 94 285 221 204 129 128 159 137 2. táblázat

A hálózattal érintett négyzetek aránya (%) 59 64 55 47 68 67 56 58 51 52 61 60 62 50 52 59 57 69 61

A megyei közúthálózat érintett négyzeteinek száma 20x20 pixeles rácsméretnél Megyék BÁCS BARANYA BÉKÉS BORSOD CSONGRÁD FEJÉR GYŐR-MOSON-SOPRON HAJDÚ HEVES JÁSZ-NAGYKUN KOMÁROM-ESZTERGOM NÓGRÁD PEST SOMOGY SZABOLCS-SZATMÁR BEREG TOLNA VAS VESZPRÉM ZALA

A hálózattal érintett négyzetek száma 768 480 536 801 430 498 470 542 352 490 275 289 821 614 644 379 390 509 417 3. táblázat

A hálózattal érintett négyzetek aránya (%) 39 50 37 36 50 51 46 37 39 32 46 46 45 35 41 44 43 55 46

24

A megyei közúthálózat érintett négyzeteinek száma 10x10 pixeles rácsméretnél Megyék BÁCS BARANYA BÉKÉS BORSOD CSONGRÁD FEJÉR GYŐR-MOSON-SOPRON HAJDÚ HEVES JÁSZ-NAGYKUN KOMÁROM-ESZTERGOM NÓGRÁD PEST SOMOGY SZABOLCS-SZATMÁR BEREG TOLNA VAS VESZPRÉM ZALA

A hálózattal érintett négyzetek száma 1764 1188 1186 1903 996 1201 1256 1211 847 1127 696 674 2081 1363 1513 909 1003 1312 1074 4. táblázat

A hálózattal érintett négyzetek aránya (%) 22 31 20 21 29 31 31 21 23 19 29 27 28 19 24 26 28 35 30

Ha összevetjük a 2. és 3. és 4. táblázat adatait, akkor azt vehetjük észre, hogy minél kisebb a cellaméret, annál több a hálózattal érintett négyzetek száma. Ez a megállapítás kivétel nélkül teljesül hazánk összes megyéjére. Ugyanakkor ebből némi logikával azt is kikövetkeztethetjük, hogy a hálózattal érintett négyzetek aránya fokozatosan csökken a felbontás növelésével. Az

5.

és

6.

táblázat

hazánk

megyéinek

közúthálózatára

kiszámított

fraktáldimenzióértékeket mutatja növekvő sorrendben. Mint látható a felbontás növelésével a dimenziószám is csökken, az 1-hez közeledő érték egyre inkább igazolja, hogy az úthálózatok vonalas struktúrához igencsak közel állnak. Téves következtetéseket kaphatunk, ha azt hisszük, hogy a nagyobb dimenziójú hálózat a sűrűbb. Ez nem teljesen ezt jelenti, mert a dimenzió „csak” azt mutatja meg, hogy a különböző mérettartományban mennyire marad önhasonló a hálózat. A közlekedésföldrajzi szempontból elsőre ideálisnak tűnő 2.00-ás dimenziót csak is úgy érhetjük el a különböző mérettartományokban, ha az országot teljes egészében burkolt utak fednék be. De az úthálózat nem egyenletesen terül szét a síkban, hanem kisebb-nagyobb üres terek érintetlenül maradnak.

25 Magyarország megyéinek közúthálózatára végzett fraktáldimenziójának értéke 40x40 pixeles és a 20x20 pixeles négyzetekből számítva Megyék JÁSZ-NAGYKUN HAJDÚ BÁCS BÉKÉS SOMOGY PEST TOLNA CSONGRÁD HEVES BORSOD KOMÁROM-ESZTERGOM ZALA VAS FEJÉR NÓGRÁD BARANYA SZABOLCS-SZATMÁR BEREG VESZPRÉM GYŐR-MOSON-SOPRON 5. táblázat

Fraktáldimenzió 1,3146 1,3340 1,3755 1,4295 1,4742 1,5264 1,5548 1,5584 1,5891 1,5904 1,5955 1,6059 1,6073 1,6113 1,6203 1,6308 1,6585 1,6786 1,7268

Magyarország megyéinek közúthálózatára végzett fraktáldimenziójának értéke 20x20 pixeles és a 10x10 pixeles négyzetekből számítva Megyék BÁCS BARANYA BÉKÉS BORSOD CSONGRÁD FEJÉR GYŐR-MOSON-SOPRON HAJDÚ HEVES JÁSZ-NAGYKUN KOMÁROM-ESZTERGOM NÓGRÁD PEST SOMOGY SZABOLCS-SZATMÁR BEREG TOLNA VAS VESZPRÉM ZALA 6. táblázat

Fraktáldimenzió 1,1997 1,3074 1,1458 1,2484 1,2118 1,2700 1,4181 1,1598 1,2668 1,2016 1,3397 1,2217 1,3418 1,1505 1,2323 1,2621 1,3628 1,3660 1,3649

26 A dimenzió tehát a sík kitöltésesének egyenletességét is jelzi, azaz ha magasabb a dimenziószám, akkor az adott megye jobb, egyenletesebb kiszolgálással rendelkezik az úthálózatok terén. Ugyanakkor azt is tudnunk kell, hogy az úthálózatoknak gyakorta a forgalomgeneráló létesítményekhez kell igazodnia (vasúti csomópont, kikötő stb.), éppen ezért még sem teljesen igaz az, hogy az ideális úthálózat dimenziója 2.00.

10. Városnövekedés-vizsgálatának módszere fraktálelemzéssel A térbeli alakzatok kutatásában egyre felértékelődő fraktál-elemzés olyan összetettebb társadalmi folyamatok, mint a városnövekedés modellezésére is felhasználhatók (Batty, M.Longley, P. 1994). Effajta modellek lehetnek a települési tér besűrűsödését vizsgáló elemzések, ahol tehát nem az alakzat körvonala, hanem a lefedett tér a fraktáltermészetű (Nemes Nagy J. 1998). A városi tér besűrűsödésének folyamata végső soron az alakzatokhoz tartozó fraktáldimenzió értékek változásaként fogható fel, mely módszer fordított módon egyben arra is utalhat, hogyha egy vizsgálatsorozatban a fraktáldimenzió növekedését vagy csökkenését tapasztaljuk, akkor a megfigyelt település tömörödésével vagy szétterülésével van dolgunk.

KÜLÖNBŐZŐ FRAKTÁLDIMENZIÓJÚ ALAKZATOK

D1=1,588

D2=1,748

D3=1,849 14. ábra

Forrás: Jakobi Ákos 2001

D4=1,996

27 A 14. ábra az egyre növekvő térkitöltésű alakzatokra lehet példa; ha hasonló módon a városi beépített területeket is ábrázolni tudjuk, akkor lehetőségünk nyílik az ilyesféle fraktálvizsgálatok elvégzésére. CARDIFF VÁROSNÖVEKEDÉSÉNEK SZÁMÍTÓGÉPES SZIMULÁCIÓJA

15. ábra Forrás: Michael Batty 1994

Fontos tudni azt, hogy a városi területek dimenziószámításánál a legtöbb estben nem a box counting eljárást, hanem egy másik gyakran alkalmazott módszert alkalmaznak, ennek a neve tömeg-sugár (angolul: mass-radius). A tömeg-sugár eljárást elsősorban a nem

28 körvonalszerű, hanem lefedett tér jellegű alakzatok vizsgálatkor alkalmazzák. Az eljárás elve nem más, minthogy a vizsgálandó síkbeli alakzat középpontjából kifelé haladva koncentrikus körök mentén feljegyezzük az érintett fraktálpontok számát. A vizsgálatot természetesen addig folytatjuk, amíg a körök mentén legalább egy pontot meg tudunk számolni az alakzatból. Az összeszámolt képpontok kummulatív értékeit a sugár függvényében logaritmikus skálán ábrázolva egy görbét kapunk, amelynek meredekségét meghatározva az alakzat dimenzióját kapjuk eredményül. (Jakobi Ákos 2001) A városi területek vizsgálatánál gyakorta felmerül a légi- és űrfelvételek alkalmazásának szükségessége. A tömeg-sugár módszer hatalmas előnye a box countinggal szemben, hogy akár egyetlen felvétel is elégséges a fraktálvizsgálathoz, míg a box counting eljárásnál azonban legalább kettő felvételre – például egy korábbira és egy későbbire – is szükség van eltérő felbontásban és ugyanazon területről.

29 12. Összegzés A dolgozatomban igyekeztem bemutatni, hogy a természetföldrajzi folyamatok illetve egyéb társadalmi jelenségek tanulmányozása és a végtelenül bonyolult alakzatok felfedezése nemegyszer az önhasonlóság tulajdonságában találkozott össze. A fraktálmodellek alkalmazása hihetetlenül nagy tempóban fejlődik, ez nagyrészt a számítógépek számításteljesítményének rohamos gyorsulásával is összefüggött. Napról napra egyre több tudományos cikk jelenik meg a különféle jelenségek fraktálokkal történő modellezéséről és ez alól a földrajz világa sem kivétel. A munkámban többször is próbáltam bizonygatni, hogy a fraktálokkal történő vizsgálódást önmagában nem célszerű készpénznek venni, mert az egyes természeti és társadalmi folyamatok rendkívül bonyolultak, nem lehet egy fraktáldimenzió értékével kifejezni, például az egyes nációk történelmi múltját és hagyományát. Az ókori görögök bebizonyították, hogy a négyzet átlójának a hossza nem adható meg törtszámmal, de azt mégis tudták, hogy az átló ott van. Nem lehet határozottan kijelenteni Grönland, Nagy-Britannia, Írország és még sok más ország partvonalának hosszát, mert a partnak nem csak hosszkiterjedése van, hanem valami más, kicsit elvonatkoztatottabb adata is. Ezt nevezte el Beniot Mandelbrot tört dimenziónak, azaz fraktálnak. El lehet bagatellizálni a fraktálok fontosságát arra hivatkozva, hogy ez is csak egy modell, éppen ezért hibákat is tartalmaz. De ez helytelen és elitélendő szemlélet, mert ahogy az átló ott van a négyzetben, ugyanúgy ott vannak a fraktálok a hétköznapjainkban. A dolgozatom záró gondolatának a Nobel-díjas fizikus, Albert Einstein egyik híres mondását választottam, véleményem szerint ez roppantul találó és témába illő: „a természet vonzódik az egyszerűséghez” és talán a szimmetriához is.

30

Felhasznált irodalom • BENOIT B. MANDELBROT (1991): Die fraktale Geometrie der Natur, BIRKHÄUSER VERLAG, Berlin • BORSA BÉLA: A fraktálok, FM Műszaki Intézet, Gödöllő, Élet és Tudomány 1993/6. szám, 163. o. • DAVID E. GREEN (1993): Fractals and scale. Environmental and Information Sciences, Charles Sturt University • FLEISCHER TAMÁS (2001): Fraktálszerkezetű-e az úthálózat?, MTA VILÁGGAZDASÁGI KUTATÓ INTÉZET • FOKASZ NIKOSZ (2000): Káosz és fraktálok, ÚJ MANDÁTUM KÖNYVKIADÓ, Budapest • JAKOBI ÁKOS (2001): A digitális képfeldolgozási módszerek néhány alkalmazási lehetőségie a társadalomföldrajzban, Budapest • KOREN CSABA (2001): Úthálózatok és fraktálok, Közlekedéstudományi Szemle 51. évfolyam 5. szám, 178. o. • NEMES NAGY JÓZSEF (1998): A tér a társadalomkutatásban, HILSCHER REZSŐ SZOCIÁLPOLITIKAI EGYESÜLET, Budapest • MICHAEL BATTY ÉS PAUL LONGLEY (1994): Fractal Cities, ACEDEMIC PRESS, London and San Diego • SOPONYAI

GYÖRGY

(2000),

A

mandelbrot-halmaz,

http://www.hokkento.szeged.hu/0304/bajital/mandelb.htm • SZABÓ LÁSZLÓ IMRE (1997): Ismerkedés a fraktálok matematikájával, POLYGON KÖNYVKIADÓ, Szeged