1
Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1. Feladat Egy G gépkocsi állandó v0 nagyságú sebességgel egyenes úton Észak - Dél irányban halad. Egy M megfigyelő az úttól d állandó távolságra áll és a kocsit figyeli. Határozzuk meg a megfigyelő feje / szeme forgásának ω szögsebességét! 1. megoldás Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Ez egy felülnézeti kép, a mozgástani helyzet vázolásához.
1. ábra Itt azt láthatjuk, hogy a t = 0 időpontban a gépkocsi ( valamely megfigyelt G pontja ) az út P0 pontjában, majd egy másik t > 0 időpontban a P pontban található. Eközben megtett (1) utat, az M megfigyelő függőleges „megfigyelési síkja” pedig elfordult φ szöggel. Egy igen kicsiny dt - vel későbbi időpontban a megfigyelt G pont P’ - ben van, miközben a megfi gyelési sík továbbfordult dφ - vel. A differenciális elmozdulások rendre:
2
~ az út mentén: ~ az r sugárral párhuzamosan: ~ az r sugárra merőlegesen:
(2) (3) (4)
Minthogy (5) így ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: (6) Ámde (7) így ( 6 ) és ( 7 ) - tel: (8) majd Pitagorász tételével: (9) ezután ( 8 ) és ( 9 ) - cel: ( 10 ) most ( 1 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 )
bevezetjük az ( 12 ) jelölést, így ( 11 ) és ( 12 ) szerint: ( 13 )
Most már ( 12 ) és ( 13 ) a feladat megoldását adja. Figyeljük meg, hogy a megoldás alapvető feltételi egyenlete ( 6 ) szerint, itt v = v0 - val:
3
( 6* ) 2. megoldás Az 1. ábráról leolvashatóan, ( 1 ) és ( 12 ) - vel is: ( 14 ) ámde ( 15 ) majd ( 14 ) idő szerinti differenciálásával – [ 2 ] – : ( 16 ) így ( 15 ) és ( 16 ) szerint: ( 17 ) adódik, ami egyezik ( 13 ) - mal.
2. ábra
4
A 2. ábrán ábrázoltuk a ( 17 ) függvényt, ω0 = 1 ( 1 / s ) paraméterrel. Látjuk, hogy a t idő növekedésével a szögsebesség ω ( előjeles ) nagysága zérushoz tart.
2. Feladat Egy jármű egy O középpontú, r sugarú körpályán köröz, v nagyságú sebességgel, illetve az ehhez tartozó ω szögsebességgel. Ezt az M megfigyelő a kör középpontjától állandó d távolságra lévő helyről figyeli, a jármű egy kiválasztott pontjára nézve, álló helyzetben. Határozzuk meg a megfigyelő feje / szeme forgásának Ω szögsebességét! 1. megoldás Ehhez tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Az ábráról leolvashatóan: (1) Mivel (2)
5
így ( 1 ) és ( 2 ) szerint: (3) A ρ sugárra Pitragorász tételével: (4) ezt kifejtve: (5) majd a 3. ábráról leolvassuk, hogy (6) így ( 5 ) és ( 6 ) szerint: (7) Majd a 3. ábra alapján: (8) Ezután ( 7 ) és ( 8 ) szerint: (9/1) innen pozitív gyökvonással: (9) Most a P pont yP - koordinátájára: ( 10 ) Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) innen pedig: ( 12 )
Most visszatérünk a ( 3 ) képlethez, elvégezzük a cos - függvény kifejtését a
6
( 13 ) ismert azonosság szerint, majd felhasználjuk ( 9 ) és ( 11 ) - et is:
tehát:
( 14 )
A ( 14 ) képlet adja feladatunknak az általános esetre vonatkozó megoldását. Ha azt az egyszerű esetet vesszük, hogy ( 15 ) akkor ( 14 ) és ( 15 ) szerint a fejforgatás szögsebességének időfüggvénye: ( 16 )
A ( 16 ) képletet kipróbáljuk a t = 0 speciális esetre:
7
átrendezve: ( 17 ) a szemlélettel egyezően. Most ábrázoljuk a ( 16 ) időfüggvényt a 3. ábra szerinti d / r = 21 / 8 és az ω = 1 ( rad / s ) adatokkal – ld. 4. ábra! ( Figyelem: 1 / s ≡ 1 rad / s ! )
4. ábra A Graph szoftver szerint a megrajzolt periodikus függvénygörbéről leolvasott periódusidő: T = 6.28318531 s. Ez helyes, mert ez megegyezik az r sugár teljes körül fordulási idejével, hiszen
Most tekintsük az 5. ábrát is! Ez úgy készült, hogy együtt rajzoltuk meg a görbéket, amelyekhez különböző d / r viszonyszámok tartoznak. Látjuk, hogy amint d / r értéke tart az egyhez, úgy egyre inkább elkezd „rakoncátlankodni” a grafikon. A d / r = 1 értéknél a görbének szakadása van. Esetünkben a kék vonalon – ami egyenes – a t0 = π időpillanat -
8
ban egy lyuk van. Ezt úgy képzelhetjük el, hogy előtte nagyon kicsi időszakasszal az 1 / 2 értékről a görbe lemegy a mínusz végtelenbe, majd utána egy nagyon kicsi idővel felugrik az 1 / 2 értékre.
5. ábra Javasoljuk, hogy az Olvasó egy ceruzával játssza el a d / r 1 esetet, amikor is az M0 pont a körnek és az x tengelynek a bal oldali metszéspontja! A fejét forgató megfigyelő ekkor természetesen nem tudja rendesen követni a köröző jár művet, csak egy kicsit később – ha megvan még a feje.
2. megoldás Most ( 10 ) - ből indulunk ki – nem ( 12 ) - ből – , hogy csökkentsük az elkeveredés veszélyét: ( 10 ) idő szerint deriválva az egyenlet mindkét oldalát:
9
rendezve: ( 18 ) Ezután: ( 19 ) így ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) Most ( 9 / 1 ) - gyel:
majd ennek idő szerinti deriválásával:
ami egyszerűsítés és ( 19 ) felhasználása után: ( 21 ) majd ( 20 ) és ( 21 ) - gyel: ( 22 ) Ezután a 3. ábra alapján, ( 23 ) így ( 22 ) és ( 23 ) - mal: ( 24 ) most ( 9 / 1 ) és ( 24 ) - gyel:
10
( 25 )
Az 1. megoldás ( 14 ) és a 2. megoldás ( 25 ) képletének összevetése adja az igazolást:
Most kiszámítjuk B - t:
Majd kiszámítjuk J - t:
Megállapíthatjuk, hogy B ≡ J, így Ω - ra kapott mindkét általános megoldásunk ugyanazt a függvényt szolgáltatja. ☺ Most számítsuk ki a φ szög szélső értékei! A 3. ábra alapján: ( 26 ) valamint ( 27 ) Az E1 érintési ponthoz, vagyis a φ1 szöghöz tartozó első ψ1 szög értéke a 3. ábráról leolvashatóan: ( 28 ) Az E2 érintési ponthoz, vagyis a ( – φ1 ) szöghöz tartozó első ψ2 szög értéke a 3. ábráról leolvashatóan: ( 29 ) Most ábrázoljuk a φ(t) függvény görbéjét – ld. 6. ábra!
11
6. ábra A Graph rajzoló program szolgáltatásával az E1 pont első eléréséhez tartozó időpont: t1 = 1.96162246 ( s ) . Ez helyes eredmény, hiszen ezt kiszámítva, ( 27 ) és ( 28 ) - cal is:
egyezésben a grafikonról leolvasott értékkel. Hasonlóan, az E2 pont első eléréséhez tartozó időpont a Graph rajzoló program szolgáltatásával: t2 = 4.32156285 ( s ) . Ez helyes eredmény, hiszen ezt kiszámítva, ( 27 ) és ( 29 ) - cel is:
egyezésben a grafikonról leolvasott értékkel. Most tekintsük a 7. ábrát! Itt a már előbb is használt d / r paraméterekkel rajzoltuk meg a φ( t ) függvényeket, miközben d / r 1. Érdekes és tanulságos grafikonok: nem sűrűn akadunk ilyenekre, látszólag egyszerű geometriai jellegű feladatok megoldása során. Ugyanis a kék grafikonban ( d / r = 1 esetében ) először t = π ( s ) - nál ugrás van, φ = π / 2 - ről φ = – π / 2 - re. Ez egyezik a szemlélettel. A φ( t ) függvények jól láthatóan 2π szerint periodikus függvények.
12
7. ábra Javasoljuk, hogy az Olvasó az itteni d / r 1 átmenetet is játssza el, ceruzával! Meg azt is, hogy senki ne álljon a sebesen haladó gépjármű útjába, amikor is d / r = 1. Ezzel feladatunkat megoldottuk.
Irodalom: [ 1 ] – Hans G. Steger ~ Johann Sieghart ~ Erhard Glauninger: Műszaki mechanika 2. B+V Lap - és Könyvkiadó Kft., Műszaki Könyvkiadó Kft. Budapest, 1994. [ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2015. 06. 25.
