FOLYADÉKOK ÉS GÁZOK MECHANIKAI TULAJDONSÁGAI A gázok és g zök egyharmad hangsebesség alatti áramlása nem mutat eltérést a folyadékok áramlásánál. Emiatt nem mindig szükséges a kétféle halmazállapot megkülönböztetése. A folyadékot, a gázt és a g zt is együttesen közegnek nevezzük. A mérnöki gyakorlatban az áramló közeg lehet: - homogén, ha bármely térfogateleme azonos tulajdonságú; - inhomogén, ha térfogatelemei mennyiségi és min ségi szempontból eltér tulajdonságúak; - heterogén, ha több fázist tartalmaz. A fázisok természetesen több komponensb l vagy frakcióból állhatnak; - izotróp, ha tulajdonságai iránytól függetlenek; - anizotróp, ha tulajdonságai különböz irány okban eltér ek. A fenti definíciókban tulajdonság alatt mechanikai tulajdonságot kell érteni. A közegek legfontosabb mechanikai tulajdonsága a s r ség, a viszkozitás és a felületi feszültség.
1 S r ség A homogén közeg s r sége az m tömeg és az azt befoglaló V térfogat hányadosa: m kg = , egysége: 1 3 V m
Inhomogén közeg esetén csak infinitézimálisan kicsiny dV térfogatelemen belül teljesül a dm homogenitás feltétele. Ha dV, dm tömeget tartalmaz, akkor a s r séget a = dV differenciálhányados adja. Nyilvánvaló, hogy ebben az esetben ρ a hely függvénye. A s r ség általában a fizikai állapot függvénye.
2 A viszkozitás Fizikából ismeretes, hogy a közeg viszkózussága alatt azt a tulajdonságát értjük, hogy benne a szomszédos rétegek eltér sebesség mozgásakor, az egymáshoz viszonyított elmozdulást fékez er , ill. nyírófeszültség keletkezik. A viszkózusság mennyiségi jellemz je a viszkozitási tényez . Ezt definiáljuk a következ kben newtoni folyadékokra. Legyen két párhuzamos A felület , egymástól y távolságban lév síklap között folyadék (ábra.)
1
Tapasztalat szerint a két lap egymáshoz képest v sebesség mozgatásához V F= A y
er szükséges, ahol η a folyadék viszkozitása. Bevezetve az F/A = τ nyírófeszültséget és a D = dy v/y = (lásd ábra) nyírósebességet, fenti egyenletünkb l a viszkozitásra kapjuk, hogy dx =
τ D
A viszkozitás egysége: 1Pas. Tájékoztatásul alább megadjuk néhány anyag közelít viszkozitásértékét szobah mérsékleten: leveg és más gázok benzin víz motorolajuk ken olajak glicerin bitumen
0,01-0,02 0,65 1 150-400 300-800 1500 10
mPas mPas mPas mPas mPas mPas mPas
Newtoni folyadékoknál η független a nyírósebességt l, viszont függ a h mérséklett l és a nyomástól. A függés jellegét a következ ábrák tüntetik fel.
2
A gyakorlatban elterjedten használjuk az ún. kinematikai viszkozitást, melynek definíciója: =
m2 Egysége az 1 s
3 Áramlások hasonlósága 3.1 A hasonlóság feltételei Az áramlástechnikában, a reális közegek áramlásét leíró egyenletek bonyolult volta miatt, gyakran szükséges, hogy egy áramlásnál, vagy áramlástechnikai géppel szerzett tapasztalatokat, eredményeket egy-egy másik áramlásra, ill. gépre átvigyük. Ezért fontos annak megállapítása, hogy az áramlások milyen feltételek között hasonlóak. Fizika tanulmányaink során megállapítottuk, hogy az áramlások hasonlóságához két feltételnek kell teljesülni: a. A két összehasonlítandó áramlásnak geometriailag hasonlónak kell lenni. Ez azt jelenti, hogy a két áramlásban az egymásnak megfelel geometria méretek arányának, beleértve a felületi érdességet is, azonosnak kell lenni (geometriai hasonlóság). b. A két összehasonlítandó áramlás azonos dinamikai egyenletnek kell, hogy eleget tegyen (fizikai hasonlóság). Ez azt jelenti, hogy a két áramlásban az egymásnak megfelel sebességek, gyorsulások, er k és anyagtulajdonságok (pl. ρ, η) arányának azonosnak kell lenni. A fizikában a Navier-Stokes egyenletb l levezettük, hogy a fizikai hasonlóság feltétele az, hogy az ún. hasonlósági számok (Reynolds-szám, Froude-szám, Euler-szám, Strouhal-szám) minkét áramlásra azonos érték ek legyenek. A következ kben mi csak stacioner áramlásokat vizsgálunk, így a hasonlóság eldöntéséhez két hasonlósági szám is elegend . Az egyik a Reynolds-, a másik a Froude-szám. A Reynolds-számot az áramlás v jellemz sebességéb l (pl. átlagsebesség), az áramlás egy jellemz L geometriai méretéb l (pl. hengeres cs nél az átmér ), továbbá a közeg ρ s r ségéb l és η viszkozitásából képezzük: vd vd Re = = A Froude-szám a tömeger és a gravitációs er hányadosa. Ezt a számot az áramlás jellemz v sebességéb l, az áramlás jellemz L geometriai méretéb l és a g nehézségi gyorsulásból képezzük:
3
v
Fr =
Lg
A gyakorlatban az áramlási problémákat költségkímélés szempontjából léptékhelyes (geometriailag hasonló) kismintákon vizsgálják meg. A kismintákat többnyire különleges kísérleti berendezésekben (szélcsatornák, áramlási csatornák, vontató csatornák) vizsgálják, miközben mérik az áramlás jellemz it, pl. sebességet, er ket, stb. A kísérleti eredményeket ez eredeti problémára a Re és Fr számok segítségével számítják át.
4 Az áramlások jellege 4.1 Bernoulli egyenét A következ kben ejtsünk néhány szót az ideális folyadékok áramlásának törvényszer ségeir l. Mindenekel tt kössük ki, hogy az áramló folyadék bármely meghatározott pontjában a lokális vagy helyi gyorsulás legyen zérussal egyenl , ami a gyakorlatban azt jelenti, hogy az áramlás ezen pontjában az áthaladó folyadékrészecskék sebessége az id ben állandó, ezért ezt az áramlást stacionárius vagy id álló áramlásnak nevezzük. Az áramlási tér sebességviszonyainak szemléletes leírásához vezessük be az áramvonalak fogalmát: az áramlási térben haladó olyan folytonos görbéket, amelyeknek bármely pontbeli érint je a pontban érvényes sebesség irányába esik, áramvonalnak nevezzük. Stacionárius áramlás esetén ezek az áramvonalak egyben az áramló folyadékrészecskék pályáit is megadják.
Az áramvonal Tekintsük a következ kben az áramlási tér egy adott P pontját, és az ezen pontban érvényes sebességre mer leges síkban vegyünk fel egy zárt görbét. Az ezen a görbén áthaladó valamennyi áramvonal, ha a két végét lezáró síkkal végessé tesszük, egy, az ábrán látható cs szer térrészt foglal magába, és ezt a térrészt áramcs nek vagy áramlási cs nek nevezzük.
4
Az áramcs Az áramcs definíciójából következ en annak palástján folyadék nem léphet át, hiszen burkolófelületét a folyadékrészecskék sebességvektorai mint érint k alkotják. Az áramcs be- és kilép keresztmetszetén tehát id egység alatt ugyanannyi folyadéknak kell átáramolnia, vagyis: . A közeg, azaz az ideális folyadék összenyomhatatlan, ezért a két s r ség egyenl ségéb l a alakú egyenlet adódik, amelyet a kontinuitás vagy folytonosság tételének szokás nevezni. Ha az áramló folyadék nyomása és sebessége közötti kapcsolatról szeretnénk valamilyen számszer összefüggést meghatározni, akkor írjuk fel az ideális folyadék stacionárius áramlási terében elhelyezked vékony áramcs darabba zárt folyadéktömegre a munkatételt. Eszerint ezen folyadéktömeg mozgási energiájának megváltozása egyenl a vizsgált folyadéktömegre ható összes er munkájával. Ideális folyadékról lévén szó ezek az er k a nyomásból származó felületi er k, és a valamely küls er tér hatásából származtatható térfogati er k, mint például a nehézségi er lehetnek. Mindezeket figyelembe véve egységnyi tömegre írható:
, és ez az összefüggés az ideális folyadék stacionárius áramlására vonatkozó Bernoulli-egyenlet alapformája. A tétel tulajdonképpen azt mondja ki, hogy a folyadék egységnyi tömegére vonatkoztatott mozgási energiájának, nyomásból származó munkavégz képességének és helyzeti energiájának összege egy áramvonal mentén állandó. Amennyiben egyenletünk mindkét oldalát a folyadék s r ségével megszorozzuk, a Bernoulliegyenlet nyomás dimenzióban felírt alakját kapjuk:
5
.
Az összefüggésben szerepl , a folyadék sebességéb l származó nyomást dinamikus vagy sebességnyomásnak, a p-vel jelölt nyomást statikus nyomásnak, míg a ρ.g.h szorzattal értelmezett mennyiséget a már ismert hidrosztatikai nyomásnak nevezzük. A Bernoulli-egyenlet az energiadimenzióban felírt alapegyenlet mindkét oldalának g-vel való osztásával magasság dimenzióban is felírható:
, ekkor egy áramvonal pontjaira vonatkozóan a sebességmagasság, a nyomásmagasság és a geometriai magasság állandóságát mondja ki. A feladatok megoldása során fontos figyelembe venni, hogy a Bernoulli-egyenlet csak akkor érvényes, ha a benne szerepl pontok ugyanazon áramvonalon helyezkednek el.
4.2 Lamináris és turbulens áramlás A kétféle áramlást csak cs ben vizsgáljuk. A cs ben kialakuló áramlás a Reynolds-szám értékét l függ en lamináris (réteges) és turbulens (gomolygó) lehet, melyet az alábbi ábra szerint a cs be juttatott festékanyag segítségével tehet k láthatóvá:
A kétféle áramlás szembeszök en eltér tulajdonságú. Lamináris áramlásnál a közegrészecskék a cs tengelyével párhuzamosan, keveredés nélkül mozognak. A sebesség bármely pontban szigorúan meghatározott érték . A sebesség eloszlása a cs sugár függvényében forgási paraboloid szer . Ez az áramlási forma akkor áll fenn, ha
6
Re =
vd
< Re krit = 2320
Turbulens áramlásnál a sebesség mind tengelyirányban, mind arra mer legesen kaotikusan változik id ben. A tengelyre mer leges átlagsebesség zérus, a tengely-irányú pedig egy sugár mentén kevéssé változó átlagérték körül fluktuál. A turbulens áramlás newtoni folyadékok hengeres cs ben történ áramlásakor a Re > Rekrit = 2320 érték fölött következik be. Nem newtoni közegeknél és más geometriáknál Rekrit (kritikus Reynold-szám) értéke más.
5 Áramlás zárt cs vezetékekben 5.1 A Bernoulli-egyenlet viszkózus közeg áramlására Az el z pontban bevezetett Bernoulli-egyenlet az ideális közeg örvénymentes stacioner áramlására érvényes. A valóságos folyadékban az energiaátalakulásokat kísér viszkózusság, továbbá a turbulens örvénylés miatti áramlási veszteségeket is figyelembe kell venni. Tekintsük az alábbi ábrán látható áramcsövet.
A viszkózusság okozta energiaveszteségek miatt a mozgási, nyomási és potenciális energiák összege nem azonos az 1 és 2 jel keresztmetszetekre, mivel a közeg összenergiájának egy részét a viszkózus és turbulens nyíróer k felemésztik. Az egyenl ség csak úgy áll helyre, ha a 2 keresztmetszetre vonatkozó mechanikai energiához hozzáadjuk a két keresztmetszet közti energiaveszteséget. Kérdés csak az, hogy melyik típusú energiában kell a korrekciót figyelembe venni. Ezt elemezzük a következ kben. A potenciális energiát meghatározó zl és z2 méret nyilván független a közeg viszkózus voltától. Inkompresszibilis közeg esetén a v1A1=v2A2 kontinuitási egyenlet miatt a sebességek összefüggnek, tehát a mozgási energiák sem függhetnek a közeg viszkózusságától. Így a nyomási energia egy részét emésztik fel a veszteségek. 7
Jelöljük ∆pv-vel a nyomásveszteséget, akkor ehhez ∆pv/ρ energiaveszteség fog tartozni. Ennek figyelembevételével a viszkózus közegre érvényes Beronulli-egyenlet az alábbi gz 1 +
p1
+
v12 p v2 p = gz 2 + 2 + 2 + alakban írható fel. 2 2
Végigosztva egyenletünket g-vel, minden tag hosszdimenzibjú lesz z1 +
ahol h v =
p
p1 v12 p v2 + = z 2 + 2 + 2 + h v = v, g 2g g 2g
az ún. veszteségmagasság, és v a teljes hidraulikus magasság.
5.2 A nyomásveszteség Tapasztalat szerint kör keresztmetszet csövekben turbulens áramlásnál a nyomásveszteség arányos a cs hosszal, a v átlagsebesség v2 /2 dinamikus nyomásával és forditottan arányos a cs d átmér jével: pv =
hv =
l v2 d 2
, ill
pv l v2 = g d 2g
A dimenzió nélküli arányossági tényez , az ún. cs súrlódási együttható, a Reynolds-szám és a k/d relatív cs érdesség függvénye. A k abszolút érdesség a cs bels kontúrvonalának legnagyobb ingadozását jelenti A λ cs súrlódási együttható függését a Reynolds-számtól és a k/d relatív cs érdességt l az alábbi ábrák mutatják:
8
9
10
CS VEZETÉK HIDRAULIKUS ELLENÁLLÁSA A mérés kapcsolási vázlata: >10d
Μ
>10d
l=1m
qv= áll
0 10x1
Turbinás áramlásmér Hirokomol P-46
p1 p2 ∆p
El feszítés Nyomáskülönbség jeladó x-y író ∆p qv
Er sít Er sít
A nyomásmér hely kialakítása:
Egy mért jelleggörbe néhány adata: ∆ p (bar)
0 10x1
4 db 0 2-es furat
5 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0,5 0 0
ϑ = 30 o C
4,6 3,22 2,11
10
20
[
30
]
A munkapontban ∆p 0 = K q v20 , innen K =
M munkapont ∆ p = f (q ) v
∆p o
d∆p dq v qv o
∆p 0 q v20
A munkapontban a derivált, ha K értékét ∆p d∆p behelyettesítjük: = 2 K q v0 = 2 0 dq v M q v0
M M
qv
A nyomásváltozásra írható, hogy ∆p d∆p ∆p( lin ) = ∆q v = 2 0 ∆q v = Rhidr ( lin ) ∆q v dq v q v0 11
50
qv [ dm 3 / min ]
ρ = 875 kg / m 3 esetben.
A cs súrlódási tényez számítása: 2d l v2 Mérés alapján: p = ahonnan ( p ) = 2 p d 2 lv vd 64 Számítással: Re= ahonnan λ ( Re ) = Re A hidraulikus ellenállás számítása: ∆p
40 41,7
Tehát a hidraulikus Ohm-törvény: ∆p( lin ) = Rhidr ( lin ) ∆q v ahonnan Rhidr ( lin ) = 2
∆p 0 q v0
Feladatok: 1. Számítsa ki három pontban a cs súrlódási tényez t és hasonlítsa össze azokat a Re-szám alapján számított értékkel! 2. Számítsa ki a hidraulikus ellenállásokat a mért pontokban! 3. Parabolikus regresszió segítségével határozza meg a parabola egyenletét a három pont és a kezd pont alapján! Ábrázoljuk a függvényt és a mért pontokat koordináta rendszerben! 41, 7 ⋅10−3 q Például: qv = 41, 7 dm3 / min v = v = 2 60 = 13, 83 m / s A 8 ⋅π −6 ⋅10 4 2 ⋅ 4,6 ⋅ 10 5 ⋅ 8 ⋅ 10 −3 λ ( ∆p ) = = 0,04398 875 ⋅ 1⋅ 13,832 ν lásd a mellékelt diagramot, Hidrokomol P-46 ϑ = 30 oC − on ν = 70 ⋅10−6 m2 / s
λ
( Re )
=
64 64 = = 0,0405 Re 1580
λ
( ∆p )
λ
( Re )
=
0,04398 = 1,086 ≈ 8,6% az eltérés 0,0405
Oka: mérési hiba; a folyadék jellemz inek eltérése stb.. Megjegyzés: viszkozitás méréssel kiegészítve a mérést, pontosabb eredményt kapunk. 6, 31⋅10−2 ν cm2 / s = 7, 31⋅10−2 oE − o E A hiraulikus ellenállás számítása: Rendre a mért pontokban:
Rhidr ( lin ) = 2 Rhidr ( lin ),qv = 41,7
∆p 0 2 ⋅ 4 ,6 ⋅ 10 +5 = = 13,24 ⋅ 10 8 N ⋅ s / m 5 −3 q v0 41,7 ⋅ 10 60 8 = 13,24 ⋅ 10 N ⋅ s / m 5
[
[
[ ] [N ⋅s / m ]
]
]
Rhidr ( lin ),qv = 30 = 12,88 ⋅ 10 8 N ⋅ s / m 5
Rhidr ( lin ),qv = 20 = 12,66 ⋅ 10
8
5
A keresett függvény: ∆p = a qv2 alakú. A legkisebb négyzetek módszerét használva a már ismert általános alakú ψ (a) =
n i =1
( y i* − y i ) 2 függvénybe behelyettesítve ψ (a ) =
n i =1
[∆p n
Ennek deriváltja a szerint
n i =1
[
2 ∆pi* − a (q v ) i
2
] (−1) (q )
2 v i
= 0 , ahonnan a =
i =1
* i
∆pi* (q v ) i
2
n i =1
12
]
2 2
− a (q v ) i
(q v )i4
.
Sorszám 0 1 2 3 Összesen:
Számító táblázat a cs vezeték egyenletének meghatározásához qv ∆p qv2 ∆pi* qv2
-
-
13
qv4
