Fogaskerékhajtás tudnivalók, feladatok

Fogaskerékhajtás – tudnivalók, feladatok Tudnivalók A fogaskerékhajtás – egy hajtómű - féleség. A hajtómű olyan – itt mechanikus – berendezés, amely erőket és mozgásokat továbbít: a hajtó tengelyről a hajtott tengelyre. A fogaskerékhajtásban a hajtó és a hajtott tengely közel van egymáshoz, így köztük a kapcsolatot a rájuk ékelt fogaskerekek hozzák létre. Az alaphelyzet az 1. ábra szerinti.

Az 1. ábra forrása: [ 1 ]. 1. ábra Az „1” jelű tengely: a hajtó tengely, rajta a z1 fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n1 fordulatszámmal forog. A „2” jelű tengely: a hajtott tengely, rajta a z2 fogszámú fogaskerékkel, mely a tengelyével megegyező n2 fordulatszámmal forog. A két fogaskerék a gördülőkörök mentén csúszásmentesen legördül egymáson. A fogaskerékhajtás: kényszerhajtás, mivel a hajtókerék rákényszeríti a forgást a hajtott kerékre. Ennek eredményeként a két kerék kerületi sebessége a gördülőkörök érintkezési pontjában megegyezik: v1  v 2 . (1) A megfelelő Di gördülőkör - átmérőkkel és ni fordulatszámokkal ( i = 1, 2 ) : D1  n1  D 2  n 2 . (2) Innen egyszerűsítés és rendezés után: n 2 D1  . (3) n1 D 2 Itt bevezetjük az áttétel / módosítás fogalmát: n i 2 , (4) n1

2

vagyis az áttétel: a hajtott tengely fordulatszámának viszonya a hajtó tengely fordulatszámához. Most tekintsük a 2. ábrát!

A 2. ábra forrása: [ 2 ]. 2. ábra A kerékátmérő kifejezhető a t fogosztással és a z fogszámmal: D1    t1  z1 , (5) D 2   t 2  z 2 . (6) Innen a gördülőkör - átmérők: t D1  1  z1 , (7)  t D2  2  z 2 . (8)  A t fogosztásoknak azonban egyenlőknek kell lenniük, különben a két fogaskerék kapcsolódása nem lenne lehetséges: t1  t 2  t, (9) így ( 7 ), ( 8 ) és ( 9 ) - cel: t D1   z1 , ( 10 )  t D2   z 2 . ( 11 )  Bevezetjük az

m

t 

( 12 )

definícióval a modult, ami ezek szerint a fogosztás π - ed része. Most ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel:

D1  m  z1 , D2  m  z 2.

( 13 )

Ezek után összegyűjtjük az áttételre vonatkozó képleteinket; ( 3 ), ( 4 ) és ( 13 ) - mal:

3

n 2 D1 z   1. ( 14 ) n1 D 2 z 2 Majd összegyűjtjük a modulra vonatkozó képleteinket; ( 10 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: t D D m  1  2. ( 15 )  z1 z2 A hajtás modulja szabványos modulsorozatból választandó. Ilyet mutat a 3. ábra. Forrása: [ 3 ]. i

3. ábra Megjegyzés: A ( 2 ) képlethez felhasználtuk, hogy

v

 2    K kör D   2  R     R     R  ,  T  T T T

( 16 )

ahol Kkör: a gördülőkör kerülete; T: egy teljes körülfordulás ideje; R: a gördülőkör sugara; ω: a forgás szögsebessége. Itt az állandó szögsebességű / fordulatszámú forgás esetét tekintettük. Most vizsgáljuk meg a szóban forgó fogaskerékhajtás erő - és mozgásviszonyait!

4

Ehhez tekintsük a 4. ábrát, ahol a feltüntetett mennyiségek mind pozitív előjelűek!

4. ábra Adott: M1 , M 2 ; R 1, R 2 ; 1, 2 . Keresett: a fogak közt fellépő K kerületi erő. A megoldás során a részekre bontás módszerét alkalmazzuk. Az érintkezési pontbeli kerületi sebességek egyenlőek; ( 1 ) és ( 16 ) szerint: R 1  1  R 2   2 , ( 17 ) ahol már figyelembe vettük azt is, hogy a „2” jelű kerék forgásának értelme, azaz szögsebessége is ellentétes az „1” jelűével. Most képezzük ( 17 ) mindkét oldalának az időegységre jutó változását, felhasználva a szöggyorsulást értelmező 

 t

( 18 )

kifejezést is:

R 1  1  R 2   2 .

( 19 ) Most gondolatban különítsük el egymástól az „1” és a „2” kereket – ld. 5. ábra!

5. ábra

5

A K1 kerületi erő fejezi ki a „2” kerék hatását az „1” kerékre, míg a K2 erő az „1” kerék „2” - re gyakorolt hatását jeleníti meg. Az „1” kerék forgómozgásának alapegyenlete: M Oe1  1  1 , ( 20 ) majd a „2” keréké: M Oe2  2   2 , ( 21 ) ahol i : az i - edik forgástengelyre vett tömegtehetetlenségi nyomaték, i = 1, 2. Ezután képezzük az O1 forgástengelyre számított eredő forgatónyomatékot: M Oe1  M1  K1  R 1; ( 22 ) majd hasonlóan az O2 forgástengelyre: M Oe2  M 2  K 2  R 2 . ( 23 ) Most ( 20 ) és ( 22 ) - vel: M1  K1  R1  1  1 , ( 24 ) majd ( 21 ) és ( 23 ) - mal: M 2  K 2  R 2  2   2 . ( 25 ) Ezután fejezzük ki ( 24 ) - ből K1 - et, ( 25 ) - ből K2 - t: 1 K1   M1  1  1 , ( 26 ) R1 1 K2   M 2 2   2 . ( 27 ) R2 Most alkalmazzuk a hatás - ellenhatás alaptételét: K1 = K2 = K.

( 28 )

( 26 ), ( 27 ), ( 28 ) - cal: 1 1  M1  1  1    M 2  2   2 . R1 R2 Rendezve: R M1 1  1  1  M 2 2   2 . R2 ( 30 ) - ban érvényesítve a ( 19 ) - ből adódó

2  

R1  1 R2

( 29 )

( 30 )

( 31 )

összefüggést:

M1 1 1  ( 32 ) - ből:

 R1  R  M 2  1 2 1 . R 2  R2 

( 32 )

6 2    R1  R1   M1   M 2  1  1    2  , R2  R 2    ahonnan: R M1  1  M 2 R2 1  . 2  R  1   1  2  R 2 

Most ( 31 ) és ( 34 ) - gyel: R M1  1  M 2 R R2 2   1  . 2 R2  R1  1    2  R 2 

( 33 )

( 34 )

( 35 )

Ezután ( 26 ), ( 28 ) és ( 34 ) - gyel:

M1 M 2  M1 1 M1 R1 R 2 K  K1    1   . 2 R1 R 1 R1  R 1  2 1      R 2  1

( 36 )

( 36 ) átalakításával még tovább írható, hogy

M 2 M1  R 1  2     R 2 R 1  R 2  1 2

K

R   1   1   2  R   2 1 2

.

( 37 )

Egy fontos speciális eset:

1   2  0 .

(a)

Ekkor a fogaskerekek szögsebessége / fordulatszáma állandó, ill. zérus. Ez a mozgásbeli, ill. nyugalmi egyensúly esete. ( 26), ( 27 ), ( 28 ) és ( a ) - val:

 K  K   M1  M 2 . K 1 2 R1 R2 ( 38 ) - ból:

( 38 )

7

M2 R 2 D2   . ( 39 ) M1 R 1 D1 A ( 39 ) képlet azt fejezi ki, hogy állandósult állapotában a fogaskerékhajtás valamely tengelyére jutó forgatónyomaték egyenesen arányos az illető tengelyen lévő fogaskerék átmérőjével. A ( 26 ), ( 27 ), ( 38 ) képletekből még az is kiviláglik, hogy a K kerületi erő gyorsuló forgás esetén kisebb, mint állandósult forgás, ill. nyugalom esetén. A csapágyakat terhelő erők meghatározásához tekintsük a 6. ábrát!

6. ábra Itt G a fogaskerék súlya, K a kerületi erő, R a csapágy reakcióereje. Függőleges vetületi egyensúlyi egyenlettel: 3

 F  0;

( 40 )

részletezve: R1  G1  K1  0, ahonnan:

( 41 )

R1  G1  K.

( 42 )

i

i1

Hasonlóan eljárva:

R 2  G 2  K 2  0,

( 43 )

ahonnan:

R 2  G 2  K.

( 44 )

8

Megjegyzések: M1. A ( 42 ) és ( 44 ) képletek felírásakor felhasználtuk ( 28 ) - at is. M2. A függőleges vetületi egyensúlyi egyenletek felírásakor feltételezzük, hogy az R reakció pozitív nyílértelmű. Ha nem ez a helyzet, azt a képlet majd kiadja. M3. Ha a szöggyorsulások zérustól eltérők, akkor a K kerületi erő, majd ( 42 ) és ( 44 ) miatt a reakcióerők is változó nagyságúak / irányúak lehetnek.

Feladatok 1. Adott a 7. ábra szerinti hajtómű. 



 Határozza meg az  2  1 és 3   3 szögsebességeket, az 1  1 szögsebesség függvényében!

Az ábra forrása: [ 4 ]. 7. ábra Megoldás: Az r1 és r21 sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában – ( 1 ) mintájára – r1  1  r21  2 . (1/1) Az r23 és r3 sugarú fogaskerekek érintkezési pontjában: r3  3  r23  2 . (2/1) ( 1 / 1* ) - ből:

2 

r1  1 , r21

(3/1)

9

majd ( 1 / 2** ) és ( 1 / 3! ) - ből:

3 

r23 r1   1. r3 r21

(4/1)

2. Adott a 8. ábra szerinti hajtás, ahol a W súlyt egyenletesen, lassan emeljük. Határozzuk meg a motor M forgatónyomatékát, elemi úton!

Az ábra forrása: [ 5 ]. 8. ábra Megoldás: Most is célszerű a részekre bontás fogásával élni – ld. 9. ábra!

9. ábra A feladat feltétele szerint 1   2  3  0, így egyensúlyi egyenletekkel dolgozhatunk. Az a sugarú kerék egyensúlya:

M  K1  a  0, innen

K1 

M . a

(1/2)

10

A b sugarú kerék egyensúlya: K1  b  K 2  b  0, innen:

K1  K 2 .

(2/2)

A c sugarú kerék egyensúlya:

K 2  c  W  c  0, innen:

W  K2.

(3/2)

Most az ( 1 / 2 ), ( 2 / 2 ), ( 3 / 2 ) képletekkel:

W

M , a

(4/2)

ahonnan:

M  W  a.

(5/2)

3. Határozzuk meg az egyenes fogazású hengeres fogaskerékpár fogai közt fellépő kapcsolati erőt ! Megoldás: A 10. ábrán jól szemlélhető, hogy a fogak érintkezése valójában nem a gördülőkörök, hanem – a fogak geometriai kialakítása miatt – egy ferde, a gördülőkörök közös érintőjével αw szöget bezáró egyenes – a kapcsolóvonal – mentén vándorló kapcsolódási pontban megy végbe. Ennek megfelelően a fogak közt fellépő kapcsolati erő sem egyezik meg a gördülő körök érintője mentén ható K kerületi erővel. A gördülő felületek közös normálisába eső, az ábrán kék nyíllal rajzolt Pn kapcsolati erő nagysága a 11. ábra szerint – ahol a K ≡ P jelölést használjuk – : 10. ábra A 10. ábra forrása: [ 6 ].

11

P . (1/3) cos  w A kapcsolati erő sugárirányú össze tevőjének nagysága: Pn 

Pr  P  tg w .

(2/3)

E radiális összetevő a csapágyazást egy többlet - erővel terheli, az önsúlyhoz és a kerületi erőhöz képest. A kerületi erő szokásos számítási módja: M 2  M1 P 1  , (3/3) r1 d1 ahol M1: a hajtókerékre ható külső forgatónyomaték; d1: a hajtókerék gördülőkörének átmérője. Mint korábban már láttuk, itt állandó fordulatszámokat tételezünk fel. A 11. ábra a két fogaskerék erőjátékát is szemlélteti, a részekre bontás után, eltekintve a csapágyak ban ébredő reakcióktól. Az ábra forrása: [ 7 ] 11. ábra

12

4. Elemezzük a szöggyorsulások és a kerületi erő kifejezését, figyelembe véve a tömegtehetetlenségi nyomatékok valóságos értékét is! Megoldás: Ennek során úgy járunk el, hogy a fogaskerekeket homogén tömegeloszlású vékony tárcsának tekintjük, és erre alkalmazzuk a 12. ábra táblázatának megfelelő képletét.

12. ábra Az ábra forrása: [ 8 ]. A megfelelő táblázati képlet: 1   Jz   m  R 2. 2

(1/4)

13

A tömeg kifejezése, az ismert módon: m  V    R 2  l  . Most az ( 1 / 4 ) és ( 2 / 4 ) képletekkel: 1    R 4   l  . 2 Ezután képezzük a ( 37 ) képletben szereplő théták arányát! 1 4  R  l    4 2 2 2 R    2  . 1 1  R 4  l    R1  1 2 Továbbá a képletekben szereplő további tag / tényező: 2 2 4 2  R 1  2  R1   R 2   R 2              .  R    R   R   R  2

1

2

1

1

(3/4)

(4/4)

(5/4)

1

Most ( 34 ) és ( 5 / 4 ) - gyel: R R M1  1  M 2 M1  1  M 2 1 1 R2 R2 1     . 1  R1 2 2 1  R 2 2 1     1     R    R  2

(2/4)

(6/4)

1

Ezután ( 31 ) és ( 6 / 4 ) - gyel: R M1  1  M 2 R 1 R2 2   1   . 2 R 2 1  R 2  1     R 

(7/4)

1

Végül ( 37 ) és ( 5 / 4 ) - gyel: 2 2 M 2 M1  R 1  2 M 2 M1  R 2         R2 R 1  R 2  1 R2 R 1  R 1  K  . 2 2  R 1  2  R 2  1     1     R    R  2 1 1 Egy egyszerű speciális eset: R 1  R 2  R. Ekkor ( 6 / 4 ) - ből ( S1 ) - gyel:

1 

1 M1  M 2  . 1 2

Továbbá ( 7 / 4 ) és ( S1 ) - gyel:

(8/4)

( S1 )

(9/4)

14

1 M1  M 2  . 1 2 Végül ( 8 / 4 ) és ( S 1 ) - gyel: 1 M  M2 K  1 . R 2 További specializációval: ha R1 = R2 = R és M1 = M2 = M, akkor ( 9 / 4 ) és ( 10 / 4 ) - ből ( S2 ) - vel: 1  2  0, azaz egyensúly van. Ekkor ( 11 / 4 ) és ( S2 ) - vel: M K . R 2  

( 10 / 4 )

( 11 / 4 ) ( S2 )

( 12 / 4 )

5. Mondjuk ki a teljesítménytételt, és állítsuk fel az átvitt teljesítmény, a forgatónyomaték és a fordulatszám összefüggését a rögzített tengely körül forgó merev test esetében! Megoldás: A rögzített tengely megnevezés azt jelenti, hogy a test nem végezhet haladó mozgást, mert azt a megtámasztásai / kényszerei megakadályozzák. Eszerint a test mozgása: adott forgástengely körüli forgó mozgás. Ennek vizsgálatához tekintsük a 13. ábrát!

13. ábra Kiindulunk abból a tényből, hogy a forgó test mozgási energiájának t idő alatti növekedése egyenlő a testre ható erőrendszer által ez idő alatt végzett munkával:

15

E  W.

(1/5)

A befektetett munka: W  F s. Az elmozdulás:

(2/5)

s  R  tg .

(3/5)

Kis szögekre érvényes, hogy tg   . Most ( 3 / 5 ) és ( 4 / 5 ) képletekkel:

(4/5)

s  R  .

(5/5)

Ezután ( 2 / 5 ) és ( 5 / 5 ) képletekkel:

W  F  R .

(6/5) A testre ható F aktív és – F reakcióerő erőpárt képez, melynek nyomatéka: M  F  R. (7/5) ( 6 / 5 ) és ( 7 / 5 ) - tel: W  M . (8/5) Most képezzük a megfelelő változási sebességeket, vagyis a megfelelő mennyiségek t időintervallumra vetített megváltozását! ( 1 / 5 ) - ből:

E W  . t t ( 2 / 5 ) - ből: W s  F . t t Figyelembe véve, hogy a sebesség definíciója szerint

v

s , t

(9/5)

( 10 / 5 )

( 11 / 5 )

vagy ( 5 / 5 ) - tel is:

v  R

 . t

( 12 / 5 )

( 10 / 5 ) és ( 11 / 5 ) - ből kapjuk, hogy

W  F  v. t

( 13 / 5 )

Most ( 8 / 5 ) - ből:

W   M . t t

( 14 / 5 )

Figyelembe véve, hogy a szögsebesség definíciója szerint



 , t

( 15 / 5 )

16

( 14 / 5 ) és ( 15 / 5 ) - ből kapjuk, hogy

W  M  . t

( 16 / 5 )

Átlagérték - képleteink annál pontosabbak, minél kisebb a vizsgált időintervallum, így t  0 esetén kapjuk a pillanatnyi változási sebességeket. A munkavégzés sebessége: a teljesítmény: W P . ( 17 / 5 ) t Most ( 9 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - tel:

E  P. t

( 18 / 5 )

Szavakban: a rendszer mozgási energiájának időbeli változási sebessége egyenlő az erőrendszer teljesítményével. Ez a teljesítménytétel. További fontos összefüggések az alábbiak. ( 13 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - ből: P  F  v, ( 19 / 5 ) vagy ( 16 / 5 ) és ( 17 / 5 ) - ből: P  M  . ( 20 / 5 ) Ez az összefüggés tetszőlegesen változó forgás esetén is fennáll. Most fejezzük ki az ω szögsebességet az n fordulatszámmal! Jelöljük a körülfordulások számát N - nel, valamint ΔN - nel a Δt idő alatt megtett körülfordulások számát! Ekkor aránypárral írható – ld. a 13. ábrát is! –, hogy

 N  . 2  1

( 21 / 5 )

Innen

  2 N,

( 22 / 5 )

majd ( 15 / 5 ) - tel és az N n t képlettel definiált fordulatszámmal:

( 23 / 5 )

  2  n.

( 24 / 5 )

Végül a ( 20 / 5 ) és ( 24 / 5 ) képletekkel:

P  2   n  M.

Megjegyzések: M1. Az   állandó speciális esetben írhatjuk, hogy

( 25 / 5 )

17



 2    2   n, t T

vagyis a szögsebesség és a fordulatszám összefüggése mindig ( 24 / 5 ) szerinti. M2. Az alkalmazásokhoz szükség van a mozgási energia kifejezésére. Ehhez tekintsük a 14. ábrát is! Az i - edik tömegpont mozgási energiája:

1 E i   m i  vi2 . 2

( 26 / 5 )

Majd ( 12 / 5 ) és ( 15 / 5 ) szerint: vi  R i  . ( 27 / 5 ) Most ( 26 / 5 ) és ( 27 / 5 ) - tel:

1 E i   mi  R i2   2 . 2

( 28 / 5 )

A forgó test mozgási energiája e rész - energiák összege, ahol az összegzés minden tömegpontra kiterjed.

14. ábra Képlettel:

1 1 E   E i   mi  R i2  2    2   mi  R i2 . 2 2

( 29 / 5 )

Bevezetve a

1 O    mi  R i2 2

( 30 / 5 )

képlettel definiált, az O forgástengelyre számított tömegtehetetlenségi nyomatékot, ( 29 / 5 ) és ( 30 / 5 ) képletek szerint:

1 E  O   2 . 2

( 31 / 5 )

Ha több test végez forgó mozgást, akkor az ezen A, B, C, stb. testekből álló rendszer mozgási energiája az egyes testek részenergiáinak összege:

E rendszer  E A  E B  E C  ...

( 32 / 5 )

18

6.* Összetett hajtómű mozgásának elemzése. Adott a 15. ábra szerinti szerkezet. Állítsuk elő a szerkezet mozgásegyenletét! Útmutatás: tekintsük a csapágyazásokat súrlódásmentesnek, az egyes elemeket pedig végtelenül merevnek!

Megoldás: A feladat megoldásának elvi alapját az előzőekben kifejtett teljesítménytétel képezi. Ehhez elő kell állítani a rendszer mozgási energiáját, az aktív erőrendszer teljesítményét, továbbá figyelembe kell venni a külső és belső kényszerfeltételeket is.

Forrása: [ 9 ] 15. ábra A rendszer mozgási energiája összetevődik az adott G súlyú test haladó, valamint a kerekek forgó mozgásának energiájából: E rendszer  E h  E f . (1/6) Az emelkedő m tömegű test q elmozdulást végez, vG sebességgel és aG gyorsulással. Mozgási energiája:

1 E h   m  v G2 , 2

(2/6)

ahol

G , g q vG   q . t

m

(3/6) (4/6)

A kerekek saját forgástengelyükre számított tömegtehetetlenségi nyomatékai: 1 , 2 , 3 , 4 , melyek adott mennyiségek. Velük az egyes kerekek mozgási energiája: 1 E f ,i  i  i2 , ahol i = 1, 2, 3,4 (5/6) 2 és ezzel

19 4

E f   E f ,i . i1

(6/6)

Részletezve: ( 5 / 6 ) és ( 6 / 6 ) - tal

1 1 1 1 E f  1  12  2   22  3  32  4   42 . 2 2 2 2

(7/6)

Most ( 1 / 6 ), ( 2 / 6 ) és ( 7 / 6 ) - tal:

1 1 1 1 1 E rendszer   m  vG2  1  12  2   22  3  32  4   42 . ( 8 / 6 ) 2 2 2 2 2 Most vegyük sorra a belső kényszerfeltételeket! Az „1” és a „2” kerék közös tengelyen forog, így szögsebességük is egyenlő: 1   2 . (9/6) Figyelembe véve, hogy q  R1  1, ( 10 / 6 ) kapjuk, hogy

vG 

q 1  R1   R1  1. t t

( 11 / 6 )

Most ( 9 / 6 ) és ( 11 / 6 ) - tal:

1   2 

vG . R1

( 12 / 6 )

A v3 = v2 feltételből:

3 

R2  2. R3

( 13 / 6 )

A v4 = v3 feltételből:

4 

R3  3. R4

( 14 / 6 )

Most ( 12 / 6 ) és ( 13 / 6 ) - ból:

3 

R 2 vG  . R 3 R1

( 15 / 6 )

Majd ( 13 / 6 ) és ( 14 / 6 ) - ból:

4 

R 3 R 2 vG R 2 vG     . R 4 R 3 R 1 R 4 R1

( 16 / 6 )

Most helyettesítsük be a ( 8 / 6 ) képletbe a ( 12 / 6 ), ( 15 / 6 ), ( 16 / 6 ) képleteket! Ekkor kapjuk, hogy

20

 vG   v G  1 1 1 2    m  vG  1     2      R1  2 2 2  R 1  2

E rendszer

2

R v  R v  1 1 + 3   2  G   4   2  G  . 2 2  R 4 R1   R 3 R1  2

2

( 17 / 6 )

Rendezve:

E rendszer

2 2    R 2  1 2  1  2  R 2    3    4  .   vG   m    2  2 R1  R 4  R1   R 3  R1   

( 18 / 6 )

Írjuk át ( 18 / 6 ) - ot az

1 E rendszer   m 0  vG2 2

( 19 / 6 )

alakba, ahol 2  R 2  1  2  R 2    3    4 m0  m    2  R 4  R 1  R1  R 3  R 1  2

( 20 / 6 )

a rendszer általános tömege. A ( 19 / 6 ) képlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer teljes mozgási energiáját egy m0 tömegű, egyenes vonalú mozgást végző testbe sűrítettük volna. Hogy ennek mi a haszna, az mindjárt kiderül. Most írjuk fel az erőrendszer teljesítményét! a.) A rendszerre ható külső erők: a G nagyságú súlyerő és az M0 ( előjeles ) nagyságú forgatónyomatékkal jellemzett erőpár. A súlyerő teljesítménye ( 4 / 6 ) - tal is:

PG  (G)  vG  G  q  ,

( 21 / 6 )

ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erő teljesítménye ( 19 / 5 ) szerinti; ~ az erő és az elmozdulás ( a teher emelésekor ) ellentétes előjelű. A forgatónyomaték teljesítménye:

PM0  M 0   4 ,

( 22 / 6 )

ahol már figyelembe vettük, hogy ~ az erőpár teljesítménye ( 20 / 5 ) szerinti; ~ a forgatónyomaték és a „4” kerék szögsebessége ( a teher emelésekor ) megegyező forgatóértelmű. A csapágyakban ébredő támaszerők teljesítménye zérus, mert a csapágyak merevek és mozdulatlanok. A csapágyakban nem ébred a forgómozgást akadályozó forgatónyomaték, hiszen a csapsúrlódástól eltekintettünk. Így ennek teljesítménye is zérus nagyságú.

21

b.) A rendszerre ható belső erők: a kerekek közt fellépő kapcsolati erők. Ezek teljesítménye is zérus, mert az érintkező elemek ( pl.: a fogak ) alakváltozásait zérus nagyságúnak tekintettük, azok merevsége miatt. Megjegyezzük, hogy az emelő kötél / láncról is feltesszük, hogy hajlításra lágy, húzásra viszont merev. Ezek szerint az ezen fellépő belső erők teljesítményét is zérusnak vehetjük. A szerkezetre ható külső erők teljesítménye:

Pkülső  PG  PM0 ;

( 23 / 6 )

most ( 21 / 6 ), ( 22 / 6 ), ( 23 / 6 ) összefüggésekkel:

Pkülső  G  q   M 0   4 .

( 24 / 6 )

A szerkezetre ható belső erők teljesítménye:

Pbelső  0,

( 25 / 6 )

így az erőrendszer összes teljesítménye:

Pössz  Pkülső  Pbelső .

( 26 / 6 )

Most ( 24 / 6 ), ( 25 / 6 ) és ( 26 / 6 ) képletekkel:

Pössz  G  q   M 0   4 .

( 27 / 6 )

Majd ( 16 / 6 ) és ( 27 / 6 ) - tal is:

R 2 q Pössz  G  q  M 0   . R 4 R1 

( 28 / 6 )

Rendezve:

 R 2  Pössz  q   G  M 0  .   R  R 4 1 

( 29 / 6 )

A zárójelben lévő kifejezés: az általános erő. Jele: Q. Azaz:

Q  G  M 0 

R2 . R 4  R1

( 30 / 6 )

Ezzel ( 29 / 6 ) így írható:

Pössz  Q  q  .

( 31 / 6 ) Az utóbbi egyenlet azt fejezi ki, hogy a helyzet olyan, mintha a rendszer összes teljesítményét az egyenes vonalú mozgást végző testre ható Q általános erő szolgáltatná. A teljesítménytétel matematikai kifejezése – v.ö.: ( 18 / 5 ) ! – :

d E rendszer  Pössz . dt A kijelölt differenciálást ( 19 / 6 ) - on elvégezve:

( 32 / 6 )

22

 1 d d 1 E rendszer    m0  q  2    2  m0  q   q   m0  q   q  .  2 dt dt  2

( 33 / 6 )

Most ( 31 / 6 ), ( 32 / 6 ) és ( 33 / 6 ) képletekkel:

m 0  q   q   Q  q  .

( 34 / 6 )

Egyszerűsítés után:

Q  m0  q  .

( 35 / 6 )

Utóbbi egyenlet: a szerkezet mozgásegyenlete. ( 20 / 6 ) és( 30 / 6 ) segítségével kifejtve: 2 2    R 2  R2 1  2  R 2     3    4   q  . ( 36 / 6 ) G  M 0   m   2  R  R   R  R  R 4  R1  R1  3 1 4 1 

Megjegyzések: M1. ( 35 / 6 ) és ( 30 / 6 ) összevetéséből látható, hogy A.) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból felfelé, ha Q > 0, azaz, ha

M0 

R2  G; R 4  R1

( 37 / 6 )

B.) a G súlyú test akkor marad nyugalomban, ha Q = 0, azaz, ha

M0 

R2  G; R 4  R1

( 38 / 6 )

C.) a G súlyú test akkor indul meg a nyugalomból lefelé, ha Q < 0 , azaz, ha

M0 

R2  G. R 4  R1

( 39 / 6 )

M2. A (35 / 6 ) egyenlet egyszerű alakú, könnyen integrálható, azaz belőle a mozgások időfüggvényei, stb. különösebb nehézség nélkül előállíthatók. M3. Vegyük észre, hogy a szerkezet mozgásegyenlete egy általános koordinátát ( q ) tartalmaz, azaz a rendszer egyszabadságfokú. M4. Látjuk, hogy a ( 35 / 6 ) mozgásegyenlet az általános erő, az általános tömeg és az általános koordináta második differenciálhányadosa közti kapcsolatot rögzíti.

23

7.* Motor szükséges hajtónyomatékának meghatározása előírt geometria, előírt üzemi fordulatszám / szögsebesség és előírt felfutási idő ismeretében. Adott a 16. ábra szerinti hajtómű. Forrása: [ 4 ].

16. ábra A teljesítménytétel segítségével határozzuk meg azt a szükséges MA hajtónyomatékot, amivel a Θ3 tömegtehetetlenségi nyomatékú forgórész T idő alatt nyugalmi helyzetéből lineárisan növekvő módon az ω3 = Ω szögsebességre tesz szert! A hajtás súrlódási veszteségei elhanyagolhatóak. Megoldás: A feladat feltétele szerint a forgórész szöggyorsulása állandó:

3 

3   , t T

(1/7)

innen

t . T Most fejezzük ki a többi szögsebességet is ω3 - mal! A kinematikai kényszerfeltételek miatt: 3 

r1  1  r2   2 ; r3   2  r4  3 ;

(2/7)

(3/7) (4/7)

( 3 / 7 ) és ( 4 / 7 ) - ből:

r2  r4  3 ; r1  r3 r  2  4  3 . r3 1 

(5/7) (6/7)

24

A rendszer mozgási energiája:

1 E   1 12 2  2 2 3 32  . 2

(7/7)

Most helyettesítsük be ( 5/ 7 ) és ( 6/ 7 ) képleteket ( 7 / 7 ) - be! 2 2     1   r2  r4  r 1 2 2 2 4    3 2     3 3  3    *32 , E   1    r  2   r1  r3   2 3 

(8/7)

ahol

r r  r  *  1   2 4    3 2   2   4   3 2  3   3 2  r  r   r  2

1

2

3

(9/7)

3

a redukált tömegtehetetlenségi nyomaték. A ( 8 / 7 ) egyenlet azt fejezi ki, hogy a rendszer mozgási energiája akkora, mintha az ω3 szögsebességű forgórész tömegtehetetlenségi nyomatéka Θ* lenne. Úgy is mondhatjuk, hogy a szerkezet mozgását a forgórész forgó mozgásához redukáltuk – v.ö.: [ 8 ]. A hajtónyomaték teljesítménye: P  M A  1. ( 10 / 7 ) Most ( 5 / 7 ) és ( 10 / 7 ) - tel:

P  MA 

r2  r4 3. r1  r3

( 11 / 7 )

A teljesítménytétel:

E   P,

( 12 / 7 )

majd ( 8 / 7 ) és ( 11 / 7 ) felhasználásával:

 * 3  3  M A 

r2  r4 3 , r1  r3

( 13 / 7 )

amiből

MA 

r1  r3  *   3 . r2  r4

( 14 / 7 )

Most ( 2 / 7 ) - ből:

 3 

 , T

( 15 / 7 )

így ( 14 / 7 ) és ( 15 / 7 ) képletekkel:

MA 

r1  r3   *  . r2  r4 T

( 16 / 7 )

25

Irodalomjegyzék: [ 1 ] – Hans - Jürgen Zebisch: Dinamika Röviden és tömören Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1977. [ 2 ] – E. M. Nikitin: Teoreticseszkaja mehanika dlja tehnikumov Izdanije deszjatoje, pererabotannoje, Nauka, Moszkva, 1978. [ 3 ] – Diószegi György: Gépészeti ismeretek és adatok 2. Ipari szakkönyvtár sorozat Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1974 [ 4 ] – http://www.dirk-froehling.privat.t-online.de/page7/files/Mechanikaufgaben.pdf [ 5 ] – L. E. Goodman – W. H. Warner: Dynamics Dover Publications, Inc., Mineola, 2001. [ 6 ] – http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Involute_wheel.gif [ 7 ] – E. N. Dubejkovszkij - E. Sz. Szavvuskin - L. A. Cejtlin: Tehnicseszkaja mehanika Moszkva, Masinosztrojenije, 1980. [ 8 ] – Szerk.: M. Csizmadia Béla - Nándori Ernő: Mechanika mérnököknek Mozgástan Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997. [ 9 ] – Béda Gyula - Bezák Antal: Kinematika és dinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 1991.

♠ ♣ ♥ ♦ Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2008. június 13.