Függvénytan elmélet, 9. osztály

Függvénytan – elmélet, 9. osztály A függvénytan alapfogalma a hozzárendelés. (Igazából nem kellene alapfogalomnak tekintenünk, mert a rendezett párok ill. a Descartes-szorzat segítségével definiálható lenne, de ezzel most nem kell foglalkoznunk.) Hozzárendelésen a következőt értjük: egy A halmaz (ún. alaphalmaz) valahány eleméhez egy B halmaz (ún. képhalmaz) elemeiből válogatunk párokat. Függvénynek nevezzük az egyértelmű hozzárendeléseket. Azaz az olyanokat, ahol egy alaphalmazbeli elemhez legfeljebb egy képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. Kölcsönösen egyértelmű függvénynek nevezzük azokat a függvényeket, melyekben minden alaphalmazbeli elemhez különböző képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. (Más szóval: ha igaz a következő állítás: ha két alaphalmazbeli elemhez ugyanaz az érték tartozik, akkor a két alaphalmazbeli elem is ugyanaz, akkor a függvényt kölcsönösen egyértelműnek mondjuk.) Szám-szám (valós-valós) függvényeket ábrázolhatunk a kétdimenziós Descartes-féle koordináta-rendszerben. Ennek felvételénél az alábbiakra kell figyelni: x tengely (névvel), y tengely (névvel), nyilak, és egyforma egység felvétele (matekórán) a két tengelyen! Megjegyzés: fizikaórán az egyforma egység felvétele sok esetben lehetetlen, már csak a különböző mértékegység miatt is. A matekórán azért kötjük ki az egyforma egység felvételét, hogy pl. a kör biztosan kör legyen a koordináta-síkon, ill. pl. egyenesek szögét egyértelműen meg tudjuk állapítani. A vízszintes tengely (x) a hol-tengely (nem azonos a Holt-tengerrel ☺), a függőleges (y) pedig az érték-tengely. Tehát ha egy grafikont látva azt kérdezi valaki: hol van a legnagyobb értéke a függvénynek, akkor a grafikon csúcsának az x koordinátájára kíváncsi. (Hasonlóan, ha valaki azt kérdezi, hogy hol van Magyarország legmagasabb pontja (a jelenlegi határokat figyelembe véve), akkor nem az a válasz, hogy 1014 (1015) méteren, hanem hogy a Kékestetőn, ami közvetve egy térképismerő ember számára a helykoordinátákat jelenti, azaz az igazi helynek a vízszintes (vagy gömbi) vetületét. Függvények jellemzésének 5 alaplépése: I.

Értelmezési tartomány Az y = f(x) függvény értelmezési tartományán azon x-ek összességét értjük, amelyekhez ténylegesen hozzárendeltünk valamit. Másik megfogalmazásban: az értelmezési tartomány (tetszőleges függvény esetén) az alaphalmaz azon elemeinek halmaza, amelyekhez ténylegesen hozzárendeltünk valamit. Az értelmezési tartomány rövidítése ÉT, az f függvény ÉT-át szokás Df-fel is jelölni. Az értelmezési tartomány leolvasása a grafikonról: a grafikon minden pontját gondolatban vetítsük merőlegesen az x tengelyre. A vetítés során a tengelyen keletkező képpontok halmaza (pontosabban ezek x koordinátáinak halmaza) alkotja az értelmezési tartományt.

II. Értékkészlet Az y = f(x) függvény értékkészletén azon y-ok összességét értjük, amelyet ténylegesen hozzárendeltünk valamely ÉTbeli elemhez. Jelölése: ÉK, szokásos még az Rf is. Az értékkészlet leolvasása a grafikonról: a grafikon minden pontját gondolatban vetítsük merőlegesen az y tengelyre. A vetítés során a tengelyen keletkező képpontok halmaza (pontosabban azok y koordinátáinak halmaza) alkotja az értékkészletet. III. Zérushely (leolvasás és kiszámítás) Egy függvény zérushelyének nevezzük azt a helyet (vagy azokat a helyeket), ahol a függvény értéke nulla. A grafikonról leolvashatók a zérushelyek: ezek a grafikonnak az x tengellyel közös pontjai, pontosabban ezen pontok x koordinátái. Sok esetben ki is számítható egy függvény zérushelye. A hozzárendelési szabályban y helyére 0-t kell helyettesíteni, és (ha lehet) megoldani az így kapott egyenletet x-re. IV. Növekedési viszonyok Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény egy adott intervallumon szigorúan monoton növő, ha bármely két, adott intervallumbeli helyet vizsgálva a kisebb x-szel jellemzett helyen kisebb a függvény értéke, mint a nagyobb x-szel jellemzett helyen. Másképpen fogalmazva: azt mondjuk, hogy az f(x) függvény az [a; b] intervallumon szigorúan monoton nő, ha bármely x1; x2 eleme [a; b] esetén ha x1<x2, akkor f(x1)f(x2).

Azt mondjuk, hogy az f(x) függvény egy adott intervallumon monoton fogyó (vagy csökkenő), ha bármely két, adott intervallumbeli helyet vizsgálva a kisebb x-szel jellemzett helyen nagyobb vagy egyenlő a függvény értéke a nagyobb xszel jellemzett értékhez viszonyítva. (Tehát megengedjük az egyenlőséget is). A konstansfüggvény monoton növő és monoton fogyó is. V. Szélsőérték Egy függvény abszolút szélsőérték-helyének nevezzük azt az x helyet, ahol a függvény értéke a.) nagyobb, mint bárhol máshol (lazábban értelmezve: nagyobb vagy egyenlő, mint bárhol máshol) – ez az abszolút maximum helye. A vizsgált helyhez tartozó függvényértéket pedig a függvény abszolút maximum értékének nevezzük. b.) kisebb, mint bárhol máshol (lazábban értelmezve: kisebb vagy egyenlő, mint bárhol máshol) – ez az abszolút minimum helye. A vizsgált helyhez tartozó függvényértéket pedig a függvény abszolút minimum értékének nevezzük. Helyi (lokális) maximum: azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x helyen lokális (helyi) maximuma van, ha van az xnek egy olyan nyílt környezete, amelyre leszűkítve a függvényt x abszolút szélsőérték-hellyé válik. (azaz van olyan ε pozitív szám, amelyre igaz, hogy az ]x–ε; x+ε[ nyílt intervallumon a függvénynek az x helyen a legnagyobb az értéke.) Helyi (lokális) minimum: azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x helyen lokális (helyi) minimuma van, ha van az xnek egy olyan nyílt környezet, amelyen az f függvényt vizsgálva az x helyhez tartozik a legkisebb függvényérték. (azaz van olyan ε pozitív szám, amelyre igaz, hogy az ]x–ε; x+ε[ nyílt intervallumon a függvénynek az x helyen a legkisebb az értéke.) Szigorúan monoton függvényeknek szélsőértékük csak az értelmezési tartományuk határain találhatók. Ezen felül a megjegyzés rovatban a következőkről illik számot adni: VI. Paritás Az f(x) függvényt párosnak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli x-re igaz az, hogy –x is eleme az értelmezési tartománynak, valamint f(–x) = f(x). A páros függvények grafikonja az y tengelyre tükrös. Páros függvény pl. az y = x2; az y = |x|; vagy az y = állandó függvények. Az f(x) függvényt páratlannak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli x-re igaz az, hogy –x is eleme az értelmezési tartománynak, valamint hogy f(–x) = –f(x). A páratlan függvények grafikonja az origóra tükrös. Páratlan függvény pl. az y = x; az y = 1/x, vagy az y = 6/x függvény. Megjegyzés: a páros és a páratlan függvény fogalma nem ellentétes, mivel a.) van olyan függvény, amely egyszerre páros is és páratlan is (y = 0); b.) van olyan függvény, amely sem nem páros, sem nem páratlan. Pl. y = x+1. VII. Periodicitás Az f függvényt c (pozitív valós szám) szerint periodikusnak nevezzük, ha minden értelmezési tartománybeli x-re igaz az, hogy x+c is eleme az értelmezési tartománynak, valamint hogy f(x+c) = f(x). Tekintsük azon c-k halmazát, amelyekre igaz az, hogy az f függvény c szerint periodikus. Ha ennek a halmaznak létezik legkisebb (pozitív) eleme, akkor ezt a legkisebb elemet nevezzük a függvény periódusának. Szemléletesen: egy függvény periódusa az a legkisebb szám, amennyivel x irányban eltolva a grafikont, az önmagába megy át. Megjegyzés: a konstansfüggvények bármennyivel eltolva önmagukba mennek át (tehát akár periodikusnak is mondhatók), de nincs periódusuk, mert nincs legkisebb megfelelő szám. Példa: az y = {x} függvény periodikus pl. 1; 2; 5; 1993 szerint. A függvény periódusa az 1, mivel ez a legkisebb olyan szám, amennyivel x irányban eltolva a grafikont, az önmagába megy át. A trigonometrikus függvények (10. osztályos anyag) is periodikusak. VIII. Szakadás Az f függvénynek szakadási helye van egy adott x helyen, ha fel kell emelni a ceruzát, hogy tovább rajzoljuk a görbét. A matematikus definíció egy kicsit bonyolultabb, így legfeljebb az érdeklődőknek ismertetem. Szakadása van pl. az y = 1/x függvénynek a 0 helyen. IX. Törés Az f függvénynek törése van egy adott x helyen, ha a meredekség-függvényének (ún. differenciálhányados-függvényének vagy deriváltfüggvényének) az adott helyen szakadása van. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az f függvénynek törése van egy adott x helyen, ha a függvény meredeksége az adott helyen ugrásszerűen változik. Pl. az y = |x|-nek az x = 0 helyen törése van, mivel a meredeksége 0 alatt –1; 0 fölött +1, minden átmenet nélkül. Az y = x2-nek az x = 0 helyen nincs törése (felsőbb matematikai eszközökkel igazolható, a részletes ábrázolás is alátámasztja ezt a tényt). X. Konvexitás, inflexiós pont Egy függvényt egy adott intervallumon akkor mondunk konvexnek, ha felülről nézve konvex (azaz a grafikon fölötti területen – az intervallum függőleges határvonala zárja le oldalirányban a vizsgált területet – a macska nem tud elbújni az

egér elől, csak ha olyan messzire megy, hogy odáig már nem lát el az egér). Konkávnak pedig akkor mondjuk a függvényt egy adott intervallumon, ha a grafikon alulról nézve konvex. A görbe konvex-konkáv átmeneti pontját hívjuk inflexiós pontnak. Ismérvei: ha az inflexiós pont előtt a meredekség balról jobbra nézve nőtt, akkor az inflexiós ponton túl nézve csökkenni fog, illetve fordítva. már megmondtam (három sorral feljebb). Tehát előtte a görbe konvex, utána konkáv, vagy fordítva. Alapfüggvények: 1.) konstansfüggvények 2. y = x (elsőfokú alapfüggvény) 3. y = x2 (másodfokú alapfüggvény) 4. y = 1/x 5. y = sgnx 6. y = [x] 7. y = {x} 8. y = |x| Később ezekhez csatlakoznak: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx; y = 2x illetve y = ax, valamint az y = log2x illetve az y = logax. Ennyiből, no meg a transzformációs szabályokból egész jól meg lehet élni. Az alapfüggvények grafikonja és jellemzése (nem a fent felírt sorrendet követve!) A grafikonok különféle segédprogramokkal készültek, ezért más a minőségük. Bizonyos grafikonoknál hiányoznak a tengelyek nevei, illetve az előjelfüggvénynél nem látszik, hogy a (0; 0) is pontja a grafikonnak. 1. Állandó értékű függvény (konstansfüggvény); y = c (c rögzített valós szám); a példában y = 2. ÉT: x Є R; ÉK: y Є {c}; (a példában y Є {2}.) Zh: nincs Nv.: állandó (mindenütt változatlan értékű) Szé.: nincs Megjegyzés: páros függvény.

2. Elsőfokú alapfüggvény: y = x ÉT: R; ÉK: R; Zh: x = 0 Nv.: szigorúan, egyvégtében növekedő Szé.: nincs Megjegyzés: páratlan függvény.

3. Másodfokú alapfüggvény: y = x2 ÉT: x Є R; ÉK: y Є R+0; Zh: x = 0 Nv.: ]–∞; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; +∞] szigorúan., egyvégtében (monoton) növő. Szé.: legkisebb érték (minimum) az x = 0 helyen y = 0. legnagyobb érték (maximum) nincs. Megjegyzés: páros függvény. 4. A fordított arányosság alapfüggvénye (reciprokfüggvény): y = 1/x ÉT: x Є R\{0}; ÉK: y Є R\{0}; Zh: nincs Nv.: ]–∞; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; +∞[ szigorúan., egyvégtében (monoton) csökkenő. Szé.: nincs. Megjegyzés: x = 0 helyen szakadás.

5. Előjelfüggvény: y = sgn(x) (olvasd: x előjele vagy szignum iksz)

y 2 1 -4

-3

-2

x

-1

1

2

3

4

-1

ÉT: x Є R; ÉK: y Є {–1; 0; 1}; Zh: x = 0 Nv.: monoton növő Szé.: nincs Megjegyzés: páratlan függvény.

-2

6. Egészrész-függvény: y = [x] (olvasd: x egész része) y ÉT: x Є R; 4 ÉK: y Є Z; 3 Zh: x Є [0; 1[ 2 Nv.: mindenütt monoton növekvő (sehol sem szigorúan csökkenő) 1 Szé.: nincs. x Megjegyzés: minden egész helyen szakadása van. -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

7. Törtrész-függvény: y = {x} (olvasd: x törtrésze) y 2 1 -4

-3

-2

-1

x 1

2

3

4

-1

ÉT: x Є R; ÉK: y Є [0; 1[; Zh: x Є Z Nv.: [k; k+1[ szigorúan, egyvégtében (monoton) növekvő; amennyiben k tetszőleges egész szám.

-2

Szé.: helyi legkisebb érték (minimum) az x = k helyen y = 0. Legnagyobb érték (maximum) nincs. kЄZ. Megjegyzés: minden egész helyen szakadása van a függvénynek. 8. Előjelmentes érték-függvény (abszolútérték-függvény): y = |x| (olvasd x előjelmentes v. abszolút értéke) ÉT: x Є R; ÉK: y Є R+0; Zh: x = 0 Nv.: ]–∞; 0] szigorúan, egyvégtében (monoton) csökkenő; ]0; +∞] szigorúan., egyvégtében (monoton) növő. Szé.: legkisebb érték (minimum) az x = 0 helyen y = 0. legnagyobb érték (maximum) nincs. Megjegyzés: páros függvény; az x = 0 helyen törése van.

Transzformációs szabályok I. Ha ismert az f(x) függvény grafikonja, akkor az f(x)+d függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f(x) grafikonját ábrázoljuk, majd d-vel y irányban eltoljuk azt. II. Ha ismert az f(x) függvény grafikonja, akkor az f(x–c) függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f(x) grafikonját ábrázoljuk, majd x irányban c-vel eltoljuk azt. III. Ha ismert az f(x) függvény grafikonja, akkor az a⋅f(x) függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f(x) grafikonját ábrázoljuk, majd y irányban tengelyesen a-szorosra nyújtjuk azt; úgy, hogy az x tengely maradjon helyben. (Ha a<0, akkor |a|-szoros a nyújtás és még tükrözzük is a grafikont az x tengelyre.) IV. Ha ismert az f(x) függvény grafikonja, akkor a f(bx) függvény grafikonját ebből úgy kapjuk meg, hogy az f(x) grafikonját ábrázoljuk, majd x irányban tengelyesen 1/b-szeresre nyújtjuk azt; úgy, hogy az y tengely maradjon helyben. (Ha b<0, akkor |1/b|-szeres a nyújtás és még tükrözzük is a grafikont az y tengelyre.) V. Az y = a⋅f(bx–c) + d függvény grafikonja tehát több lépésben a következőképpen ábrázolható: 1. y = f(x) grafikonjának ábrázolása. 2. c-vel jobbra toljuk a grafikont. 3. b-szeresen összenyomjuk a (2.) grafikont úgy, hogy az y tengely maradjon helyben. 4. a-szorosan megnyújtjuk a (3.) grafikont úgy, hogy az x tengely maradjon helyben. 5. d-vel följebb toljuk a (4.) grafikont. Az 5. pontban keletkezett grafikon az eredeti függvény grafikonja.

Inverz függvény A kölcsönösen egyértelmű függvény fogalma:

Egy f függvényt kölcsönösen egyértelműnek nevezünk, ha minden alaphalmazbeli elemhez különböző képhalmazbeli elemet rendelünk hozzá. Más megfogalmazások: - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha bármely különböző x1 és x2 ÉTf-beli elempáros esetén f(x1) ≠ f(x2). - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha az f(x1) = f(x2) egyenlőségből következik, hogy x1 = x2. - Az f függvény kölcsönösen egyértelmű, ha a fordított irányú hozzárendelés is függvény. Kölcsönösen egyértelmű függvények inverze: Egy kölcsönösen egyértelmű f függvény inverzén azt a függvényt értjük (jele általában f –1), amelynek - értelmezési tartománya az eredeti függvény értékkészlete; - értékkészlete az eredeti függvény értelmezési tartománya; - és a hozzárendelés iránya elempáronként megfordul. Hozzárendelési szabállyal megadott függvények inverzének meghatározása: Ha adott az y = f(x) grafikon, akkor az inverz függvényt két lépésben megkaphatjuk: 1. A hozzárendelési szabályban x-et és y-t kicseréljük (minden x helyére y-t, minden y helyére x-et írunk). 2. Ezek után kifejezzük az új y-t x függvényeként. Példa: Határozzuk meg az y = 2x – 4 függvény inverzének hozzárendelési szabályát! Megoldás: Első lépésben x-y csere: az inverz függvény szabálya: x = 2y – 4. Második lépés: az új szabályt y-ra rendezzük: x + 4 = 2y, így 0,5x + 2 = y, vagyis y = 0,5x + 2. Tehát ha f(x) = 2x – 4, akkor f–1(x) = 0,5x + 2. Grafikonnal megadott függvények inverzének meghatározása: Az x-y cserének a koordináta-rendszerben az y = x egyenletű egyenesre vonatkozó tükrözés felel meg, ezért az inverz függvény grafikonját megkaphatjuk, ha az eredeti grafikon egészét tükrözzük az y = x egyenletű egyenesre.

I. Elsőfokú függvény Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! 1. a.) y = 2x + 1 1.H c.) f(x) = 3x – 7 d.) g(x) = –x + 11 f.) i(x) = –5x – 9 g.) j(x) = 3x 2. a.) y = x/4 + 3 2.H c.) y = x/5 + 2 d.) 2 – x/4 3. a(x) = 6 – x 3.H c(x) = 2 – 3x e(x) = (5 – x) / 2 4. a.) a(x) = 5x/6 4.H c.) c(x) = 1,2x e.) e(x) = 3x/8 + 1/2

b.) y = –3x + 7 e.) h(x) = 6x – 1 h.) k(x) = –10x b.) y = –x/3 + 5 e.) y = 1 + x/7 f.) y = x/3 + 1/2 b(x) = (4 + x)/2 d(x) = (x+4)/3 f(x) = (3 – 2x) / 6 b.) b(x) = 2 – 3x/4 d.) d(x) = 1 – 7x/3 f.) f(x) = 2(x + 5)/3

Határozzuk meg a következő függvények inverzét, ábrázoljuk az eredeti függvénnyel közös koordináta-rendszerben két különböző színnel! 5. a.) y = 2x b.) y = –0,25x c.) y = x + 3 d.) y = –x – 2 5.H e.) y = 3x f.) y = x/3 g.) y = 2,5x h.) y = -x/4 i.) y = x + 4 j.) y = x + 5 k.) y = 3 – x l.) –5 + x 6. a.) y = 2x – 5 b.) y = –3x/2 + 1 c.) y = (x+2)/3 d.) y = 8 – 7x 6.H e.) y = 3x + 6 f.) y = 2x + 1 g.) y = –2x/5 – 1 h.) y = (x+4)/5 i.) y = 3x – 1 j.) y = 4 – 5x k.) y = (2 – x)/7 l.) y = (3 – 4x)/6 Ábrázoljuk a következő grafikonokat („lyukas” egyenesek), és jellemezzük pontosan a függvényeket! 7. a.) y = (x2–9) / (x+3) b.) y=(12x2+19x-21)/(4x-3) c.) y = (x3 + 1) / (2x2 – 2x + 2) 7.H d.) y = (x2 – 16) / (x – 4) e.) y = (x2+4x+4) / (x+2) f.) y = (x3 – 8) / (x2 – 2x + 4) 2 2 g.) y = (x +5x+4) / (x+1) h.) y = (x +11x+30)/(x+6) i.) y = (6x2 + 19x + 15) / (3x+5) 8. 8.H

9. 9.H

Egy elsőfokú függvényről tudjuk, hogy a –1 helyen 2, a +2 helyen –5 az értéke. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk a grafikonját, jellemezzük a függvényt, valamint adjuk meg pontosan a +5 és a + 10 helyeken felvett értékét! a.) Egy f(x) elsőfokú függvény grafikonja áthalad a (3; 4) és a (7; -8) pontokon. Mennyi f(2010)? b.) Egy elsőfokú függvény a 3 helyen 9, a 9 helyen -3 értéket vesz fel. Hol lesz 100 az értéke? c.) Egy elsőfokú függvény az x tengelyt a (7; 0), az y tengelyt a (0; -4) pontban metszi. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk és jellemezzük a függvényt! Egy elsőfokú függvényről tudjuk, hogy a –2 helyen ugyanannyi az értéke, mint az y = 3x+2 függénynek, a +5 helyen pedig annyi az értéke, mint az előbb említett függvénynek a –1 helyen. Ábrázoljuk a függvény grafikonját, adjuk meg a hozzárendelési szabályt, jellemezzük a függvényt! a.) Egy elsőfokú függvény a 4 helyen ugyanazt az értéket veszi fel, mint az y = x + 8 függvény, a 7 helyen pedig annyi az értéke, mint az előbb említett függvénynek az x = 1 helyen. Hol van a függvény zérushelye? b.) Egy elsőfokú függvény az y = x + 7 függvény értékénél a 2 helyen 3-mal nagyobb, a 4 helyen 3-mal kisebb. Adjuk meg a hozzárendelési szabályt, ábrázoljuk és jellemezzük a függvényt! II. Másodfokú függvény

11. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő másodfokú függvényeket! a.) y = x2 e.) y = –0,5x2 i.) y = (x+2)2 m.) y = 0,5⋅(x–2)2 + 3 q.) y = (2x+1)2 u.) y = (6–2x)2 – 7

b.) y = –x2 f.) y = x2/3 j.) y = (x–5)2 n.) y = –(x–1)2 + 6 r.) y = (0,5x + 3)2 – 2 ü.) y = –0,5⋅(2x+6)2 + 1

c.) y = –x2 + 4 g.) y = –4x2 + 16 k.) y = 2⋅(x+3)2 o.) y = –2(x+3)2 + 8 s.) y = 2⋅(2x–4)2–18 v.) y = –2(0,5x–3)2 – 5

d.) y = –2x2 h.) y = x2 – 11 l.) y = –(x–9)2 p.) y = (2x)2 t.) y = (5–x)2+1 w.) y = 5 + 2⋅(5–0,25x)2

Egészítsük ki teljes négyzetté a következő kifejezéseket, majd ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! 35. y = x2 + 2x = x2+2x+1–1 = (x+1)2–1 47. y = 0,5x2 + x + 2 36. y = x2 + 2x – 3 48. y = 0,5x2 – 3x – 1 37. y = x2 + 2x + 8 49. y = –x2 + 4x – 5 38. y = x2 – 8x + 15 50. y = –x2 – 6x – 7 39. y = x2 – 10x + 21 51. y = –2x2 + 8x – 5 2 40. y = x + 6x – 1 52. y = –2x2 – 12x – 31 41. y = x2 – 4x – 1 53. y = –0,5x2 – 2x + 1 2 42. y = x + x + 1,75 54. y = –0,5x2 + 5x – 22 43. y = x2 – 3x + 4,25 55. y = 16x – 50 – x2 2 44. y = x + 5x 56. y = 2⋅(x+3)⋅(x–1) 45. y = 2x2 + 6x + 7 57. y = –0,5⋅(x+5)⋅(x–3) 46. y = 3x2 – 6x + 4 58. y = –(x+2)⋅(x–4) C.) Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket megfelelő átalakítás után! Alkalmazzuk a tanult abszolútérték- ill. egészrész- törtrész- és előjelfüggvény-transzformációt!

59. 60. 61. 62. 63.

y = |x2 – 4x + 3| y = sgn(x2 + 6x + 5) y = |5 + 2x – x2| y = |–x2 + 2x| y=

64. 65. 66. 67. 68.

x3 − 4 x 2 + 2 x x

y = ||x2–4x|–3| y = sgn(x2 + 8x) y = {(0,125x)2}; alaphalmaz: [–10; 10] y = [(0,125x)2]; alaphalmaz: [–10; 10] y=

x3 + 1 + 3x x +1

A feladatok megoldásának ellenőrzése: Vizsgáld meg a kész grafikonokon a következőket: A kiszámított és a leolvasott zérushelyek egyeznek-e? A két kiszámított zérushely egyenlő távolságra van-e a szélsőérték helyétől? x = 0 helyettesítés esetén az y tengely és a grafikon közös pontjának számított és leolvasott értéke egyezik-é? A kapott grafikon egy tetszőlegesen kiválasztott rácspontjának koordinátáit az eredeti képletbe helyettesítve egyenlőséget kapunk-e? Ha mindezek rendben vannak, akkor nagy valószínűséggel az ábrázolás helyes.

III. Törtfüggvény

69. Másoljuk le az alábbi (törtfüggvény) grafikonokat a leckefüzetbe, írjuk fel a hozzárendelési szabályt, majd jellemezzük a függvényeket! b.)

a.) 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

c.)

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 1 2 3 4 5

-5 -4 -3 -2 -1 -2 -3 -4

y

5 4 3 2 1

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4 -3 -2 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10

y x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

70. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! f(x) = 6/(x+2) – 3

g(x) = –8/(x–5) – 2

h(x) = 4(x+6) – 3

k(x) = 3/(x+9) – 1

71. Alkalmas átalakítás után ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! a.) y = (x + 2)/x e.) y = (x + 8) / (x – 1) i.) y = 2x / (x – 1) m.) y = x / (x + 6)

b.) y = (x + 6)/x f.) y = (x – 3) / (x – 9) j.) y = (2x – 1) / (x – 4) n.) y = (x + 2) / (x + 10)

c.) y = (x+6) / (x+2) g.) y = (x + 2) / (x – 5) k.) y = (4x + 2) / (x – 1) o.) y = (2x – 3) / (x + 1)

d.) y = (x+4)/(x–1) h.) y = x / (x – 6) l.) y = (5x – 1) / (x – 7) p.) y = (3x –10) / (x – 2)

72. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő lyukas hiperbolákat! a.) y = 6/x + (x+2)/(x+2)

b.) y = (x2 + 3x) / (x2 – 5x)

c.) y=(x2+7x+12)/(x2–x–20) d.) y = (x2 + x – 6) / (x2 – x – 12)

IV. Abszolútérték függvény

73. Ábrázoljuk és jellemezzük a következő függvényeket! a.) y = |x + 2| – 1 e.) y = –|x + 1| + 2 i.) y = |3 + x| + 1

b.) y = |x – 9| – 3 f.) y = –3|x + 2| – 6 j.) y = |4 – x| + 2

c.) y = 2|x + 5| + 1 g.) y = –|2x + 4| – 1 k.) y = |–x – 5| – 3

d.) y = |x – 4| – 5 h.) y = –|x – 7| – 7 l.) y = |–10 + x| + 6

74. Az abszolútérték-transzformáció segítségével ábrázoljuk a következő függvényeket! a.) y = |x2 – 3| e.) y = |x2 – 4| – 1 i.) y = |x2 + 6x – 7|

b.) y = |6/x + 3| f.) y = |–8/x + 4| – 2 j.) y = |(2x + 3) / (x – 1)|

c.) y = | |x| – 2| g.) y = | |x| – 4| – 1 k.) y = | | |x+2| – 3| – 2|

d.) y = |x3 – 1| h.) y = |{x} – 1/2| l.) y = |x2 + 4x + 3| – 2

75. A grafikus ill. a táblázatos összegzés segítségével ábrázoljuk a következő függvényeket! a.) y = |x+1| + |x–3| e.) y = |x| + 0,5x i.) y = |x+3| – |2–x|

b.) y = |x+4| + |x–2| f.) y = |x+2| – |x| j.) y = |x+7| + 2|x+1|

c.) y = |x+9| + |5–x| g.) y = |x–3| – |x–4| k.) y = 2|x–5| + 0,5|x–3|

d.) y = |–x+4| + |3–x| h.) y = |x+1| – |x+5| l.) y = |4–x| + 2|x–3| – x

m.) y = |2x+4| + |x–2| q.) y = |x+2| – |4–x| – 5 u.) y = |x–2|+|x–7|+|2x–10|

n.) y = |0,5x+1| – |3–2x| r.) y = |4x–2| + |8–2x| – 1 ü.) y = 3x – |x+2| – |x|

o.) y = |3x–6| – |2x–8| p.) y = |x| – |2x–4| + |x+3| s.) y = |2x+5| – x t.) y = |–2x+1| + x v.) y = 0,5x–|x+3|–|4–2x|–1 w.) y = |4+x| – |2+2x| – x – 3

V. Függvényábrázolással megoldható egyenletek Oldjuk meg a következő egyenleteket, ha az alaphalmaz a valós számok halmaza! 81. 81.H 6 8 +3= 2 x+ 2 −3 − 2 = −4 x − 3 + 6 x +1 x−2 82. x + 9 82.H x + 10 = x 2 + 10 x + 23 = x 2 − 2 x − 10 x+3 x−2 83. 83.H 1 2 2 x −1 −1 = x + 3 x + 2 = 2 x − 3 +1 3 3 84. 84.H 2 ⋅ x + 3 − 2 − 5 = x − 1 1 2 ⋅ x −1 − 2 + 1 = x + 2 3 85.H x − 3 + x − 9 − 15 = x + 2 − 3 − 4 85. x − 2 − x −1 +1 = x −1 − 3 −1 x3 = sgn (x − 1) + 1 x 6 = [x − 7] x

86.H

88.

2 ⋅ x − 1 − 2 − 2 = {x + 2005}

88.H

89.

6 x + 18

86. 87.

2

90.

=

x + 3x 8x = 7[x]

x −3 3

−2

87.H

89.H

−

6 − 2 = sgn (x + 3) x

6 = [x ] − 7 x 6 = [x ] − 5 x 8 x + 16 2

90.H

=

x + 2x 2x = 7{x}

x−2 2

−4

Függvénytan nagydolgozat feladatai: 1. feladat: egyenes és inverze – ábrázolás, jellemzés 2. feladat: másodfokú függvény – átalakítás, ábrázolás, jellemzés 3. feladat: törtfüggvény – átalakítás, ábrázolás, jellemzés 4. feladat: abszolútérték függvény – táblázat, ábrázolás, jellemzés 5-6. feladat: függvényábrázolással megoldható egyenlet (ld. 81-90. feladatok)

Függvénytan kérdések - 9. osztály 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25.

Mi(k) a függvénytan alapfogalma(i)? Mit nevezünk függvénynek? Alaphalmaz, képhalmaz, értelmezési tartomány, értékkészlet definíciói. Mit nevezünk kölcsönösen egyértelmű függvénynek? Mit nevezünk egy függvény inverzének? Mely függvényeknek létezik inverzük? Hogyan határozható meg (képletből, grafikonból)? Descartes-féle derékszögű koordinátarendszer (def., mire kell figyelni a felvételénél?) Függvények jellemzésének 5 lépése + a megjegyzések Mit értünk megállapodás szerint egy függvény ÉT-án, ha csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg? Függvény zérushelyének definíciója, kiszámítása. Mit jelent az, hogy egy függvény ÉT-ának egy részintervallumán szigorúan monoton növekedő / csökkenő? Mit jelent az, hogy egy függvény ÉT-ának egy részintervallumán monoton növekvő / csökkenő? Mit nevezünk egy függvény abszolút minimumának ill. maximumának? Mi a különbség a minimum helye és értéke között? Mit nevezünk egy függvény lokális minimumának ill. maximumának? Mi a polinom? Írd fel az egyváltozós polinom általános alakját! A fokszám definíciói (változó, tag, polinom fokszáma); az n-edfokú függvény definíciója A lineáris függvény definíciója, kapcsolata a nullad- és elsőfokú függvényekkel Az egyenes meredeksége (iránytényezője vagy iránytangense) Az elsőfokú függvény általános alakja. Mit jelentenek az m ill. b szimbólumok? A másodfokú függvény általános alakja. Polinom alak, szorzat alak, teljes négyzetté kiegészített alak. Másodfokú függvény képe, általános jellemzése Transzformációs szabályok Az abszolút érték definíciója; az abszolútérték-függvény grafikonja, általános jellemzése Függvények grafikus összegzése Lineáris törtfüggvény definíciója, képe, általános jellemzése Előjel-, egészrész- és törtrészfüggvény grafikonja és általános jellemzése Grafikus egyenletmegoldás módszere

Jó felkészülést!