FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

ˇ ´ VYSOKE ´ UCEN ˇ Í TECHNICKE ´ V PRAZE CESK E ´ FAKULTA ELEKTROTECHNICKA

´ PRACE ´ DIPLOMOVA Mˇ eˇ ren´ı na n´ aklonn´ em stolku

Praha, 2008

ˇ Autor: Martin Sipoˇ s

p

q

Anotace C´ılem této diplomové práce je návrh mˇeˇric´ıho systému náklon˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıho dvouosou elektrolytickou libelu. Mˇeˇren´ı u ´hl˚ u náklonu se pohybuje v rozsahu ±70◦ . Namˇeˇrené u ´daje budou dále zpracovány a odchylky od správn´ ych hodnot budou korigovány. Systém bude spolupracovat s dvouosou elektrolytickou libelou pro mˇeˇren´ı náklon˚ u v rozsahu ±20◦ . Propojen´ı tˇechto systém˚ u bude matematicky realizováno Kalmanov´ ym filtrem.

Annotation The goal of this diploma thesis is design of measuring system of tilts. This system uses dual axis electrolytic tilt sensor. Range of measured angles of tilts is ±70◦ . Measured data will be again processed and deviations from right values will be corrected. System will be cooperating with dual axis electrolytic tilt sensor for range ±20◦ . Cooperating of these systems will be solved mathematically by the Kalman filter.

Prohl´ aˇ sen´ı o samostatn´ em zpracov´ an´ı pr´ ace Prohlaˇsuji, ˇze jsem zadanou diplomovou práci ”Mˇeˇren´ı na náklonném stolku” vypracoval samostatnˇe a pouˇzil jsem pouze podklady (literaturu, projekty, software atd.) uvedené v pˇriloˇzeném seznamu. Nemám závaˇzn´ y d˚ uvod proti uˇzit´ı tohoto ˇskoln´ıho d´ıla ve smyslu § 60 Zákona ˇc.121/2000 Sb. , o právu autorském, o právech souvisej´ıc´ıch s právem autorsk´ ym a o zmˇenˇe nˇekter´ ych zákon˚ u (autorsk´ y zákon).

V Praze dne ..........................

Podpis .............................

Podˇ ekov´ an´ı Na tomto m´ıstˇe bych rád podˇekoval pˇredevˇs´ım své rodinˇe a sv´ ym bl´ızk´ ym za podporu, kterou mi poskytovali bˇehem celého studia. Dále bych chtˇel podˇekovat vedouc´ımu diplomové práce Ing. Janu Roháˇcovi, Ph.D. za ˇcetné pˇripom´ınky a návrhy.

OBSAH ´ 1 Uvod

9

2 Teoretick´ y rozbor 2.1

10

Senzory náklonu - elektrolytické libely . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1.1

Elektrické a mechanické vlastnosti senzoru . . . . . . . . . . . .

11

2.1.2

Princip ˇcinnosti jednoosého senzoru . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1.3

Princip ˇcinnosti dvouosého senzoru . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.1.4

Charakteristické parametry senzor˚ u náklonu . . . . . . . . . . .

15

2.2

Náklonn´ y stolek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Lagrangeova interpolace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4

Kalmanova filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.1

Princip adaptivn´ı filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4.2

Princip Kalmanovy filtrace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.4.3

Kalman˚ uv filtr pro lineárn´ı stochastick´ y systém . . . . . . . . .

22

2.4.4

Kalman˚ uv filtr pro nelineárn´ı stochastick´ y systém . . . . . . . .

25

2.4.5

Obecné vlastnosti Kalmanova filtru . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4.6

Bˇelic´ı filtr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Mˇ eˇ ric´ı modul MICRO 50-D70

33

3.1

Popis vybraného mˇeˇric´ıho modulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Vlastnosti elektrolytické libely SP5020-A-000 . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

V´ ystupn´ı data z mˇeˇric´ıho modulu a v´ ypoˇcet u ´hlu náklonu . . . . . . .

36

4 N´ avrh syst´ emu a popis ˇ reˇ sen´ı

38

4.1

Linearizace pˇrevodn´ı charakteristiky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

4.2

Aplikace Kalmanova filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.2.1

Mˇeˇren´ı driftu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.2.2

Návrh Kalmanova filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.2.3

V´ yvojov´ y diagram navrˇzeného programu . . . . . . . . . . . . .

48

5 Namˇ eˇ ren´ e pr˚ ubˇ ehy dat, grafy 5.1

51

Pr˚ ubˇehy Kalmanova filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

5.1.1

51

Pr˚ ubˇehy pro podéln´ y sklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1.2

Pr˚ ubˇehy pro pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

5.2

Odezva Kalmanova filtru na skokovou zmˇenu . . . . . . . . . . . . . . .

56

5.3

Teplotn´ı závislost mˇeˇric´ı jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

5.4

Závislost kˇr´ıˇzové vazby na u ´hlu náklonu . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.5

Mˇeˇren´ı hystereze mˇeˇric´ı jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.6

Software navrˇzen´ y pro mˇeˇren´ı charakteristik . . . . . . . . . . . . . . .

61

6 Zhodnocen´ı dosaˇ zen´ ych v´ ysledk˚ u

63

7 Z´ avˇ er

64

8 Pˇ r´ılohy

65

8.1

Pˇr´ıloha A - Fotodokumentace Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . .

65

8.2

Pˇr´ıloha B - Nákres a rozmˇery Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . .

65

8.3

Pˇr´ıloha C - Pˇrevodn´ı charakteristiky - podéln´ y sklon . . . . . . . . . .

66

8.4

Pˇr´ıloha D - Pˇrevodn´ı charakteristiky - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . . .

67

8.5

Pˇr´ıloha E - Funkce lran(x, P dSF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

8.6

Pˇr´ıloha F - M-file - v´ ypoˇcet KF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Literatura

73

Seznam obr´ azk˚ u

76

Seznam tabulek

78

Seznam pˇ r´ıloh

79

Obsah pˇ riloˇ zen´ eho CD

80

´ KAPITOLA 1. UVOD

1

9

´ UVOD Systémy pro automatické mˇeˇren´ı náklon˚ u jsou v souˇcasné dobˇe pouˇz´ıvány v mnoha

technick´ ych odvˇetv´ıch napˇr. ve stavebnictv´ı, v automobilovém a leteckém pr˚ umyslu, v námoˇrnictv´ı, pro satelitn´ı systémy a v mnoha dalˇs´ıch aplikac´ıch. Automatické mˇeˇren´ı náklon˚ u v dneˇsn´ı dobˇe zasahuje témˇeˇr do vˇsech technick´ ych odvˇetv´ı. V leteckém odvˇetv´ı se systémy pro mˇeˇren´ı náklon˚ u pouˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad: - pro testován´ı a kalibraci leteck´ ych pˇr´ıstroj˚ u a systém˚ u, - kalibraci systém˚ u inerciáln´ı navigace, - pro kontroln´ı a stabilizaˇcn´ı u ´ˇcely, - v trenaˇzerech a simulátorech, - na letiˇst´ıch v teleskopick´ ych mostech, - v gyroskopick´ ych systémech a dalˇs´ıch aplikac´ıch. C´ılem této diplomové práce je navrhnout pˇresn´ y systém pro mˇeˇren´ı náklon˚ u pomoc´ı elektrolytické libely v rozsahu u ´hl˚ u ±70◦ . Elektrolytická libela je senzor náklonu, kter´ y v závislosti na náklonu mˇen´ı ponor jednotliv´ ych elektrod. V´ ystupn´ı signál tohoto senzoru je u ´mˇern´ y u ´hlu naklonˇen´ı. Systém bude vyuˇz´ıván k mˇeˇren´ı podélného sklonu a pˇr´ıˇcného náklonu. Tento systém bude dále spolupracovat se systémem pro mˇeˇren´ı náklon˚ u pomoc´ı 3-osého akcelerometru a elektrolytické libely v rozsahu ±20◦ , jej´ıˇz u ´kolem je pˇresné urˇcen´ı vodorovné polohy. V´ ysledn´ y systém pro pˇresné mˇeˇren´ı náklon˚ u vznikne spojen´ım tˇr´ı náklonn´ ych systém˚ u, jejichˇz propojen´ı bude realizováno Kalmanov´ ym filtrem. Diplomová práce je ˇclenˇena do osmi kapitol vˇcetnˇe pˇr´ıloh a doplnˇena CD s namˇeˇren´ ymi daty, zdrojov´ ymi kódy a veˇskerou dokumentac´ı. V teoretickém rozboru je popsán princip elektrolytické libely, charakteristické vlastnosti senzor˚ u náklonu, Lagrangeovy interpolace a Kalmanovy filtrace. Tˇret´ı kapitolu tvoˇr´ı popis mˇeˇric´ı jednotky Micro 50-D70, vlastnosti samotného senˇ zoru náklonu a komunikace s mˇeˇric´ı jednotkou. Ctvrt´ a kapitola obsahuje návrh systému a popis ˇreˇsen´ı systému náklon˚ u, v páté kapitole jsou uvedeny namˇeˇrené pr˚ ubˇehy a závislosti. Zhodnocen´ı dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u a shrnut´ı návrhu systému pro mˇeˇren´ı náklon˚ u je popsáno ˇsesté v kapitole.

´ ROZBOR KAPITOLA 2. TEORETICKY

10

´ ROZBOR TEORETICKY

2 2.1

Senzory n´ aklonu - elektrolytick´ e libely

Elektrolytická libela je senzor, kter´ y je pouˇz´ıván k vyhodnocován´ı náklon˚ u. Podle konstrukˇcn´ıho uspoˇra´dán´ı senzoru jsou nab´ızeny r˚ uzné typy, které se liˇs´ı pˇredevˇs´ım rozsahem u ´hl˚ u, které je senzor schopen mˇeˇrit. Podle u ´ˇcelu vyuˇzit´ı jsou nab´ızeny senzory jednoosé a dvouosé. Rozsahy u ´hl˚ u, které je senzor schopen mˇeˇrit se pohybuj´ı v rozmez´ı od ±0, 25◦ do ±80◦ v závislosti na konstrukˇcn´ım proveden´ı senzoru. Na obr. 2.1 jsou zobrazeny jednoosé senzory pro mˇeˇren´ı náklon˚ u. Na obr. 2.2 vlevo je jednoos´ y senzor pro mˇeˇren´ı náklon˚ u. Pˇri uloˇzen´ı dvou jednoos´ ych senzor˚ u do dvouosého zapouzdˇren´ı, tvoˇr´ı dvouosou elektrolytickou libelu. Na obr. 2.2 vpravo je dvouos´ y senzor pro mˇeˇren´ı náklonu. Parametry pouˇz´ıvaného senzoru jsou uvedeny v kap. 3.

Obr. 2.1: Jednoosé elektrolytické libely

Obr. 2.2: Jednoosé a dvouosé elektrolytické libely

Tyto senzory jsou schopné mˇeˇrit velmi pˇresnˇe podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon, jejich v´ yhodami jsou n´ızká cena, opakovatelnost mˇeˇren´ı, spolehlivost, stabilita a


11

n´ızká spotˇreba energie. Elektrolytické senzory jsou schopné pracovat v nároˇcn´ ych podm´ınkách, ve kter´ ych je senzor vystaven velkému vlivu teploty a vlhkosti.

2.1.1

Elektrick´ e a mechanick´ e vlastnosti senzoru

Elektrolytick´ y senzor náklonu se chová jako odporov´ y potenciometr. Se zmˇenou náklonu docház´ı ke zmˇenˇe jeho impedance, která je u ´mˇerná u ´hlu naklonˇen´ı. Vlivem napájen´ı stˇr´ıdav´ ym signálem a deskov´ ym tvarem elektrod senzor kromˇe odporu také vykazuje kapacitu, kterou lze minimalizovat vhodnou volbou frekvence napájec´ıho signálu nebo vhodn´ ym pr˚ ubˇehem napájec´ıho napˇet´ı. Náhradn´ı obvod jednoosé elektrolytické libely je na obr. 2.3.

Obr. 2.3: Náhradn´ı obvod jednoosé elektrolytické libely

Elektrolytick´ y senzor náklonu mus´ı b´ yt napájen ze zdroje stˇr´ıdavého signálu. Pokud by byl senzor napájen stejnosmˇern´ ym napˇet´ım nebo proudem, doˇslo by mezi elektrodami k elektrol´ yze a deionizaci vodiv´ ych sol´ı v elektrolytu. Jak bylo v´ yˇse uvedeno, senzor se chová jako odporov´ y potenciometr. Je-li senzor buzen stˇr´ıdav´ ym proudem, je na v´ ystupu sn´ımáno stˇr´ıdavé napˇet´ı, které je u ´mˇerné u ´hlu naklonˇen´ı. Impedance senzoru se pohybuje v rozmez´ı 1 kΩ aˇz 10 kΩ. V souˇcasné dobˇe je v´ yhodnˇejˇs´ı pouˇz´ıt senzor s vyˇsˇs´ı impedanc´ı z d˚ uvod˚ u minimalizace nárok˚ u na v´ ykon napájec´ıho zdroje. Charakteristické vlastnosti elektrolytických senzor˚ u SP5000, udávané výrobcem Spectron Glass and Electronics Incorporated: - frekvence budic´ıho signálu f = 20 Hz ÷ 20 kHz, - velikost budic´ıho obdéln´ıkového, sinusového nebo pilovitého napˇet´ı U=5 VP P , - impedance senzoru Z = 1 kΩ ÷ 10 kΩ, - velikost budic´ıho proudu I = 0, 5 mA ÷ 1 mA, - blokován´ı budic´ıho signálu pomoc´ı tantalov´ ych kondenzátor˚ u.


12

Nejˇcastˇeji se pouˇz´ıvá zapojen´ı elektrolytického senzoru v m˚ ustkovém zapojen´ı, kdy senzor tvoˇr´ı jednu vˇetev Wheatstonova m˚ ustku. Senzor se skládá z nádobky vyrobené ze skla, které je velmi kˇrehké a nen´ı odolné v˚ uˇci namáhán´ı na tah, na druhou stranu je dobˇre odolné na tlak a na stˇrih. Podle rozsahu náklonu a rozliˇsen´ı se senzory vyrábˇej´ı v r˚ uzn´ ych konstrukˇcn´ıch uspoˇra´dán´ıch, které se od sebe liˇs´ı v´ yˇskou senzoru, vzdálenost´ı elektrod, mnoˇzstv´ım a sloˇzen´ım elektrolytu, tvarem sklenˇené nebo keramické nádobky senzor˚ u a dalˇs´ımi parametry. Napˇr´ıklad zmˇenou viskozity elektrolytu je senzor odolnˇejˇs´ı v˚ uˇci vibrac´ım, avˇsak dojde ke zhorˇsen´ı opakovatelnosti mˇeˇren´ı obzvláˇst’ pˇri velk´ ych náklonech vlivem ulp´ıván´ı kapaliny na stˇenách sklenˇené nádobky senzoru. U dvouos´ ych senzor˚ u jsou poˇzadavky na elektrolyt shodné, avˇsak je nav´ıc nutné brát v u ´vahu vazbu mezi navzájem na sebe kolm´ ymi osami citlivosti. V závislosti na typu senzoru, na typu jeho zapouzdˇren´ı a na jeho upevnˇen´ı je pro kaˇzd´ y typ senzoru definován jin´ y postup kalibrace. Vˇsechny senzory náklon˚ u na bázi elektrolytické kapaliny maj´ı omezen´ y rozsah u ´hl˚ u pouˇzitelnosti, kter´ y je menˇs´ı neˇz ±90◦ .

2.1.2

Princip ˇ cinnosti jednoos´ eho senzoru

Na obr. 2.4 je zobrazen jednoos´ y elektrolytick´ y senzor. Elektricky vodivá kapalina je hermeticky uzavˇrena ve sklenˇené nebo keramické nádobce. Dále se senzor skládá

Obr. 2.4: Jednoos´ y senzor pˇri nulovém náklonu


13

z kladné, záporné a spoleˇcné elektrody. Pˇri nulovém náklonu jsou obˇe elektrody ponoˇreny stejnˇe a tedy v´ ystupn´ı rozd´ılov´ y signál je nulov´ y. Na obr. 2.5 je senzor v naklonˇené poloze ve smˇeru osy citlivosti. Pˇri náklonu dojde ke zmenˇsen´ı ponoru jedné elektrody a ke zv´ yˇsen´ı ponoru druhé elektrody. V´ ystupn´ı signál je potom u ´mˇern´ yu ´hlu naklonˇen´ı. Z levé ˇcásti obr. 2.5 je patrné, ˇze dojde ke zmˇenˇe odporu, resp. impedance.

Obr. 2.5: Jednoos´ y senzor pˇri nulovém náklonu

2.1.3

Princip ˇ cinnosti dvouos´ eho senzoru

Dvouosé senzory náklonu maj´ı dvˇe dvojice elektrod, které jsou na sebe navzájem kolmé. Skládaj´ı se ze sklenˇené nádobky s pˇeti elektrodami, kde prostˇredn´ı elektroda je spoleˇcná. Zb´ yvaj´ıc´ı elektrody jsou dvˇe dvojice kladn´ ych a záporn´ ych elektrod. Principiáln´ı schéma je zobrazeno na obr. 2.6. Pˇri mˇeˇren´ı s dvouos´ ym senzorem se pouˇz´ıvaj´ı dva rozd´ılné zp˚ usoby napájen´ı a vyhodnocen´ı, aby mˇeˇren´ı bylo nezávislé. Prvn´ım z nich je buzen´ı pouze jedné osy v jednom ˇcasovém okamˇziku a buzen´ı druhé osy v dalˇs´ım ˇcasovém okamˇziku. Docház´ı tedy stˇr´ıdavˇe k pˇrep´ınán´ı mezi osami mˇeˇren´ı. Napájen´ı neaktivn´ı osy mˇeˇren´ı mus´ı b´ yt odpojeno. Nev´ yhodou tohoto zp˚ usobu vyhodnocen´ı je nutnost elektronického pˇrep´ınaˇce. V´ yhodami jsou menˇs´ı spotˇreba energie, moˇznost buzen´ı pouze mˇeˇrené osy náklonu. Pokud bude poˇzadováno mˇeˇren´ı pouze v jednom smˇeru náklonu, nemus´ı b´ yt buzena druhá osa mˇeˇren´ı.


14

Obr. 2.6: Princip dvouosého senzoru náklonu

Dalˇs´ı nespornou v´ yhodou je vˇetˇs´ı citlivost, nebot’ k mˇeˇren´ı se vyuˇz´ıvaj´ı elektrody um´ıstˇené diagonálnˇe, které maj´ı vˇetˇs´ı vzájemnou vzdálenost. Druh´ ym zp˚ usobem je buzen´ı dvˇemi frekvencemi, kdy druhá frekvence je dvojnásobkem prvn´ı frekvence. Vˇsechny ˇctyˇri elektrody jsou buzeny a ˇr´ızeny souˇcasnˇe a z budic´ıho signálu je odvozeno, která osa je právˇe mˇeˇrena. V´ yhodou druhého zp˚ usobu mˇeˇren´ı je jednoduchá implementace do dalˇs´ıho hardwaru. Tento zp˚ usob nevyˇzaduje pˇrep´ınán´ı a jeho ˇr´ızen´ı mikrokontrolerem. Princip mˇeˇren´ı t´ımto zp˚ usobem je patrn´ y z obr. 2.7. V levé ˇcásti je ukázán senzor náklonu s oznaˇcen´ım jednotliv´ ych elektrod, v pravé ˇca´sti je diagram, ve kterém je naznaˇceno buzen´ı jednotliv´ ych elektrod a smˇer pr˚ uchodu proudu elektrolytick´ ym senzorem. V prvn´ım kroku je buzena elektroda c a e, proud tekouc´ı senzorem smˇeˇruje od elektrod c a e k elektrodám a a d, v dalˇs´ıch kroc´ıch jsou buzeny dalˇs´ı dvojice elektrod, ˇc´ımˇz se mˇen´ı smˇer proudu, kter´ y je u ´mˇern´ yu ´hlu náklonu.


15

Obr. 2.7: Princip vyhodnocen´ı smˇeru náklonu

2.1.4

Charakteristick´ e parametry senzor˚ u n´ aklonu

Pˇri v´ ybˇeru senzoru a návrhu systému je d˚ uleˇzité uváˇzen´ı charakteristick´ ych parametr˚ u, které se pro jednotlivé typy senzor˚ u liˇs´ı v závislosti na tvaru a rozmˇeru senzoru, typu a mnoˇzstv´ı elektrolytu a rozmˇerech elektrod. Nepˇresnosti v´ yrobn´ıch technologi´ı, chyby metody a náhodné vnˇejˇs´ı vlivy zp˚ usobuj´ı chyby resp. nejistoty, které je potˇreba korigovat. Základn´ı parametry senzor˚ u náklonu: Statická pˇrevodn´ı charakteristika - funkˇcn´ı závislost y = f (x) mezi vstupn´ı veliˇcinou x a v´ ystupn´ı veliˇcinou y v ˇcasovˇe ustáleném stavu. Tuto závislost lze velmi ˇcasto popsat polynomem, viz. literatura [2] y = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn .

(2.1)

Celkový rozsah - nejvˇetˇs´ı u ´hel, kter´ y je jeˇstˇe senzor schopen mˇeˇrit. Lineárn´ı rozsah - maximáln´ı rozsah z celkového rozsahu, ve kterém je u ´mˇernost zmˇeny u ´hlu a zmˇeny v´ ystupn´ıho signálu konstantn´ı. Rozliˇsitelnost senzoru - dána hodnotou sn´ımané veliˇciny, pˇri n´ıˇz je na v´ ystupu senzoru signál odpov´ıdaj´ıc´ı smˇerodatné odchylce (efektivn´ı hodnotˇe) ˇsumu, viz. literatura [2]


16

Opakovatelnost senzoru - dána zmˇenou namˇeˇrené po návratu do stejného bodu zp˚ usobenou ˇcasovou zmˇenou charakteristiky nebo napˇr. mechanick´ ymi nepˇresnostmi. Offset (posuv nuly) - aditivn´ı chyba zp˚ usobená posunem jmenovité lineárn´ı charakteristiky (v nˇekter´ ych literaturách oznaˇcováno jako bias). Chyba linearity - dána odchylkou od ideáln´ı lineárn´ı charakteristiky, viz. literatura [2] δL =

y − yL ymax − ymin

!

,

(2.2)

max

kde yL - definována ideáln´ı lineárn´ı funkc´ı y = Kx nebo y = y0 + K1 x, ymin - minimáln´ı v´ ystupn´ı hodnota, ymax - maximáln´ı v´ ystupn´ı hodnota. Pˇresnost senzoru - maximáln´ı odchylka v´ ystupn´ıho signálu pˇri mˇeˇren´ı absolutn´ı hodnoty u ´hlu s uváˇzen´ım vˇsech nepˇr´ızniv´ ych vliv˚ u (nelinearita, teplotn´ı závislost, opakovatelnost, atd.) Pˇrevodn´ı konstanta - pomˇer v´ ystupn´ıho signálu a u ´hlu náklonu (jednotka/◦ ). Teplotn´ı koeficient pˇri nulovém náklonu - velikost zmˇeny v´ ystupn´ıho signálu vlivem zmˇeny teploty pˇri nulovém náklonu. Teplotn´ı koeficient - zmˇena v´ ystupn´ıho signálu pˇri zmˇenˇe teploty a nenulovém u ´hlu náklonu. Drift - neˇzádouc´ı nestabiln´ı ˇcinnost senzoru, zp˚ usobená zmˇenami jeho parametr˚ u, napˇr. kol´ısán´ı poˇzadovaného ustáleného stavu. Chyba typu ”Cross-Axis” - maximáln´ı dovolená odchylka, je-li je senzor naklánˇen ve smˇeru osy kolmé na osu necitlivosti. Neortogonalita - vzájemná kolmost 2, resp. 3 os v´ıceosého systému. Práh citlivosti - nejmenˇs´ı zmˇena vstupn´ı veliˇciny, která zp˚ usob´ı zmˇenu v´ ystupn´ı veliˇciny. Doba ustálen´ı - ˇcas, za kter´ y hodnota v´ ystupn´ıho signálu dosáhne 99-ti% ustálené hodnoty. Chyba hystereze [2] δL =

y↓ − y↑ ymax − ymin

!

, max

kde y↓ - v´ ystupn´ı hodnota signálu pˇri sniˇzován´ı náklonu, y↑ - v´ ystupn´ı hodnota signálu pˇri zvyˇsován´ı náklonu, ymin - minimáln´ı v´ ystupn´ı hodnota, ymax - maximáln´ı v´ ystupn´ı hodnota.

(2.3)


2.2

17

N´ aklonn´ y stolek

Náklonn´ y stolek je pouˇz´ıván pro nastaven´ı podélného sklonu a pˇr´ıˇcného náklonu a dále umoˇzn ˇuje rotaci okolo osy kolmé k vodorovné poloze. Stolek umoˇzn ˇuje náklon v rozsahu u ´hl˚ u -60◦ aˇz +60◦ pro podéln´ y sklon a -30◦ aˇz +30◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Na náklonném stolku m˚ uˇze b´ yt nastaven u ´hel s maximáln´ım rozliˇsen´ım 0, 1◦ pro obˇe osy náklonu. Náklonn´ y stolek je zobrazen na obr. 2.8.

Obr. 2.8: Náklonn´ y stolek

Pˇred mˇeˇren´ım je stolek nutné vyváˇzit do vodorovné polohy tˇremi nastaviteln´ ymi noˇziˇckami. Vodorovnou polohu lze nastavit r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby, napˇr. pouˇzit´ım pˇresn´ ych akcelerometr˚ u nebo pomoc´ı libel, které jsou souˇca´st´ı základny náklonného stolku. Stolek je vyroben z hlin´ıku, pro uchycen´ı senzor˚ u, mˇeˇric´ıch systému a jin´ ych zaˇr´ızen´ı jsou na desce stolku vyfrézovány u ćhytné dráˇzky.


2.3

18

Lagrangeova interpolace

Lagrangeova interpolace se pouˇz´ıvá v pˇr´ıpadech, kdy je poˇzadováno aproximovat funkci, která je dána sv´ ymi hodnotami v n+1 bodech xi = 0, 1, ..., n a je-li poˇzadováno, aby aproximace procházela zadan´ ymi body. Aproximac´ı jsou z´ıskány pˇribliˇzné hodnoty zadané funkce v libovolném bodˇe intervalu hx0 , xn i. Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom - jsou zadány body x0 ,...,xn a k nim funkˇcn´ı hodnoty y0 ,...,yn . Lagrange˚ uv interpolaˇcn´ı polynom Ln je polynom stupnˇe nejv´ yˇse n takov´ y, ˇze se jeho hodnota ve vˇsech bodech x0 ,...,xn rovná zadan´ ym funkˇcn´ım hodnotám y0 ,...,yn . Plat´ı tedy L0 (x0 ) = y0 , L1 (x1 ) = y1 ,...,Ln (xn ) = yn . Body x0 ,...,xn jsou naz´ yvány uzly interpolace. K sestrojen´ı Lagrangeova polynomu jsou definovány funkce Fi (x) tak, ˇze Fi (xj ) = 1 pro i = j, Fi (xj ) = 0 pro i 6= j. Tyto funkce maj´ı tvar: Fi (x) =

n Y (x − xj ) (x − x0 )...(x − xi−1 ) · (x − xx+1 )...(x − xn ) = (xi − x0 )...(xi − xi−1 ) · (xi − xi+1 )(xi − xn ) j=0,j6=i (xi − xj )

(2.4)

a polynom Ln (x) pak má tvar Ln (x) =

n X

yi (x) · Fi (x),

(2.5)

i=0

kde Fi (x) jsou Lagrangeovy interpolaˇcn´ı polynomy, yi (x) hodnoty vzork˚ u funkce.

2.4 2.4.1

Kalmanova filtrace Princip adaptivn´ı filtrace

Adaptivn´ı filtrace se vyuˇz´ıvá k vylouˇcen´ı vlivu ruˇsiv´ ych signál˚ u, hledán´ı silnˇe zaruˇsen´ ych harmonick´ ych signál˚ u, odstranˇen´ı b´ılého i barevného ˇsumu, zlepˇsen´ı pˇresnosti mˇeˇren´ı, k ˇr´ızen´ı a navigaci robot˚ u, k odhadu stavu v ˇcase k + 1 (pr˚ ubˇeh kˇrivky) ze stavu pˇredchoz´ıho. Princip adaptivn´ı filtrace je patrn´ y z obr. 2.9 pˇrevzatého z literatury [9].


19

Obr. 2.9: Model adaptivn´ıho filtru

Prvn´ım vstupem do filtru je smˇes uˇziteˇcného signálu a ˇsumu y(t) = s(t) + r(t), druh´ ym vstupem je referenˇcn´ı signál x(t), odpov´ıdaj´ıc´ı b´ılému ˇsumu s normáln´ım rozdˇelen´ım hustoty pravdˇepodobnosti. Metoda adaptivn´ı filtrace vycház´ı z vhodné u ´pravy tohoto referenˇcn´ıho signálu x(t) pomoc´ı ˇc´ıslicového filtru s koneˇcnou impulsn´ı odezvou a s koeficienty pˇrenosové funkce h(t). Funkce filtru vycház´ı z kritéria MMSE (minimum mean square error), tedy metoda minimalizuje stˇredn´ı hodnotu kvadrátu odchylky e2 (t). Podle literatury [9] plat´ı: E(e2 (t)) = E{(y(t) − yˆ(t))2 } = min.

(2.6)

Podle vztahu 2.7 se koeficienty pˇrenosové funkce filtru mˇen´ı v kaˇzdém kroku. h(t + 1) = h(t) − 2µe(t)x(t),

(2.7)

kde µ odpov´ıdá tzv. zes´ılen´ı, které popisuje váhu s jakou se projev´ı korekˇcn´ı v´ yraz ve zmˇenˇe koeficient˚ u pˇrenosové funkce. V ideáln´ım pˇr´ıpadˇe po ustálen´ı filtru plat´ı, ˇze pˇrenosová funkce v pˇredchoz´ım kroku je rovna pˇrenosové funkci v kroku následuj´ıc´ım h(t + 1) = h(t)

(2.8)

yˆ = r(t),

(2.9)

a plat´ı

kde r(t) odpov´ıdá ˇsumu mˇeˇren´ı.


2.4.2

20

Princip Kalmanovy filtrace

Klasick´ ym pˇr´ıkladem vyuˇzit´ı adaptivn´ı filtrace je Kalman˚ uv filtr. Kalman˚ uv filtr je nástroj - algoritmus, kter´ y se pouˇz´ıvá pro integraci dat z nˇekolika zdroj˚ u informac´ı tak, aby se zajistil nejlepˇs´ı odhad stavu resp. stav˚ u systému. Kalman˚ uv filtr vyuˇz´ıvá postupu optimáln´ıho LMMSE (Linear Minimum Mean Square Error) odhadu, kdy na základˇe daného kritéria a pozorován´ı vstup˚ u a v´ ystup˚ u lze odhadnou stav daného systému. Stavem systému rozum´ıme veliˇcinu nebo veliˇciny, které nejsou pˇr´ımo mˇeˇritelné a jejichˇz hodnoty neznáme. Kalmanova filtrace vycház´ı ze znalosti vnitˇrn´ıho popisu daného stochastického systému, na jehoˇz základˇe filtr odhaduje pˇri znalosti souˇcasného stavu stav budouc´ı. Stochastické systémy jsou dˇeleny na lineárn´ı ˇci nelineárn´ı a spojité nebo diskrétn´ı. Princip Kalmanovy filtrace vycház´ı ze základ˚ u statistického poˇctu. Kalman˚ uv filtr je sloˇzen z pˇeti krok˚ u, z nichˇz pro pochopen´ı principu filtrace je podstatn´ y krok v´ ypoˇctu Kalmanova zes´ılen´ı K. V následuj´ıc´ım postupu je struˇcnˇe odvozen v´ ypoˇcet matice zes´ılen´ı, podrobn´ y postup odvozen´ı je uveden v literatuˇre [10]. V´ ypoˇcet matice zes´ılen´ı si lze pˇredstavit jako pˇridˇelen´ı optimáln´ı váhy jednotliv´ ym mˇeˇren´ım v daném ˇcase. Necht’ x1 , x2 jsou nezávislé odhady náhodné veliˇciny x se stˇredn´ımi hodnotami Ehx1 i, Ehx2 i a rozptyly σ1 , σ2 , kde * 2

σ = E (ˆ x − Ehˆ xi)

+ 2

.

(2.10)

Nejlepˇs´ı odhad xˆ resp. minimáln´ı rozptyl σ 2 je z´ıskán váhován´ım xˆ = w1 · x1 + w2 · x2 ,

(2.11)

kde w1 , w2 jsou váhové koeficienty, pro které plat´ı w1 + w2 = 1. Pouˇzit´ım stˇredn´ıch hodnot lze rovnici 2.11 pˇrepsat do tvaru Ehˆ xi = w1 · Ehxˆ1 i + w2 · Ehxˆ2 i.

(2.12)

Protoˇze odhady x1 a x2 jsou nezávislé a (x1 − Ehx1 i), (x2 − Ehx2 i) jsou nekorelovatelné, plat´ı (x1 − Ehx1 i) · (x1 − Ehx1 i) = 0. Dosazen´ım vztahu 2.10 a substituc´ı w2 = w2 a w1 = (1 − w)2 vypl´ yvá vztah pro rozptyl náhodného vektoru x σ 2 = (1 − w)2 · σ12 + w2 · σ22 .

(2.13)


21

Hodnota váhového koeficientu w pro minimáln´ı rozptyl odhadu σ 2 je z´ıskána prvn´ı derivac´ı vztahu 2.13 podle váhy w dσ 2 = −2(1 − w) · σ12 + 2w · σ22 = 0. dw

(2.14)

Ze vztahu 2.14 vypl´ yvá optimáln´ı váha w w=

σ12 , σ12 + σ22

(2.15)

u ´pravami je z´ıskán optimáln´ı odhad xˆ σ22 · x1 + σ12 · x2 xˆ = σ12 + σ22

(2.16)

a jeho minimáln´ı rozptyl σ 2 :

σ12 · σ22 . (2.17) σ12 + σ22 V Kalmanovˇe filtru je z´ıskán nejlepˇs´ı odhad, kter´ y je v´ ysledkem z pˇredcházej´ıc´ıho σ2 =

nejlepˇs´ıho odhadu a mˇeˇren´ı. Na základˇe pˇredpokladu, ˇze x2 je odhad z´ıskan´ y z mˇeˇren´ı, kter´ y má zlepˇsit aktualizovan´ y odhad x1 , jsou z´ıskány následuj´ıc´ı v´ ysledné vztahy, kde vztah 2.18 pˇredstavuje rekurzi xˆ = x1 − w · (x1 − x2 ),

(2.18)

σ 2 = σ12 · (1 − w).

(2.19)

Ze vztah˚ u 2.18 a 2.19 plyne, ˇze odhad x a jeho rozptyl σ 2 jsou ovlivˇ nované mˇeˇren´ım x2 . V´ yˇse uvedené vztahy 2.10 aˇz 2.19 ilustruj´ı z´ıskán´ı hodnoty zes´ılen´ı, tuto u ´vahu nelze pˇr´ımo aplikovat na v´ıcerozmˇerné systémy. V následuj´ıc´ım postupu bude uveden pˇrevod odvozen´ ych rovnic do maticového tvaru. Necht’ x1 a x2 jsou n-rozmˇerné vektory, které maj´ı variance reprezentované kovarianˇcn´ımi maticemi P1 , P2 (rozmˇer matic P1 , P2 je n × n, I - jednotková matice rozmˇeru n × n), potom xˆ = x1 − W · (x1 − x2 ) = (I − W ) · x1 + W · x2 ,

(2.20)

kde W je váhová matice zaruˇcuj´ıc´ı jako v jednorozmˇerném pˇr´ıpadˇe minimáln´ı rozptyl. Ve vˇetˇsinˇe praktick´ ych aplikac´ı nen´ı rozmˇer vektoru odhad˚ u (n) stejn´ y, jako rozmˇer vektoru mˇeˇren´ı (m). Nˇekteré prvky vektoru mˇeˇren´ı jsou funkˇcnˇe závislé. Závislost mezi vektorem odhad˚ u a vektorem mˇeˇren´ı lze popsat pomoc´ı následuj´ıc´ıho vztahu (2.21), ve kterém matice C je naz´ yvána matic´ı mˇeˇren´ı o rozmˇeru (n × m), y2 je vektor mˇeˇren´ı. y 2 = C · x2

(2.21)


22

Pro vyjádˇren´ı optimáln´ıho odhadu xˆ vycház´ıme z prvn´ıho odhadu x1 s varianc´ı P1 a druhého odhadu y2 (= C · x2 ), jehoˇz varianci znaˇc´ıme R(= C · P2 ). Matice W (= C · H) se naz´ yvá váhová matice, kde K je doplˇ nuj´ıc´ı váhová matice. Potom plat´ı xˆ = x1 − K · C(x1 − x2 ) = x1 − K · (C · x1 − C · x2 ),

(2.22)

xˆ = x1 − K · (C · x1 − y2 ) = (I − K · C) · x1 + K · y2 .

(2.23)

Podobnˇe bude odvozena i variance odhadu xˆ, kterou oznaˇcujeme jako matici P . *

+ T

P = E (ˆ x − Ehˆ xi)(ˆ x − Ehˆ xi)

(2.24)

Substituc´ı a pˇredpokladem, ˇze x1 a y2 jsou nekorelované dostáváme vztah 2.25, kter´ y je odvozen v literatuˇre [10]. P = (I − K · C) · P1 · (I − K · C)T + K · R · K T

(2.25)

Pro z´ıskán´ı optimáln´ıho odhadu je nutné naj´ıt takovou váhovou matici K, aby minimalizovala diagonáln´ı prvky kovarianˇcn´ı matice P. Variance odhadu x jsou minimalizovány pˇri v´ ypoˇctu dle vztahu K = P1 · C T · (C · P1 · C T + R)−1 .

(2.26)

V´ ysledn´ y vztah pro v´ ypoˇcet Kalmanova zes´ılen´ı: Kk = Pk,k−1 · C T · (Ck · Pk,k−1 · C T + Rk )−1 .

(2.27)

Pro K vypoˇctené dle 2.27 je nejlepˇs´ı odhad xˆ veliˇciny x a variance P dána vztahy:

2.4.3

xˆ = x1 − K · (C · x1 − y2 )

(2.28)

P = P 1 − K · C · P1

(2.29)

Kalman˚ uv filtr pro line´ arn´ı stochastick´ y syst´ em

V dalˇs´ı ˇcásti bude rozebrán diskrétn´ı Kalman˚ uv filtr, kter´ y je v souˇcasné dobˇe preferován d´ıky dobré dostupnosti DSP procesor˚ u, které jsou schopny zpracovat velké mnoˇzstv´ı dat a jejichˇz návrh je optimalizován pro v´ ypoˇcetnˇe nároˇcné algoritmy. V´ ystup lineárn´ıho diskrétn´ıho stochastického systému je lineárn´ı funkc´ı stavového vektoru,


23

je popsán následuj´ıc´ımi rovnicemi 2.30 a 2.31, grafické znázornˇen´ı stavov´ ych rovnic (2.30) a (2.31) je uvedeno na obr. 2.10. x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) + v(k),

(2.30)

y(k) = Cx(k) + Du(k) + w(k),

(2.31)

kde x(k) - stavov´ y vektor, u(k) - vektor ˇr´ıdic´ıch veliˇcin, y(k) - vektor v´ ystupn´ıch veliˇcin, v(k), w(k) - poruchové veliˇciny odpov´ıdaj´ıc´ı ˇsumu procesu a mˇeˇren´ı, A, B, C, D - matice popisuj´ıc´ı dynamick´ y systém, k - celé ˇc´ıslo.

Obr. 2.10: Stavov´ y model dynamického systému

Poruchové veliˇciny v(k) a w(k) jsou v optimáln´ım pˇr´ıpadˇe povaˇzovány za nekorelované b´ılé ˇsumy s nulovou stˇredn´ı hodnotou a kovarianˇcn´ımi maticemi Q a R. Pokud poruchové veliˇciny nemaj´ı charakter b´ılého ˇsumu, je potˇreba pouˇz´ıt bˇelic´ıch filtr˚ u. v(k) ≈ N (0, Q); w(k) ≈ N (0, R) (



P (k) = E  

v(k) w(k)



)

 

v(k) W (k)



= 

(2.32) Q

S

ST R

  ,

(2.33)

kde P (k) je kovarianˇcn´ı matice. Matice S je nulová (S=0) v pˇr´ıpadˇe, ˇze se jedná o nekorelované ˇsumy.


24

Vyuˇzit´ım kritéria LMMSE (Linear Minimum Mean Square Error) (2.34) se urˇc´ı odhad stavového vektoru x(k + 1) a kovarianˇcn´ı matici chyb odhadu P (k + 1) JLM M SE = traceP (k),

(2.34)

kde trace znaˇc´ı stopu matice, která odpov´ıdá souˇctu prvk˚ u na diagonále. Algoritmus Kalmanovy filtrace je moˇzné rozdˇelit na ˇcasovou a datovou aktualizaci. Prvn´ı dva kroky Kalmanova cyklu se oznaˇcuj´ı jako ˇcasová aktualizace, je to odhad, kter´ y pˇredpokládá v´ yvoj resp. chován´ı v ˇcase k + 1. V okamˇziku, kdy jsou k dispozici reálná data mˇeˇren´ı se zaˇcne vykonávat korekce odhadu, nebo-li datová aktualizace. Datová aktualizace zahrnuje korekci odhadnutého stavového vektoru a korekci odhadnuté kovarianˇcn´ı matice na základˇe namˇeˇren´ ych hodnot. Datovou aktualizaci je moˇzné oznaˇcit jako filtraˇcn´ı krok. Pokud je k dispozici v´ıce namˇeˇren´ ych hodnot z v´ıce r˚ uzn´ ych senzor˚ u, je moˇzné pomoc´ı datové aktualizace svázat resp. provést f´ uzi senzor˚ u. Cykl Kalmanovy filtrace je znázornˇen na obr. 2.11.

Obr. 2.11: Cyklus Kalmanova filtru

Cykl Kalmanova filtru (obr. 2.11) lze popsat pomoc´ı následuj´ıc´ıho algoritmu v´ ypoˇctu: Inicializace: P (0) = P (0| − 1); xˆ(0) = xˆ(0| − 1); Q; R;

(2.35)


25

ˇ Casov´ a aktualizace - odhad xˆ(k + 1|k) = Aˆ x(k|k)

(2.36)

P (k + 1|k) = AP (k|k)AT + Q

(2.37)

K(k) = P (k|k − 1)C T (CP (k|k − 1)C T + R)−1

(2.38)

ˆ x|x(k) = xˆ(k|k − 1) + K(k)(y(k) − Cx(k|k − 1))

(2.39)

P (k|k) = P (k|k − 1) − K(k)(y(k) − Cx(k|k − 1))

(2.40)

Datová aktualizace:

V okamˇziku, kdy plat´ı, ˇze K(k) = K(k − 1) = konst. filtr dosáhne ustáleného stavu. Rovnice (2.36) aˇz (2.40) uvádˇej´ı pouze jeden pˇr´ıklad z moˇzn´ ych postup˚ u v´ ypoˇctu Kalmanova filtru. V pˇredchoz´ım odvozen´ı byly uvaˇzovány nekorelované b´ılé ˇsumy. Na obr. 2.12 je zobrazeno propojen´ı modelu dynamického stochastického systému a Kalmanova filtru (viz. literatura [9]).

Obr. 2.12: Souvislost Kalmanova filtru a modelu systému

2.4.4

Kalman˚ uv filtr pro neline´ arn´ı stochastick´ y syst´ em

Kalmanovy filtrace lze vyuˇz´ıt i u nelineárn´ıch stochastick´ ych systému, u kter´ ych je vˇsak nutné linearizaci parametr˚ u systému v okol´ı pracovn´ıho bodu.


26

Linearizovat parametry systému lze tˇremi r˚ uzn´ ymi metodami: - linearizace kolem nomináln´ı trajektorie, - linearizace kolem poˇc´ıtané trajektorie, - vyuˇzit´ı metody rozˇs´ıˇreného Kalmanova filtru (EKF - Extended Kalman Filter). Pod pojmem trajektorie je chápáno konkrétn´ı ˇreˇsen´ı dynamického stochastického systému. Pod pojmem nomináln´ı trajektorie je chápána trajektorie, která je z´ıskána ze situace, kdy uvaˇzované náhodné veliˇciny nab´ yvaj´ı oˇcekávan´ ych hodnot. Metody linearizace kolem nomináln´ı trajektorie a linearizace kolem poˇc´ıtané trajektorie jsou podrobnˇe i s odvozen´ım uvedeny v lit. [10]. V dalˇs´ım postupu je struˇcn´ y u ´vod do rozˇs´ıˇreného Kalmanova filtru. Rozˇ s´ıˇ ren´ y Kalman˚ uv filtr (EKF) Metody linearizace kolem nomináln´ı ˇci poˇc´ıtané trajektorie jsou obecnˇe jednoduˇsˇs´ı pro implementaci do systému poˇc´ıtaného v reálném ˇcase. Tyto metody jsou oproti metodˇe pouˇz´ıvané v rozˇs´ıˇreném Kalmanovˇe filtru ménˇe odolné v˚ uˇci nelineárn´ı aproximaci chyb. Rozˇs´ıˇren´ y Kalman˚ uv filtr oproti pˇredchoz´ım dvˇema metodám vyuˇz´ıvá jen lineárn´ı aproximace chyb vyhodnocen´ı stavového vektoru a tud´ıˇz aproximace se pohybuje v menˇs´ım rozmez´ı moˇzn´ ych hodnot. Linearizaˇcn´ı metody aproximuj´ı dané chyby vyhodnocen´ı stavového vektoru i odchylky jednotliv´ ych trajektori´ı od skuteˇcného pr˚ ubˇehu. V pˇr´ıpadˇe, ˇze pˇrechodová funkce mezi stavy f je spojitá i se sv´ ymi derivacemi je moˇzné tuto funkci popsat pomoc´ı Taylorova rozvoje. V rozˇs´ıˇreném Kalmanovˇe filtru lze vyˇsˇs´ı ˇrády rozvoje zanedbat a pouˇz´ıt Taylor˚ uv rozvoj 1.ˇra´du. Pokud je funkce mˇeˇren´ı h spojitá i se sv´ ymi derivacemi, postupuje se stejn´ ym zp˚ usobem, jako u funkce f a funkci mˇeˇren´ı téˇz popisujeme Taylorov´ ym rozvojem 1.ˇrádu. Rozˇs´ıˇren´ y Kalman˚ uv filtr se opˇet skládá z ˇcasové a datové aktualizace. Algoritmus bude popsán následuj´ıc´ımi rovnicemi (2.43) aˇz (2.50), podrobnˇejˇs´ı popis je moˇzné naj´ıt v literatuˇre [1] nebo [10]. Nelineárn´ı model systému a model mˇeˇren´ı: xk = f (xk−1 , k − 1) + wk−1 ,

(2.41)

yk = h(xk , k) + vk ,

(2.42)


27

kde wk ∼ N (0, Qk ), vk ∼ N (0, Rk ). Inicializace: x(0), P (0), Q, R ˇ Casov´ a aktualizace - odhad: 1.krok - linearizace

Φk−1

∂f (x, k − 1) ≈ ∂x x=ˆ xk−1

(2.43)

2.krok - odhad stavového vektoru xˆk,k−1 = f (ˆ xk−1 , k − 1)

(2.44)

3.krok - odhad kovarianˇcn´ı matice Pk,k−1 = Φk−1 · Pk−1 · ΦTk−1 + Qk−1

(2.45)

Datová aktualizace - korekce 4.krok - linearizace

∂h(x, k) Hk ≈ ∂x x=ˆxk−1

(2.46)

Kk = Pk,k−1 · HkT · (Hk · Pk,k−1 · HkT + Rk )−1

(2.47)

5.krok - v´ ypoˇcet matice zes´ılen´ı

6.krok - odhad vektoru mˇeˇren´ı yˆk,k−1 = h(ˆ xk,k−1 , k)

(2.48)

7.krok - aktualizace odhadnutého stavového vektoru na základˇe mˇeˇren´ı xˆ = xˆk,k−1 + Kk · (yk − yˆk,k−1 )

(2.49)

8.krok - aktualizace kovarianˇcn´ı matice Pk = (I − Kk · Hk ) · Pk,k−1 · (I − Kk · Hk )T + Kk · Rk · KkT , kde I - jednotková matice.

(2.50)


2.4.5

28

Obecn´ e vlastnosti Kalmanova filtru

- Kalman˚ uv filtr vykazuje nejmenˇs´ı hodnoty kovarianˇcn´ıch matic P z celé tˇr´ıdy odhad˚ u LMMSE i v pˇr´ıpadˇe, kdy v(k) a w(k) nemaj´ı normáln´ı rozdˇelen´ı hustoty pravdˇepodobnosti. - Kalman˚ uv filtr lze pouˇz´ıt i v pˇr´ıpadech, kdy matice A a C jsou ˇcasovˇe promˇenné. V takovém pˇr´ıpadˇe se filtr chová jako lineárn´ı systém s ˇcasovˇe promˇenn´ ym parametrem K. - V pˇr´ıpadˇe, kdy ˇsum procesu a mˇeˇren´ı nemaj´ı charakter nekorelovan´ ych b´ıl´ ych ˇsum˚ u, je nutné pouˇz´ıt ”bˇelic´ıch filtr˚ u”. - Proces odhadu je po nˇekolika kroc´ıch jen málo závisl´ y na poˇcáteˇcn´ıch hodnotách stavového vektoru x a kovarianˇcn´ı matice P (0). Poˇca´teˇcn´ı podm´ınky mohou m´ıt libovolné hodnoty, avˇsak poˇcáteˇcn´ı podm´ınky ovlivˇ nuj´ı rychlost ustálen´ı Kalmanova filtru. - Splˇ nuj´ı-li ruˇsivé náhodné veliˇciny v(k) a w(k) podm´ınku stacionarity, Kalmanovo zes´ılen´ı K po urˇcitém poˇctu iterac´ı dosahuje ustálené hodnoty. - Kalmanovo zes´ılen´ı je u ´mˇerné pomˇeru Q/R, ˇcemuˇz je u ´mˇerná i rychlost reakce Kalmanova filtru.

2.4.6

Bˇ elic´ı filtr

V pˇredchoz´ıch kapitolách bylo uvedeno, ˇze Kalman˚ uv filtr pˇredpokládá, ˇze uˇziteˇcn´ y signál bude ruˇsen b´ıl´ ym ˇsumem. Vˇetˇsinou vˇsak poruchová veliˇcina nemá charakter b´ılého Gaussovského ˇsumu. V takov´ ych pˇr´ıpadech se pouˇz´ıvá ke zjiˇstˇen´ı charakteru a rozloˇzen´ı v´ ykonu ˇsumu spektráln´ı v´ ykonová hustota (PSD) nebo autokorelaˇcn´ı funkce (Ψ) vycházej´ıc´ı z reáln´ ych namˇeˇren´ ych dat, pomoc´ı kter´ ych se vytvoˇr´ı pˇr´ısluˇsn´ y model poruchové veliˇciny (ˇsumu) pouˇzit´ım diferenciáln´ıch rovnic. Tyto modely se naz´ yvaj´ı bˇelic´ı filtry (shaping filters). Vstupem do tˇechto filtr˚ u je b´ıl´ y ˇsum, kter´ y je dále tvarován tak, aby charakterizoval spektrum reálného systému. Autokorelaˇcn´ı funkce (2.51) a spektráln´ı v´ ykonová hustota (2.52) signálu x(t) jsou definovány pomoc´ı Fourierovy transformace jako: Ψx (τ ) = E[x(t)x(t + τ )]

(2.51)

´ ROZBOR KAPITOLA 2. TEORETICKY Ψx (ω) =

Z ∞ −∞

29

Ψx (τ ) · e−jωτ dτ

(2.52)

Náhodné procesy mohou b´ yt podle jejich spektráln´ıch hustot rozdˇeleny na b´ıl´ y ˇsum, ˇsum typu ”Random Walk”, náhodná konstanta, exponenciálnˇe korelovan´ y ˇsum 1. ˇra´du Gauss-Markova procesu, harmonick´ y ˇsum a nebo kombinace pˇredchoz´ıch. Na obr. 2.13 (viz. literatura [12]) jsou principiálnˇe ukázány spektráln´ı v´ ykonové hustoty jednotliv´ ych ˇsum˚ u. Zaˇrazen´ım bˇelic´ıho filtru ˇsumu do Kalmanova filtru je umoˇznˇeno ovlivˇ novat jeho frekvenˇcn´ı vlastnosti. Nˇekdy se proto pˇredpokládá, ˇze ˇsum je barevn´ y, aby byl potlaˇcen vliv poruch sp´ıˇse deterministického charakteru, napˇr. poruch typu skok nebo vliv harmonick´ ych poruch. V tab.2.1 jsou uvedeny stavové popisy a modely jednotliv´ ych bˇelic´ıch filtr˚ u pro nejˇcastˇeji pouˇz´ıvané typy ruˇsiv´ ych signál˚ u, kde σ - smˇerodatná odchylka, δ - Kroneckerova konstanta, P - kovarianˇcn´ı matice, k - diskrétn´ı ˇcas. Tab. 2.1: Rovnice bˇelic´ıch filtr˚ u

Autokorelaˇcn´ı funkce Ψx Typ ˇsumu B´ıl´ y ˇsum

Stavov´ y popis a model

Spektr´ aln´ı v´ ykonov´ a hustota Ψx

Spojit´ y ˇcas

2 2

Ψx (τ ) = σ δ (τ ) Ψx (ω) = σ

Diskrétn´ı ˇcas

Vˇzdy povaˇzován

2

za b´ıl´ y ˇsum

Random

Ψx (τ ) = nedefinováno

x˙ = w(t)

xk = xk−1 + wk−1

walk

Ψx (ω) ∝ σ 2 /ω 2

σx2 (0) = 0

σx2 (0) = 0

Random

Ψx (τ ) = σ 2

x˙ = 0

xk = xk−1

constant

2

Ψx (ω) = 2πσ (ω)/ω

2

σx2 (0)

=σ

2

σx2 (0) = σ 2

Ψx (τ ) = σ 2 cos(ω0 τ )  Harmonick´ y

Ψx (τ ) = πσ 2 δ(ω − ω0 ) +πσ 2 δ(ω + ω0 )

Exponenci´ alnˇe korelovan´ y

Ψx (τ ) = σ 2 e−α|τ | Ψx (ω) =

x˙ = 

0

1

−ω02

0



 x P (0) = 

√ x˙ = −αx + σ 2αw(t)

α

2σ α ω 2 +α2

σ 2 (0) = σ 2



σ2

0

0

0

pth ˇr´ ad GM Ψx (τ ) = σ 2 e−αp |τ |

Pp−1

n=0



xk = e−α xk−1 p +σ 1 − e−1α wk−1 σx2 (0) = σx2

procesu



(p−1)!(2αp |τ |)p−n−1 (p+n+1)! (2p−2)!n!(p−n−1)!


30

Obr. 2.13: Spektráln´ı v´ ykonové hustoty r˚ uzn´ ych typ˚ u ˇsum˚ u

Bˇ elic´ı filtr pro ˇ sum procesu Stavové rovnice 2.53 a 2.54 systému, do kterého vstupuje barevn´ y ˇsum procesu w1 jsou: x(t) ˙ = F (t)x(t) + G(t)w1 (t),

(2.53)

z(t) = H(t)x(t) + v(t),

(2.54)

kde x(t) - stavov´ y vektor, z(t) - vektor mˇeˇren´ı, F (t) - matice systému, H(t) - matice mˇeˇren´ı, G(t) - matice ˇsumu procesu, v(t) - b´ıl´ y ˇsum s nulovou stˇredn´ı hodnotou, w1 (t) - barevn´ y ˇsum procesu.

Barevn´ y ˇsum procesu w1 je modelován lineárn´ım bˇelic´ım filtrem, jehoˇz vstupem je b´ıl´ y ˇsum w2 . Stavov´ y model bˇelic´ıho filtru je popsán rovnicemi 2.55 a 2.56, kde SF


31

oznaˇcuje bˇelic´ı filtr: x˙ SF (t) = FSF (t)xSF (t) + GSF (t)w2 (t),

(2.55)

w1 (t) = HSF (t)xSF (t).

(2.56)

Rozˇs´ıˇren´ y stavov´ y vektor je sloˇzen z p˚ uvodn´ıho stavového vektoru x(t) a ze stavového vektoru xSF (t) pro bˇelic´ı filtr. Rozˇs´ıˇren´ım z´ıskáme následuj´ıc´ı vztah pro nov´ y stavov´ y vektor X(t): X(t) = [x(t) xSF (t)]T .

(2.57)

Rovnice 2.53 aˇz 2.57 jsou pˇrepsány do následuj´ıc´ı maticové podoby: 













˙ 0  x(t)   F (t) G(t)HSF (t)   x(t)   0   =  +  w2 (t), x˙ SF (t) 0 FSF (t) xSF (t) 0 GSF (t) ˙ X(t) = FT (t)X(t) + GT (t)w2 (t).

(2.58)

(2.59)

Ve vztahu 2.58 se matice FT skládá z matice p˚ uvodn´ıho systému F (t) a z matice bˇelic´ıho filtru FSF (t). Prvek G(t)HSF (t) matice FT je z´ıskán z rovnic 2.53 a 2.56. Rovnice 2.54 je pˇrepsána do následuj´ıc´ı podoby: 

z(t) =

H(t) 0



 x(t)    = HT (t)X(t) + v(t). xSF (t)

(2.60)

Bˇ elic´ı filtr pro ˇ sum mˇ eˇ ren´ı Stavové rovnice 2.61 a 2.62 systému, do kterého vstupuje barevn´ y ˇsum mˇeˇren´ı v1 jsou: x(t) ˙ = F (t)x(t) + G(t)w(t),

(2.61)

z(t) = H(t)x(t) + v1 (t),

(2.62)

kde x(t) - stavov´ y vektor, z(t) - vektor mˇeˇren´ı, F (t) - matice systému, H(t) - matice mˇeˇren´ı, G(t) - matice ˇsumu procesu, v1 (t) - barevn´ y ˇsum mˇeˇren´ı.


32

Barevn´ y ˇsum mˇeˇren´ı v1 je modelován lineárn´ım bˇelic´ım filtrem, jehoˇz vstupem je b´ıl´ y ˇsum v2 . Stavov´ y model bˇelic´ıho filtru je popsán rovnicemi 2.63 a 2.64, kde SF oznaˇcuje bˇelicé filtr: x˙ SF (t) = FSF (t)xSF (t) + GSF (t)v2 (t),

(2.63)

v1 (t) = HSF (t)xSF (t).

(2.64)

Nov´ y stavov´ y vektor X(t) = [x(t) xSF (t)]T je opˇet z´ıskán rozˇs´ıˇren´ım stavového vektoru x(t). Pˇrepsán´ım rovnic 2.61 aˇz 2.64 do maticové podoby je z´ıskán následuj´ıc´ı stavov´ y popis: 















˙ 0 0  x(t)  F (t)    x(t)   G(t)   w(t)   =  +  , x˙ SF (t) 0 FSF (t) xSF (t) 0 GSF (t) v2 (t) 



z(t) =

H(t) HSF (t)

 

(2.65)

x(t)  . xSF (t)

(2.66)

Pro pˇreveden´ı spojitého modelu systému do diskrétn´ıho se pouˇz´ıvá Van Loanova metoda, která je podrobnˇe popsána v literatuˇre [10].

ˇ RIC ˇ Í MODUL MICRO 50-D70 KAPITOLA 3. ME

33

ˇ RIC ˇ Í MODUL MICRO 50-D70 ME

3

V této kapitole bude popsán mˇeˇric´ı modul Micro 50-D70, kter´ y byl vybrán jako mˇeˇric´ı jednotka pro mˇeˇren´ı náklon˚ u. Mˇeˇric´ı systém je zobrazen na obr. 3.1.

Obr. 3.1: Meˇr´ıc´ı modul Micro 50-D70

3.1

Popis vybran´ eho mˇ eˇ ric´ıho modulu

Mˇeˇric´ı modul Micro 50-D70 je vyrábˇen firmou Spectron Glass and Electronics Incorporated, která se zab´ yvá v´ yrobou senzor˚ u pro mˇeˇren´ı náklon˚ u. Jednotka je sloˇzena z dvouosé elektrolytické libely SP5020-A000, mikroprocesoru a 12-ti bitového pˇrevodn´ıku, komunikace je realizována pˇres rozhran´ı RS232. Charakteristické parametry udávané v´ yrobcem jsou uvedeny v tab. 3.1, byly pˇrevzaty z lit. [4]. Na obr. 3.2 je uvedeno blokové schéma mˇeˇric´ı jednotky, které se skládá z bloku napˇet’ové regulace, která upravuje a stabilizuje vstupn´ı napájec´ı napˇet´ı mˇeˇric´ıho modulu. Obvod je dále sloˇzen z mikroprocesoru PIC16F84, kter´ y zajiˇst’uje a komunikuje s elektrolytick´ ym senzorem, má ve své pamˇeti uloˇzené hodnoty kalibrac´ı offset˚ u, zap´ıná a vyp´ıná buzen´ı senzoru a zpracovává signál, kter´ y je digitalizován ve 12-ti bitovém A/D pˇrevodn´ıku. Zesilovaˇc LMC6484 upravuje signál pˇrijat´ y z elektrolytické libely na takovou hodnotu, aby bylo plnˇe vyuˇzito celého rozsahu A/D pˇrevodn´ıku.


34

Tab. 3.1: Parametry systému Micro 50-D70 Parametr

Hodnota udávaná v´ yrobcem

Vstupn´ı napˇet´ı

7 V ÷ 30 V

Vstupn´ı proud

5 mA pˇri 12 V

Doba ustálen´ı

500 ms

Teplotn´ı rozsah

-20◦ C ÷ 70◦ C

Teplotn´ı koeficient v nulové poloze

10”/◦ C

Teplotn´ı koeficient v celém rozsahu

0,1◦ /◦ C

Celkov´ y rozsah

± 60◦

Lineárn´ı rozsah

± 45◦

Rozliˇsen´ı A/D pˇrevodn´ıku ˇ odezvy Cas

12 bit˚ u

Frekvence hodin

10 MHz

25 ms

Obr. 3.2: Blokové schéma modulu Micro 50-D70

Jak bylo uvedeno v´ yˇse, systém Micro 50-D70 pouˇz´ıvá pro komunikaci rozhran´ı RS232. Zapojen´ı konektoru DB9 na mˇeˇric´ı jednotce a rozhran´ı v poˇc´ıtaˇci RS232 je


35

uvedeno v tab. 3.2 a), parametry rozhran´ı jsou jsou uvedeny v tab. 3.2 b). Tab. 3.2: Zapojen´ı konektoru DB9/RS232 a) Zapojen´ı konektoru DB9/RS232

b) Parametry RS232

Pin DB9

Popis

Pin RS232

Rychlost pˇrenosu

1

Nap. 7 V ÷ 30 V

nezapojen

Parita

2

Ground

5

3

V´ ystupn´ı data

3

Vstupn´ı pˇr´ıkazy

3.2

19200 bit/s nen´ı

2

Poˇcet bit˚ u ˇ ızen´ı toku R´

8 nen´ı

3

Stop bit

nen´ı

Vlastnosti elektrolytick´ e libely SP5020-A-000

Obecné vlastnosti elektrolytické libely, princip ˇcinnosti a charakteristické parametry byly uvedeny v kapitole 2. V této kapitole jsou uvedeny charakteristické parametry (tab. 3.3) elektrolytického senzoru náklonu SP5020-A-000 (obr. 3.3). Charakteristické parametry elektrolytické libely byly pˇrevzaty z literatury [5]. Tab. 3.3: Charakteristické parametry elektrolytické libely SP5020 Celkov´ y rozsah

±60◦

V´ ystupn´ı signál

0,10 V/”

Rozliˇsen´ı

0,01◦

Opakovatelnost

0,03◦

Nulová impedance (25◦ C)

2,2 kΩ

Doba ustálen´ı (25◦ C)

240 ms

Doba ustálen´ı (80◦ C)

240 ms

Doba ustálen´ı (-40◦ C)

240 ms

Kˇr´ıˇzová vazba (15◦ )

1,3◦


2,7◦


4,5◦

Odchylka od nulové hodnoty za 12 hodin (15◦ C)

0,04◦

Teplotn´ı rozsah

-40◦ C ÷ 80◦ C


36

Obr. 3.3: Elektrolytická libela SP5000

3.3

V´ ystupn´ı data z mˇ eˇ ric´ıho modulu a v´ ypoˇ cet u ´ hlu n´ aklonu

V této kapitole je uveden zp˚ usob a pˇr´ıkazy komunikace po RS232. Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem ovládán´ı je komunikace pomoc´ı hyperterminálu, avˇsak v´ yhodnˇejˇs´ı pro zpracován´ı dat je pouˇzit´ı jin´ ych program˚ u, které umoˇzn ˇuj´ı komunikaci po sériové lince. Pˇr´ıkazy pro komunikaci: A - Resetován´ı systému, po resetován´ı systému je mˇeˇric´ım systémem odeslán znak ’R’. B, C - Pˇr´ıkaz pro odmˇer podélného sklonu resp. pˇr´ıˇcného náklonu. Systém odeˇsle do poˇc´ıtaˇce 4 slova (byte). Prvn´ı 3 slova reprezentuj´ı u ´hel v hexadecimáln´ım tvaru, posledn´ı slovo je odˇra´dkován´ı. D - Pˇr´ıkaz pro odmˇer teploty, pouˇz´ıvan´ y v pˇr´ıpadˇe pˇripojen´ı teplotn´ıho senzoru k mˇeˇric´ımu systému. F - Pokud mˇeˇric´ı jednotka pˇrijme znak ’F’, vypne buzen´ı senzoru a uloˇz´ı do pamˇeti jednotky 4 znaky offsetu pro podéln´ y sklon, dalˇs´ı 4 znaky pro pˇr´ıˇcn´ y náklon a posledn´ı 4 znaky pro korekci offsetu mˇeˇrené teploty. Po uloˇzen´ı nastaven´ ych hodnot ve tvaru ”F000100010001” jednotka restartuje buzen´ı senzoru a odeˇsle uˇzivateli znak ’R’. Jednotka mˇeˇr´ı správn´ yu ´hel po uplynut´ı 20-ti vteˇrin po opˇetovném zapnut´ı buzen´ı, coˇz je ekvivalentn´ı vypnut´ı a opˇetovnému zapnut´ı senzoru. H - Po pˇrijet´ı znaku ’H’ jednotka odeˇsle uˇzivateli hodnoty offsetu pro podéln´ y náklon,


37

pˇr´ıˇcn´ y náklon a teplotu. I - vyp´ıná buzen´ı mikroprocesoru. Jednotka mˇeˇr´ı správnˇe u ´hel po uplynut´ı 20 vteˇrin. Výpoˇcet u ´hlu náklonu: α = (ydes − ynull ) · KP ,

(3.1)

kde α - u ´hel náklonu (◦ ), ydes - des´ıtkové ˇc´ıslo, pˇrijaté od mˇeˇric´ı jednotky po pˇrevodu z hexadecimáln´ı do des´ıtkové soustavy (-), ynull - v´ yrobcem definovaná des´ıtková hodnota, která urˇcuje v´ ystupn´ı hodnotu ydes pˇri nulovém náklonu. Pro tento typ senzoru náklonu ynull = 2048 KP - pˇrevodn´ı konstanta, udávaná v´ yrobcem pro jednotlivé typy senzor˚ u náklon˚ u (jiné znaˇcen´ı - SF). Linearizaˇcn´ı polynom udávaný výrobcem: 3 ylin = −0, 000000004ydes + 0, 00468ydes ,

kde ylin je linearizovan´ yu ´hel, ydes jsou v´ ystupn´ı nelinearizovaná des´ıtková data.

(3.2)

´ ´ ˇ SEN ˇ Í KAPITOLA 4. NAVRH SYSTEMU A POPIS RE

4

38

´ ´ ˇ SEN ˇ Í NAVRH SYSTEMU A POPIS RE V této kapitole je rozebrán návrh mˇeˇric´ıho systému náklon˚ u. Na obr. 4.1 je zob-

razeno blokové schéma mˇeˇric´ıho systému. Blok pro zpracován´ı pˇr´ıˇcného náklonu je identick´ y, jako blok pro zpracován´ı podélného náklonu.

Obr. 4.1: Blokové schéma systému pro mˇeˇren´ı náklonu

Od mˇeˇric´ı jednotky na obr. 4.1 jsou pˇrijata data v hexadecimáln´ım tvaru pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon. Data jsou pˇrevedena do des´ıtkové soustavy. Tato data jsou vstupn´ımi hodnotami pro v´ ypoˇcet Lagrangeovy interpolace, pomoc´ı které je vypoˇctena korekce pˇrevodn´ı konstanty KP a následnˇe vstupuj´ı do Kalmanova filtru. Od des´ıtkov´ ych dat se v druhé vˇetvi ˇreˇsen´ı odeˇcte bias, des´ıtková hodnota 2048,


39

pomoc´ı které je nastaveno, aby pˇri nulovém náklonu byla des´ıtková hodnota rovna nule. Tyto data dále vstupuj´ı do Kalmanova filtru, ve kterém je proveden pˇrepoˇcet z des´ıtkov´ ych dat na u ´hly, f´ uze dat ze dvou senzor˚ u náklonu, filtrace namˇeˇren´ ych dat a linearizace pˇrevodn´ıch charakteristik obou senzor˚ u. V´ ystupn´ımi hodnotami systému jsou u ´hly pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon.

4.1

Linearizace pˇ revodn´ı charakteristiky

Mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70 vykazovala znaˇcné odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu pro podéln´ y sklon i pˇr´ıˇcn´ y náklon. Pˇrevodn´ı charakteristiky pro jednotlivé pˇrevodn´ı konstanty jsou zobrazeny na obr. 4.2 pro podéln´ y sklon a na obr. 4.3 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon.

Obr. 4.2: Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - podéln´ y sklon

Pˇri v´ ypoˇctu pˇrevodn´ı charakteristiky s pˇrevodn´ı konstantou udávanou v´ yrobcem (pr˚ ubˇeh KP - v´ yrobce) byly maximáln´ı odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu -13, 1◦ pro podéln´ y sklon a 13, 59◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Po konzultaci s v´ yrobcem bylo doporuˇceno pouˇz´ıt pro v´ ypoˇcet pˇrevodn´ı charakteristiky pˇrevodn´ı konstantu, která se vztahuje k u ´hlu 30◦ . Pˇrevodn´ı charakteristika s touto pˇrevodn´ı konstantou je oznaˇcena


40

”KP 30”. Pouˇzit´ım této pˇrevodn´ı konstanty byly zmenˇseny odchylky od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u. Maximáln´ı odchylka od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu pro podéln´ y sklon je 7, 31◦ , pro pˇr´ıˇcn´ y náklon 7, 84◦ .

Obr. 4.3: Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - pˇr´ıˇcn´ y náklon

Závislost odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu s pouˇzit´ım pˇrevodn´ı konstanty pˇri 30◦ je vynesena na obr. 4.4 pro podéln´ y sklon a obr. 4.5 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon, pr˚ ubˇehy jsou v horn´ı ˇca´sti graf˚ u a jsou oznaˇceny ”α bez lin.”. Tato pˇrevodn´ı charakteristika byla dále zlinearizována polynomem 3.ˇrádu podle vztahu 3.2, kter´ y je doporuˇcován v´ yrobcem. Maximáln´ı odchylky po linearizaci polynomem uvádˇen´ ym v´ yrobcem dosahovaly hodnot 7, 06◦ pro podéln´ y sklon a 7, 6◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Závislost odchylek od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u jsou vyneseny na obr. 4.4 pro podéln´ y sklon a obr. 4.5 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon, pr˚ ubˇehy jsou v horn´ı ˇcásti graf˚ u a jsou oznaˇceny ”α lin. spectron”. Z v´ yˇse uveden´ ych graf˚ u je zˇrejmé, ˇze odchylky od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u byly i pˇres postup doporuˇcovan´ y v´ yrobcem velké, proto musela b´ yt provedena linearizace, která v´ıce minimalizuje odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu.


Obr. 4.4: Závislosti odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu - podéln´ y náklon

Obr. 4.5: Závislosti odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu - pˇr´ıˇcn´ y náklon

41


42

Linearizace pˇrevodn´ı konstanty KP Vztah pro v´ ypoˇcet u ´hlu náklonu 3.1 byl upraven do následuj´ıc´ı podoby: α = (ydes − ynull ) · (KP + ∆KP ),

(4.1)

kde α - u ´hel náklonu (◦ C), ydes - des´ıtkové ˇc´ıslo, pˇrijaté od mˇeˇric´ı jednotky po pˇrevodu z hexadecimáln´ı do des´ıtkové soustavy (-), ynull - v´ yrobcem definovaná des´ıtková hodnota, která urˇcuje v´ ystupn´ı hodnotu ydes pˇri nulovém náklonu. Pro tento typ senzoru náklonu ynull = 2048. KP - pˇrevodn´ı konstanta, ∆KP - korekce pˇrevodn´ı konstanty KP . V´ ypoˇcet korekce pˇrevodn´ı konstanty je moˇzné vypoˇc´ıtat polynomem nebo pomoc´ı Lagrangeovy interpolace. Linearizace pˇrevodn´ı konstanty polynomem Prvn´ım zp˚ usobem v´ ypoˇctu korekce pˇrevodn´ı konstanty je v´ ypoˇcet pomoc´ı polynomu. Z namˇeˇrené pˇrevodn´ı charakteristiky byla vypoˇctena pˇrevodn´ı konstanta, pro kterou se skuteˇcná charakteristika nejv´ıce bl´ıˇzila lineárn´ı. V dalˇs´ım kroku byly vypoˇcteny skuteˇcné hodnoty pˇrevodn´ıch konstant a jejich odchylky od pˇrevodn´ı konstanty, pro kterou se pˇrevodn´ı charakteristika nejv´ıce bl´ıˇzila lineárn´ı, tedy od hodnoty pˇrevodn´ı konstanty pro 30◦ . Tyto odchylky byly vyneseny do grafu a dále aproximovány polynomy 2.ˇra´du (4.2) pro podéln´ y sklon a (4.3) pˇr´ıˇcn´ y náklon. ∆KP = 0, 1835α2 + 0, 2934α − 161, 71

(4.2)

∆KP = 0, 1762α2 + 0, 3103α − 127, 88

(4.3)

Linearizac´ı polynomem 2.ˇra´du se znaˇcnˇe zmenˇsily odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu. Maximáln´ı odchylka od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu je 0, 36◦ pro podéln´ y sklon a 0, 7◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Závislosti odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu jsou vyneseny na obr. 4.4 pro podéln´ y sklon a obr. 4.5 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon v doln´ıch ˇca´stech a jsou oznaˇceny ”α lin. pol.”. Zv´ yˇsen´ım ˇrádu polynomu na 3. stupeˇ n se odchylka od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu zmenˇsila o 0,1◦ pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon, ˇc´ımˇz byla zároveˇ n zv´ yˇsena v´ ypoˇcetn´ı nároˇcnost.


43

Linearizace pˇrevodn´ı konstanty Lagrangeovou interpolac´ı Druh´ ym zp˚ usobem je vytvoˇren´ı tabulky korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant, ze které se bude korekce pˇrevodn´ı konstanty ∆KP urˇcovat Lagrangeovou interpolac´ı, která byla probrána v kap. 2.3. Tabulka korekc´ı pˇrevodn´ı konstanty obsahuje 181 hodnot korekc´ı ∆KP , ze kter´ ych je správná hodnota interpolována Lagrangeov´ ym polynomem 3.ˇrádu. Lagrangeovou interpolac´ı bylo dosaˇzeno nejvyˇsˇs´ı pˇresnosti z pˇredchoz´ıch v´ ypoˇct˚ u linearizace. Maximáln´ı odchylka od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu je 0, 07◦ pro podéln´ y sklon a 0, 04◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Závislosti odchylek jsou vyneseny na obr. 4.4 pro podéln´ y sklon a obr. 4.5 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon v doln´ıch ˇca´stech a jsou oznaˇceny ”α lin. pol.”. Odchylky v´ yˇse uveden´ ych v´ ypoˇct˚ u jsou porovnány v tab. 4.1. V´ ypoˇcet Lagrangeovy interpolace byl realizován v prostˇred´ı Matlab 7.1 a m-file pro v´ ypoˇcet Lagrangeovy interpolace obsahuje pˇr´ıloha 8.5. V tab. 4.1 jsou uvedeny maximáln´ı odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon, odchylky jsou uvedeny pro záporné i kladné u ´hly náklonu. Tab. 4.1: Odchylky od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u pro jednotlivé metody linearizace Metoda

Podéln´ y náklon

Pˇr´ıˇcn´ y náklon

linearizace

max.(∆α) (◦ )

max.(∆α) (◦ )

Smˇer náklonu

α<0

α>0

α<0

α>0

Bez linearizace

-7,09

6,53

-8,62

5,87

Udávaná v´ yrobcem

-4,66

4,12

-6,11

3,49

Polynomem

-0,11

0,36

-0,70

0,24

Lagrange. interpol.

-0,07

0,07

-0,04

0,04

Z v´ yˇse uveden´ ych v´ ypoˇct˚ u linearizace byl jako nejvhodnˇejˇs´ı zvolen zp˚ usob, kde se korekce pˇrevodn´ı konstanty vypoˇcte Lagrangeovou interpolac´ı 3.ˇra´du. T´ımto zp˚ usobem bylo dosaˇzeno nejmenˇs´ıch odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu (tab. 4.1). V´ yhodou Lagrangeovy interpolace oproti linearizaci polynomem 2. resp. 3.ˇrádu je, ˇze odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu jsou rozloˇzeny rovnomˇernˇe okolo nulové hodnoty a maj´ı nulovou stˇredn´ı hodnotu. U linearizace polynomem je linearizaˇcn´ı polynom vypoˇcten z celé pˇrevodn´ı charakteristiky. Oproti tomu u Lagrangeovy interpolace se k v´ ypoˇctu korekce pˇrevodn´ı konstanty pouˇz´ıvá okol´ı pracovn´ıho bodu, proto se touto metodou dosahuje menˇs´ıch odchylek.


4.2

44

Aplikace Kalmanova filtru

Kalman˚ uv filtr byl teoreticky popsán v kap. 2.4.2, tato kapitola je zamˇeˇrena na návrh Kalmanova filtru. Návrh Kalmanova filtru byl realizován v programovac´ım prostˇred´ı Matlab 7.1, ve kterém byl vytvoˇren m-file, kter´ y bude popsán pozdˇeji a je obsaˇzen v pˇr´ıloze 8.6.

4.2.1

Mˇ eˇ ren´ı driftu

Aby bylo moˇzné urˇcit typ ˇsumu, kter´ ym je zat´ıˇzeno mˇeˇren´ı bylo nutné zmˇeˇrit drift senzoru. Drift byl mˇeˇren po dobu dvou hodin se vzorkovac´ı frekvenc´ı 10, 8 Hz pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon. Drift byl mˇeˇren pro podéln´ y sklon i pˇr´ıˇcn´ y náklon roven nule, ale i pro obecné náklony. Na obr. 4.6 je pr˚ ubˇeh driftu pro podéln´ y sklon, na obr. 4.7 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Des´ıtková data jsou vynesena v závislosti na poˇctu

Obr. 4.6: Drift, Spektráln´ı v´ ykonová hustota - podéln´ y sklon

namˇeˇren´ ych vzork˚ u. Ve spodn´ıch ˇcástech jsou spektráln´ı v´ ykonové hustoty, z jejichˇz pr˚ ubˇehu byl urˇcen charakter ˇsumu. Ze spektráln´ıch v´ ykonov´ ych hustot bylo urˇceno, ˇze poruchová veliˇcina, která ovlivˇ nuje mˇeˇren´ı má charakter exponenciálnˇe korelovaného ˇsumu. Spektráln´ı v´ ykonová hustota byla vypoˇctena pomoc´ı pˇr´ıkazu pwelch. Parametry exponenciálnˇe korelovaného ˇsumu byly vypoˇcteny z autokorelaˇcn´ı funkce.


45

Obr. 4.7: Drift, Spektráln´ı v´ ykonová hustota - pˇr´ıˇcn´ y náklon

4.2.2

N´ avrh Kalmanova filtru

V této kapitole je popsán model lineárn´ıho Kalmanova filtru, kter´ y bˇel´ı exponenciálnˇe korelovan´ y ˇsum mˇeˇren´ı. Kalman˚ uv filtr pro elektrolytické libely je zaloˇzen na odhadu konstanty, která je ovlivnˇena ˇsumem mˇeˇren´ı. V této kapitole bude pouˇzito znaˇcen´ı 1.senzor pro elektrolytickou libelu, která má rozsah u ´hl˚ u od -20◦ do 20◦ , 2.senzor pro elektrolytickou libelu s rozsahem u ´hl˚ u -45◦ aˇz 45◦ . Model exponenciálnˇe korelovaného ˇsumu je uveden v tab. 2.1. Parametry exponenciálnˇe korelovaného ˇsumu jsou AEK = 0, 8 a Qs = 0, 0475. Byly zjiˇstˇeny z pr˚ ubˇehu autokorelaˇcn´ı funkce. Doba korelace T = 270 s. Stavový vektor: x = [α dα1 dα2 β dβ1 dβ2 ]T , kde α - odhad podélného sklonu, dα1 - odhad driftu podélného sklonu od 1.senzoru, dα2 - odhad driftu podélného sklonu od 2.senzoru, β - odhad pˇr´ıˇcného náklonu, dα1 - odhad driftu pˇr´ıˇcného náklonu 1.senzoru, dα1 - odhad driftu pˇr´ıˇcného náklonu 2.senzoru.

(4.4)


46

Vektor mˇeˇren´ı: y = [y1 y2 y3 y4 ]T , kde y1 y2 y3 y4

-

jsou jsou jsou jsou

des´ıtková des´ıtková des´ıtková des´ıtková

data data data data

od od od od

1. 1. 2. 2.

senzoru senzoru senzoru senzoru

-

(4.5)

podéln´ y sklon, pˇr´ıˇcn´ y náklon, podéln´ y sklon, pˇr´ıˇcn´ y náklon.

Matice systému A a kovarianˇcn´ı matice modelu procesu Q (Qx = 10−9 ): 



1

0

0

0

0

0



     A=     

0

AEK

0

0

0

0

0

0

AEK

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

AEK

0

          , Q =           

0

0

0

0

0

AEK

Qx

0

0

Qs

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0



0

 0    Qs 0 0 0  ,  0 Qx 0 0   0 0 Qs 0   0 0 0 Qs 0

0

0

(4.6)

Matice mˇeˇren´ı C a kovarianˇcn´ı matice modelu ˇsumu R: 





R 0 0 SF EP 1 0 0 0 0   1      0 R2 0  0 0 0 SF ER 1 0     , R =  C=    0 R3 0 0 0   0  SF SP 0 1 

0

0 0 SF SR 0 1





0

0

0



0   0  

,

(4.7)

0   R4



kde SFEP - pˇrevodn´ı konstanta 1.senzoru - podéln´ y sklon, SFER - pˇrevodn´ı konstanta 1.senzoru - pˇr´ıˇcn´ y náklon, SFSP - pˇrevodn´ı konstanta 2.senzoru - podéln´ y sklon, SFSR - pˇrevodn´ı konstanta 2.senzoru - pˇr´ıˇcn´ y náklon, R1 , R2 , R3 , R4 - parametry kovarianˇcn´ı matice modelu mˇeˇren´ı vypoˇctené jako variance jednotliv´ ych namˇeˇren´ ych dat, resp. jejich drift˚ u, R = var(y). Matice mˇeˇren´ı je C je v kaˇzdém Kalmanovˇe cyklu promˇenná. Vzhledem k tomu, ˇze linearizace pˇrevodn´ı charakteristiky je vypoˇctena pomoc´ı polynomu, docházelo by ke zkreslen´ı charakteru ˇsumu. Proto se linearizuje bˇehem Kalmanova cyklu v promˇenné matici C. V kaˇzdém cyklu se vypoˇcte aktuáln´ı korekce pˇrevodn´ı konstanty, napˇr.: SF SP = KP 30 + ∆KP , kde KP 30 - pˇrevodn´ı konstanta pro 30◦ , ∆KP - korekce pˇrevodn´ı konstanty, vypoˇctená Lagrangeovou interpolac´ı.

(4.8)


47

V matici C, definované vztahem odpov´ıdaj´ı prvn´ı dva ˇrádky namˇeˇren´ ym dat˚ um od 1. senzoru, druhé dva ˇrádky odpov´ıdaj´ı dat˚ um namˇeˇren´ ym od 2. senzoru. Tato ˇcást je naz´ yvána f´ uz´ı dat ze dvou senzor˚ u. Tedy mˇeˇren´ı 2 senzor˚ u ovlivˇ nuje jeden odhad u ´hlu náklonu. Vyp´ınán´ı 1.senzoru: Vzhledem k tomu, ˇze 1.senzor náklonu má menˇs´ı rozsah neˇz 2.senzor, je nutné v pˇr´ıpadˇe, ˇze 1. senzor dosáhne saturace tento senzor neuvaˇzovat. V pˇr´ıpadˇe, ˇze se 1.senzor dostane do saturace jsou nastaveny odpov´ıdaj´ıc´ı prvky matice mˇeˇren´ı C na 0, ˇc´ımˇz data z tohoto senzoru neovlivˇ nuj´ı odhad u ´hlu. Odhad u ´hlu je závisl´ y pouze na namˇeˇren´ ych datech z 2.senzoru. Váhován´ı senzor˚ u: Elektrolytická libela s rozsahem -20◦ aˇz 20◦ je pˇresnˇejˇs´ı okolo vodorovné polohy neˇz elektrolytická libela s vˇetˇs´ım rozsahem, avˇsak na konci svého rozsahu -20◦ a 20◦ je pˇresnˇejˇs´ı 2.senzor náklonu. Z tohoto d˚ uvodu se provád´ı váhován´ı senzor˚ u, kdy podle u ´hlu náklonu jsou vˇerohodnˇejˇs´ı data z jednoho, nebo druhého senzoru. Váhován´ı se provád´ı pomoc´ı kovarianˇcn´ı matice modelu mˇeˇren´ı R dle vztah˚ u 4.9 pro podéln´ y sklon a 4.10 pro pˇr´ıˇcn´ y náklon, v tab. 4.2 jsou uvedeny hodnoty váhov´ ych koeficient˚ u pro jednotlivé intervaly náklon˚ u. Tab. 4.2: Váhové koeficienty pro intervaly u ´hl˚ u náklonu Interval u ´hl˚ u Váhov´ y koeficient w

(-45;-21) (-21;-6) (-6;6) (6;21) (21;45) 0,01

0,5

0,75

0,5

0,01

R1 = (wP )R1 , R3 = (1 − wP )R3 ,

(4.9)

R2 = (wR )R2 , R4 = (1 − wR )R4 ,

(4.10)

kde wP , wR - váhové koeficienty pro podéln´ y sklon, resp. pˇr´ıˇcn´ y náklon. Resetován´ı Kalmanova filtru: Kalman˚ uv filtr pro tuto aplikaci vycház´ı z odhadu konstanty, tud´ıˇz jeho reakce na zmˇenu náklonu, resp. zmˇenu namˇeˇren´ ych dat nen´ı dostateˇcnˇe rychlá a Kalman˚ uv filtr nen´ı schopen skokovou zmˇenu zachytit. Z tohoto d˚ uvodu je pˇri zmˇenˇe v´ ystupn´ıch


48

dat Kalman˚ uv filtr resetován. Resetován´ım jsou nastaveny nové poˇca´teˇcn´ı podm´ınky stavového vektoru x a kovarianˇcn´ı matice chyb odhadu P . Aby resetován´ı neprobˇehlo pˇri kaˇzdé zmˇenˇe v´ ystupn´ıch dat, je v kaˇzdém kroku sledováno 10 pˇredchoz´ıch vzork˚ u a pokud tyto vzorky maj´ı vˇetˇs´ı hodnotu neˇz je daná rozhodovac´ı u ´roveˇ n skoku, bude nastavena promˇenná, která signalizuje zmˇenu náklonu. Resetován´ı Kalmanova filtru je provedeno aˇz ve chv´ıli, kdy 15 pˇredchoz´ıch krok˚ u je menˇs´ıch, neˇz rozhodovac´ı u ´roveˇ n skoku, tedy ˇceká se, aˇz se pˇrestane mˇenit náklon. V tuto chv´ıli je Kalman˚ uv filtr resetován nastaven´ım nov´ ych poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek.

4.2.3

V´ yvojov´ y diagram navrˇ zen´ eho programu

Návrh Kalmanova filtru byl realizován v programovac´ım prostˇred´ı Matlab. M-file s v´ ypoˇcetem Kalmanova filtru je v pˇr´ıloze 8.6 a je souˇca´st´ı pˇriloˇzeného CD. Na obr. 4.8 je v´ yvojov´ y diagram navrˇzeného programu. Na zaˇca´tku programu je nastaven poˇcet vzork˚ u T , kter´ y udává poˇcet cykl˚ u Kalmanova filtru a souˇcasnˇe i délku dat, která budou zpracována. V dalˇs´ım kroku jsou naˇcteny ze soubor˚ u tabulky korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant ∆KP pro oba dva senzory náklonu. Korekce pˇrevodn´ı konstanty je pro podéln´ y sklon i pˇr´ıˇcn´ y náklon realizována vlastn´ı tabulkou korekc´ı. Ze soubor˚ u jsou naˇctena v dalˇs´ım kroku i namˇeˇrená data pro oba dva senzory náklonu a následnˇe jsou vybrána data, která odpov´ıdaj´ı u ´hl˚ um náklonu. Po naˇcten´ı soubor˚ u jsou definovány konstanty, které jsou pouˇzity bˇehem v´ ypoˇctu, jedná se o pˇrevodn´ı konstanty pˇri 30◦ a bias, kter´ y je roven hodnotˇe 2048. V dalˇs´ı ˇca´sti programu m˚ uˇze b´ yt vypoˇctena korekce pˇrevodn´ı konstanty 1.senzoru pomoc´ı polynomu 2. ˇra´du, nebo m˚ uˇze b´ yt pozdˇeji vypoˇctena Lagrangeovou interpolac´ı. Následuje odeˇcten´ı hodnoty biasu 2048, ˇc´ımˇz je definována nulová hodnota pro nulov´ y u ´hel náklonu, definice modelu systému - matice A, P , Q, I a nastaven´ı poˇca´teˇcn´ıch podm´ınek pro Kalman˚ uv cykl. Dalˇs´ı ˇcást´ı programu je Kalman˚ uv cykl. Pokud nebyla provedena linearizace pˇrevodn´ı charakteristiky polynomem, je v této ˇca´sti provedena Lagrangeovou interpolac´ı pro 1.senzor, pro 2.senzor je moˇzná pouze linearizace Lagrangeovou interpolac´ı, která je provedena v dalˇs´ım kroku. Lagrangeova interpolace je provádˇena v samostatné funkci lran(x, P dSF); pro 2.senzor, resp. lrank(x, P dSFe); pro 1.senzor, do které vstupuj´ı namˇeˇrená des´ıtková data a tabulka korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant.


Obr. 4.8: V´ yvojov´ y diagram programu

49


50

Funkce vrac´ı hlavn´ımu programu korekci pˇrevodn´ı konstanty ∆KP . V této funkci je pˇred samotn´ ym v´ ypoˇctem Lagrangeovy interpolace provádˇeno procházen´ı tabulky korekc´ı KP . Po v´ ypoˇctu korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant je provedena aktualizace matice mˇeˇren´ı C, vyhodnocena podm´ınka, zda nen´ı 1.senzor v saturaci a pokud ano, je vynulována pˇr´ısluˇsná ˇcást matice mˇeˇren´ı C. Pˇredposledn´ım krokem pˇred v´ ypoˇctem Kalmanov´ ych rovnic je otestován´ı, zda byla rozpoznána skoková zmˇena namˇeˇren´ ych dat, resp. zmˇena náklonu. V pˇr´ıpadˇe rozpoznán´ı zmˇeny náklonu je Kalman˚ uv filtr resetován. Posledn´ım krokem pˇred Kalmanov´ ymi rovnicemi je váhován´ı senzor˚ u, tedy v závislosti na u ´hlu náklonu je urˇceno, kter´ y senzor udává pˇresnˇejˇs´ı u ´daj o náklonu. Následuje datov´ y krok Kalmanova filtru, uloˇzen´ı hodnot a ˇcasov´ y krok. Po zpracován´ı vˇsech vzork˚ u nameˇren´ ych dat je cykl ukonˇcen a vykresleny grafy.

ˇ REN ˇ E ´ PRUB ˚ EHY ˇ KAPITOLA 5. NAME DAT, GRAFY

51

ˇ REN ˇ ´ PRUB ˚ EHY ˇ NAME E DAT, GRAFY

5 5.1

5.1.1

Pr˚ ubˇ ehy Kalmanova filtru Pr˚ ubˇ ehy pro pod´ eln´ y sklon

Na obr. 5.1 jsou zobrazeny pr˚ ubˇehy u ´hl˚ u od jednotliv´ ych senzor˚ u a odhad u ´hlu pomoc´ı Kalmanovy filtrace pro podéln´ y sklon. Tyto závislosti byly zmˇeˇreny pro kladn´ y smˇer náklonu, pro záporn´ y smˇer náklonu jsou namˇeˇrené pr˚ ubˇehy pˇriloˇzeny na CD. Data z mˇeˇric´ı jednotky byla mˇeˇrena se vzorkovac´ı frekvenc´ı 8, 3 Hz. Bˇehem mˇeˇren´ı bylo provedeno nˇekolik skokov´ ych zmˇen náklonu. Pro u ´hel 23◦ byl 1.senzor v saturaci au ´hel náklonu byl dále odhadován pouze z 2.senzoru.

Obr. 5.1: Závislost namˇeˇren´ ych u ´hl˚ u a odhadu u ´hlu - podéln´ y sklon

Na obr. 5.2 je ukázka pr˚ ubˇehu namˇeˇren´ ych dat z 2.senzoru, odhad u ´hlu Kalmanovou filtrac´ı a referenˇcn´ı hodnota u ´hlu 10, 05◦ . Na obr. 5.3 jsou pr˚ ubˇehy namˇeˇren´ ych dat z obou senzor˚ u, referenˇcn´ı hodnota a odhad u ´hlu, kter´ y vycház´ı z f´ uze obou senzor˚ u.


52

Obr. 5.2: Závislost odhadu u ´hlu bez f´ uze senzor˚ u - podéln´ y sklon

Obr. 5.3: Závislost odhadu u ´hlu s f´ uz´ı senzor˚ u - podéln´ y sklon

Pˇri f´ uzi dat, ze dvou senzor˚ u se odhad pohybuje v rozmez´ı -10, 08◦ aˇz -10, 03◦ . Porovnán´ı odchylek od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u s f´ uz´ı a bez f´ uze pro podéln´ y sklon v kladném


53

i záporném smˇeru je uvedeno v tab. 5.1 a graficky znázornˇeno na obr. 5.4. Tab. 5.1: Odchylky od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u - podéln´ y sklon α<0 Ref. u ´hel αref (◦ )

α>0

Bez f´ uze ∆αbez

f uze

S f´ uz´ı

(◦ ) ∆αf uze (◦ )

Ref. u ´hel αref (◦ )

Bez f´ uze ∆αbez

f uze

(◦ )

S f´ uz´ı ∆αf uze (◦ )

-40

-0,02

-0,02

0

-0,05

-0,02

-30

0,03

0,03

0

-0,03

-0,02

-29,94

-0,09

-0,1

0

-0,04

-0,04

-20,03

-0,09

-0,03

4,87

0,05

0,07

-19,96

-0,1

-0,12

9,9

0,05

0,07

-15

-0,05

-0,05

15,03

-0,04

-0,04

-10,05

-0,03

-0,03

19,95

0,07

0,06

-10

0,01

0,05

29,9

0,15

0,15

-4,99

-0,23

-0,1

29,9

0,13

0,13

0

-0,05

-0,03

40

0,05

0,05

Obr. 5.4: Závislost odchylek od referenˇcn´ı hodnoty - podéln´ y sklon


5.1.2

54

Pr˚ ubˇ ehy pro pˇ r´ıˇ cn´ y n´ aklon

Na obr. 5.5 jsou zobrazeny pr˚ ubˇehy u ´hl˚ u od jednotliv´ ych senzor˚ u a odhad u ´hlu pomoc´ı Kalmanovy filtrace pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Tyto závislosti byly zmˇeˇreny pro kladn´ y smˇer náklonu, pro záporn´ y smˇer náklonu jsou namˇeˇrené pr˚ ubˇehy pˇriloˇzeny na CD. Data z mˇeˇric´ı jednotky byla mˇeˇrena se vzorkovac´ı frekvenc´ı 8, 3 Hz. Bˇehem mˇeˇren´ı bylo provedeno nˇekolik skokov´ ych zmˇen náklonu. Pro u ´hel 23◦ byl 1.senzor v saturaci au ´hel náklonu byl dále odhadován pouze z 2.senzoru.

Obr. 5.5: Závislost namˇeˇren´ ych u ´hl˚ u a odhadu u ´hlu - pˇr´ıˇcn´ y náklon

Na obr. 5.6 je ukázka pr˚ ubˇehu namˇeˇren´ ych dat z 2.senzoru, odhad u ´hlu Kalmanovou filtrac´ı a referenˇcn´ı hodnota u ´hlu 0◦ . Na obr. 5.7 jsou pr˚ ubˇehy namˇeˇren´ ych dat z obou senzor˚ u, referenˇcn´ı hodnota a odhad u ´hlu, kter´ y vycház´ı z f´ uze obou senzor˚ u. Z tˇechto pr˚ ubˇeh˚ u je opˇet vidˇet, ˇze f´ uze dat se dvou senzor˚ u vyhlazuje a zlepˇsuje pr˚ ubˇeh odhadu. Odhad zaloˇzen´ y na 2. senzoru se pohybuje v rozmez´ı 0, 1◦ aˇz 0, 4◦ . Odhad zaloˇzen´ y na f´ uzi dat ze dvou senzor˚ u se pohybuje v rozmez´ı 0, 007◦ aˇz 0, 025◦ . Na tˇechto pr˚ ubˇez´ıch je téˇz vidˇet, ˇze jeden 1.senzor zpˇresˇ nuje 2.senzor, kter´ y má vˇetˇs´ı odchylku od referenˇcn´ı hodnoty. Protoˇze v okol´ı nulového náklonu je pˇresnˇejˇs´ı prvn´ı senzor, má nastavenu vˇetˇs´ı váhu, coˇz zp˚ usobuje, ˇze odhad v´ıce sleduje namˇeˇrená data z 1.senzoru. Porovnán´ı


55

odchylek od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u s f´ uz´ı a bez f´ uze pro podéln´ y sklon v kladném i záporném smˇeru je uvedeno v tab. 5.2 a graficky znázornˇeno na obr. 5.8.

Obr. 5.6: Závislost odhadu u ´hlu bez f´ uze senzor˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon

Obr. 5.7: Závislost odhadu u ´hlu s f´ uz´ı senzor˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon


56

Tab. 5.2: Odchylky od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon β<0 Ref. u ´hel βref (◦ )

β>0

Bez f´ uze ∆βbez

f uze

S f´ uz´ı

(◦ ) ∆βf uze (◦ )

Ref. u ´hel βref (◦ )

Bez f´ uze ∆βbez

f uze

(◦ )

S f´ uz´ı ∆βf uze (◦ )

-45

-0,12

-0,12

0

0,05

-0,02

-34,8

-0,1

-0,1

0

-0,08

0,05

-30

0,16

0,16

10,01

-0,09

-0,07

-25

0,16

-0,16

10,02

-0,07

-0,1

-15,1

0,25

-0,03

19,96

-0,05

-0,03

-10,05

0,25

0,07

20

-0,09

-0,05

-4,9

-0,03

-0,12

30

-0,11

-0,11

0

0,05

-0,02

30

-0,1

-0,01

0

-0,13

-0,09

40

-0,1

-0,1

Obr. 5.8: Závislost odchylek od referenˇcn´ı hodnoty - pˇr´ıˇcn´ y náklon

5.2

Odezva Kalmanova filtru na skokovou zmˇ enu

Na obr. 5.9 a obr. 5.10 jsou vykresleny pr˚ ubˇehy namˇeˇren´ ych dat z mˇeˇric´ı jednotky s rozsahem -45◦ aˇz 45◦ a odhad u ´hlu. Ostatn´ı pr˚ ubˇehy jsou pˇriloˇzeny na CD. Vzorkovac´ı frekvence byla 8, 3 Hz. Z namˇeˇren´ ych dat byla vypoˇctena doba ustálen´ı elektrolytické libely a Kalmanova filtru pro pomalou a rychlou zmˇenu u ´hlu.


57

Obr. 5.9: Odezva na rychlou skokovou zmˇenu -20◦ → 20◦ - podéln´ y sklon

Obr. 5.10: Odezva na pomalou skokovou zmˇenu -40◦ → 40◦ - pˇr´ıˇcn´ y náklon

Vypoˇctené hodnoty jsou uvedeny v tab. 5.3, tlib je doba ustálen´ı elektrolytické libely s rozsahem -45◦ aˇz 45◦ , tKF je doba ustálen´ı Kalmanova filtru. Mˇeˇren´ı bylo provedeno


58

pro zmˇeny u ´hl˚ u -20◦ → 20◦ , 20◦ → -20◦ , -40◦ → 40◦ a 40◦ → -40◦ . Doba ustálen´ı dosahuje menˇs´ıch hodnot pˇri skokové zmˇenˇe z -20◦ na 20◦ a naopak pro Kalman˚ uv filtr i elektrolytickou libelu. Rychlejˇs´ıho ustálen´ı je dosaˇzeno, pokud ke skokové zmˇenˇe dojde pomalu. Nejmenˇs´ı doba ustálen´ı senzoru byla 54, 2 s pro pomalou zmˇenu z 20◦ na -20◦ u pˇr´ıˇcného náklonu, 60, 2 s byla nejmenˇs´ı doba ustálen´ı Kalmanova filtru pro pomalou zmˇenu z -20◦ na 20◦ pro podéln´ y sklon. Tab. 5.3: Odezva na skokové zmˇeny u ´hl˚ u Podéln´ y sklon tKF (s) tlib (s)

5.3

Pˇr´ıˇcn´ y náklon tKF (s)

tlib (s)

Pomalá zmˇena, -20◦ → 20◦

60,2

60

86,1

78,4

Pomalá zmˇena, 20◦ → -20◦

77,1

65

96,4

54,2

Rychlá zmˇena, -20◦ → 20◦

96,3

107,5

96,4

110,28

Rychlá zmˇena, 20◦ → -20◦

97,2

106,9

66,3

90,4

Pomalá zmˇena, -40◦ → 40◦

131

81,4

120

72,5

Pomalá zmˇena, 40◦ → -40◦

118,5

75,8

120,5

60,3

Rychlá zmˇena, -40◦ → 40◦

144

99,2

156

72,6

Rychlá zmˇena, 40◦ → -40◦

132

96,9

132,5

56,4

Teplotn´ı z´ avislost mˇ eˇ ric´ı jednotky

Na obr. 5.11 jsou teplotn´ı závislosti pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon pˇri u ´hlu naklonˇen´ı 2, 56◦ pro podéln´ y sklon a -11, 2◦ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. Nejvyˇsˇs´ı namˇeˇren´ y u ´hel je 2, 93◦ pˇri t = 30◦ C pro podéln´ y sklon, jehoˇz odchylka od referenˇcn´ıho u ´hlu je 0, 28◦ , nejniˇzˇs´ı namˇeˇren´ yu ´hel pro stejn´ y smˇer náklonu je 2, 11◦ pˇri t =-7◦ C, odchylka od referenˇcn´ıho u ´hlu je 0, 54◦ . Nejvyˇsˇs´ı namˇeˇren´ yu ´hel pro pˇr´ıˇcn´ y náklon je -10, 74◦ pˇri t = 12◦ C, jehoˇz odchylka od referenˇcn´ıho u ´hlu je 0, 47◦ , nejniˇzˇs´ı namˇeˇren´ yu ´hel pro stejn´ y smˇer náklonu je -11, 21◦ pˇri t = 21◦ C, odchylka od referenˇcn´ıho u ´hlu je 0, 01◦ .


59

Obr. 5.11: Teplotn´ı závislost mˇeˇric´ı jednotky

5.4

Z´ avislost kˇ r´ıˇ zov´ e vazby na u ´ hlu n´ aklonu

Pˇri mˇeˇren´ı pˇrevodn´ı charakteristiky byla mˇeˇrena i kˇr´ıˇzová vazba tj. pˇri mˇeˇren´ı podélného náklonu byl souˇcasnˇe mˇeˇren i pˇr´ıˇcn´ y náklon, kter´ y ovlivˇ nuje podéln´ y sklon. Stejnˇe je tomu i v opaˇcném pˇr´ıpadˇe, kdy je mˇeˇren pˇr´ıˇcn´ y náklon. Závislosti kˇr´ıˇzové vazby jsou na obr. 5.12. CC − P od.sklon je závislost pˇr´ıˇcného náklonu na referenˇcn´ım u ´hlu v pˇr´ıpadˇe, kdy byl mˇeˇren náklon v podélném smˇeru. CC −P ric.naklon je závislost podélného sklonu na referenˇcn´ım u ´hlu v pˇr´ıpadˇe, kdy byl mˇeˇren náklon v pˇr´ıˇcném smˇeru. Nejvyˇsˇs´ı kladná odchylka podélného sklonu od nulové hodnoty pˇri meˇren´ı pˇr´ıˇcného náklonu je 2, 21◦ pˇri u ´hlu naklonˇen´ı -45◦ , nejvˇetˇs´ı záporná odchylka od nuly je -0, 53◦ pˇri 33◦ . Maximáln´ı odchylky pˇr´ıˇcného náklonu pˇri mˇeˇren´ı podélného sklonu jsou 2, 16◦ pˇri -45◦ a -1, 86◦ pˇri 45◦ .


60

Obr. 5.12: Kˇr´ıˇzová vazba mˇeˇric´ı jednotky

5.5

Mˇ eˇ ren´ı hystereze mˇ eˇ ric´ı jednotky

Z namˇeˇren´ ych pˇrevodn´ıch charakteristik byla vypoˇctena a vynesena závislost hystereze, která je na obr. 5.13 pro podéln´ y sklon a na obr. 5.14.

Obr. 5.13: Hystereze mˇeˇr´ıc´ı jednotky ∆α = f (αref ) - podéln´ y náklon


61

Hystereze elektrolytického senzoru je ovlivnˇena hustotou elektrolytu, kter´ y ulp´ıvá na stˇenách sklenˇeného pouzdra senzoru a na jednotliv´ ych elektrodách. Hystereze mˇeˇric´ı jednotky se pro podéln´ y sklon i pˇr´ıˇcn´ y náklon pohybuje v rozmez´ı -0, 19◦ aˇz 0, 16◦ .

Obr. 5.14: Hystereze mˇeˇr´ıc´ı jednotky ∆β = f (βref ) - pˇr´ıˇcn´ y náklon

5.6

Software navrˇ zen´ y pro mˇ eˇ ren´ı charakteristik

V následuj´ıc´ı kapitole bude velmi struˇcnˇe popsán program pro mˇeˇren´ı elektrolytické libely. Jak bylo uvedeno v pˇredchoz´ıch kapitolách, mˇeˇric´ı jednotka komunikuje s PC pomoc´ı rozhran´ı RS232. Nejjednoduˇsˇs´ım zp˚ usobem komunikace je pouˇzit´ı hyperterminálu nebo software, kter´ y v´ yrobce poskytuje na sv´ ych internetov´ ych stránkách. Vzhledem k tomu, ˇze program distribuovan´ y v´ yrobcem provádˇel v´ ypoˇcet podle stejného postupu, kter´ y vykazoval znaˇcné odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu, byl vytvoˇren jednoduch´ y program pro mˇeˇren´ı charakteristik senzoru. Program byl vytvoˇren ve v´ yvojovém prostˇred´ı LabWindows CVI. Hlavn´ı a konfiguraˇcn´ı panel jsou na obr. 5.15.


62

Obr. 5.15: Hlavn´ı a konfiguraˇcn´ı panel programu Libela

Uˇzivatelské rozhran´ı je rozdˇeleno na nˇekolik ˇcást´ı: Nastaven´ı - nastaven´ı parametr˚ u komunikace po RS232. Hypertermin´ al - je obdobou klasického hyperterminálu. Typ u ´ hlu - nastaven´ı typu u ´hlu, kter´ y bude mˇeˇren. Podle typu u ´hlu se do mˇeˇric´ı jednotky odeˇsle znak 0 B 0 nebo 0 C 0 . Odmˇ ery do souboru - provede odmˇery do souboru, ukládá se typ u ´hlu, nastaven´ y u ´hel a zmˇeˇrená data do textového souboru, kter´ y je pojmenován data 1.txt, kde ˇc´ıslo 1 oznaˇcuje ˇc´ıslo Comportu. Odmˇ er - odmˇeˇr´ı tolik vzork˚ u, jak´ y je nastaven poˇcet odmˇer˚ u, vypoˇcte jejich pr˚ umˇer a zobraz´ı namˇeˇrené ˇc´ıslo v hexadecimáln´ım tvaru, des´ıtkovém tvaru a v´ ysledn´ y u ´hel.

ˇ YCH ´ ´ ˚ KAPITOLA 6. ZHODNOCENÍ DOSAZEN VYSLEDK U

6

63

ˇ ´ ´ ˚ ZHODNOCENÍ DOSAZEN YCH VYSLEDK U C´ılem této diplomové práce bylo navrhnout mˇeˇric´ı systém v rozsahu u ´hl˚ u ±70◦ ,

korigovat jeho chyby a odchylky a matematicky pomoc´ı Kalmanova filtru provést spojen´ı systému s dalˇs´ımi dvˇema náklonn´ ymi systémy. Pro v´ ysledn´ y mˇeˇric´ı systém byla vybrána mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70 od firmy Spectron Glass and Electronics Incorporated, která mˇela m´ıt poˇzadovan´ y rozsah u ´hl˚ u náklonu. Tato mˇeˇric´ı jednotka byla objednána a zakoupena za 203 USD. Pro

odmˇeˇren´ı pˇrevodn´ıch

charakteristik

byly

zjiˇstˇeny

znaˇcné

odchylky

od udávan´ ych parametr˚ u mˇeˇric´ı jednotky. Jednotka mˇela rozsah ±45◦ , kdeˇzto v´ yrobce uvádˇel v dokumentaci (±60◦ ). Jednotka vykazovala velké odchylky od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu, které dosahovaly hodnot aˇz 8, 6◦ . Pro komunikaci s mˇeˇric´ı jednotkou byl vytvoˇren jednoduch´ y program v prostˇred´ı LabWindows CVI, uveden´ y v kap. 5.6. Pˇrevodn´ı charakteristika byla zlinearizována Lagrangeovou interpolac´ı, pomoc´ı které bylo dosaˇzeno odchylek od lineárn´ıch pr˚ ubˇehu menˇs´ıch neˇz 0, 1◦ pro obˇe osy náklonu, viz. kap. 4.1. Odchylky od referenˇcn´ıch hodnot pˇri mˇeˇren´ı pr˚ ubˇeh˚ u dat se zmˇenami náklon˚ u v kapitole 5.1 mohou b´ yt zp˚ usobeny nestabilitou pˇrevodn´ı charakteristiky, kˇr´ıˇzovou vazbou, která nebyla korigována a nebo hysterez´ı. Pˇrevodn´ı charakteristika mˇeˇric´ı jednotky byla ihned po zakoupen´ı zmˇeˇrena. Pˇri opakovaném mˇeˇren´ı byly zjiˇstˇeny odchylky pˇrevodn´ı charakteristiky oproti pˇredchoz´ımu mˇeˇren´ı, které dosahovaly aˇz 0,5◦ . Tyto chyb mohou b´ yt zp˚ usobeny hysterez´ı, kˇr´ıˇzovou vazbou nebo stárnut´ım elektrolytu. Pro z´ıskán´ı referenˇcn´ıch hodnot byl pouˇzit pˇresn´ y akcelerometr. Vzhledem k tomu, ˇze v´ yrobce poslal struˇcnou dokumentaci k mˇeˇric´ı jednotce musely b´ yt promˇeˇreny jej´ı vlastnosti napˇr. drift, teplotn´ı závislost, kˇr´ıˇzová vazba a hystereze. Vliv kˇr´ıˇzové vazby, kter´ y nebyl z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u korigován, je popsán v kap. 5.4. Hystereze uvedená v 5.5 byla korigována pr˚ umˇerován´ım odpov´ıdaj´ıc´ıch hodnot pˇri zvyˇsován´ı a sniˇzován´ı náklonu pˇri v´ ypoˇctu pˇrevodn´ı charakteristiky. Vliv vibrac´ı na mˇeˇric´ı jednotku nebyl mˇeˇren, nebot’ senzor náklonu obsahuje kapalinu, která pˇri vibrován´ı nen´ı schopna poskytnout vˇerohodn´ y u ´daj o náklonu. V´ yrobce doporuˇcuje pro pouˇzit´ı mˇeˇric´ı jednotky v prostˇred´ı, kde jsou otˇresy a vibrace pouˇzit´ı elektrolytu s vˇetˇs´ı hustotou.

´ ER ˇ KAPITOLA 7. ZAV

7

64

´ ER ˇ ZAV Diplomová práce se skládá ze ˇctyˇr hlavn´ıch ˇca´st´ı. V prvn´ı ˇcásti je uveden teoretick´ y

rozbor, druhá obsahuje popis mˇeˇric´ı jednotky Micro 50-D70. Tˇret´ı návrh Kalmanova filtru a ve ˇctvrté jsou uvedeny v´ ysledky mˇeˇren´ı. Teoretická ˇca´st obsahuje vysvˇetlen´ı ˇcinnosti elektrolytick´ ych senzor˚ u náklonu a jejich parametry, popisuje náklonn´ y stolek a Lagrangeovu interpolaci, odvozen´ı a vysvˇetlen´ı principu Kalmanovy filtrace. Druhá ˇca´st popisuje mˇeˇric´ı jednotku náklon˚ u Micro 50 - D70 a komunikaci senzoru s poˇc´ıtaˇcem. Tˇret´ı ˇca´st obsahuje linearizaci pˇrevodn´ı charakteristiky elektrolytického senzoru náklonu, popis m-file pro v´ ypoˇcet Kalmanova filtru a návrh Kalmanova filtru pro elektrolytické senzory náklonu. V této kapitole je popsána f´ uze dat ze dvou senzor˚ u náklonu, resetován´ı Kalmanova filtru v pˇr´ıpadˇe zmˇeny náklonu a váhován´ı senzor˚ u. V´ ysledné pr˚ ubˇehy namˇeˇren´ ych dat a v´ ysledky Kalmanovy filtrace jsou uvedeny ve ˇctvrté ˇca´sti diplomové práce. Závˇerem lze shrnout, ˇze mˇeˇric´ı systém byl navrˇzen a byla ovˇeˇrena jeho funkce. Systém Micro 50-D70 je matematicky spojen pouze s druh´ ym elektrolytick´ ym senzorem, kter´ y je schopen mˇeˇrit rozsah u ´hl˚ u ±20◦ . Z ˇcasov´ ych d˚ uvod˚ u nebylo moˇzné zajistit propojen´ı systému s akcelerometry. Absence akcelerometr˚ u má také vliv na v´ yslednou pˇresnost, nebot’ jak bylo ukázáno f´ uz´ı dat z v´ıce senzor˚ u se odhad u ´hlu v Kalmanovˇe filtraci bl´ıˇz´ı v´ıce k referenˇcn´ı hodnotˇe. Tento mˇeˇric´ı systém by mˇel v budoucnu b´ yt rozˇs´ıˇren o systém pro mˇeˇren´ı náklon˚ u pomoc´ı akcelerometr˚ u a spoleˇcnˇe tvoˇrit pˇrenosnou jednotku náklon˚ u, která bude zobrazovat u ´hly náklon˚ u na displeji. V´ ysledná zobrazená hodnota bude odhad u ´hl˚ u pomoc´ı Kalmanovy filtrace z dat namˇeˇren´ ych ze tˇr´ı senzor˚ u náklonu.

ˇ ÍLOHY KAPITOLA 8. PR

8 8.1

65

ˇ ÍLOHY PR Pˇ r´ıloha A - Fotodokumentace Micro 50-D70

(a) Podled shora

(b) pohled zdola

Obr. 8.1: Mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70

8.2

Pˇ r´ıloha B - N´ akres a rozmˇ ery Micro 50-D70

Obr. 8.2: Mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70 - nákres, rozmˇery


8.3

66

Pˇ r´ıloha C - Pˇ revodn´ı charakteristiky - pod´ eln´ y sklon

Obr. 8.3: Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - podéln´ y sklon


8.4

67

Pˇ r´ıloha D - Pˇ revodn´ı charakteristiky - pˇ r´ıˇ cn´ y n´ aklon

Obr. 8.4: Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - pˇr´ıˇcn´ y náklon


8.5

68

Pˇ r´ıloha E - Funkce lran(x, P dSF)

M-file pro v´ ypoˇcet Lagrangeovy interpolace, do funkce vstupuj´ı namˇeˇrená des´ıtková y sklon, resp. R dSF data x a tabulka korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant P dSF pro podéln´ pro pˇr´ıˇcn´ y náklon. V prvn´ı ˇca´sti je procházena tabulka korekc´ı KP . Aby nemusela b´ yt procházena celá, je rozdˇelena podle vstupn´ı hodnoty na dvˇe ˇcásti. function y = lran(x, tab_SF); k=1; PX = 0; PY = 0; index = 0; n = 0; if x <= tab_SF(1,2) n = 1; k = 3; elseif x >= tab_SF(1,180) n = 1; k = 182; else n = 3; if x < tab_SF(1,90) k = 3; else k = 89; end; while x > tab_SF(1,k) k = k+1; end;

%zacatek tab SF %konec tab SF

%hledani - 1.pol tab vs. 2.pol tab

%hledani indexu vyssi hodnoty, nez x_lag

end; for i = (k-2):(k-2+n) %naplneni promennych pro Lagrange index = index + 1; PX(index) = tab_SF(1,i); PY(index) = tab_SF(2,i); end; % --- Lagrange --n=size(PX,2); L=ones(n,size(x,2)); for i=1:n for j=1:n if (i~=j) L(i,:)=L(i,:).*(x-PX(j))/(PX(i)-PX(j)); end end end y=0; for i=1:n y=y+PY(i)*L(i,:); end


8.6

69

Pˇ r´ıloha F - M-file - v´ ypoˇ cet KF

V této ˇca´sti je uveden m-file pro v´ ypoˇcet Kalmanova filtru s linearizacemi a vykreslen´ı pr˚ ubˇeh˚ u namˇeˇren´ ych dat, vytvoˇren´ y v programovac´ım prostˇred´ı Matlab 7.1. % --- Martin Sipos, [email protected], 2008 --% --- Linearni KF s linearizacema pomoci polynomu --% --- nebo Lagrangeovy interpolace --clc; clear all; %close all; T = 39300;

%pocet cyklu KF, zavisly na poctu namerenych dat

% --- Nacteni tabulek prevodnich konstant --load(’P_dSF’); %nacteni load(’R_dSF’); %nacteni load(’P_dSFe’); %nacteni load(’R_dSFe’); %nacteni % --- Nacteni namerenych dat --y_EP = load(’e_roll_2.txt’); y_ER = load(’e_roll_2.txt’); y_SP = load(’s_roll_2.txt’); y_SR = load(’s_roll_2.txt’); % % % % %

% % % %

Edrev Edrev Sipos Sipos

tabulky tabulky tabulky tabulky

delta_SF delta_SF delta_SF delta_SF

-

Pitch - Sipos Roll - Sipos Pitch - Edrev Roll - Edrev

pitch roll pitch roll

--- Nacteni dat pro rychle a pomale skokove zmeny --y_EP = load(’RE_skok.txt’); % Edrev - Pitch y_ER = load(’RE_skok.txt’); % Edrev - Roll y_SP = load(’RS_skok.txt’); % Sipos - Pitch y_SR = load(’RS_skok.txt’); % Sipos - Roll

% --- Ref data --% --- 1.serie --load(’P_ref_kl’); load(’R_ref_z’);

% Pitch - kladny prubeh % Roll - zaporny prubeh

% --- 2.serie --load(’P_ref_z’); load(’R_ref_kl’);

% Pitch - zaporny prubeh % Roll - kladny prubeb

% --- Vybrani uzitecnych dat --y1 = y_EP(1:T,3)’; % pitch Edrev y2 = y_ER(1:T,3)’; % roll Edrev y3 = y_SP(1:T,3)’; % pitch Sipos y4 = y_SR(1:T,3)’; % roll Sipos % --- Prevodni konstanty --SF_E = 825; %SF - Edrev SF_SP = 2110; %SF - Sipos - Pitch SF_SR = 2106; %SF - Sipos - Roll zero = 2048; %nula - bias % --- Uhly s nekorigovanym SF --% --- Vypocet linearizace polynomem, lze vypocist Lagrangem v KF --% % % % % %

pitch_e = (y1-zero)*10/SF_E; roll_e = (y2-zero)*10/SF_E;

%Edrev - uhel pred lin - pitch %Edrev - uhel pred lin - roll

% --- Vypocet linearizace SF - Edrev --Edrev - lin SF - pitch dSFE_P = 0.117.*pitch_e.*pitch_e - 0.2768.*pitch_e - 2.7275;

% linearizovany uhel - pitch % lin_pitch_e = (y1 - 2048)*10./(SF_E + dSFE_P);


70

% Edrev - lin SF - roll % dSFE_R = 0.1068*roll_e.*roll_e + 0.2548.*roll_e + 5.7964; % linearizovany uhel - roll % lin_roll_e = (y2 - 2048)*10./(SF_E + dSFE_R); % --- Odecteni biasu, definice vektoru mereni --y(1,:) = y1 - zero; %data, ktera budou filtrovana v KF y(2,:) = y2 - zero; % + 16.5; y(3,:) = y3 - zero; y(4,:) = y4 - zero; %+ 10.53; % --- Parametry exp. kor. sumu --dampexp=exp(-1/887); sigexp=sqrt(1 - dampexp^2); % --- Model systemu --% stavovy vektor % x = [Pitch; drift 1.senz; drift 2.senz; Roll; drift 1.senz; drift 2.senz] % R1=cov(y1); R2=cov(y2); % R3=cov(y3); R4=cov(y4); R1=0.6; R2=0.6; % Edrev R3=0.6; R4=0.6; % Sipos Qx=1e-10; Qsum = sigexp; Eps=y(1); AEK = 0.8;

% Edrev - vypocet % Sipos - vypocet zjisteno z mereni zjisteno z mereni

i ze skokovych zmen i ze skokovych zmen driftu bez naklonu driftu bez naklonu

% --- Matice systemu --A = [1, 0, 0, 0, 0, 0;... 0, AEK, 0, 0, 0, 0;... 0, 0, AEK, 0, 0, 0;... 0, 0, 0, 1, 0, 0;... 0, 0, 0, 0, AEK, 0;... 0, 0, 0, 0, 0, AEK]; I=eye(6);

% Jednotkova matice

% --- Kovariancni matice modelu systemu --Q = diag([Qx, Qsum, Qsum, Qx, Qsum, Qsum]); % --- Kovariancni matice chyb odhadu --P = diag([0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5]); % --- Pocatecni podminky --x_pred=[0;0;0;0;0;0]; y_pred=[0;0;0;0;0;0]; SF_kor = [30; 30; 30; 30]; on=1; dyr=0; dyp=0; rp=0;rr=0; c_r=0; c_p=0;

% poc. stav. vektor % pole, kam se nacitaji zkorigovane SF % pomocne promenne pro reset KF

% --- Kalmanuv cykl --for k = 2:T % --- V pripade linearizace polynomem --% korigovany SF - pitch - edrev - vypocet polynomem % SFEP = (SF_E + dSFE_P(k))/10; % korigovany SF - roll - edrev - vypocet polynomem % SFER = (SF_E + dSFE_R(k))/10; % --- Linearizace Lagrangem --% korekce SF - pitch - edrev - lagrangem (vstup - desitkova data, tab SF) SFEP = (SF_E + lrank(y1(k), P_dSFe))/10;


71

%korekce SF - roll - edrev - lagrangem (vstup - desitkova data, tab SF) SFER = (SF_E + lrank(y2(k), R_dSFe))/10; %korekce SFSP %korekce SFSR

SF - pitch - sipos - lagrangem (vstup - desitkova data, tab SF) = (SF_SP + lran(y3(k), P_dSF))/60; SF - roll - sipos - lagrangem (vstup - desitkova data, tab SF) = (SF_SR + lran(y4(k), R_dSF))/60;

SF_kor(:,k) = [SFEP; SFER; SFSP; SFSR]; % --- Promenna matice mereni --C = [SFEP, 1, 0, 0, 0, 0;... 0, 0, 0, SFER, 1, 0;... SFSP, 0, 1, 0, 0, 0;... 0, 0, 0, SFSR, 0, 1];

% % % %

% ulozeni SF

pitch Edrev roll Edrev pitch Sipos roll Sipos

% --- Matice C pro pripad, kdy uvazujeme pouze 2.senzor --% C = [0, 0, 0, 0, 0, 0;... % pitch Edrev % 0, 0, 0, 0, 0, 0;... % roll Edrev % SFSP, 0, 1, 0, 0, 0;... % pitch Sipos % 0, 0, 0, SFSR, 0, 1]; % roll Sipos

% saturace - vynulovani prvku matice C - pitch - Edrev % zaroven se tim nastavi K=0 pro prislusne data if (y1(k)<100 || y1(k)>3800) C(1,1) = 0; C(1,2) = 0; end; % saturace - vynulovani prvku matice C - roll - Edrev if (y2(k)<100 || y2(k)>3800) C(2,4) = 0; C(2,5) = 0; end; skok = 10; % --- Reset KF --k1 = k-10; if (k1<1) k1=1; end;

% pocet kroku do minulosti

dyp = abs(y(3,k1) - y(3,k)); dyr = abs(y(4,k1) - y(4,k));

% rozdil v k a k1 - pitch % rozdil v k a k1 - roll

if (dyr > skok) rr=1; c_r=0; end; if (dyr<skok && rr==1) c_r=c_r+1; if (c_r>15) rr=0; x_pred(4)=y(4,k)/SFSR; P(4:6,4:6)=eye(3)*0.5; end; end; if (dyp>10) rp=1; c_p=0; end;

% reset, pokud 15 hodnot je mensich nez skok

ˇ ÍLOHY KAPITOLA 8. PR if (dyp<10 && rp==1) c_p=c_p+1; if (c_p>15) rp=0; x_pred(1)=y(3,k)/SFSP; P(1:3,1:3)=eye(3)*0.5; end; end; % --- V´ ahov´ an´ ı --wp = 0.99; wr = 0.99; % wp - pitch, wr = roll % --- Pitch --if (1372 < y3(k) && y3(k) < 2718) % interval <-20◦ , 20◦ > wp = 0.5; end; if (1860 < y3(k) && y3(k) < 2243) % interval <-6◦ ,6◦ > wp = 0.25; end; % --- Roll --if (1377 < y3(k) && y3(k) < 2716) % interval <-20◦ , 20◦ > wr = 0.5; end; if (1857 < y3(k) && y3(k) < 2241) % interval <-6◦ , 6◦ > wr = 0.25; end; R = diag([wp*R1, wr*R2, (1-wp)*R3, (1-wr)*R4]); % --- KF cykl --% --- Datov´ y krok --y_pred = C*x_pred; eps = y(:,k)-y_pred; K = P*C’*inv(C*P*C’+R); P = (I-K*C)*P; x_pred = x_pred+K*eps; y_pred = C*x_pred ;

% % % % % %

odhad vystupu y(k|k-1) chyba odhadu vystupu e(k|k-1) kalmanovo zesileni kovariacni matice P(k|k) odhad stavu x(k|k) odhad vystupu y(k|k)

% --- Ulozeni dat --eps_plot(:,k)=eps; x(:,k)=x_pred; P_plot(:,k)=[P(1,1) P(4,4)]; % --- Casovy krok --x_pred = A*x_pred; P = A*P*A’+Q; end; % --- Vykresleni Pitch --figure; hold on; grid on; title(’Zavislost uhlu na poctu vzorku, bez linearizaci - podelny sklon’); plot(y(1,:)*10/SF_E,’m’); % vystup bez linearizace - Edrev plot(y(3,:)*60/SF_SP,’y’); % vystup bez linearizace - Sipos plot(x(1,:),’k’); % odhad - pitch legend(’1.senzor’,’2.senzor’,’x pod.skl.’); xlabel(’k ->’); ylabel(’\alpha [◦ ]’); figure; hold on; grid on; title(’Zavislost uhlu na poctu vzorku, s linearizacemi - podelny sklon’); % plot(lin_pitch_e,’m’); % vystup s linearizaci edrev - polynom plot(y(1,:)./SF_kor(1,:),’m’); % vystup s linearizaci edrev - LAGRANGE

72

ˇ ÍLOHY KAPITOLA 8. PR plot(y(3,:)./SF_kor(3,:),’y’); % vystup s linearizaci sipos plot(x(1,:),’k’); % odhad - pitch % plot(P_ref_kl,’g’); % 1.serie plot(P_ref_z,’g’); % 2.serie legend(’1.senzor’,’2.senzor’,’x pod.skl.’); xlabel(’k ->’); ylabel(’\alpha [◦ ]’); figure; hold on; grid on; title(’Pitch - P ’); plot(sqrt(P_plot(1,:)),’b’); plot(-sqrt(P_plot(1,:)),’b’); plot(3*sqrt(P_plot(1,:)),’r’); plot(-3*sqrt(P_plot(1,:)),’r’); % --- Vykresleni Roll --figure; hold on; grid on; title(’Zavislost uhlu na poctu vzorku, bez linearizaci - pricny naklon’); plot(y(2,:)*10/SF_E,’m’); % vystup bez linearizace edrev plot(y(4,:)*60/SF_SR,’y’); % vystup bez linearizace sipos plot(x(4,:),’k’); % odhad - roll legend(’1.senzor’,’2.senzor’,’x pric.nakl.’); xlabel(’k ->’); ylabel(’\beta [◦ ]’); figure; hold on; grid on; title(’Zavislost uhlu na poctu vzorku, s linearizacemi - pricny naklon’); % plot(lin_roll_e,’m’); % vystup s linearizaci edrev - polynomem plot(y(2,:)./SF_kor(2,:),’m’); % vystup s linearizaci edrev plot(y(4,:)./SF_kor(4,:),’y’); % vystup s linearizaci sipos plot(x(4,:),’k’); % odhad - roll % plot(R_ref_z,’g’); % 1.serie plot(R_ref_kl,’g’); % 2.serie legend(’1.senzor’,’2.senzor’,’x pric.nakl.’);xlabel(’k ->’); ylabel(’\beta [◦ ]’); figure; hold on; grid on; title(’Roll - P ’); plot(sqrt(P_plot(2,:)),’b’); plot(-sqrt(P_plot(2,:)),’b’); plot(3*sqrt(P_plot(2,:)),’r’); plot(-3*sqrt(P_plot(2,:)),’r’);

73

LITERATURA

74

LITERATURA [1] GREWAL, M.S.; ANDREWS, A.P.: Kalman Filtering - Theory and Practice Using Matlab. NY USA 2001 ˇ DO, ˇ ´ [2] RIPKA, P.; DA S.; KREIDL, M.; NOVAK, J.:Senzory a pˇrevodn´ıky. Praha: ˇ CVUT, 2005. 136 s. Fakulta elektrotechnická. ISBN 80-01-03123-3 [3] Spectron Sensors (2007) http://www.spectronsensors.com/appsheets/SAN-201-1703.pdf [4] Micro D50-70, Spectron Sensors (2007) http://www.spectronsensors.com/datasheets/SDS-102-3803.pdf [5] SP5000 and AU6000 series, Spectron Sensors (2007) http://www.spectronsensors.com/datasheets/SDS-117-1104.pdf [6] The Electrolytic Tilt Sensor (Article, 1.5.2000) http://www.sensorsmag.com/articles/0500/120/main.shtml [7] Electrolytic Tilt Sensors and Inclinometers (Article, 8/2004) http://archives.sensorsmag.com/articles/0904/41/main.shtml [8] Electrolytic tilt sensors (Article, 6/1998) http://www.clino.co.uk/tiltpr.htm [9] Kalmanova filtrace http://measure.feld.cvut.cz/groups/LIS/download/prednasky/kalman/ Kalmanova%20filtrace.doc ´ M.; REINSTEIN, ˇ [10] SOTAK, M.: Kalmanova filtrace a INS/GPS integrace. Kurz adaptivn´ı filtrace, Projekt: CZ.04.3.07/3.1.01.3/3305 [11] Spectron Sensors, specifikace vlastnost´ı http://www.spectronsensors.com/appsheets/SAN-205-1004.pdf ˇ ´ C, ˇ J.: System for verification of adaptive algorithms en[12] REINSTEIN, M.; ROHA hancing the precision of low cost inertial sensors, Article 2007 ˇ ˇ [13] HAVLENA, V.; STECHA, J.: Modern´ı teorie ˇr´ızen´ı, Praha: Skriptum FEL CVUT 1999

LITERATURA

75

[14] KUHLMANN, H.: Kalman filtering with coloured measurement noise for deformation analysis, Greece 2003. [15] WELCH, G.; BISHOP, G.: An Introduction to the Kalman Filter, course 2001. [16] BROWN, R.G.: Random signal analysis and Kalman filtering, USA 1983. [17] GREWAL, M.S.; WEILL L.R.; ANDREWS A.P.,: Global Positioning Systems, Inertial Navigation and Integration, USA 2001 ˇ [18] HAVLENA, J.: Odhadován´ı a filtrace, Praha: Skriptum FEL CVUT 2002. ´ CEK, ˇ ˇ ÍD R.: Matlab v mˇeˇren´ı, Praha: Skriptum FEL CVUT, ˇ [19] SEDLA M.; SM 2007. ˇ ˇ [20] RAZÍM, M.; STECHA, J.: Nelineárn´ı systémy, Praha: Skriptum CVUT, 1997. ´ ˇ [21] SYKORA P.; KOCER M.: Ne pˇr´ıliˇs struˇcný u ´vod do systému LATEX

´ ˚ SEZNAM OBRAZK U 2.1

Jednoosé elektrolytické libely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2

Jednoosé a dvouosé elektrolytické libely . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.3

Náhradn´ı obvod jednoosé elektrolytické libely . . . . . . . . . . . . . .

11

2.4

Jednoos´ y senzor pˇri nulovém náklonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.5

Jednoos´ y senzor pˇri nulovém náklonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.6

Princip dvouosého senzoru náklonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.7

Princip vyhodnocen´ı smˇeru náklonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2.8

Náklonn´ y stolek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.9

Model adaptivn´ıho filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.10 Stavov´ y model dynamického systému . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.11 Cyklus Kalmanova filtru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.12 Souvislost Kalmanova filtru a modelu systému . . . . . . . . . . . . . .

25

2.13 Spektráln´ı v´ ykonové hustoty r˚ uzn´ ych typ˚ u ˇsum˚ u . . . . . . . . . . . . .

30

3.1

Meˇr´ıc´ı modul Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.2

Blokové schéma modulu Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.3

Elektrolytická libela SP5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

4.1

Blokové schéma systému pro mˇeˇren´ı náklonu . . . . . . . . . . . . . . .

38

4.2

Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - podéln´ y sklon . . . .

39

4.3

Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . .

40

4.4

Závislosti odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu - podéln´ y náklon

. . . . . .

41

4.5

Závislosti odchylek od lineárn´ıho pr˚ ubˇehu - pˇr´ıˇcn´ y náklon

. . . . . . .

41

4.6

Drift, Spektráln´ı v´ ykonová hustota - podéln´ y sklon . . . . . . . . . . .

44

4.7

Drift, Spektráln´ı v´ ykonová hustota - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . . . .

45

4.8

V´ yvojov´ y diagram programu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.1

Závislost namˇeˇren´ ych u ´hl˚ u a odhadu u ´hlu - podéln´ y sklon . . . . . . .

51

5.2

Závislost odhadu u ´hlu bez f´ uze senzor˚ u - podéln´ y sklon . . . . . . . . .

52

5.3

Závislost odhadu u ´hlu s f´ uz´ı senzor˚ u - podéln´ y sklon . . . . . . . . . .

52

5.4

Závislost odchylek od referenˇcn´ı hodnoty - podéln´ y sklon . . . . . . . .

53

5.5

Závislost namˇeˇren´ ych u ´hl˚ u a odhadu u ´hlu - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . .

54

5.6

Závislost odhadu u ´hlu bez f´ uze senzor˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . .

55

5.7

Závislost odhadu u ´hlu s f´ uz´ı senzor˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . . . .

55

76

5.8

Závislost odchylek od referenˇcn´ı hodnoty - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . .

56

5.9

Odezva na rychlou skokovou zmˇenu -20◦ → 20◦ - podéln´ y sklon . . . . .

57

5.10 Odezva na pomalou skokovou zmˇenu -40◦ → 40◦ - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . .

57

5.11 Teplotn´ı závislost mˇeˇric´ı jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

5.12 Kˇr´ıˇzová vazba mˇeˇric´ı jednotky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5.13 Hystereze mˇeˇr´ıc´ı jednotky ∆α = f (αref ) - podéln´ y náklon . . . . . . .

60

5.14 Hystereze mˇeˇr´ıc´ı jednotky ∆β = f (βref ) - pˇr´ıˇcn´ y náklon

. . . . . . . .

61

5.15 Hlavn´ı a konfiguraˇcn´ı panel programu Libela . . . . . . . . . . . . . . .

62

8.1

Mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

8.2

Mˇeˇric´ı jednotka Micro 50-D70 - nákres, rozmˇery . . . . . . . . . . . . .

65

8.3

Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - podéln´ y sklon . . . .

66

8.4

Pˇrevodn´ı charakteristiky systému Micro 50-D70 - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . .

67

77

SEZNAM TABULEK 2.1

Rovnice bˇelic´ıch filtr˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

3.1

Parametry systému Micro 50-D70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.2

Zapojen´ı konektoru DB9/RS232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

3.3

Charakteristické parametry elektrolytické libely SP5020 . . . . . . . . .

35

4.1

Odchylky od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u pro jednotlivé metody linearizace . . .

43

4.2

Váhové koeficienty pro intervaly u ´hl˚ u náklonu . . . . . . . . . . . . . .

47

5.1

Odchylky od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u - podéln´ y sklon . . . . . . . . . . . . . .

53

5.2

Odchylky od referenˇcn´ıch u ´hl˚ u - pˇr´ıˇcn´ y náklon . . . . . . . . . . . . . .

56

5.3

Odezva na skokové zmˇeny u ´hl˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

78

ˇ ÍLOH SEZNAM PR - Pˇr´ıloha A - Fotodokumentace Micro 50-D70 - Pˇr´ıloha B - Nákres a rozmˇery Micro 50-D70 - Pˇr´ıloha C - Pˇrevodn´ı charakteristiky - podéln´ y sklon - Pˇr´ıloha D - Pˇrevodn´ı charakteristiky - pˇr´ıˇcn´ y náklon - Pˇr´ıloha E - Funkce lran(x, P dSF) - Pˇr´ıloha F - M-file - v´ ypoˇcet KF

79

ˇ ˇ ´ OBSAH PRILO ZEN EHO CD Pro vˇetˇs´ı pˇrehlednost je CD rozdˇeleno na sloˇzky (adres´ aˇ re), ve kter´ ych jsou um´ıstˇeny jednotlivé tematické celky. ysledná diplomová práce ve formátu PDF • siposm1 DP.pdf - V´ • Datasheets - Aplikaˇcn´ı listy mˇeˇric´ı jednotky Micro 50 - D70 a elektrolytické libely SP5020 • Libela - SW - Ovládac´ı uˇzivatelské rozhran´ı pro mˇeˇren´ı s elektrolytickou libelou • Data - skoky - Namˇeˇrená data skokov´ ych zmˇen v textov´ ych souborech • Data - zmˇ eny u ´hl˚ u - Namˇeˇrená data zmˇen u ´hl˚ u v textov´ ych souborech pro oba smˇery náklonu • Figures - Pr˚ ubˇehy namˇeˇren´ ych dat, pˇrepoˇcten´ ych na u ´hly, pr˚ ubˇehy odhadu u ´hlu KF, pr˚ ubˇeh kovarianˇcn´ı matice odhadu P , pr˚ ubˇehy s f´ uz´ı a bez f´ uze, linearizované a nelinearizované • Hystereze - Pr˚ ubehy hystereze pro podéln´ y sklon a pˇr´ıˇcn´ y náklon • Kalman - M-file pro v´ ypoˇcet Kalmanova filtru, funkce lran a lrank pro v´ ypoˇcet Lagrangeovy interpolace, pr˚ ubˇehy referenˇcn´ıch hodnot, tabulky korekc´ı pˇrevodn´ıch konstant • Odchylky - Závislosti odchylek od lineárn´ıch pr˚ ubˇeh˚ u • PSD - Spektráln´ı v´ ykonové hustoty pro oba smˇery náklonu • Pˇ revodn´ ı charakteristiky - Pˇrevodn´ı charakteristiky mˇeˇric´ı jednotky, kˇr´ıˇzová vazba • Teplota - Teplotn´ı závislost mˇeˇric´ı jednotky

80

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ

Recommend Documents