Elisabet Viviana. Tesis. Oleh

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH TIGA PARAMETER ( ( , , )) DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Tesis

Oleh

Elisabet Viviana

MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016

ABSTRAK

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH TIGA PARAMETER ( ( , , )) DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) Oleh

ELISABET VIVIANA Generalized Rayleigh (G R(α, λ, μ)) mempunyai tiga parameter dengan sebagai parameter bentuk, sebagai parameter skala, dan sebagai parameter lokasi. Pada penelitian ini, parameter dari G3R diduga dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE). MLE merupakan metode estimasi parameter suatu distribusi, dengan cara memilih penduga-penduga yang nilai-nilai parameternya diestimasi dengan memaksimumkan fungsi kemungkinannya. Nilai parameter dapat diduga secara analitik dengan mensubstitusikan nilai dugaan parameter dan . Untuk nilai dugaan dan , karena tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga digunakan metode iterasi untuk mendapatkan dugaan bagi parameter-parameternya. Metode iterasi yang digunakan adalah Metode Newton Raphson, dan dengan bantuan software R. Penelitian ini bertujuan untuk menduga parameter distribusi G3R. Berdasarkan simulasi hasilnya menunjukkan bahwa bias menjadi lebih kecil dan selang kepercayaan menjadi lebih pendek ketika ukuran sampel lebih besar. Kata Kunci : Distribusi Generalized Rayleigh Tiga Parameter(G3 R(α, λ, μ)) , Metode Maximum Likelihood Estimation(MLE), Newton Raphson.

ABSTRACT

PARAMETER ESTIMATION OF THREE PARAMETER GENERELIZED RAYLEIGH DISTRIBUTION ( ( , , )) USING MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE) METHOD By

ELISABET VIVIANA Generalized Rayleigh (G R(α, λ, μ)) contains three parameters with as a shape parameter, as a scale parameter, and as a location parameter. In this study, parameters of G3R be estimated by the Maximum Likelihood Estimation (MLE) method. In estimating parameters of the distribution, the MLE maximizes the likelihood function of the probability density function of the distribution. The values of parameter can be solved analitically with substitution the estimation values of parameter and . For and estimation values, Because it can not be solved analitycally, the iteration method is used to get the estimation of their parameters.The iteration method is Newton Raphson Method and supported by software R. The goal of this research is to estimate the distribution parameters of the G3R. Based on simulation, the result shows that the bias becomes smaller and the confident interval becomes shorter when the sample size are larger. Key Words : Three Parameters Generalized Rayleigh Distribution (G3 R(α, λ, μ)) , Maximum Likelihood Estimation (MLE) Method, Newton Raphson.

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED RAYLEIGH TIGA PARAMETER ( ( , , )) DENGAN METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)

Oleh

Elisabet Viviana

Tesis Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar MAGISTER SAINS Pada Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG BANDAR LAMPUNG 2016

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Way Kandis, Bandar lampung, pada tanggal 03 November 1990, merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Agustinus Sutrisno dan Maria Suyati, penulis mempunyai satu adik perempuan yaitu Dominika Sintia

Penulis memulai pendidikan Taman Kanak-kanak Sejahtera II Bandar Lampung pada tahun 1994, melanjutkan ke SD Sejahtera II Bandar Lampung pada tahun 1996 dan lulus pada tahun 2002, kemudian melanjutkan ke SMP Fransiskus Tanjung Karang, lulus pada tahun 2005, kemudian melanjutkan ke SMA Xaverius Pringsewu, lulus pada tahun 2008. Pada tahun 2008 penulis melanjutkan ke Universitas Sanata Dharma Yogyakarta dan lulus pada tahun 2013.

Penulis melanjutkan pendidikan Pasca Sarjana dan terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada Tahun 2013.

MOTO

“When You’ve Done Everything You Can Do, That’s When God Will Step In And Do What You Can’t Do” - 2 Corinthians 12:10 – “ Takut akan TUHAN adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan “ - Amsal 1 : 7 -

PERSEMBAHAN

Seiring do’a dan rasa syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa Kupersembahkan karya kecilku ini kepada:

Orang tuaku Agustinus Sutrisno dan Maria Suyati Yohanes Juni Irawan dan Dominika Sintia atas doa, semangat, kasih sayang, motivasi dan segala dukungan yang diberikan

Keluarga besar SMP Xaverius 3 Bandar Lampung Semua sahabat dan saudara atas doa , semangat dan atas kesabarannya menanti keberhasilanku

Almamater tercinta Universitas Lampung

SANWACANA

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan tesis ini yang berjudul “PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH

TIGA PARAMETER (

GENERALIZED

( , , )) DENGAN METODE

MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION (MLE)” sebagai salah satu syarat meraih gelar Magister Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Terima kasih yang tulus penulis ucapkan kepada: 1.

Bapak Warsono, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing I yang selalu mengarahkan, membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan tesis ini.

2.

Bapak Mustofa Usman, Ph.D., selaku Dosen Pembimbing II yang dengan sabar

membimbing,

mengarahkan

dan

memotivasi

penulis

dalam

menyelesaikan tesis ini, dan sekaligus selaku ketua jurusan matematika. 3.

Bapak Suharsono, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah mendampingi penulis selama perkuliahan, dan sekaligus sebagai dosen penguji yang telah memberikan kritik, saran, dan nasehat-nasehat dalam penulisan tesis ini.

4.

Bapak Tiryono Ruby, Ph.D., selaku ketua program Studi Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.

5.

Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.

6.

Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama menyelesaikan masa studi.

7.

Orang tuaku tercinta Agustinus Sutrisno dan Maria Suyati yang senantiasa dengan tulus menyayangi, mendo’akan dan memotivasiku dalam menggapai cita-citaku.

8.

Adikku tercinta Dominika Sintia, yang senantiasa memberikan doa dan semangat.

9.

Pacar tercinta Yohanes Juni Irawan yang senantiasa mendampingiku memberiku semangat dan motivasi.

10. Teman-teman Pasca (Pak Kris, Pak Rahman, Pak Anton, Pak Malik, Bu Herli, Bu Ade, Bu Ike, Bu Ana, Pak Waryoto, Nurman, Bu Dwi, Pak Fauzan, Mas Agus, Mbak Suli, Bu Guiana, Mbak Rini, Ayu, Kak Permata, Pak Edi, Mbak Cut, Pak Wahid), teman-teman MIPA ( Reni, Gery dan Yevta) 11. Keluarga Besar SMP Xaverius 3 Bandar Lampung ( Pak Petrus, Bu Kesti, Ms. Henny, Pak Sihmara, Pak Yuli, Pak Emil, Pak Tinus, Bu Ani, Bu Rani, Bu Tantri, Mas Robert) yang selalu bersabar dan memberikan semangat dalam menyelesaikan masa studi. 12. Sahabat-sahabat yang selalu ada saat suka dan duka dalam menyelesaikan masa studi.

Semoga senantiasa memberikan kebaikan dan balasan atas jasa dan budi baik yang telah diberikan kepada penulis. Penulis mohon maaf atas segala kekurangan dan ketidaksempurnaan dalam penulisan tesis ini. Semoga tesis ini bermanfaat bagi kita semua. Amiin. Bandar Lampung, Penulis, Elisabet Viviana

Mei 2016

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR ISI................................................................................................... xiii DAFTAR GAMBAR...................................................................................... xv DAFTAR TABEL .......................................................................................... xvi I.

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah ...................................................................

1

1.2 Batasan Masalah ...............................................................................

2

1.3 Tujuan Penelitian ..............................................................................

3

1.4 Manfaat Penelitian ............................................................................

3

II. LANDASAN TEORI 2.1 Distribusi Rayleigh ...........................................................................

4

2.2 Distribusi Generelized Rayleigh dengan Dua Parameter (G2R(α, λ))

5

2.4 Pendugaan Parameter ........................................................................

7

2.3 Distribusi Generelized Rayleigh dengan Tiga Parameter (G3R(α, λ, ))

6

2.5 Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method) .......................................

9

2.6 Metode Newton Raphson ..................................................................

10

2.7 Program R ..........................................................................................

12

2.8 Selang Kepercayaan...........................................................................

13

III. METODE PENELITIAN 3.1 Metode Penelitian .............................................................................

14

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 PendugaanParameter G3R dengan Menggunakan Metode Maxsimum Likelihood Estimation (MLE) ........................................

16

4.1.1 Pendugaan Parameter

............................................................

18

4.1.2 Pendugaan Parameter .............................................................

18

4.1.3 Pendugaan Parameter

20

............................................................

4.2 Metode Newton Raphson untuk Pendugaan Parameter

dan ........

24

4.2.1 Turunan Kedua Parameter dari fungsi Logaritma Natural G3R Terhadap Parameter 4.2.2 Turunan Kedua Parameter G3R Terhadap Parameter

dan .............................................

26

dari fungsi Logaritma Natural dan .............................................

29

4.3 Menghitung Bias, Rata-rata, Ragam, dan Selang Kepercayaan .......

32

4.4 Grafik Bias, Grafik Ragam, dan Grafik Dugaan Terhadap Selang Kepercayaan ...........................................................

34

V. KESIMPULAN 5.1 Kesimpulan .......................................................................................

39

5.2 Saran .................................................................................................

40

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

DAFTAR GAMBAR

Gambar

Halaman

1. Gambar 1. Grafik PDF distribusi Rayleigh ....................................

5

2. Gambar 2. Grafik PDF distribusi Generelized Rayleigh................

5

3. Gambar 3. Grafik Bias Distribusi Generelized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ..........................................................................

35

4. Gambar 4. Grafik Ragam Distribusi Generelized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ......................................................................... 5. Gambar 5. Grafik Dugaan Parameter

Terhadap Selang kepercayaan

pada distribusi Generalized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ............. 6. Gambar 6. Grafik Dugaan Parameter

36

37

Terhadap Selang kepercayaan

pada Distribusi Generalized Rayleigh 3 Parameter (G3R) ...........

38

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel

1. Hasil perhitungan dugaan, bias, ragam, dan selang kepercayaan distribusi G3R .................................................. 2. Hasil dugaan

................................................................................

33 34

I.

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Generalized Rayleigh Distribution diperkenalkan oleh Burr (1942). Pada mulanya, Burr memperkenalkan dua belas bentuk Comulative Distribution Function (CDF) yang berbeda dalam

pemodelan data kelangsungan hidup.

Dalam perkembangan selanjutnya Surles and Padgett (2001) Surles and Padgett (2004) telah memperkenalkan

Burr Type X dengan dua parameter yang

dinamakan Generalized Rayleigh Distribution with two parameters (distribusi Generalized Rayleigh dengan dua parameter). Distribusi ini merupakan Family dari distribusi Generalized Weibull.

Kemudian Raqab, M.Z. and Kundu, D (2005) mengembangkan distribusi Generalized Rayleigh dengan dua parameter dengan menambahkan parameter sebagai parameter lokasi sehingga distribusinya menjadi distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga parameter .

Beberapa orang telah

meneliti distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga

parameter, diantaranya adalah Debasis Kundu dan Mohammad Z. Raqab dalam Jurnal Internasionalnya yang berjudul “Estimation of

= [ < ] For Three

2

Parameter Generalized Rayleigh Distribution”. Dalam penelitiannya, Kundu dan Mohammad

membahas

= [ < ]

tentang

pendugaan

stress-strength

parameter

ketika X dan Y keduanya adalah distribusi Rayleigh tiga

Parameter dengan skala dan parameter lokasi yang sama, tetapi parameter bentuknya berbeda.

Dalam penelitian ini, ingin dikaji penduga parameter distribusi Rayleigh tiga parameter . Metode yang digunakan adalah metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dimana metode ini merupakan metode yang paling efisien dan sering memberikan pendugaan yang baik, karena prinsip dari metode MLE adalah memilih penduga yang nilai-nilai dari parameternya memaksimumkan fungsi kemungkinan atau memaksimumkan informasi. Dalam penduga parameter dari suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesaikan dengan cara numerik. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson sering digunakan karena metode ini lebih sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat.

1.2 Batasan Masalah Pada penelitian ini, permasalahan dibatasi pada pendugaan,dan perbandingan ketakbiasan

penduga

parameter

menggunakan software R.

G3R

dari

masing-masing

ukuran

data

3

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Menduga parameter Generalized Rayleigh dengan tiga parameter menggunakan metode Maximum Likelihood. 2. Membandingkan bias untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500 dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah memperdalam pemahaman mengenai statistika inferensia khususnya mencari pendugaan parameter Generalized Rayleigh dengan tiga parameter menggunakan metode Maximum Likelihood dan untuk memberikan sumbangan pemikiran bagi peneliti lain yang akan melakukan penelitian lebih lanjut.

II. LANDASAN TEORI

Dalam proses penelitian pendugaan parameter dari suatu distribusi diperlukan beberapa konsep dan teori yang mendukung dari ilmu statistika . Berikut akan dijelaskan beberapa konsep dan teori serta fungsi-fungsi khusus yang digunakan untuk menyederhanakan hasil pencarian fungsi karakteristik dari distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga parameter berkaitan dengan pendugaan parameternya dengan metode Maximum Likelihood menggunakan Software R.

2.1 Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh merupakan distribusi kontinu yang diperkenalkan oleh Lord Rayleigh. Pada tahun 1880, distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan bahwa sebuah distribusi Rayleigh memiliki PDF yaitu sebagai berikut :

f  x,   

x



2

e

 x2

2 2

;  0

5

Gambar 1. Grafik PDF distribusi Rayleigh

2.2 Distribusi Generalized Rayleigh dengan Dua Parameter (G2R( , ))

Raqab (2005) menjelaskan bahwa distribusi Generalized Rayleigh dengan dua parameter (G2R) merupakan salah satu distribusi kontinu yang memiliki dua parameter, yaitu α dan λ. Raqab memisalkan X adalah random variabel dari distribusi G2R sehingga PDF dari distribusi Rayleigh dua parameter yaitu :



f  x ,  ,    2 2 xe    x  1  e    x  2

2



 1

; x  0,   0,   0

Gambar 2. Grafik PDF distribusi generalized Rayleigh

6

Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh PDF dari distribusi generalized Rayleigh dengan melakukan perhitungan dari PDF distribusi Rayleigh, distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell, dan distribusi Chi-Square. Dari penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa distribusi Generalized Rayleigh dengan dua parameter diperoleh dari penggabungan distribusi Rayleigh dengan beberapa distribusi lain.

2.3 Distribusi Generalized Rayleigh dengan Tiga Parameter (G3R( , , )). Raqab, M.Z. and Kundu, D. (2005) menjelaskan bahwa distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga parameter didapat dari distribusi Generalized Rayleigh dua parameter dengan memperkenalkan penambahan μ sebagai parameter lokasi, Oleh karena itu untuk

>0,

> 0 dan ∞ < μ < −∞, distribusi Generelized

Rayleigh dengan tiga parameter mempunyai Cumulative Distribution Function (CDF) : (

( ; , , μ) = 1 −

)

;

>μ

dan Probability Density Function (PDF) :

Dengan : Dimana :

( ; , , μ) = 2 >0;

( − )

> 0 ; −∞ <

<∞;

adalah parameter bentuk adalah parameter skala adalah parameter lokasi

(

)

>

(1 −

(

)

)

;

>μ

7

Selanjutnya, Distribusi Generalized Rayleigh dengan tiga parameter dinotasikan sebagai G3R(α, λ, ). 2.4 Pendugaan Parameter

Dalam statistik inferensia dibutuhkan pemahaman mengenai kaidah-kaidah pengambilan kesimpulan tentang

suatu parameter

populasi

berdasarkan

karakteristik sampel. Hal ini membangun apa yang disebut dengan pendugaan titik dari fungsi kepekatan peluang parameter yang tidak diketahui. Definisi 2.1 Misal suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui  dengan sembarang nilai dari suatu himpunan ruang parameter , maka dinotasikan dengan f (x; ), . Definisi 2.2 Misal X1, X2, ..., Xn berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan peluang f (x; ), . Suatu statistik U(X1, X2, ..., Xn) = U(X) yang digunakan untuk menduga g() disebut sebagai penduga bagi g(). Berkaitan dengan pendugaan parameter akan dijelaskan beberapa sifaat penduga yang baik sebagai berikut:

8

1. Tak Bias Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g() jika E (U(X)) = g(), . 2. Varians Minimum Misal T menyatakan suatu penduga tak bias g(), maka T disebut penduga varians minimum jika

( )

nE

 ()

)  ln f( ; 

3. Konsisten Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga konsisten bagi g() jika ( ) → () untuk

→ ∞, ∀  ∈  yaitu bila P{U(X) – ()} = 0. (Hoog and Craig, 1995)

Untuk menduga parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan beberapa metode. Dalam penelitian ini pendugaan parameter distribusi Generelized Rayleigh tiga parameter akan dilakukan dengan menggunakan metode MLE yang akan dijelaskan pada subbab 2.5 berikut ini.

9

2.5 Metode Pendugaan Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method)

Definisi 2.3 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah sampel acak berukuran n yang saling bebas stokastik identik dari suatu distribusi yang mempunyai fungsi kepekatan peluang f (x; ), . Fungsi kepekatan peluang bersama dari X1, X2, ..., Xn adalah f (x1; ) f (x2; ) ... f (xn; ) yang merupakan fungsi kemungkinan (Likelihood Function). Untuk x1, x2, ..., xntetap, fungsi kemungkinan merupakan fungsi dari 

dan

dilambangkan dengan L() dan dinotasikan sebagai berikut: L() = f ( ̅ ; )

= f (x1, x2, ..., xn; ) = f (x1; ) f (x2; ) ... f (xn; ),  =∏

Definisi 2.4

( ; )

L() = f (x1, x2, ..., xn; ),  merupakan fungsi kepekatan peluang dari x1, x2, ..., xn. Untuk hasil pengamatan x1, x2, ..., xn, nilai

berada dalam  ( ), dimana

L() maksimum yang disebut sebagai Maximum Likelihood Estimation (MLE) dari . Jadi,

merupakan penduga dari

Jika f (x1, x2, ..., xn; ) = max f (x1, x2, ...,

xn; ),  . Maka untuk memaksimumkan L() dicari turunan dariL() terhadap

10

parameternya. Biasanya mencari turunan dariL() terhadap parameternya relatif sulit, sehingga dalam penyelesainnya dapat diatasi dengan menggunakan logaritma atau fungsi ln dari L() yaitu: ln L() = ∑

ln ( ; ). Untuk memaksimumkan ln L() adalah dengan

mencari turunan dari ln L() terhadap parameternya, dimana hasil turunannya disamadengankan nol. ( )

=0

(Hogg and Craig, 1995)

Dalam penduga parameter dari suatu distribusi ada penduga parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik, sehingga perlu diselesikan dengan cara numerik. Salah satu cara yang digunakan adalah dengan teknik iteratif yaitu metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson sering digunakan karena metode ini lebih sederhana dan mempunyai konvergensi yang cepat. Sub-bab 2.6 akan menjelaskan tentang definisi metode Newton Raphson.

2.6 Metode Newton Raphson

Apabila proses pendugaan parameter didapat persamaan akhir yang non linear maka tidak mudah memperoleh pendugaan parameter tersebut, sehingga diperlukan suatu metode numerik untuk memecahkan persamaan non linear tersebut. Salah satu metode yang digunakan untuk memecahkan sistem persamaan

11

non linear adalah Metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson adalah metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif. Jika 0merupakan nilai awal (inisialisasi) dari  atau 0 merupakan nilai ke 1 dari

, maka dapat dimisalkan 0 = i dan 1 = i + 1 dengan i awal 0. Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter. Misal 1, 2, . . . p ... maka iterasinya sebagai beriku:

i + 1 = i – [H – 1 g] 

Dimana 

=



⋮

dan  =



⋮



Vektor gradien atau vektor turunan pertama terhadap parameternya dan lambangnya dengan ( )yaitu:

() =

⎡ ⎢ ⎢ L () = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

L ()

⎤ ⎥ L ()⎥ ⎥  ⎥ ⋮ ⎥ L ()⎥  ⎦



Matriks Hessian atau matriks turunan kedua dari fungsi logaritma natural terhadap parameter , , dan H() =



L ()

dilambangkan dengan H() yaitu:

12

=

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

L( )

ln L ( )

ln L ( )

L( )

⋮

ln L ( )

⋮

ln L ( )

… … ⋱

…

ln L ( )

⎤ ⎥ ⎥ ln L ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⋮ ⎥ ⎥ L ( )⎥ ⎦

(Seber and Wild, 2003)

Pada penelitian ini untuk memudahkan melakukan proses iterasi dengan metode Newton Raphson peneliti akan menggunakan Software R. Penjelasan mengenai Software R akan dijelaskan pada subbab 2.7.

2.7 Program R R adalah perangkat lunak bebas untuk komputasi statistik dan grafik. Merupakan proyek GNU General Public License Free Software Fundation yang mirip bahasa S yang dikembangkan di Bell Laboratories oleh John Chambers dan rekannya. R menyediakan berbagai statistik seperti linear dan non linear modeling, pengujian analisis klasik, analisis time-series, klasifikasi dan lainnya. Sebuah rangkaian perangkat lunak yang digunakan untuk manipulasi data, perhitungan, dan tampilan grafik yang mencakup antara lain sebagai berikut: a.

Penanganan data yang efektif dan penyimpangan data

b.

Rangkaian operator untuk perhitungan array dalam matrik tertentu

13

c.

Fasilitas grafik untuk analisis data dan menampilkannya, baik pada layar maupun hardcopy

d. Bahasa pemrograman yang sederhana, berkembang dengan baik dan efektif.

2.8 Selang Kepercayaan Sebuah selang kepercayaan memberikan rentang nilai dugaan yang kemungkinan akan mencakup nilai dari parameter populasi yang tidak diketahui, dimana rentang nilai dugaannya dihitung dari himpunan data sampelnya. Jika suatu selang kepercayaan memiliki rentang yang sangat luas, menunjukkan bahwa dibutuhkan data yang lebih banyak untuk memastikan nilai dari suatu parameter .Selang kepercayaan lebih informatif dari hasil sederhana tes hipotesis (di mana kita memutuskan “menolak H0” atau “tidak menolak H0’) karena selang kepercayaan memberikan nilai-nilai yang masuk akal untuk parameter yang tidak diketahui (Easton and McColl, 1997) . Idealnya selang yang baik adalah selang yang pendek dengan derajat kepercayaan yang tinggi (Guilford, J.P. and Benjamin Fruchter (1973)).

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Metode Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk mencari pendugaan parameter distribusi Generalized Rayleigh tiga parameter (G R(α, λ, μ)) dengan metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Method) dengan menggunakan Software R.

Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Menduga parameter distribusi (

Generalized Rayleigh tiga parameter

( , , )) menggunakan metode kemungkinan maksimum (Maximum

Likelihood Method) dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi kepekatan peluang (

( , , ))

b. Memaksimumkan fungsi yang diperoleh untuk mendapatkan dugaan parameter. c. Dugaan parameter dari metode kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Method) diperoleh dengan mencari turunan pertama dari

15

logaritma natural fungsi kepekatan peluang terhadap parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan 0. d. Menyelesaikan dugaan parameter yang tidak dapat diselesaikan secara analitik menggunakan metode iterasi Newton Raphson. 2. Membangkitkan data untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500 dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100 menggunakan Software R. 3. Mencari

nilai dugaan

Parameter (

parameter distribusi

Generalized Rayleigh Tiga

( , , ))menggunakan Software R.

4. Membandingkan bias dugaan untuk data berukuran 20, 30, 50, 100, dan 500 dengan masing-masing data dilakukan pengulangan sebanyak 100.

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan Dari hasil penelitian ini dapat diperoleh beberapa kesimpulan sebagai berikut : 1. Pendugaan parameter Generelized Rayleigh tiga parameter (G3R) dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) menghasilkan pendugaan parameter parameter

yang dapat diselesaikan secara analitik. Sedangkan pendugaan dan

tidak dapat diselesaikan secara analitik , sehingga

diselesaikan dengan cara numerik menggunakan metode Newton Raphson. 2. Dugaan

dan

̂ mempunyai nilai yang semakin mendekati parameter

sebenarnya, jika nilai toleransi dan ukuran sampel diperbesar. 3. Nilai bias

dan ̂ akan semakin mengecil jika ukuran sampel diperbesar .

Begitu juga untuk nilai ragam parameter ukuran sampelnya semakin besar. 4. Nilai selang kepercayaan bagi dugaan

dan ̂ akan semakin kecil jika dan

̂ cenderung memendek

ketika ukuran data membesar yang artinya memiliki keakuratan yang tinggi dengan tingkat keyakinan yang tinggi.

40

5.2 Saran

Pendugaan parameter dalam penelitian ini dibatasi dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE), sehingga dibuka kesempatan bagi peneliti selanjutnya untuk mencari pendugaan parameter distribusi Generelized Rayleigh

3

Parameter

(G3R)

menggunakan

metode

membandingkannya dengan metode pendugaan lainnya.

lainnya

ataupun

DAFTAR PUSTAKA

Guilford, J.P. and Benjamin Fruchter. 1973. Statistics in Psychology and Education. McGwar-Hill: Michigan. Hogg, V Robert. and Craig, T Allen. 1995. Introduction to Mathematical Statistic Fifth Edition. New Jersey : The United States of America. Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z. 2005. “Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics and Data Analysis on Applied Mathematics. Vol. 49(1): 187- 200 Ling Xiao, and David E. Giles. 2011. Bias Reduction for the Maximum Likelihood Estimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family of Distributions. Economic Working Paper. Raqab, Muhammad Z. 2005. “Discriminating between the Generalized Rayleigh and Weibull distributions”. Publishing Statistics 41(6), 505 – 515 Raqab, M.Z. and Kundu, D. 2005. “Estimation of R = P[Y < ] For Three Parameter Generalized Rayleigh Distribution”. University of Jordon Amman 11942, Jordon. Seber and Wild. 2003. Nonlinear Regression.New Jersey. The United States of America Spiegel, Murray and Larry J. Stephens. 2004. “Schaum’s Outlines of Theory and Problems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara Valerie J. Easton and John H. McColl. 1997. “Statistics Glossary v1.1”. The STEPS Project.