Elektromos állapot • Görög tudomány, Thales ηλεκτρν=borostyán (elektron) • Elektromos állapot alapjelenségei – Kétféle elektromos állapot pozitív üveg negatív ebonit
• Elektroszkóp
1
Tapasztalatok • Testek alapállapota semleges • Dörzsöléssel a testek elektromosan töltötté tehetők • Kétféle töltött állapot létezik • Az elektromos állapot átvihető érintkezéssel • A dörzsölés a kétféle töltést szétválasztja
2
Szigetelők és vezetők • Az anyagokat szigetelőkre és vezetőkre oszthatjuk (nincs éles határ). • A vezetők továbbítják az elektromos állapotot • A szigetelők nem továbbítják az elektromos állapotot
3
Töltés fogalma • B. Franklin (1706-1790) • Egyenlőség értelmezése azonos sugarú gömbök töltésére → Elektroszkóp azonos kitérés • Egyenlőtlenség → A kitérés nagysága • Nullapont • Előjel 4
Elektromos megosztás • A kétféle töltés – Szétválasztható – Elvezethető – Egyenlő nagyságú
5
Coulomb törvény • Coulomb 1785
q1q2 F∝ 2 r r q1q2 r F =k 3 r r
• Kísérleti nehézségek: levegő szigetelése, pára, gömbök tölthetősége, megosztás 6
Coulomb törvény • Töltésegység(SI rendszerben): 1 C→ 9.109 N • k= 9.109 Nm2/C2 • A Coulomb törvény másik alakja
q1q2 F= 2 4πε 0 r 1
k=
1
4πε 0
• ε0 a vákuum dielektromos állandója • ε0=8.85.10-12 C2/Nm2
7
Coulomb törvény • Gravitációs és Coulomb erő összehasonlítása
e
2
Fc 4πε 0 42 = = 4 , 26 ⋅ 10 2 Fg γ me 8
Coulomb törvény • Meddig igaz a Coulomb törvény – Torziós inga <2% 1 ∝ F . -2 2 +δ – Cavendish |δ|<2 10 r – Maxwell |δ|<4,6.10-5 – Plimton és Lawton (1936) |δ|<2.10-9 – Williams, Faller és Hill (1971) |δ|<2.10-16
• Távolságtartomány amiben vizsgálták 10-15≤r≤103 m (nagy táv. EMH c=const.) 9
Elektromos tér • • • •
Elektromos erők szuperpozíciójának elve el. töltés ↔ elektromos tér ↔ el. töltés Nyugvó, mozgó töltések Elektromos térerősség r F1 ( P1 ) q1
=
r F2 ( P1 ) q2
=
r F3 ( P1 ) q3
r = ... = E ( P1 )
r r F = Eq 10
Elektromos tér • Másik pontban hasonló eredményt kapunk • Fizikai mezőt jellemezhetjük a tér minden pontjához hozzárendelt elektromos r r térerősséggel F = Eq • Igaz a szuperpozíció elve
11
Gauss tétel (3. Maxwell egyenlet) • A matematikai Gauss tétel felhasználásával r r r 1 r ∫ Edf = ∫ div E ( r )dV = ∫ f
V
V
ε0
r ρ ( r )dV
r r r r ⎛ ⎞ 1 1 r r ⎜ ⎟ ∫V ⎜⎝ div E ( r ) − ε 0 ρ ( r ) ⎟⎠dV = 0 ⇒ div E ( r ) = ε 0 ρ (r )
• A Gaussrtétel és differenciális r 1integrális r r r r 1 alakja ∫ Edf = ε ∫ ρ ( r )dV div E ( r ) = ε ρ ( r ) f
0 V
0
12
Az elektrosztatikus tér örvénymentes • Örvénymentes vektortér • Stokes tételből köv. • Pontöltésre vizsgáljuk meg az r rs rotv = 0 ⇔ ∫ vds = 0 g
r r ∫ E ds = ? g
r r ∫ Eds = 0 g
• Kiterjedt töltésrendszerre is igaz
13
Potenciál • Munka
P2
WP1 → P2
P2 r r P2 r r v r = ∫ Fds = ∫ qEds = q ∫ Eds P1
P1
• A potenciál skalár függvény P r r ϕ ( P ) = ∫ E ds 0
P1
ϕ (P0 ) = 0
P
• q töltésen a tér munkája WP1 → P2 = q(ϕ (P1 ) − ϕ (P2 )) 14
Eqvipotenciális felület • ϕ (rr ) = c
által meghatározott pontok halmaza
r r r E (r ) = − grad ϕ (r )
• • a térerősség meghatározása a potenciálból • A potenciál mértékegysége [ϕ ] = J = Volt C • Additív konstans
15
Erővonalak • Vektorterek szemléltetése erővonalakkal – Az erővonalak érintője a vektortér irányát adja – Az erővonalakra merőleges egységnyi felületen áthaladó vonalak száma a térerősség nagyságával arányos?!
16
Ponttöltés tere • A tér gömbszimmetrikus • Alkalmazzuk a Gauss tételt r r q ∫ Edf =
ε0
G
⇒ E 4r π = 2
q
ε0
1
• Potenciál
q E= 4πε 0 r 2 P0 r r r r 1 ϕ (r ) = ∫ E (r ′)dr ′ = q 4πε 0 P
P0′
P
1 1 0 ∫P r′2 dr′ + q 4πε 0 P∫′ 0ds 0
r 1 ⎡ 1⎤0 q ⎛1 1 ⎞ q 1 ⎟ ⎜ − = − ⎯ ⎯ ⎯ → ϕ (r ) = q 17 4πε 0 ⎢⎣ r′ ⎥⎦ r 4πε 0 ⎜⎝ r r0 ⎟⎠ ϕ (∞ )=0 4πε 0 r r
Végtelen töltött egyenes • Szimmetriák: henger, eltolás, tükrözés • Vonal menti l töltésürüség λ r r 1 ∫ Edf = lλ
ε0 λ 1 ( ) Er = 2πε 0 r
H
• Potenciál
r0
ϕ (r ) = ∫ r
ϕ (r ) =
⇒ E 2rπ l =
1
ε0
lλ
λ 1 λ [ln(r′)]rr dr′ = 2πε 0 r′ 2πε 0
λ ⎛r ⎞ ln⎜ 0 ⎟ 2πε 0 ⎝ r ⎠
0
18
Töltött sík tere • Felületi töltésürüség σ + A
E = E ( z) E (− z) = E ( z) 1 E ( − z ) A + E ( z ) A = Aσ
ε0
1 E ( z) = σ 2ε 0 r r E (− z) = − E ( z)
19
Töltött sík tere • Potenciál σ σ ( z0 − z ) ϕ (z ) = ∫ ± dz = ± 2ε 0 2ε 0 z σ ϕ (z ) = − z 2ε 0 z0
20
Két párhuzamos töltött sík • Felületi töltéssűrűség σ -
+
0
d 2ϕ dϕ =0 = c1 ϕ ( x ) = c1 x + c2 2 dx dx x ϕ (0) = 0 = c2 ϕ (d ) = ϕ 0 = c1d
0
d
ϕ(0)=0
ϕ(d)= ϕ0
ϕ (x ) =
ϕ0 d
x
r ϕ0 r E = − grad (ϕ ) = − i d
21
Elektromos dipól • Dipól definíciója, el. dipólmomentum r r 1v r− = r + l • Dipól potenciálja 2 r-Q
r l
rr rr lr pr r ϕ (r ) = kQ 3 = k 3 r r
r +Q
r+
r r 1v r+ = r − l 2
⎛1 1⎞ r −r − ⎟⎟ = kQ − + r− r+ ⎝ r+ r− ⎠ rr 2r l r− − r+ ≅ r− + r+ rr 2r l ϕ (r ) = kQ r− r+ ( r− + r+ ) 22
ϕ (r ) = kQ ⎜⎜
Elektromos dipól • Dipól terének irányfüggése
p cosϑ ϕ (r ) = k 2 r
ϑ
23
Elektromos dipól tere • Elektromos térerősség
rr r r ⎛ pr ⎞ r E (r ) = − grad (ϕ (r )) = − grad ⎜ k 3 ⎟ ⎝ r ⎠ rr r r r r ⎡ 3( pr ) r p ⎤ − 3⎥ E (r ) = k ⎢ 5 r ⎦ ⎣ r ∂ϕ (r ) ∂ ⎡ p x x + p y y + pz z ⎤ = − ⎢k 2 Ex = − 3/ 2 ⎥ 2 2 ∂x ∂x ⎣ (x + y + z ) ⎦ 24
Elektromos dipól elektromos térben • Erő ésrforgatónyomaték r r
r r r F = −QE (r ) + QE (r + l ) r r r r r r r r E (r + l ) ≅ E ( r ) + (l ∇ )E (r ) r r r r r r F = Q (l ∇ )E (r ) = ( p∇ )E
• Homogén erőtérben F=0
25
Elektromos dipól elektromos térben •r Forgatónyomaték r
(
)
r r r r r r r M = − r × QE (r ) + ( r + l ) × QE r + l r r r r r r v r r r r r M = l Q × E (r ) + r × Q l ∇ E (r ) + l Q × l ∇ E (r )
( )
( )
• Homogén erőtérben
r r r M = p×E
26
Elektromos dipól • Dipól potenciális energiája
( )
(
)
r r rr r r r r r v ∇( ab ) = (a∇ )b + b ∇ a + a × ∇ × b + b × (∇ × a )
r r r rr rr F = ( p∇ )E = ∇( pE ) = grad ( pE ) ∞
U dipol = WP→∞
( )
rr r rr = ∫ grad pE ds = − pE P
27
Töltésrendszerek Q = ∑ qi
1 ϕ∝ r
• Töltés i r r 1 p = ∑ qi ri ϕ ∝ 2 • Dipólmomentum r i • Kvadrupólmomentum
r rT K = ∑ qi ri ri i
-
+
+
-
• A töltésrendszert a legmagasabb nem eltűnő momentuma jellemzi 28
Vezetők elektrosztatikája • A vezetőben a töltések elmozdulhatnak, ha ra térerősség r nulla. r rnem • ρ (r ) ≠ 0 ⇒ E (r ) ≠ 0 ⇒ a töltések elmozdulnak, amíg térerősség 0 nem lesz
29
Vezetők elektrosztatikája • A vezetők belsejében a potenciál állandó. • A vezető felületén E merőleges a felületre
r r E d s = 0 ∫
C D
B
g
A
r r B r r C r r Dr r Ar r C r r 0 = ∫ E ds = ∫ E ds + ∫ E ds + ∫ E d s + ∫ E ds = ∫ E ds g
A
B
C
D
B 30
Vezetők elektrosztatikája • Felületi töltéssűrűség és térerősség
∫
r r 1 Edf = Q
F
EΔf =
ε0
1
ε0
σ Δf
σ E = ε0
31
Elektromos eltolódási vektor • Elektromos eltolódási vektor definíciója
D = max (σ n )
E
D n
-
Qinf σn = A
C [D ] = 2 m 32
Kapacitás • Magában álló vezetőre töltéseket viszünk fel, egyensúlyi töltéseloszlás. • Növelve a töltést, a töltéssűrűség-eloszlás alakja nem változhat.
r Q ∝σ ∝ E ∝ϕ Q = Cϕ
33
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Szigetelő anyag (relatív) dielektromos állandója vagy permittivitása – Kondenzátor kapacitásának megváltozása Q0 = C0V0
Q0 = CV
C V0 = C0 V
– Relatív dielektromos állandó
C εr = >1 C0 34
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Síkkondenzátor kapacitása A C = ε r C0 = ε rε 0 d
• Abszolút dielektromos állandó
ε = ε rε 0
• A definíció problémái: készülékfüggő, véges térfogat, kiterjesztés? 35
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Miért változik meg a térerősség? • Poláros és nem-poláros (apoláros) molekulák – Elektromos dipólmomentum – Indukált dipólmomentum – Poláros molekulák, rendeződés a tér irányába
r r pi = βε 0 E
36
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Elektromos tér dielektrikumok belsejében – Szabad és kötött töltések r r r Emikro = Esz + Ek – Mikroszkopikus tér r r r r E = Emikro = Esz + Ek – Átlagolt tér – Makroszkopikus r rtér
r E = E0 + E ′ 37
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Felületi és térfogati kötött töltések • Kötött töltések (polarizációs töltések) felületi töltéssűrűsége és a dielektrikum polarizációja
ΔV = lΔf cos α − σΔf
P
E n
Δf + σΔf
PΔV = PlΔf cos α P Δ V = σΔ f ⋅ l
σ = P cos α
38
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Gauss tétel dielektrikumokra r 1 div E = (ρ sz + ρ ′)
ε0
r 1 r div E = (ρ sz − div P )
ε0
r • Elektromos eltolásrvektora:
div (ε 0 E + P ) = ρ sz r r r D = ε0E + P r div D = ρ sz
39
Elektrosztatikus tér dielektrikumokban • Integrális alak r ∫ div DdV = ∫ ρ sz dV V
r r ∫ Ddf = Qsz
V
f
• Az elektrosztatika másik törvénye változatlanul igaz: r r r
∫ E ds = 0 g
rot E = 0 40
Áram és ellenállás • Töltéshordozók – Fémekben: elektronok – Elektrolitokban: pozitív és negatív ionok – Gázokban: elektronok és ionok
• Elektromos áram: az elektromos töltések rendezett mozgása
r r r r r v +u = v + u = u
41
Áram és ellenállás • Áramerősség (lineáris vezető) ΔQ dQ = I = lim Δt → 0 Δ t dt • Áramirány: pozitív töltések mozgásiránya
E -
+
+
dQ dQ I= + dt dt
−
42
Áram és ellenállás • Stacionárius áram I(t)=const. T • Töltés - áram:
Q = ∫ I (t )dt 0
Q = IT • Mértékegység 1 Amper=1C/s
43
Áram és ellenállás • Áramsűrűség vektor dI J= df ⊥
r r+ J ≈u
r r I = ∫ J df f
• Áramsűrűség - töltéshordozók
r + + r+ − − r− J =e n u +e n u r + r+ − r− J =ρ u +ρ u
44
Áram és ellenállás • Töltésmegmaradás tétele; kontinuitási egyenlet
r r dQ ∫f Jdf = − dt r r r ∂ρ d ∫V divJ dV = ∫f Jdf = − dt V∫ ρ dV = −V∫ ∂t dV 45
Áram és ellenállás • Kontinuitási egyenlet differenciális alakja:
r ∂ρ divJ = − ∂t
• Stacionárius áramok esetén:
r r ∫ J df = 0
r divJ = 0
f
46
Áram és ellenállás • Elektromos ellenállás, Ohm törvény, vezetőképesség
V ∝I
V = RI
I = GV
• Ellenállás egysége: 1V/A =1Ω (Ohm) – Félvezetők (nemlineáris viselkedés)
47
Áram és ellenállás • Fajlagos ellenállás és fajlagos vezetőképesség
l R=ρ F
σ=
1
ρ
• Mértékegysége: Ωm • Egykristályok esetén σ tenzor 48
Áram és ellenállás • Elektromos ellenállás, Ohm törvény,
V = RI • Homogén anyagból készült lineáris vezető ellenállása
l R=ρ F
49
Áram és ellenállás • Az Ohm törvény differenciális alakja J df E dl
dl Jdf ρ = Edl df r r r r Jρ = E ⇒ J = σ E 50
Áram és ellenállás • Az ellenállás hőmérsékletfüggése
ρ T = ρ 0(1 + α (T − T0 ))
– Nagyobb hőmérsékleti tartományban
ρ T = ρ 0(1 + αT + β T + γ T 2
2
) 51
Áram és ellenállás • Az ellenállás hőmérsékletfüggése – Fémek – Szupravezetők – Félvezetők – Fémek elektromos és hővezető képességének aránya
κ = const.T σ
52
Áram és ellenállás • Az Ohm törvény mikroszkopikus értelmezése – Elektrongáz, termikus egyensúly
8kT v = πm
m v ≈ 10 s 5
J = en u
n = (1028 − 1029 )
1 m3
m u ≈ 7 ⋅ 10 s −3
53
Joule-Lenz törvény • Az elektronok az ütközéskor energiát adnak át a rácsnak.
1 1 ⎛ eEτ ⎞ 2 ΔEk = m umax = m⎜ ⎟ 2 2 ⎝ m ⎠
2
1 ⎛ eEτ ⎞ Δt ΔW = m ⎜ ⎟ nΔV 2 ⎝ m ⎠ τ 2
54
Joule-Lenz törvény • Egységnyi térfogatnak időegység alatt átadott energia: ΔW e 2 nτ 2 2 = p= E =σ E ΔVΔt 2m • Differenciális Joule törvény 2
⎛J⎞ p =σ E =σ ⎜ ⎟ = ρ J2 ⎝σ ⎠ 2
55
Joule-Lenz törvény • Integrális Joule törvény:
P = ∫ pdV = ∫ ρ J 2dV =ρ J 2 ∫ dV V
V
V
l 2 P = ρ J Al = ρ ( AJ ) = RI 2 A 2
56
Relexációs idő • Kontinuitási egyenlet
r r ∂ρ ∂ρ + div J = 0 + div ( σ E ) = 0 ∂t ∂t ∂ρ σ ∂ρ 1 r + ρ =0 + σ div ( D ) = 0 ∂t ε ∂t ε
ρ (t ) = ρ 0e
σ − t ε
= ρ 0e
t − Tr
ε Tr = σ
57
Elektromotoros erő • Nem elektrosztatikus térerősség E0 1
+
E*
2
r* r E = − E0
• Elektromotoros erő
W E = Q
58
Elektromotoros erő • Elektromotoros erő 2 r r r* r W12 = ∫ Fi ds = Q ∫ E ds 2
1
1
r* r E 12 = ∫ E ds 2
1
• Zárt áramkörre
r* r E = ∫ E ds 59
Kapocsfeszültség • Elektrosztatikus és idegen erők munkája r r r r r* F = Fe + Fi = Q E + E
(
)
2 r r r* r W12 = Q ∫ Eds + Q ∫ E ds = Q (ϕ1 − ϕ 2 ) + QE 12 2
1
1
• Feszültség vagy feszültségesés
V12 = (ϕ1 − ϕ 2 ) + E 12 60
Kapocsfeszültség • A körben folyó áram E I= Rb + R • Kapocsfeszültség R Vk = E Rb + R • Feszültség karakterisztika E I max = Rb
61
Kirchhoff törvényei • 1. Csomóponti törvény – Kontinuitási egyenlet integrális alakjából
r r dQ ∫f Jdf = − dt = 0
r r n r r n 0 = ∫ Jdf = ∑ ∫ Jdf = ∑ I i f
i =1 f i
i =1
62
Kirchhoff törvényei r J =σ r ρJ=
• 2. Huroktörvény
+
( (
) )
r r* E+E r r* E+E
(
)
r r r r* r r r r* r ∫ ρ J ds = ∫ E + E ds = ∫ E ds + ∫ E ds g
g
g
g
r r r* r ∫ ρ J ds = ∫ E ds n
g
m
∑ I R = ∑E k =1
g
k
k
j =1
j 63
Ohm és Kirchhoff törvények alkalmazásai • Ellenállások soros kapcsolása
V1 I
V2
V3
V4
Vk Vk = V1 + V2 + V3 + ... = IR1 + IR2 + IR3 + IR4 + ... = I ∑ Rk
Vk = IRe
Re = ∑ Rk k
k
64
Ohm és Kirchhoff törvények alkalmazásai • Ellenállások párhuzamos kapcsolása I1 I
I2
I3
Vk Vk Vk Vk I = I1 + I 2 + I 3 + ..... = + + + ...... = R1 R2 R3 Re 1 1 1 1 = + + + ... Re R1 R2 R3
65
Feszültségosztó vagy potenciométer • Változtatható ellenállás I = I' + I"
Rk I’ I”
V ' = I ' Rk = I " Rx
V’
Rx
R V
V = I ( R − R x ) + I " Rx
Rx V =V R '
1 2 x
Rx R 1+ − Rk Rk R 66
Egyenáramú hálózatok, Összetett villamos hálózatok • Jellemzője: elágazások is vannak a hálózatban • Wheasthone híd A Rx
U0
B
R2
NI
Rx = R2 D
R3 R4
Csomópontok Ágak
R3
C
R4
Hurkok 67
Hálózatanalízis és -szintézis • Hálózatanalízis – Vegyes módszer • A telepek kapocsfeszültségei és az ellenállások ismertek • Elemi hurkokra vonatkozó hurokegyenletek és Cs1 csomóponti egyenlet • A Kirchhoff törvényekkel az ágáramok meghatározhatók
• Hálózatszintézis – Áram vagy teljesítmény igények alapján a hálózat ellenállásainak meghatározása – Nem egyértelmű feladat
68
Kétpólusok • Kétpólus: két kivezetéssel rendelkező hálózatrész – Elemi és összetett kétpólusok – Passzív kétpólus • Rövidzárási árama 0
– Aktív kétpólus • Rövidzárási árama nem nulla
– Elfajult kétpólusok • Rövidzár • Szakadás • Ideális műszerek (feszültségmérő, árammérő, t lj ít é é ő)
69
Kétpólusok • Ideális és valóságos generátorok
Rb U0
+ + -
I0
-
Feszültségforrás
Árramforrás
(Thévenin-kép)
(Norton-kép)
Gb
70
Kétpólusok • Kétpólusok összekapcsolása It
Rb U0
I.
+ -
Uk
+ -
Rb ’ U0 ’
II. 71
Kétpólusok • A lehetséges üzemállapotok – A II. kétpólus passziv – A II. kétpólus forrásfeszültsége a kisebb – A forrásfeszültség megegyezik – A II. kétpólus forrásfeszültsége a nagyobb – A II. forrásfeszültsége ellentétes a felvett iránnyal – U0’ <0 rövidzárási áramok megegyeznek – U0’ <0 II. kétpólus rövidzárási árama a nagyobb
72
Kétpólusok • Aktív kétpólusok karakterisztikáinak szakaszai túláramú I
Aktív mérőirány
I
generátoros
Passzív mérőirány
ellenáramú U
U túláramú ellenáramú
generátoros 73
Összetett hálózatok • A hurokáramok módszere – Csak a hálózat egyik hurokrendszerére kell felírni egy-egy egyenletet – Minden (egymás melletti) elemi huroknak saját áramot tulajdonítunk – A valódi ágáramok két hurokáram összegeként, különbségeként adódik – Ez lényegében azt jelenti, hogy a csomóponti törvényeket előre behelyettesítjük az Kirchhoff huroktörvénybe. – Saját ellenállások: a hurokban lévő ellenállások összege – Közös ellenállások: amely más hurokhoz is tartozik, értéke az ellenállás negatívja , ha a két hurokáram ellentétes
74
Összetett hálózatok • Hurokáramok módszere lépései: – Minden elemi hurokra felveszünk egy körüljárási irányt – Meghatározzuk minden hurokra a sajat és közös ellenállásokat – Minden hurokra felírunk egy egyenletet • Az egyenlet baloldalán a hurokáram és a sajátellenállás szorzata+ szomszédos hurkork hurokáramának a közös ellenállással képzett szorzatösszege szerepel • Az egyenlet jobb oldalán a hurokba bekapcsolt feszültségek (pozitív, ha nyíliránya ellentétes a felvett hurokáram irányával)
75
Összetett hálózatok • Hurokáramok módszere n
a)
Ra I a + ∑ Rai I i = −U a i =b i≠a n
b)
Rb I b + ∑ Rbi I i = −U b i =a i ≠b
… … … … … . .
76
Összetett hálózatok • A csomóponti potenciálok módszere – A feszültség-generátorokat áramgenerátorrá transzformáljuk, az ellenállásokat vezetéssé – Egy kiválasztott 0 potenciálú csomóponthoz viszonyítjuk a többi csomópont potenciálját. – Az ágáramokat a csomópontok potenciálkülönbségével fejezzük ki – Az egy csomóponthoz tartozó vezetések összege a saját vezetés – A két csomóponthoz tartozó ág negatív előjellel vett vezetését közös vezetésnek 77 nevezzük
Összetett hálózatok • A csomóponti potenciálok módszere I1=G1UA I2=G2UB I3=G3UC I4=G4(UA-UB) I5=G5(UB-UC) I6=G6(UA-UB)
I1 + I 4 + I 6 + I 01 = 0 I 2 + I 5 − I 6 − I 02 = 0 I3 − I 4 − I5 = 0
78
Összetett hálózatok • A csomóponti potenciálok módszere – Minden csomópontra egy egyenletet – Az egyenlet baloldalán az adott csomópont sajátfeszültségének és sajátvezetésének szorzata, + szomszédos csomópontok és a közös vezetések szorzata – Az egyenlet jobb oldalán az adott csomóponthoz tartozó áramgenerátorok forrásáramainak összege (pozitív, ha a csomópont felé folyik) 79
Összetett hálózatok • A csomóponti potenciálok módszere n
G AU A + ∑ G AiU i = ∑ I Aj i=B i≠ A n
j
GBU B + ∑ GBiU i = ∑ I Bj i= A i≠B
j
… 80
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek • A lineáris szuperpozíció elve – A Maxwell egyenletek lineáris differenciál egyenletek és a differenciális Ohm törvény is lineáris, ezért a megoldásaikat is előállíthatjuk a részmegoldások szuperpozíciójaként.
81
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek • A lineáris szuperpozíció elve
I3 = I a = I + I ' a
" a 82
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek • A kompenzáció elve: – Zárt hálózatból kivágva egy tetszőleges kétpólust a hálózat eredeti villamos állapota visszaállítható, ha a kivágott kétpólus helyére egy megfelelő ideális generátort kapcsolunk.
83
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek • A reciprocitás tétele: – Passzív lineáris hálózatokban az A helyre bekapcsolt ideális generátor a B helyen bizonyos hatást vált ki, akkor a generátort a B helyre helyezve az A helyen ugyanolyan hatást vált ki – Az ideális feszültséggenerátor árammérővel, Az ideális áramgenerátor feszültségmérővel cserélhető fel – Ezek a hurokegyenletek szimmetrikus 84 aldeterminánsaiból következnek
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek
85
Összetett hálózatokra vonatkozó elvek és tételek • Hálózatok dualitása: – Egyenértékű az áram és a feszültség • A feszültség hozza létre az áramot • Az áram hozza létre a feszültséget
– A villamos hálózatoknál ez a kettősség a kétféle generátortípuson alapul – Ezt az analógiát dualitásnak nevezzük – A duális hálózatban a csomópontnak hurok, a huroknak csomópont felel meg 86
Jellegzetes hálózatrészek analízise és szintézise • Feszültség és áramosztó
U k = U AB
Rk Re
Ik
Gk = I Ge
87
Jellegzetes hálózatrészek analízise és szintézise • Összetett feszültségosztók
R2 (R3 + R4 ) U 2 = U be R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
AU =
AU 2
R2 R4 R1 (R2 + R3 + R4 ) + R2 (R3 + R4 )
U ki R4 = = U 2 R3 + R4 88
Jellegzetes hálózatrészek analízise és szintézise • Létraosztók
Követelmények:
AU = AU 1 =
U U1 U 2 U 3 = = = ... = n U be U1 U 2 U n −1
Bármely kimenetről azonos ellenállásérték
89
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Csillag-delta átalakítás
90
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Csillag-delta átalakítás
91
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Csillag-delta átalakítás
Ugyanazon áramgenerátorok esetében ugyanazt a feszültséget kell mérni a megfelelő pontok között mind a delta mind a csillag kapcsolás esetén
I1
92
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Thévenin tétel
93
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Thévenin tétel
94
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Norton tétel
95
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Millmann tétele
96
Összetett hálózatok analízise ekvivalens átalakításokkal • Millmann tétele
n
(G1 + G2 + G3 + G4 )U AB = I1 + I 2 + I 3 + I 4 U AB
G1U1 + G2U 2 + G3U 3 + G4U 4 = G1 + G2 + G3 + G4
U AB =
∑GU i =1 n
i
∑G i =1
i
i97
A stacionárius áram és a mágneses tér • A mágneses indukció vektor definíciója
F = k ⋅ I ⋅ l ⋅ B sin ϑ k =1
B
I
Fmax B= I ⋅l 98
Áramvezető mágneses térben • Az erőhatás és a mágneses indukció közötti vektor összefüggés
r r r F = I ⋅l × B
• Inhomogén mágneses tér, változó szög esetén
r r r dF = I ⋅ dl × B
99
Áramvezető mágneses térben • A mágneses indukció mértékegysége 1T (Tesla)
N 1 Tesla = 1 Am
n B
• Mágneses fluxus
r r dφ = Bn df = B cos θ df = Bdf
φ =
∫ F
r r Bdf
F 100
Áramvezető mágneses térben • Indukciófluxus mértékegysége 1 Wb (weber)
1 Wb =1 T m2 • Ha df merőleges az indukció vonalakra
dφ B= df
101
Áramvezető mágneses térben • B meghatározása erőméréssel, áramirány változtatás F
a
B
F = IaB F B= Ia F B= Ian 102
Áramvezetők közti erőhatás • Két párhuzamos egyenes áramvezető közti erőhatás (áramvezető mágneses tere) – Párhuzamos vezetőkkel • Megegyező irány vonzás • Ellentétes irány taszítás
2 I1 I 2 F =k l b 103
Áramvezetők közti erőhatás • Abszolút amper definíciója SI egységrendszer 1A 1m F=2.10-7N/m azaz k=10-7Ns2/C2 • Coulomb származtatott mértékegység 1C=1As • Vákuumpermeabilitás μ0
μ0 k= 4π
104
Mozgó elektromos töltés mágneses térben • Lorentz-erő
(
)
r r NQ r r r r r (v t ) × B = NQv × B FN = I l × B = t
• Teljes Lorentz-erő
(
(
r r F =Q v×B
r r r F =Q E +v×B
)
) 105
Biot-Savart törvény • Vezetőkben folyó áram mágneses terének részletes tanulmányozásának eredménye:
(
r r r μ 0 I dl × re dB = 2 4π r r r μ0 B = ∫ dB = I∫ 4π
) (
dB r
r r dl × r 3 r
)
dl
106
Biot-Savart törvény alkalmazása • Nagyon hosszú, egyenes vezető mágneses tere b r= cos φ l = b ⋅ tgφ sin θ = cos φ
Θ r
π
μ0 I 2 μ0 I B= cos φ d φ = 4π b ∫π 2π b −
2
Idl
φ dB
b 107
Biot-Savart törvény alkalmazása • Két párhuzamos vezető által egymásra kifejtett erő μ 0 I1 μ 0 I1 B1 = dF21 = B1 I 2dl2 = I 2dl2 2π b 2π b μ 0 I1 I 2 F21 = l I1 2π b μ 0 I1 I 2 F12 = l 2π b
I2 B1
F21 108
Biot-Savart törvény alkalmazása • Köráram mágneses tere dl
μ 0 Idl dB = 4π r 2
⊥
B = ∫ dB|| = ∫ dB sin ϕ
μ0 IR B= dl 3/ 2 ∫ 2 2 4π (R + b ) μ0 IR 2π B= 2π (R 2 + b2 )3 / 2
I
ϕ
⎥⎥
μ0 2 If B= 3/ 2 2 2 4π (R + b )
109
Biot-Savart törvény alkalmazása • Köráram mágneses tere, a köráram középpontjában
r r μ 0 2 pm B= 3 4π R 110
Ampere törvény • Az áramokat előjelesen kell összegezni, pozitív, ha a körüljárási irány és az áram jobbcsavart alkot • Az Amper törvény differenciális alakja r r r r ∫ B dl = μ 0 ∫ J d f
r r r r ∫ rot B df = μ 0 ∫ Jdf
g
f
f
r r rot B = μ 0 J
f
111
Ampere törvény alkalmazása • Henger alakú véges R sugarú vezetékben folyó áram mágneses tere – A vezetéken kívül r>R
r r B d l B 2 r I = = π μ 0 ∫ g
μ0 I B= 2π r 112
Ampere törvény alkalmazása • Henger alakú véges R sugarú vezetékben folyó áram mágneses tere – A vezetéken belül r
r r r2 ∫g Bdl = B2π r = μ 0 I R 2
μ0 I B= r 2 2π R 113
Ampere törvény alkalmazása • Ideális szolenoid mágneses tere
B
n=N/l
B=0
r r ∫ Bdl = Bl = μ 0 NI g
N
NI B=μ0 = μ 0nI l 114
Ampere törvény alkalmazása • Toroid mágneses tere
r r ∫ Bdl = B2rπ = μ 0 NI g
NI B=μ0 = μ 0nI 2 rπ 115
A mágnességre vonatkozó Gauss törvény • A mágneses térre vonatkozó Gauss törvény integrális alakja
r r r ∫ div B dV = ∫ Bdf = 0 V
f
116
A sztatikus mágnese tér alaptörvényei vákuumban • Integrális alak
r r B d f = 0 ∫ f
r r B d s = μ I ∑ 0 k ∫ g
k
Differenciális alak
r div B = 0
r r rot B = μ 0 J 117
Vektorpotenciál • Vektoriális Poisson egyenlet A a vektorpotenciál
r r ΔA = − μ 0 J ΔAx = − μ 0 J x ΔAy = − μ 0 J y ΔAz = − μ 0 J z 118
A vektorpotenciál alkalmazása • Biot-Savart törvény
r r r ∇ × (sv ) = ∇s × v + s∇ × v r r rot J ( r ′) = 0
r μ0 r 1 ′ ′ ( ) B= grad × J r d V r r ∫ 4π r − r′ 119
A vektorpotenciál alkalmazása r r 1 re r grad = − 2 = − 3 r r r
r μ0 B=− ∫ 4π
r r r − r′ r r r 3 × J (r′)dV ′ r − r′
r r r r − r′ r μ0 B= Id l × r r3 ∫ 4π r − r′
120
Mágneses tér az anyagban • Az anyag mágnesezése, molekuláris áramok • Anyag jelenlétében tér r r ra mágneses módosul B = B + B′ 0
• Az anyagban sem sikerült monopólusokat kimutatni r r r
div B = div B0 + div B′ = 0
121
Mágneses tér az anyagban • Alapegyenlet nem változik
r r B d f = 0 ∫
r div B = 0
f
• Mágnesezettségi vektor: a térfogategység r mágneses momentuma
r M=
∑p ΔV
ΔV
m
122
Mágneses tér az anyagban r r r r • Differenciális kapcsolat J df = Mdl ∫f mol ∫g r r r r J d f = rot M d f mol ∫ ∫ f
f
r r r ∫ ( J mol − rot M )df = 0 f
r r rot M = J mol 123
A mágneses térerősség • A mágneses indukció vektor rotációja:
r r r rot B = rot B0 + rot B′ r r rot B0 = μ 0 J r r rot B′ = μ 0 J mol r r r rot B = μ 0 J + J mol
(
)
124
A mágneses térerősség • H mágneses térerősség vektor
(
r r r rot B = μ 0 J + rot M
r r⎞ r ⎛ B − M ⎟⎟ = J rot ⎜⎜ ⎝μ0 ⎠
)
r H=
r r rot H = J
r B
μ0
r −M
125
A mágneses térerősség • H mértékegysége 1 A/m • Az integrális egyenletek
r r r r rot H d f = J d f ∫ ∫ f
f
r r r r H d l = J d f ∫ ∫ g
f
r r H d l = I ∑ k ∫ g
k
126
A mágneses térerősség • Abszolút mágneses permeabilitás
μ = μ 0μ r
• B és H kapcsolata
r r B = μH r r B = μ 0μ r H 127
Anyagok mágneses tulajdonságai • Gyengén mágneses és erősen mágneses anyagok • Paramágneses anyagok χm>0 és χm˜10-5 – Hőmérsékletfüggés (Curie törvény)
C χm = T – Pl. Al, Cr,K,Mg,Pt,Mn 128
Anyagok mágneses tulajdonságai • Diamágneses anyagok χm<0 és
χm˜10-5
– Nem függ a hőmérséklettől (Bi,Cu,Ag,Pb,Zn)
• Ferromágneses anyagoknál χm>0 és χm˜103- 105 – μr nem állandó, mágneses telítés
M = Mt
B = μ 0H + μ 0M 129
Anyagok mágneses tulajdonságai • Ferromágneses anyagok Fe, Co, Ni, Gd+ötv. – – – – – –
Mágneses hiszterézis Br, Mr ha H=0 remanencia koercitív erő hiszterézis veszteség mágnesesen kemény anyagok Br Hc nagy mágnesesen lágy anyagok Br Hc kicsi, kis veszteség
130
Mágneses tér számítása • Homogén- izotrop anyaggal kitöltött szolenoid
r r H d l = I ∑ k ∫ g
k
Hl = nlI H = nI B = μ r μ 0 H = μ r B0
B B=0 N n=N/l
131
B és H közeghatáron • Törési törvény
B1t tgα 1 B1t μ1 B1n = = = tgα 2 B2 t B2 t μ2 B2 n
α1
α2
132
Mágneses térben fellépő mechanikai erők • Erőhatás két mágneses anyag határfelületén – B merőleges a felületre
fB ⎛ 1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ F= − 2μ 0 ⎝ μ 1 μ 2 ⎠ 2
133
Mágneses körök • Légréses toroid r r ∫ H dl = ∑ I k k
g
H vas lvas + H lev llev = NI
B
μ 0 μ vas
lvas +
B
μ 0 μ lev
Bn ,lev = Bn ,vas = B
llev = NI 134
Faraday-féle indukciós törvény • I~dφ/dt, I~dφ/dt/R • Indukált elektromotoros erő
dφ Ei = − dt
dφ dΨ E i = −N =− dt dt
d d E i = − ∫ Bn df = − ∫ B ⋅ cosθ df dt dt
135
Lenz törvény • A negatív előjel jelentése a Faraday törvényben • Az indukált elektromotoros erő olyan irányú, hogy hatására keletkezett áram akadályozza a mágneses fluxus változását • Ez az energia-megmaradás elvéből következik.
136
Indukció mozgó vezetőkben • Elektromotoros erő keletkezése mágneses térben mozgó vezetőkben, elektronok
B
⊕ ⊕
Ei
+++ v
l
dl
(
r r r FB = −e v × B r r − eE0 = FB
)
---
(
r r r − e Ei = − e v × B
)
(
r r r Ei = v × B
137
)
Indukció mozgó vezetőkben • Az elektromotoros erő: a nem elektrosztatikus térerők körintegrálja
(
) )
B r r r r r r r rr rr r E i = ∫ v × B dl = ∫ v × B dl = v × B l = B l × v rr r A B l × v dt Ei = r r dt r B l × v dt = − n df ⊕ Ei v
(
)
⊕
(
)
(
l
dl
)
(
dφ Ei = − dt
138
Forgó vezetőhurok • Elektromotoros erő mágneses térben forgó vezetőhurokban b v =ω 2
B n
b/2
b Ei = vB sin θ = ω B sin θ 2 r r E i = ∫ Ei dl = 2 Ei a = ω abB sin θ
E i = ω fB sin ω t 139
Indukció nyugvó vezetőkben • Időben változó mágneses tér, akkor is áramot kelt a vezetőben, ha maga a vezető nincs is mágneses térben.
g
r r dφ B d r r E i = ∫ Ei dl = − = − ∫ Bdf dt dt f r r r ∂B r ∫ Ei dl = − ∫f ∂t df 140
Indukció nyugvó vezetőkben • A második Maxwell egyenlet differenciális alakja: r r r ∂B r ∫f rotEdf = − ∫f ∂t df r r r ⎛ r ∂B ⎞ r ∂B ∫f ⎜⎜⎝ rotE + ∂t ⎟⎟⎠df = 0 ⇒ rotE = − ∂t
141
Indukció nyugvó vezetőkben • Az indukált elektromos tér örvénytér!! • Az időben változó mágneses teret zárt zárt elektromos r r erővonalak veszik körül ∫ Ei ds = I i R g
• Vezető nélkül, szigetelőben és vákuumban is elektromos tér keletkezik 142
Indukált elektromotoros erő általános egyenlete • Indukciós törvény
dφ d r r = − ∫ Bdf Ei = − dt dt f r r r ⎛ ∂f ⎞ ∂B r df − ∫ Bd ⎜⎜ ⎟⎟ E i = −∫ ∂t ∂t ⎠ f f ⎝ r r r r ∂B r E i = −∫ df + ∫ v × B dl ∂t f g
(
r ⎛ ∂f ⎞ r r d ⎜⎜ ⎟⎟ = v × dl ⎝ ∂t ⎠
)
143
Elektromos tér szolenoid körül • Szimmetria és 2. Maxwell egyenlet r r r ∂B r ∫ Ei dl = − ∫f ∂t df
szolenoid R
• r≤R
dB Ei 2 rπ = − r π dt 2
• r>R dB Ei 2 rπ = − R π dt 2
r dB Ei = − 2 dt
R 2 dB Ei = − 2r dt
144
Áramok mágneses terének energiája • A mágneses tér energiájának egyenlőnek kell lenni ezzel a munkával 1 2 U = LI 2 • A mágneses tér energiasűrűsége: L = μ 0μr n V 2
1 1 2 2 2 U = μ 0 μ r n VI = μ 0 μ r H V 2 2
2 1 1 U 1 B u = = μ 0 μ r H 2 = HB = 2 2 μ 0 μr V 2
145
Ferromágnesek átmágnesezése • Az indukált elektromotoros erővel szemben végzett munka dΨ dW ′ = (− E ö )Idt = Idt = IdΨ dt
Ψ = nlBf H = nI dW ′ = HdBV
• Ferromágnes nélkül ∫ dW ' = ∫ dU = 0 146
Ferromágnesek átmágnesezése • Ferromágnes esetében
S1 = ∫ HdB ≠ 0 • A ferromágneses anyag belső energiája növekszik
147
Maxwell-egyenletek • Ampere-féle gerjesztési törvény r r r r
∫ H dl
rot H = J
=I
• Érvényes-e változó áramok, terek esetén? • Töltéssűrűség időfüggő, a töltésmegmaradás (kontinuitási egyenlet): r ∂ρ div J = − ≠0 ∂t
(
)
r r 0 ≡ div rot H = div J ≠ 0
148
Maxwell-egyenletek • Eltolódási áramsűrűség r
r r ∂D rot H = J + ∂t
r r ∂D Je = ∂t
• Teljes áramsűrűség
r r r Jt = J + Je 149
Maxwell-egyenletek • Ha J=0
r r ∂D rot H = ∂t
r r ∂B rot E = − ∂t
• Az ellentétes előjelek biztosítják az energia-megmaradást r r r r r ∂E ∂P D = ε 0E + P Je = ε 0 + ∂t ∂t 150
Maxwell egyenletek Integrális
r r r r ∂D r ∫G Hds = ∫F (J + ∂t )df r r r ∂B r ∫G Eds = − ∫F ∂t df r r ∫F D d f = Q r r ∫ Bdf = 0 F
differenciális
r r r ∂D rot H = J + ∂t r r ∂B rot E = − ∂t r div D = ρ r div B = 0 151
Maxwell-egyenletek • Határfeltételek, ha a határfelületen nincsenek töltések és áramsűrűség 0 D2 n = D1n E2 t = E1t
B1n = B2 n
H1t = H 2 t
• Ha a határfelületen töltés van, vagy áram folyik: D2 n − D1n = η E2 t = E1t
B1n = B2 n
H 2 t − H1t = J N
r r r N = n ×t 152
