POL/NOM/AL D/ ATAS F/ELD
Bab ini membahas Ring K[t] dari Polinomial atas suatu Field K dan akan ditunjUkkimbahwa K[t] mempunyai banyak sifat yang analog dengan sifat Ring Z dari integer.
DERN/S/ POL/NOM/AL Sekarang kita definisikan suatu Polinomial di atas suatu Field K dan derajatnya.
Definisi 7.1 (Po/inomia/j Misalkan K adalah suatu Field. Secara formal, suatu Polinomial f di atas K adalah suatu barisan talc hingga elemen K pada yang semua kecuali sejumlah hingga dari mereka adalah 0: yakni f
= ( ..., 0, ~,
..., ai' ao>
atau,
di sini simbol t digunakan untuk menyatakan sesuatu yang tidak tertentu. Elemen ak disebut koefis;en ke k dari f. Jika n adalah integer terbesar, dengan an * 0, maka kita katakan bahwa derajat
dari f adalah n, ditulis der(f) = n.
Kita juga menyebut an adalah koefisien terdepan dari f, dan, jika an = 1, kita menyebut f suatu Polinomial Monik. Pada lain pihak, jika setiap koefisien dari f adalah 0 maka f disebut Polinomial
Nol, dituliskan f == O. Derajat dari Polinomial Nol tidak terdefinisi. Sekarang kita definisikan Ring dari Polinomial atas Field K.
94
Def;n;s; 7.2 Misalkan K[t] koleksi semua Polinomial f(t). Penjumlahan dan perkalian didetinisikan dalam K[t] sebagai berikut. Pandang
= antn + ... + alt + 30 dan g(t) = bmtm + ... + bit + bo
f(t)
Jumlah f+g adalah Polinomial yang didapatkan dengan menambahkan koetisien yang berkorespondensi, yakni jika m s:;n, maka
Selanjutnya, perkalian dari f dan g adalah Polinomial
Yang adalah,
k ck
=L
i=O
ajbk_1
= 30bk + albk_1 + ... + ~bo
Teorema 7.1 digunakan:
Teorema 7.1 K[t] di bawah operasi penjumlahan dan perkalian pada Defmisi 7.2 di atas adalah suatu Ring Komutatif Berunitas, dan tanpa Pembagi Not. (Yakni, K[t] adalah suatu Daerah Integral.)
Kita akan menunjukkan bagaimana skalar atau konstanta K dapat dipandang sebagai suatu himpunan bagian dari K[t]. Kita identitikasikan skalar 30 e K sebagai Polinomial
95
.
f(t)
ao
= ao atau
=(...,cf.ao>
Karenanya operasi penjumlahan dan perkaIian dari elemen K adaIah terpenuhi di bawah identiflkasi ini,
(..., 0, ao) + (..., 0, bo) = (..., 0, ao + bo) dan (..., 0, ao) · (..., 0, bo) = (..., 0, aobO>
Teorema 7.2 Pandang f dan g adaIah PolinomiaI pada K[t]. Berlaku der(fg)
= der(t)
+ der(g)
Bulcti Pandang f(t)
bm*0.
= ~tn
+ ... + aOdan g(t)
= bmtm + ... +
bo dan an *
Karenanya f(t)g(t) = ~bmtn+m + suku dari derajat yang lebih rendah. Berarti Field K tidak mempunyai Pembagi Nol,
Karena itu der(fg) = n+m
= der(t)
96
+ der(g)
° dan
SIFAT POLINOMIAL Sitat 7.1 Eelemen ak Nol dari K adaIah Unit dari K[t].
Buldi Pandang
f(t)g(t)
= I.
Karenanya
o = der(l)
= der(fg) = der(t) Karenanya der(t)
+ der(g)
=0
dan der(g)
= 0, dan
f serta g adalah skalar pada K.
Pada lain pihak, jika a E K dan a ~ 0, maka a
·
a-I
=1
dan a adalah suatu Unit dari K[t]. Sebagai catatan, suatu Polinomial g disebut membagi suatu Polinomial f jika terdapat suatu Polinomial h sedemikian sehingga f(t)
= g(t)h(t)
Sitat 7.2 Pandang g(t) membagi f(t). Berlaku bahwa
der(g) <= der(f
Buldi Jika g membagi f, maka terdapat h sedemikian sehingga f(t) = g(t)h(t)
97
Karenanya, dari Teorema 7.2, der(f)
= der(g)
+ der(h)
~ der(g)
Sifat 7.3 Pandang f dan g adalah Polinomial, sedemikian sehingga f membagi g dan g membagi f. Berlaku bahwa der(f)
= der(g)
dan
f dan g adalah asosiasi, yakni f(t)
= kg(t)
di sini k E K.
Bukti Dengan Sifat 7.2 (atau Teorema 7.2), der( f) E der(g) dan der(g) E der( f) Karenanya der(f)
= der(g)
Selanjutnya karena g membagi f, maka ada h sedemikian sehingga f(t) = h(t)g(t) karena der(f)
= der(g), der(h)
kita dapatkan
=0
Dengan perkataan lain, h(t) = k, suatu elemen dari K. 98
Sifat 7.4 Pandang d dan d' adalah Polinomial Monik sedemikian sehingga d membagi d' dan d' membagi d. Berlaku d = d'
Bukti Di sini d(t)
= kd'(t)
di sini k E K. Koefisien terdepan dari d adalah 1, karena Monik, dan koefisien terdepan dari kd' adalah k karena d' adalah Monik. Karenanya k = 1 dan d = d'.
ALGORITMA EUCUDEAN, AKAR POUNOMIAL Berikut ini diberikan tiga teorema tentang Polinomial. Bukti ketiga teorema tersebut diberikan kemudian.
Teorema 7.3 (Algoritma Pembagian Euclidean) Misalkan f(t) dan g(t) adalah Polinomial di atas suatu Field K dengan g(t) :I: O. Karenanya ada Polinomial q(t) dan r(t) sedemikian sehingga f(t) di sini r(t)
= q(t)g(t)
+ r(t)
= 0 atau der(r) < der(g)
Teorema 7.3 di atas secara formal dikenal sebagai proses long division.
99
Teorema 7.4 Pandang a e K adalah akar suatu Polinomial f(t) atas K dengan der(t) = n. Maka terdapat suatu Polinomial q(t) dengan der(q) = n - 1, sedemikian sehingga f(t)
= (t -a)g(t)
Yakni bahwa t-a membagi f(t).
Teorema 7.5 Pandang suatu bilangan rasional p/q (direduksi sebagai suku terendah) adalah suatu akar dari Polinomial
di sini "n, ..., 80 E Z Maka p membagi suku konstanta aO, dan q membagi koefisien terdepan an' [Secara khusus, jika c p/q adalah suatu integer, maka c membagi 80,]
=
CONTOH AKAR POL/NOM/AL Contoh berikut ini menggunakan teorema 7.3, 7.4, dan 7.5 yang lalu.
Contoh 7.1 Pandang f(t) = t3 + t2 - 8t + 4. Asumsikan f(t) mempunyai suatu akar rasional. Kita akan mencari semua akar dari f(t). Karena koefisien terdepan adalah 1, akar rasional dari f(t) hams integer antara :tl, :1:2,:f:4. Dapat dicatat f(1) *- 0 dan f(-1) *- O.
Dengan menggunakan pembagian oleh t-2, kita dapatkan
100
2
11+1-8+4 2+6-4 1+3-2+0
Karenanya t
= 2 adalah
f(t)
= (t-2)(~
suatu akar, dan + 3t -2).
Selanjutnya dengan menggunakan rumus kuadratik untuk t2 + 3t 2 = 0, kita dapatkan akar berikutnya dari f(t). Jadi diperoleh t = 2, t (-3 + .../17)12,t (3 .../17)12.
=
=
Contoh 7.2 Pandang g(t)
= t3 - 2t2 - 6t - 3.Kita
akan mencari akar dari g(t), asumsikan
g(t) mempunyai suatu akar integer. Akar integer dari g(t) harns antara :1:1,:1:3.Di sini g(1) :#: O. Kita gunakan pembagian sintetik (synthetic division) dengan membagi gi) dtmgan t + 1. Kita dapatkan
1
1
1 -"2 - 6 - 3 -1 + 3 + 3 1-3-3+0
Karenanya t = -1 adalah suatu akar, dan g(t)
= (t +
1) (t2 - 3t
- 3)
Sekarang kita dapat menggunakan rumus kuadratik pada t2
- 3t 3, untuk
mendapatkan akar berikutnya. Jadi didapatkan dari g(t) adalah t = -1, t 2, t = (3 - .../21)12.
= (3
+.../21)/
101
Contoh 7.3
=rJ - 2t3 +
Pandang h(t)
11t - 10. Kita akan mencari semua akar Riil.
Akar integer harus antara :tl, :1:2,:1:5,:t1O. Dengan synthetic division [menibagi dengan t-l dan kemudian dengan t+2] kita dapatkan 1
I
1-2+0+11-10 1-1-1"+10
2
I
-
1 - 1 1 + 10 + 0 -2 + 6 - 10 1-3+5+
Karena itu t
= 1 dan
h(t)
t
0
= -2 adalahakar, dan
=( t- 1) (t + 2) (~ - 3t + 5)
-
Rumus kuadratik kita gunakan pada ~ 3t + 5 , temyata tidak terdapat akar Riil. Jadi hanya t = 1 dan t = -2 merupakanakar Riil dari h(t).
Contoh 7.4 Pandang f(t) = 2t3 - 3t2 - 6t - 2. Kita akan mencarisemua akar dari f(t), diketahui bahwa terdapat suatu akar rasional. Akar Rasional harus antara :t1, :1:2,:t1l2. Periksa apakah akar yang mungkin kita dapatkan melalui synthetic division (atau pembagian oleh 2t + 1), -112
I
2
-
3 -6 -2 -1 + 2 + 2
2-4-4+0 102
------------
Karena itu t
= -1/2 adalah suatu akar, dan
f(t) = (t + 1/2) (2t2
- 4t - 4) = (2t +
1).(t2
- 2t - 2).
Kita sekarang dapat O1enggunakanformula kuadratik pada didapatkan tiga akar dari f(t), yakni t
~ - 2t
= -1/2,t = I + ..J3,t = 1 - ~3.
- 2, dan
BEBERAPA TEOREMA POUNOMIAL Bukti Teorema 7.3 Jika f(t) == 0 atau jika derajat f < derajat g, rnaka kita terpenuhi bahwa f(t)
= Og(t) + f(t)
Sekarang pandang derajat f ~ derajat g, katakan
di sini ~, bm "#0 dan n ~ 01.
Kita bentuk Polinornial
ft(t) = f(t)
~
--
t"-mg(t) bm
[Ini adalah tahap pengurangan pertarna pada "pernbagian panjang."] Karenanya derajat fl < derajat f. Melalui induksi, terdapat Polinornial ql(t) dan r(t) sedernikian sehingga
di sini berlaku baik untuk r(t) == 0 atau derajat r < derajat g. Substituslkan ini ke dalam (1) dan selesaikan untuk f(t), kita dapatkan
103
yang adalah penyajian yang dimaksud.
Bulcti Teorema 7.4 Dari Teorema 7.3 terdapat q(t) dan r(t) sedemikian sehingga f(t) = (t-a)g(t) + r(t)
(*)
dengan r(t) ==0 atau derajat r < derajat (t-a)
= k, suatu konstanta.
Karena itu r(t) (*) menghasilkan f(a) Karena f(a) Karena itu
= (a-a)q(a)
= 1.
Substitusikan t
= a dan
= k ke dalam
+ k
= 0 dan a-a =0, kita dapatkan k = r(t) = O. f(t) = (t-a)q(t). juga n = derajat f = derajat (t-a)
derajat q. Karenanya derajat q
r(t)
+ derajat q
=1+
= n-1.
Bulcti Teorema 7.5 Substitusikan t
= p/q
ke dalam f(t)
=0
untuk mendapatkan
~(p/q)n +... + a)(p/q) + 30 = 0 Kalikan kedua mas persamaan dengan qn' didapatkan ~pn + ~_)pn-)a + ~_2pn-2q2+ ... + a)pgn-) + aoqn
=0
karena p membagi semua n suku pertama dari (*), p hams membagi suku terakhir aoqn.Asumsikan p d~ q adalah prima relatif, p membagi 30. Dengan eara yang sarna, q membagi n suku terakhir dari (1), karenanya q membagi suku pertama ~. karena p dan q adalah prima relatif, q membagi ~. 104
Teorema
7.6
Pandang f(t) suatu Polinomial atas suatu Field K dan derajat f = n. Makaf(t) mempunyai paling banyak n akar pada K.
Bulct; Pembuktian adalahmelaluiinduksipada n. Jika n
= I,
maka f(t)
= at + b dan f(t) mempunyai akar t yang unik =-b/a.
Pandang n > 1. Jika f(t) tidak mempunyai akar, teorema adalah benar. Pandang a E K suatu akar dari f(t). Karenanya f(t) di sini derajat g
= (t-a)g(t)
= n-l.
Kita tuntut bahwa sembarang akar lain dari f(t) harns juga adalah suatu akar dari g(t). Pandang b * a adalah akar lain dari f(t). Subsitusi t b pada (*) menghasilkan 0 = f(b). = (b-a)g(b). Karena K tidak mempunyai Pembagi Nol, dan b-a * 0, kita harns mempunyai g(b) = O. . Secara induksi, g(t) mempunyai paling banyak n-l akar. Karena itu f(t) mempunyai paling banyak n-l akar selain a. Karena itu f(t) mempunyai paling ban}'ak n akar.
=
Teorema 7.7 Pandang f(t) suatu Polinomial atas Himpunan Bilangan Riil R, dan pandang bilangan kompleks z = a + bi, adalah suatu akar dari f(t). Berlaku bahwa kompleks sekawan (conjugate) Zs a bi adalah juga suatu akar dari f(t) dan karenanya
= -
c(t)
= (t - z)(t - zs) =t2-2at+a2+b2
adalah suatu faktor dari f(t).
105
Bukti Karena derajat c
=2, maka terdapat q(t) dan M, N e
= c(t)q(t)
f(t)
R sedemikian sehingga
+ Mt + N
Karena z = a + bi adalah suatu akar dari f(t) dan c(t), kita mempunyai melalui substitusi t a + bi pada(*)
=
f(z)
= c(z)q(z)
+ M(z) + N
o = Oq(z) +
M(z) + N M(a+bi) + N 0
=
Karena itu Ma + N
Karena b
= 0 dan
Mb
= O.
* 0, hamslah M = O. Karenanya O+N=Oatau N=O
Karena itu f(t) = c(t)q(t)
dan zs = a - bi adalah suatu akar dari f(t).
Contoh 7.5 Pandang f(t)
= r4 - 3t3 +
6t2 + 25t
- 39.
Kita akan mencari semua akar dari f(t), dengan diberikan bahwa t
adalah suatu akar.
=2
+ 3i
.
Karena 2 + 3i adalah suatu akar, maka 2 - 3i adalah juga suatu akar, dan c(t) = t2 - 4t + 13 adalah suatu faktor dari f(t). Dengan membagi f(t) oleh c(t) kita dapatkan f(t) = (t2 4t + 13) (t2 + t 3).
-
-
Dengan menggunakan mmus persamaan Kuadratterhadap t2 + t - 3 didapatkan lagi akar dari f(t). Jadi keempat akar dari f(t) adalah: 2 + 3i, 2
106
- 3i, (-1 + ..J13)I2,(-1 - ..J13)I2.
Contoh7.6 Pandang f(t) adalah suatu Polinomial rill berderajat ganjil. Akan kita tunjukkan bahwa f(t) harns mempunyai suatu akar Riil. Akar kompleks dari f(t)selalu berpasangan, berdasarkan Teorema 7n. Teori dasar aljabar berakibat bahwa f(t) mempunyai sejumlah ganjil akar. Karenanya paling sedikit satu akar dari f(t) harns riil.
Contoh 7.7 Akan kita buktikansecara geometrikbahwa suatu Polinomialriil f(t) berderajat ganjil mempunyai suatu akar riil. Pandang bahwa koefisien terdepan dari f(t) adalah positif [dalam hal lain kalikan f(t) denganq -1]. karena derajat f =n di sini n ada1ah ganjil kita mempunyai
lim f(t) = +00 t~
dan
lim f(t)-oo t~
Karena itu grafik dari f(t) harns memotong sumbu t pada paling sedikit satu titik, sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 7.1.
Gambar
7.1
107
K(t) SEBAGAI SUATU DIU DAN DFT Sub bagian ini membuktikan bahwa Ring K(t) dari Polinomial di atas suatu Field K adalah suatu Daerah Ideal Utama, dan suatu Daerah Faktorisasi Tunggal.
Teorema 7.8 Ring K[t] dari Polinomial atas suatu Field K adalah suatu Daerah Ideal Utama. Jika J adalah suatu Ideal pada K[t], maka ada suatu Polinomial Monik yang tunggal d, yang membangun J, yakni, membagi setiap Polinomial f E J.
Buldi Misalkan d adalah suatu Polinomial berderajat terendah pada J. Karena kita dpat mengalikan d dengan suatu skalar tidak nol, kita dapat mengasumsikan tanpa kehilanganhal yangumum, bahwad adalahsuatuPolinomialMonik. Sekarang pandang f E 1. Berdasarkanalgoritma Division, terdapat Polinomial q dan r sedemikian sehingga f di sini r
= qd + r
= 0 atau derajat r < derajat d. =
Sekarang q, d E J berakibat qd E J dan karenanya r f - qd E J. Tetapi d adalah suatu Polinomial berderajat terendah pada J. Karenanya, r = 0 dan f = qd, yang berarti bahwa d membagi f.
Yang masih harns ditunjukkan d adalah tunggal, Jika d' adalah Polinomial onik lain yang membentuk J, maka d membagi d' dan d' membagi d. Ini berakibat bahwa d = d', sebab d dan d' adalah Monik. Karena itu teorema telah terbukti.
Teorema
7.9
Misalkan f dan g Polinomial Tidak 01pada K[t]. Maka ada suatu Polinomial Monik yang tunggal d sedemikian sehingga (i) d membagi f dan g dan (ii) jika d' membagi f dan ]g, maka d' membagi d. 108
Buld; HimpunanI
= {mf + ng : m, n E
K[t]}, s suatu Ideal. Misalkan d adalah Polinomial Monik yang membentuk I. Dicatat bahwa f, g E I; karenanya d membagi f dan g. Sekarang pandang d' membagi f dan g. Misalkan J adalah Ideal yang dibentuk oleh d'. Karenanya f, g E J dan karenanya I = J. Karenanya, d E J dan juga d' membagi d sebagai yang diminta.
Ditunjukkan d adalah tunggal. Jika d I adalah [Monik] terbesar lain pembagi persekutuan dari f dan g, maka d membagi d I dan dI membagi d. dl ini berakibat bahwa d = dI, sebab d dan d I adalah Monik. Karena itu teorema telah terbukti.
.
Sebagai catatan, Polinomial d pada Teorema 7.9 disebut Pembagi Persekutuan Terbesar dari f dan g. Jika d = I, maka f dan g disebut Prima Relatif.
Ak;bat 7.10 Misalkan d Pembagi Persekutuan Terbesar dari Polinomial f dan g. Maka ada
Polinomial m dan n sedemikian sehingga d
= mf + ng.
Secara khusus, jika f dan g adalah prima relatif, maka ada Polinomial m dan n sedemikian sehingga mf + ng = 1.
Buld; Dari bukti Teorema 7.9, d membentuk Ideal I Karena itu ada mtn E K[t] sedemikian sehingga d
= {mf +
= mf
.:..
ng: m,n E K [t]}.
ng.
Def;n;s; 7.3 {Polinom;al Tak-tereduks;} Suatu Polinomial p E K[t] disebut Tak-tereduksi jika p mempunyai derajat positif, yakni p adalah bukan suatu konstanta, dan jika p = fg berakibat f atau g adalah suatu skalar.
109
Lemma 7.11 Pandangp membagifg, p adalahTak-tereduksi,Polinomialf, g E K[t],maka p membagif, atau p membagig. Lebih umum, jika p membagi hasil kali dari n Polinomial flf2...fn, maka p membagi paling sedikit satu dari mereka.
Bukti Pandang bahwa p membagi fg, tetapi P tidak membagi f. Karena p adalah talc tereduksi, maka Polinomial f dan p hams prima relatif. Karena itu ada Polinomial m, n E K[t] sedemikian sehingga mf + np
=1
Perkalian persamaan ini dengan g, menghasilkan mfg + npg = g Tetapi p membagi fg dan karenanya mfg, dan p membagi npg; karenanya p membagi jumlahnya, g = mfg + npg. Sekarang pandang p membagi flf2...fn. Jika p membagi fl, maka lemma benar. Jika tidak, maka berdasarkan hasil di
atas p membagihasilkali f2 ... fn' Dengan induksi pada n, p membagi salah satu dari Polinomial f2, itu lemma terbukti.
fn. Karena
Teorema 7.12 (Teorema Faktorisasi Tunggal) Misalkan f adalah suatu PolinomialTak Nol pada K[t]. Maka f dapat disajikan secara tunggal (kecuali karena urutan) sebagai suatu hasil kali
di sini k E K dan Pi adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi anggota K[t]. 110
Bukt; Pertama kita buktikan eksistensi dari hasil kali seperti tersebut di atas. Jika f Tak-tereduksi, atau jika f E K, maka hasil kali seperti itu jelas. ada. Dalam hal lain pandang f = gh, dengan f dan g bukan skalar. Karenanya g dan h mempunyai derajat kurang dari f. Dengan proses induksi kita dapat tnengasumsikan
= klglg2 ... ~ h = ~hlh2 ... hs g
di sini kl, ~ E K, serta gi dan hj adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi. Karena itu
adalah penyajian yang kita harapkan. Kita kemudian membuktikan ketunggalan (kecuali dalam urutan) dari hasil kali itu. Pandang f
= kPIP2 ... Pn = k'qlq2...qm
hasil kali jelas ada. Pada lain pihak, pandang f
= kPIP2 ... Pn
= k'Qlq2 ... Qm di sini k, k' E K dan Pl Pn, Ql' , Qm adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi. Sekarang jelas bahwa PI membagi k'QIQ2...Qm' Karena PI adalah Tak-tereduksi, ia harus membagi salah satu dari Qiberdasarkan lemma 7.11. Katakan membagi ql. karena pI dan ql keduanya Tak-tereduksi dan Monik, Pi ql" Berdasarkan ini diperoleh
=
111
Dengan induksi, kita mendapatkan n = m dan Pz = qz' ... Pn = qffi'Kita juga mendapatkan bahwa k = k'. Karena itu teorema terbukti.
Teorema 7.13 (Teorema Fundamental Aljabar) Field Kompleks C adalah Tertutup. Yakni bahwa sembarang Polinomial Tak Nol f(t) di atas C mempunyai suatu akar pada C, dan karenanya f(t) dapat disajikan secara tunggal (kecuali karena urutan) sebagai suatu hasil kali
di sini k, rj E C, dan n = derajat f.
Teorema 7.14 Misalkan f(t) adalah suatu Polinomial Tak Nol di atas Field Riil R. Maka f(t) dapat disajikan secara tunggal sebagai suatu hasil kali
di sini k E R dan Pj(t)adalah Polinomial Monik Tak-tereduksi berderajat satu atau dua.
Bukti Berdasarkan Teorema Fundamental Aljabar,
di sini k, rj E C, karena k adalah koefisien terdepan dari f(t) maka k E R. Juga, jika rj
= a + bi adalah suatu akar tak riil, maka ada suatu akar ~= a -
bj'
Lebih lanjut, p(t) = (t-rj)(t-9 =tz-2at+az+bz adalah suatu Polinomial di atas R, p(t) adalah Monik, dan p(t) adalah Tak-tereduksi di atas R, karena akamya tak riil. Teorema terpenuhi.
112
